Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Transcript

1 Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami (nerovnicami). Napríklad: tg x + sin x cos x = 1/ tg x + sin x cos x 1/ Základnú goniometrickú rovnicu s neznámou x nazývame rovnicou typu g(x)=k, kde g je goniometrická funkcia a k R. Napríklad: tg x = Nakoľko goniometrické funkcie sú periodické, má každá základná goniometrická rovnica buď nekonečne mnoho riešení (v prípade: riešte v R) alebo riešením je prázdna množina. Na obmedzenom intervale má každá základná goniometrická rovnica konečný počet riešení, alebo riešením je prázdna množina. Základné goniometrické rovnice Riešenie základných goniometrických rovníc je možné určiť priamo z grafov goniometrických funkcií alebo z jednotkovej kružnice a z tabuľkových hodnôt. Príklad 1: Riešte v R: sin x = 1 Riešenie pomocou grafu funkcie sínus: Riešenie pomocou jednotkovej kružnice: Z oboch zobrazení vyplýva, že x = π/ + k.π, nakoľko funkcia y = sin x je periodická s periódou π. Formy zápisu množiny riešení: 1

2 Príklad : Riešte v R: cos x Riešenie pomocou grafu funkcie kosínus: Riešenie pomocou jednotkovej kružnice: Z oboch zobrazení vyplýva, že x = π/ + k.π, t.j. Príklad : Riešte v R: sin x = 1/ a výsledok zapíšte aj v stupňovej miere. Riešenie pomocou grafu funkcie sínus:

3 Riešenie pomocou jednotkovej kružnice: Z oboch zobrazení vyplýva, že pre x 0; π/ je riešením x 1 = π/6 0 a pre x π/; π je riešením x = 5π/ Nakoľko funkcia kosínus je periodická s periódou π, obecné riešenie je možné zapísať ako a výsledok v stupňovej miere je. Príklad : Riešte v R: cos x,8 Riešenie pomocou grafu funkcie kosínus: Riešenie pomocou jednotkovej kružnice: Použitím kalkulačky alebo MAT tabuliek dostávame riešenie: x,6 + k.π a x = 5,6 + k.π, kde k Z alebo x = k.60 a x = 8 + k.60, kde Z Výsledné riešenie zapíšeme v tvare:

4 Úlohy Riešte v R: sin x = 1 cos x = tg x = cotg x = 1 e) Riešte rovnicu s neznámou x a výsledok zapíšte v stupňovej miere s presnosťou na minúty: cos x,75 f) Riešte rovnicu s neznámou x na intervale 0; π a výsledok zapíšte v oblúkovej miere s presnosťou na dve desatinné miesta: sin x,875 Zložitejšie goniometrické rovnice - riešené substitúciou na základný typ. Príklad 1: 1 Riešte v R: sin x = 1 Zavedením substitúcie y = x dostaneme rovnicu sin y = Riešenie pomocou grafu funkcie sínus: Riešenie pomocou jednotkovej kružnice: Z oboch zobrazení vyplýva, že pre x 0; π je riešením y 1 = 7π/6 10 a y = 11π/6 0. Využitím periodičnosti funkcie sínus dostávame riešenia: y 1 = 7π/6 + k.π a y = 11π/6 + k.π, k Z

5 Dosadením získaných výsledkov do substitučnej rovnice y = x dostávame: x 1 = 7π/6 + k.π x = 11π/6 + k.π x 1 = 7π/1 + k. π a x = 11π/1 + k. π, k Z Výsledné riešenie môžme zapísať v tvare:. Príklad : Riešte v R: tg (x ) = 1 Platí podmienka pre funkciu y = tg x: x π/ + k.π x (k + 1).π/, k Z Zavedením substitúcie y = x dostaneme rovnicu tg y = 1. Riešenie pomocou grafu funkcie tangens: Riešenie pomocou jednotkovej kružnice: Z oboch zobrazení a periodičnosti funkcie tangens vyplýva, že y = π/ + k. π, k Z Vrátime sa späť k substitúcii a postupnou úpravou dostávame: Dosadením získaných výsledkov do substitučnej rovnice y = x dostávame: x = π/ + k. π x = / + π/16 + k.π/, k Z Výsledok zapíšeme v tvare: 5

6 Úlohy Riešte v R: cos x = 1.cos (π + x) = 1.cos (x + π/) sin (x π/) = / e) tg ( x + 1) = 1/ - riešené substitúciou na kvadratickú rovnicu. Pri tomto type úloh často využívame vzorce pre goniometrické funkcie. Príklad 1: Riešte v R:.cos x cos x 1 Zavedením substitúcie cos x = t dostaneme.t t 1, riešením ktorej získame: t 1 = 1 a t = 1/. Riešenie pomocou grafu funkcie kosínus: Riešenie pomocou jednotkovej kružnice: Dosadením získaných výsledkov do substitučnej rovnice cos x = t dostávame: cos x 1 = 1 t.j. x 1 + k.π a cos x = 1/ t.j. x,1 = π/ + k.π x, = π/ + k.π, k Z Riešenie zapíšeme v tvare: 6

7 Príklad : Riešte v R:.cos x =.sin x Najskôr aplikáciou vzorca sin x + cos x = 1 upravíme rovnicu tak, aby obsahovala len jeden typ goniometrickej funkcie: (1 sin x).sin x....sin x +.sin x + 1 Zavedením substitúcie sin x = t dostaneme.t +.t + 1, riešením ktorej získame: t 1 = 1 a t = 1/. Riešenie pomocou grafu funkcie kosínus: Riešenie pomocou jednotkovej kružnice: Dosadením získaných výsledkov do substitučnej rovnice sin x = t dostávame: sin x 1 = 1 t.j. x 1 = π/ + k.π a sin x = 1/ t.j. x,1 = 7π/6 + k.π x, = 11π/6 + k.π, k Z Riešenie zapíšeme v tvare: Príklad : Riešte v R: tg x +.cotg x = Najskôr aplikáciou vzorca tg x. cotg x = 1 upravíme rovnicu tak, aby obsahovala len jeden typ goniometrickej funkcie: tg x +.1/tg x =... tg x.tg x + Zavedením substitúcie tg x = t dostaneme t.t +, riešením ktorej získame: t 1 = 1 a t =. 7

8 Dosadením získaných výsledkov do substitučnej rovnice tg x = t dostávame: tg x = 1 tg x = ± 1 a tg x = tg x = ± tg x 1 = ±1 t.j. x 1 = π/ + k.π/ a tg x = t.j. x = π/ + k.π a tg x = t.j. x = π/ + k.π, k Z Riešenie zapíšeme v tvare: Riešte v R: Úlohy.sin x +.cos x.sin x cos x.sin x + 1.sin x + sin x 1 tg x + cotg x = e).sin x. tg x +.cos x 5 - obsahujúce dvojnásobný argument. Príklad 1: Riešte v R: cos x + sin x Najskôr aplikáciou vzorca sin x =.sin x. cos x upravíme rovnicu tak, aby obsahovala goniometrické funkcie len s jednoduchým argumentom: cos x +.sin x. cos x... cos x.(1 +.sin x) Po úprave rovnice na súčinový tvar platí: cos x.(1 +.sin x) cos x 1 +.sin x Pre cos x dostávame: 8

9 Z grafu a z tabuľkových hodnôt funkcie kosínus plynie, že x 1 = π/ + k.π, k Z Pre 1 +.sin x... sin x = 1/ dostávame: Z grafu a z tabuľkových hodnôt funkcie kosínus plynie, že x = 7π/6 + k.π a x = 11π/6 + k.π, k Z Riešenie zapíšeme v tvare: Úlohy Riešte v R: sin x + sin x 1 = cos x cos x sin x cos x = cos x (1 + cos x).sin x =.cos x e) 1 cos x = sin x. sin x 9

10 Základné goniometrické nerovnice Riešenie základných goniometrických nerovníc je viditeľné priamo z grafov goniometrických funkcií. Príklad 1: Riešte v R: cos x > 1/ Riešenie pomocou grafu funkcie kosínus: Časť grafu znázornená červenou farbou odpovedá riešeniu danej goniometrickej nerovnice. Využitím periodičnosti funkcie kosínus dostávame výsledné riešenie, ktoré zapíšeme v tvare Riešenie pomocou jednotkovej kružnice: Z jednotkovej kružnice je vidieť, že daná goniometrická nerovnica nadobúda riešenie v prvom a vo štvrtom kvadrante. Časť jednotkovej kružnice znázornená červenou farbou určuje riešenie danej goniometrickej nerovnice. Výsledné riešenie môžme zapísať v tvare. využívame podobne ako pri goniometrických rovniciach periodičnosť funkcie kosínus, t.j. platí, Príklad : Riešte v R: tg x /. Aby výrazy v nerovnici boli definované, musí platiť podmienka x (k + 1).π/, k Z. 10

11 Z jednotkovej kružnice je vidieť, že riešením je množina, pričom platí, že v bode π/ funkcia tangens nie je definovaná, preto použijeme okrúhlu zátvorku, naopak bod π/6 patrí do riešenia, plynie zo zadania, preto použijeme uhlovú zátvorku. Príklad : Riešte v R: 0 cotg x Aby výrazy v nerovnici boli definované, musí platiť podmienka x (k + 1).π/, k Z. Využitím grafu a periodičnosti funkcie kotangens dostávame výsledok, ktorý zapíšeme v tvare. Úlohy Riešte v R: sin x /..cos x cotg x < 1..tg x 0 e) cos x < cos π/ 11

12 ÚLOHY súhrn 1. Riešte v R: sin x = 1 cos x = 1 e) sin x = tgx = f ) cos x = cot gx =. Riešenie nasledujúcich rovníc vyjadrite v stupňovej miere: 1 sin x = cos x = tgx = 1. Riešte v R: cosx + 1.cosx 1. = 1 cosx π sinx = sinπ cos 5.sin x + = 1 10.sin x cosx cos π = sin π + cos π. Riešte rovnice v intervale 0, 60 použitím kalkulačky alebo tabuliek. (Výsledky zapíšte v stupňovej miere s presnosťou na minúty). cos x,5 tgx = 5. cot gx = π 5. Riešte v R: e) g) sin x = 1 π sin x = tg ( x ) sin = 1 π cot g x = 6 ( 1 x) h).cos( π + x) = 1 f ) cos10x = 5 cos x + π = Riešte v R:.cos x cos x 1.sin x + cos x e).sin x +. cos x g) 1.sin x + sin x 1 i) sin x cos x = 1 k) tgx + cot gx f ) h).sin.cos sin 8.cos x.sin x = x =.sin x x cos x 10.cos. j) tg x tgx l) tg x +.cot g x ( 1+.sin x) x +.sin x x + 7. Riešte v R:.sin.cos 5x +.cos 5x 8x =.sin 8x 1 x x.sin +.cos. tg x + 1 =. tg x

13 8. Riešte v R: e) g) i) e) g) i).sin.cos x sin x.cos x = cos x x =.sin x.cos x tgx =.sin x.cos x =.cot g x f ).cot g x +.cot g x cot gx 1 5.sin x +.cos x 10.sin x.cos x = h).cos x + =.cos x +.cos x.sin x + tgx +.cos x + 1 j).cos x cot gx.sin x Riešte v R: sin x + sin x sin x sin x +.cos x 1 sin x = sin x.cos ( cos x sin x) ( sin x + cos x) x,15 f ) cos x + sin x.cos x = 1 ( 1+ cos x).sin x =.cos x j) sin x cos x = cos x 0,5.sin x = sin = 1 h) 1 = cos x sin x x + cos x 10. Riešte v R: sin x = sin x tgx sin 6x sin 6x.cos x cos x = cos x 1