Kόλλιας Σταύρος 1

Transcript

1 Kόλλιας Σταύρος Θέμα ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Αα ) Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων α και β νται τα διανύσματα α Μονάδες 0 β) Δίνο και v του επιπέδου μεα 0 Να αποδείξετε ότι α v= α προβ α v Μονάδες 7 Β Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α) Αν α β=α γ και α 0 τότε β =γ Μονάδες β) Αν αβ, α β α δύο μη μηδενικά διανύσματα τότε = β α β γ) Είναι i i j = όπου και yy ( ) αντίστοιχα i, j δ) Αν α και β δύο διανύσματα του επιπέδου τότε Θέμα Μονάδες τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων xx Μονάδες α β=α β Μονάδες Δίνονται τα διανύσματα α και β του επιπέδου με ( ) π αβ, = και τα διανύσματα u = α + 4β και v =α β α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα u και v είναι μη μηδενικά Μονάδες 6 Αν ισχύει ακόμα α= β= τότε β) Να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα α β και u v Μονάδες 6

2 Kόλλιας Σταύρος γ) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων u και v Μονάδες 6 δ) Να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων u και v Μονάδες 7 Θέμα Δίνονται οι ευθείες ε :4x y 9 = 0 και ε :4x y 4 = 0 α) Να δείξετε ότι είναι παράλληλες μεταξύ τους β) Να βρείτε τα σημεία Α και Β που η ε τέμνει τους άξονες xx και yy αντίστοιχα γ) Να βρείτε την απόσταση των ευθειών ε και ε δ) Να δείξετε ότι για κάθε λ το Μ( λ,4λ ) είναι σημείο της ε ε) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΜΒ είναι ανεξάρτητο του λ Θέμα 4 Δίνονται οι κύκλοι C :( ) x+ + y = 8και ( ) C : x + y = α) Να δείξετε ότι ο C είναι εσωτερικός του C Μονάδες 0 β) Να δείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων C που εφάπτονται στον C εσωτερικά και στον C εξωτερικά ανήκουν σε έλλειψη με εστίες τα κέντρα Κ, Κ των κύκλων C, C αντίστοιχα Ποια είναι η εξίσωση της έλλειψης ΟΔΗΓΙΕΣ Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα Διάρκεια εξέτασης: δύο () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ Ο Διευθυντής Οι Εισηγητές

3 Kόλλιας Σταύρος Θέμα ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Αα ) Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων α και β και το συμβολίζουμε α β τον πραγματικό αριθμό α β= α β συνφ, όπου φ η γωνία των διανυσμάτων α και β Αν α = 0 ή β= 0, τότε ορίζουμε α β=0 β) Με αρχή το Ο παίρνουμε τα διανύσματα ΟΑ = α και ΟΜ = v Από το Μ φ έρ ΟΑ νουμε κάθετο στη διεύθυνση του και έστω M το ίχνος της καθέτου τότε α v=α ( OM+ OM ) =α OM +α OM = 0+ α OM = α προβ αv Β α) Λάθος Το σωστό είναι: α β=α γ α β α γ= 0 α ( β γ) = 0 α = 0 απορ β γ= 0 β=γ α β γ α β α β α β α β) Λάθος Το σωστό είναι = = = β β α β α β β γ) Σωστό Είναι ( ) i i j = i i j = i 0 =

4 Kόλλιας Σταύρος 4 δ) Λάθος Το σωστό είναι α β= α β συνφ=α β συνφ Μονάδες Θέμα Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α και β του επιπέδου με ( ) π αβ, = και τα διανύσματα u = α+ 4β και v = α β α) Αν u = 0 α+ 4β= 0 α= β άτοπο γιατί διανύσματα α και β του ( ) δεν είναι παράλληλα αφού π αβ, = β) Είναι ( ) π α β = α β συν α, β = α β συν = ( ) = Και u v= α+ 4β α β = α α β+ 4α β 4β γ) Είναι ( ) ( ) = α + α β 4β = + 4 = u 4 = α+ β = α+ 4β = 4α + 6α β+ 6β ( ) = = Άρα u = Και v = α β = ( α β ) =α α β+β = + = Άρα v = δ) Είναι ( u v συν u,v) = = = = u v 6 άρα π ( u,v) = Θέμα Δίνονται οι ευθείες ε :4x y 9 = 0 και ε :4x y 4 = 0 4 α) Είναι λ = =λ άρα οι ευθείες είναι παράλληλες αφού έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης β) Για x = 0 η εξίσωση της ε δίνει y= 8 και για y= 0 δίνει x = 6 Άρα A( 6,0) και B0, 8 ( )

5 Kόλλιας Σταύρος 5 = γ) Είναι d ( ε, ε ) = d ( Α, ε ) = = δ) Οι συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν την εξίσωση της ε 9= 0 αφού 4 λ 4 ( λ ) 9= λ λ+ 9 Άρα Μ σημείο της ε ε) Είναι ( ΑΜΒ ) = det( AM, AB) = Θέμα 4 λ 6 4λ 6 8 λ 6 4λ = = 8 λ λ 6 8 = 4 λ λ 8 = 5 τμ ( ) ( )( ) ( ) Δίνονται οι κύκλοι C : x + 6x+ y = 7και C : x + y = α) Ο κύκλος C έχει κέντρο το K (,0) και ακτίνα ρ = 9 και ο κύκλος C έχει κέντρο Κ (,0 ) και ακτίνα ρ = Είναι ( ΚΚ ) = 6< 8= ρ ρ άρα ο C είναι εσωτερικός του C γ) Αν Μ κέντρο του κύκλου που C που εφάπτεται στον C εσωτερικά και στον C εξωτερικά τότε (σχήμα ) ΜΚ + ΜΚ = ΜΚ + ΜΒ + ΒΚ = ΜΚ + ΜΚ + ΒΚ =ΜΚ+ΒΚ =ρ +ρ = 9+ = 0 Άρα Μ σημείο έλλειψης με εστίες τα σημεία K (,0), Κ (,0 ) και μεγάλο άξονα α = 0 Άρα α = 5, γ = και β = α γ = 4 οπότε η εξίσωση της έλλειψης είναι x y C: + = 5 6

6 Kόλλιας Σταύρος 6 Σχήμα