3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

Transcript

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η υπερβολή x y. Να βρείτε Tις ασύµπτωτες και την εκκεντρότητα της υπερβολής. i Tις εφαπτόµενες της υπερβολής που είναι παράλληλες στην ευθεία (ε) : x + y + 0 ii Tο εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζεται από τις ασύµπτωτες της υπερβολής και την ευθεία y 6 Η υπερβολή γράφεται x y, οπότε α α, β β και β γ α γ γ 8 5 Ασύµπτωτες : y ± β α x y ± x y ± x Εκκεντρότητα : ε γ α 0 i Αν Ρ(x, y ) είναι σηµείο επαφής, η εφαπτοµένη σ αυτό είναι xx yy xx yy () Εφαπτοµένη // (ε) λ εφ λ ε x x y y () Το Ρ(x, y ) ανήκει στη υπερβολή x Λύνοντας το σύστηµα των (), () βρίσκουµε ( x και y ) ή ( x και y ) ηλαδή τα σηµεία επαφής είναι τα (, ) και (, ) Η () γίνεται x + y 6 ή x + y 6 y (). ii Τα σηµεία τοµής των ασύµπτωτων y ± x µε την ευθεία y 6 (λύνοντας τα συστηµατάκια) βρίσκουµε ότι είναι τα Γ(, 6) και (, 6). Το τρίγωνο του οποίου ζητάµε το εµβαδόν είναι το ΟΓ. Είναι Γ x x µε (Γ ) και d(o, Γ ) 6.

2 Οπότε (ΟΓ ) (Γ ). d(ο, Γ ) τετραγωνικές µονάδες. Έστω η παραβολή y x και το σηµείο της Μ(, ). Αν Κ είναι η προβολή του Μ στην διευθετούσα, και Ε η εστία, δείξτε ότι η µεσοκάθετη του ΚΕ είναι εφαπτοµένη της παραβολής στο Μ και διχοτοµεί τη γωνία ΚΜ Ε i Αν η εφαπτοµένη στο Μ τέµνει την διευθετούσα στο Ρ δείξτε ότι ΡΕ ΜΕ. p p Είναι Ε(, 0) και Κ(, ) Εφαπτοµένη στο Μ: y (x + ) y x + () Θα αποδείξουµε ότι η εφαπτοµένη είναι µεσοκάθετη του ΚΕ. Είναι λ εφ 0 και λ Κ Ε ( ) Οπότε λ εφ.λ Κ Ε εφ ΚΕ Έστω Η το µέσο του ΚΕ. Τότε x E + xk x H y 0 και E + yk y H 0 + Προφανώς, οι συντεταγµένες του Η επαληθεύουν την (), άρα Η εφ i Συντεταγµένες του Ρ: Είναι λ Μ Ε 0 y x+ x y + x και λ Ρ Ε 0,5 ( ) Οπότε λ Μ Ε.λ Ρ Ε ΡΕ ΜΕ. y,5 x Σηµείωση : Το παραπάνω πρόβληµα ισχύει για οποιοδήποτε σηµείο Μ της παραβολής.

3 . ίνεται η εξίσωση x + y + 6µx + 8λy 0 (), όπου λ, µ πραγµατικοί αριθµοί διάφοροι του µηδενός. A) Να δείξετε ότι για κάθε τιµή των λ και µ η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. B) Αν για τους πραγµατικούς αριθµούς λ και µ ισχύει η σχέση µ+ λ 0, να δείξετε ότι Όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την () έχουν τα κέντρα τους σε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. i Να βρείτε τα λ και µ έτσι ώστε αν η ευθεία (ε) : x + y + 0 τέµνει έναν από τους κύκλους της () στα σηµεία Α και Β να ισχύει ΟΑ ΟΒ0 (Ο η αρχή των αξόνων) ii Για τις τιµές των λ και µ που βρήκατε στο προηγούµενο ερώτηµα, να βρείτε το εµβαδό του τριγώνου ΟΑΒ. Α) Επειδή Α + Β Γ 6µ + 6λ > 0, η () είναι εξίσωση κύκλου, και επειδή επαληθεύεται για x y 0 ο κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Β) Το κέντρο του τυχαίου κύκλου της () είναι Κ A, B Κ( µ, λ) Αν Κ(x, y), τότε (x µ και y λ) () Όµως µ + λ 0 µ λ Οπότε η () γίνεται (x λ και y λ) (x λ και y x) Η εξίσωση y x είναι εξίσωση ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων i ΟΑ ΟΒ0 ΟΑ ΟΒ ΑΟΒ 0 ο ΑΒ διάµετρος Κ (ε) µ λ + 0 Λύνοντας το σύστηµα των µ + λ 0 και µ λ + 0 βρίσκουµε λ και µ ii Για λ και µ η () γίνεται x + y x + 8y 0 A + B Γ 6+ 6 ρ 5 Το εµβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ δίνεται από τον τύπο Β K A - y O x

4 Ε (ΑΒ) d(o, AB) Η ΑΒ είναι διάµετρος του κύκλου άρα (ΑΒ) ρ 5 d(o, AB) ( η εξίσωση της ευθείας ΑΒ είναι η x + y + 0) Άρα Ε 5 0 τετραγωνικές µονάδες Σηµείωση : Θα µπορούσαµε να βρούµε τα Α και Β λύνοντας το σύστηµα των εξισώσεων x + y x + 8y 0 και x + y + 0 και παρατηρώντας ότι η γωνία ΑΟΒ είναι ορθή να βρούµε το εµβαδόν από τον τύπο Ε ΟΑ ΟΒ ή από τον τύπο Ε det(, ΟΑ ΟΒ )

5 5. Αν ΡΑ+ ΡΓ 0 και ΡΑ 6, ΡΓ Τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά i Το σηµείο Γ είναι το µέσο του τµήµατος ΑΒ ο ii Η γωνία Α 0 iν) Το διάνυσµα ν+ργ είναι κάθετο στο ΑΓ Θεωρούµε σαν σηµείο αναφοράς ένα από τα Α, Β, Γ π.χ το Γ ΡΑ+ ΡΓ 0 ΓΑ ΓΡ +ΓΒ ΓΡ + ΓΡ 0 ΓΑ + ΓΒ 0 ΓΑ ΓΒ ΒΓ ΓΑ Α, Β, Γ συνευθειακά i Αφού ΒΓ ΓΑ το Γ είναι µέσο του τµήµατος Α Β ii ΡΑ+ iν) Είναι ΡΓ 0 ΡΑ+ ν ΑΓ (+ Η υπόθεση ΡΑ+ Οπότε η () γίνεται ΡΓ ) ΡΓ (ΡΑ+ ΡΑ +ΡΑ + ΡΓ ΡΑ +ΡΑ + ΡΓ 6 + ΡΑ + ΡΑ 0 ΡΑ ΡΓ )ΑΓ (+ ΡΓ 0 ΡΓ ΡΓ )(ΡΓ ΡΑ ) () ΡΑ+ ν ΑΓ ΡΑ+ ΡΑ+ + ΡΑ ΡΑ+ ΡΑ ΡΑ ΡΑ + ΡΑ (ii 0 ΡΑ + 0 να δείξετε ότι 6+ 0 ν ΑΓ

6 6 5. Έστω οι αριθµοί κ ν + και λ ν + 5, όπου ν ακέραιος. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθµού κ + λ µε το 0 i Το υπόλοιπο της διαίρεσης ακεραίου α µε το είναι. είξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του α µε το είναι. Ακόµα να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του α µε το. κ + λ 6ν ν + 5 0ν + 0ν (ν + ) + 0µ +, όπου µ ν + Z Άρα το υπόλοιπο της διαίρεσης του κ + λ µε το 0 είναι υ i Από υπόθεση έχουµε α π +, π Z Τότε α (π + ) π + π + π + π + + (π + π + ) + γ +, όπου γ (π + π +) Z Άρα το υπόλοιπο της διαίρεσης του α µε το είναι α (π + ) 7π + 5π + 6π + 8 (π + 6π + π) + 8 η + 8, όπου η π + 6π + π Z Άρα το υπόλοιπο της διαίρεσης του α µε το είναι 8.

7 7 6. ίνεται η εξίσωση x y + 6x + 0 i ) Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες ε, ε i Να δείξετε ότι οι οι ευθείες ε, ε είναι κάθετες. ii Να βρείτε ένα σηµείο Μ(κ, λ) µε κ > 0 και λ > 0 τέτοιο ώστε το διάνυσµα α (, κ) να είναι παράλληλο στη µία από τις παραπάνω ευθείες και το διάνυσµα β ( 6, λ) να είναι παράλληλο προς την άλλη. iν) Να γράψετε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων, άξονα συµµετρίας τον x x και διέρχεται από το σηµείο Μ. x y + 6x + 0 (x +) y 0 ( x + + y)(x + y) 0 x + + y 0 ή x + y 0 y x ή y x + δύο ευθείες ε, ε i λ λ ( ). ε ε ii Είναι κ λ α > 0 άρα α // ε λ λ β < 0 6 Οπότε Μ(, ) και άρα β ε και iν) Έστω y px η ζητούµενη παραβολή. κ κ λ λ 6 Η παραβολή διέρχεται από το Μ(, ) p p 8 Άρα η εξίσωση της ζητούµενης παραβολής είναι y 6 x.

8 8 7. ίνεται η εξίσωση x + y xσυνθ yηµθ 0, 0 θ < π. Να αποδείξετε ότι για κάθε θ η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. i Αν θ π, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης του κύκλου στο σηµείο του Μ(, ) ii Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιµές του θ, τα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται σε κύκλο µε κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ. Α + Β Γ συν θ + ηµ θ + (συν θ + ηµ θ) > 0 Άρα η εξίσωση παριστάνει κύκλο Α Β Κέντρο του κύκλου : Κ, Κ(συνθ, ηµθ) Ακτίνα του κύκλου : ρ i Α +Β Γ 8 Για θ π η εξίσωση γίνεται x + y y 0 µε κέντρο Κ(0, ). Είναι λ ΜΚ και επειδή η εφαπτόµενη είναι κάθετη στη ΜΚ, θα είναι 0 λ εφ. Άρα η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι y ( x ) y x + ii Έστω Κ(x, y) το κέντρο του τυχαίου από τους δοσµένους κύκλους. Τότε x συνθ και y ηµθ x + y συν θ + ηµ θ x + y κύκλος µε κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ.

9 8. Της υπερβολής y x να βρείτε τις εστίες τις κορυφές και τις εξισώσεις των ασύµπτωτων i είξτε ότι η υπερβολή δεν διέρχεται από σηµείο µε συντεταγµένες ακέραιους αριθµούς. y x y x α, β και γ α + β α, β και γ Εστίες : Ε 0, και Ε 0, Κορυφές : Α 0, και Α 0, Ασύµπτωτες : y ± x. i y x y x + () Αν το x είναι ακέραιος, τότε x π ή x π + ή x π + Όταν x π, η () y π + π + Z Όταν x π +, η () y (π+ ) + π + 6π+ + π + π + Z Όταν x π +, η () y (π+ ) + π + π+ + π + π + 5 Z Άρα η υπερβολή δεν διέρχεται από σηµείο µε συντεταγµένες ακέραιους αριθµούς.

10 0. Σε ορθοκανονικό σύστηµα Οxy θεωρούµε τα διανύσµατα ΟΓ (x, x ) και Ο (x, x ) Να βρείτε το x ώστε τα διανύσµατα να είναι κάθετα. i Για την µεγαλύτερη τιµή του x που βρήκατε, να βρείτε την εξίσωση του κύκλου µε διάµετρο το τµήµα Γ. ii Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόµενων του κύκλου στα Γ και. iν) Αν η εφαπτόµενη στο Γ τέµνει τον y y στο Β και η εφαπτόµενη στο τέµνει τον x x στο Α, να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει κέντρο το Ο(0,0) και δύο κορυφές της είναι τα Α, Β. ΟΓ Ο ΟΓ Ο 0 (x )(x ) + (x )(x ) 0 x x + 0 x ή x 7 i Για x 7 είναι ΟΓ,, άρα Γ, Ο,, άρα, 5 Το µέσο Κ του Γ είναι το Κ, 0 6 και (Γ ) Ο ζητούµενος κύκλος έχει κέντρο το Κ και ακτίνα ρ ( Γ ) 5 6, 5 εποµένως η εξίσωση του είναι x 6 + y 5 6 ii λ ΚΓ οπότε η εφαπτοµένη στο Γ θα έχει λ και εποµένως εξίσωση y x y x + 5 Οµοίως βρίσκουµε ότι η εφαπτοµένη στο έχει εξίσωση y x 5 iν) 5 Το σηµείο τοµής Β της εφαπτοµένης στο Γ µε τον άξονα των y είναι Β 0, Το σηµείο τοµής Α της εφαπτοµένης στο µε τον άξονα των x είναι Α 5, 0

11 ν) Επειδή 5 > 5, η έλλειψη θα έχει τον µεγάλο άξονα πάνω στον y y µε α 5 και β 5. Οπότε η εξίσωσή της θα είναι x y Αν α β γ i Αν α (, ) και α β+β γ και β (, ) α) Να βρείτε το µέτρο του διανύσµατος γ 5α β, δείξτε ότι α+ββ+γ 0 β) Να βρείτε την γωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα γ µε τον άξονα x x α β+β γ α β συν( α β ) + β γσυν( β γ ) συν( α β ) + συν( β γ ) () Αλλά για οποιαδήποτε γωνία φ ισχύει συνφ Οπότε η () συν( α β ) και συν( β γ ) α β και β γ Και επειδή α β γ, θα είναι β αντίθετο του α ηλαδή α + β 0 και και γ αντίθετο του β. β + γ 0 i α) γ 5α β 5(, ) (, ) (, ) Άρα γ + i β) Αν ω είναι η γωνία του διανύσµατος γ µε τον άξονα των x, τότε εφω λ γ, άρα ω 5 ο ή ω 5 ο Και επειδή το πέρας του διανύσµατος είναι στο ο τεταρτηµόριο θα είναι ω 5 ο.