Oddelek za fiziko. Seminar - 4. letnik. Viskoznost vakuuma. Avtor: Rok Hribar. Mentor: prof. dr. Rudi Podgornik. Ljubljana, 16. marec 2011.

Transcript

1 Oddelek za fiziko Seminar - 4. letnik Viskoznost vakuuma Avtor: Rok Hribar Mentor: prof. dr. Rudi Podgornik Ljubljana, 16. marec 2011 Povzetek Casimirjeva sila je sila, ki deluje na nevtralne objekte in je posledica fluktuacij v elektromagnetnem polju. V tem seminarju predstavimo primere, v katerih casimirjeva sila deluje disipativno kot trenje in zaradi linearne odvisnosti sile od hitrosti, lahko definiramo viskoznost praznega prostora, v katerem imamo zgolj vakuumske fluktuacije v elektromagnetnem polju. Obravnavamo primer s končno temperaturo ter podamo silo upora na majhen delec, ko se ta premika skozi sevanje črnega telesa in diskutiramo o pomembnosti tega rezultata v kozmologiji. Če to silo priredimo še za supertekočine, lahko pokažemo, da je tudi supertekočina viskozna. 1

2 Kazalo 1 Uvod 3 2 Casimirjev pojav 3 3 Disipativna komponenta Casimirjeve sile 6 4 Disipativna Casimirjeva sila na delec pri končni temperaturi 8 5 Disipativna Casimirjeva sila v kozmologiji 11 6 Drugi sistemi s fluktuacijami Trenje v superfluidni tekočini

3 1 Uvod Viskoznost je fizikalna količina, ki podaja odziv tekočine na strižno deformacijo. Razlog za viskoznost je prenos gibalne količine med plastmi medija z različno hitrostjo. Mehanizem, ki omogoča prenos gibalne količine med plastmi je pri plinih kar Brownovo gibanje, kar pomeni, da si različne plasti izmenjujejo delce z različnimi hitrostmi, posledica česar je strižna napetost. V tem seminarju bomo predstavili mehanizem izmenjevanja gibalne količine zaradi prenosa fotonov, ki so lahko tudi rezultat vakuumskih fluktuacij. To pomeni, da objekti čutijo neke vrste viskozno silo, čeprav jih obkroža zgolj kvantni vakuum. 2 Casimirjev pojav Casimirjev pojav je fizikalni pojav, ki ga je leta 1948 napovedal nizozemski fizik Hendrik Brugt Gerhard Casimir, zaposlen v Philipsovih raziskovalnih laboratorijih. Predvidel je, da se bosta dve vzporedni nevtralni popolnoma prevodni plošči privlačili zaradi kvantnih fluktuacij v EM polju. Slika 1: Casimirjeva sila na vzporedni plošči. 3

4 V praznem prostoru se jakost električnega polja E ter jakost magnetnega polja H pokoravata enačbam 2 E(r) + ω 2 E(r) = 0 E(r) = 0 2 H(r) + ω 2 H(r) = 0 H(r) = 0 (1) in so možne vse frekvence, vendar znotraj plošč, zaradi robnih pogojev, niso možna več vsa valovanja. Znotraj plošč so možne frekvence l2 π ω lmn (D) = c 2 L + m2 π 2 + n2 π 2 2 L 2 D, (2) 2 kjer smo se omejili na kvadratno površino plošče velikosti L 2 in D je razdalja med ploščama. Zaradi kvantnih fluktuacij, ki jih omogoča Heisenbergovo načelo nedoločnosti, lahko med ploščama zaznamo polje, vendar zgolj polje s frekvencami, ki jih določa enačba (2). Skupna energija fluktuacij EM polja med ploščami bi tako bila E(D) = 2 l,m,n hω lmn (D). (3) 2 Zaradi prispevka dveh možnih polarizacij imamo predfaktor 2. Hitro vidimo, da zgornja vsota divergira, zato se moramo poslužiti nekaj trikov in s pomočjo regularizatorja lahko zgornjo vsoto preobrazimo v konvergentno. Dobimo iz česar direktno sledi sila med ploščama E(D) = π2 hc 720D 3 L2, (4) F (D) = E(D) D = hcπ2 240D 4 L2. (5) Torej je tlak med ploščama p = hcπ2 negativen in obratno sorazmeren s 240D 4 četrto potenco razmika med ploščama. Dobili smo privlačno silo med popolnoma prevodnima ploščama, ki je rezultat kvantnih fluktuacij v EM polju. Če želimo izračunati silo med dvema dielektrikoma, pa stvari niso tako enostavne, saj se plošča pri različnih frekvencah različno odzove na zunanje polje in so robni pogoji zaradi tega bolj komplicirani. 4

5 Slika 2: Casimirjevi robni pogoji za idealen prevodnik ali hard boundary (levo) in Lifšic-ovi robni pogoji za realni dielektrik ali soft boundary (desno). Teorijo za silo med dielektrikoma, je prvi postavil Lifšic, ki je upošteval, da je sistem pri neki temperaturi T in da je dielektričnost plošč frekvenčno odvisna. Silo med ploščama najlažje izračunamo s pomočjo napetostnega tenzorja elektromagnetnega polja p ij = ε 0 E i E j ε 0 E 2 δ ij /2 + B i B j /µ 0 B 2 δ ij /2µ 0 oz. v našem primeru s p zz, ker računamo z-komponento sile na ravnino z normalo v smeri z. Naša sila izvira iz fluktuacij v polju med ploščama, zato moramo dobiti termalno povprečje zz-komponente napetostnega tenzorja. Torej ob robnih pogojih p zz = ε 0 E 2 z ε 0 E 2 /2 + B 2 z /µ 0 B 2 /2µ 0 (6) B 1n = B 2n D 1n = D 2n (7) E 1t = E 2t H 1t = H 1t ter s konstitutivnima relacijama D = ε(ω)ε 0 E (8) B = µ(ω)µ 0 H lahko s pomočjo fluktuacijsko-disipacijskega izreka izračunamo člene iz enačbe (6) za sistem pri temperaturi T. 5

6 Lifšicov končni rezultat je p zz (D) = k BT πc 3 n=0 ω 3 n [ (s1 + pε 1 )(s 2 + pε 2 ) + (s 1 pε 1 )(s 2 pε 2 ) e 1 { [(s1 1 p 2 + p)(s 2 + p) 2pωnD (s 1 p)(s 2 p) e c 1] + ] } 1 2pωnD c 1 dp, (9) kjer so s i = ε i 1 + p 2, ω n = 2πnk BT, ε h i = ε i (iω n ) = π in p zz (D) termično povprečje zz komponente napetostnega tenzorja EM 0 ζi(ε(ζ))dζ ω 2 +ζ 2 polja in ga lahko interpretiramo kot tlak med ploščama. Izkaže se, da je vpliv temperature v večini primerov nepomemben. V limiti, ko je razdalja med ploščama zelo velika in če računamo za idealni prevodnik (ε(0) ) dobimo znan rezultat p zz (D ) = π2 hc 240D 4. (10) To pomeni, da je Lifšicov rezultat posplošitev Casimirjevega. 3 Disipativna komponenta Casimirjeve sile Do sedaj smo računali za mirujoči plošči razmaknjeni za D. Kaj pa če se plošči premikata ena glede na drugo z neko hitrostjo v? Slika 3: Premikajoči si plošči. Plošča, ki se premika ne čuti več enakega polja kot prej in se robni pogoji 6

7 za njo spremenijo zaradi Lorentzovega potiska. B = γ(b (v B)/c 2 ) B = B E = γ(e + (v B)) E = E (11) Zaradi tega, ker se ena plošča drugače odzove na enake fluktuacije v EM polju, dobimo tudi druge komponente napetostnega tenzorja od nič različne. Zanimajo nas komponente xz, yz ter zz, vendar je komponenta yz zaradi zrcalne simetrije enaka nič. Sistem lahko obravnavamo tako, da predpostavimo, da na prvi plošči nastane EM valovanje z neko frekvenco, ki doseže drugo ploščo. Druga (premikajoča se) plošča čuti to polje v svojem mirovnem sistemu (11) in se nanj odzove glede na svojo dielektričo funkcijo ε 2 (ω). Pogostost eksitacij EM valovanj s frekvenco ω na prvi plošči pri T = 0 lahko določimo iz imaginarne komponente koeficienta odbojnosti prve plošče, ki je odvisen od dielektrične funkcije ε 1 (ω). To pomeni, da lahko sedaj, ko lahko določimo polje med ploščama, izračunamo napetostni tenzor EM polja p ij in s tem določimo silo na ploščo[4] F x = hl2 4π 3 dk x dk y e 2kD I [ ] ε(kx v ω) 1 I ε(k x v ω) + 1 [ ] ε(ω) 1 dω, ε(ω) + 1 (12) kjer smo predpostaavili enak ε(ω) za obe plošči. Zgoraj je L 2 površina na katero sila deluje. V primeru plošč s konstantno dielektričnostjo ε dobimo F x = [ I ε 1 ] 2 3 hv ε π 3 D, (13) 4 kar spominja na Stokes-ovo formulo F = ηsv/d in to pomeni, da lahko ob fiksiranih pogojih definiramo viskoznost vakuuma η. Viskoznost je v narekovajih, ker je odvisna od razmika med ploščami in od dielektričnih funkcij plošč, vendar smo kljub vsemu pokazali, da se lahko vakuumske fluktuacije obnašajo kot viskozna tekočina z zelo nizko viskoznostjo. Ker je ta sila direktna posledica disipacije energije polja v dielektriku lahko zaključimo, da se mora kinetična energija plošč zaradi te sile preobraziti v toploto znotraj dielektričnih plošč. 7

8 4 Disipativna Casimirjeva sila na delec pri konc ni temperaturi Poglejmo kako vplivajo fluktuacije EM polja na en sam delec. C e imamo en sam delec v vakuumu pri T = 0, potem delec ne more c utiti nobene sile zaradi fluktuacij v EM polju, saj v taks nem okolju sploh ne moremo definirati njegove hitrosti. V primeru pa da imamo neko od nic razlic no temperaturo, lahko rec emo, da se nas delec premika glede na fotonski plin (svetlobo c rnega telesa) pri temperaturi T. Torej pri od nic razlic ni temperaturi, ne moremo imeti vec popolnega vakuuma, ampak fotone oz. sevanje c rnega telesa pri neki temperaturi in sila potem izvira iz termic nih fluktuacij v EM polju fotonskega plina. Taka obravnava je tudi veliko bolj fizikalna, saj nas ponavadi ne zanimajo pogoji s T = 0. Imejmo majhen (dovolj majhen, da c uti fluktuacije polja homogeno po celem volumnu) nevtralen polarizabilen delec s susceptibilnostjo χ, ki se giblje glede na fotonski plin pri temperaturi T s hitrostjo v. Slika 4: Delec, ki se premika glede na fotonski plin. Odziv delca na neko zunaje polje doloc a njegova susceptibilnost χ. Z P(r, t) = ε0 χ(t t0 )E(r, t0 )dt0 (14) Dogovorimo se, da bomo v realnem prostoru uporabljali koordinate r in t ter v Fourier-jevem koordinate k in ω. Fourier-jevo transformacijo neke kolic ine ne bomo eksplicitno oznac evali ampak bo narava kolic ine razvidna z e od tega od katerih koordinat je odvisna. Z dk dω X(r, t) = X(k, ω)e ik r+iωt (15) (2π)4 8

9 Tako je zaradi izreka o konvoluciji P(k, ω) = ε 0 χ(ω)e(k, ω). (16) Poglejmo kakšna je sila na naš delec v nekem zunanjem brezizvirnem polju. Imamo ρ = P (definicija polarizacije) in j = P/ t, ki je posledica kontinuitetne enačbe za naboj j + ρ/ t = 0. F = (ρe(r, t) +j(r, t) B(r, t))dr }{{} (17) =0 P(r, t) = t ( = t B(r, t)dr (18) ) ( ) ik r+iωt dk dω P(k, ω)e B(k, ω )e ik r+iω t dk dω dr (2π) 4 (2π) 4 (19) S pomočjo enačbe (16), Faraday-evega zakona v Fourier-jevem prostoru B(k, ω) = 1 k E(k, ω) in vektorske identitete A (B C) = B (A C) C (A B) ω lahko zadnjo enačbo, če izvedemo še odvod po t, zapišemo kot d kdω dk dω F = iε 0 dr (2π) 4 (2π) 4 e i(k+k ) r+i(ω+ω )t χ(ω) ( ω ) ω k [E(k, ω)e(k, ω )] [k E(k, ω)]e(k, ω ), (20) kjer znak ne pomeni vektorskega ampak navadno množenje. Mi želimo v resnici izračunati termalno povprečje sile v sevanju črnega telesa medtem ko se delec v njem premika. To pomeni, če želimo F, potrebujemo korelatorje polja E i (k, ω)e j (k, ω ), saj so vse ostale količine v enačbi (20) na termalno povprečje neobčutljive ( a = a). Za izračun korelatorjev E i (k, ω)e j (k, ω ) si pomagamo s Fluktuacijsko- Disipacijskim izrekom. Dobimo kjer je E i E j k,ω = 2π2 h ε 0 k in E i (k, ω)e j (k, ω ) = (2π) 4 δ 3 (k + k )δ(ω + ω ) E i E j k,ω, (21) ( ω 2 c 2 δ ij k i k j n(ω, k) = ) [δ(ω/c k) δ(ω/c) + k)] (1 + 2n(ω, k)) (22) 1 e β h(ω k v) 1, (23) 9

10 kjer je β = (k B T ) 1 in k = k. Zgoraj je n(ω, k) Bose-jevo zasedbeno število za sevanje črnega telesa, kjer upoštevamo, da se naš sistem premika s hitrostjo v. Zapišimo χ = χ + iχ, kjer sta χ in χ realna in razvijemo n(ω, k) do prvega reda po hitrosti. Upoštevamo še, da je polje po vsem delcu homogeno in ob integraciji po r dobimo zgolj predfaktor V, ki je volumen delca. Po integraciji po ostalih spremenljivkah nam ostane zgolj F = v V h2 3πc 5 k B T 0 ω 5 χ (ω)dω ( ). (24) sinh 2 hω 2k B T Dobili smo silo na naš delec za majhne hitrosti in vidimo, da se v tej limiti fotonski plin pri temperaturi T obnaša kot viskozna tekočina in je sila odvisna od velikosti delca ter imaginarne komponente susceptibilnosti delca χ. Izkaže se, da bi višji redi po hitrosti to silo samo še zmanjšali, zato višjih redov niti ne bomo računali, saj nas ta sila zanima v območju kjer nekako vpliva na sistem in ne v območju, kjer je šibka. Gibanje, ki ga inducira takšna sila je v = v 0 exp( t/τ), kjer lahko parameter τ enostavno izrazimo 1 τ = ( h 2 3πρ M c 5 k B T ) ω 5 χ (ω)dω ( ), (25) 0 sinh 2 hω 2k B T kjer je ρ M = M/V in M masa delca. Poglejmo kolikšna je naša sila v primeru kovine, kjer je χ(ω) = σ/(iε 0 ω). To nam prinese ( 1 τ = h 2 ) ( ) ω 5 (σ/ε 0 ω)dω 16k 4 ( ) = B π 3 σt 4 3πρ M c 5 k B T 0 sinh 2 hω 45 h 3. (26) ε 0 c 5 ρ M 2k B T Torej je τ = C/T 4. V primeru majhnega kosa aluminija pri temperaturi 300K znaša karakteristični čas τ približno sedem dni, kar pomeni da je ta sila pri sobnih pogojih izjemno šibka, zaradi česar je eksperimentalno opazovanje tega efekta izjemno težavno in zaenkrat še nimamo eksperimentalne potrditve za obstoj takšne sile. 10

11 Slika 5: Logaritem relaksacijskega časa τ v letih v odvisnosti od temperature T v kelvinih. Zelena črta predstavlja kovino z ε 0 /σ Rdeča črta predstavlja dielektrik, o čemer bo še govora. 5 Disipativna Casimirjeva sila v kozmologiji Rezultati prejšnjega poglavja lahko resno spremenijo dosedanje razumevanje razvoja vesolja. V kozmologiji je do sedaj znano, da je, preden so se formirali prvi atomi, vesolje napolnjevala plazma protonov in elektronov, ki je bila sklopljena s svetlobo. Prosta pot fotonov je bila zelo majhna, ker so le-ti konstantno interagirali z nabitimi delci z mehanizmom Comptonovega sipanja. Ko se je pa vesolje zaradi širjenja dovolj ohladilo, so se začeli formirati prvi atomi in so zaradi svoje nevtralnosti prenehali interagirati s svetlobo. Takrat se je prosta pot fotonov drastično povečala in snov v vesolju je postala prozorna za svetlobo. Preostanek te svetlobe še danes opazimo kot mikrovalovno sevanje ozadja. Kozmologi pravijo, da se je takrat snov razklopila od sevanja. Izračuni v prejšnjem poglavju pa kažejo, da kljub temu, da so atomi nevtralni, še vedno čutijo šibko disipativno silo znotraj fotonskega plina zaradi fluktuacij v EM polju. To pomeni, da je bila snov še vedno šibko sklopljena s sevanjem, tudi po tem, ko so se formirali atomi. Ta sklopitev s sevanjem, bi lahko vplivala na strukturo in anizotropije opažene v sevanju ozadja. 11

12 Slika 6: Prikaz anizotropije temperature v sevanja ozadja. Po nastanku prvih atomov so vesolje v veliki večini napolnjevali vodikovi atomi, zato poglejmo, kako fluktuacije v elekromagnetnem polju vplivajo na njih. Za silo potrebujemo imaginarno komponento susceptibilnosti vodika. Poglejmo, kako se atom vodika odzove v nekem zunajem polju frekvence ω. Vodikov atom obravnavajmo klasično, kjer je položaj elektrona r ujet v minimumu potenciala, ki je v prvem približku kvadraten. Upoštevamo še silo odvisno od ṙ, ki je posledica disipativnih efektov. r + γ 0 ṙ + ω0r 2 = e E(t) (27) M Če enačbo (27) prepišemo v fourier-jev prostor dobimo r(ω) = e M E(ω) (ω 2 0 ω 2 ) iγ 0 ω. (28) Takšen odmik elektrona inducira električni dipol atoma p = er s čimer določimo polarizacijo in s tem susceptibilnost. Polarizacija P(ω) = χ(ω)e(ω) je gostota dipolnega momenta v snovi, torej imamo za en sam atom P = er/v. Če pomnožimo enačbo (28) z e/v lahko iz nje enostavno razberemo χ(ω) = e2 MV 1 (ω 2 0 ω 2 ) iγ 0 ω. (29) V realnosti bi morali upoštevati, da obstaja več resonanc ω i in se njihovi prispevki seštevajo. Če vzamemo samo imaginarni del susceptibilnosti imamo χ (ω) = i e 2 MV γ 0 ω (ω 2 i ω2 ) 2 + (γ 0 ω) 2. (30) 12

13 Če je koeficient γ 0 dovolj majhen in če se zaradi enostavnosti osredotočimo zgolj na eno frekvenco ω 0 lahko χ (ω) aproksimiramo kar s χ (ω) = χ 0 δ(ω/ω 0 1) in se izračun sile zelo poenostavi. S to susceptibilnostjo in z x = hω 0 2k B T dobimo ( 3πρM c 5 h 4 τ = 2 6 χ 0 (k B T ) 5 ) sinh 2 (x) x 6. (31) Ta rezultat je močno odvisen od absorbcijske frekvence ω 0, kot tudi od temperature. Slika 7: Logaritem relaksacijskega časa τ v letih v odvisnosti od logaritma frekvence ω 0 pri temperaturah T = 300K, T = 1000K in T = 3000K (zgornja, srednja in spodnja krivulja). Za ρ M in χ 0 1 smo vzeli podatke za vodo. Minimum poljubne krivulje je pri frekvenci ω 0 = 5, 9694 k B T/ h. Mnogi kozmologi so na te rezultate odgovorili, da gre pri tej sili najverjetneje za Rayleigh-jevo sipanje izpeljano na nenavaden način. Vpliv Rayleighjevega sipanja pa je že dolgo vštet v vseh kozmoloških modelih. Vendar če pogledamo silo na delce zaradi Rayleigh-jevega sipanja v naših približkih, kjer je elektična susceptibilnost aproksimirana z delta funkcijo pri frekvenci ω 0, dobimo F R = 512π6 µ 0 e 4 kb 8 T 8 405ε 0 m 2 c 6 h 7 v. (32) ω0 4 Definirajmo razmerje η med silo zaradi fluktuacij EM polja in silo zaradi Rayleigh-jevega sipanja. η = F C = 405mc3 ε 0 h 2 γ 0 1 F R 504πe 2 kb 2 T = (0, 2 126K2 s) γ 0 (33) T 2 Vrednost γ 0 za vodik najdemo izračunano v [9] in sicer γ 0 = 2e 2 ω 0 /(3mc 3 ) = 1, Hz (pri ω 0 = 167Hz). Tako lahko pogledamo velikost sile zaradi fluktuacij v primerjavi z Rayleigh-jevim sipanjem. 13

14 Slika 8: Logaritem razmerja η v odvisnosti od temperature T za vodikov atom. Kot vidimo je sila zaradi fluktuacij lahko za nekaj velikostnih redov večja od sile zaradi sipanja, še posebej pri nižjih temperaturah. Glede na to, da je v času nastanka atomov v vesolju bila temperatura okoli 3000K, bi morala biti ta sila všeta v kozmološke modele, saj je očitno dominantna. Toda je potrebna še širša obravnava vpliva te sile na formacijo vesolja, saj zaenkrat še ni dobre teorije za upočasnjevanje velikega števila delcev v fotonskem plinu (primer česa je vesolje ob nastanku atomov) ter vpliv tega upočasnjevanja na sevanje ozadja. 6 Drugi sistemi s fluktuacijami Silo zaradi fluktuacij zaznamo tudi pri drugih sistemih, kjer imamo omejene fluktuacije s korelacijami dolgega dosega. Tovrstno silo imenujemo psevdo- Casimirjeva sila. Značilni sistemi s takimi lastnosti so tekoči kristali, kritične tekočine ter supertekočine. Pri tekočih kristalih in kritičnih tekočinah je morebitna disipativna Casimirjeva sila veliko premajhna v primerjavi z navadno viskoznostjo, vendar pri supertekočinah, ki nimajo lastne viskoznosti, pa mora biti disipativna Casimirjeva sila gotovo prevladujoč razlog za morebitno viskoznost supertekočine. 14

15 6.1 Trenje v superfluidni tekočini Superfluidost je pojav, pri katerem viskoznost nekaterih tekočin pri dovolj nizki temperaturi pade točno na 0. Prvič je bil ta pojav eksperimentelno zaznan pri tekočem 4 He pod temperaturo T λ = 2, 1768K ter kasneje še pri 3 He in Bose-Einsteinovih kondenzatih (BEK). Teoretično je pojav prvi obrazložil Landau, ki je predvidel ničelno viskoznost pod neko kritično hitrostjo v c, nad katero tok postane nestabilen in tudi viskoznost ob takih pogojih naraste na neko od nič različno vrednost. V eksperimentu pa se izkaže, da tok postane vizkozen že pri mnogo nižji hitrosti. Slika 9: Meritev[14] disipacije energije v BEK-u pri premikajočem se makroskopskem objektu (blue-detuned laser) v odvisnosti od mešalne hitrosti. Podobno, kot smo do sedaj iskali silo na delec zaradi fluktuacij v EM polju, se lahko tukaj vprašamo, na kakšen način kvantne fluktuacije v supertekočini vplivajo na neko nečistočo znotraj supertekočine. Najlažje je obravnavati kar idealen BEK. Če pogledamo BEK zaprt med dvema ploščama, bomo prav tako kot pri Casimirjevi sili dobili neko silo zaradi fluktuacij, s tem da ne bomo imeli prispevkov dveh polarizacij, kot pri EM polju in namesto hitrosti svetlobe nam bo v enačbi nastopala hitrost zvoka c z v BEK-u. p BEK = π2 hc z 480D 4 (34) Zgornji račun je zgolj groba aproksimacuja, saj so robni pogoji na meji supertekočine in realne grobe plošče izjemno komplicirani[10]. Kot v prejšnjih poglavjih, lahko tudi tu razmišljamo o obstoju disipativne komponente Casimirjeve sile. Izkaže se, da podobno kot prej v prvem 15

16 redu dobimo disipativno silo, ki je linearno odvisna od hitrosti supertekočine in lahko definiramo viskoznost supertekočine v dani geometriji. Teoretično najlažje obravnavamo BEK in pri takem sistemu težko eksperimentalno realiziramo makroskopsko steno mimo katere bi tekel BEK, zato se splača pogledati, kolikšno silo dobimo, če se skozi BEK premika neka majhna nečistoča. Slika 10: Fluktuacije v toku supertekočine, zaradi katerih makroskopski objekt čuti šibko silo linearno odvisno od hitrosti tekočine. V primeru nečistoče, ki se giblje s hitrostjo v glede na neskončno velik šibko interagirajoč BEK pri temperaturi T = 0 je sila na nečistočo linearno odvisna od hitrosti[11]. F η 2 p 0 ξ 2 n 0 a 3 cs(ln(κ)) v, (35) Zgoraj so η = 2π h 2 b/m, p 0 = gn 0 /2, ξ = (8πn 0 a cs ) 1/2, κ ξ/a cs in g = 4π h 2 a cs /m. Tu so n 0 gostota delcev v BEK, a je dvodelčna sipalna dolžina atomov v BEK, ki imajo maso m in b je sipalna dolžina nečistoče z atomom in BEK. Torej obstaja disipativna sila za vsako hitrost nečistoče v > 0 in ta efekt gotovo dominira pri hitrostih manjših od kritične. Zaenkrat ta sila še ni bila izračunana v geometrijah, ki so prisotne v eksperimentih, vendar je upravičen sum, da je ravno disipativna sila zaradi fluktuacij odgovorna za viskoznost supertekočine, ki je bila opažena v eksperimentih pri hitrostih manjšim od kritične. 16

17 Literatura [1] M. Kardar and R. Golestanian, Rev. Mod. Phys. 71, 1233 (1999). [2] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Statistical Physics, Pt. 1 (Addison- Wesley, Reading, MA, 1969), 2nd ed. [3] E. M. Lifshitz and L. P. Pitaevski, Statistical Physics, Pt. 2 (Pergamon, Oxford, 1980). [4] J. B. Pendry, J. Phys. Condens. Matter 9, (1997). [5] V. Mkrtchian, V. A. Parsegian, R. Podgornik and W. M. Saslow, Phys. Rev. Lett. 91, (2003). [6] A. I. Volokitin and B. N. J. Persson, Phys. Rev. B 65, (2002). [7] S. Prasad, Casimir Drag, sprasad/jp/draft1.pdf [8] R. Podgornik, 50 years of the Lifshitz theory of van der Waals forces, www-f1.ijs.si/ rudi/lectures/casimir.pdf [9] Allen, C.W. Astrophysical Quantities. Second Edition. Athlone Press. [10] Y. Pomeau in D. Roberts, Phys. Rev. B 77, (2008). [11] D. Roberts, Phys. Rev. A 74, (2006). [12] D. Roberts in Y. Pomeau, Phys. Rev. Lett. 95, (2005) [13] D. Roberts, Casimir-drag force in superfluids, dcr/highlights/researchhighlights1.pdf. [14] R. Onofrio, C. Raman, J. M. Vogels, J. R. Abo-Shaeer, A. P. Chikkatur, and W. Ketterle, Phys. Rev. Lett. 85, (2000). [15] D. Roberts, Casimir-like drag in slow-moving Bose-Einstein condensates, dcr/highlights/researchhighlights1.pdf. 17