ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ÑÏÌÂÏÓ

Transcript

1 ΘΕΜΑ o Α.. Α.. Α.3. Β.. B.. Β.3. ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(x 0, y 0 ) και ακτίνα ρ. Μονάδες Πότε η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ 0 παριστάνει κύκλο; Ποιο είναι το κέντρο του και ποια η ακτίνα του; Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη ε του κύκλου C: x + y ρ σε ένα σηµείο του Α(x,y ) έχει εξίσωση xx + yy ρ. Μονάδες 6 Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ίνεται κύκλος x + y 0 και το σηµείο του Μ(,-3). Η εφαπτοµένη του κύκλου στο σηµείο Μ έχει εξίσωση: A. x + 3y 0, B. 5x - y 8, Γ. x - 3y 0,. 3x + y 3, E. x + y 5 Μονάδες 4 Στη Στήλη Α δίνονται οι εξισώσεις που παριστάνουν κύκλους και στη Στήλη Β τα κέντρα των κύκλων και οι ακτίνες τους. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης Β που αντιστοιχεί στη σωστή εξίσωση του κύκλου. Στήλη Α Στήλη Β α. x + y - 6x + 4y Κ (0, -), ρ β. x + (y ) 4. Κ (3, -), ρ 3. Κ (3, -), ρ 4 Μονάδες 4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Το σηµείο (, -) ανήκει στον κύκλο x + y. β. Ο κύκλος x + y 4 και η ευθεία y x εφάπτονται. γ. Η εξίσωση x + y + λ 0, όπου λ πραγµατικός αριθµός, είναι εξίσωση κύκλου.

2 ΘΕΜΑ ο Θεωρούµε τους ακεραίους της µορφής α 6k + υ µε 0 υ < 6 και k ακέραιος. Να δείξετε ότι: α) οι παραπάνω ακέραιοι α που δεν είναι πολλαπλάσια του ή του 3 παίρνουν τη µορφή α 6k ή τη µορφή α 6k + 5, όπου k ακέραιος β) το τετράγωνο κάθε ακεραίου αριθµού της µορφής του ερωτήµατος (α) µπορεί να πάρει τη µορφή: α 3µ,όπου µ ακέραιος γ) η διαφορά των τετραγώνων δύο ακεραίων του ερωτήµατος (α) είναι πολλαπλάσιο του 3. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ 3ο Για τα διαν ύσµατα και α - 3β (-7,8). α, β ισχύουν οι σχέ σε ις α 3β (4,- ) + α) Να δείξετε ότι α(-, ) και β (,- ). Μονάδες 7 β) Να βρεθεί ο πραγµατικός αριθµός k, ώστε τα διανύσµατα kα+ β και α+ 3β να είναι κάθετα. Μονάδες 8 γ) Να αν αλ υθε ί το διάν υσµα γ(3,-) σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο διάνυσµα ΘΕΜΑ 4ο Σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Οxy, η εξίσωση ευθείας (λ - )x + (λ )y - λ - 3 0, όπου λ πραγµατικός αριθµός, περιγράφει τη φωτεινή ακτίνα που εκπέµπει ένας περιστρεφόµενος φάρος Φ. α) Να βρείτε τις συντεταγµένες του φάρου Φ. Μονάδες 8 β) Τρία πλοία βρίσκονται στα σηµεία Κ(, ), Λ(-, 5) και Μ(, 3). Να βρείτε τις εξισώσεις των φωτεινών ακτίνων που διέρχονται από τα πλοία Κ, Λ και Μ. γ) Να υπολογίσετε ποιο από τα πλοία Κ και Λ βρίσκεται πλησιέστερα στη φωτεινή ακτίνα που διέρχεται από το πλοίο Μ. Μονάδες 6 δ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν της θαλάσσιας περιοχής που ορίζεται από το φάρο Φ και τα πλοία Λ και Μ. Μονάδες 6,5 α.

3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α.. ( x x ) + ( y y ) 0 0 ρ Α.. Α + Β 4Γ > 0 Το κέντρο του είναι Κ, και η ακτίνα του ρ Α + Β 4Γ Α.3. Θεωρία σχολικού βιβλίου Β.. Γ. x 3y 0 Β.. α 3, β Β.3. α Σωστό, β Λάθος, γ Λάθος ΘΕΜΑ ο α : ακέραιος και κ ακέραιος τότε υ α 6κ άρα και υ είναι ακέραιος. Επίσης 0 υ 6 άρα ο ακέραιος υ παίρνει τις τιµές : 0,,,3,4,5 α) Έστω : 3 κ Ο α διαιρείται και µε το και µε το 3 υ 0 τότε α 6κ ( ) 3 ( κ) υ τότε α 6κ ( 3κ) 3 ( κ) µε το 3 υ τότε α 6κ + ( κ ) υ 3 τότε α 6κ ( κ ) υ 4 τότε α 6κ + 4 ( κ ) υ 5 τότε α 6κ + 5 ( 3κ) + 4 ( 3κ + ) 3 ( κ ) ( κ ) A B Ο α δεν διαιρείται ούτε µε το, ούτε 3 + Ο α διαιρείται µε το + Ο α διαιρείται µε το Ο α διαιρείται µε το Ο α δεν διαιρείται + ούτε µε το, ούτε µε το 3 Από τα παραπάνω ο α παίρνει τη µορφή α 6κ + ή την µορφή α 6κ + 5, όπου κ ακέραιος. β) Έστω α 6κ + τότε α 36κ κ+ 3 κ + 4κ+ ( ) 3 µ, µ + 4κ Ζ Έστω α 6κ + 5 τότε α 36κ κ 3 κ κ+ άρα α 3µ, µ Ζ ( ) κ 3µ, µ κ κ Ζ

4 γ) Έστω α, β δύο ακέραιοι της µορφής του ερωτήµατος α). Τότε από ερώτηµα β) έχουµε : α 3µ, µ Ζ β 3λ, µ Ζ οπότε α β 3µ 3λ 3µ 3λ µ λ πολ 3 ( ) 3 ΘΕΜΑ 3 Ο α) α + 3β ( 4, ) + α 3β ( 7,8 ) α + 3β + α 3β ( 4, ) + ( 7,8 ) 3α ( 3,6 ) α (, ) α 3β ( 7,8 ) α 3β ( 7,8 ) 3β (, ) ( 7,8 ) ( 6, 6) α ( ), β (, ) β) Θα πρέπει : ( κ α + β) ( α + 3β) 0 α ( ) + 5 κ α + 3καβ+ αβ+ 3β 0 κ α + ( 3κ + ) α β + 3β 0, β + ( ) Τότε ) κ 5 + ( 3κ + ) ( 6) κ + 4 8κ 0 8κ 3 κ 8 ), α β ( ) + ( ) 6 γ) Έστω p, q οι συνιστώσες τότε θα ισχύουν οι σχέσεις : γ + p + q γ p λα γ p + λα p q p α p α 0 ( Ι ) qιια q λα q λα αφού γ p + λα τότε α γ α( p + λα) 3 α p + λα λ 5 άρα λ p γ α 3,, αφού λ τότε q α (, ) και τότε ( ) ( ) (, ) ΘΕΜΑ 4 ο α) Έστω Φ ( 0, y 0 ) ( λ ) x0 + ( λ ) y0 λ 3 0 ( + y ) λ x + y 3 0 οπότε x οι συντεταγµένες του φάρου τότε για κάθε λ R τότε x x0 0 x0 0 y x0 3 0 x0 3 0 x 0 0 άρα Φ(, )

5 β) φωτεινή ακτίνα ΚΦ : διέρχεται από το πλοίο που είναι στο σηµείο K (, ) τότε : ( λ ) + ( λ ) λ 3 0 ( λ + λ + λ 3 0) ( 3λ 3 0) λ άρα ΚΦ : 0 x + y 3 0 y Eπιµέλεια : Τσόγιας ηµήτρης