# Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Save this PDF as:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A"

## Transcript

1 M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava

2 PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = x 2 = x 2 = x 2 5 = x x = 5x x 2 = 7x ,4x 2 = ,4x 2 = 1, /5x 3/4x 2 = ,2x 2 = 2/5x... Strana 2 z 41

3 PRACOVNÝ LIST 2 Urč hodnoty koeficientov a, b, c v kvadratickej rovnici : 1. x 2 3x = 0 a = b = c = 2. -4x = 0 a = b = c = x - x 2 =0 a = b = c = 4. 3 = x 2 a = b = c = 5. x 2 = 0 a = b = c = x = x 2 a = b = c = 7. 2x = - 8x 2 a = b = c = 8. x 2 + x + 1 = 0 a = b = c = 9. x 2 + 0,5 = 0 a = b = c = 10. 2,7x - x 2 =0 a = b = c = Strana 3 z 41

4 PRACOVNÝ LIST 3 Rieš kvadratické rovnice rozkladom na súčin: 1. ( )( ) x 1 =..., x 2 = ( )( ) x 1 =..., x 2 = ( )( ) x 1 =..., x 2 = ( )( ) x 1 =..., x 2 = ( )( ) x 1 =..., x 2 = ( )( ) x 1 =..., x 2 = ( )( ) x 1 =..., x 2 = ( )( ) x 1 =..., x 2 =... Strana 4 z 41

5 PRACOVNÝ LIST 4 Urč nulové body = korene kvadratickej rovnice = priesečníky paraboly s osou x, načrtni na číselnej osi: 1. x 2 9 = 0 x 1 =, x 2 = 2. x = 0 x 1 =, x 2 = 3. x 2 + 3x = 0 x 1 =, x 2 = 4. x x 2 = 0 x 1 =, x 2 = 5. x 2 + 5x = 6 x 1 =, x 2 = 6. x 2 + 2x + 1 = 0 x 1 =, x 2 = 7. x 2 = 8x - 12 x 1 =, x 2 = 8. 9x 2 5x = 4 x 1 =, x 2 = Strana 5 z 41

6 PRACOVNÝ LIST 5 Urč nulové body = korene kvadratickej rovnice = priesečníky paraboly s osou x, načrtni na číselnej osi, urč P nerovnice: 1. x 1 =, x 2 = P = 2. x 1 =, x 2 = P = 3. x 1 =, x 2 = P = 4. x 1 =, x 2 = P = 5. x 1 =, x 2 = P = 6. x 1 =, x 2 = P = 7. x 1 =, x 2 = P = 8. x 1 =, x 2 = Strana 6 z 41

7 PRACOVNÝ LIST 6 Rieš kvadratické rovnice pomocou diskriminantu: 1. 3x x = 32 D = P = { } 2. 15x 2 = 19x -6 D = P = { } 3. (3x 5)(2x + 3) = 4 D = P = { } 4. (5x 2) 2-7(5x 2) = 8 D = P = { } 5. 9 = 24x 16x 2 D = P = { } 6. (2x -7) 2 (3x + 2) 2 = 125 D = P = { } 7. 2x 2 + 5x = -2 D = P = { } 8. 20x 2 =9x - 1 D = P = { } Strana 7 z 41

8 PRACOVNÝ LIST 7 Rieš neúplné kvadratické rovnice: 1. x 2 4x = 0 P = { } 2. 5x 2 + 2x = 0 P = { } 3. 3x - 6x 2 = 0 P = { } 4. 4x 2 25 = 0 P = { } 5. 16x 2 1 = 0 P = { } x 2 = 0 P = { } 7. x 2 3 = 0 P = { } 8. x = 0 P = { } Strana 8 z 41

9 PRACOVNÝ LIST 8 Rieš exponenciálne rovnice vhodnou metódou: 1. = 1 P ={ } 2. P ={ } 3. P ={ } 4. P ={ } 5. P ={ } 6. P ={ } 7. P ={ } 8. P ={ } Strana 9 z 41

10 PRACOVNÝ LIST 9 Rieš exponenciálne rovnice substitúciou: 1. P = { } 2. P = { } 3. P = { } 4. P = { } 5. P = { } 6. P = { } Strana 10 z 41

11 PRACOVNÝ LIST 10 Riešením exponenciálnych rovníc a dosadením písmen do tajničky dostaneš výrok G. Polyu 7/4 1; /4 1; 9 2 6/7 17 1; 9-3; 2 6/ ,5;1, / / /7-1; 1 3/ ; 1 A Á D E I J ( ) ( ) K M N O P R Š T V Strana 11 z 41

12 PRACOVNÝ LIST 11 Rieš exponenciálne nerovnice: 1. P = 2. ( ) P = 3. P = 4. ( ) P = 5. P = Strana 12 z 41

13 PRACOVNÝ LIST 12 Využitím definície logaritmu urč neznámu veličinu: 1. y = 2. y= 3. y = 4. y= 5. a = 6. a= 7. a = 8. a = Strana 13 z 41

14 PRACOVNÝ LIST 13 Urč neznámu veličinu: ( úlohy rieš spamäti ) 1. y = 2. y = 3. y = 4. y = 5. x = 6. x = 7. a = 8. a = 9. a = Strana 14 z 41

15 PRACOVNÝ LIST 14 Zlogaritmuj výraz: 1. log abc= 2. log a 2 bc 3 = 3. log (ab) 2 = 4. log 5. log ab 6. log 7. log (a 2 -b 2 ) = 8. log 9. log 10. log 3-1 a 3 b Strana 15 z 41

16 PRACOVNÝ LIST 15 Napíš ako logaritmus jedného výrazu (základ je rovnaký): 1. log a log b + 2log c = 2. log a + 1/2logb log c = 3. 1/2log a 2/3log b = 4. log (a + b) + log (a - b) = 5. 3log a log b 2log c = 6. 1/2log a 1/2log b + 1/2log c = 7. 2log(a-b) 1/2log (a + b) = Strana 16 z 41

17 PRACOVNÝ LIST 16 Rieš logaritmické rovnice podľa definície: 1. P = { } 2. ( ) P = { } 3. ( ) P = { } 4. ( ) P = { } 5. ( ) ( ) P = { } Strana 17 z 41

18 PRACOVNÝ LIST 17 Rieš logaritmické rovnice úpravou na logaritmus dvoch výrazov: 1. ( ) ( ) P = { } 2. ( ) ( ) ( ) P = { } 3. ( ) ( ) P = { } 4. ( ) ( ) P = { } 5. ( ) ( ) P = { } Strana 18 z 41

19 PRACOVNÝ LIST 18 Rieš logaritmické rovnice substitúciou: 1. P = { } 2. P = { } 3. P = { } 4. P = { } 5. P = { } Strana 19 z 41

20 PRACOVNÝ LIST 19 Rieš logaritmické rovnice, ktoré vedú na exponenciálne: 1. ( ) ( ) P = { } 2. ( ) P = { } 3. ( ) P = { } 4. ( ) P = { } 5. ( ) P = { } Strana 20 z 41

21 PRACOVNÝ LIST 20 Rieš rovnice logaritmovaním: 1. P = { } 2. P = { } 3. P = { } 4. P = { } 5. P = { } 6. P = { } Strana 21 z 41

22 PRACOVNÝ LIST 21 Rieš logaritmické nerovnice: 1. ( ) 2. ( ) ( ) 3. ( ) 4. ( ) 5. ( ) 6. ( ) Strana 22 z 41

23 PRACOVNÝ LIST 22 Logaritmické rovnice, nerovnice. Vyriešením úloh doplň správne písmeno do tajničky: Pamätajte, že je nutnou podmienkou pre vaše úspechy a prácu (I. P. Pavlov) (-2;3) 3-1 (1; ) 16 (-2;3) 0; ) 16 A ( ) ( ) D ( ) ( ) E ( ) I ( ) N ( ) Š ( ) Strana 23 z 41

24 PRACOVNÝ LIST 23 Goniometria Pomenuj grafy funkcií, vyznač nulové body: Strana 24 z 41

25 PRACOVNÝ LIST 24 Goniometria funkcia sínus Načrtni graf funkcie y = sinx x y x Urč vlastnosti funkcie sínus: monotónnosť v I. kv. II. kv. III. kv. IV. kv hodnoty v I. kv. II. kv. III. kv. IV. kv D(f) = Strana 25 z 41

26 PRACOVNÝ LIST 25 Goniometria funkcia sínus Urč ďalšie vlastnosti funkcie sínus: ( načrtni graf ) H(f) = perióda = párnosť, nepárnosť sin(-x) = maximum = v uhle minimum = v uhle Strana 26 z 41

27 PRACOVNÝ LIST 26 Goniometria funkcia kosínus Načrtni graf funkcie y = cosx x y x Urč vlastnosti funkcie kosínus: monotónnosť v I. kv. II. kv. III. kv. IV. kv hodnoty v I. kv. II. kv. III. kv. IV. kv D(f) = Strana 27 z 41

28 PRACOVNÝ LIST 27 Goniometria funkcia kosínus Urč ďalšie vlastnosti funkcie kosínus: ( načrtni graf ) H(f) = perióda párnosť, nepárnosť cos(-x) = maximum = v uhle minimum = v uhle Strana 28 z 41

29 PRACOVNÝ LIST 28 Goniometria funkcia tangens Načrtni graf funkcie y = tgx x y x Urč vlastnosti funkcie tangens: monotónnosť v I. kv. II. kv. III. kv. IV. kv hodnoty v I. kv. II. kv. III. kv. IV. kv D(f) = Strana 29 z 41

30 PRACOVNÝ LIST 29 Goniometria funkcia tangens Urč ďalšie vlastnosti funkcie tangens: ( načrtni graf ) H(f) = perióda párnosť, nepárnosť tg(-x) = maximum = minimum = Strana 30 z 41

31 PRACOVNÝ LIST 30 Goniometria funkcia kotangens Načrtni graf funkcie y = cotgx x y x Urč vlastnosti funkcie kotangens: monotónnosť v I. kv. II. kv. III. kv. IV. kv hodnoty v I. kv. II. kv. III. kv. IV. kv D(f) = Strana 31 z 41

32 PRACOVNÝ LIST 31 Goniometria funkcia kotangens Urč ďalšie vlastnosti funkcie kotangens: ( načrtni graf ) H(f) = perióda párnosť, nepárnosť cotg(-x) = maximum = minimum = Strana 32 z 41

33 PRACOVNÝ LIST 32 Goniometria Zostroj do jedného obrázka grafy funkcií: a) y = sinx, b) y = 2sinx c) y = sin2x d) y = sin(x + π/6) Zdôvodni, čo sa zmení zmenou parametrov, zapíš nové vlastnosti funkcií. Strana 33 z 41

34 PRACOVNÝ LIST 33 Goniometrické funkcie Doplň vzťahy medzi goniometrickými funkciami: sin 2 x = cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x = sin2x = cos2x = tgx = cotgx = sinx = cosx = Strana 34 z 41

35 PRACOVNÝ LIST 34 Goniometrické funkcie Rozhodni, aké znamienko bude mať súčin sinx. cosx, ak a) x = 210 b) x = 100 c) x = 20 d) x = 320 e) x = 9π/5 f) x = 3π/5 g) x = 6π/5 h) x = π/5 Strana 35 z 41

36 PRACOVNÝ LIST 35 Goniometrické funkcie Vypočítaj hodnoty ostatných goniometrických funkcií, ak a) xє II. kv. a platí: 1. sinx = 3/5 cosx = tgx = cotgx = 2. cosx = -1/3 sinx = tgx = cotgx = 3. tgx = -2/3 cosx = sinx = cotgx = 4. cotgx = -2 cosx = tgx = sinx = b) x Є (3π/2;2π) a platí: 1. sinx = -0,4 cosx = tgx = cotgx = 2. cosx = 0,25 sinx = tgx = cotgx = Strana 36 z 41

37 PRACOVNÝ LIST 36 Goniometrické rovnice Rieš spamäti: 1. sinx = 1 x = P = { } 2. sinx = -1 x = P = { } 3. sinx = 0 x = P = { } 4. cosx = 1 x = P = { } 5. cosx = -1 x = P = { } 6. cosx = 0 x = P = { } 7. tgx = 1 x = P = { } 8. tgx = 0 x = P = { } 9. cotgx = 1 x = P = { } 10. cotgx = 0 x = P = { } Strana 37 z 41

38 PRACOVNÝ LIST 37 Rieš goniometrické rovnice: Strana 38 z 41

39 PRACOVNÝ LIST 38 Rieš goniometrické rovnice substitúciou: 1. ( ) 2. ( ) 3. ( ) 4. ( ) Strana 39 z 41

40 PRACOVNÝ LIST 39 Sínusová, kosínusová veta Rieš trojuholník ABC, ak je dané: a) a = 52, β =63 14, γ = b) a = 65, b = 46, α = c) b = 79,5, β = 65 20, γ = d) c = 3,54, α = 35 50, γ = e) a = 7, b = 4, γ = 38 f) a = 5, b = 6, c = 7 Strana 40 z 41

41 PRACOVNÝ LIST 40 Sínusová, kosínusová veta 1. V akom zornom uhle sa javí 70 predmet 70m dlhý pozorovateľovi, ktorý je od jedného konca vzdialený x 50m a od druhého konca 80m? 2. Lietadlo letí vo výške 3500m nad pozorovateľňou. x V okamihu prvého merania ho bolo vidieť 3500m pod výškovým uhlom 25, pri druhom meraní pod výškovým uhlom 48. Vypočítajte vzdialenosť, ktorú lietadlo preletelo medzi obidvoma meraniami. 3. Vypočítajte výšku stožiara, x ktorého pätu vidíme v hĺbkovom uhle a vrchol vo výškovom uhle Stožiar je pozorovaný z miesta 10m nad úrovňou päty stožiara. Strana 41 z 41

### Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH

Διαβάστε περισσότερα

### Mocniny : 1. časť. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník

1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník Mocniny : 1. časť 1. Vypočítajte pomocou tabuliek : a) 100 ; 876 ; 15,89 ; 1, ; 0,065 ; b) 5600 ; 16 ; 0,9 ;,64 ; 1,4 ; c) 1,5 ; 170 ; 0,01 ; 148 0, 56 ; 64, 5

Διαβάστε περισσότερα

### Osnovy pre slovensko-francúzske sekcie gymnázií Matematika

Osnovy pre slovensko-francúzske sekcie gymnázií Matematika CIELE Ciele matematiky na bilingválnom gymnáziu sa v zásade nelíšia od cieľov klasických slovenských gymnázií. Hlavným rozdielom je získanie schopnosti

Διαβάστε περισσότερα

### Goniometrické nerovnice

Ma-Go--T List Goniometrické nerovnice RNDr. Marián Macko U: Problematiku, ktorej sa budeme venovať, začneme úlohou. Máme určiť definičný obor funkcie f zadanej predpisom = sin. Máš predstavu, s čím táto

Διαβάστε περισσότερα

### Maturitné úlohy. Matematiky. Pre gymnázium

Jozef Vozár Maturitné úlohy Z Matematiky Pre gymnázium I. (Úlohy s krátkou odpoveďou) OBSAH ÚVOD... 3 1. ZÁKLADY MATEMATIKY... 3 1.1 Logika a množiny... 3 1.2 Čísla, premenné a výrazy... 7 1.3 Teória čísel...

Διαβάστε περισσότερα

### 2. UHLY. Zapisovanie uhlov 1. spôsob pomocou troch bodov. Pri zápise uhla pomocou troch bodov je VRCHOL VŽDY V STREDE ZÁPISU.

2. UHLY 2.1 ZÁPIS A OZNAČOVANIE UHLOV Dve polpriamky VA, VB, ktoré majú spoločný začiatok v bode V delia rovinu na dve časti. Tieto časti nazývame uhly. UHOL je časť roviny ohraničená dvoma polpriamkami,

Διαβάστε περισσότερα

### !! " &' ': " /.., c #\$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #\$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, \$%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"\$

Διαβάστε περισσότερα

### Tézy matematika. 1. Množiny, základné pojmy a vzťahy. 2. Výroky a ich pravdivostné hodnoty

Tézy matematika 1. Množiny, základné pojmy a vzťahy 1. Vysvetlite obsah pojmov množina, prázdna množina, disjunktné množiny, popíšte vzťahy medzi množinami (podmnožina, rovnosť množín) a operácie s množinami

Διαβάστε περισσότερα

### Maturitné otázky z matematiky

Gmnázium Pavla Horova Michalovce Maturitné otázk z matematik školský rok 00 / 00 . VÝROKY A MNOŽINY Maturitné otázk a príklad z matematik, Gmnázium Pavla Horova, Michalovce Výrok a jeho negácia. Kvantifikované

Διαβάστε περισσότερα

### Matematika test M-1, 2. časť

M O N I T O R 001 pilotné testovanie maturantov MONITOR 001 Matematika test M-1,. časť forma A Kód školy: Číslo žiaka A B C F H I K L M O P S Kód A B C F H I triedy: 01 0 03 04 05 06 07 08 09 10 11 1 13

Διαβάστε περισσότερα

### 23. Zhodné zobrazenia

23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:

Διαβάστε περισσότερα

### Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

### Tematický výchovno-vzdelávací plán. z matematiky. pre 9. ročník

výchovnovzdelávací plán z matematiky pre 9. ročník Počet hodín : 5 hod. týždenne Plán bol vypracovaný podľa: ŠVP pre 2. stupeň ZŠ ISCED 2 Plán vypracoval/a: Mgr. Viera Obložinská Školský rok: 2014/2015

Διαβάστε περισσότερα

### Testy a úlohy z matematiky

Testy a úlohy z matematiky Spracovala a zostavila: c Mgr. Hedviga Soósová 008 Vydavateľ: Copyright c VARIA PRINT, s. r. o. 008. Prvé vydanie. Kontakt: VARIA PRINT, s. r. o. Mgr. Marta Varsányiová Ul. františkánov

Διαβάστε περισσότερα

### Mgr. Jana Fraasová, Višňová 41, Malinovo. VEC: Sťažnosť k učebnici matematiky pre 9. ročník ZŠ od autorky Viery Kolbaskej

Mgr. Jana Fraasová, Višňová 41, 900 45 Malinovo Minister školstva, vedy, výskumu a športu SR Doc. PhDr. Dušan Čaplovič, DrSc. Stromová 1 813 30 Bratislava VEC: Sťažnosť k učebnici matematiky pre 9. ročník

Διαβάστε περισσότερα

### Spojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.

Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................

Διαβάστε περισσότερα

### Individuálny študijný plán M A T E M A T I K A - KVINTA 2011/2012

Individuálny študijný plán M A T E M A T I K A - KVINTA 2011/2012 Odporúčam: www.oskole.sk cez učivá, predmety a ročník navštíviť príslušné tematické celky 1. POLROK (Použitá učebnica Matematika pre 1.

Διαβάστε περισσότερα

8. TRANSFORMÁCIA SÚRADNÍC V geodetickej pra je častou úlohou zmeniť súradnice bodov bez toho aby sa zmenila ich poloha na zemskom povrchu. Zmenu súradníc označujeme pojmom transformácia. Transformácia

Διαβάστε περισσότερα

### Ohmov zákon pre uzavretý elektrický obvod

Ohmov zákon pre uzavretý elektrický obvod Fyzikálny princíp: Každý reálny zdroj napätia (batéria, akumulátor) môžeme považova za sériovú kombináciu ideálneho zdroja s elektromotorickým napätím U e a vnútorným

Διαβάστε περισσότερα

### Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IV

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IV Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

### AerobTec Altis Micro

AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp

Διαβάστε περισσότερα

### Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus

KrAv11-T List 1 Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Najprv si zopakujme, ako znie definícia logaritmu. Ž: Ja si pamätám, že logaritmus súvisí

Διαβάστε περισσότερα

### Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com

1 Τριγωνομετρία Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 90 ο. Β φ x Α Γ Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου, που γνωρίζουμε τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

### Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich

Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:

Διαβάστε περισσότερα

### Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

### διακριτοποίηση αριθµητική παραγώγιση

Ανέκαθεν οι άνθρωποι αντιµετώπιζαν προβλήµατα υπολογισµού µη κανονικών ποσοτήτων όπως είναι για παράδειγµα το εµβαδόν ενός χωραφιού µε ακανόνιστο περίγραµµα, ή ο όγκος µιας δεξαµενής κωνικού σχήµατος κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

### Zlomky sčítanie, odčítanie. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 7. ročník. 1. Vypočítajte : = d) ( ) Vypočítajte : a) 5 + =

1. Kontrolná práca z matematiky 7. ročník Zlomky sčítanie, odčítanie 1. Vypočítajte : 6 2 5 7 2 2 2 a) + + = c) + = 7 3 21 9 3 3 9 3 5 1 1 + + 1 = d) ( ) 5 + 3,7 + 1 4 15 6 = 2. Vypočítajte : a) 1 5 5

Διαβάστε περισσότερα

### Vzorce pre polovičný argument

Ma-Go-15-T List 1 Vzorce pre polovičný argument RNDr Marián Macko U: Vedel by si vypočítať hodnotu funkcie sínus pre argument rovný číslu π 8? Ž: Viem, že hodnota funkcie sínus pre číslo π 4 je Hodnota

Διαβάστε περισσότερα

### Ján Buša Štefan Schrötter

Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako

Διαβάστε περισσότερα

### Pilota600mmrez1. N Rd = N Rd = M Rd = V Ed = N Rd = M y M Rd = M y. M Rd = N 0.

Bc. Martin Vozár Návrh výstuže do pilót Diplomová práca 8x24.00 kr. 50.0 Pilota600mmrez1 Typ prvku: nosník Prostředí: X0 Beton:C20/25 f ck = 20.0 MPa; f ct = 2.2 MPa; E cm = 30000.0 MPa Ocelpodélná:B500

Διαβάστε περισσότερα

### Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

### TVORIVÁ MATEMATIKA I - SÚBOR PRACOVNÝCH LISTOV PRE 5. A 6. ROČNÍK ZŠ

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH

Διαβάστε περισσότερα

### ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2015-2016

1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ Οδηγίες (Διαβάστε τες!) 1. Περίληψη: ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2015-2016 (αʹ) Υπάρχει μια ομάδα ασκήσεων για κάθε κεφάλαιο των σημειώσεων,

Διαβάστε περισσότερα

### I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h

A n a l i s a M a n a j e m e n B P I H d i B a n k S y a r i a h I S S N : 2 0 8 7-9 2 0 2 I S L A M I N O M I C P e n e r b i t S T E S I S L A M I C V I L L A G E P e n a n g g u n g J a w a b H. M

Διαβάστε περισσότερα

### Výrazy a ich úpravy. -17x 6 : -17 koeficient; x premenná; 6 exponent premennej x. 23xy 3 z 5 = 23x 1 y 3 z 5 : 23 koeficient; x; y; z premenné;

Výrazy a ich úpravy Počtový výraz je matematický zápis, ktorým vyjadrujeme počtové operácie s číslami a poradie v akom majú byť prevedené. Napr.: ( (5 1,76)+5):0,4. Počtové výrazy sa pomenovávajú podľa

Διαβάστε περισσότερα

Základná škola Jána Hollého s materskou školou Madunice Prehľad učiva matematiky základnej školy Obsah strana 1. Prirodzené, celé, racionálne, reálne čísla... 1 2. Operácie s racionálnymi číslami... 2

Διαβάστε περισσότερα

### Solution to Review Problems for Midterm III

Solution to Review Problems for Mierm III Mierm III: Friday, November 19 in class Topics:.8-.11, 4.1,4. 1. Find the derivative of the following functions and simplify your answers. (a) x(ln(4x)) +ln(5

Διαβάστε περισσότερα

### 2. Aký obsah má vyfarbený útvar? Dĺţka strany štvorca je 3 m.

Dĺžka kružnice, obsah kruhu 1. Na obrázku je kruţnica vpísaná do štvorca so stranou 4cm a štyri kruţnicové oblúky so stredmi vo vrcholoch štvorca. ký obsah má vyfarbený útvar? 4 + π cm 16 - π cm 8π 16

Διαβάστε περισσότερα

### Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla

Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti príloha č. 7 k vyhláške č. 428/2010 Názov prevádzkovateľa verejného : Spravbytkomfort a.s. Prešov Adresa: IČO: Volgogradská 88, 080 01 Prešov 31718523

Διαβάστε περισσότερα

### Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení

Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová

Διαβάστε περισσότερα

### L A TEX 2ε. mathematica 5.2

Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

### REZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických

REZISTORY Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických obvodoch. Základnou vlastnosťou rezistora je jeho odpor. Odpor je fyzikálna vlastnosť, ktorá je daná štruktúrou materiálu

Διαβάστε περισσότερα

### Učebný materiál pre cvičenia z matematiky v 6. ročníku ZŠ

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH

Διαβάστε περισσότερα

### ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

### Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8

Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................

Διαβάστε περισσότερα

### 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

### ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

### Volny pad s odoporom vzduchu (ako uvod do poruchovych vypoctov)

Volny pad s odoporom vzduchu (ako uvod do poruchovych vypoctov) Juro Tekel juraj(dot)tekel(at)gmail(dot)com Text o tom, ako sa da priblizne poratat volny pad s odporom vzduchu a o tom, ze sa to rovnako

Διαβάστε περισσότερα

### ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ

Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Ι. ΑΡΒΑΝΙΤΙ ΗΣ jarvan@physcs.auth.gr 2310 99 8213 ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΠΟΛΩΣΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

### Objem a povrch zrezaného ihlana a zrezaného rotačného kužeľa

Ma-Te-06-T List 1 Objem a povrch zrezaného ihlana a zrezaného rotačného kužeľa RNDr. Marián Macko U: Počul si už niekedy o zrezanom rotačnom kuželi? Ž: O rotačnom kuželi som už počul, ale pojem zrezaný

Διαβάστε περισσότερα

### Σε κάθε ρυθμιστικό διάλυμα που περιέχει ένα συζυγιακό σύστημα οξέος-βάσης, ισχύει η σχέση:

.5 Ρυθμιστικά διαλύματα Ρυθμιστικά διαλύματα ονομάζονται τα διαλύματα των οποίων το ph παραμείνει πρακτικά σταθερό, όταν προστεθεί μικρή αλλά υπολογίσιμη ποσότητα ισχυρών οξέων ή βάσεων ή αραιωθούν μέσα

Διαβάστε περισσότερα

### ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

### Fakulta riadenia a informatiky Žilinskej univerzity

Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit Riaditeľ siete stravovacích zariadení dal pokn, že do každej reštaurácie, v ktorej stúpne počet hostí o viac ako 3 %, musia prijať najmenej dvoch nových

Διαβάστε περισσότερα

### ISBN , 2009

.... 2009 681.3.06(075.3) 32.973.26 721 367.. 367 : -. :.., 2009. 419.:.,. ISBN 978-5-88874-943-2. :. -,.,. (2006 2009),,,,.. 11-, -. matsievsky@newmail.ru. 681.3.06(075.3) 32.973.26 721 ISBN 978-5-88874-943-2..,

Διαβάστε περισσότερα

### ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΒΑΚΑΛΟΠΟΥΛΟΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η έκδοση που έχετε στα χέρια σας είναι μια προσπάθεια να γίνει πιο κατανοητό το κεφάλαιο των ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (Διαφορικός Λογισμός) Περιέχονται: Eπισημάνσεις στη θεωρία και ταυτόχρονη εφαρμογή τους στις

Διαβάστε περισσότερα

### ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 212-213 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει

Διαβάστε περισσότερα

### !"#\$ % &# &%#'()(! \$ * +

,!"#\$ % &# &%#'()(! \$ * + ,!"#\$ % &# &%#'()(! \$ * + 6 7 57 : - - / :!", # \$ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # \$ %, ) #, '(#,!# \$\$,',#-, 4 "- /,#-," -\$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

### - pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

### Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α

Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α α 3y β 5 (1) Αν το (Σ) : 3 αy 5β τους α,β έχει λύση την (, y) = (1, ) να βρείτε () Να λυθούν τα συστήματα : y 4 3 y 5 6 5 6

Διαβάστε περισσότερα

### Požiadavky k štátnej skúške pre magisterský študijný program

z predmetu: Matematická analýza 1. Číselné postupnosti a ich základné vlastnosti. 2. Funkcia jednej reálnej premennej, základné vlastnosti funkcií. 3. Derivácia funkcie jednej reálnej premennej, jej vlastnosti

Διαβάστε περισσότερα

### 1 Počítame s kalkulačkou aj bez nej. 2 Percentá, pomer, mierka, kurzy. 3 Číselné sústavy. 4 Mocniny a vedecký zápis čísel.

Obsah 1 Počítame s kalkulačkou aj bez nej Počítame s kalkulačkou Zátvorky a poradie operácií Počítame spamäti a premieňame jednotky Zaokrúhľujeme Odhadujeme 2 Percentá, pomer, mierka, kurzy Percentá, promile

Διαβάστε περισσότερα

### ΑΠΟΝΤΑ (0) ΣΠΑΝΙΑ (1) ΗΠΙΑ (2) ΜΕΤΡΙΑ (3) ΜΕΤΡΙΩΣ ΣΟΒΑΡΑ(4) μία φορά την εβδομάδα. Λιγότερο από μία φορά τον μήνα

Παράρτημα 1: Βαθμολόγηση κριτηρίων με σειρά σχετικότητας (I) ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ (II) ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ (III) ΒΑΡΥΤΗΤΑ (IV) ΥΠΟΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΕΠΙΒΑΡΥΝΣΗ (V) ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΜΕ ΑΥΞΑΝΟΜΕΝΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΕΡΓΑΛΕΙΟ ΠΡΟ ΙΑΘΕΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΧΙΖΟΦΡΕΝΕΙΑ,

Διαβάστε περισσότερα

### 1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then x 2 + y 2 Solution : Take y /x = k y = k x dy/dx = k dy/dx = y / x Answer : 2] y / x

Διαβάστε περισσότερα

### Κεφάλαιο ΙV : Εργαστηριακές ασκήσεις που αφορούν πίνακες και µεθόδους στη Java.

Κεφάλαιο ΙV : Εργαστηριακές ασκήσεις που αφορούν πίνακες και µεθόδους στη Java. Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται εργαστηριακές ασκήσεις οι οποίες αφορούν την χρήση πινάκων και την δηµιουργία και χρήση

Διαβάστε περισσότερα

### Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Obchodná akadémia Rimavská Sobota MATEMATIKA Vyučujúca Konzultantka RNDr. Radoslava Paulenková Mgr. Lujza Zelezníková Ciele projektu využívanie moderných netradičných vyučovacích metód - zdokonaľovanie

Διαβάστε περισσότερα

### Óõíåéñìüò ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. 2NH + 3Cl N + 6HCl. 3 (g) 2 (g) 2 (g) (g) 2A + B Γ + 3. (g) (g) (g) (g) ποια από τις παρακάτω εκφράσεις είναι λανθασµένη;

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ ο ΧΗΜΕΙΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις..4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

) * +, -. + / - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 : ; < 8 = 8 9 >? @ A 4 5 6 7 8 9 6 ; = B? @ : C B B D 9 E : F 9 C 6 < G 8 B A F A > < C 6 < B H 8 9 I 8 9 E ) * +, -. + / J - 0 1 2 3 J K 3 L M N L O / 1 L 3 O 2,

Διαβάστε περισσότερα

### Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.08.: Επίπεδα Εμβαδά Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤHN. Δρ. Α. ΤΖΑΝΗ

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΗΠΙΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤHN ΕΡΕΥΝΑ ΓΕΩΘΕΡΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟ Δρ. Α. ΤΖΑΝΗ ΕΠΙΚΟΥΡΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ 1 ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΓΕΩΘΕΡΜΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

### Χημεία Β Λυκείου Γενικής Παιδείας: Διαγώνισμα 1. Θέματα

Χημεία Β Λυκείου Γενικής Παιδείας: Διαγώνισμα 1 Θέματα Θέμα 1 ο 1. Ποιες από τις παρακάτω ενώσεις είναι ακόρεστες και ποιες κορεσμένες; C O HO C 1... 5. 5 μονάδες. Σε ποια ομόλογη σειρά ανήκει καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

### Η ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΑ ΤΗΣ ΤΟΜΑΤΑΣ ΣΤΟ ΘΕΡΜΟΚΗΠΙΟ

Η ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΑ ΤΗΣ ΤΟΜΑΤΑΣ ΣΤΟ ΘΕΡΜΟΚΗΠΙΟ ΤΟΜΑΤΑ-ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ετήσιο λαχανικό πολύ δημοφιλές Τρίτη θέση σε διεθνή κλίμακα μετά από πατάτα και γλυκοπατάτα Δεύτερη θέση στην Ελλάδα μετά από πατάτα Ο καρπός καταναλώνεται

Διαβάστε περισσότερα

### Το Ευρωπαϊκό Πρόγραμμα Motor Challenge

ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Γενική Διεύθυνση Ενέργειας και Μεταφορών Προώθηση των Ανανεώσιμων Πηγών Ενέργειας & Απαιτούμενη Διαχείριση Το Ευρωπαϊκό Πρόγραμμα Motor Challenge Ενότητα Ηλεκτρικής Κατανάλωσης Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

### β) ψ τάξης ως προς Β,

3.3 Νο μος ταχυ τητας - Μηχανισμο ς αντι δρασης αντιδράσεις ονοµάζονται απλές ή στοιχειώδεις; αντιδράσεις ονοµάζονται πολύπλοκες; Τι ονοµάζεται νόµος ταχύτητας µιας χηµικής Πως προσδιορίζεται ο νόµος της

Διαβάστε περισσότερα

### Metódy numerickej matematiky I

Úvodná prednáška Metódy numerickej matematiky I Prednášky: Doc. Mgr. Jozef Kristek, PhD. F1-207 Úvodná prednáška OBSAH 1. Úvod, sylabus, priebeh, hodnotenie 2. Zdroje a typy chýb 3. Definície chýb 4. Zaokrúhľovanie,

Διαβάστε περισσότερα

### Χαρακτηρισµός Κυκλώµατος και Εκτίµηση Απόδοσης 2. Χαρακτηρισµός Κυκλώµατος

4 η Θεµατική Ενότητα : Χαρακτηρισµός Κυκλώµατος και Εκτίµηση Απόδοσης Επιµέλεια διαφανειών:. Μπακάλης Εισαγωγή Μια δοµή MOS προκύπτει από την υπέρθεση ενός αριθµού στρώσεων από µονωτικά και αγώγιµα υλικά

Διαβάστε περισσότερα

### Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου

Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου u Μετατροπή Αναλογικού Σήµατος σε Ψηφιακό (A/D Conversion) Ο µετασχηµατισµός Ζ u Μαθηµατική Ανάλυση της Διαδικασίας A/D Μετατροπή Ψηφιακού Σήµατος

Διαβάστε περισσότερα

### MATHEMATICS. 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81

1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81 We know that KA = A If A is n th Order 3AB =3 3 A. B = 27 1 3 = 81 3 2. If A= 2 1 0 0 2 1 then

Διαβάστε περισσότερα

### Ministerstvo školstva Slovenskej republiky. Učebné osnovy MATEMATIKA. pre 5. až 9. ročník základnej školy

Ministerstvo školstva Slovenskej republiky Učebné osnovy MATEMATIKA pre 5. až 9. ročník základnej školy Inováciu učebných osnov koordinoval: PhDr. L. Bálint, CSc. Schválilo Ministerstvo školstva Slovenskej

Διαβάστε περισσότερα

### Μεταβολισμός Βασικές Έννοιες

Μεταβολισμός Βασικές Έννοιες Αντικείμενο 1) το κύτταρο αντλεί ενέργεια (αναγωγική ισχύ) από το περιβάλλον του; 2) το κύτταρο συνθέτει τις δομικές μονάδες και τα μακρομόρια Περισσότερες από χίλιες αντιδράσεις

Διαβάστε περισσότερα

### Analýza a návrh algoritmov z matematiky

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Ing. Michal ompan Analýza a návrh algoritmov z matematiky Osvedčená pedagogická skúsenosť edukačnej praxe Banská

Διαβάστε περισσότερα

### Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mthemtic.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mthemtic.gr. Μετατροπές

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Δευτέρα 9 Ιανουαρίου 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Δευτέρα 9 Ιανουαρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Τρίτη 4 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

### 15/01/2015 Αναλυτικό Πρόγραµµα Σπουδών 09:07:38

Εξάµηνο : 1 44 ΑΓΓΛΙΚΑ I 160 ΓΕΝ. ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ Εργ.:ΓΕΝΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ 3010 ΓΕΝΙΚΗ ΒΟΤΑΝΙΚΗ Ι Εργ.:ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑΣ ΦΥΤΩΝ 3030 ΓΕΝΙΚΗ ΓΕΩΡΓΙΚΗ ΖΩΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΕΝΤΟΜΟΛΟΓΙΑ Εργ.:ΓΕΩΡΓΙΚΗΣ ΖΩΟΛΟΓΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

### (P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

### 2/4/2015. Διακίνηση νερού και θρεπτικών ουσιών στο φυτικό κύτταρο. Μεταφορά ουσιών παθητική ενεργητική

Δηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Τµήµα Αγροτικής Ανάπτυξης Δοµή της µεµβράνης (µοντέλο του ρευστού µωσαϊκού) ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΑ ΦΥΤΩΝ «Πρόσληψη και µεταφορά του νερού στα φυτά» Ορεστιάδα 2015 Ο ρόλος του νερού

Διαβάστε περισσότερα

### Διαγώνισμα Χημείας Α Λυκείου

1 Διαγώνισμα Χημείας Α Λυκείου 2 ο Κεφάλαιο... Θέμα 1 ο... 1.1. Να συμπληρωθούν τα κενά... Η εξωτερική στιβάδα ενός ατόμου δε μπορεί να περιέχει περισσότερα από... ηλεκτρόνια. Ειδικότερα αν αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

### Mixed Distributions = + k k. = n. k k k. ρ k Χ Χ ] e [ ] Χ i

p d d Mxd Dstrbutos ρν ( ( ρ Ν( ρ ( ρ ρ ρ ( L ( ρ [ ρ ( ( ρ ( ]! " # \$&% ' * - 3 4&5 6 7 8 9: ;A@CB < DFE G IKJLNM OFP QRS TU V S WTNX ρ Y[Z!\LZ!]^]`_ ab!c L! d!! ρ ( ρ Ρ( ρ ρ gh Cḧ l l ρ log L ρ log!

Διαβάστε περισσότερα

### 3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx.

3 }t! t : () (f + g) f + g, (f g) f g (f g) f g + fg, ( f g ) f g fg g () [f(g(x))] f (g(x)) g (x) [f(g(h(x)))] f (g(h(x))) g (h(x)) h (x) (3) d vn n dv nv (4) dy dy, w v u x íªƒb N úb5} : () (e x ) e

Διαβάστε περισσότερα

### ΘΕΜΑ Α Α1. i Α2. i Α3. ii Α4. iv Α5. iii Α6. iii Α7. i) Η πρόταση είναι σωστή

ΘΕΜΑ Α Α. i Α. i Α3. ii Α4. iv Α5. iii Α6. iii Α7. i) Η πρόταση είναι σωστή Όταν προστεθεί στο διάλυμα HF το διάλυμα ΝαΝΟ3 έχουμε αραίωση επειδή τα ιόντα που προέρχονται από τη διάσταση του άλατος δεν

Διαβάστε περισσότερα

### Modul pružnosti betónu

f cm tan α = E cm 0,4f cm ε cl E = σ ε ε cul Modul pružnosti betónu α Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Modul pružnosti betónu Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Trnava 2008 Obsah 1 Úvod...7 2 Deformácie

Διαβάστε περισσότερα

### Η ιεύρυνση του Περιθωρίου Απόδοσης του 10ετούς Ελληνικού Κυβερνητικού Ομολόγου εν μέσω της ιεθνούς Χρηματοπιστωτικής Κρίσης.

Τόμος IV, Τεύχος 3, Απρίλιος 2009 ιεύθυνση Οικονομικών Μελετών & Προβλέψεων Βένη Αρακελιάν,Ph.D. Research Economist varakelian@eurobank.gr Η ιεύρυνση του Περιθωρίου Απόδοσης του 10ετούς Ελληνικού Κυβερνητικού

Διαβάστε περισσότερα

### 2742/ 207/ /07.10.1999 «&»

2742/ 207/ /07.10.1999 «&» 1,,,. 2 1. :.,,,..,..,,. 2., :.,....,, ,,..,,..,,,,,..,,,,,..,,,,,,..,,......,,. 3., 1. ' 3 1.., : 1. T,, 2., 3. 2 4. 5. 6. 7. 8. 9..,,,,,,,,, 1 14. 2190/1994 ( 28 ),,..,, 4.,,,,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Σημειώσεις Σταύρος Τουμπής ΟΠΑ, 24 i Οδηγίες Χρήσης Το παρόν ΔΕΝ είναι διδακτικό βιβλίο. Είναι οι σημειώσεις του μαθήματος «Μαθηματικά Ι», όπως το διδάσκω στο πρώτο εξάμηνο του Τμήματος Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

### . Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα Βασίλειος Δαλάκας & Παναγιώτης Ριζομυλιώτης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σήματα και Συστήματα 1/16 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της

Διαβάστε περισσότερα

### ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του ΠΑΠΑΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΥ ΧΡΗΣΤΟΥ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Δρ.ΙΟΡΔΑΝΙΔΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

### ΙΑΧΕΙΡΙΣΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ & ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ

ΙΑΧΕΙΡΙΣΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ & ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΘΗΝΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2004 Part1_8_ΧΩΡΙΣ_ΚΙΤΡΙΝΑ.doc 22-12

Διαβάστε περισσότερα

### Προβλήματα Ποιότητας Ισχύος. Αρμονικές Αρμονική Ποιότητα Ισχύος Αρμονική παραμόρφωση ημιτονοειδών κυματομορφών

Προβλήματα Ποιότητας Ισχύος Αρμονικές Αρμονική Ποιότητα Ισχύος Αρμονική παραμόρφωση ημιτονοειδών κυματομορφών 2η ενότητα : Αρμονικές 1 Αρμονικές Μετασχηματισμός Fourier 2η ενότητα : Αρμονικές 2 Αρμονικές

Διαβάστε περισσότερα

### Δελτίο δεδομένων ασφαλείας σύμφωνα με το 1907/2006/EK, Άρθρο 31

Σελίδα: 1/11 * ΤΜΗΜΑ 1: Στοιχεία ουσίας/παρασκευάσματος και εταιρείας/επιχείρησης 1.1 Αναγνωριστικός κωδικός προϊόντος Αριθμός προϊόντος: 456 1.2 Συναφείς προσδιοριζόμενες χρήσεις της ουσίας ή του μείγματος

Διαβάστε περισσότερα

### ΧΗΜΕΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ii. Στις βάσεις κατά Arrhenius, η συμπεριφορά τους περιορίζεται μόνο στο διαλύτη H 2 O.

ΧΗΜΕΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1 γ Α2 β Α3 δ Α4 β Α5. α. i. Βάσεις κατά Arrhenius είναι οι ενώσεις που όταν διαλυθούν στο H 2 O δίνουν OH ενώ κατά Bronsted Lowry είναι οι ουσίες που μπορούν να δεχτούν ένα

Διαβάστε περισσότερα