Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004"

Transcript

1 Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

2 Περιεχόµενα 1 Θέµατα Θέµατα Θέµατα Επαναληπτικών Θέµατα Θέµατα Επαναληπτικών Θέµατα Επαναληπτικών Σεπτεµβρίου Θέµατα Θέµατα Επαναληπτικών Θέµατα Θέµατα Επαναληπτικών Θέµατα Θέµατα Επαναληπτικών

3 Θέµατα 1999 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 1999 ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ : ΘΕΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1ο Α. Έστω α = (x1,y1) και β= (x,y) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. α) Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων α και β συναρτήσει των συντεταγµένων τους. Μονάδες 3 β) Αν τα διανύσµατα α, β δεν είναι παράλληλα προς τον άξονα y y και λ 1, λ είναι οι συντελεστές διεύθυνσης των α, β αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι: α β λ1λ = 1 Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσµατα α, β είναι µη µηδενικά και θ είναι η γωνία των α και β, να αποδείξετε ότι: x1x + y1y συνθ = x1 + y1 x + y Μονάδες 4 Β. α) ίνονται τα διανύσµατα α 1 = (λ, λ 1) και β 1 = (4, λ), µε λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιµές του λ τα διανύσµατα α 1 και β 1 είναι κάθετα; Α. λ=1, Β. λ=3, Γ. λ=, 3

4 Θέµατα λ=-, Ε. λ=-3. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Μονάδες 6,5 β) ίνονται τα διανύσµατα u = (1, - 3), v = (, 3) και w = ( 3,1). Να αντιστοιχίσετε κάθε γωνία που βρίσκεται στη στήλη Α µε το µέτρο της που βρίσκεται στη στήλη Β. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β Α. π/ 1. γωνία των u και v Β. π/6. γωνία των u και w Γ. π/4 3. γωνία των v και w. π/3 Ε. 3π/4 Ζ. π/3 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της Στήλης Α και δίπλα το γράµµα της Στήλης Β που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ ο ίνονται οι αριθµοί α = κ + και β = 6κ + 7, όπου κ ακέραιος αριθµός. Να αποδείξετε ότι: α) Οι αριθµοί 3α και β είναι πρώτοι µεταξύ τους. Μονάδες 9 β) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθµού ( β α) µε το 10 είναι. 4

5 Θέµατα 1999 γ) Αν ο αριθµός κ είναι πολλαπλάσιο του 7, τότε και ο αριθµός (α+β-) είναι πολλαπλάσιο του 7. ΘΕΜΑ 3ο ίνονται τα σηµεία Α(8,0) και Β(0,4) του καρτεσιανού επιπέδου Oxy. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από την αρχή των αξόνων Ο και το µέσο του τµήµατος ΑΒ. Μονάδες 9 β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σηµείο και είναι κάθετη στην ευθεία Ο. Μονάδες 9 γ) Έστω Μ τυχαίο σηµείο της παραπάνω ευθείας (ε). Να δείξετε ότι ισχύει η σχέση: ΜΑ + ΜΒ = ΟΜ Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 4ο Θεωρούµε έναν πληθυσµό από 1999 µυρµήγκια. Κάθε µυρµήγκι χαρακτηρίζεται από έναν αριθµό n=1,,3,...,1999 και κινείται επάνω στο καρτεσιανό επίπεδο Οxy διαγράφοντας µια τροχιά µε εξίσωση: (x 1) + y = n(x + y 1). Να δείξετε ότι: α) η τροχιά κάθε µυρµηγκιού είναι κύκλος και να βρεθούν οι συντεταγµένες του κέντρου του Μονάδες 9 5

6 Θέµατα 1999 β) κατά την κίνησή τους όλα τα µυρµήγκια διέρχονται από ένα σταθερό σηµείο Α (που είναι η φωλιά τους). Ποιες είναι οι συντεταγµένες του σηµείου Α; γ) οι τροχιές όλων των µυρµηγκιών εφάπτονται της ευθείας x + y 1 = 0 στο σηµείο Α. Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόµενους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, κατεύθυνση, εξεταζόµενο µάθηµα). Τα θέµατα δε θα τα αντιγράψετε στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως µόλις σας παραδοθούν. Καµιά άλλη σηµείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν µετά το πέρας της εξέτασης 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε λύση επιστηµονικά τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. Αν κατά την ανάπτυξη των θεµάτων χρησιµοποιήσετε σχήµατα, αυτά µπορούν να γίνουν και µε µολύβι. 6. ιάρκεια εξέτασης : Τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μια ώρα και µισή (1 1/) µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!! ΤΕΛΟΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 6

7 Θέµατα 000 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o Α.1. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(x 0, y 0 ) και ακτίνα ρ. Μονάδες Α.. Πότε η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο; Ποιο είναι το κέντρο του και ποια η ακτίνα του; Μονάδες 4,5 Α.3. Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη ε του κύκλου C: x + y = ρ σε ένα σηµείο του Α(x 1,y 1 ) έχει εξίσωση xx 1 + yy 1 = ρ. Μονάδες 6 Β.1. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ίνεται κύκλος x + y = 10 και το σηµείο του Μ(1,-3). Η εφαπτοµένη του κύκλου στο σηµείο Μ έχει εξίσωση: A. x + 3y = 10, B. 5x - y = 8, Γ. x - 3y = 10,. 3x + y = 3, 1 E. x + y = 5 Μονάδες 4 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 7

8 Θέµατα 000 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ B.. Στη Στήλη Α δίνονται οι εξισώσεις που παριστάνουν κύκλους και στη Στήλη Β τα κέντρα των κύκλων και οι ακτίνες τους. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης Β που αντιστοιχεί στη σωστή εξίσωση του κύκλου. Στήλη Α Στήλη Β α. x + y - 6x + 4y - 3 = 0 1. Κ (0, -1), ρ = β. x + (y + 1) = 4. Κ (3, -), ρ = 1 3. Κ (3, -), ρ = 4 Μονάδες 4 Β.3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Το σηµείο (1, -1) ανήκει στον κύκλο x + y =. β. Ο κύκλος x + y = 4 και η ευθεία y = x εφάπτονται. γ. Η εξίσωση x + y + λ = 0, όπου λ πραγµατικός αριθµός, είναι εξίσωση κύκλου. Μονάδες 4,5 ΘΕΜΑ ο Θεωρούµε τους ακεραίους της µορφής α = 6k + υ µε 0 υ < 6 και k ακέραιος. Να δείξετε ότι: α) οι παραπάνω ακέραιοι α που δεν είναι πολλαπλάσια του ή του 3 παίρνουν τη µορφή α = 6k + 1 ή τη µορφή α = 6k + 5, όπου k ακέραιος Μονάδες 10 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 8

9 Θέµατα 000 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ β) το τετράγωνο κάθε ακεραίου αριθµού της µορφής του ερωτήµατος (α) µπορεί να πάρει τη µορφή: α = 3µ + 1,όπου µ ακέραιος Μονάδες 10 γ) η διαφορά των τετραγώνων δύο ακεραίων του ερωτήµατος (α) είναι πολλαπλάσιο του 3. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ 3ο Για τα διανύσµατα α, β ισχύουν οι σχέσεις α + 3β = (4,- ) και α - 3β = (-7,8). α) Να δείξετε ότι α = (-1, ) και β= (,- ). Μονάδες 7 β) Να βρεθεί ο πραγµατικός αριθµός k, ώστε τα διανύσµατα kα + β και α + 3βνα είναι κάθετα. γ) Να αναλυθεί το διάνυσµα γ = (3,-1) σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο διάνυσµα α. Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 4ο Σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Οxy, η εξίσωση ευθείας (λ - 1)x + (λ + 1)y - λ - 3 = 0, όπου λ πραγµατικός αριθµός, περιγράφει τη φωτεινή ακτίνα που εκπέµπει ένας περιστρεφόµενος φάρος Φ. α) Να βρείτε τις συντεταγµένες του φάρου Φ. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 9

10 Θέµατα 000 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ β) Τρία πλοία βρίσκονται στα σηµεία Κ(, ), Λ(-1, 5) και Μ(1, 3). Να βρείτε τις εξισώσεις των φωτεινών ακτίνων που διέρχονται από τα πλοία Κ, Λ και Μ. Μονάδες 4,5 γ) Να υπολογίσετε ποιο από τα πλοία Κ και Λ βρίσκεται πλησιέστερα στη φωτεινή ακτίνα που διέρχεται από το πλοίο Μ. Μονάδες 6 δ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν της θαλάσσιας περιοχής που ορίζεται από το φάρο Φ και τα πλοία Λ και Μ. Μονάδες 6,5 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόµενους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, κατεύθυνση, εξεταζόµενο µάθηµα). Τα θέµατα να µην τα αντιγράψετε στο τετράδιο. Τα σχήµατα που θα χρησιµοποιήσετε στο τετράδιο µπορούν να γίνουν και µε µολύβι.. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως µόλις σας παραδοθούν. Καµιά άλλη σηµείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν µετά το πέρας της εξέτασης. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε λύση επιστηµονικά τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μια (1) ώρα µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ! ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 10

11 Θέµατα Επαναληπτικών 000 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 8 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o Α.1. Αν α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου, να γράψετε τις συντεταγµένες των παρακάτω διανυσµάτων: α + β και λ α + µβ, µε λ,µ πραγµατικούς αριθµούς. Μονάδες 3 Α.. Αν Α(x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δύο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x,y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι: x x x = 1 + y και y = 1 + y Μονάδες 6,5 Α.3. Αν Α(x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δύο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου, να γράψετε τις σχέσεις που δίνουν τις συντεταγµένες του διανύσµατος AB και την απόσταση (ΑΒ) των σηµείων Α και Β. Μονάδες 3 Β.1. Στη Στήλη Α δίνονται οι συντεταγµένες δύο σηµείων του καρτεσιανού επιπέδου και στη Στήλη Β οι ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 11

12 Θέµατα Επαναληπτικών 000 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ συντεταγµένες του διανύσµατος AB και η απόσταση (ΑΒ) των σηµείων Α και Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράµµατα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης Β που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Στήλη Α Στήλη Β α. Α(1,3) και Β(-,5) 1. AB =(-3,) και (ΑΒ)= 15 β. Α(,-1) και Β(,-3). AB =(0,-) και (ΑΒ)= γ. Α(4,-3) και Β(6,-3) 3. AB =(-3,) και (ΑΒ)= AB =(,0) και (ΑΒ)= Μονάδες 6 Β.. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Αν Κ (x 1,6) και Λ (-9,y ) δύο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (-5,4) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΚΛ, τότε: A: x 1 = 1 και y =- Β: x 1 = -1 και y = Γ: x 1 = -3 και y = : x 1 = 4 και y = 5 Ε: κανένα από τα προηγούµενα Μονάδες 6,5 ΘΕΜΑ ο Αν α είναι ένας άρτιος ακέραιος αριθµός, να αποδείξετε ότι: α. (α+1) - 1 = 4λ, όπου λ ακέραιος αριθµός. Μονάδες 10 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 1

13 Θέµατα Επαναληπτικών 000 β. ( α + 1) + ( α + 3) α + 4 αριθµός. ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - α + = 3µ, όπου µ ακέραιος Μονάδες 15 ΘΕΜΑ 3ο ίνεται το σηµείο Α(,1) του καρτεσιανού επιπέδου Oxy. α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΟΑ. Μονάδες 5 β. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σηµείο Α και είναι κάθετη στην ευθεία ΟΑ. Μονάδες 7 γ. Η ευθεία (ε) τέµνει τον άξονα x x στο σηµείο Β. Να βρείτε την εξίσωση του ύψους του τριγώνου ΟΑΒ που διέρχεται από την κορυφή Α. Μονάδες 6 δ. Να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 4ο α. ίνεται η εξίσωση (x-1) (x-3) + (y-3) (y-5) = 0. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. β. Σε τοπογραφικό σχεδιάγραµµα, µε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Οxy τα σηµεία Α(1,3), Β(3,3), Γ(3,5) και (1,5) παριστάνουν τις θέσεις τεσσάρων δήµων. Να αποδείξετε ότι µπορεί να ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 13

14 Θέµατα Επαναληπτικών 000 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ χαραχθεί περιφερειακός κυκλικός δρόµος που να διέρχεται από τους τέσσερις δήµους. Μονάδες 7 γ. Αν θεωρήσουµε ότι στο ίδιο σύστηµα αξόνων του ερωτήµατος β, οι συντεταγµένες ενός αυτοκινήτου Κ για κάθε χρονική στιγµή t (t>0) είναι (t, t+), να βρείτε αν η γραµµή, στην οποία κινείται το αυτοκίνητο Κ, συναντά τον κυκλικό περιφερειακό δρόµο και αν ναι, σε ποια σηµεία; Μονάδες 10 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόµενους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, κατεύθυνση, εξεταζόµενο µάθηµα). Τα θέµατα να µην τα αντιγράψετε στο τετράδιο. Τα σχήµατα που θα χρησιµοποιήσετε στο τετράδιο µπορούν να γίνουν και µε µολύβι.. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως µόλις σας παραδοθούν. Καµιά άλλη σηµείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν µετά το πέρας της εξέτασης. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε λύση επιστηµονικά τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μια (1) ώρα µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 14

15 Θέµατα 001 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 31 ΜΑΪΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o Α.1. Έστω α, β, γ ακέραιοι αριθµοί. Να δείξετε ότι ισχύουν οι επόµενες ιδιότητες: α. Αν α β, τότε α λβ για κάθε ακέραιο λ. Μονάδες 4 β. Αν α β και α γ, τότε α (β+γ). Μονάδες 4 Α.. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Έστω α, β φυσικοί αριθµοί και υ το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του α µε τον β 0. Τότε: α. (α,β) < (β,υ) β. (α,β) = (β,υ) γ. (α,β) > (β,υ) δ. (α,β) = (β,υ) + 1 όπου (α,β) είναι ο Μ.Κ.. των φυσικών αριθµών α, β. Μονάδες 4,5 Β.1. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Αν 7 (α+5) και 7 (40-β) τότε: α. 7 (α+β), β. 7 (α+β+1), γ. 7 (α+β+), δ. 7 (α+β-3). Μονάδες 4 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 15

16 Θέµατα 001 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β.. Να προσδιορίσετε τον Μ.Κ.. των ακεραίων 7 και 11. Μονάδες 4,5 Β.3. Να εκφράσετε τον Μ.Κ.. των ακεραίων 7 και 11 ως γραµµικό συνδυασµό των ακεραίων 7 και 11. Μονάδες 4 ΘΕΜΑ ο Για τα διανύσµατα α, β δίνεται ότι α = 1, β = και ( α, β) = π. Έστω τα διανύσµατα u = α + 3β, v = α - β. 3 Να υπολογίσετε: α. το εσωτερικό γινόµενο α β Μονάδες 5 β. τα µέτρα u, v των διανυσµάτων u και v γ. το εσωτερικό γινόµενο u v Μονάδες 7 δ. το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων u και v. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ 3ο ίνεται η εξίσωση x - y + 6x + 9 = 0. α. Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθείες ε 1 και ε. Μονάδες 7 β. Να δείξετε ότι οι ευθείες ε 1 και ε είναι κάθετες. Μονάδες 7 γ. Να βρείτε ένα σηµείο Μ(κ,λ) µε κ>0 και λ>0 τέτοιο, ώστε το διάνυσµα α = (3,κ) να είναι παράλληλο προς τη µία από τις δύο ευθείες ε 1 και ε και το διάνυσµα β = (-16, 4λ) να είναι παράλληλο προς την άλλη ευθεία. Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 16

17 Θέµατα 001 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ δ. Να γράψετε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων Ο, άξονα συµµετρίας τον άξονα x x και διέρχεται από το σηµείο Μ. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ 4ο Α. ίνεται η εξίσωση x + y + 6µx + 8λy = 0, όπου µ, λ πραγµατικοί αριθµοί διάφοροι του µηδενός. Να δείξετε ότι, για κάθε τιµή των µ, λ, η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο. Moνάδες 7 Β. Έστω ότι για τους πραγµατικούς αριθµούς µ, λ ισχύει η σχέση 3µ + λ = 0. α. Να δείξετε ότι, όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την εξίσωση x + y + 6µx + 8λy = 0 για τις διάφορες τιµές των µ και λ, έχουν τα κέντρα τους σε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Μονάδες 6 β. Να βρείτε τα µ, λ έτσι, ώστε, αν Α, Β είναι τα σηµεία τοµής του αντίστοιχου κύκλου µε την ευθεία x + y + = 0, να ισχύει OA OB= 0. Μονάδες 6 γ. Για τις τιµές των µ, λ που βρήκατε στο ερώτηµα β να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ. Μονάδες 6 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόµενους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, κατεύθυνση, εξεταζόµενο µάθηµα). Τα θέµατα να µην τα αντιγράψετε στο τετράδιο. Τα σχήµατα ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 17

18 Θέµατα Επαναληπτικών 001 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 11 ΙΟΥΛΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o Α.1. Να αποδείξετε ότι η ευθεία, µε εξίσωση Αx+By+Γ=0, όπου Α 0 ή Β 0, είναι παράλληλη στο διάνυσµα δ = ( Β, Α ) και κάθετη στο διάνυσµα η = ( Α, Β).,5 Α.. Οι ευθείες ε 1,ε έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ 1,λ αντίστοιχα. Να συµπληρώσετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισοδυναµίες: α) ε 1 //ε... β). ε 1 ε... Μονάδες 4 Β.1. ίνεται η ευθεία µε εξίσωση ε: x+3y-8=0 και το διάνυσµα α = ( λ 1, λ), λ ΙR. Να βρείτε το λ, όταν: α) η ευθεία ε είναι παράλληλη στο διάνυσµα α β) η ευθεία ε είναι κάθετη στο διάνυσµα α. Μονάδες 4 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 18

19 Θέµατα Επαναληπτικών 001 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β.. Στη Στήλη Α δίνονται οι εξισώσεις ευθειών και στη Στήλη Β τα κάθετα σ' αυτές διανύσµατα. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης Β που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Στήλη Α Στήλη Β α. y=3x-5 1. (-,7) β. y=-7. (3,-1) γ. x=1 3. (1,3) 4. (4,0) 5. (0,-3) Μονάδες 4,5 Β.3. ίνονται οι ευθείες ε 1 : λx+y+3=0 Να βρείτε το λ ΙR, όταν: α) ε 1 // ε β) ε 1 ε. και ε : 3x-y+1=0. Μονάδες 4 ΘΕΜΑ ο ίνονται οι ακέραιοι αριθµοί β=3α+4 και γ=4α+5,όπου α ακέραιος αριθµός. Να δείξετε ότι: α) οι αριθµοί β,γ έχουν µέγιστο κοινό διαιρέτη τη µονάδα β) ο αριθµός βγ-(β+γ) είναι περιττός γ) αν για τους β=3α+4 και γ=4α+5 ισχύει επιπλέον α=3κ, όπου κ ακέραιος, τότε ο αριθµός γ -β είναι πολλαπλάσιο του 3. Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 19

20 Θέµατα Επαναληπτικών 001 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 3ο ίνεται ο κύκλος C: x +y =5 και ε 1,ε οι εφαπτόµενες του κύκλου από το σηµείο Μ(0,-10). Αν Α και Β είναι τα σηµεία επαφής των ε 1,ε µε τον κύκλο, να βρείτε: α) τις εξισώσεις των εφαπτοµένων ε 1,ε Μονάδες 10 β) τις συντεταγµένες των σηµείων επαφής Α και Β γ) την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και διέρχεται από τα σηµεία Α και Β. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 4ο Αν ΡΑ + ΡΒ ΡΓ = 0 και ΡΑ = 6, ΡΒ= ΡΓ = 3 να δείξετε ότι: α. τα σηµεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά Μονάδες 6 β. το σηµείο Γ είναι ανάµεσα στα σηµεία Α,Β Μονάδες 4 γ. η γωνία ΑΡΒ =90 ο Μονάδες 7 δ. το διάνυσµα v = ΡΒ+ ΡΓ είναι κάθετο στο ΑΓ. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 0

21 Θέµατα Επαναληπτικών Σεπτεµβρίου001 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 10 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o Α.1. Αν α = (x1,y1) και β = (x,y) είναι δύο µη µηδενικά διανύσµατα του επιπέδου που σχηµατίζουν γωνία θ, να x1x + y1y αποδείξετε ότι: συνθ= x + y x + y 1 1 Μονάδες 6,5 Α.. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράµµατα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης Β που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Στήλη Α Στήλη Β α. κάθετα διανύσµατα α 0, β 0 1. α β = α β β. οµόρροπα διανύσµατα γ. αντίρροπα διανύσµατα α 0, β 0. α β = α β α 0, β 0 3. α β = 0 4. α β = α β Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 1

22 Θέµατα Επαναληπτικών Σεπτεµβρίου001 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ίνονται τα διανύσµατα α =(λ,) και β =(,λ) όπου λ ΙR. Β.1. Αν τα α, β είναι κάθετα, τότε: α. λ=1 β. λ=0 γ. λ= δ. λ= Μονάδες 4 Β.. Αν τα α, β είναι οµόρροπα, τότε: α. λ=1 β. λ=0 γ. λ= δ. λ= Μονάδες 4,5 Β.3. Αν τα α, β είναι αντίρροπα, τότε: α. λ= 1 β. λ=0 γ. λ= δ. λ= Μονάδες 4 ΘΕΜΑ ο Ενός παραλληλογράµµου ΑΒΓ, η πλευρά ΑΒ ανήκει στην ευθεία µε εξίσωση 3x 7y+7=0 και η πλευρά Α στην ευθεία µε εξίσωση 4x+y+5=0. Οι διαγώνιοι ΑΓ, Β του παραλληλογράµµου τέµνονται στο σηµείο Κ(, 5 ). α. Να αποδείξετε ότι η κορυφή Γ έχει συντεταγµένες (6,). Μονάδες 10 β. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκει η πλευρά ΒΓ. Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

23 Θέµατα Επαναληπτικών Σεπτεµβρίου001 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ γ. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκει η διαγώνιος Β. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 3ο Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει: α. 3 3ν +51=πολ 6 β. 3 3ν -1=πολ 6 Μονάδες 15 Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 4ο Η παραβολή µε εξίσωση y =αx διέρχεται από το σηµείο Α(,4), όπου α ΙR. α. Να αποδείξετε ότι η εστία της παραβολής είναι το σηµείο Ε(,0). Μονάδες 5 β. Εστω Ε το συµµετρικό της εστίας Ε ως προς τον άξονα y y. Αν Μ(x,y) είναι ένα οποιοδήποτε σηµείο για το οποίο ισχύει ME = ME E E, να αποδείξετε ότι το σηµείο Μ(x,y) ανήκει στον κύκλο µε κέντρο την αρχή των αξόνων Ο (0,0) και ακτίνα. Μονάδες 10 γ. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτοµένων του παραπάνω κύκλου που διέρχονται από το σηµείο Α. Μονάδες 10 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 3

24 Θέµατα 00 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α,β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι ίσο µε το άθροισµα των γινοµένων των οµώνυµων συντεταγµένων τους. Μονάδες 9 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Ένα διάνυσµα και µία ευθεία, αν έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης είναι παράλληλα. β. Αν det ( α,β ) είναι η ορίζουσα των διανυσµάτων α, β, τότε ισχύει η ισοδυναµία: α // β det ( α,β ) = 1. γ. Αν α, β είναι θετικοί ακέραιοι, τότε πάντα ισχύει: α β [α, β] = (α, β) όπου [α, β] είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των α, β και (α, β) είναι ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των α, β. δ. Η εξίσωση x + y + Ax + By +Γ = 0 µε Α +Β 4Γ >0 A B παριστάνει κύκλο µε κέντρο K,. ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 4

25 Θέµατα 00 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Στη Στήλη Α δίνονται εξισώσεις κωνικών τοµών και στη Στήλη Β εξισώσεις εφαπτοµένων κωνικών τοµών στο σηµείο επαφής (x 1,y 1 ). Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα, τον αριθµό της Στήλης Β που αντιστοιχεί πάντα στη σωστή εξίσωση εφαπτοµένης. Στήλη Α Στήλη Β α. x + y = ρ 1. yy 1 = p(x + x 1 ) β. x y + = 1 α β. xx 1 + yy 1 = ρ γ. y xx1 yy1 = px 3. + = 1 α β δ. x y = 1 α β 4. xx 1 + yy 1 = 1 5. xx1 yy1 = ρ α β 6. xx1 yy1 = 1 α β Μονάδες 4 ΘΕΜΑ ο Α. Να αποδείξετε ότι το γινόµενο δύο περιττών ακεραίων αριθµών είναι περιττός ακέραιος αριθµός. Μονάδες 5 Β. Να αποδείξετε ότι αν ο α είναι ακέραιος, τότε και ο α ( α + 1) είναι ακέραιος. Μονάδες 10 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 5

26 Θέµατα 00 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ. Αν ο α είναι περιττός ακέραιος, να αποδείξετε ότι ο α ( α + 1) είναι επίσης περιττός ακέραιος. Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 3ο ίνεται η παραβολή y = 4x. Να βρείτε: Α. την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής Μονάδες 6 Β. τις ευθείες που διέρχονται από την εστία της παραβολής και απέχουν από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση µε Μονάδες 10 Γ. την εξίσωση της εφαπτοµένης της παραβολής που είναι παράλληλη στην ευθεία y= x 1. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 4ο ίνεται η εξίσωση x + y xσυνθ yηµθ 1=0, 0 θ<π. Α. Να αποδείξετε ότι για κάθε θ η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο, του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα. Moνάδες 9 π Β. Αν θ =, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης του κύκλου στο σηµείο Μ(1,). Μονάδες 9 Γ. Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιµές του θ τα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται σε κύκλο µε κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ = 1. Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 6

27 Θέµατα Επαναληπτικών 00 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 9 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o Α. Να δείξετε ότι ο κύκλος µε κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση x +y = ρ. Μονάδες 9 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Ο συντελεστής διεύθυνσης λ µιας ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία A(x 1,y 1 ) και Β(x,y ), y y1 µε x 1 x είναι λ = x x. β. Η απόσταση των σηµείων A(x 1,y 1 ) και Β(x,y ) είναι ίση µε (ΑΒ) = ( x + x ) + (y + y ) γ. Η παραβολή µε εξίσωση x = py έχει την εστία της πάνω στον άξονα x x. δ. Αν α και β είναι φυσικοί αριθµοί µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί φυσικοί k και υ, τέτοιοι ώστε α = kβ+υ, 0 υ<β. ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 7

28 Θέµατα Επαναληπτικών 00 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω προτάσεις ορθά συµπληρωµένες. α. Ο κύκλος µε κέντρο K(x o, y o ) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση.... x y β. Η έλλειψη µε εξίσωση + = 1, όπου α β β συντεταγµένες... και.... = α γ, έχει εστίες τα σηµεία Ε και Ε µε x y γ. Η υπερβολή µε εξίσωση = 1 έχει ως α β ασύµπτωτες τις ευθείες µε εξισώσεις... και.... δ. Η παραβολή µε εξίσωση y = px έχει διευθετούσα την ευθεία µε εξίσωση.... ΘΕΜΑ ο ίνονται οι αριθµοί α = k 1 και β = 5k+6, όπου k ακέραιος αριθµός. Να αποδείξετε ότι: α. Εάν ο α είναι άρτιος, τότε ο β είναι περιττός. Μονάδες 7 β. Ο αριθµός 3β 4α είναι πολλαπλάσιος του 11. γ. Ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των αριθµών 5α+3 και β 9 είναι ίσος µε 1. Μονάδες 10 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 8

29 Θέµατα Επαναληπτικών 00 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 3ο ίνονται τα σηµεία του επιπέδου Α(1,1) και Β(5,3). α. Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης του 1 διανύσµατος AB είναι ίσος µε. Μονάδες 5 β. Να αποδείξετε ότι η µεσοκάθετος του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ είναι η ευθεία ε: y = x+8. γ. Εστω Μ το µέσο του τµήµατος ΑΒ και Γ, τα σηµεία τοµής του άξονα x x µε την ευθεία ΑΒ και την µεσοκάθετο ε αντίστοιχα. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σηµεία Μ, Γ και. Μονάδες 1 ΘΕΜΑ 4ο ίνεται η εξίσωση (λ 1)x+λy λ λ γ = 0, όπου λ ΙR και γ πραγµατική σταθερά. α. Να αποδείξετε ότι για κάθε τιµή της παραµέτρου λ η εξίσωση παριστάνει ευθεία γραµµή. Μονάδες 5 β. Εάν γ = 1, να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την παραπάνω εξίσωση διέρχονται από το ίδιο σηµείο. Μονάδες 10 γ. Εάν γ 1, να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων εκείνων που από το καθένα διέρχεται µόνο µία ευθεία η οποία επαληθεύει την παραπάνω εξίσωση. Μονάδες 10 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 9

30 Θέµατα 003 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 31 ΜΑΪΟΥ 003 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o Α. Αν α, ν είναι δύο διανύσµατα του επιπέδου µε α 0 και η προβολή του ν στο α συµβολίζεται µε ν προβ α, τότε να αποδείξετε ότι α ν = α προβ α ν. Μονάδες 7 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν α β (δηλαδή τα α και β έχουν αντίθετη κατεύθυνση) τότε α β = α β και αντιστρόφως. Μονάδες β. Η εφαπτοµένη του κύκλου x +y = ρ στο σηµείο του Α(x 1,y 1 ) έχει εξίσωση xy+x 1 y 1 = ρ. Μονάδες ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 30

31 Θέµατα 003 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ γ. Η εξίσωση της έλλειψης µε εστίες τα σηµεία Ε ( γ,0), Ε(γ,0) και σταθερό άθροισµα α είναι x y + =1 όπου β= α β α γ. Μονάδες δ. Αν Ο είναι ένα σηµείο αναφοράς τότε για οποιοδήποτε διάνυσµα AB έχουµε AB = OA OB. Μονάδες Γ. α. Αν α, β είναι δύο ακέραιοι µε β 0, πότε θα λέµε ότι ο β διαιρεί τον α; Μονάδες 5 β. ίνονται µια ευθεία δ και ένα σηµείο Ε εκτός της δ. Τι ονοµάζεται παραβολή µε εστία το σηµείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ; Μονάδες 5 ΘΕΜΑ ο Έστω α Ζ. Να αποδείξετε ότι: Α. Ο αριθµός α 3 παίρνει την µορφή α 3 = 8k όπου k Ζ ή α 3 = k+1 όπου k Ζ. Μονάδες 1 Β. Ο αριθµός α(α +1) είναι άρτιος. Μονάδες 13 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 31

32 Θέµατα 003 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 3ο ίνεται ένα τρίγωνο µε κορυφές Α(λ 1, 3λ+), Β(1,) και Γ(,3) όπου λ IR µε λ. Α. Να αποδείξετε ότι το σηµείο Α κινείται σε ευθεία, καθώς το λ µεταβάλλεται στο IR. Β. Εάν λ=1, να βρείτε: α. το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ β. την εξίσωση του κύκλου, που έχει κέντρο την κορυφή Α(1,5) και εφάπτεται στην ευθεία ΒΓ. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 4ο ίνονται δύο κωνικές τοµές: η παραβολή y = px, και η έλλειψη 4x +y =3p, p>0. Α. Να αποδείξετε ότι οι εστίες Ε και Ε της έλλειψης είναι τα σηµεία Ε 0 3 p, και Ε 3 p 0,. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 3

33 Θέµατα 003 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία τοµής Κ και Λ των δύο κωνικών τοµών είναι τα σηµεία p p Κ,p και Λ, p. Γ. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόµενες των δύο κωνικών p τοµών στο σηµείο Κ,p είναι κάθετες. Μονάδες 9 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόµενους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, κατεύθυνση, εξεταζόµενο µάθηµα). Τα θέµατα να µην τα αντιγράψετε στο τετράδιο. Τα σχήµατα που θα χρησιµοποιήσετε στο τετράδιο, να γίνουν µε στυλό διαρκείας (µπλε ή µαύρο).. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως µόλις σας παραδοθούν. Καµιά άλλη σηµείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν µετά το πέρας της εξέτασης. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε λύση επιστηµονικά τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μετά την πρωινή. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 33

34 Θέµατα Επαναληπτικών 003 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 9 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 003 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o Α. ίνεται το διάνυσµα α = ( x, y) του καρτεσιανού επιπέδου. Να αποδείξετε ότι α = x + y. Μονάδες 9 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν α β (δηλαδή τα α µεταξύ τους), τότε α β = 0. και β είναι κάθετα Μονάδες β. Έστω α, β µη µηδενικοί ακέραιοι. Αν α β και β α, τότε ισχύει πάντα ότι α = β. Μονάδες γ. Η ευθεία µε εξίσωση Αx + By + Γ = 0 είναι παράλληλη στο διάνυσµα δ = ( Β, Α). Μονάδες ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 34

35 Θέµατα Επαναληπτικών 003 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ p δ. Η εξίσωση της παραβολής µε εστία E, 0 p διευθετούσα δ : x = είναι x = py. και Μονάδες Γ. Στη Στήλη Α δίνονται εξισώσεις κωνικών τοµών και στη Στήλη Β ονοµασίες γραµµών του επιπέδου. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης Β που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. α. x α Στήλη Α Στήλη Β y + = 1, α > β > 0 1. Κύκλος β β. x α y β = 1, α > 0, β > 0. Ευθεία γ. y = px, p > 0 3. Υπερβολή δ. x + y = ρ, ρ > 0 4. Παραβολή 5. Έλλειψη ΘΕΜΑ ο ίνονται τα σηµεία Α(14,5) και Β(, 1). α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σηµεία Α και Β είναι x y 4 = 0. Μονάδες 13 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 35

36 Θέµατα Επαναληπτικών 003 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ β. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε τέµνει τους άξονες x x, y y στα σηµεία Κ(4,0) και Λ(0, ) αντιστοίχως. Μονάδες 1 ΘΕΜΑ 3ο Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης των ακεραίων αριθµών α και β µε το 5 είναι, τότε: α. Να αποδείξετε ότι ο αριθµός α + β 003 είναι πολλαπλάσιο του 5. Μονάδες 1 β. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθµού 8α+9β µε το 5. Μονάδες 13 ΘΕΜΑ 4ο ίνεται η εξίσωση x + y 4x + y + 3 = 0 και το σηµείο Μ(,1). α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο µε κέντρο το σηµείο Κ(, 1) και ακτίνα ρ =. Μονάδες 6 β. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτοµένων του κύκλου που διέρχονται από το σηµείο Μ(,1). Μονάδες 10 γ. Αν Α, Β είναι τα σηµεία επαφής των παραπάνω εφαπτοµένων µε τον κύκλο, να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ. Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 36

37 Θέµατα 004 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 9 ΜΑΪΟΥ 004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ 1o Α. ίνονται τα διανύσµατα α και β, τα οποία δεν είναι παράλληλα προς τον άξονα y y και έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ 1 και λ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α β λ1λ = 1. Μονάδες 10 Β. Έστω δύο σηµεία Ε και Ε ενός επιπέδου. Τι ονοµάζεται υπερβολή µε εστίες τα σηµεία Ε και Ε στο συγκεκριµένο επίπεδο ; Μονάδες 5 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν Α 0 ή Β 0 ευθεία., η εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0 παριστάνει Μονάδες β. Στην παραβολή y =px, η εξίσωση της διευθετούσας είναι x = p. Μονάδες γ. ίνονται οι ακέραιοι αριθµοί α, β, γ, k, λ µε α 0. Αν α β και α γ, τότε α (kβ +λγ). Μονάδες ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 37

38 Θέµατα 004 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ δ. Αν Α, Β, Γ είναι κορυφές του τριγώνου ΑΒΓ, τότε το εµβαδόν του είναι: (ABΓ) = 1 det(ab,aγ) ΘΕΜΑ ο Μονάδες ε. Η εκκεντρότητα ε της έλλειψης είναι µεγαλύτερη της µονάδας. Μονάδες ίνονται τα διανύσµατα α = (1,) και β = (,3) Α. Να βρείτε το µέτρο του διανύσµατος γ = 5 α 3 β. Β. Να βρείτε τη γωνία που σχηµατίζει το γ µε τον άξονα x x. Γ. Να βρείτε τον αριθµό k IR, ώστε το διάνυσµα υ = (k k, k) να είναι κάθετο στο α. ΘΕΜΑ 3ο ίνεται ο ακέραιος αριθµός α=1k-5, όπου k Ζ. Μονάδες 9 Α. Να αποδείξετε ότι ο α είναι περιττός αριθµός. Μονάδες 7 Β. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του α διά του 4. Γ. Να αποδείξετε ότι ο αριθµός Α= (α +15)(α 1) είναι πολλαπλάσιο του 64. Μονάδες 10 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 38

39 Θέµατα 004 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 4ο ίνονται οι παράλληλες ευθείες ε 1 : 3x+ 4y +6 = 0 και ε : 3x + 4y +16=0. Α. Να βρείτε την απόσταση των παράλληλων ευθειών ε 1 και ε. Μονάδες 7 Β. Να βρείτε την εξίσωση της µεσοπαράλληλης ευθείας των ε 1 και ε. Γ. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σηµείο τοµής της ευθείας ε 1 µε τον άξονα x x και αποκόπτει από την ευθεία ε χορδή µήκους d = 4 3. Μονάδες 10 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζοµένους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, κατεύθυνση, εξεταζόµενο µάθηµα). Να µην αντιγράψετε τα θέµατα στο τετράδιο. Τα σχήµατα που θα χρησιµοποιήσετε στο τετράδιο µπορούν να γίνουν και µε µολύβι.. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων, αµέσως µόλις σας παραδοθούν. Καµιά άλλη σηµείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν µετά το πέρας της εξέτασης. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε λύση επιστηµονικά τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: µετά τη 10:30 πρωινή. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 39

40 Θέµατα Επαναληπτικών 004 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 9 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ 1o Α. Έστω α, β, γ ακέραιοι µε α, β 0. Να δείξετε ότι: α. Αν α β και β γ, τότε α γ. β. Αν α β, τότε α β. Μονάδες 6 Μονάδες 6 Β. Έστω δύο σηµεία Ε και Ε ενός επιπέδου. Τι ονοµάζεται έλλειψη µε εστίες τα σηµεία Ε και Ε στο συγκεκριµένο επίπεδο; Μονάδες 5 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν Α, Β σηµεία του επιπέδου και Μ το µέσον του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ, τότε για οποιοδήποτε σηµείο Ο του επιπέδου ισχύει OA+ OB OM =. β. Αν α, β είναι δύο διανύσµατα µε β 0, τότε α // β α = λ β, λ ΙR. ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 40

41 Θέµατα Επαναληπτικών 004 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ γ. Αν α β, τότε α β = 1, για οποιαδήποτε διανύσµατα α, β. δ. Αν α και β είναι φυσικοί αριθµοί µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί φυσικοί k και υ τέτοιοι, ώστε α=kβ+υ, 0 υ<β. ΘΕΜΑ ο Σε ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων Οxy δίνονται τα σηµεία Α(,3) και Β(3, ). α. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Μονάδες 1 β. Να βρείτε σηµείο Μ του άξονα x x, ώστε τα σηµεία Α,Μ,Β να είναι συνευθειακά. Μονάδες 13 ΘΕΜΑ 3ο Το σηµείο Α(7,5) είναι µία κορυφή τετραγώνου του οποίου η µία διαγώνιος βρίσκεται στην ευθεία 3x+y 6=0. α. Να βρείτε την εξίσωση της άλλης διαγωνίου του τετραγώνου. β. Να δείξετε ότι το κέντρο του τετραγώνου είναι το σηµείο Κ(1,3). γ. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τις κορυφές του παραπάνω τετραγώνου. Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 41

42 Θέµατα Επαναληπτικών 004 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 4ο ίνεται ο κύκλος µε εξίσωση x +y =9. α. Αν το σηµείο Ρ(x 0,y 0 ) ανήκει στον παραπάνω κύκλο, να 5 4 δείξετε ότι το σηµείο Μ x0, y 0 ανήκει σε έλλειψη της 3 3 οποίας να υπολογίσετε την εκκεντρότητα. Μονάδες 9 β. Να βρείτε την εξίσωση της ισοσκελούς υπερβολής η οποία έχει τις ίδιες εστίες µε την παραπάνω έλλειψη. Μονάδες 10 γ. Να βρείτε τις εξισώσεις των ασυµπτώτων της υπερβολής του ερωτήµατος β καθώς και τη γωνία που σχηµατίζουν οι ασύµπτωτες. Μονάδες 6 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζοµένους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, κατεύθυνση, εξεταζόµενο µάθηµα). Να µην αντιγράψετε τα θέµατα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων, αµέσως µόλις σας παραδοθούν. Καµιά άλλη σηµείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν µετά το πέρας της εξέτασης. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε λύση επιστηµονικά τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: µετά τη πρωινή. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 4

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου (Σεπτέµβριος 1999)

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου (Σεπτέµβριος 1999) Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου (Σεπτέµβριος 1999) Θέµα1ο Α. Έστω Οxy ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο. Να αποδείξετε ότι ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο Ο και ακτίνα ρ έχει

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητής : Νικόλαος. Κατσίπης 19 Απριλίου 2013 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας εύχοµαι καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ3 ΚΥΚΛΟΣ y Μ(x,y) A(x,y) ε Ο C x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ 0-0 ΘΕΩΡΙΑ. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο το σημείο K( x0,

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 000 Ζήτηµα ο Α.. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(x 0,y 0 ) και ακτίνα ρ. (Μονάδες ) Α.. Πότε η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ 0

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9 ΓΕΛ ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β 331 Α. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των μη μηδενικών διανυσμάτων α, β. Μονάδες 5 β. Εάν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντιστοίχως να δείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β O A M B ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ο ΘΕΜΑ ον : α α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β. Μονάδες 5 β. Αν α, ν

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο (Πανελλήνιες θετικής κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999) Α. Έστω a ( x1,) y1 και ( x,) y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. α) Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Έστω τα διανύσµατα u = ( 6, 8) και v = (9, 1) είξτε ότι είναι αντίρροπα Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει ηµιάξονες τα µέτρα των διανυσµάτων, κέντρο την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β Λυκείου

Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β Λυκείου ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α, Β, όταν α) Α(2, 5), Β(1, -3) β) Α(-3, -5), Β(-5, 7) γ) Α(0, 4), Β(2, -6). 2. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 00-018α φάση Διανύσματα 1 Σε σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε τρία σημεία Α, Β, Γ του μοναδιαίου κύκλου, για τα οποία υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

v Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β

v Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o α Α Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β Μονάδες 4 Β Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β 1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να

Διαβάστε περισσότερα

Kόλλιας Σταύρος 1

Kόλλιας Σταύρος  1 Kόλλιας Σταύρος http://usersschgr/stkollias Θέμα ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Αα ) Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ÑÏÌÂÏÓ

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ÑÏÌÂÏÓ ΘΕΜΑ o Α.. Α.. Α.3. Β.. B.. Β.3. ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ - 000 Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(x 0, y 0 ) και ακτίνα ρ. Μονάδες Πότε η εξίσωση x + y + Ax + By

Διαβάστε περισσότερα

. Μονάδες 3 β) Τα διανύσματα και. τότε x1x2 y1y2. είναι κάθετα αν και μόνο αν 0 Μονάδες 3 γ) Το διάνυσμα,

. Μονάδες 3 β) Τα διανύσματα και. τότε x1x2 y1y2. είναι κάθετα αν και μόνο αν 0 Μονάδες 3 γ) Το διάνυσμα, ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΙΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Τι ονομάζουμε έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε και E Μονάδες 0 Β Να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο Α. Έστω a, ) και β, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να εκφράσετε χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (1,1), Γ (4,3) και Δ (,3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η υπερβολή x y. Να βρείτε Tις ασύµπτωτες και την εκκεντρότητα της υπερβολής. i Tις εφαπτόµενες της υπερβολής που είναι παράλληλες στην ευθεία (ε) : x + y + 0 ii Tο εµβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 016 Ε_.ΜλΘ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 17 Απριλίου 016 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω a, v

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1o Α. Αν α, ν είναι δύο διανύσµατα του επιπέδου µε α 0 και η προβολή του ν στο α συµβολίζεται µε προβ α ν, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (4-6-000) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο : Α.1. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο ( x, ) K 0 y 0 και ακτίνα ρ. Μονάδες Α.. Πότε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 01-06-009 α 1 1 Α. Να αποδείξετε ότι, για δύο διανύσματα = (x,ψ ) και β = ( x, ) ψ μη παράλληλα στον άξονα ψ ψ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού)

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) ΣΧΟΛΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε = 5 + 2 α) Να γράψετε το διάνυσμα β) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001 Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 00 Ζήτηµα ο Α.. Έστω α, β, γ ακέραιοι αριθµοί. Να δείξετε ότι ισχύουν οι επόµενες ιδιότητες: α. Αν α β, τότε α λβ για κάθε ακέραιο λ. β. Αν α β και α

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α ίνονται τα διανύσµατα α και β, τα οποία δεν είναι παράλληλα προς τον άξονα y y και έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.. Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ένα οποιοδήποτε σημείο Ρ του χώρου. Να αποδειχτεί ότι: P A P 0. 3.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 2. Το σφάλµα προσέγγισης είναι πάντοτε θετικό. Μονάδες 1

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 2. Το σφάλµα προσέγγισης είναι πάντοτε θετικό. Μονάδες 1 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 28 ΙΟΥΝΙΟΥ 1999 ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1ο Α. Να χαρακτηρίσετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Ευθεία ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε, αν αυτή έχει εξίσωση: 5x 6 i) y = x- 1 ii) y = 3 5x iii) y iv) x = y + 3 10 v) 18x-6y

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0 ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΟ Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ), y + y = r χ +ψ =ρ Κ(0,0) ρ x x y (χ-χ 0 ) +(ψ-ψ 0 ) =ρ Κ(χ 0,ψ 0 ) ρ (χ-χ 0 ) (χ -χ 0 )+(ψ-ψ 0 ) (ψ-ψ )=ρ Παρατήρηση : Η εξίσωση : χ +ψ

Διαβάστε περισσότερα

2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ 2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ

2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ 2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 013-014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω Ε και Ε δύο σημεία του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Αν Α(x 1, y 1 ) και Β(x, y ) είναι σημεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxψ θεωρούμε τα σημεία Α, Β, τα οποία έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης x - (4λ+6μ)x - 005 = 0 και τεταγμένες τις ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο Α. α) Να αποδείξετε ότι, αν z 1 =α+βi και. είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί, τότε

ΘΕΜΑ 1ο Α. α) Να αποδείξετε ότι, αν z 1 =α+βi και. είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί, τότε ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 6 ΙΟΥΛΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ο κύκλος x + y = 5 και οι εφαπτόµενες σ αυτόν από το σηµείο Μ(0, 0). Αν Α και Β είναι τα σηµεία επαφής, να βρείτε Τις εξισώσεις των εφαπτόµενων Τις συντεταγµένες των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ 1ο ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) Α1. Να αποδείξετε ότι,

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 1999 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: 4

ΑΡΧΗ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 1999 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: 4 ΑΡΧΗ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 1999 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: 4 ΘΕΜΑ 1 ο 1.Α. Έστω P(x) ένα πολυώνυµο του x και ρ ένας πραγµατικός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 4. α) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1)

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1) 7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Απόσταση Σημείου από Ευθεία Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση M ( x, y ) ένα σημείο εκτός αυτής Θέλουμε y να υπολογίσουμε την απόσταση d( M, ε) του ε σημείου M από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης.

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης. Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Ενιαίου Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Διανύσματα Η θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ε_3Μλ2Θ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1 ίνονται τα διανύσµατα a= ( x1, y1)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxy θεωρούμε τα σημεία Α, Β, τα οποία έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης x - (4λ+6μ)x - 005 = 0 και τεταγμένες τις ρίζες της εξίσωσης y + ( 5λ + μ)y

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο

Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο 1. Δίνεται ο κύκλος C που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρχεται από το σημείο Α(-3,4).Να βρείτε : i) εξίσωση του κύκλου ii) την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α,

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 2ο κεφάλαιο: Ευθείες Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 009-010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα 1 Α. ίνονται τα διανύσματα α και β, τα οποία δεν είναι παράλληλα προς τον άξονα y y και έχουν συντελεστές διευθύνσεως λ1 και λ αντιστοίχως. Να αποδείξετε ότι α β λλ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ EΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης όταν: α) Έχει εστία Ε (-8,0) και μεγάλο άξονα 0 β) Έχει εστία Ε(0,3) και μεγάλο άξονα 8 γ) Έχει εστία Ε(4,0) και

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα-Ευθεία-Κύκλος Αναλυτική Θεωρία 500 Ασκήσεις Επιμέλεια : ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 2 1. Η Έννοια του Διανύσματος Ορισμός Διανύσματος Το διάνυσμα ορίζεται ως

Διαβάστε περισσότερα

Γ5. Αν για τα α, β έχουµε α β= 0, ισχύει πάντα ότι α = 0 ή β= 0. Μονάδες 10

Γ5. Αν για τα α, β έχουµε α β= 0, ισχύει πάντα ότι α = 0 ή β= 0. Μονάδες 10 7 ο Γενικό Λύκειο Περιστερίου ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:

Διαβάστε περισσότερα

φέρουμε μια οποιαδήποτε χορδή ΑΒ του κύκλου και την προεκτείνουμε κατά τμήμα

φέρουμε μια οποιαδήποτε χορδή ΑΒ του κύκλου και την προεκτείνουμε κατά τμήμα 1. Δίνεται ο κύκλος + y ρ, όπου ρ>0. Από το σημείο A( - ρ,0) του C C :x = φέρουμε μια οποιαδήποτε χορδή ΑΒ του κύκλου και την προεκτείνουμε κατά τμήμα BM = AB. Να αποδείξετε ότι το Μ κινείται πάνω σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι.

ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Σύγχρονο www.fasma.fro.gr ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Μαθητικό Φροντιστήριο Κατά το πέρας της εξέτασης οι λύσεις θα αναρτηθούν στο και στο site του φροντιστηρίου. 5ης Μαρτίου 111 ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη 1 Απριλίου 018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ε του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

γ) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα τότε είναι και 1-1 στο διάστημα αυτό.

γ) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα τότε είναι και 1-1 στο διάστημα αυτό. ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα