Κεφάλαιο 1 ο : Τυποποιηµένες συναρτήσεις στο MATLAB. Κεφάλαιο 2 ο :Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις. Κεφάλαιο 4 ο : ιαφορικές εξισώσεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 1 ο : Τυποποιηµένες συναρτήσεις στο MATLAB. Κεφάλαιο 2 ο :Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις. Κεφάλαιο 4 ο : ιαφορικές εξισώσεις"

Transcript

1 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Κεφάλαιο 1 ο : Τυποποιηµένες συναρτήσεις στο MATLAB Κεφάλαιο ο :Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις Κεφάλαιο 3 ο :Πίνακες Κεφάλαιο 4 ο : ιαφορικές εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ο :Ολοκληρώµατα Κεφάλαιο 6 ο :Σειρές Κεφάλαιο 7 ο :Μιγαδικοί αριθµοί Κεφάλαιο 8 ο :Πολυώνυµα Κεφάλαιο 9 ο : ιανύσµατα Κεφάλαιο 10 ο :Μέθοδοι Αριθµητικής Ολοκλήρωσης Κεφάλαιο 11 ο :Όρια 1

2 Εισαγωγή Το MATLAB (Math Works.) παρέχει ένα δυναµικό, εύχρηστο και ανοικτό υπολογιστικό περιβάλλον για υλοποίηση επιστηµονικών εφαρµογών σε ένα µεγάλο φάσµα πεδίων, όπως στη Γραµµική Άλγεβρα, Στατιστική, Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά, Αριθµητική Ανάλυση και Επιστηµονικό Υπολογισµό, Επεξεργασία Σηµάτων και Εικόνας, Θεωρία Ελέγχου, Θεωρία Βελτιστοποίησης και Γραφικά. Έχει υλοποιηθεί σε πολλές λειτουργικές πλατφόρµες (όπως Windows Macinntosh OS και Unix) και δύο βασικές εκδόσεις, την επαγγελµατική και την εκπαιδευτική (student edition). Το περιβάλλον του Matlab υποστηρίζει ένα µεγάλο αριθµό ενδογενών λειτουργών και συναρτήσεων καθώς και εξωτερικές βιβλιοθήκες (Toolbox) για εξειδικευµένες περιοχές εφαρµογών. Υποστηρίζει επίσης µια ευέλικτη, απλή και δοµηµένη γλώσσα προγραµµατισµού (script language) µε πολλές οµοιότητες µε την Pascalκαι παρέχει δυνατότητες εύκολης δηµιουργίας, διασύνδεσης και χρήσης βιβλιοθηκών σε κώδικα γραµµένο στη γλώσσα αυτή (Μ files), Το Matlab εκτελεί από απλούς µαθηµατικούς υπολογισµούς µέχρι και προγράµµατα µε εντολές παρόµοιες µε αυτές που υποστηρίζει µια γλώσσα υψηλού επιπέδου. Συγκεκριµένα εκτελεί απλές µαθηµατικές πράξεις, αλλά εξίσου εύκολα χειρίζεται µιγαδικούς αριθµούς, δυνάµεις, ειδικές µαθηµατικές συναρτήσεις, πίνακες, διανύσµατα και πολυώνυµα. Μπορεί επίσης να αποθηκεύει και να ανακαλεί δεδοµένα, να δηµιουργεί και να εκτελεί ακολουθίες εντολών που αυτοµατοποιούν διάφορους υπολογισµούς και να σχεδιάζει γραφικά. Οι λειτουργίες του Matlab διακρίνονται στις τυποποιηµένες, δηλαδή σε αυτές που χειρίζονται αριθµητικά δεδοµένα και εξάγουν αριθµητικά αποτελέσµατα, και στις συναρτήσεις του Symbolic Toolbox, οι οποίες χειρίζονται και υπολογίζουν συµβολικές εκφράσεις, δηλαδή επεξεργάζονται µαθηµατικά σύµβολα. Η ενότητα αυτή είναι µια σύνοψη των βασικότερων χαρακτηριστικών του Matlab και αποτελείται από δύο µέρη. Στο πρώτο µέρος παρουσιάζονται οι βασικές εντολές, λειτουργίες και χαρακτηριστικά του Matlab, Συγκεκριµένα περιγράφονται οι υποστηριζόµενοι τελεστές και πράξεις, οι στοιχειώδεις µαθηµατικές συναρτήσεις και οι εντολές που περιλαµβάνει η ενσωµατωµένη γλώσσα προγραµµατισµού. Ιδιαίτερη έµφαση δίνεται στο λογισµό και στις πράξεις πινάκων. Τέλος δίνονται οι τρόποι σχεδίασης γραφικών παραστάσεων και κατασκευής συναρτήσεων.στο δεύτερο µέρος παρουσιάζονται ενδεικτικά µερικές αντιπροσωπευτικές και απλές εφαρµογές του Matlab στη Γραµµική Άλγεβρα και στις Αριθµητικές Μεθόδους. Επίσης δίνονται µερικές αριθµητικές µέθοδοι, υλοποιηµένες στη γλώσσα script. Τα προγράµµατα αυτά έχουν ληφθεί κατά ένα µέρος από τη βασική βιβλιοθήκη του Matlab ή από το διεθνές δίκτυο και έχουν υποστεί µερικές προσθήκες και βελτιώσεις.

3 Κεφάλαιο 1 ο : Τυποποιηµένες συναρτήσεις στο MATLAB Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι ονοµασίες βασικών συναρτήσεων, όπως εισάγονται στο MATLAB, καθώς και ο τρόπος εισαγωγής µαθηµατικών σταθερών στο ίδιο πρόγραµµα. Στοιχειώδης µαθηµατικές συναρτήσεις Συνάρτηση Λειτουργία sin Ηµίτονο sinh Υπερβολικό ηµίτονο asin Αντίστροφο ηµίτονο asinh Αντίστροφο υπερβολικό ηµίτονο cos Συνηµίτονο cosh Υπερβολικό συνηµίτονο acos Αντίστροφο συνηµίτονο acosh Αντίστροφο υπερβολικό συνηµίτονο tan Εφαπτοµένη tanh Υπερβολική εφαπτοµένη atan Αντίστροφη εφαπτοµένη atanh Αντίστροφη Υπερβολική εφαπτοµένη sec Τέµνουσα sech Υπερβολική τέµνουσα asec Αντίστροφη τέµνουσα asech Αντίστροφη υπερβολική τέµνουσα csc Συντέµνουσα csch Υπερβολική συντέµνουσα acsc Αντίστροφη συντέµνουσα acsch Αντίστροφη υπερβολική συντέµνουσα cot Συνεφαπτοµένη coth Υπερβολική συνεφαπτοµένη acot Αντίστροφη συνεφαπτοµένη acoth Αντίστροφη υπερβολική συνεφαπτοµένη exp Εκθετική συνάρτηση e -x logm Νεπέριος (φυσικός) λογάριθµος log10 εκαδικός λογάριθµος sqrt Τετραγωνική ρίζα abs Απόλυτη τιµή angle Γωνίες φάσης στοιχείων µιγαδικού πίνακα conj Συζυγής µιγαδικού image Φανταστικό µέρος µιγαδικού real Πραγµατικό µέρος µιγαδικού fix Ακέραιο µέρος floor Κάτω ακέραιο µέρος ceil Πάνω ακέραιο µέρος round Στρογγυλοποίηση rem Υπόλοιπο διαίρεσης sign Πρόσηµο Οι βασικές συναρτήσεις καλούνται µε το όνοµα τους, π.χ, η κλήση sin(pi) θα δώσει ans = , 3

4 Μαθηµατικές Σταθερές Μεταβλητή Τιµή ans Tο αποτέλεσµα κάθε αριθµητικής πράξης pi Ο αριθµός π eps Ο κοντινότερος στο µηδέν inf Άπειρο NaN Όχι αριθµός (π.χ. 0/0) i &j i=j= 1 realmean O µικρότερος θετικός πραγµατικός αριθµός realmax Ο µεγαλύτερος θετικός πραγµατικός αριθµός abs Απόλυτη τιµή Παρακάτω δείχνεται ο τρόπος µε τον οποίο µπορούµε να κάνουµε αριθµητικές πράξεις στο MATLAB. Πρόσθεση : Για την πράξη της πρόσθεσης χρησιµοποιείται το σύµβολο «+». Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να υπολογίσουµε το άθροισµα 15+1.Γράφουµε στο MATLAB απλά Αφαίρεση : όµοια γράφουµε στο MATLAB 15-1 ιαίρεση : γράφουµε 15/1 Πολλαπλασιασµός: όµοια 15*1 Στην περίπτωση που θέλουµε να υπολογίσουµε πιο πολύπλοκες µαθηµατικές πράξεις, η σειρά µε την οποία εκτελούνται έχει πρωτεύουσα σηµασία.π.χ. έχουµε να υπολογίσουµε το 4

5 3 αποτέλεσµα της *4 4*.Για να επιτύχουµε την κατάλληλη σειρά των πράξεων 1 1 χρησιµοποιούµε τις παρενθέσεις όπως φαίνεται παρακάτω : επίσης το σύµβολο της δύναµης είναι το «^» που ενεργοποιείται µε το shift+6 : 48 το e+048 σηµαίνει 10. Ακόµη το MATLAB µας επιτρέπει να εισάγουµε και σταθερές, για δικιά µας ευκολία όταν έχουµε να εισάγουµε πολλές φορές την ίδια τιµή. Έτσι, αν έχουµε ένα πρόβληµα φυσικής όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας υπεισέρχεται πολλές φορές στους υπολογισµούς µας τότε την δίνουµε µε τον ακόλουθο τρόπο, όπως φαίνεται παρακάτω : 5

6 Προσοχή!!! : η υποδιαστολή δηλώνεται ΠΑΝΤΑ µε την τελεία. Εισάγοντας το σύµβολο % πριν ή µετά από κάθε τι που γράφουµε, µπορούµε να γράψουµε ότι θέλουµε χωρίς να υπεισέρχεται στους υπολογισµούς, κάτι που είναι απαραίτητο όταν έχουµε να ορίσουµε πολλές σταθερές ή συναρτήσεις. Επίσης προσέξτε την διαφορά όταν χρησιµοποιούµε το σύµβολο ;.Χάρις σε αυτό, το πρόγραµµα δεν υπολογίζει και τυπώνει αυτό που γράψαµε και περιµένει την επόµενη εντολή χωρίς το ; για να κάνει υπολογισµούς και να µας δώσει αποτέλεσµα, κάτι που είναι πολύ σηµαντικό όταν θέλουµε να λύσουµε ποιο σύνθετα προβλήµατα. Ας βρούµε τώρα την ταχύτητα µε την οποία προσκρούει ένα σώµα στο έδαφος από ύψος h=5m.γράφουµε στο MATLAB : Ο Νεπέριος λογάριθµος Για τον υπολογισµό του νεπέριου λογάριθµου γράφουµε ως παρακάτω : 6

7 εκαδικός λογάριθµος Για τον υπολογισµό του δεκαδικού λογάριθµου γράφουµε ως παρακάτω : Η τετραγωνική ρίζα Για τον υπολογισµό της υπόρριζης ποσότητας γράφουµε sqrt(την ποσότητα που βρίσκεται στο ριζικό ) και πιέζουµε ENTER όπως φαίνεται παρακάτω : Θα παρατηρήσατε τα πράσινα γράµµατα µετά το σύµβολο %. Εισάγοντας το σύµβολο % µετά την αριθµητική πράξη, µπορούµε να γράψουµε ότι σχόλιο θέλουµε χωρίς αυτό να επηρεάζει τους υπολογισµούς. 7

8 Κεφάλαιο ο :Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις, όπως ορίστηκαν παραπάνω, υπολογίζονται εισάγοντας πρώτα την συνάρτηση και εντός παρενθέσεως την γωνία που θέλουµε. Θα υπολογίσουµε παρακάτω το ηµίτονο, το συνηµίτονο την εφαπτοµένη και την συνεφαπτοµένη των γωνιών 30 ο,60 ο και 10 ο.για την ευκολία µας στους υπολογισµούς θέτουµε w=30 ο, π π π f=60 ο, k=10 ο,, : όµοια και για τις υπόλοιπες τριγωνοµετρικές συναρτήσεις. Αν αντί να χρησιµοποιούµε τα ακτίνια για την εισαγωγή των γωνιών θέλουµε να χρησιµοποιήσουµε τις γωνίες σε µοίρες, τότε εισάγουµε τον µετατροπέα R των γωνιών σε ακτίνια και δουλεύουµε όπως παρακάτω : 8

9 Παρατηρούµε ότι το MATLAB βλέπει διαφορετική µεταβλητή ακόµη και ανάλογα µε το αν κάποιο σύµβολο γράφεται µε µικρά ή κεφαλαία. Για να καθαρίσουµε την οθόνη του MATLAB χρησιµοποιούµε την εντολή clc. Μερικά παραδείγµατα αντίστροφων τριγωνοµετρικών συναρτήσεων φαίνονται παρακάτω : 9

10 Το αποτέλεσµα που παίρνουµε είναι ποσοστό του π.για να λάβουµε το αποτέλεσµα σε µοίρες είτε πολλαπλασιάζουµε µε 180/π είτε εισάγουµε την σταθερά Q=180/pi και γράφουµε : 10

11 Κεφάλαιο 3 ο :Πίνακες Ορισµός Πινάκων A = Ο ορισµός του πίνακα Α στο MATLAB γίνεται: Α=[0 1 1 ; ; ; ]; Η ίδια διαδικασία µπορεί να γίνει και χωρίς να αφήσουµε κενά, αλλά να βάλουµε κόµµατα ανάµεσα στους αριθµούς, όπως φαίνεται παρακάτω : 11

12 Όπως γίνεται αντιληπτό, ο τελεστής ; χρησιµοποιείται εδώ για να δηλώσει αλλαγή γραµµής του πίνακα. Παρακάτω δείχνονται οι διαδικασίες για την προβολή ορισµένων στοιχείων από τον πίνακα που έχουµε εισάγει. Το σύµβολο : σηµαίνει στο MATLAB «όλα τα». Στη 1 η περίπτωση σηµαίνει όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα Α, ενώ στη η όλα τα στοιχεία της πρώτης γραµµής. Προσοχή!!! : Αν κατά την πληκτρολόγηση οποιασδήποτε εντολής, οι χαρακτήρες της παρουσιάζονται µε κόκκινα γράµµατα, τότε έχετε επιλεγµένη την ελληνική γλώσσα. Στην περίπτωση αυτή το MATLAB δεν αναγνωρίζει τίποτα. 1

13 Βασικές συναρτησιακές σχέσεις πινάκων στο MATLAB Παρακάτω φαίνονται ορισµένες λειτουργίες του MATLAB για τους πίνακες καθώς και η εύρεση του ανάστροφου πίνακα Α, δηλαδή του πίνακα που προκύπτει αν µεταθέσουµε τις γραµµές µε τις στήλες. 13

14 Πράξεις µεταξύ πινάκων Παρακάτω φαίνονται οι πράξεις µεταξύ πινάκων στο MATLAB, όπως η δεύτερη δύναµη του πίνακα Α, τα τετράγωνα των στοιχείων του Α,η εισαγωγή νέου πίνακα. Ας υπολογίσουµε τώρα το γινόµενο του πίνακα Β µε τον Α, καθώς και το γινόµενο του Α µε τον Β 14

15 όπως παρατηρούµε το γινόµενο Β*Α είναι διάφορο του Α*Β. 15

16 Κεφάλαιο 4 ο : ιαφορικές εξισώσεις Έστω ότι θέλουµε να βρούµε την παράγωγο της συνάρτησης 3 ( ) 1 4 f x = x + x +.Αρχικά ορίζουµε µε την εντολή syms τις µεταβλητές που έχουµε, x εδώ µόνο την χ, και στη συνέχεια εισάγουµε την συνάρτηση κατά τα γνωστά. Με την εντολή diff(f) παίρνουµε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης ως προς χ Έστω τώρα η συνάρτηση δυό µεταβλητών f x y x x y y y x Ορίζουµε πρώτα τις µεταβλητές x,y µε την εντολή syms x y και µετά παραγωγίζουµε πρώτα ως προς y και έπειτα ως προς χ : (, ) = Όµοια και για τις συναρτήσεις 3 µεταβλητών. 16

17 Ας δούµε µερικά παραδείγµατα υπολογισµού παραγώγων. Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος των συναρτήσεων :βιβλίο Ι 4 f( x) = ηµ ( 5χ + 4χ + 1) f x = x ( ) x x 17

18 x f ( x) = x Παράγωγοι ανωτέρας τάξης Για να βρούµε την n-οστή παράγωγο µιας συνάρτησης f εργαζόµαστε όπως προηγουµένως, αλλά όταν ζητάµε την παράγωγο της f γράφουµε diff(f,n).παρακάτω δίνονται παραδείγµατα υπολογισµού παραγώγων ανωτέρας τάξης. x f ( x) = x 18

19 f( x) = τοξεφχ * ηµχ f( x) = ηµχ * συνχ * εφχ f( x) χ = α 19

20 f( x) = ( χ + χ + 1) εφχ f( x) = (ln x) x τοξηµ f ( x) = x e αχ 0

21 Ιακωβιανή Ορίζουσα Θεώρηµα (ΙΙ) : Ας θεωρήσουµε n παραγωγίσιµες συναρτήσεις n µεταβλητών f 1 : D R, f : D R,... fn : D R, όπου f P = f ( x, x,..., x ), i 1,,..., n ( ) { } i i 1 n f x i Αν οι µερικές παράγωγοι i { n} j { Po D,τότε η ορίζουσα j, 1,,...,, 1,,..., n υπάρχουν στο σηµείο f1( Po) f1( Po) K x1 x n D = M O M fn( Po) fn( Po) L x1 x n } Λέγεται Ιακωβιανή ορίζουσα (Jacobian) των f1, f,..., f n, ως προς τις µεταβλητές x1, x,..., x n στο σηµείο Po και συµβολίζεται µε : D( f1, f,..., f ) n Dx ( 1, x,..., xn ) Po 1 Παράδειγµα(ΙΙ):Να βρεθεί η Ιακωβιανή ορίζουσα f ( xy, ) = x+ συν y f ( x, y) = y+ συνχ D( f1, f) Dxy (, ) για τις συναρτήσεις : Η εντολή det δίνει την ορίζουσα του πίνακα της Ιακωβιανής 1

22 3 Παράδειγµα(ΙΙ):Αν u,y,w είναι οι ρίζες της εξίσωσης x + ax + bx+ c= 0 να βρεθεί η Dabc (,, ) Ιακωβιανή ορίζουσα Du (, yw, ) Λύση: a = ( u + y + w) Από την Άλγεβρα είναι γνωστό ότι : b = u y + yw + wu c = uyw Άρα Dabc (,, ) Du (, yw, ) = ύο χρήσιµες Ιακωβιανές

23 Η χρήση αυτών των Ιακωβιανών θα εξηγηθεί στο κεφάλαιο των ολοκληρωµάτων. Προσέξτε την εντολή simple.η εντολή αυτή απλοποιεί την παράσταση k.εφαρµόστε την και σε προηγούµενα παραδείγµατα. 3

24 Κεφάλαιο 5 ο :Ολοκληρώµατα Το απλό αόριστο ολοκλήρωµα Το απλό ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης µιας µεταβλητής δίνεται µε την εντολή int.γράφουµε στο MATLAB int( η συνάρτησή µας ) και πιέζουµε Enter, όπως φαίνεται παρακάτω,αφού πρώτα ορίσουµε την µεταβλητή µας µε την εντολή syms: Μερικά παραδείγµατα υπολογισµού απλών αόριστων ολοκληρωµάτων φαίνονται παρακάτω : cos ( x) dx sin ( x) dx tan ( x) dx 4

25 ln( x) dx Στον υπολογισµό του ολοκληρώµατος του cos ( ) x dx γράψαµε για το ολοκλήρωµα int(f^,x). To,x χρησιµοποιείτε όταν έχουµε συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών για να δηλώσουµε ως προς ποια µεταβλητή θα γίνει η ολοκλήρωση. Στην προκειµένη περίπτωση είναι πλεονασµός. Ακόµη, όπως φαίνεται και από τα σχήµατα, ο καθορισµός της µεταβλητής χ έγινε στην αρχή και το MATLAB την κρατά στη µνήµη του. Στο αριστερό παράθυρο της επιφάνειας εργασίας του MATLAB φαίνονται οι σταθερές και οι συναρτήσεις που έχει αποθηκευµένες. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα : 1. x xe dx ax. e cos( bx) dx x ln xdx x 1+ cos x cos x cos dx x xdx dx x Λύση: Επειδή η συνάρτηση cos υπάρχει σε πολλές ασκήσεις την ορίζουµε ως g(x)=cos(x) 5

26 6

27 Το ορισµένο ολοκλήρωµα Η διαδικασία για τον υπολογισµό του ορισµένου απλού ολοκληρώµατος είναι ίδια µε αυτή του αόριστου µε τη διαφορά ότι στην εντολή int µετά την συνάρτηση ορίζουµε τα όρια ολοκλήρωσης µε το, ανάµεσά τους. Παραδείγµατα : π cos ( x) dx 0 π sin ( x) dx 0 7

28 π 6 tan ( x) dx 0 e ln( x) dx 0 π 3 x cos 0 dx x Έστω, έχουµε να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα f ( xyzdxdydz,, ) όπου R x + y + z : 1 xyz,, 0.Ο τόπος R είναι σφαίρα στο 1 ο ογδοηµόριο.κάνουµε αλλαγή µεταβλητών R 8

29 x = ρσυνθηµφ y = ρηµθηµφ z = ρσυνφ D f ( x, y) dxdy π θ 0, π φ 0, Dxyz (,, ) Αν f ( xyz,, ) = x + y + z τότε έχουµε : ρ ηµφ D( ρθφ,, ) = και π π ρ [ 0,1 ], θ 0,, φ 0,.Η Ιακωβιανή Dxyz (,, ) = ρ ηµφ υπολογίστηκε στο D( ρθφ,, ) κεφάλαιο των παραγώγων. Όµοια για το ολοκλήρωµα σε τόπο ο οποίος είναι κύκλος f ( x, y) dxdy καθώς επίσης και για κάθε αλλαγή µεταβλητής D Ένας άλλος τρόπος για τον υπολογισµό ολοκληρωµάτων δίνεται παρακάτω : Το απλό ολοκλήρωµα της συνάρτησης f = x 3 1 x 5 από 0 έως 1 1 Το απλό ολοκλήρωµα της συνάρτησης f = cos * tan * x x x π π, χ 5 4 9

30 To απλό ολοκλήρωµα της συνάρτησης f 1 sin( ) x π π =, χ x 5 4 = + y, µε 0 χ π και Το διπλό ολοκλήρωµα της συνάρτησης f y*sin ( x) x*cos( ) 0 y π. 30

31 Κεφάλαιο 6 ο :Σειρές Η σειρά της συνάρτησης δηλαδή x= 1 y= 1 1 σηµαίνει 10. x + 3xy + y 3 x + 3xy + y 3 από 1εως 350 για το x και από 1:450 για το y.παρατηρήστε το αποτέλεσµα f = 3,69e+01. To e+01 H σειρά της συνάρτησης f x = 3x 1 x 1 από 1 έως 1500 δηλαδή 1500 x= x 1 3x 1 x 1 Γράφουµε στο MATLAB : 31

32 Κεφάλαιο 7 ο :Μιγαδικοί αριθµοί Η µιγαδική µονάδα, 1, αποθηκεύεται στο MATLAB στις σταθερά i. Ορίζουµε τον µιγαδικό αριθµό z1=3+4i µε τον ίδιο τρόπο, δηλαδή : Παρακάτω φαίνονται οι πράξεις της εύρεσης του πραγµατικού και του φανταστικού µέρους ενός µιγαδικού, το µέτρο του, ο συζυγής του καθώς και ο πολλαπλασιασµός, η διαίρεση και η γωνία του. 3

33 33

34 Με την εντολή plot, απεικονίζεται ο µιγαδικός στο επίπεδο : το ο στην εντολή plot µπαίνει για να φανεί το σηµείο κατά αυτόν τον τρόπο 34

35 Κεφάλαιο 8 ο :Πολυώνυµα Τα πολυώνυµα παριστάνονται στο MATLAB µε την εντολή coeff και εισαγωγή τους εντός [ ] όπου το τελευταίο νούµερο είναι ο συντελεστής του χ 0, ο επόµενος ο χ 1 κ.ο.κ.έστω για παράδειγµα το πολυώνυµο x + x γράφεται στο MATLAB ως : Οι ρίζες του παραπάνω πολυωνύµου δηλαδή της εξίσωσης : λαµβάνονται ως εξής : x + x

36 που σηµαίνει ότι το παραπάνω πολυώνυµο δεν έχει πραγµατικές ρίζες.ας δούµε ένα άλλο παράδειγµα, έστω η εξίσωση x + x 1= 0 Εισάγουµε το πολυώνυµο στο MATLAB και βρίσκουµε τις ρίζες του Ανάκτηση των συντελεστών ενός πολυωνύµου από τις ρίζες του Οι συντελεστές ενός πολυωνύµου µπορούν να ανακτηθούν από τις ρίζες του : Έστω θέλουµε να βρούµε το πολυώνυµο που έχει για ρίζες τα 1,,-1.Γράφουµε : 36

37 3 που είναι και σωστό x x x+ =0 στον προγραµµατισµό..προσοχή στο τελεστή ; διότι σηµαίνει συνέχεια Προσδιορισµός των τιµών πολυωνύµων Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να σχεδιάσουµε τη συνάρτηση : 3 y = x 3x 6x+ 8 στο εύρος που περιλαµβάνει τις µηδενικές τιµές του y.ξεκινούµε εισάγοντας τη σειρά των συντελεστών του πολυωνύµου : Οι ρίζες βρίσκονται ως εξής : >>p=[ ] ; τώρα µπορούµε να ορίσουµε ένα εύρος τιµών χ που να περιλαµβάνει τις µηδενικές τιµές του y : 37

38 Οι τιµές του y σε κάθε σηµείο που περιέχεται στη σειρά χ υπολογίζονται µε την εντολή polyval του MATLAB.Αυτή η εντολή καλείται µε δύο ορίσµατα : τη σειρά των συντελεστών και τη σειρά των σηµείων όπου το πολυώνυµο θα υπολογιστεί. Στο παράδειγµα αυτό θα γράψουµε : και θα πάρουµε ως αποτέλεσµα το παρακάτω γράφηµα : 38

39 Προσοχή στους τελεστές ; (ελληνικό ερωτηµατικό) και στους ( οξεία ) Πολλαπλασιασµός και διαίρεση πολυωνύµων Ο πολλαπλασιασµός δύο πολυωνύµων µπορεί να γίνει εύκολα στο MATLAB ενεργώντας στις σειρές των συντελεστών τους. Ας θεωρήσουµε, για παράδειγµα, τον πολλαπλασιασµό : ( )( ) x + x+ x = x + x x Στο MATLAB λαµβάνουµε το ίδιο αποτέλεσµα µε την πράξη της δίπλωσης ή συνέλιξης (convolution): Η αντίστροφη διαδικασία, δηλαδή η διαίρεση πολυωνύµων, πραγµατοποιείται στο MATLAB µε αποδίπλωση (deconvolution): Η σειρά Q περιέχει τους συντελεστές του πολυωνύµου που είναι πηλίκο της διαίρεσης και η σειρά R περιέχει τους συντελεστές του πολυωνύµου που είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης. Στο παραπάνω παράδειγµα το p1 διαιρεί ακριβώς το p3, το Q περιέχει τους συντελεστές του p και τα στοιχεία του R είναι όλα µηδέν. Ας αντικαταστήσουµε το p3 µε το p4, το οποίο ορίζεται ως : 39

40 x + x + x ιαιρώντας µε το p1 εξάγεται ότι : Το υπόλοιπο της διαίρεσης του p4 µε το p1 είναι πράγµατι 3x + 40

41 Κεφάλαιο 9 ο : ιανύσµατα Γνωρίζουµε ότι τα διανύσµατα ορίζονται ως προσανατολισµένα ευθύγραµµα τµήµατα. Εδώ θα αναφερθούµε στα διανύσµατα στο επίπεδο. Για να εισάγουµε ένα διάνυσµα στο MATLAB,έστω το διάνυσµα F = 3 r î+ 4j r το γράφουµε όπως φαίνεται στο σχήµα : θεωρήστε τώρα και το διάνυσµα Q= 5 r î+ 8j r Το µέτρο του διανύσµατος R δίνεται από το Πυθαγόρειο θεώρηµα : Η γωνία ανάµεσα στην οριζόντια διεύθυνση και το διάνυσµα R λαµβάνεται ως: 41

42 H οριζόντια συνιστώσα R1=8 και η κατακόρυφη R=1 λαµβάνονται πληκτρολογώντας R(1) και R() αντίστοιχα. Ο πολλαπλασιασµός διανύσµατος µε αριθµό λ θα δώσει ένα διάνυσµα W, οι συνιστώσες του οποίου θα είναι οι R1, R πολλαπλασιασµένες επί λ. Εσωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων F,Q είναι ίσο µε F* Q= F * Q *cosθ, όπου F, Q τα µέτρα των διανυσµάτων και cosθ η γωνία ανάµεσα στα δύο διανύσµατα.στο MATLAB γράφουµε : Προσοχή!!!! : Πολλαπλασιάζονται το διάνυσµα F µε τον αντίστροφο του Q, αφού το MATLAB τα βλέπει ως πίνακες. Το ίδιο αποτέλεσµα θα βρούµε αν πολλαπλασιάσουµε το Q µε τον αντίστροφο του F 4

43 Κεφάλαιο 10 ο :Μέθοδοι Αριθµητικής Ολοκλήρωσης x n Ο κανόνας του τραπεζίου f ( x) dx= ( f0 + f1+ f f... + fn 1+ f n ) όπου x = x0 + ih i = 0(1) n Έστω ότι έχουµε να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα x0 µε τη µορφή του παρακάτω πίνακα : h Γωνία tanx Παράγοντας Γινόµενο (µοίρες) πολ/σµου 0 0 1/ , , , , , , , , , , ,731 1/ 0,86605 Άθροισµα 4,0145 π 3 0 tan x* dx. Ο υπολογισµός παρουσιάζεται Για να βρούµε προσεγγιστικά το ολοκλήρωµα, πολλαπλασιάζουµε το άθροισµα µε το σταθερό βήµα h : 43

44 10 ( π * )*4,0145 = 0, H διαδικασία αυτή στο MATLAB γίνεται όπως φαίνεται παρακάτω : ενώ η πραγµατική τιµή του ολοκληρώµατος π 3 tan x * dx είναι 0, Το σφάλµα ισούται µε 1,1% της πραγµατικής τιµής. Τούτο οφείλεται στο µεγάλο βήµα h που χρησιµοποιήσαµε. Θέτοντας h=1 τότε : 44

45 που είναι πάρα πολύ κοντά στην πραγµατική τιµή.γενικά το σφάλµα ολοκλήρωσης µε τον κανόνα του τραπεζίου αντιµετωπίζεται θεωρώντας το h όσο το δυνατό µικρότερο. 45

46 Κεφάλαιο 11 ο :Όρια Για τον υπολογισµό των ορίων µιας συνάρτησης θα πρέπει καταρχήν να δηλώσουµε τις χρησιµοποιούµενες µεταβλητές, εισάγοντας τες µε την γνωστή εντολή syms. Έπειτα είτε µπορούµε να δώσουµε απευθείας την συνάρτηση εντός παρενθέσεως µετά την εντολή limit γράφοντας µετά από κόµµα, την µεταβλητή η οποία τείνει σε κάποιο αριθµό και µετά τον αριθµό αυτόν ή να δηλώσουµε την συνάρτηση µε κάποιο γράµµα. Παρακάτω φαίνονται οι υπολογισµοί κάποιων ορίων : lim sin ( x) x 0 x lim x 1 + x + 1 x + 1 (κανόνας του L Hospital, περίπτωση 0 0 ) 46

47 x + 1 lim x x + 1 (κανόνας του L Hospital, περίπτωση ) 1 lim x 0 x 1 Άρα υπάρχει το όριο της f( x) = όταν το χ τείνει στο µηδέν και είναι 0 x 47

48 1 lim x 0 3 x 1 Άρα δεν υπάρχει το όριο της f( x) = όταν το χ τείνει στο µηδέν. 3 x ίνεται η συνάρτηση f : R R,όπου x R 1 x e 1 * x 1, οταν χ R f( x) = x e + 1 0, οταν χ = 0 Να εξεταστεί αν υπάρχουν οι παράγωγοι της f ( x ),από δεξιά και από αριστερά στο σηµείο ξ=0 και αν η f ( x ) είναι παραγωγίσιµη στο ξ=0 Λύση: 48

49 Άρα η f ( x) δεν είναι παραγωγίσιµη στο ξ=0 ίνεται η συνάρτηση f : R R,όπου x R 3 1 * χ ηµ ( ), οταν χ R f( x) = χ 0, οταν χ = 0 Να εξεταστεί αν η f ( x ) είναι παραγωγίσιµη στο ξ=0 Λύση : Άρα η f ( x ) είναι παραγωγίσιµη στο ξ=0 49

50 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΙΑΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΒΑΣΙΛΙΚΗΣ ΦΡΑΓΚΟΥ ρα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ, ΒΑΣΙΛΙΚΗΣ ΦΡΑΓΚΟΥ- ΑΝ ΡΕΑ ΑΘΑΝΑΣΙΑ Η ρα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΜΟΣ Ι,Γ.ΑΒ ΕΛΑ & Θ.ΣΙΜΟΥ,καθ.Π.Θ. 4. MATLAB 6 ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ ΠΑΠΑΡΡΙΖΟΥ, καθ. Τµ. Εφαρµοσµένης Πληροφορικής Πανεπιστηµίου Μακεδονίας 5. MATLAB για Μηχανικούς Adrian Biran & Moshe Breiner 6. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΜΕ ΤΟ MATLAB,Γ.Στεφανίδης & Ν.Σαµαράς Τµ. Εφαρµοσµένης Πληροφορικής Πανεπιστηµίου Μακεδονίας 50

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Βασικά Μαθηµατικά ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 04 Μαρτίου 009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια περίληψη των ϐασικών µα- ϑηµατικών γνώσεων που

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Το Maxima είναι ένα πρόγραμμα για την εκτέλεση μαθηματικών υπολογισμών, συμβολικών μαθηματικών χειρισμών, αριθμητικών υπολογισμών και γραφικών παραστάσεων. Το Maxima λειτουργεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία του MATLAB

Βασικά στοιχεία του MATLAB ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Εξοικείωση µε το περιβάλλον του MATLAB και χρήση βασικών εντολών και τεχνικών δηµιουργίας προγραµµάτων, συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Τυπικές χρήσεις της Matlab

Τυπικές χρήσεις της Matlab Matlab Μάθημα 1 Τι είναι η Matlab Ολοκληρωμένο Περιβάλλον Περιβάλλον ανάπτυξης Διερμηνευμένη γλώσσα Υψηλή επίδοση Ευρύτητα εφαρμογών Ευκολία διατύπωσης Cross platform (Wintel, Unix, Mac) Τυπικές χρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Τι θα μάθουμε σήμερα: -AND, OR, NOT. -Ενσωματωμένες συναρτήσεις. -Μαθηματικοί τελεστές -ΤΕΛΕΣΤΕΣ DIV ΚΑΙ MOD. -Προτεραιότητα πράξεων

Κεφάλαιο 1. Τι θα μάθουμε σήμερα: -AND, OR, NOT. -Ενσωματωμένες συναρτήσεις. -Μαθηματικοί τελεστές -ΤΕΛΕΣΤΕΣ DIV ΚΑΙ MOD. -Προτεραιότητα πράξεων Κεφάλαιο 1 Αρχή ήμισυ παντός. Πλάτων, 427-347 π.χ., Φιλόσοφος Τι θα μάθουμε σήμερα: -AND, OR, NOT -Ενσωματωμένες συναρτήσεις -Μαθηματικοί τελεστές -ΤΕΛΕΣΤΕΣ DIV ΚΑΙ MOD -Προτεραιότητα πράξεων 1 Λογικές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση είναι ένας έτοιμος τύπος ο οποίος δέχεται σαν είσοδο τιμές ή συνθήκες και επιστρέφει ένα αποτέλεσμα, το οποίο μπορεί να είναι μια τιμή αριθμητική, αλφαριθμητική, λογική, ημερομηνίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Οκτώβριος 011 MATLAB

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

SMART Notebook Math Tools

SMART Notebook Math Tools SMART Notebook Math Tools Windows λειτ ουργικά συστ ήματ α Εγχειρίδιο Χρήστ η Σημείωση για το εμπορικό σήμα Τα SMART Board, SMART Notebook, smarttech, το λογότυπο SMART και όλα τα σλόγκαν SMART είναι εμπορικά

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ. 6.1 Ορισµοί. Συναρτήσεις

6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ. 6.1 Ορισµοί. Συναρτήσεις SECTION 6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 6. Ορισµοί Συναρτήσεις Γενικά, µε τον όρο συνάρτηση εννοούµε µια απεικόνιση αντιστοίχιση σύµφωνα µε έναν κανόνα) από ένα σύνολο D σε ένα σύνολο R, έτσι ώστε κάθε στοιχείο του D να αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.86. Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας.

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.86. Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας. Σηµειωσεις : Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας v..86 Θ. Κεχαγιας Απριλης Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Βασικες Συναρτησεις. Θεωρια.....................................

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 11 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση Στα µαθητικά και φοιτητικά µας χρόνια, έχουµε γνωριστεί µε µία ποικιλία από µαθηµατικά προβλήµατα των οποίων µαθαίνουµε σταδιακά τις λύσεις Παραδείγµατος χάριν,

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις - Όρια- Παράγωγοι- Ολοκληρώματα Ακολουθίες-Σειρές

Συναρτήσεις - Όρια- Παράγωγοι- Ολοκληρώματα Ακολουθίες-Σειρές Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής με εφαρμογές στη Βιοϊατρική Συναρτήσεις - Όρια- Παράγωγοι- Ολοκληρώματα Ακολουθίες-Σειρές Μαθηματική Ανάλυση Ι Συνάρτηση μίας Μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων Πίνακες Ένας πίνακας είναι μια δισδιάστατη λίστα από αριθμούς. Για να δημιουργήσουμε ένα πίνακα στο Matlab εισάγουμε κάθε γραμμή σαν μια ακολουθία αριθμών που ξεχωρίζουν με κόμμα (,) ή κενό (space) και

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 6 Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Υπάρχουν διαφόρων ειδών ολοκληρώµατα διανυσµάτων, ανάλογα µε τη µορφή που έχει η ολοκληρωτέα

Διαβάστε περισσότερα

Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ220 24/1/2007. of them occurring as the solution of a problem indicates some inconsistency or absurdity.

Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ220 24/1/2007. of them occurring as the solution of a problem indicates some inconsistency or absurdity. Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ0 //007 Μιγαδικοί Αριµοί Παναγιώτης Παναγή, ppanagi@ucy.ac.cy ηµήτρης Ηλιάδης, eldemet@ucy.ac.cy The imaginary expression a and the negative expression b, have this resemblance,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

Για τη δημιουργία ενός διανύσματος με στοιχεία από το 0 μέχρι το 20 με βήμα το 2 (χρησιμοποιείται συνήθως για διανύσματα χρόνου) δίνουμε

Για τη δημιουργία ενός διανύσματος με στοιχεία από το 0 μέχρι το 20 με βήμα το 2 (χρησιμοποιείται συνήθως για διανύσματα χρόνου) δίνουμε Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Άσκηση 1 η Εισαγωγή στο Matlab 1 Άσκηση 1 η : Εισαγωγή στο Matlab Αντικείμενο Εξοικείωση με τις βασικές λειτουργίες του Matlab (πρόγραμμα αριθμητικής ανάλυσης και

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

SMART Notebook 11.1 Math Tools

SMART Notebook 11.1 Math Tools SMART Ntebk 11.1 Math Tls Λειτουργικά συστήματα Windws Οδηγός χρήστη Δήλωση προϊόντος Αν δηλώσετε το προϊόν SMART, θα σας ειδοποιήσουμε για νέα χαρακτηριστικά και αναβαθμίσεις λογισμικού. Κάντε τη δήλωση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην C. Μορφή Προγράµµατος σε γλώσσα C

Εισαγωγή στην C. Μορφή Προγράµµατος σε γλώσσα C Εισαγωγή στην C Μορφή Προγράµµατος σε γλώσσα C Τµήµα Α Με την εντολή include συµπεριλαµβάνω στο πρόγραµµα τα πρότυπα των συναρτήσεων εισόδου/εξόδου της C.Το αρχείο κεφαλίδας stdio.h είναι ένας κατάλογος

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Ολοκληρώµατα ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 85 3 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των ολοκληρωµάτων πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887

.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887 Ολοκλήρωση κατά Gauss Ενώ στους τύπους Newton-Cotes χρησιµοποιούσαµε τις τιµές της συνάρτησης σε ισαπέχοντα σηµεία, στους τύπους ολοκλήρωσης κατά Gauss τα σηµεία xj και τα βάρη wj επιλέγονται, έτσι ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Οι πραγµατικοί και οι µιγαδικοί αριθµοί

Κεφάλαιο 1 Οι πραγµατικοί και οι µιγαδικοί αριθµοί Σελίδα από 9 Κεφάλαιο Οι πραγµατικοί και οι µιγαδικοί αριθµοί. 7 Τα σύµβολα και.7. Παράδειγµα Αθροίσµατα και γινόµενα στο Matlab. Υπολογίστε τις ακόλουθες ποσότητες στο MATLAB: a) b) c) d) 00 k = 00 k

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) "διαφορά τετραγώνων" α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) "διαφορά κύβων"

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) διαφορά τετραγώνων α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) διαφορά κύβων Ταυτότητες (α β) α αβ β " αναπτύγματα τετραγώνων " (α β) αβ β (α β) α α β αβ β " αναπτύγματα κύβων " (α β) α α β αβ β " παραγοντοποίηση τριωνύμου " (α β) αβ ( α)( β) (α β) αβ ( α)( β) α β = (α β)(α + β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink. Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος

Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink. Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος 1 Τι είναι τα Matlab και Simulink? Το Matlab (MATrix LABoratory) είναι ένα περιβάλλον επιστημονικού

Διαβάστε περισσότερα

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Lab. MEchanics Applied TECHNICAL UNIVERSITY OF CRETE ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ 1 η Συνέχεια διαλέξεων B Μέρος 1 ΒΑΣΙΚΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ

Διαβάστε περισσότερα

EΞΩΤΕΡΙΚΑ ΑΡΧΕΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ

EΞΩΤΕΡΙΚΑ ΑΡΧΕΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ EΞΩΤΕΡΙΚΑ ΑΡΧΕΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ηµιουργία ενός m-αρχείου Εισαγωγή των δεδοµένων στο αρχείο Αποθήκευση του αρχείου Καταχώρηση των δεδοµένων του αρχείου από το λογισµικό Matlab, γράφοντας απλά το όνοµα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Πέµπτο: Η Εξάσκηση

Κεφάλαιο Πέµπτο: Η Εξάσκηση Κεφάλαιο Πέµπτο: Η Εξάσκηση 1. Γενικά Η εξάσκηση στο Εργαστήριο προϋποθέτει τη γνώση των εντολών (τουλάχιστον) τις οποίες καλείται ο σπουδαστής κάθε φορά να εφαρµόσει. Αυτές παρέχονται µέσω της Θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις.

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις Γενικά Εστω A, B και f : A B είναι µια απεικόνιση τέτοια ώστε σε κάθε µιγαδικό αριθµό A να αντιστοιχεί µοναδικός µιγαδικός αριθµός w= f Λέµε τότε ότι η f είναι µια µιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Συναρτήσεις, Ορια, Συνέχεια ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα