x y Ax By 0 για τις διάφορες τιμές των Α, Β,Γ (μον.8)

Transcript

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 94 Ον/μο:.. Β Λυκείου Ύλη:Διανύσματα- Ευθεία Θετ-Τεχν Κατ. Κωνικές τομές ΘΕΜΑ 1 ο : A.1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή διευθύνσεως λ είναι η : y y 0 (x x 0) (μον.7) Α.. Να βρείτε το είδος της γραμμής που παριστάνει η εξίσωση x y Ax By 0 για τις διάφορες τιμές των Α, Β,Γ (μον.8) B. Nα κυκλώσετε το Σ ή το Λ στις προτάσεις: 1) Αν, R τότε // ) Αν (x,4), 3 (x,) και τότε x 1 3) Αν ( 5 6, 1) και / /x'x τότε λ=1 4) Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(, -7) και Β(3,-7) έχει γωνία ω=0 5) Για λ=1 η ευθεία 1 : ( 3 0 κα θετη στην : 3y 0 6) Για λ=14 οι ευθείες 1 : x 3y 0 : x 3y 1 0 απέχουν μεταξύ τους ) Η εστία της παραβολής x y είναι ηe0, 4 8) Ο κύκλος C: (x 1) (y 3) 5 έχει το κέντρο του πάνω στην ευθεία 4x 5y 11 0 και διέρχεται από τα σημεία Α(,1) και Β(-1,4) 9) Η έλλειψη με εστίες E'( 4,0), E(4,0) και α=10 είναι η 5x 9y 1 10) Η υπερβολή 4y 9x 36 έχει ασύμπτωτες τις y x 3 (μον.10) 1 Τρίκαλα τηλ.-fax( )

2 ΘΕΜΑ ο : Β1.Εστω, με 0.Να δείξετε ότι v v Β.Δίνονται τα διανύσματα 1, και 4,. α. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος,όπου (μον.6). (μον.7) β. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε 1, η οποία διέρχεται από το σημείο Ρ(014,014) και να είναι κάθετη στο διάνυσμα. γ. Δίνεται το διάνυσμα 5, και η ευθεία : x y 0, λ R. Να βρείτε το λ ώστε η ευθεία (ε ) να σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν 10 τ.μονάδες. ΘΕΜΑ 3 ο : Έστω Ε,0 και Ε',0 δύο σημεία του άξονα x'x. Αν για τα σημεία Μ του επιπέδου ισχύουν: ME ME' 64 ME ME' 16, τότε: και (μον.7) Γ1. Να δείξετε ότι τα σημεία Μ ανήκουν σε δύο κωνικές τομές, x y από τις οποίες η μία είναι έλλειψη με εξίσωση c 1 : και η άλλη ισοσκελής υπερβολή με εξίσωση: c : x y 1 (μον.7) Γ. Να βρείτε τα σημεία τομής των δύο αυτών κωνικών τομών. Γ3. Αν ε 1 η εκκεντρότητα της έλλειψης και ε η εκκεντρότητα της ισοσκελούς υπερβολής (του ερωτήματος Α) να βρείτε 1 το λόγο. Γ4. Μια ευθεία δ 1 με συντελεστή διεύθυνσης λ>0, διέρχεται από την εστία Ε της παραπάνω έλλειψης και τέμνει την ευθεία δ : x 4 στο σημείο Ρ. Αν (ΟΕΡ)=3 τ.μον. να βρείτε την εξίσωση της ευθείας δ 1. (μον.8) Τρίκαλα τηλ.-fax( )

3 ΘΕΜΑ 4 ο : Θεωρούμε τα σημεία Α(λ,0), Β(0,-λ), Γ(λ,-λ) όπου λ R και 0<λ<. Δ1. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΟΑΓΒ, όπου Ο η αρχή των αξόνων, είναι ορθογώνιο. (μον.3) Δ. Να δείξετε ότι η ευθεία ε, που διέρχεται από το Γ και είναι κάθετηστην ΑΒ, έχει εξίσωση x ( )y (1), λ R, 0<λ<. Δ3. Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση (1) του προηγούμενου ερωτήματος διέρχονται από το ίδιο σημείο. (μον.4) Δ4. Έστω C ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία Ο, Α και Β. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου Κ και την ακτίνα του R, συναρτήσει του λ. (μον.3) β)να γράψετε την εξίσωση του κύκλου C. (μον.) γ)να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την εξίσωση του ερωτήματος Δ4) β), για λ R και 0<λ< διέρχονται από δύο σταθερά σημεία και να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων αυτών. (μον.4) δ)να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του Κ. (μον.4) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ 3 Τρίκαλα τηλ.-fax( )

4 Απαντήσεις (Ενδεικτικές) ΘΕΜΑ 1 ο : Α1. Θεωρία Α. Θεωρία Α.3. 1 Λ, Λ, 3 Σ, 4 Σ, 5 Λ, 6 Σ, 7 Σ, 8 Σ, 9 Λ, 10 Λ ΘΕΜΑ ο : Β.1.Είναι προβ (1) και η v γράφεται: δηλαδή οπότε η ισότητα (1) γράφεται: προβ Β..α) Είναι : ( 1,) (4,) (3,4), ( 1,) (4,) ( 5,0).Σύμφωνα με το Β.1) έχουμε: ( ) ( 5) = 5,0 ( 5,0) άρα (3,0) β) Το είναι παράλληλο στον x x επομένως η καθετή του ευθεία είναι κατακόρυφη.άρα έχει εξίσωση : x 014 γ) Είναι ( 1,) (4,) (5,) (8,6) με και (4,) (3,0) (5,) (,0) με Τρίκαλα τηλ.-fax( )

5 Η ε γράφεται : :10x y 0 (1) (1) Για x 0 y δηλ η ε τέμνει τον y y στο 0, (1) Για y 0x δηλ η ε τέμνει τον x x στο, Έχουμε ότι 10 ( )( ) λ=-0 ή λ=0 10 ΘΕΜΑ 3 ο : Γ.1. Αφού ( ) ( ) 64 ( ) ( ) 8 ( ) άρα τα σημεία Μ ανήκουν στην έλλειψη με α=8 δηλ. α=4, και x y C 1 : Η εξίσωση της είναι Αφού (ME) (ME ) 16 (( ) ( ))(( ) ( ) 16 ( ) ( ) 8 16 ( ) ( ) ( ) άρα τα σημεία Μ ανήκουν στην υπερβολή με α= δηλ α=1, και 1 1.Η εξίσωση της είναι (ισοσκελής) Γ.. Τα σημεία τομής τους προκύπτουν από την λύση του συστήματος των εξισώσεων τους. Από την C y x 1 (1) x x x 16x C : x y 1 Η C 1 γίνεται : x x 1516 x 8 x. Από την (1) y 8 1 y Τρίκαλα τηλ.-fax( )

6 Οι C 1 και C έχουν τέσσερα κοινά σημεία τα : A(, 7), B(, 7), Γ(, 7) Είμαστε τυχεροί που είμαστε δάσκαλοι, Δ4 7 Γ.3. Είναι 1 4 1, άρα Γ.4. Είναι 1 : y 0 (x ) δηλ. y x. Άρα P(4,3 ). Αφού ( ) 3 1 ( )( ) Άρα 1 : y x δ 1 ΘΕΜΑ 4 ο : Δ.1. Επειδή xa x η ΑΒ είναι κατακόρυφη Επειδή yb y η ΒΓ είναι οριζόντια Άρα το ΟΑΓΒ είναι ορθογώνιο. Δ.. Είναι οπότε 1 1 και άρα : y ( ) (x ) ( )y ( ) x y y 4 4 x : x ( )y Τρίκαλα τηλ.-fax( )

7 Δ.3. Η : x y y , δηλ. x y 4 4 y 0, x y 4 0 και 4 y 0 x, y, το σταθερό σημείο από το οποίο ισχύει διέρχεται η ε. Δ.4. α) Είναι K, και ( ) ( ) 4 4 β) Είναι ( ) C : x y 4 γ) Παρατηρώ!!! ότι τα σημεία Ο(0,0) και Δ(1,1) επαληθεύουν την εξίσωση C οπότε όλοι οι κύκλοι διέρχονται από αυτά. δ) Έστω x x y 1 x : x y 1 0 y y 1 με 0 x 1, 0 y 1 ο γ.τ των Κ λοιπόν είναι το αντίστοιχο ευθύγραμμο τμήμα της δ. 7 Τρίκαλα τηλ.-fax( )