ΜΕΡΙΚΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΜΕΣ ΑΛΥΣΙΔΕΣ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΗΣ ΑΠΟΦΑΣΗΣ ΜΕ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΜΗΝΥΜΑΤΩΝ
|
|
- Πάνος Γούσιος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 «ΣΠΟΥΔΑΙ», Τόμος 55, Τεύχος 3ο, (2005) / «SPOUDAI», Vol. 55, No 3, (2005), University of Piraeus, pp ΜΕΡΙΚΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΜΕΣ ΑΛΥΣΙΔΕΣ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΗΣ ΑΠΟΦΑΣΗΣ ΜΕ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΜΗΝΥΜΑΤΩΝ Υπό Γκουλιώνη Ιωάννη Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Abstract PARTIALLY OBSERVABLE MARKOV DECISION PROCESSES WITH UNIFORMLY DISTRIBUTED SIGNAL PROCESSES A Partially observed Markov decision process (P.O.M.D.P.) is a sequential decision problem where information concerning parameters of interest is incomplete, and possible actions include sampling, surveying, or otherwise collecting additional information. Such problems can theoretically be solved as dynamics programs, but the relevant state space is infinite which inhibits algorithmic solution. We formulate a (P.O.M.D.P.) with a continous signal space and a method to convert a problem with uniformly distributed signal processes. We discussed how to solve (P.O.M.D.P.) problems with continous signal processes. However, in order to obtain a value function which is close to the optimal value function, we might need to construct a step function with large number of signals. Keywords: Maintenance, dynamic-programming, P.O.M.D.P. 1. Εισαγωγή Μια P.O.M.D.P. (Μερικά παρατηρήσιμη Μαρκοβιανή αλυσίδα) είναι μια γενικευμένη αλυσίδα Μαρκοβιανής απόφασης, που επιτρέπει μιαν ατελή πληροφόρηση του συστήματος των καταστάσεων. Η γενίκευση αυτή είναι σημαντική σε προβλήματα, όπου η αβεβαιότητα ως προς την κατάσταση είναι το κεντρικό και ουσιώδες. Επειδή λοιπόν σε ένα πρόβλημα P.O.M.D.P. δεν ξέρουμε ακριβώς την κατάσταση του συστήματος σε κάθε χρόνο, μέσω ενός μηχανισμού ελέγχου λαμβάνουμε ένα μήνυμα που συνδέεται στοχαστικά με την πραγματική
2 56 κατάσταση. Για παράδειγμα, όταν εξετάζουμε την κατάσταση ενός ασθενούς που πάσχει από στεφανιαία νόσο, το αποτέλεσμα του λεγόμενου τεστ κόπωσης, το επίπεδο ισχαιμίας, καθώς και ο πόνος στο στήθος είναι μηνύματα που συνυφαίνονται με την ζωτική κατάσταση του ασθενούς. Αρκετοί ερευνητές ασχολήθηκαν με το πρόβλημα εύρεσης βέλτιστων στρατηγικών σε πεπερασμένο και σε άπειρο χρονικόν ορίζοντα με διακριτό χώρο μηνυμάτων όπως οι Sondik [6,7,8], Denardo [2], Littman [5], Lovejoy [4], Howard [3], Bertsekas [1]. Στην εργασία αυτή επεκτείνουμε τα αποτελέσματα, στην περίπτωση όπου ο χώρος μηνυμάτων είναι συνεχής, με ομοιόμορφη κατανομή μηνυμάτων. Η εργασία οργανώνεται ως εξής: Στην παράγραφο 2 περιγράφουμε το μοντέλο P.O.M.D.P. με διακριτό χώρο μηνυμάτων. Στην παράγραφο 3 δίνουμε τα ήδη γνωστά αποτελέσματα, που αφορούν την ύπαρξη βέλτιστης στάσιμης στρατηγικής για το πρόβλημα του άπειρου χρονικού ορίζοντα με διακριτό αριθμό μηνυμάτων. Οι ιδιότητες της συνάρτησης τιμών σε πεπερασμένο χρονικόν ορίζοντα είναι ουσιαστικές, διότι επιτρέπουν την επανάληψη στον συνεχή χώρο των καταστάσεων μιας P.O.M.D.Ρ. Στην παράγραφο 4 επεκτείνουμε τις τεχνικές που ισχύουν για το πρόβλημα P.O.M.D.P. με διακριτό χώρο μηνυμάτων. Κλειδί για την παραπάνω επέκταση είναι η διαμέριση του χώρου μηνυμάτων, με βάση ορισμένες υποθέσεις, σε τρόπον ώστε κάθε κελλί της διαμέρισης να μπορεί να θεωρηθεί σαν διακριτό μήνυμα. Τέλος δίνουμε μια μέθοδο που μετατρέπει το πρόβλημα με συνεχή χώρο μηνυμάτων σε ένα πρόβλημα με διακριτό χώρο μηνυμάτων, καθώς και μια εφαρμογή για να γίνουν κατανοητές οι παρακάτω σκέψεις. 2. Περιγραφή του μοντέλου των μερικά παρατηρήσιμων Μαρκοβιανών αλυσίδων Μια P.O.M.D.P. περιγράφει μια στοχαστική διαδικασία που τυπικά αντιστοιχεί στην εξάδα (S, Α, Θ, Ρ, R,q). To S = {1,2,3...Ν} είναι το σύνολο των δυνατών καταστάσεων του συστήματος. Το Α είναι το σύνολο των αποφάσεων,που υποτίθεται ορισμένο. Η απόφαση που εκλέγεται στον χρόνο t ορίζεται σαν Y t.
3 57 Στον χρόνο t, αν το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση i, και επιλέξουμε την απόφαση α, τότε είναι γνωστό ένα σύνολο από πιθανότητες {p α (t) για ij Υποθέτουμε ότι οι πιθανότητες μεταφοράς είναι ανεξάρτητες του χρόνου. Υποτίθεται ότι γνωρίζουμε τον πίνακα μεταφοράς P a Ένα ορισμένο όφελος q a (i) προκύπτει, όταν το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση i και εκλέγεται η απόφαση α. To q a είναι ένα Ν-διάστατο διάνυσμα στήλη της μορφής q a =(q a (l),q a (2),..., q a (N)). Αν γνωρίζουμε την τρέχουσα κατάσταση του συστήματος, πριν εκλέξουμε μιαν απόφαση τότε το πρόβλημα είναι ένα πρόβλημα πλήρως παρατηρήσιμης M.D.P. Μπορούμε τότε να εκλέξουμε μιαν απόφαση, που βασίζεται στην τρέχουσα κατάσταση του συστήματος, μεγιστοποιώντας το ολικό προσδοκώμενο αποπληθωρισμένο όφελος. Οι POMDPS έχουν το χαρακτηριστικό ότι η κατάσταση του συστήματος δεν μπορεί να παρατηρηθεί απευθείας. Αντί για την κατάσταση, μέσω ενός μηχανισμού ελέγχου αυτός/ή που αποφασίζει λαμβάνει ένα τυχαίο μήνυμα θ. Μολονότι το μήνυμα είναι τυχαίο, γνωρίζουμε την παραπάνω υπό συνθήκη πιθανότητα να λάβουμε το μήνυμα θ, όταν η κατάσταση του συστήματος,καθώς και η απόφαση είναι γνωστές. Υποθέτοντας ότι οι υπό συνθήκη πιθανότητες δεν μεταβάλλονται με τον χρόνο μπορούμε να θεωρήσουμε τον πίνακα R a = [r α iθ] Υποθέτοντας ότι το αντικείμενο του μοντέλου απόφασης είναι να μεγιστοποιήσει το ολικό προσδοκώμενο εκπίπτον όφελος, αυτός/ ή που αποφασίζει, αφού δεν γνωρίζει την πραγματική κατάσταση του συστήματος παίρνει μια απόφαση βασιζόμενος σε όλη την ιστορία της εξέλιξης. Κριτήρια για την επιλογή βέλτιστων στρατηγικών σε πεπερασμένο και άπειρο χρονικόν ορίζοντα, είναι η μεγιστοποίηση του ολικού προσδοκώμενου εκπίπτοντος
4 58 οφέλους, που υλοποιείται μέοω των παρακάτω σχέσεων (3), (4) για πεπερασμένο και άπειρο χρονικόν ορίζοντα αντίστοιχα: 3. Η βέλτιστη συνάρτηση τιμών Η ιστορία της εξέλιξης στον χρόνο t, δηλώνεται σαν I t, όπου Σημειώνουμε ότι {It, t=0,l,2,...} είναι μια αλυσίδα Μαρκοβιανής απόφασης σύντομα, (M.D.P). Αν τώρα, υ t (.), δηλώνει το βέλτιστο ολικό προσδοκώμενο όφελος από τον χρόνο t μέχρι το τέλος του σχεδιασθέντος ορίζοντα αποφάσεων. τότε το δυναμικό πρόγραμμα (επαναληπτική εξίσωση D.P.) μπορεί να γράφει σαν: όπου β είναι ένας παράγοντας έκπτωσης (discount factor).
5 59 Υποθέτουμε ότι 0.<β<1 για τα προβλήματα άπειρου χρονικού ορίζοντα, ενώ 0<β για τα προβλήματα του πεπερασμένου χρονικού ορίζοντα. Για να λύσουμε την επαναληπτική εξίσωση (5), οι συναρτήσεις τιμών στον χρόνο t πρέπει να υπολογισθούν για κάθε πιθανή ιστορία I t. Όταν υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός από πιθανές αποφάσεις, ένας μεγάλος αριθμός μηνυμάτων, και ο χρονικός ορίζοντας είναι μεγάλος, τότε ο αριθμός των πιθανών ιστοριών I t είναι μεγάλος (ή άπειρος) και αυξάνει γραμμικά με το t. Οι υπολογιστικές απαιτήσεις ενός τέτοιου DP (dynamic - programming) αλγόριθμου είναι αληθινά τεράστιες (Οι λεπτομέρειες αυτού του προβλήματος σχολιάζονται στον Bertseka (1976).
6 60 όπου R α είναι ένας διαγώνιος πίνακας που έχει θ ra σαν διαγώνια στοιχεία, jθ και 1 είναι ένας πίνακας στήλη με όλα τα στοιχεία του 1. Είναι καλά γνωστό, ότι π(t) είναι μια επαρκής στατιστική για την ιστορία της εξέλιξης I t, όταν εκλέγουμε μια απόφαση σε χρόνο t. Συγκεκριμένα π(t) περιέχει όλη την αναγκαία πληροφορία, όσον αφορά την ιστορία της εξέλιξης, προκειμένου να εκλεγεί μια απόφαση στον χρόνο t (Bertsekas 1976, Monahan 1982, Sondik 1971, Striebel 1965). Σημειώνουμε ότι η εξίσωση (7) είναι μια επαναληπτική εξίσωση, που θεωρητικά τουλάχιστον μπορεί να βρει μια βέλτιστη στρατηγική, με βάση το κριτήριο του μέσου αποπληθωρισμένου οφέλους. Ωστόσο επειδή ο χώρος Π είναι συνεχής, δεν επιτρέπονται οι επαναλήψεις, οπότε το να βρούμε μια βέλτιστη στρατηγική δεν είναι εύκολο έργο. Ευτυχώς όμως οι POMDPS έχουν κάποιες θαυμάσιες ιδιότητες, που μας βοηθούν να αναπτύξουμε υπολογιστικούς αλγόριθμους για την εύρεση μιας βέλτιστης στρατηγικής. Αυτές τις ιδιότητες παραθέτουμε στην επόμενη παράγραφο. 4. Συμβολισμοί και τελεστές Στην παράγραφο αυτή, κάποιοι συμβολισμοί και τελεστές εισάγονται. Εισάγουμε, την νόρμα. του Supremum. Έστω Β(π) το σύνολο των φραγμένων συναρτήσεων (πραγματικών τιμών) στο Π.
7 61 ΣΧΗΜΑ 1 Διάγραμμα απόφασης για τις μερικά παρατηρήσιμες Μαρκοβιανές αλυσίδες
8 62 Τελικά ορίζεται ένας τελεστής βελτιστοποίησης σαν: α) Είναι φραγμένοι (Whitt 1978) Ιδιότητες τελεστών Ηδ, Η β) Έχουν την ιδιότητα της μονοτονίας γ) Έχουν την ιδιότητα της συστολής για το πρόβλημα του άπειρου χρονικού ορίζοντα. Στις ιδιότητες αυτές των παραπάνω τελεστών θα πρέπει να προσθέσουμε, ότι η βέλτιστη συνάρτηση τιμών, σε πεπερασμένο χρονικόν ορίζοντα Τ, είναι κατά τμήματα γραμμική και μάλιστα κυρτή (Sondik 1971). Μια συνάρτηση υ καλείται κατά τμήματα γραμμική και κυρτή αν υπάρχει ένα ορισμένο σύνολο από Ν-διάστατα "gradients", Γ, ώστε:
9 63 Άρα, υ* είναι η βέλτιστη συνάρτηση τιμών. Επειδή μια P.O.M.D.P. έχει έναν συνεχή χώρο καταστάσεων, είναι πολύ δύσκολο να βρούμε την υ δ για δ ε Δ ή το υ*. Επομένως, φράγματα για τις τιμές των παραπάνω συναρτήσεων αναζητούνται σε αρκετούς ερευνητές. Συνοπτικά μπορούμε να πούμε, ότι οι αλγόριθμοι που αφορούν το πρόβλημα του πεπερασμένου χρονικού ορίζοντα, και βασίζονται σε μια επαναληπτική διαδικασία "value-iteration"χρησιμoπoιoύvται επίσης στο βήμα "policy-improvement" για το πρόβλημα του άπειρου χρονικού ορίζοντα.
10 64 Επομένως ουσιαστικό βήμα στην κατασκευή αλγορίθμων για το πρόβλημα του άπειρου χρονικού ορίζοντα είναι ο υπολογισμός Ηυ για μια δεδομένη κατά τμήματα γραμμική και κυρτή συνάρτηση υ. 5. Μερικά παρατηρήσιμες Μαρκοβιανές αλυσίδες με συνεχή χώρο μηνυμάτων Το σχέδιο αυτής της παραγράφου έχει ως ακολούθως: υποθέσεις, συμβολισμοί και διατύπωση μιας P.O.M.D.P. με συνεχή χώρο μηνυμάτων, μια μέθοδο που να μετατρέπει ένα πρόβλημα P.O.M.D.Ρ. με συνεχή χώρο μηνυμάτων σε μια P.O.M.D.P. με ορισμένο αριθμό μηνυμάτων. Οι βασικές υποθέσεις είναι ίδιες με αυτές που αναπτύχθηκαν στην παράγραφο (3). Η μόνη διαφορά είναι στην φύση των μηνυμάτων. Στην παράγραφο αυτή υποθέτουμε, ότι οι κατανομές μηνυμάτων έχουν συναρτήσεις πυκνότητας, ενώ στην παράγραφο (3) υποθέσαμε ότι είναι διακριτές. Οι παράμετροι αυτών των συναρτήσεων πυκνότητας εξαρτώνται από την κατάσταση του συστήματος, καθώς επίσης και από την απόφαση που λαμβάνεται στον συγκεκριμένο χρόνο. Για να γίνουμε πιο κατανοητοί, για κάθε κατάσταση του συστήματος iεs, κάθε απόφαση αε Α, και κάθε χρόνο t=0, 1, 2,... υπάρχει μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ff a i,t(.) στο σύνολο των μηνυμάτων. Για το πρόβλημα του άπειρου χρονικού ορίζοντα, υποθέτουμε ότι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι ανεξάρτητη από τον χρόνο και επομένως η εξάρτηση από τον χρόνο παραλείπεται στον συμβολισμό. Ας είναι πεπ, όπως ακριβώς ορίσθηκε στην παράγραφο (3). Δεδομένου ότι το τρέχον (i.v) είναι π και η απόφαση α χρησιμοποιείται, η υπό συνθήκη
11 65
12 66 Σημειώνουμε ότι ο τύπος (15) είναι παρόμοιος με τον αντίστοιχο τύπο που αφορά την περίπτωση που έχουμε διακριτό αριθμό μηνυμάτων. Η μόνη διαφορά είναι ότι το άθροισμα αντικαθίσταται με ένα ολοκλήρωμα. Οι White and Harrington (1980) έδειξαν, ότι αν υ t +1 είναι μια κυρτή συνάρτηση, το ίδιο ισχύει και για την υ t. Εν τούτοις, σε αντιδιαστολή με την περίπτωση που έχουμε ορισμένο αριθμό μηνυμάτων, υ t δεν είναι κατά τμήματα γραμμική ακόμη και αν υ t +1 είναι κατά τμήματα γραμμική. Αυτή η ιδιότητα καθιστά δυσκολότερο το πρόβλημα όπου έχουμε συνεχή κατανομή μηνυμάτων, σε σύγκριση με εκείνο, όπου έχουμε διακριτή κατανομή μηνυμάτων. Μια ομοιόμορφη κατανομή χρησιμοποιείται σε μοντέλα όπου δεν έχουμε αρκετή πληροφόρηση. Σχολιάζουμε αυτή την κατανομή, διότι μας δίνει την δυνατότητα να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα όπου έχουμε συνεχή χώρο μηνυμάτων, εφαρμόζοντας τις μεθόδους που αφορούν τον διακριτό χώρο μηνυμάτων. Ας είναι Θ ο χώρος μηνυμάτων. Επίσης στο χρόνο t,ας είναι Θ(t,i,α) ο χώρος μηνυμάτων για την εξέλιξη, δεδομένου ότι η κατάσταση του συστήματος είναι η i και η απόφαση που λαμβάνεται στο χρόνο t είναι η α. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για το μήνυμα στον χώρο μηνυμάτων υποθέτουμε ότι έχει την ομοιόμορφη κατανομή. Μια τετριμμένη περίπτωση έχουμε, όταν Θ(t, i, α) Θ(t, i, α) = 0 για όλα τα ζεύγη των καταστάσεων i και j. Τότε μπορούμε ξεκάθαρα να διατυπώσουμε το πρόβλημα, στα πλαίσια μιας πλήρως παρατηρήσιμης Μ D Ρ. Για παράδειγμα, υποθέτουμε ότι έχουμε ένα πρόβλημα με δύο καταστάσεις, σε τρόπο ώστε μια μηχανή να βρίσκεται στην καλή κατάσταση όταν έχει λειτουργικό κόστος από ευρώ την ημέρα, ενώ βρίσκεται στην κακή κατάσταση, όταν το λειτουργικό κόστος είναι από ευρώ την ημέρα. Έτσι αν το τρέχον λειτουργικό κόστος είναι 350 ευρώ την ημέρα, τότε είναι προφανές ότι το σύστημα βρίσκεται στην κακή κατάσταση. Βέβαια, η παραπάνω τεχνική αποτυγχάνει, όταν έχουμε αλληλοεπικάλυψη στις κατανομές μηνυμάτων. Εν τούτοις, αν οι κατανομές μηνυμάτων έχουν την ομοιόμορφη κατανομή, τότε το πρόβλημα μπορεί να αναδιατυπωθεί στα πλαίσια μιας POMDP με ορισμένο αριθμό μηνυμάτων.
13 67 Με την παραπάνω μέθοδο χωρίζουμε τον παραμετρικό χώρο Θ που είναι συνεχής σε κ το πλήθος κελιά. Κάθε κελί μπορεί να θεωρηθεί σαν ένα διακριτό μήνυμα. Τα μηνύματα είναι όμως ομοιόμορφα κατανεμημένα στον παραμετρικό χώρο Θ, οπότε οι πιθανότητες για καθένα από τα μηνύματα που ορίσθηκαν με τον νέο αυτό τρόπο, μπορούν να υπολογισθούν σαν το ολοκλήρωμα της συνάρτησης πυκνότητας σε κάθε περιοχή του Θt. Επειδή υπάρχει μόνον ορισμένος αριθμός Ν, από καταστάσεις, το σύνολο Θt έχει ορισμένο αριθμό από στοιχεία. Το κλειδί για την μετατροπή ενός προβλήματος P.O.M.D.P. με συνεχή χώρο μηνυμάτων, που όμως οι κατανομές μηνυμάτων (Signal distributions) είναι ομοιόμορφα καταναμεμημένες,σε ένα πρόβλημα P.O.M.D.P. με διακριτό αριθμό μηνυμάτων, είναι το γεγονός, ότι η μόνη πληροφορία που παρέχεται από το μήνυμα είναι το κελί της διαμέρισης στην οποίαν αυτό ανήκει. Κάθε στοιχείο του Θ t, μπορεί να θεωρηθεί σαν ένα μήνυμα, οπότε πλέον έχουμε ένα πρόβλημα P.O.M.D.P. με διακριτό αριθμό μηνυμάτων. Το κλειδί για την μετατροπή μιας P.O.M.D.P. με ομοιόμορφη κατανομή μηνυμάτων, σε ένα πρόβλημα P.O.M.D.P. με ορισμένο διακριτό αριθμό μηνυμάτων είναι ότι το Τ (π, α,.) είναι σταθερό πάνω σε κάθε στοιχείο του Θ t. Ας δείξουμε αυτό το αποτέλεσμα στα λήμματα που ακολουθούν. Για να γίνουν κατανοητά τα παραπάνω, θεωρούμε μια μηχανή με λειτουργικό κόστος που εξαρτάται από την κατάστασή της. Αν η μηχανή είναι σε άριστη κατάσταση, το λειτουργικό κόστος είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο από ευρώ ανά ημέρα. Αν τώρα η μηχανή είναι σε κατάσταση επισκευής, το λειτουργικό κόστος είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο από ευρώ ανά ημέρα. Τέλος αν η μηχανή είναι σε άθλια κατάσταση, το λειτουργικό κόστος είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο από ευρώ ανά ημέρα. Άρα το κόστος μπορεί να διαιρεθεί σε πέντε περιοχές
14 Κάθε περιοχή μπορούμε να την δοΰμε σαν διακριτό (ξεχωριστό μήνυμα). Από το γεγονός ότι τα μηνύματα είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα στον χώρο των μηνυμάτων, οι πιθανότητες του καθενός από τα νέα μηνύματα όπως τα ορίσαμε, μπορούν να ορισθούν με ολοκλήρωμα της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας σε κάθε μία από τις περιοχές του Θ t. Για παράδειγμα, υπάρχει 66,67% πιθανότητα το λειτουργικό κόστος να είναι μεταξύ ευρώ και 33,33% το λειτουργικό κόστος να είναι μεταξύ ευρώ, αν η μηχανή βρίσκεται σε εξαιρετική κατάσταση. Όμοια η πιθανότητα για κάθε διάστημα κόστους μπορεί να υπολογισθεί για την κατάσταση επισκευής, καθώς και για την χειρότερη κατάσταση. Το λήμμα είναι ουσιαστικό, διότι κάνει εμφανή την μέθοδο με την οποία μία P.O.M.D.P. με ομοιόμορφη κατανομή μηνυμάτων, αναδιαμορφώνεται σε
15 69
16 70 Η τελευταία εξίσωση είναι ίδια μορφολογικά με την εξίσωση (7). Επομένως η (15) μπορεί να ξαναγραφεί όπως ακριβώς η (7), που πρακτικά σημαίνει ότι μία P.O.M.D.P. με ομοιόμορφα καταναμεμημένες τις στοχαστικές διαδικασίες μηνυμάτων, μπορεί να αναδιατυπωθεί σαν μία P.O.M.D.P. με ορισμένο διακριτό αριθμό μηνυμάτων.
17 6. Μέθοδοι για την λύση των P.O.M.D.P.S. με συνεχή χώρο μηνυμάτων 71
18 72 Τότε με σκοπό την απλοποίηση των παραστάσεων, και για να φανεί η μορφολογική ομοιότητα θεωρούμε θέσεις είναι στην πραγματικότητα αληθείς για πολλές κατανομές που χρησιμοποιούνται συνήθως. Πριν ωστόσο αρχίσουμε τους υπολογισμούς, θεωρείται απαραίτητο να επιβεβαιώσουμε αν οι δεδομένες κατανομές μηνυμάτων
19 73 Για παράδειγμα, αν οι στοχαστικές διαδικασίες μηνυμάτων είναι εκθετικές και υπάρχουν μόνον δυο καταστάσεις στο σύστημά μας, μπορούμε να δείξουμε ότι οι υποθέσεις ισχύουν. Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε εκθετική κατανομή στο παράδειγμα που ακολουθεί. Παράδειγμα Για να διευκρινίσουμε την μέθοδο παραθέτουμε το παράδειγμα Οι στοχαστικές διαδικασίες μηνυμάτων έχουν τις ακόλουθες συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας: Για θ>0
20 74 Επομένως Ηυ στο [0, 1] είναι 5.46 και το "gradient" που αντιστοιχεί στην κατάσταση αυτή είναι [-3.62, 5.46] Τ. Συμπεράσματα Αναπτύξαμε μια μέθοδο που μπορεί να λύσει ένα πρόβλημα μερικά παρατηρήσιμων Μαρκοβιανών αλυσίδων με συνεχή χώρο μηνυμάτων. Ακολουθήσαμε την ίδια πορεία, με εκείνη που ακολούθησαν αρκετοί ερευνητές και αφορούσε το πρόβλημα P.O.M.D.P. με διακριτό αριθμό μηνυμάτων. Επεκτείναμε τα αποτελέσματα για την περίπτωση που ο χώρος μηνυμάτων είναι συνεχής. Κλειδί για την επέκταση αυτή είναι το λήμμα (3.1) και το θεώρημα (3.2) που ουσιαστικά διαμερίζουν τον χώρο μηνυμάτων, Θ, σε τρόπον ώστε κάθε κελλί της διαμέρισης που προτείνεται, να μπορεί να θεωρηθεί σαν ένα ξεχωριστό διακριτό μήνυμα. Επομένως μπορούμε να αναδιατυπώσουμε το πρόβλημα P.O.M.D.P. με συνεχή χώρο μηνυμάτων, ώστε να αντιμετωπισθεί με μια μέθοδο επίλυσης ανάλογη με εκείνη που λύνει το πρόβλημα με διακριτό αριθμό μηνυμάτων. Η παραπάνω επέκταση κρίθηκε αναγκαία, διότι σε αρκετά προβλήματα της καθημερινότητας ο χώρος μηνυμάτων είναι συνεχής. Για παράδειγμα η θερμοκρασία μιας μηχανής είναι συνεχής μεταβλητή.
21 75 References 1. Bertsekas, D.P. (1975) Dynamic programming and stochastic control. Academic Press New York. 2. Denardo, E.V. (1967) Contraction mapping in theory underlying dynamic programming. SIAM Reviews 9, ( ). 3. Howard, R.A. (1960) Dynamic programming and Markov processes. MIT. 4. Lovejoy, W.S. (1991)Computationally feasible bounds for P.O.M.D.P. Operation research, vol 39, No 1, 1991 ( ). 5. Littman, M.L. Algorithms for sequential decision making PhD thesis, Department of computer science, Brown University (1996). 6. Sondik E.J. (1978) Optimal control of P.O.M.D.P. over the infinite horizon: discount costs, Operation research, vol 2, March 1978 ( ). 7. Sondik E.J. (1973) Optimal control of P.O.M.D.P. over the infinite horizon: discount costs, Operation research, 21 ( ). 8. Sondik E.J. (1971) Optimal control of P.O.M.D.P.. PhD thesis. Department of electrical engineering, Stanford University White C.C. and Harrington D.P. (1980) Appication of Jensen's Inequality to adaptive Suboptimal Design, Journal of optimization theory and applications 32, (89-99). 10. Whitt,W. (1978). Approximations of dynamics programs, I Mathematics of operation research 3, ( ). 11. Abraham Grosfeld-Nir (1996) A Two-state partially observable Markov decision process with uniformly distributed observations. Operation research vol 44, no 3, ( ).
καθ. Βασίλης Μάγκλαρης
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Αίθουσα 005 - Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ε.Μ.Π. Ενισχυτική Μάθηση - Δυναμικός Προγραμματισμός: 1. Markov Decision Processes 2. Bellman s Optimality Criterion 3. Αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες
ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες Λήψη Α οφάσεων υ ό Αβεβαιότητα Decision Making under Uncertainty Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Εντο
Διαβάστε περισσότεραΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014
ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο
Διαβάστε περισσότεραΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες
ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες Μερική Παρατηρησιµότητα Θεωρία Παιγνίων Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Reinforcement Learning (RL)
Διαβάστε περισσότεραΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας
Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σκ της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα Χ=(Χ, Χ,, Χ ) από πληθυσμό το
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ)
Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ) Περίληψη Επίλυση δυσδιάστατων προβληµάτων Η µέθοδος simplex Τυπική µορφή Ακέραιος Προγραµµατισµός Προγραµµατισµός Παραγωγής Προϊόν Προϊόν 2 Παραγωγική Δυνατότητα Μηχ. 4 Μηχ.
Διαβάστε περισσότεραΗθικός Κίνδυνος. Το βασικό υπόδειγμα. Παρουσιάζεται ένα στοχαστικό πρόβλημα χρηματοδότησης όταν τα αντισυμβαλλόμενα μέρη έχουν συμμετρική πληροφόρηση.
Ηθικός Κίνδυνος Παρουσιάζεται ένα στοχαστικό πρόβλημα χρηματοδότησης όταν τα αντισυμβαλλόμενα μέρη έχουν συμμετρική πληροφόρηση Το βασικό υπόδειγμα Θεωρείστε την περίπτωση κατά την οποία μια επιχείρηση
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Αίθουσα Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ε.Μ.Π.
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Αίθουσα 005 - Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ε.Μ.Π. Δυναμικός Προγραμματισμός με Μεθόδους Monte Carlo: 1. Μάθηση Χρονικών Διαφορών (Temporal-Difference Learning) 2. Στοχαστικός
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Eπαναληπτική μέθοδος πολιτικής για προβλήματα. POMDP σε άπειρο χρονικό ορίζοντα. Περίληψη
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Eπαναληπτική μέθοδος πολιτικής για προβλήματα POMP σε άπειρο χρονικό ορίζοντα Περίληψη Στο προηγούμενο κεφάλαιο μελετήσαμε προσεγγίσεις της άριστης συνάρτησης τιμών και της άριστης πολιτικής
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων Ι
Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 3: Στοχαστικά Συστήματα Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των
Διαβάστε περισσότεραHMY 795: Αναγνώριση Προτύπων
HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 3 Επιλογή μοντέλου Επιλογή μοντέλου Θεωρία αποφάσεων Επιλογή μοντέλου δεδομένα επικύρωσης Η επιλογή του είδους του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (π.χ.
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Ανελίξεις (3) Αγγελική Αλεξίου
Στοχαστικές Ανελίξεις (3) Αγγελική Αλεξίου alexiou@unipi.gr 1 Αλυσίδες Markov 2 Παράδειγμα 1: παιχνίδι τύχης Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 3 Παράδειγμα 2: μηχανή Έστω μηχανή που παράγει ένα προϊόν με
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας
Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων Ι
Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 1: Μέθοδοι Αναγνώρισης Προτύπων Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Εισαγωγή Ο Δυναμικός Προγραμματισμός (ΔΠ) είναι μία υπολογιστική μέθοδος η οποία εφαρμόζεται όταν πρόκειται να ληφθεί μία σύνθετη απόφαση η οποία προκύπτει από τη σύνθεση επιμέρους
Διαβάστε περισσότεραΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες
ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες Θεωρία Παιγνίων Μαρκωβιανά Παιχνίδια Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Μερική αρατηρησιµότητα POMDPs
Διαβάστε περισσότεραΜοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2017-2018 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ513 - Αυτόνομοι Πράκτορες Αναφορά Εργασίας
ΠΛΗ513 - Αυτόνομοι Πράκτορες Αναφορά Εργασίας Ομάδα εργασίας: LAB51315282 Φοιτητής: Μάινας Νίκος ΑΦΜ: 2007030088 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΙΔΕΑΣ Η ιδέα της εργασίας βασίζεται στην εύρεση της καλύτερης πολιτικής για ένα
Διαβάστε περισσότεραΙσότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών
Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών Συμβολισμοί Σε αναλογία με τους ορισμούς συμβολίζουμε μια ακολουθία: 1 είτε μέσω του διανυσματικού ορισμού, παραθέτοντας αναγκαστικά
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Αίθουσα 005 - Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ε.Μ.Π. Μοντέλα Στατιστικής Μηχανικής, Κινητικότητα & Ισορροπία Αλυσίδες Markov: Καταστάσεις, Εξισώσεις Μεταβάσεων καθ. Βασίλης Μάγκλαρης
Διαβάστε περισσότεραΔειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:
Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον
Διαβάστε περισσότεραΧρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ
Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή,
Διαβάστε περισσότεραΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις
ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται
Διαβάστε περισσότεραInformation Retrieval
Ανάκληση Πληποφοπίαρ Information Retrieval Διδάζκων Δημήηριος Καηζαρός Διάλεξη 13η: 10/05/2016 Τμ. HMMY, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 1 Ερπυστές στον Παγκόσμιο Ιστό Το πρόβλημα της ανενέωσης σελίδων στον index
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ενότητα: Αναγνώριση Διεργασίας - Προσαρμοστικός Έλεγχος (Process Identification) Αλαφοδήμος Κωνσταντίνος
Διαβάστε περισσότεραΑ Ν Α Λ Τ Η Α Λ Γ Ο Ρ Ι Θ Μ Ω Ν Κ Ε Υ Α Λ Α Ι Ο 5. Πως υπολογίζεται ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθμου;
5.1 Επίδοση αλγορίθμων Μέχρι τώρα έχουμε γνωρίσει διάφορους αλγόριθμους (αναζήτησης, ταξινόμησης, κ.α.). Στο σημείο αυτό θα παρουσιάσουμε ένα τρόπο εκτίμησης της επίδοσης (performance) η της αποδοτικότητας
Διαβάστε περισσότεραΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ
ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Γ. ΑΓΓΕΛΟΥ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Διαβάστε περισσότεραΘέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Κλασικές Τεχνικές Βελτιστοποίησης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 2 η /2017 Μαθηματική Βελτιστοποίηση Η «Μαθηματική
Διαβάστε περισσότεραΜαρκοβιανές Αλυσίδες
Μαρκοβιανές Αλυσίδες { θ * } Στοχαστική Ανέλιξη είναι μια συλλογή τ.μ. Ο χώρος Τ (συνήθως είναι χρόνος) μπορεί να είναι είτε διακριτός είτε συνεχής και καλείται παραμετρικός χώρος. Το σύνολο των δυνατών
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Επιχειρήσεων Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 4: Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Δρ. Πολ. Μηχ. Κόκκινος Οδυσσέας
ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Δρ. Πολ. Μηχ. Κόκκινος Οδυσσέας Σχεδιασμός αντικειμένων, διεργασιών, δραστηριοτήτων (π.χ. τεχνικά έργα, έπιπλα, σκεύη κτλ) ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ (conceptual design) ΠΡΟΜΕΛΕΤΗ
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων 1ο Σετ Ασκήσεων - Λύσεις
Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων ο Σετ Ασκήσεων - Λύσεις Νοέμβριος - Δεκέμβριος 205 Ερώτημα (α). Η νοσοκόμα ακολουθεί μια Ομογενή Μαρκοβιανή Αλυσίδα Διακριτού Χρόνου με χώρο καταστάσεων το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραApplying Markov Decision Processes to Role-playing Game
1,a) 1 1 1 1 2011 8 25, 2012 3 2 MDPRPG RPG MDP RPG MDP RPG MDP RPG MDP RPG Applying Markov Decision Processes to Role-playing Game Yasunari Maeda 1,a) Fumitaro Goto 1 Hiroshi Masui 1 Fumito Masui 1 Masakiyo
Διαβάστε περισσότεραΔειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:
Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον
Διαβάστε περισσότεραΑ) Κριτήριο Προσδοκώμενης Χρηματικής Αξίας Expected Monetary Value (EMV)
5. ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (Decision Analysis) Επιχειρήσεις, Οργανισμοί αλλά και μεμονωμένα άτομα αντιμετωπίζουν σχεδόν καθημερινά το δύσκολο πρόβλημα της λήψης αποφάσεων. Τα προβλήματα αυτά έχουν σαν αντικειμενικό
Διαβάστε περισσότερα3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex
3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 16: O αλγόριθμος SIMPLE (συνέχεια)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 16: O αλγόριθμος SIMPLE (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε λύσεις
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός
Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.
Διαβάστε περισσότεραΤο Λήμμα του Fejér και Εφαρμογές
Το Λήμμα του Fejér και Εφαρμογές Ανδρέας Καβατζικλής Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Πολυτεχνειούπολη Ζωγράφου 57 8 Αθήνα e-mail: kaviros@ceral.ua.gr
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 3 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 3 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ Σύμφωνα με στοιχεία από το Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης η πιθανότητα ένας φοιτητής να αποφοιτήσει μέσα σε 5 χρόνια από την ημέρα εγγραφής του στο
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:
Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής
Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Παίγνια μηδενικού αθροίσματος PessimisIc play Αμιγείς max-min και
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@e.aegea.gr Τηλ: 7035468 Μέθοδος Υπολογισμού
Διαβάστε περισσότεραΚατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 )
Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής =() Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Έστω τ.μ. Χ με γνωστή κατανομή. Δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΜέρος IV. Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ15 ( 1 )
Μέρος IV Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( ) Πολυδιάστατες μεταβλητές Πολλά ποσοτικά χαρακτηριστικά που σχετίζονται με
Διαβάστε περισσότεραΚατανεμημένα Συστήματα Ι
Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 27 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 1 Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Προηγούμενη
Διαβάστε περισσότερα( ) x 1 1. cone( (10.1) ( ) x ) := D (10.2) D Ax b 0 Ax 0 b. i λ i 1
Θεωρία Γραμμικού Προγραμματισμού Διάλεξη 0: 2..204 Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Ευάγγελος Αναγνωστόπουλος, Πέτρος Μπαρμπαγιάννης & Σ. Κ. 0. Θεώρημα Minkowski-Weyl για πολύεδρα Ορισμός 0. Αν
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 11
Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 11 Πάτρα 2008 Προσαρμοστικός LQ έλεγχος για μη ελαχίστης
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Στρατηγικές
Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότερα- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να
- Παράδειγμα. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να αποκρούσει ένας τερματοφύλακας. - Αν οι δύο παίκτες επιλέξουν
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex (C) Copyright Α.
Διαβάστε περισσότερα6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης
6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης Μία διαφορετική μέθοδος εκπαίδευσης των νευρωνικών δικτύων χρησιμοποιεί ιδέες από την Στατιστική Φυσική για να φέρει τελικά το ίδιο αποτέλεσμα όπως οι άλλες μέθοδοι,
Διαβάστε περισσότεραΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ. Συσχέτιση (Correlation) - Copulas
ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Συσχέτιση (Correlation) - Copulas Σημασία της μέτρησης της συσχέτισης Έστω μία εταιρεία που είναι εκτεθειμένη σε δύο μεταβλητές της αγοράς. Πιθανή αύξηση των 2 μεταβλητών
Διαβάστε περισσότεραΔιαδικασίες Markov Υπενθύμιση
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Διαδικασίες Markov Υπενθύμιση Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΟνοματεπώνυμο: Ερώτημα: Σύνολο Μονάδες: Βαθμός:
ΕΤΥ: Ανάλυση Απόδοσης Πληροφοριακών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2014-15 Τελική Εξέταση 28/02/15 Διάρκεια Εξέτασης: 3 Ώρες Ονοματεπώνυμο: Αριθμός Μητρώου: Υπογραφή: Ερώτημα: 1 2 3 4 5 6 Σύνολο Μονάδες:
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 2 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 1 ο
Εφαρμογές Ανάλυσης Σήματος στη Γεωδαισία Παρουσίαση η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος ο Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Γεώργιος Χλούπης Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Τοπογραφίας
Διαβάστε περισσότεραΤεχνητή Νοημοσύνη. 17η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.
Τεχνητή Νοημοσύνη 17η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται: στο βιβλίο Artificia Inteigence A Modern Approach των S. Russe και
Διαβάστε περισσότεραείναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές
Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΝικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου
Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου Θεωρημα 1 Εστω s S μια οποιαδήποτε κατάσταση μιας αδιαχώριστης Μαρκοβιανής αλυσίδας.
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες & Τυχαία Σήματα. Διγαλάκης Βασίλης
Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Διγαλάκης Βασίλης Τυχαία Σήματα Γενίκευση τυχαίων διανυσμάτων Άπειρο σύνολο πιθανά αριθμήσιμο από τυχαίες μεταβλητές Παραδείγματα τυχαίων σημάτων: Τηλεπικοινωνίες: Σήμα πληροφορίας
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΕΚΤΙΜΙΣΗ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ
3.1 Εισαγωγή ΕΚΤΙΜΙΣΗ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ Στο κεφ. 2 είδαμε πώς θα μπορούσαμε να σχεδιάσουμε έναν βέλτιστο ταξινομητή εάν ξέραμε τις προγενέστερες(prior) πιθανότητες ( ) και τις κλάση-υπό όρους πυκνότητες
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο
Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Κλειστά Δίκτυα Ουρών Markov - Αλγόριθμος Buzen Μοντέλο Παράλληλης Επεξεργασίας Έλεγχος Ροής Άκρου σε Άκρο (e2e) στο Internet Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr
Διαβάστε περισσότεραΠεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις
Κεφάλαιο 9 Πεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε μια απλή ελλειπτική εξίσωση, στις δύο διαστάσεις. Θα κατασκευάσουμε μεθόδους πεπερασμένων διαφορών
Διαβάστε περισσότερα12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης
Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν
Διαβάστε περισσότεραΠαραμετρική ανάλυση του συντελεστή ανάκλασης από στρωματοποιημένο πυθμένα δύο στρωμάτων με επικλινή διεπιφάνεια 1
4 93 Παραμετρική ανάλυση του συντελεστή ανάκλασης από στρωματοποιημένο πυθμένα δύο στρωμάτων με επικλινή διεπιφάνεια Π. Παπαδάκης,a, Γ. Πιπεράκης,b & Μ. Καλογεράκης,,c Ινστιτούτο Υπολογιστικών Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4.0 Επιλογή Αλγόριθμοι Επιλογής Select και Quick-Select Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική. Εκτιμητική
Στατιστική Εκτιμητική Χατζόπουλος Σταύρος 28/2/2018 και 01 /03/2018 Εισαγωγή Το αντικείμενο της Στατιστικής είναι η εξαγωγή συμπερασμάτων που αφορούν τον πληθυσμό ή το φαινόμενο που μελετάμε, με τη βοήθεια
Διαβάστε περισσότεραMarkov. Γ. Κορίλη, Αλυσίδες. Αλυσίδες Markov
Γ. Κορίλη, Αλυσίδες Markov 3- http://www.seas.upe.edu/~tcom5/lectures/lecture3.pdf Αλυσίδες Markov Αλυσίδες Markov ιακριτού Χρόνου Υπολογισµός Στάσιµης Κατανοµής Εξισώσεις Ολικού Ισοζυγίου Εξισώσεις Λεπτοµερούς
Διαβάστε περισσότεραΓραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ IΙ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ IΙ Ακαδ. Έτος 2018-2019 Διδάσκων: Β. ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegean.gr Τηλ: 2271035468
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Στρατηγικές
Στοχαστικές Στρατηγικές 1 η ενότητα: Εισαγωγή στον Δυναμικό Προγραμματισμό Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αναμονής (Queuing Systems)
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ - ΕΜΠ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης & Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων Τηλεματικής
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 10: Το πρόβλημα μεταφοράς: μαθηματικό μοντέλο και μεθοδολογία επίλυσης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες
Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θα εισαγάγουμε την έννοια του τυχαίου αριθμού με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα: Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας η οποία σε
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μία μέθοδος κρυπτογραφίας δημοσίου κλειδιού Αντί για δακτύλιους της μορφής Z n χρησιμοποιεί ελλειπτικές καμπύλες ορισμένες σε πεπερασμένα σώματ
Γενικά Μία μέθοδος κρυπτογραφίας δημοσίου κλειδιού Αντί για δακτύλιους της μορφής Z n χρησιμοποιεί ελλειπτικές καμπύλες ορισμένες σε πεπερασμένα σώματα Βασίζεται στο πρόβλημα του διακριτού λογαρίθμου Αυξημένη
Διαβάστε περισσότερα2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.
Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 6. Εισαγωγή 6. Μονομεταβλητές προβλέψεις Βέλτιστη πρόβλεψη και Θεώρημα βέλτιστης πρόβλεψης Διαστήματα εμπιστοσύνης 6.3 Εφαρμογές A. MILIONIS KEF. 6 08 BEA
Διαβάστε περισσότεραOn line αλγόριθμοι δρομολόγησης για στοχαστικά δίκτυα σε πραγματικό χρόνο
On line αλγόριθμοι δρομολόγησης για στοχαστικά δίκτυα σε πραγματικό χρόνο Υπ. Διδάκτωρ : Ευαγγελία Χρυσοχόου Επιβλέπων Καθηγητής: Αθανάσιος Ζηλιασκόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Περιεχόμενα Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραIV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ
IV.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΕΩΣ.Γενική λύση.χωριζόμενων μεταβλητών 3.Ρυθμοί 4.Γραμμικές 5.Γραμμική αυτόνομη 6.Bernoulli αυτόνομη 7.Aσυμπτωτικές ιδιότητες 8.Αυτόνομες 9.Σταθερές τιμές.διάγραμμα ροής.ασυμπτωτική
Διαβάστε περισσότεραconditional posterior distributions είναι standard δηλαδή ξέρουμε να κάνουμε δειγματοληψία από τις κατανομές π ( µτ,x) (, x) (, x) ( )
Δειγματοληψία από την posteror π ( τ, x - Gbbs saplg Υποθέτουμε ότι η posteror έχει μορφή π ( τ, x π ( τ x π ( x και τα δύο full codtoal posteror dstrbutos είναι stadard δηλαδή ξέρουμε να κάνουμε δειγματοληψία
Διαβάστε περισσότεραΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ KAI ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ O μετασχηματισμός lc-ο αντίστροφος μετασχηματισμός
Διαβάστε περισσότεραHMY 795: Αναγνώριση Προτύπων
HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 5 Κατανομές πιθανότητας και εκτίμηση παραμέτρων δυαδικές τυχαίες μεταβλητές Bayesian decision Minimum misclassificaxon rate decision: διαλέγουμε την κατηγορία Ck για
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: βελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 7-8 η /2017 Τι παρουσιάστηκε
Διαβάστε περισσότερα