Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου (Σεπτέµβριος 1999)
|
|
- Ὀλυμπιόδωρος Καλύβας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου (Σεπτέµβριος 1999) Θέµα1ο Α. Έστω Οxy ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο. Να αποδείξετε ότι ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο Ο και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: x + y =ρ Μονάδες 1,5 Β. ίνονται τα σηµεία Ο(0,0) και Α(3,4) α) Το µήκος του (ΟΑ) είναι: Α. 5 Β. 5 Γ Ε. 1 Μονάδες,5 β) Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου C µε κέντρο το σηµείο Ο και ακτίνα ρ=(οα). Μονάδες 5 γ) Να βρείτε τις συντεταγµένες των σηµείων στα οποία ο κύκλος C τέµνει τους άξονες των συντεταγµένων Μονάδες 5 Θέµαο Για τα διανύσµατα του διπλανού σχήµατος ισχύουν οι σχέσεις: AB =α, ΒΓ=β, Γ = α, Ε= β Γ α) Να εκφράσετε τα διανύσµατα AΓ και ΓΕ συναρτήσει των διανυσµάτων α και β β) Το διάνυσµα AΕ είναι ίσο µε : Α.3α+β Β. 3α β Γ. 3α 3β. α+ 3β γ)αν ισχύει α = β Ε Ε. α 4β Β Μονάδες 10 Μονάδες 5 τότε να αποδείξετε ότι τα διανύσµατα AΓ και ΓΕ είναι µεταξύ τους κάθετα Μονάδες 10 Θέµα3ο α) Αν ο ακέραιος αριθµός λ δεν διαιρείται µε το 3 να αποδείξετε ότι ο αριθµός λ + 5 είναι πολλαπλάσιο του 3. Μονάδες 15 β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιµή του ακεραίου αριθµού κ ο ακέραιος κ( κ + 5) είναι πολλαπλάσιο του 3. Μονάδες 10 Θέµα4ο Στο διπλανό σχεδιάγραµµα µε καρτεσιανό y σύστηµα αξόνων Οxy τα σηµεία Α,Β,Γ A παριστάνουν τις θέσεις τριών κοινοτήτων 5 ενός δήµου. Στο ίδιο σχεδιάγραµµα ο άξονας B 3 y y παριστάνει µια εθνική οδό και τα ευθύγραµµα Σ 13 τµήµατα ΑΒ και ΑΓ δυο επαρχιακούς δρόµους Α χ Ο 5 Γ χ
2 που συνδέουν την κοινότητα Α µε τις κοινότητες Β και Γ και έχουν µήκη 5Km και 13 Km αντίστοιχα Πρόκειται να κατασκευαστεί ένας επαρχιακός δρόµος ΒΓ που θα συνδέει τις κοινότητες Β και Γ ο οποίος στο σχεδιάγραµµα παριστάνεται µε το ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ. Αν οι αποστάσεις των κοινοτήτων Β και Γ από την εθνική οδό είναι 3Km και 5Km αντίστοιχα τότε: α) Να βρείτε τις συντεταγµένες των σηµείων Α,Β,Γ Μονάδες 8 β) Να βρείτε το µήκος του επαρχιακού δρόµου ΒΓ Μονάδες 8 γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΒΓ και στη συνέχεια τις συντεταγµένες του σηµείου Σ στο οποίο ο επαρχιακός δρόµος ΒΓ συναντά την εθνική οδό. Μονάδες 9 y Α 5 Β 3 13 Σ χ Ο y 5 Γ χ
3 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 8 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o Α.1. Αν α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου, να γράψετε τις συντεταγµένες των παρακάτω διανυσµάτων: α + β και λ α + µ β, µε λ,µ πραγµατικούς αριθµούς. Μονάδες 3 Α.. Αν Α(x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δύο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x,y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι: x x x = 1 + y και y = 1 + y Μονάδες 6,5 Α.3. Αν Α(x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δύο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου, να γράψετε τις σχέσεις που δίνουν τις συντεταγµένες του διανύσµατος AB και την απόσταση (ΑΒ) των σηµείων Α και Β. Μονάδες 3 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
4 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β.1. Στη Στήλη Α δίνονται οι συντεταγµένες δύο σηµείων του καρτεσιανού επιπέδου και στη Στήλη Β οι συντεταγµένες του διανύσµατος AB και η απόσταση (ΑΒ) των σηµείων Α και Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράµµατα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης Β που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Στήλη Α α. Α(1,3) και Β(-,5) β. Α(,-1) και Β(,-3) γ. Α(4,-3) και Β(6,-3) Στήλη Β 1. AB=(-3,) και (ΑΒ)= 15. AB=(0,-) και (ΑΒ)= 3. AB=(-3,) και (ΑΒ)= AB=(,0) και (ΑΒ)= Μονάδες 6 Β.. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Αν Κ (x 1,6) και Λ (-9,y ) δύο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (-5,4) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΚΛ, τότε: A: x 1 = 1 και y =- Β: x 1 = -1 και y = Γ: x 1 = -3 και y = : x 1 = 4 και y = 5 Ε: κανένα από τα προηγούµενα ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
5 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Μονάδες 6,5 ΘΕΜΑ ο Αν α είναι ένας άρτιος ακέραιος αριθµός, να αποδείξετε ότι: α. (α+1) - 1 = 4λ, όπου λ ακέραιος αριθµός. Μονάδες 10 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
6 β. ( α+ 1) + ( α+ 3) α + 4 ακέραιος αριθµός. ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - α+ = 3µ, όπου µ Μονάδες 15 ΘΕΜΑ 3ο ίνεται το σηµείο Α(,1) του καρτεσιανού επιπέδου Oxy. α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΟΑ. Μονάδες 5 β. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σηµείο Α και είναι κάθετη στην ευθεία ΟΑ. Μονάδες 7 γ. Η ευθεία (ε) τέµνει τον άξονα x x στο σηµείο Β. Να βρείτε την εξίσωση του ύψους του τριγώνου ΟΑΒ που διέρχεται από την κορυφή Α. Μονάδες 6 δ. Να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 4ο α. ίνεται η εξίσωση (x-1) (x-3) + (y- 3) (y-5) = 0. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. Μονάδες 8 β. Σε τοπογραφικό σχεδιάγραµµα, µε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Οxy τα σηµεία Α(1,3), Β(3,3), Γ(3,5) και ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
7 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ (1,5) παριστάνουν τις θέσεις τεσσάρων δήµων. Να αποδείξετε ότι µπορεί να χαραχθεί περιφερειακός κυκλικός δρόµος που να διέρχεται από τους τέσσερις δήµους. Μονάδες 7 γ. Αν θεωρήσουµε ότι στο ίδιο σύστηµα αξόνων του ερωτήµατος β, οι συντεταγµένες ενός αυτοκινήτου Κ για κάθε χρονική στιγµή t (t>0) είναι (t, t+), να βρείτε αν η γραµµή, στην οποία κινείται το αυτοκίνητο Κ, συναντά τον κυκλικό περιφερειακό δρόµο και αν ναι, σε ποια σηµεία; Μονάδες 10 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόµενους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, κατεύθυνση, εξεταζόµενο µάθηµα). Τα θέµατα να µην τα αντιγράψετε στο τετράδιο. Τα σχήµατα που θα χρησιµοποιήσετε στο τετράδιο µπορούν να γίνουν και µε µολύβι.. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως µόλις σας παραδοθούν. Καµιά άλλη σηµείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν µετά το πέρας της εξέτασης. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε λύση επιστηµονικά τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μια (1) ώρα µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
8 ΑΡΧΗ 6ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 6ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
9 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 11 ΙΟΥΛΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o Α.1. Να αποδείξετε ότι η ευθεία, µε εξίσωση Αx+By+Γ=0, όπου Α 0 ή Β 0, είναι παράλληλη στο διάνυσµα δ= ( Β, Α ) κάθετη στο διάνυσµα η= ( Α, Β). και Μονάδες 8,5 Α.. Οι ευθείες ε 1,ε έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ 1,λ αντίστοιχα. Να συµπληρώσετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισοδυναµίες: α) ε 1 //ε... β). ε 1 ε... Μονάδες 4 Β.1. ίνεται η ευθεία µε εξίσωση ε: x+3y-8=0 και το διάνυσµα α = ( λ 1, λ), Να βρείτε το λ, όταν: λ ΙR. α) η ευθεία ε είναι παράλληλη στο διάνυσµα α β) η ευθεία ε είναι κάθετη στο διάνυσµα α. Μονάδες 4 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
10 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β.. Στη Στήλη Α δίνονται οι εξισώσεις ευθειών και στη Στήλη Β τα κάθετα σ' αυτές διανύσµατα. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης Β που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Στήλη Α Στήλη Β α. y=3x-5 1. (-,7) β. y=-7. (3,-1) γ. x=1 3. (1,3) 4. (4,0) 5. (0,-3) Μονάδες 4,5 Β.3. ίνονται οι ευθείες ε 1 : λx+y+3=0 και ε : 3x-y+1=0. Να βρείτε το λ ΙR, όταν: α) ε 1 // ε β) ε 1 ε. Μονάδες 4 ΘΕΜΑ ο ίνονται οι ακέραιοι αριθµοί β=3α+4 και γ=4α+5,όπου α ακέραιος αριθµός. Να δείξετε ότι: α) οι αριθµοί β,γ έχουν µέγιστο κοινό διαιρέτη τη µονάδα Μονάδες 8 β) ο αριθµός βγ-(β+γ) είναι περιττός Μονάδες 8 γ) αν για τους β=3α+4 και γ=4α+5 ισχύει επιπλέον α=3κ, όπου κ ακέραιος, τότε ο αριθµός γ -β είναι πολλαπλάσιο του 3. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
11 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
12 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 3ο ίνεται ο κύκλος C: x +y =5 και ε 1,ε οι εφαπτόµενες του κύκλου από το σηµείο Μ(0,- 10). Αν Α και Β είναι τα σηµεία επαφής των ε 1,ε µε τον κύκλο, να βρείτε: α) τις εξισώσεις των εφαπτοµένων ε 1,ε Μονάδες 10 β) τις συντεταγµένες των σηµείων επαφής Α και Β Μονάδες 8 γ) την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και διέρχεται από τα σηµεία Α και Β. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 4ο Αν ΡΑ + ΡΒ ΡΓ= 0 και ΡΑ= 6, ΡΒ= ΡΓ= 3 να δείξετε ότι: α. τα σηµεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά Μονάδες 6 β. το σηµείο Γ είναι ανάµεσα στα σηµεία Α,Β Μονάδες 4 γ. η γωνία ΑΡΒ=90 ο Μονάδες 7 δ. το διάνυσµα v = ΡΒ+ ΡΓ είναι κάθετο στο ΑΓ. Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
13 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόµενους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, κατεύθυνση, εξεταζόµενο µάθηµα). Τα θέµατα να µην τα αντιγράψετε στο τετράδιο. Τα σχήµατα που θα χρησιµοποιήσετε στο τετράδιο, µπορούν να γίνουν και µε µολύβι.. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων µόλις σας παραδοθούν. Καµιά άλλη σηµείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν µετά το πέρας της εξέτασης. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε λύση επιστηµονικά τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μία (1) ώρα µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
14 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 10 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o Α.1. Αν α= (x1,y1) και β= (x,y) είναι δύο µη µηδενικά διανύσµατα του επιπέδου που σχηµατίζουν γωνία θ, να αποδείξετε ότι: x1x+ y1y συνθ= x + y x + y 1 1 Μονάδες 6,5 Α.. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράµµατα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης Β που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Στήλη Α α. κάθετα διανύσµατα α 0,β 0 β. οµόρροπα διανύσµατα α 0,β 0 γ. αντίρροπα διανύσµατα α 0,β 0 Στήλη Β 1. α β= α β β. α = β 3. α = 0 β 4. α = α β α β Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
15 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ίνονται τα διανύσµατα α =(λ,) και β =(,λ) όπου λ ΙR. β Β.1. Αν τα α, είναι κάθετα, τότε: α. λ=1 β. λ=0 γ. λ= δ. λ= Μονάδες 4 β Β.. Αν τα α, είναι οµόρροπα, τότε: α. λ=1 β. λ=0 γ. λ= δ. λ= Μονάδες 4,5 β Β.3. Αν τα α, είναι αντίρροπα, τότε: α. λ= 1 β. λ=0 γ. λ= δ. λ= Μονάδες 4 ΘΕΜΑ ο Ενός παραλληλογράµµου ΑΒΓ, η πλευρά ΑΒ ανήκει στην ευθεία µε εξίσωση 3x 7y+7=0 και η πλευρά Α στην ευθεία µε εξίσωση 4x+y+5=0. Οι διαγώνιοι ΑΓ, Β του παραλληλογράµµου τέµνονται στο σηµείο Κ(, 5 ). α. Να αποδείξετε ότι η κορυφή Γ έχει συντεταγµένες (6,). Μονάδες 10 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
16 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ β. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκει η πλευρά ΒΓ. Μονάδες 6 γ. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκει η διαγώνιος Β. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 3ο Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει: α. 3 3ν +51=πολ 6 β. 3 3ν -1=πολ 6 Μονάδες 15 Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 4ο Η παραβολή µε εξίσωση y =αx διέρχεται από το σηµείο Α(,4), όπου α ΙR. α. Να αποδείξετε ότι η εστία της παραβολής είναι το σηµείο Ε(,0). Μονάδες 5 β. Εστω Ε το συµµετρικό της εστίας Ε ως προς τον άξονα y y. Αν Μ(x,y) είναι ένα οποιοδήποτε σηµείο για το οποίο ισχύει ME = ME E E, να αποδείξετε ότι το σηµείο Μ(x,y) ανήκει στον κύκλο µε κέντρο την αρχή των αξόνων Ο (0,0) και ακτίνα. Μονάδες 10 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
17 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ γ. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτοµένων του παραπάνω κύκλου που διέρχονται από το σηµείο Α. Μονάδες 10 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόµενους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, κατεύθυνση, εξεταζόµενο µάθηµα). Τα θέµατα να µην τα αντιγράψετε στο τετράδιο. Τα σχήµατα που θα χρησιµοποιήσετε στο τετράδιο µπορούν να γίνουν και µε µολύβι.. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως µόλις σας παραδοθούν. Καµιά άλλη σηµείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν µετά το πέρας της εξέτασης. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε λύση επιστηµονικά τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μία (1) ώρα µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
18 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 9 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o Α. Να δείξετε ότι ο κύκλος µε κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση x +y = ρ. Μονάδες 9 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Ο συντελεστής διεύθυνσης λ µιας ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία A(x 1,y 1 ) και Β(x,y ), y y1 µε x 1 x είναι λ =. x x β. Η απόσταση των σηµείων A(x 1,y 1 ) και Β(x,y ) είναι ίση µε (ΑΒ) = ( x + +. x1) + (y y1) γ. Η παραβολή µε εξίσωση x = py έχει την εστία της πάνω στον άξονα x x. δ. Αν α και β είναι φυσικοί αριθµοί µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί φυσικοί k και υ, τέτοιοι ώστε α = kβ+υ, 0 υ<β. Μονάδες 8 1 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
19 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω προτάσεις ορθά συµπληρωµένες. α. Ο κύκλος µε κέντρο K(x o, y o ) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση.... x y β. Η έλλειψη µε εξίσωση + = 1, όπου α β β= α γ, έχει εστίες τα σηµεία Ε και Ε µε συντεταγµένες... και.... x y γ. Η υπερβολή µε εξίσωση = 1 έχει α β ως ασύµπτωτες τις ευθείες µε εξισώσεις... και.... δ. Η παραβολή µε εξίσωση y = px έχει διευθετούσα την ευθεία µε εξίσωση.... Μονάδες 8 ΘΕΜΑ ο ίνονται οι αριθµοί α = k 1 και β = 5k+6, όπου k ακέραιος αριθµός. Να αποδείξετε ότι: α. Εάν ο α είναι άρτιος, τότε ο β είναι περιττός. Μονάδες 7 β. Ο αριθµός 3β 4α είναι πολλαπλάσιος του 11. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
20 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Μονάδες 8 γ. Ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των αριθµών 5α+3 και β 9 είναι ίσος µε 1. Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 3ο ίνονται τα σηµεία του επιπέδου Α(1,1) και Β(5,3). α. Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσµατος AB είναι ίσος µε 1. Μονάδες 5 β. Να αποδείξετε ότι η µεσοκάθετος του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ είναι η ευθεία ε: y = x+8. Μονάδες 8 γ. Εστω Μ το µέσο του τµήµατος ΑΒ και Γ, τα σηµεία τοµής του άξονα x x µε την ευθεία ΑΒ και την µεσοκάθετο ε αντίστοιχα. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σηµεία Μ, Γ και. Μονάδες 1 ΘΕΜΑ 4ο ίνεται η εξίσωση (λ 1)x+λy λ λ γ = 0, όπου λ ΙR και γ πραγµατική σταθερά. α. Να αποδείξετε ότι για κάθε τιµή της παραµέτρου λ η εξίσωση παριστάνει ευθεία γραµµή. Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
21 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ β. Εάν γ = 1, να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την παραπάνω εξίσωση διέρχονται από το ίδιο σηµείο. Μονάδες 10 γ. Εάν γ 1, να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων εκείνων που από το καθένα διέρχεται µόνο µία ευθεία η οποία επαληθεύει την παραπάνω εξίσωση. Μονάδες 10 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόµενους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, κατεύθυνση, εξεταζόµενο µάθηµα). Τα θέµατα να µην τα αντιγράψετε στο τετράδιο. Τα σχήµατα που θα χρησιµοποιήσετε στο τετράδιο µπορούν να γίνουν και µε µολύβι.. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως µόλις σας παραδοθούν. Καµιά άλλη σηµείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν µετά το πέρας της εξέτασης. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε λύση επιστηµονικά τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μία (1) ώρα µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
22 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
23 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 9 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 003 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) Α. ίνεται το διάνυσµα α = ( x, y) του καρτεσιανού επιπέδου. Μονάδες 9 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν α β (δηλαδή τα α και β είναι κάθετα µεταξύ τους), τότε α β= 0. Μονάδες β. Έστω α, β µη µηδενικοί ακέραιοι. Αν α β και β α, τότε ισχύει πάντα ότι α = β. Μονάδες γ. Η ευθεία µε εξίσωση Αx + By + Γ = 0 είναι παράλληλη στο διάνυσµα δ= ( Β, Α). Μονάδες ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
24 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ δ. Η εξίσωση της παραβολής µε εστία p p E,0 και διευθετούσα δ : x = είναι x = py. Μονάδες Γ. Στη Στήλη Α δίνονται εξισώσεις κωνικών τοµών και στη Στήλη Β ονοµασίες γραµµών του επιπέδου. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης Β που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. α. > 0 x α Στήλη Α y + = 1, α > β β Στήλη Β 1. Κύκλος β. x α y β = 1, α >. Ευθεία 0, β > 0 γ. y = px, p > 0 δ. x + y = ρ, ρ > 0 3. Υπερβολή 4. Παραβολή 5. Έλλειψη Μονάδες 8 ΘΕΜΑ ο ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
25 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ίνονται τα σηµεία Α(14,5) και Β(, 1). α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σηµεία Α και Β είναι x y 4 = 0. Μονάδες 13 β. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε τέµνει τους άξονες x x, y y στα σηµεία Κ(4,0) και Λ(0, ) αντιστοίχως. Μονάδες 1 ΘΕΜΑ 3ο Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης των ακεραίων αριθµών α και β µε το 5 είναι, τότε: α. Να αποδείξετε ότι ο αριθµός α + β 003 είναι πολλαπλάσιο του 5. Μονάδες 1 β. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθµού 8α+9β µε το 5. Μονάδες 13 ΘΕΜΑ 4ο ίνεται η εξίσωση x + y 4x + y + 3 = 0 και το σηµείο Μ(,1). α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο µε κέντρο το σηµείο Κ(, 1) και ακτίνα ρ =. Μονάδες 6 β. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτοµένων του κύκλου που διέρχονται από το σηµείο Μ(,1). Μονάδες 10 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
26 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ γ. Αν Α, Β είναι τα σηµεία επαφής των παραπάνω εφαπτοµένων µε τον κύκλο, να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ. Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
27 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, κατεύθυνση, εξεταζόµενο µάθηµα). Τα θέµατα να µην τα αντιγράψετε στο τετράδιο. Τα σχήµατα που θα χρησιµοποιήσετε στο τετράδιο µπορούν να γίνουν και µε µολύβι.. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως µόλις σας παραδοθούν. Καµιά άλλη σηµείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν µετά το πέρας της εξέτασης. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε λύση επιστηµονικά τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μετά τη 10η πρωινή. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
28 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 9 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) Α. Έστω α, β, γ ακέραιοι µε α, β 0.Να δείξετε ότι: α. Αν α / β και β / γ, τότε α / γ. Μονάδες 6 β. Αν α/ β, τότε α β. Μονάδες 6 Β. Έστω δύο σηµεία Ε και Ε ενός επιπέδου. Τι ονοµάζεται έλλειψη µε εστίες τα σηµεία Ε και Ε στο συγκεκριµένο επίπεδο; Μονάδες 5 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν Α, Β σηµεία του επιπέδου και Μ το µέσον του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ, τότε για οποιοδήποτε σηµείο Ο του επιπέδου OA+ OB ισχύει OM = β. Αν α, βείναι δύο διανύσµατα µε β 0, τότε α// β α = λβ, λ ΙR. ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
29 γ. Αν α β, τότεα β διανύσµατα α, β. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ = 1, για οποιαδήποτε δ. Αν α και β είναι φυσικοί αριθµοί µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί φυσικοί k και υ τέτοιοι, ώστε α = kβ+υ, 0 υ<β. ΘΕΜΑ ο Μονάδες 8 Σε ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων Οxy δίνονται τα σηµεία Α(,3) και Β(3, ). α. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Μονάδες 1 β. Να βρείτε σηµείο Μ του άξονα x x, ώστε τα σηµεία Α,Μ,Β να είναι συνευθειακά. ΘΕΜΑ 3ο Μονάδες 13 Το σηµείο Α(7,5) είναι µία κορυφή τετραγώνου του οποίου η µία διαγώνιος βρίσκεται στην ευθεία 3x+y 6=0. α. Να βρείτε την εξίσωση της άλλης διαγωνίου του τετραγώνου. Μονάδες 8 β. Να δείξετε ότι το κέντρο του τετραγώνου είναι το σηµείο Κ(1,3). Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
30 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ γ. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τις κορυφές του παραπάνω τετραγώνου. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 4ο ίνεται ο κύκλος µε εξίσωση x +y =9. α. Αν το σηµείο Ρ( x, y ) ανήκει στον παραπάνω o o κύκλο, να δείξετε ότι το σηµείο Μ 5, 4 ανήκει σε έλλειψη της οποίας να υπολογίσετε την εκκεντρότητα. xo yo 3 3 Μονάδες 9 β. Να βρείτε την εξίσωση της ισοσκελούς υπερβολής η οποία έχει τις ίδιες εστίες µε την παραπάνω έλλειψη. Μονάδες 10 γ. Να βρείτε τις εξισώσεις των ασυµπτώτων της υπερβολής του ερωτήµατος β καθώς και τη γωνία που σχηµατίζουν οι ασύµπτωτες. Μονάδες 6 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, κατεύθυνση, εξεταζόµενο µάθηµα). Τα θέµατα να µην τα αντιγράψετε στο τετράδιο. Τα σχήµατα που θα χρησιµοποιήσετε στο τετράδιο µπορούν να γίνουν και µε µολύβι.. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως µόλις σας ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
31 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ παραδοθούν. Καµιά άλλη σηµείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν µετά το πέρας της εξέτασης. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε λύση επιστηµονικά τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μετά τη 10η πρωινή. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
32 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 0 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 1999 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o Α. α) Αν α, β είναι δυο µη µηδενικά διανύσµατα και θ είναι η γωνία που σχηµατίζουν, τότε για το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων και ισχύει πάντοτε: Α. α β = α β συνθ Β. α β = α βηµθ Γ. α β = α β εφθ. α β = α β Ε. α β = α β Μονάδες 5 β) Να δείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων a= x1 i + y1 j και β = x i + y j είναι ίσο µε το άθροισµα των γινοµένων των οµώνυµων συντεταγµένων τους, δηλαδή a β = x1 x+ y1 y Μονάδες 7,5 Β. α) ίνονται τα διανύσµατα α και β για τα οποία ισχύουν α =, β =3 και σχηµατίζουν µεταξύ τους γωνία θ = 45. Τότε, το εσωτερικό γινόµενο a β είναι: ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
33 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Α. 0 Β. -6 Γ Ε. 3 6 Μονάδες 6,5 β) ίνονται τα διανύσµατα x=(3,4)καιy =( 1,). Να βρείτε το εσωτερικό γινόµενο x y ΘΕΜΑ ο Μονάδες 6 ίνονται τα σηµεία A(-l, k), B(k-1, +k) και Γ(k, k+3), όπου k πραγµατικός αριθµός. α) Να βρείτε τις συντεταγµένες των διανυσµάτων ΑΒ και ΒΓ Μονάδες 9 β) Για ποια από τις παρακάτω τιµές του k τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά ; Α. -1 Β. 0 Γ. 1. Ε. - Μονάδες 9 γ) Να αποδείξετε ότι για k =1 το σηµείο Β είναι το µέσο του τµήµατος ΑΓ. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 3ο Μια ταράτσα πολυκατοικίας έχει σχήµα ορθογωνίου παραλληλογράµµου µε διαστάσεις x και y, για τις οποίες ισχύει 0m x 0,5m και 15m y 16m. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
34 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ α)να βρείτε προσεγγιστικές τιµές µε έλλειψη και υπέρβαση για το εµβαδόν της ταράτσας. Μονάδες 16 β)πρόκειται να γίνει µόνωση της ταράτσας, η οποία κοστίζει 5.000δραχµές το τετραγωνικό µέτρο. Να βρείτε προσεγγιστικές τιµές µε έλλειψη και υπέρβαση για το κόστος της µόνωσης. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 4ο Ο προϋπολογισµός µιας σήραγγας εκτιµήθηκε ότι είναι δραχµές. Για την κατασκευή της σήραγγας ενδιαφέρθηκαν τρεις εταιρείες Α, Β, Γ οι οποίες συµµετείχαν στο διαγωνισµό ως εξής: Η εταιρεία Α προσέφερε ένα ποσοστό έκπτωσης επί του προϋπολογισµού, εκτιµώντας ότι για να κατασκευάσει το έργο θα δαπανήσει δραχµές και επιδιώκοντας να έχει κέρδος δραχµές. Η εταιρεία Β, εκτιµώντας ότι το έργο θα της κοστίσει δραχµές, προσέφερε έκπτωση 10% επί του ποσού του προϋπολογισµού. Η εταιρεία Γ, προσδοκώντας να κερδίσει δραχµές, προσέφερε έκπτωση 11% επί του ποσού του προϋπολογισµού. Να βρείτε : α)το ποσό της έκπτωσης που προσέφερε η εταιρεία Α και να εκφρασθεί αυτό σε ποσοστό (επί τοις εκατό)στο ποσό του προϋπολογισµού Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
35 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ β)το κέρδος που προσδοκά ότι θα έχει η εταιρεία Β. Μονάδες 8 γ) Το κόστος κατασκευής που εκτίµησε η εταιρεία Γ, όταν διαµόρφωσε την προσφορά της. Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόµενους) Μονάδες 8 1. Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, κατεύθυνση, εξεταζόµενο µάθηµα). Τα θέµατα να µην τα αντιγράψετε στο τετράδιο. Τα σχήµατα που θα χρησιµοποιήσετε στο τετράδιο µπορούν να γίνουν και µε µολύβι.. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως µόλις σας παραδοθούν. Καµιά άλλη σηµείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν µετά το πέρας της εξέτασης. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε λύση επιστηµονικά τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μια (1) ώρα µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
36 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 19 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o Α. Αν σ α είναι η ακρίβεια της προσέγγισης x α και σ β η ακρίβεια της προσέγγισης y β, τότε: α. Να αποδείξετε ότι η ακρίβεια της προσέγγισης του x-y από τη διαφορά α-β, δίνεται από τον τύπο: σ α-β = σ α + σ β Μονάδες 8 β. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Για το άνω φράγµα του σχετικού σφάλµατος της προσέγγισης του x-y από το α-β µε α β, ισχύει: Α: ε α-β = σ α + σ α β β σ α - σ α - β β, Β: ε α-β = ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
37 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ: ε α-β = σα+ σ α - β β, : ε α-β = σ β - σ α - β α, Ε: ε α-β = σ β σ α+ β α Μονάδες 4,5 Β.1. Θεωρούµε τις προσεγγίσεις x 15,35 και y 5,5. Να βρείτε: α. την ακρίβεια της προσέγγισης της διαφοράς x-y Μονάδες 4 β. το άνω φράγµα του σχετικού σφάλµατος της προσέγγισης της διαφοράς x-y. Μονάδες 4 Β.. Θεωρούµε τις προσεγγίσεις x=6,343±0,001 και y=14,4±0,001. Να βρείτε την προσέγγιση της διαφοράς x-y Μονάδες 4,5 ΘΕΜΑ ο Η τιµή πώλησης ενός υφάσµατος κατά το µήνα Οκτώβριο ήταν α 0 δρχ. Τους µήνες Νοέµβριο και εκέµβριο, στην τιµή του υφάσµατος έγιναν διαδοχικές αυξήσεις 5% και 10% αντίστοιχα. Τον Ιανουάριο όµως ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
38 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ έγινε έκπτωση στην τιµή του 0% και επωλείτο δραχµές. Α. Να βρείτε την τιµή πώλησης του υφάσµατος: α. κατά το µήνα Οκτώβριο Μονάδες 7 β. κατά τους µήνες Νοέµβριο και εκέµβριο. Μονάδες 8 Β. Πόσο τοις εκατό πρέπει να αυξηθεί η τιµή του προϊόντος το Φεβρουάριο για να πωλείται όσο επωλείτο το εκέµβριο; Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 3ο Θεωρούµε την εξίσωση: x +y -αx+4y+α=0, όπου α πραγµατικός αριθµός. α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο για κάθε πραγµατικό αριθµό α. Μονάδες 7 β. Να βρείτε τις τιµές του πραγµατικού αριθµού α έτσι, ώστε η ακτίνα του κύκλου αυτού να είναι ίση µε. Μονάδες 6 γ. Να βρείτε τον πραγµατικό αριθµό α έτσι, ώστε το κέντρο του κύκλου να βρίσκεται στην ευθεία µε εξίσωση ε: 5x+3y+1=0. Μονάδες 6 δ. Να βρείτε τον πραγµατικό αριθµό α έτσι, ώστε ο κύκλος να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
39 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 4ο Για την τελετή λήξης της Ολυµπιάδας του Σίδνεϋ προτάθηκε να παραταχθούν οι αθλητές κάθε χώρας σε ευθείες που όλες θα διέρχονται από το σηµείο στο οποίο θα σταθεί ο σηµαιοφόρος της ελληνικής οµάδας. Για να γνωρίζουν οι αθλητές τις θέσεις τους, έγινε µια τοποθέτησή τους σε χάρτη, σε ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων, στην οποία η διανυσµατική εξίσωση της ευθείας της ελληνικής οµάδας είναι: r 1 = i + λ(3i + j ), όπου λ πραγµατικός αριθµός, ενώ η εξίσωση της τελευταίας από τις 199 οµάδες που είναι η οµάδα της Αυστραλίας είναι: r 199 = 6j + µ(-i + j ), όπου µ πραγµατικός αριθµός. ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
40 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ α. Να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου που θα σταθεί ο σηµαιοφόρος της ελληνικής οµάδας. Μονάδες 10 β. Να εξετάσετε αν το σηµείο Α(,3) µπορεί να είναι η θέση κάποιου αθλητή της ελληνικής οµάδας. Μονάδες 7 γ. Να βρείτε την απόσταση του παραπάνω σηµείου Α από την ευθεία της οµάδας της Αυστραλίας. Μονάδες 8 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόµενους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, κατεύθυνση, εξεταζόµενο µάθηµα). Τα θέµατα να µην τα αντιγράψετε στο τετράδιο. Τα σχήµατα που θα χρησιµοποιήσετε στο τετράδιο µπορούν να γίνουν και µε µολύβι.. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως µόλις σας παραδοθούν. Καµιά άλλη σηµείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν µετά το πέρας της εξέτασης. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε λύση επιστηµονικά τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μια (1) ώρα µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
41 ΑΡΧΗ 6ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 6ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004
Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999.......................................... 3 Θέµατα 000..........................................
Διαβάστε περισσότεραΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.
Διαβάστε περισσότεραβ = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...
Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων
Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...
Διαβάστε περισσότεραΜονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο (Πανελλήνιες θετικής κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999) Α. Έστω a ( x1,) y1 και ( x,) y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. α) Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 2. Το σφάλµα προσέγγισης είναι πάντοτε θετικό. Μονάδες 1
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 28 ΙΟΥΝΙΟΥ 1999 ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1ο Α. Να χαρακτηρίσετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότερα. Μονάδες 3 β) Τα διανύσματα και. τότε x1x2 y1y2. είναι κάθετα αν και μόνο αν 0 Μονάδες 3 γ) Το διάνυσμα,
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΙΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Τι ονομάζουμε έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε και E Μονάδες 0 Β Να χαρακτηρίσετε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε
Διαβάστε περισσότερα4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Έστω τα διανύσµατα u = ( 6, 8) και v = (9, 1) είξτε ότι είναι αντίρροπα Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει ηµιάξονες τα µέτρα των διανυσµάτων, κέντρο την αρχή
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ
Διαβάστε περισσότερα1,y 1) είναι η C : xx yy 0.
ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.
Διαβάστε περισσότεραΤράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12
Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.
Διαβάστε περισσότεραΤάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε
Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;
Διαβάστε περισσότερα117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού
117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα
Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η
Διαβάστε περισσότεραΓενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B
151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων
Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητής : Νικόλαος. Κατσίπης 19 Απριλίου 2013 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας εύχοµαι καλό διάβασµα και...
Διαβάστε περισσότεραΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ
Φ3 ΚΥΚΛΟΣ y Μ(x,y) A(x,y) ε Ο C x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ 0-0 ΘΕΩΡΙΑ. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο το σημείο K( x0,
Διαβάστε περισσότερα1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β
O A M B ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ο ΘΕΜΑ ον : α α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β. Μονάδες 5 β. Αν α, ν
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα
Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση
Διαβάστε περισσότερα= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β
1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών)
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 00-018α φάση Διανύσματα 1 Σε σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε τρία σημεία Α, Β, Γ του μοναδιαίου κύκλου, για τα οποία υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9
ΓΕΛ ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β 331 Α. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των μη μηδενικών διανυσμάτων α, β. Μονάδες 5 β. Εάν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντιστοίχως να δείξετε ότι:
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Αν Α(x 1, y 1 ) και Β(x, y ) είναι σημεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότεραv Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o α Α Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β Μονάδες 4 Β Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β Λυκείου
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α, Β, όταν α) Α(2, 5), Β(1, -3) β) Α(-3, -5), Β(-5, 7) γ) Α(0, 4), Β(2, -6). 2. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ 1ο ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) Α1. Να αποδείξετε ότι,
Διαβάστε περισσότεραKόλλιας Σταύρος 1
Kόλλιας Σταύρος http://usersschgr/stkollias Θέμα ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Αα ) Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000
Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 000 Ζήτηµα ο Α.. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(x 0,y 0 ) και ακτίνα ρ. (Μονάδες ) Α.. Πότε η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ 0
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α ίνονται τα διανύσµατα α και β, τα οποία δεν είναι παράλληλα προς τον άξονα y y και έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού)
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) ΣΧΟΛΙΚΟ
Διαβάστε περισσότεραΧαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (1,1), Γ (4,3) και Δ (,3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη
Διαβάστε περισσότερα3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η υπερβολή x y. Να βρείτε Tις ασύµπτωτες και την εκκεντρότητα της υπερβολής. i Tις εφαπτόµενες της υπερβολής που είναι παράλληλες στην ευθεία (ε) : x + y + 0 ii Tο εµβαδόν
Διαβάστε περισσότερα1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 1ο Α. α) Να αποδείξετε ότι, αν z 1 =α+βi και. είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί, τότε
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 6 ΙΟΥΛΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 016 Ε_.ΜλΘ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 17 Απριλίου 016 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω a, v
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
Ε_3Μλ2Θ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1 ίνονται τα διανύσµατα a= ( x1, y1)
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015
Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE
1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ 1 ο ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 01-06-009 α 1 1 Α. Να αποδείξετε ότι, για δύο διανύσματα = (x,ψ ) και β = ( x, ) ψ μη παράλληλα στον άξονα ψ ψ
Διαβάστε περισσότερα(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x).
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 1 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ
Διαβάστε περισσότερα1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = 2π 3 γ) ω = π 2. * Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ 4 ΘΕΜΑ 1ο Α. ς υποθέσουµε
Διαβάστε περισσότεραΚωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του
Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε = 5 + 2 α) Να γράψετε το διάνυσμα β) Να δείξετε
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 8 ΜΑΪΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ÑÏÌÂÏÓ
ΘΕΜΑ o Α.. Α.. Α.3. Β.. B.. Β.3. ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ - 000 Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(x 0, y 0 ) και ακτίνα ρ. Μονάδες Πότε η εξίσωση x + y + Ax + By
Διαβάστε περισσότεραAB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος
Διαβάστε περισσότερα1 x και y = - λx είναι κάθετες
Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.. Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ένα οποιοδήποτε σημείο Ρ του χώρου. Να αποδειχτεί ότι: P A P 0. 3.
Διαβάστε περισσότεραA1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x)=συνx είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε x ισχύει. = ημx Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 211 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ Α. Να δείξετε ότι, σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Οxy, η εξίσωση του κύκλου C, με κέντρο Κ(x, y ) και ακτίνα
Διαβάστε περισσότεραΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες
Διαβάστε περισσότεραΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να
Διαβάστε περισσότερακαι 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και
Διαβάστε περισσότεραx, όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός. Μονάδες 10
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 23 ΜΑΪΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Αν
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής
Διαβάστε περισσότερα3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη 1 Απριλίου 018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ε του κύκλου
Διαβάστε περισσότεραΓ5. Αν για τα α, β έχουµε α β= 0, ισχύει πάντα ότι α = 0 ή β= 0. Μονάδες 10
7 ο Γενικό Λύκειο Περιστερίου ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:
Διαβάστε περισσότεραΒ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 27 Δεκεμβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/017 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη 7 Δεκεμβρίου 016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Αν ( xy, )
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 A ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 08 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν α= ( x,y ), β= ( x,y) γ= x,y α β+ γ =
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999
Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο Α. Έστω a, ) και β, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να εκφράσετε χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΑΞΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
Αποκλειστικά από το lisari.blogspot.gr ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 05 06 ΑΝΑΒΡΥΤΑ 4-5-06 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΑΞΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
Διαβάστε περισσότεραx y Ax By 0 για τις διάφορες τιμές των Α, Β,Γ (μον.8)
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 94 Ον/μο:.. Β Λυκείου Ύλη:Διανύσματα- Ευθεία Θετ-Τεχν Κατ. Κωνικές τομές 6-01-14 ΘΕΜΑ 1 ο : A.1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(x 0,y 0
Διαβάστε περισσότερα1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι:
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: α) ΑΜ = 1 2 ( ΑΒ + ΑΓ ) β) ΜΝ = 1 2 ΒΑ 2. ** ίνονται τα διανύσµατα ΑΒ και Α Β. Αν Μ και Μ
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότεραγ) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα τότε είναι και 1-1 στο διάστημα αυτό.
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότεραγ. H εικόνα f( ) ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Μονάδες 2 Μονάδες 2 ε.
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 7 ΜΑΪΟΥ 006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ o A. Έστω
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI
Διαβάστε περισσότεραΈστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1)
7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Απόσταση Σημείου από Ευθεία Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση M ( x, y ) ένα σημείο εκτός αυτής Θέλουμε y να υπολογίσουμε την απόσταση d( M, ε) του ε σημείου M από
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ÅÐÉËÏÃÇ
ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Σάββατο 8 Απριλίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Α1. Θεωρία. Σχολικό βιβλίο σελίδα 83 Α2. α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό
Διαβάστε περισσότεραπ (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων
Διαβάστε περισσότεραA1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x)=συνx είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε x ισχύει. = ημx Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -
Διαβάστε περισσότερα= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)
ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε
Διαβάστε περισσότεραi. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.
ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 8 ΜΑΪΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
Διαβάστε περισσότερα