Κεφάλαιο 1 ο : Τυποποιηµένες συναρτήσεις στο MATLAB. Κεφάλαιο 2 ο :Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις. Κεφάλαιο 4 ο : ιαφορικές εξισώσεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 1 ο : Τυποποιηµένες συναρτήσεις στο MATLAB. Κεφάλαιο 2 ο :Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις. Κεφάλαιο 4 ο : ιαφορικές εξισώσεις"

Transcript

1 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Κεφάλαιο 1 ο : Τυποποιηµένες συναρτήσεις στο MATLAB Κεφάλαιο ο :Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις Κεφάλαιο 3 ο :Πίνακες Κεφάλαιο 4 ο : ιαφορικές εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ο :Ολοκληρώµατα Κεφάλαιο 6 ο :Σειρές Κεφάλαιο 7 ο :Μιγαδικοί αριθµοί Κεφάλαιο 8 ο :Πολυώνυµα Κεφάλαιο 9 ο : ιανύσµατα Κεφάλαιο 10 ο :Μέθοδοι Αριθµητικής Ολοκλήρωσης Κεφάλαιο 11 ο :Όρια 1

2 Εισαγωγή Το MATLAB (Math Works.) παρέχει ένα δυναµικό, εύχρηστο και ανοικτό υπολογιστικό περιβάλλον για υλοποίηση επιστηµονικών εφαρµογών σε ένα µεγάλο φάσµα πεδίων, όπως στη Γραµµική Άλγεβρα, Στατιστική, Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά, Αριθµητική Ανάλυση και Επιστηµονικό Υπολογισµό, Επεξεργασία Σηµάτων και Εικόνας, Θεωρία Ελέγχου, Θεωρία Βελτιστοποίησης και Γραφικά. Έχει υλοποιηθεί σε πολλές λειτουργικές πλατφόρµες (όπως Windows Macinntosh OS και Unix) και δύο βασικές εκδόσεις, την επαγγελµατική και την εκπαιδευτική (student edition). Το περιβάλλον του Matlab υποστηρίζει ένα µεγάλο αριθµό ενδογενών λειτουργών και συναρτήσεων καθώς και εξωτερικές βιβλιοθήκες (Toolbox) για εξειδικευµένες περιοχές εφαρµογών. Υποστηρίζει επίσης µια ευέλικτη, απλή και δοµηµένη γλώσσα προγραµµατισµού (script language) µε πολλές οµοιότητες µε την Pascalκαι παρέχει δυνατότητες εύκολης δηµιουργίας, διασύνδεσης και χρήσης βιβλιοθηκών σε κώδικα γραµµένο στη γλώσσα αυτή (Μ files), Το Matlab εκτελεί από απλούς µαθηµατικούς υπολογισµούς µέχρι και προγράµµατα µε εντολές παρόµοιες µε αυτές που υποστηρίζει µια γλώσσα υψηλού επιπέδου. Συγκεκριµένα εκτελεί απλές µαθηµατικές πράξεις, αλλά εξίσου εύκολα χειρίζεται µιγαδικούς αριθµούς, δυνάµεις, ειδικές µαθηµατικές συναρτήσεις, πίνακες, διανύσµατα και πολυώνυµα. Μπορεί επίσης να αποθηκεύει και να ανακαλεί δεδοµένα, να δηµιουργεί και να εκτελεί ακολουθίες εντολών που αυτοµατοποιούν διάφορους υπολογισµούς και να σχεδιάζει γραφικά. Οι λειτουργίες του Matlab διακρίνονται στις τυποποιηµένες, δηλαδή σε αυτές που χειρίζονται αριθµητικά δεδοµένα και εξάγουν αριθµητικά αποτελέσµατα, και στις συναρτήσεις του Symbolic Toolbox, οι οποίες χειρίζονται και υπολογίζουν συµβολικές εκφράσεις, δηλαδή επεξεργάζονται µαθηµατικά σύµβολα. Η ενότητα αυτή είναι µια σύνοψη των βασικότερων χαρακτηριστικών του Matlab και αποτελείται από δύο µέρη. Στο πρώτο µέρος παρουσιάζονται οι βασικές εντολές, λειτουργίες και χαρακτηριστικά του Matlab, Συγκεκριµένα περιγράφονται οι υποστηριζόµενοι τελεστές και πράξεις, οι στοιχειώδεις µαθηµατικές συναρτήσεις και οι εντολές που περιλαµβάνει η ενσωµατωµένη γλώσσα προγραµµατισµού. Ιδιαίτερη έµφαση δίνεται στο λογισµό και στις πράξεις πινάκων. Τέλος δίνονται οι τρόποι σχεδίασης γραφικών παραστάσεων και κατασκευής συναρτήσεων.στο δεύτερο µέρος παρουσιάζονται ενδεικτικά µερικές αντιπροσωπευτικές και απλές εφαρµογές του Matlab στη Γραµµική Άλγεβρα και στις Αριθµητικές Μεθόδους. Επίσης δίνονται µερικές αριθµητικές µέθοδοι, υλοποιηµένες στη γλώσσα script. Τα προγράµµατα αυτά έχουν ληφθεί κατά ένα µέρος από τη βασική βιβλιοθήκη του Matlab ή από το διεθνές δίκτυο και έχουν υποστεί µερικές προσθήκες και βελτιώσεις.

3 Κεφάλαιο 1 ο : Τυποποιηµένες συναρτήσεις στο MATLAB Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι ονοµασίες βασικών συναρτήσεων, όπως εισάγονται στο MATLAB, καθώς και ο τρόπος εισαγωγής µαθηµατικών σταθερών στο ίδιο πρόγραµµα. Στοιχειώδης µαθηµατικές συναρτήσεις Συνάρτηση Λειτουργία sin Ηµίτονο sinh Υπερβολικό ηµίτονο asin Αντίστροφο ηµίτονο asinh Αντίστροφο υπερβολικό ηµίτονο cos Συνηµίτονο cosh Υπερβολικό συνηµίτονο acos Αντίστροφο συνηµίτονο acosh Αντίστροφο υπερβολικό συνηµίτονο tan Εφαπτοµένη tanh Υπερβολική εφαπτοµένη atan Αντίστροφη εφαπτοµένη atanh Αντίστροφη Υπερβολική εφαπτοµένη sec Τέµνουσα sech Υπερβολική τέµνουσα asec Αντίστροφη τέµνουσα asech Αντίστροφη υπερβολική τέµνουσα csc Συντέµνουσα csch Υπερβολική συντέµνουσα acsc Αντίστροφη συντέµνουσα acsch Αντίστροφη υπερβολική συντέµνουσα cot Συνεφαπτοµένη coth Υπερβολική συνεφαπτοµένη acot Αντίστροφη συνεφαπτοµένη acoth Αντίστροφη υπερβολική συνεφαπτοµένη exp Εκθετική συνάρτηση e -x logm Νεπέριος (φυσικός) λογάριθµος log10 εκαδικός λογάριθµος sqrt Τετραγωνική ρίζα abs Απόλυτη τιµή angle Γωνίες φάσης στοιχείων µιγαδικού πίνακα conj Συζυγής µιγαδικού image Φανταστικό µέρος µιγαδικού real Πραγµατικό µέρος µιγαδικού fix Ακέραιο µέρος floor Κάτω ακέραιο µέρος ceil Πάνω ακέραιο µέρος round Στρογγυλοποίηση rem Υπόλοιπο διαίρεσης sign Πρόσηµο Οι βασικές συναρτήσεις καλούνται µε το όνοµα τους, π.χ, η κλήση sin(pi) θα δώσει ans = , 3

4 Μαθηµατικές Σταθερές Μεταβλητή Τιµή ans Tο αποτέλεσµα κάθε αριθµητικής πράξης pi Ο αριθµός π eps Ο κοντινότερος στο µηδέν inf Άπειρο NaN Όχι αριθµός (π.χ. 0/0) i &j i=j= 1 realmean O µικρότερος θετικός πραγµατικός αριθµός realmax Ο µεγαλύτερος θετικός πραγµατικός αριθµός abs Απόλυτη τιµή Παρακάτω δείχνεται ο τρόπος µε τον οποίο µπορούµε να κάνουµε αριθµητικές πράξεις στο MATLAB. Πρόσθεση : Για την πράξη της πρόσθεσης χρησιµοποιείται το σύµβολο «+». Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να υπολογίσουµε το άθροισµα 15+1.Γράφουµε στο MATLAB απλά Αφαίρεση : όµοια γράφουµε στο MATLAB 15-1 ιαίρεση : γράφουµε 15/1 Πολλαπλασιασµός: όµοια 15*1 Στην περίπτωση που θέλουµε να υπολογίσουµε πιο πολύπλοκες µαθηµατικές πράξεις, η σειρά µε την οποία εκτελούνται έχει πρωτεύουσα σηµασία.π.χ. έχουµε να υπολογίσουµε το 4

5 3 αποτέλεσµα της *4 4*.Για να επιτύχουµε την κατάλληλη σειρά των πράξεων 1 1 χρησιµοποιούµε τις παρενθέσεις όπως φαίνεται παρακάτω : επίσης το σύµβολο της δύναµης είναι το «^» που ενεργοποιείται µε το shift+6 : 48 το e+048 σηµαίνει 10. Ακόµη το MATLAB µας επιτρέπει να εισάγουµε και σταθερές, για δικιά µας ευκολία όταν έχουµε να εισάγουµε πολλές φορές την ίδια τιµή. Έτσι, αν έχουµε ένα πρόβληµα φυσικής όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας υπεισέρχεται πολλές φορές στους υπολογισµούς µας τότε την δίνουµε µε τον ακόλουθο τρόπο, όπως φαίνεται παρακάτω : 5

6 Προσοχή!!! : η υποδιαστολή δηλώνεται ΠΑΝΤΑ µε την τελεία. Εισάγοντας το σύµβολο % πριν ή µετά από κάθε τι που γράφουµε, µπορούµε να γράψουµε ότι θέλουµε χωρίς να υπεισέρχεται στους υπολογισµούς, κάτι που είναι απαραίτητο όταν έχουµε να ορίσουµε πολλές σταθερές ή συναρτήσεις. Επίσης προσέξτε την διαφορά όταν χρησιµοποιούµε το σύµβολο ;.Χάρις σε αυτό, το πρόγραµµα δεν υπολογίζει και τυπώνει αυτό που γράψαµε και περιµένει την επόµενη εντολή χωρίς το ; για να κάνει υπολογισµούς και να µας δώσει αποτέλεσµα, κάτι που είναι πολύ σηµαντικό όταν θέλουµε να λύσουµε ποιο σύνθετα προβλήµατα. Ας βρούµε τώρα την ταχύτητα µε την οποία προσκρούει ένα σώµα στο έδαφος από ύψος h=5m.γράφουµε στο MATLAB : Ο Νεπέριος λογάριθµος Για τον υπολογισµό του νεπέριου λογάριθµου γράφουµε ως παρακάτω : 6

7 εκαδικός λογάριθµος Για τον υπολογισµό του δεκαδικού λογάριθµου γράφουµε ως παρακάτω : Η τετραγωνική ρίζα Για τον υπολογισµό της υπόρριζης ποσότητας γράφουµε sqrt(την ποσότητα που βρίσκεται στο ριζικό ) και πιέζουµε ENTER όπως φαίνεται παρακάτω : Θα παρατηρήσατε τα πράσινα γράµµατα µετά το σύµβολο %. Εισάγοντας το σύµβολο % µετά την αριθµητική πράξη, µπορούµε να γράψουµε ότι σχόλιο θέλουµε χωρίς αυτό να επηρεάζει τους υπολογισµούς. 7

8 Κεφάλαιο ο :Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις, όπως ορίστηκαν παραπάνω, υπολογίζονται εισάγοντας πρώτα την συνάρτηση και εντός παρενθέσεως την γωνία που θέλουµε. Θα υπολογίσουµε παρακάτω το ηµίτονο, το συνηµίτονο την εφαπτοµένη και την συνεφαπτοµένη των γωνιών 30 ο,60 ο και 10 ο.για την ευκολία µας στους υπολογισµούς θέτουµε w=30 ο, π π π f=60 ο, k=10 ο,, : όµοια και για τις υπόλοιπες τριγωνοµετρικές συναρτήσεις. Αν αντί να χρησιµοποιούµε τα ακτίνια για την εισαγωγή των γωνιών θέλουµε να χρησιµοποιήσουµε τις γωνίες σε µοίρες, τότε εισάγουµε τον µετατροπέα R των γωνιών σε ακτίνια και δουλεύουµε όπως παρακάτω : 8

9 Παρατηρούµε ότι το MATLAB βλέπει διαφορετική µεταβλητή ακόµη και ανάλογα µε το αν κάποιο σύµβολο γράφεται µε µικρά ή κεφαλαία. Για να καθαρίσουµε την οθόνη του MATLAB χρησιµοποιούµε την εντολή clc. Μερικά παραδείγµατα αντίστροφων τριγωνοµετρικών συναρτήσεων φαίνονται παρακάτω : 9

10 Το αποτέλεσµα που παίρνουµε είναι ποσοστό του π.για να λάβουµε το αποτέλεσµα σε µοίρες είτε πολλαπλασιάζουµε µε 180/π είτε εισάγουµε την σταθερά Q=180/pi και γράφουµε : 10

11 Κεφάλαιο 3 ο :Πίνακες Ορισµός Πινάκων A = Ο ορισµός του πίνακα Α στο MATLAB γίνεται: Α=[0 1 1 ; ; ; ]; Η ίδια διαδικασία µπορεί να γίνει και χωρίς να αφήσουµε κενά, αλλά να βάλουµε κόµµατα ανάµεσα στους αριθµούς, όπως φαίνεται παρακάτω : 11

12 Όπως γίνεται αντιληπτό, ο τελεστής ; χρησιµοποιείται εδώ για να δηλώσει αλλαγή γραµµής του πίνακα. Παρακάτω δείχνονται οι διαδικασίες για την προβολή ορισµένων στοιχείων από τον πίνακα που έχουµε εισάγει. Το σύµβολο : σηµαίνει στο MATLAB «όλα τα». Στη 1 η περίπτωση σηµαίνει όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα Α, ενώ στη η όλα τα στοιχεία της πρώτης γραµµής. Προσοχή!!! : Αν κατά την πληκτρολόγηση οποιασδήποτε εντολής, οι χαρακτήρες της παρουσιάζονται µε κόκκινα γράµµατα, τότε έχετε επιλεγµένη την ελληνική γλώσσα. Στην περίπτωση αυτή το MATLAB δεν αναγνωρίζει τίποτα. 1

13 Βασικές συναρτησιακές σχέσεις πινάκων στο MATLAB Παρακάτω φαίνονται ορισµένες λειτουργίες του MATLAB για τους πίνακες καθώς και η εύρεση του ανάστροφου πίνακα Α, δηλαδή του πίνακα που προκύπτει αν µεταθέσουµε τις γραµµές µε τις στήλες. 13

14 Πράξεις µεταξύ πινάκων Παρακάτω φαίνονται οι πράξεις µεταξύ πινάκων στο MATLAB, όπως η δεύτερη δύναµη του πίνακα Α, τα τετράγωνα των στοιχείων του Α,η εισαγωγή νέου πίνακα. Ας υπολογίσουµε τώρα το γινόµενο του πίνακα Β µε τον Α, καθώς και το γινόµενο του Α µε τον Β 14

15 όπως παρατηρούµε το γινόµενο Β*Α είναι διάφορο του Α*Β. 15

16 Κεφάλαιο 4 ο : ιαφορικές εξισώσεις Έστω ότι θέλουµε να βρούµε την παράγωγο της συνάρτησης 3 ( ) 1 4 f x = x + x +.Αρχικά ορίζουµε µε την εντολή syms τις µεταβλητές που έχουµε, x εδώ µόνο την χ, και στη συνέχεια εισάγουµε την συνάρτηση κατά τα γνωστά. Με την εντολή diff(f) παίρνουµε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης ως προς χ Έστω τώρα η συνάρτηση δυό µεταβλητών f x y x x y y y x Ορίζουµε πρώτα τις µεταβλητές x,y µε την εντολή syms x y και µετά παραγωγίζουµε πρώτα ως προς y και έπειτα ως προς χ : (, ) = Όµοια και για τις συναρτήσεις 3 µεταβλητών. 16

17 Ας δούµε µερικά παραδείγµατα υπολογισµού παραγώγων. Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος των συναρτήσεων :βιβλίο Ι 4 f( x) = ηµ ( 5χ + 4χ + 1) f x = x ( ) x x 17

18 x f ( x) = x Παράγωγοι ανωτέρας τάξης Για να βρούµε την n-οστή παράγωγο µιας συνάρτησης f εργαζόµαστε όπως προηγουµένως, αλλά όταν ζητάµε την παράγωγο της f γράφουµε diff(f,n).παρακάτω δίνονται παραδείγµατα υπολογισµού παραγώγων ανωτέρας τάξης. x f ( x) = x 18

19 f( x) = τοξεφχ * ηµχ f( x) = ηµχ * συνχ * εφχ f( x) χ = α 19

20 f( x) = ( χ + χ + 1) εφχ f( x) = (ln x) x τοξηµ f ( x) = x e αχ 0

21 Ιακωβιανή Ορίζουσα Θεώρηµα (ΙΙ) : Ας θεωρήσουµε n παραγωγίσιµες συναρτήσεις n µεταβλητών f 1 : D R, f : D R,... fn : D R, όπου f P = f ( x, x,..., x ), i 1,,..., n ( ) { } i i 1 n f x i Αν οι µερικές παράγωγοι i { n} j { Po D,τότε η ορίζουσα j, 1,,...,, 1,,..., n υπάρχουν στο σηµείο f1( Po) f1( Po) K x1 x n D = M O M fn( Po) fn( Po) L x1 x n } Λέγεται Ιακωβιανή ορίζουσα (Jacobian) των f1, f,..., f n, ως προς τις µεταβλητές x1, x,..., x n στο σηµείο Po και συµβολίζεται µε : D( f1, f,..., f ) n Dx ( 1, x,..., xn ) Po 1 Παράδειγµα(ΙΙ):Να βρεθεί η Ιακωβιανή ορίζουσα f ( xy, ) = x+ συν y f ( x, y) = y+ συνχ D( f1, f) Dxy (, ) για τις συναρτήσεις : Η εντολή det δίνει την ορίζουσα του πίνακα της Ιακωβιανής 1

22 3 Παράδειγµα(ΙΙ):Αν u,y,w είναι οι ρίζες της εξίσωσης x + ax + bx+ c= 0 να βρεθεί η Dabc (,, ) Ιακωβιανή ορίζουσα Du (, yw, ) Λύση: a = ( u + y + w) Από την Άλγεβρα είναι γνωστό ότι : b = u y + yw + wu c = uyw Άρα Dabc (,, ) Du (, yw, ) = ύο χρήσιµες Ιακωβιανές

23 Η χρήση αυτών των Ιακωβιανών θα εξηγηθεί στο κεφάλαιο των ολοκληρωµάτων. Προσέξτε την εντολή simple.η εντολή αυτή απλοποιεί την παράσταση k.εφαρµόστε την και σε προηγούµενα παραδείγµατα. 3

24 Κεφάλαιο 5 ο :Ολοκληρώµατα Το απλό αόριστο ολοκλήρωµα Το απλό ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης µιας µεταβλητής δίνεται µε την εντολή int.γράφουµε στο MATLAB int( η συνάρτησή µας ) και πιέζουµε Enter, όπως φαίνεται παρακάτω,αφού πρώτα ορίσουµε την µεταβλητή µας µε την εντολή syms: Μερικά παραδείγµατα υπολογισµού απλών αόριστων ολοκληρωµάτων φαίνονται παρακάτω : cos ( x) dx sin ( x) dx tan ( x) dx 4

25 ln( x) dx Στον υπολογισµό του ολοκληρώµατος του cos ( ) x dx γράψαµε για το ολοκλήρωµα int(f^,x). To,x χρησιµοποιείτε όταν έχουµε συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών για να δηλώσουµε ως προς ποια µεταβλητή θα γίνει η ολοκλήρωση. Στην προκειµένη περίπτωση είναι πλεονασµός. Ακόµη, όπως φαίνεται και από τα σχήµατα, ο καθορισµός της µεταβλητής χ έγινε στην αρχή και το MATLAB την κρατά στη µνήµη του. Στο αριστερό παράθυρο της επιφάνειας εργασίας του MATLAB φαίνονται οι σταθερές και οι συναρτήσεις που έχει αποθηκευµένες. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα : 1. x xe dx ax. e cos( bx) dx x ln xdx x 1+ cos x cos x cos dx x xdx dx x Λύση: Επειδή η συνάρτηση cos υπάρχει σε πολλές ασκήσεις την ορίζουµε ως g(x)=cos(x) 5

26 6

27 Το ορισµένο ολοκλήρωµα Η διαδικασία για τον υπολογισµό του ορισµένου απλού ολοκληρώµατος είναι ίδια µε αυτή του αόριστου µε τη διαφορά ότι στην εντολή int µετά την συνάρτηση ορίζουµε τα όρια ολοκλήρωσης µε το, ανάµεσά τους. Παραδείγµατα : π cos ( x) dx 0 π sin ( x) dx 0 7

28 π 6 tan ( x) dx 0 e ln( x) dx 0 π 3 x cos 0 dx x Έστω, έχουµε να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα f ( xyzdxdydz,, ) όπου R x + y + z : 1 xyz,, 0.Ο τόπος R είναι σφαίρα στο 1 ο ογδοηµόριο.κάνουµε αλλαγή µεταβλητών R 8

29 x = ρσυνθηµφ y = ρηµθηµφ z = ρσυνφ D f ( x, y) dxdy π θ 0, π φ 0, Dxyz (,, ) Αν f ( xyz,, ) = x + y + z τότε έχουµε : ρ ηµφ D( ρθφ,, ) = και π π ρ [ 0,1 ], θ 0,, φ 0,.Η Ιακωβιανή Dxyz (,, ) = ρ ηµφ υπολογίστηκε στο D( ρθφ,, ) κεφάλαιο των παραγώγων. Όµοια για το ολοκλήρωµα σε τόπο ο οποίος είναι κύκλος f ( x, y) dxdy καθώς επίσης και για κάθε αλλαγή µεταβλητής D Ένας άλλος τρόπος για τον υπολογισµό ολοκληρωµάτων δίνεται παρακάτω : Το απλό ολοκλήρωµα της συνάρτησης f = x 3 1 x 5 από 0 έως 1 1 Το απλό ολοκλήρωµα της συνάρτησης f = cos * tan * x x x π π, χ 5 4 9

30 To απλό ολοκλήρωµα της συνάρτησης f 1 sin( ) x π π =, χ x 5 4 = + y, µε 0 χ π και Το διπλό ολοκλήρωµα της συνάρτησης f y*sin ( x) x*cos( ) 0 y π. 30

31 Κεφάλαιο 6 ο :Σειρές Η σειρά της συνάρτησης δηλαδή x= 1 y= 1 1 σηµαίνει 10. x + 3xy + y 3 x + 3xy + y 3 από 1εως 350 για το x και από 1:450 για το y.παρατηρήστε το αποτέλεσµα f = 3,69e+01. To e+01 H σειρά της συνάρτησης f x = 3x 1 x 1 από 1 έως 1500 δηλαδή 1500 x= x 1 3x 1 x 1 Γράφουµε στο MATLAB : 31

32 Κεφάλαιο 7 ο :Μιγαδικοί αριθµοί Η µιγαδική µονάδα, 1, αποθηκεύεται στο MATLAB στις σταθερά i. Ορίζουµε τον µιγαδικό αριθµό z1=3+4i µε τον ίδιο τρόπο, δηλαδή : Παρακάτω φαίνονται οι πράξεις της εύρεσης του πραγµατικού και του φανταστικού µέρους ενός µιγαδικού, το µέτρο του, ο συζυγής του καθώς και ο πολλαπλασιασµός, η διαίρεση και η γωνία του. 3

33 33

34 Με την εντολή plot, απεικονίζεται ο µιγαδικός στο επίπεδο : το ο στην εντολή plot µπαίνει για να φανεί το σηµείο κατά αυτόν τον τρόπο 34

35 Κεφάλαιο 8 ο :Πολυώνυµα Τα πολυώνυµα παριστάνονται στο MATLAB µε την εντολή coeff και εισαγωγή τους εντός [ ] όπου το τελευταίο νούµερο είναι ο συντελεστής του χ 0, ο επόµενος ο χ 1 κ.ο.κ.έστω για παράδειγµα το πολυώνυµο x + x γράφεται στο MATLAB ως : Οι ρίζες του παραπάνω πολυωνύµου δηλαδή της εξίσωσης : λαµβάνονται ως εξής : x + x

36 που σηµαίνει ότι το παραπάνω πολυώνυµο δεν έχει πραγµατικές ρίζες.ας δούµε ένα άλλο παράδειγµα, έστω η εξίσωση x + x 1= 0 Εισάγουµε το πολυώνυµο στο MATLAB και βρίσκουµε τις ρίζες του Ανάκτηση των συντελεστών ενός πολυωνύµου από τις ρίζες του Οι συντελεστές ενός πολυωνύµου µπορούν να ανακτηθούν από τις ρίζες του : Έστω θέλουµε να βρούµε το πολυώνυµο που έχει για ρίζες τα 1,,-1.Γράφουµε : 36

37 3 που είναι και σωστό x x x+ =0 στον προγραµµατισµό..προσοχή στο τελεστή ; διότι σηµαίνει συνέχεια Προσδιορισµός των τιµών πολυωνύµων Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να σχεδιάσουµε τη συνάρτηση : 3 y = x 3x 6x+ 8 στο εύρος που περιλαµβάνει τις µηδενικές τιµές του y.ξεκινούµε εισάγοντας τη σειρά των συντελεστών του πολυωνύµου : Οι ρίζες βρίσκονται ως εξής : >>p=[ ] ; τώρα µπορούµε να ορίσουµε ένα εύρος τιµών χ που να περιλαµβάνει τις µηδενικές τιµές του y : 37

38 Οι τιµές του y σε κάθε σηµείο που περιέχεται στη σειρά χ υπολογίζονται µε την εντολή polyval του MATLAB.Αυτή η εντολή καλείται µε δύο ορίσµατα : τη σειρά των συντελεστών και τη σειρά των σηµείων όπου το πολυώνυµο θα υπολογιστεί. Στο παράδειγµα αυτό θα γράψουµε : και θα πάρουµε ως αποτέλεσµα το παρακάτω γράφηµα : 38

39 Προσοχή στους τελεστές ; (ελληνικό ερωτηµατικό) και στους ( οξεία ) Πολλαπλασιασµός και διαίρεση πολυωνύµων Ο πολλαπλασιασµός δύο πολυωνύµων µπορεί να γίνει εύκολα στο MATLAB ενεργώντας στις σειρές των συντελεστών τους. Ας θεωρήσουµε, για παράδειγµα, τον πολλαπλασιασµό : ( )( ) x + x+ x = x + x x Στο MATLAB λαµβάνουµε το ίδιο αποτέλεσµα µε την πράξη της δίπλωσης ή συνέλιξης (convolution): Η αντίστροφη διαδικασία, δηλαδή η διαίρεση πολυωνύµων, πραγµατοποιείται στο MATLAB µε αποδίπλωση (deconvolution): Η σειρά Q περιέχει τους συντελεστές του πολυωνύµου που είναι πηλίκο της διαίρεσης και η σειρά R περιέχει τους συντελεστές του πολυωνύµου που είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης. Στο παραπάνω παράδειγµα το p1 διαιρεί ακριβώς το p3, το Q περιέχει τους συντελεστές του p και τα στοιχεία του R είναι όλα µηδέν. Ας αντικαταστήσουµε το p3 µε το p4, το οποίο ορίζεται ως : 39

40 x + x + x ιαιρώντας µε το p1 εξάγεται ότι : Το υπόλοιπο της διαίρεσης του p4 µε το p1 είναι πράγµατι 3x + 40

41 Κεφάλαιο 9 ο : ιανύσµατα Γνωρίζουµε ότι τα διανύσµατα ορίζονται ως προσανατολισµένα ευθύγραµµα τµήµατα. Εδώ θα αναφερθούµε στα διανύσµατα στο επίπεδο. Για να εισάγουµε ένα διάνυσµα στο MATLAB,έστω το διάνυσµα F = 3 r î+ 4j r το γράφουµε όπως φαίνεται στο σχήµα : θεωρήστε τώρα και το διάνυσµα Q= 5 r î+ 8j r Το µέτρο του διανύσµατος R δίνεται από το Πυθαγόρειο θεώρηµα : Η γωνία ανάµεσα στην οριζόντια διεύθυνση και το διάνυσµα R λαµβάνεται ως: 41

42 H οριζόντια συνιστώσα R1=8 και η κατακόρυφη R=1 λαµβάνονται πληκτρολογώντας R(1) και R() αντίστοιχα. Ο πολλαπλασιασµός διανύσµατος µε αριθµό λ θα δώσει ένα διάνυσµα W, οι συνιστώσες του οποίου θα είναι οι R1, R πολλαπλασιασµένες επί λ. Εσωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων F,Q είναι ίσο µε F* Q= F * Q *cosθ, όπου F, Q τα µέτρα των διανυσµάτων και cosθ η γωνία ανάµεσα στα δύο διανύσµατα.στο MATLAB γράφουµε : Προσοχή!!!! : Πολλαπλασιάζονται το διάνυσµα F µε τον αντίστροφο του Q, αφού το MATLAB τα βλέπει ως πίνακες. Το ίδιο αποτέλεσµα θα βρούµε αν πολλαπλασιάσουµε το Q µε τον αντίστροφο του F 4

43 Κεφάλαιο 10 ο :Μέθοδοι Αριθµητικής Ολοκλήρωσης x n Ο κανόνας του τραπεζίου f ( x) dx= ( f0 + f1+ f f... + fn 1+ f n ) όπου x = x0 + ih i = 0(1) n Έστω ότι έχουµε να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα x0 µε τη µορφή του παρακάτω πίνακα : h Γωνία tanx Παράγοντας Γινόµενο (µοίρες) πολ/σµου 0 0 1/ , , , , , , , , , , ,731 1/ 0,86605 Άθροισµα 4,0145 π 3 0 tan x* dx. Ο υπολογισµός παρουσιάζεται Για να βρούµε προσεγγιστικά το ολοκλήρωµα, πολλαπλασιάζουµε το άθροισµα µε το σταθερό βήµα h : 43

44 10 ( π * )*4,0145 = 0, H διαδικασία αυτή στο MATLAB γίνεται όπως φαίνεται παρακάτω : ενώ η πραγµατική τιµή του ολοκληρώµατος π 3 tan x * dx είναι 0, Το σφάλµα ισούται µε 1,1% της πραγµατικής τιµής. Τούτο οφείλεται στο µεγάλο βήµα h που χρησιµοποιήσαµε. Θέτοντας h=1 τότε : 44

45 που είναι πάρα πολύ κοντά στην πραγµατική τιµή.γενικά το σφάλµα ολοκλήρωσης µε τον κανόνα του τραπεζίου αντιµετωπίζεται θεωρώντας το h όσο το δυνατό µικρότερο. 45

46 Κεφάλαιο 11 ο :Όρια Για τον υπολογισµό των ορίων µιας συνάρτησης θα πρέπει καταρχήν να δηλώσουµε τις χρησιµοποιούµενες µεταβλητές, εισάγοντας τες µε την γνωστή εντολή syms. Έπειτα είτε µπορούµε να δώσουµε απευθείας την συνάρτηση εντός παρενθέσεως µετά την εντολή limit γράφοντας µετά από κόµµα, την µεταβλητή η οποία τείνει σε κάποιο αριθµό και µετά τον αριθµό αυτόν ή να δηλώσουµε την συνάρτηση µε κάποιο γράµµα. Παρακάτω φαίνονται οι υπολογισµοί κάποιων ορίων : lim sin ( x) x 0 x lim x 1 + x + 1 x + 1 (κανόνας του L Hospital, περίπτωση 0 0 ) 46

47 x + 1 lim x x + 1 (κανόνας του L Hospital, περίπτωση ) 1 lim x 0 x 1 Άρα υπάρχει το όριο της f( x) = όταν το χ τείνει στο µηδέν και είναι 0 x 47

48 1 lim x 0 3 x 1 Άρα δεν υπάρχει το όριο της f( x) = όταν το χ τείνει στο µηδέν. 3 x ίνεται η συνάρτηση f : R R,όπου x R 1 x e 1 * x 1, οταν χ R f( x) = x e + 1 0, οταν χ = 0 Να εξεταστεί αν υπάρχουν οι παράγωγοι της f ( x ),από δεξιά και από αριστερά στο σηµείο ξ=0 και αν η f ( x ) είναι παραγωγίσιµη στο ξ=0 Λύση: 48

49 Άρα η f ( x) δεν είναι παραγωγίσιµη στο ξ=0 ίνεται η συνάρτηση f : R R,όπου x R 3 1 * χ ηµ ( ), οταν χ R f( x) = χ 0, οταν χ = 0 Να εξεταστεί αν η f ( x ) είναι παραγωγίσιµη στο ξ=0 Λύση : Άρα η f ( x ) είναι παραγωγίσιµη στο ξ=0 49

50 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΙΑΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΒΑΣΙΛΙΚΗΣ ΦΡΑΓΚΟΥ ρα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ, ΒΑΣΙΛΙΚΗΣ ΦΡΑΓΚΟΥ- ΑΝ ΡΕΑ ΑΘΑΝΑΣΙΑ Η ρα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΜΟΣ Ι,Γ.ΑΒ ΕΛΑ & Θ.ΣΙΜΟΥ,καθ.Π.Θ. 4. MATLAB 6 ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ ΠΑΠΑΡΡΙΖΟΥ, καθ. Τµ. Εφαρµοσµένης Πληροφορικής Πανεπιστηµίου Μακεδονίας 5. MATLAB για Μηχανικούς Adrian Biran & Moshe Breiner 6. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΜΕ ΤΟ MATLAB,Γ.Στεφανίδης & Ν.Σαµαράς Τµ. Εφαρµοσµένης Πληροφορικής Πανεπιστηµίου Μακεδονίας 50

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση είναι ένας έτοιμος τύπος ο οποίος δέχεται σαν είσοδο τιμές ή συνθήκες και επιστρέφει ένα αποτέλεσμα, το οποίο μπορεί να είναι μια τιμή αριθμητική, αλφαριθμητική, λογική, ημερομηνίας

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

SMART Notebook 11.1 Math Tools

SMART Notebook 11.1 Math Tools SMART Ntebk 11.1 Math Tls Λειτουργικά συστήματα Windws Οδηγός χρήστη Δήλωση προϊόντος Αν δηλώσετε το προϊόν SMART, θα σας ειδοποιήσουμε για νέα χαρακτηριστικά και αναβαθμίσεις λογισμικού. Κάντε τη δήλωση

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

EΞΩΤΕΡΙΚΑ ΑΡΧΕΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ

EΞΩΤΕΡΙΚΑ ΑΡΧΕΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ EΞΩΤΕΡΙΚΑ ΑΡΧΕΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ηµιουργία ενός m-αρχείου Εισαγωγή των δεδοµένων στο αρχείο Αποθήκευση του αρχείου Καταχώρηση των δεδοµένων του αρχείου από το λογισµικό Matlab, γράφοντας απλά το όνοµα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

TI - 40 Collège II. Επιστημονική αριθμομηχανή. Γενικές πληροφορίες 40CII/OM/1L2/A. 1999-2002 Texas Instruments Incorporated

TI - 40 Collège II. Επιστημονική αριθμομηχανή. Γενικές πληροφορίες 40CII/OM/1L2/A. 1999-2002 Texas Instruments Incorporated 40CII/OM/1L2/A TI - 40 Collège II Επιστημονική αριθμομηχανή 1999-2002 Texas Instruments Incorporated Γενικές πληροφορίες Παραδείγματα: Τα παραδείγματα πληκτρολόγησης τα οποία αφορούν τις πολλαπλές λειτουργίες

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Ιωάννης Λιακόπουλος 1, Χαράλαμπος Λυπηρίδης 2 1 Μαθητής B Λυκείου, Εκπαιδευτήρια «Ο Απόστολος Παύλος» liakopoulosjohn0@gmail.com, 2 Μαθητής

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Βασικά στοιχεία ενός προγράµµατος της γλώσσας Fortran

Κεφάλαιο 3ο: Βασικά στοιχεία ενός προγράµµατος της γλώσσας Fortran Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 3ο: Βασικά στοιχεία ενός προγράµµατος της γλώσσας Fortran 3.1 Μορφή Προγράµµατος Τα προγράµµατα Fortran γράφονται σε αρχείο

Διαβάστε περισσότερα

Ατταλείας 9 Ν. μύρνη 17123 Τηλ. (210) 93 70 032 Fax 93 47 234 697.2014 286 ΙΝΤΕRΝΕΤ web site: http://www.ergotech.gr e-mail: nkyra@tee.

Ατταλείας 9 Ν. μύρνη 17123 Τηλ. (210) 93 70 032 Fax 93 47 234 697.2014 286 ΙΝΤΕRΝΕΤ web site: http://www.ergotech.gr e-mail: nkyra@tee. ÍÉÊÏËÁÏÓ Ð. ÊÕÑÁÍÁÊÏÓ ÔïðïãñÜöïò Ìç áíéêüò Å.Ì.Ð. Åñãïë. Äçìïóßùí ñãùí Ìç.Ëïãéóìéêïý ÅËÊÅÐÁ Ατταλείας 9 Ν. μύρνη 17123 Τηλ. (210) 93 70 032 Fax 93 47 234 697.2014 286 ΙΝΤΕRΝΕΤ web site: http://www.ergotech.gr

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Αν χ και y μεταβλητές με τιμές 5 και 10 αντίστοιχα να εξηγηθούν οι ακόλουθες εντολές εξόδου.

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Αν χ και y μεταβλητές με τιμές 5 και 10 αντίστοιχα να εξηγηθούν οι ακόλουθες εντολές εξόδου. 2.1 Αν χ και y μεταβλητές με τιμές 5 και 10 αντίστοιχα να εξηγηθούν οι ακόλουθες εντολές εξόδου. 1) Η τιμή του χ είναι,χ Ητιμή του χ είναι 5 Ηεντολή εμφανίζει ότι υπάρχει στα διπλά εισαγωγικά ως έχει.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

Pascal Βασικοί τύποι δεδοµένων

Pascal Βασικοί τύποι δεδοµένων Pasal Βασικοί τύποι δεδοµένων «ΜΗ ΕΝ ΠΟΛΛΟΙΣ ΟΛΙΓΑ ΛΕΓΕ, ΑΛΛ ΕΝ ΟΛΙΓΟΙΣ ΠΟΛΛΑ» Σηµαίνει: "Μη λες πολλά χωρίς ουσία, αλλά λίγα που να αξίζουν πολλά" (Πυθαγόρας) Κουλλάς Χρίστος www.oullas.om oullas 2 Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή Προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων

Κατασκευή Προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Κατασκευή Προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Λιακόπουλος Ιωάννης1 και Λυπηρίδης Χαράλαμπος2 1liakopoulosjohn@gmail.com, 2xarislip@hotmail.com Επιβλέπων Καθηγητής: Λάζαρος Τζήμκας tzimkaslazaros@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ Όταν στα µαθηµατικά λέµε ότι το τείνει στο και συµβολίζεται, εννοούµε ότι οι τιµές προσεγγίζουν την τιµή, είτε µε από τιµές µικρότερες του δηλ από αριστερά του, είτε από τιµές µεγαλύτερες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ηµιουργία αρχείου στον matlab editor Πληκτρολόγηση ακολουθίας εντολών

ηµιουργία αρχείου στον matlab editor Πληκτρολόγηση ακολουθίας εντολών Προγραµµατισµός Αρχεία εντολών (script files) Τυπικό hello world πρόγραµµα σε script ηµιουργία αρχείου στον matlab editor Πληκτρολόγηση ακολουθίας εντολών disp( ( 'HELLO WORLD!'); % τυπική εντολή εξόδου

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Μετασχηµατισµός Laplace ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 4 Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας του µετασχηµατισµού Laplace

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Άλγερα και πράξεις: (ή το µυστικό της επιτυχίας) - Όταν ένα γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ (20/2/2012)

ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ (20/2/2012) 1. Να γραφεί πρόγραµµα FORTRAN το οποίο θα ορίζει έναν µονοδιάστατο ακέραιο πίνακα και έναν δυδιάστατο πραγµατικό πίνακα ίδιου µεγέθους και θα υπολογίζει τον µέσο όρο των τιµών του µονοδιάστατου πίνακα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011.

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ /ΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Να διατηρηθεί µέχρι... Βαθµός Ασφαλείας...

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Το πακέτο ΕXCEL: Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Eπιμέλεια των σημειώσεων και διδασκαλία: Ευαγγελία Χαλιώτη* Θέματα ανάλυσης: - Συναρτήσεις / Γραφικές απεικονίσεις - Πράξεις πινάκων - Συστήματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD Σε ορισµένες περιπτώσεις είναι ιδιαίτερα χρήσιµη η δηµιουργία ιστοσελίδων ενηµερωτικού περιεχοµένου οι οποίες στη συνέχεια µπορούν να δηµοσιευθούν σε κάποιο τόπο

Διαβάστε περισσότερα

3. Η µερική παράγωγος

3. Η µερική παράγωγος 1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 1 Μερική παραγώγιση παράγωγος µιας συνάρτησης µερική παράγωγος ( ( µιας µεταβλητής ορίζεται ως d d ( ( (1 Για συναρτήσεις δύο

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα