7 Elektromagnetická indukcia

Transcript

1 7 Elektroagnetická indukcia Experientálny základo pre objav elektroagnetickej indukcie boli pokusy Michaela Faradaya v roku Cieľo týchto experientov bolo nájsť súvislosti edzi elektrickýi a agnetickýi javi. Počiatky hľadania týchto vzťahov už boli v prácach Oersteda a Apéra., z ktorých vyplynulo, že elektrický prúd vytvára agnetické pole. Faraday zas ukázal, že agnetické pole ôže byť zdrojo elektrického prúdu. Všinie si bližšie dva experienty, ktoré ná budú slúžiť na výklad elektroagnetickej indukcie. Maje cievku spojenú s galvanoetro zobrazenú na obr N G Obr. 7.1 Vznik indukovaného elektrického prúdu. R B l I F,v F,Q + v F ext. Obr. 7. Vznik indukovaného prúdu Do cievky budee zasúvať peranentný agnet. Zistíe, že pri zasúvaní agnetu obvodo tvorený cievkou a galvanoetro začne pretekať elektrický prúd. Zistíe, že: ser elektrického prúdu bude rôzny pri zasúvaní a pri vyťahovaní agnetu, veľkosť elektrického prúdu bude závisieť od toho, ako rýchlo agnet zasúvae, resp. vyťahujee. Čí rýchlejšie, tý bude aplitúda elektrického prúdu väčšia. Podobný výsledok získae ak uiestnie blízo seba dve cievky. V obvode jednej je galvanoeter a v obvode druhej je zdroj jednoserného napätia, ktorý ôžee zapínať a vypínať. Obvodo cievky s galvanoetro bude pri zapnutí, resp. vypnutí prúdu pretekať elektrický prúd, ktorého aplitúda bude tý väčšia, čí bude nárast elektrického prúdu rýchlejší. Iný typ experientu pri ktoro tiež bude vznikať elektrootorické napätie vytvoríe obdĺžnikový závito, ktorého jedna strana je pohyblivá a ktorý je vložený do konštantného agnetického poľa kolo na indukčné čiary (obr. 7.). Ak budee pohybovať pohyblivou časťou závitu konštantnou rýchlosťou, obvodo bude pretekať konštantný elektrický prúd. Veľkosť pretekajúceho prúdu bude závisieť na rýchlosti, ktorou sa bude pohybovať pohyblivá časť závitu. 10

2 7.1 Faradayov zákon elektroagnetickej indukcie Faraday si pri rôznych pokusoch uvedoil, že elektrický prúd, teda aj elektrické napätie v cievke vzniká vtedy, keď sa v cievke ení agnetické pole, presnejšie agnetický tok. Magnetický tok sa ení aj v experiente s obdĺžnikový závito hoci agnetická indukcia je konštantná a to preto, lebo sa ení plocha závitu nachádzajúca sa v agneticko poli. Faradayov zákon elektroagnetickej indukcie znie: Elektrootorické napätie indukované v prúdovo závite sa rovná časovej zene agnetického toku prechádzajúceho závito. Mateatický vyjadrení Faradayovho zákona elektroagnetickej indukcie je rovnica: dφ Ui =, (7.1) kde Φ = B d je agnetický tok plochou, preloženou prúdový závito. Magnetický tok sa v čase ôže eniť z rôznych dôvodov: ôže sa eniť veľkosť agnetickej indukcie, ôže sa eniť uhol edzi vektoro B a vektoro plošného eleentu d, ôže sa eniť veľkosť plochy závitu. er indukovaného elektrického prúdu určuje Lencovo pravidlo: er indukovaného elektrického prúdu je taký, že agnetické pole indukovaného elektrického prúdu svojii účinkai pôsobí proti zene, ktorá ho vyvolala. Lencovo pravidlo (niekedy sa nazýva tiež Lencov zákon) je dôsledko základného prírodného zákona zákona zachovania energie. Ak by tou tak nebolo, tak po iniciovaní elektroagnetickej indukcie by proces saovoľne a neohraničene narastal. Ukážee si teraz, ako z posledného yšlienkového pokusu s rozťahovaní pravouhlého závitu v agneticko poli konštantnej agnetickej indukcie B, podľa obr. 7. vyplynie Faradayov zákon. V pohyblivej časti závitu dĺžky l sa nachádzajú voľné nosiče elektrického náboja. V obrázku predpokladáe, že sú to kladné nosiče. Už se vysvetlili pri elektricko prúde, že z akroskopického hľadiska na to nezáleží (viee totiž, že v kovovo vodiči sa pohybujú elektróny). Na pohybujúci sa elektrický náboj v agneticko poli začne pôsobiť na úseku a - b agnetická sila podľa vzťahu F = Q( v B). ila je ekvivalentná intenzite elektrického Fi poľa Ei = = v B. er intenzity je podľa obr. 7. v sere spojnice a - b. Na úseku dĺžky Q l a teda aj v celo závite vytvára napätie U i = E = ( v B). (7.) Posledný výraz ôžee upraviť podľa pravidiel pre ziešaný vektorový súčin (a b) c = b (a c) a postupne dostávae d r (d r ) B d dφ Ui = ( v B) = B ( v )= B ( )= B = = (7.3) kde se využili dr l = d, je vektor vyjadrujúci eleent plochy, o ktorú sa plocha závitu zväčšila. Pre indukované elektrootorické napätie se dostali Faradayov zákon elektroagnetickej indukcie. Na toto ieste je vhodné pripoenúť, že znaienko ínus vo 103

3 Faradayovo zákone súvisí s dohodou o orientácii vektora plošného eleentu d a nie je ateatický vyjadrení Lenzovho zákona. Na nasledovných dvoch obrázkoch 7.3a), 7.3b) budee ilustrovať Lencov zákon. Predpokladaje, že v čase sa ení len veľkosť agnetickej indukcie. Magnetická indukcia klesá (obr. 7.3a), alebo rastie (obr. 7.3b). Na obrázkoch je zaznačený ser indukovaného elektrického prúdu a B i označuje agnetickú indukciu od indukovaného elektrického prúdu v strede závitu. er B i je taký, že á tendenciu korigovať vzniknutú zenu agnetického toku. B klesá B rastie B i B i (a) Obr. 7.3 Lencov zákon (b) 7. Elektroagnetická indukcia a zákon zachovania energie Vráťe sa znova k experientu zobrazenéu na obr. 7. v ktoro se rozťahovali v konštantno agneticko poli závit tak, že se rýchlosťou v kolou na ser agnetickej indukcie posúvali pohyblivú stranu závitu tvaru obdĺžnika. Dĺžka tejto strany nech je l a elektrický odpor závitu nech je R. Ako bolo vysvetlené v predchádzajúcej časti, v závite sa indukuje elektrootorické napätie Ui = v B. Závito začne pretekať indukovaný elektrický prúd v B Ii =. (7.4) R Z hľadiska agnetostatiky sa na experient ôžee pozerať aj ako na vodič pohybujúci sa v agneticko poli. Magnetická sila pôsobiaca na tento vodič sa rovná vb vb F,v = IB= B=. (7.5) R R ila F,v je sila ktorá bude brániť pohybu vodiča, pretože seruje na opačnú stranu, ako vonkajšia sila F ext rozťahujúca plochu závitu. Ak je pohyb rovnoerný, tak vonkajšia sila F ext je rovnako veľká ako sila F,v. Pozrie sa teraz na pokus z hľadiska práce a energie. Výkon vonkajšej sily je v B P= Fext v =. (7.6) R Otázkou je, na čo sa spotrebuje tento výkon, táto energia za jednotku času odovzdaná vonkajšou sústavou? V závite preteká indukovaný elektrický prúd, dochádza k disipácii energie a vzniká Joulovo teplo. Ako viee z kapitoly 5 pre výkon spotrebovaný na Joulovo teplo platí P= RI. Dosaďe do tohto vzťahu za elektrický prúd (7.4) a dostávae B B P R v v = =, (7.7) R R 104

4 teda výraz totožný s výrazo, ktorý se dostali pre výkon vonkajšej sily. Pri elektroagnetickej indukcii ako vidíe platí zákon zachovania energie. Dôležité poznáky: 1. Elektroagnetickú indukciu a vznik indukovaného napätia se v tejto časti vysvetľovali vždy v súvislosti s určitý experientálny usporiadaní. Buď se ali cievku, alebo závit a enil sa agnetický tok. Môže to viesť k donienke, že elektrické pole pri zene agnetickej indukcie vznikne len vtedy, ak áe nejaký prúdový závit, cievku, alebo vodič, ktorý pohybujee. Z Maxwellovej teórie elektroagnetizu vyplýva, že vždy, keď sa ení indukcia agnetického poľa vzniká elektrické pole. Bez ohľadu na to, či sa ta nachádza nejaký vodič, alebo závit. Toto elektrické pole nie je konzervatívne pole, teda neôžee v ňo definovať potenciál, ani potenciálnu energiu. Takýto polia hovoríe, že sú vírové. K vzniku elektrického poľa pri zene agnetického poľa dochádza napríklad vo vákuu pri šírení elektroagnetického vlnenia. Nie je preto ožné v prípade časovo preenných polí hovoriť o elektricko a agneticko poli oddelene. Ak nazvee nejaký kurz fyziky Elektrina a agnetizus z fyzikálneho hľadiska to nie je korektné. právne bude Elektroagnetizus.. Objav elektroagnetickej indukcie al ioriadny význa pre rozvoj techniky. Faradayov zákon elektroagnetickej indukcie je fyzikálny princípo, na ktoro pracujú generátory v elektrárňach, elektrické transforátory a nožstvo ďalších technických aplikácií. 3. Indukovaný elektrický prúd vzniká aj vtedy, ak sa v agneticko poli pohybujú rozerné vodivé telesá, napr. vodivá platňa. V takýchto ateriáloch vznikajú elektrické prúdy a volajú sa vírivé prúdy. Nestacionárny agnetický poľo zase ôžee vytvoriť vírivé prúdy v nepohyblivých vodivých ateriáloch. Joulovo teplo vznikajúce od vírivých prúdov sa poto využíva na indukčný ohrev kovových ateriálov. 7.3 Diferenciálny tvar zákona elektroagnetickej indukcie * dφ Integrálny tvar Faradayovho zákona daný rovnicou Ui = ôžee preforulovať využití ateatického aparátu vektorovej analýzy na diferenciálny tvar. Využijee pri to tokesovu vetu vektorovej analýzy, podľa ktorej v d = rot v d. Pre indukované napätie platí 105 U i = E d = rot E d (7.8) Pre časovú zenu agnetického toku z definície agnetického toku platí dφ d = d t B. (7.9) d Ak nedochádza k žiadnej geoetrickej zene (orientácie B, d, alebo integračnej plochy), poto d d = d t B B. (7.10) t d Porovnaní prvej a tretej rovnice dostávae rot E d= B d (7.11) t

5 Integrácia prebieha cez rovnakú plochu, rovnica platí pre každú integračnú plochu, usia sa preto rovnať integrované funkcie a platí B rot E= t. (7.1) Posledná rovnica vyjadruje v diferenciálno tvare skutočnosť už zdôraznenú v predchádzajúcej poznáke, že vždy, keď sa ení indukcia agnetického poľa vzniká v dano priestore elektrické pole. Toto elektrické pole je vírové, pretože rotácia elektrickej intenzity tohto poľa je rôzna od nuly. Rovnica (7.11) je jednou z Maxwellových rovníc elektroagnetizu. 7.4 Vlastná a vzájoná indukcia Pri výklade elektroagnetickej indukcie se predpokladali, že v závite, alebo cievke sa v čase enil agnetický tok vytváraný vonkajší agnetický poľo. K vzniku indukovaného elektrického poľa dochádza však aj vtedy, keď sa ení elektrický prúd v prúdovo závite a tý sa ení aj agnetický tok vytvorený týto elektrický prúdo. Takýto jav voláe saoindukcia, alebo vlastná indukcia. Magnetický tok závito, cievkou, alebo uzatvorený vodičo iného tvaru bude úerný pretekajúceu elektrickéu prúdu Φ = LI. (7.13) ybolo L se označili fyzikálnu veličinu, ktorú voláe vlastná indukčnosť. Ak v okolí vodiča nie sú agnetické ateriály (feroagnetiká) vlastná indukčnosť závisí len od geoetrie vodiča (napr. tvare cievky, počte závitov), v opačno prípade bude závisieť aj od pretekajúceho elektrického prúdu L= L( I). Z definície vlastnej indukčnosti vyplýva jej jednotka, ktorá sa nazýva henry, označujee ju sybolo H. Jej rozer [ Φ ] 1 je: [ ] = H = Wb A kg s L A = =. [ I] Ak elektrický prúd prechádzajúci vodičo závisí od času i= i() t, dochádza k vlastnej indukcii a podľa Faradayovho zákona sa vo vodiči indukuje elektrootorické napätie Φ i Ui = = L t t. (7.14) Pre elektrický prúd závislý od času se použili sybol i a predpokladali se, že vlastná indukčnosť je konštantná. (Vždy tou tak nie je). Teraz si ôžee objasniť veľkosť jednotky 1 henry: Vodič á vlastnú indukčnosť 1 H vtedy, ak pri zene agnetického toku 1Wb s 1 vo vodiči indukuje napätie 1 V. sa Pre saoindukované napätie platí Lenzov zákon. Elektrický prúd v cievke, alebo v závite práve v dôsledku saoindukcie neôže okažite vzniknúť ani zaniknúť. Bráni tou indukované napätie a teda aj vznikajúci indukovaný elektrický prúd. Ak áe blízko seba uiestnené dva závity, alebo cievky, poto zenou elektrického prúdu v jedno z vodičov sa ení agnetický tok druhý vodičo. Takýto jav voláe vzájoná indukcia. Maje dva závity blízo seba. Ak prvý vodičo tečie elektrický prúd i 1, agnetické pole vyvolané týto elektrický prúdo spôsobuje agnetický tok druhý závito. Je zrejé, že pri danej geoetrii vodičov, čí bude väčší elektrický prúd i 1, tý bude väčší agnetický tok druhý závito. 106

6 Φ = M1 I1. (7.15) Koeficient úernosti M 1 nazývae vzájoná indukčnosť. Rovnako ako vlastnú indukčnosť aj vzájonú indukčnosť vyjadrujee v jednotkách henry. Ak sa ení vo vodiči 1 elektrický prúd, vo vodiči sa indukuje elektrootorické napätie U di1 = M 1. (7.16) d t Tento vzťah, rovnako ako (7.13) platí za predpokladu, že vzájoná indukčnosť nezávisí od elektrického prúdu i 1 Pokiaľ v okolí vodičov nie sú feroagnetiká je to vždy splnené a vzájoná indukčnosť závisí iba od geoetrie vodičov a ich vzájono usporiadaní. Na jav vzájonej indukcie sa ôžee pozrieť aj z hľadiska druhého vodiča. Vzájoná indukčnosť usí byť preto syetrická vzhľado k daný sústavá vodičov a platí M = M. (7.17) Energia agnetického poľa Maje elektrický obvod, v ktoro sa nachádza zdroj napätia a rezistor a preteká ní elektrický prúd. Poto zdroj za čas t vykoná prácu W = U It = RI t. Práca vykonaná zdrojo sa preení na Joulovo teplo. Ak áe v obvode zdroj, rezistor a cievku s vlastnou indukčnosťou L, poto pri zapnutí zdroja začne elektrický prúd narastať a na cievke sa bude indukovať napätie. Cievka je ďalší zdrojo napätia! Ak pre takýto obvod použijee II. Kirchhoffov zákon, poto algebraický súčet elektrootorických napätí zdrojov sa rovná úbytku napätia na prvkoch obvodu a platí rovnica di U L = Ri (7.18) Ak rovnicu vynásobíe okažitý elektrický prúdo i dostávae rovnicu di Ui Li = Ri, (7.19) v ktorej jednotlivé členy predstavujú postupne: okažitý výkon zdroja (Ui), výkon potrebný na vytváranie agnetického poľa v cievke ( di Li ) a výkon spotrebovaný na Joulovo teplo ( Ri ). Okažitú eleentárnu prácu na vytváranie agnetického poľa v cievke, t.j. prácu za nekonečne krátky časový interval predstavuje člen Lidi. Na vytvorenie konečného agnetického poľa v cievke, t.j. poľa, ktoré odpovedá konečnéu elektrickéu prúdu I, bolo potrebné vynaložiť prácu I 1 d (7.0) 0 W = Li i= LI Táto práca sa podľa zákona zachovania energie usí rovnať energii obsiahnutej v agneticko poli a hovoríe, že energiu 107

7 1 E W LI p = = (7.1) á cievka s vlastnou indukčnosťou L, ktorou preteká elektrický prúd I. Túto energiu dodal zdroj na vytvorenie poľa a nazvee ju energia agnetického poľa. Je naieste otázka, čo sa stane s touto energiou, keď vypnee v našo obvode zdroj elektrootorického napätia. Ak zdroj vypnee, elektrický prúd nezanikne okažite, dochádza k prechodový javo a elektrický prúd zaniká postupne v dôsledku indukovaného napätia. Energia obsiahnutá v agneticko poli cievky sa zanikajúci elektrický prúdo na rezistore preení na Joulovo teplo. Na záver vyjadrie energiu agnetického poľa dlhého solenoidu, ktorý á dĺžku l, počet závitov N, prierez závitov je, tečie ní elektrický prúd I a dutinu solenoidu vypĺňa hoogénne prostredie, ktorého relatívna pereabilita je μ r. Podľa (6.9) a (6.38) agnetická indukcia v solenoide bude B = μ μ 0 r NI, (7.) agnetický tok solenoido bude μ0μr N μ0μrn Φ = NB= I= LI L=. (7.3) Energia agnetického poľa cievky bude W 1 μμ = 0 rn I. (7.4) Predpokladáe, že solenoid je dostatočne dlhý, agnetické pole je hoogénne a ôžee definovať objeovú hustotu energie agnetického poľa solenoidu w W W 1 N τ = = = μμ 0 r I. (7.5) NI Pre agnetickú indukciu v solenoide platí B = μμ 0 r ôžee prepísať do tvaru a predchádzajúci vzťah (7.5) 1 B 1 1 = = = μμ 0 r. (7.6) μμ 0 r w BH H Vzťah, ktorý se získali pre hustotu energie agnetického poľa platí všeobecne. V prípade, že sery vektorov B a H nie sú rovnaké, pre hustotu energie agnetického poľa platí v tvare 1 w = B H. (7.7) 108

8 Ak sa v určito priestore nachádza agnetické pole, poto zo znáej hustoty energie agnetického poľa, ôžee určiť energiu agnetického poľa. Podobne, ako se vyjadrili energiu elektrického poľa poocou hustoty energie elektrického poľa pre pole elektrické. W = wdτ. (7.8) 109