# Nonlinear Fourier transform for the conductivity equation. Visibility and Invisibility in Impedance Tomography

Save this PDF as:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Nonlinear Fourier transform for the conductivity equation. Visibility and Invisibility in Impedance Tomography"

## Transcript

1 Nonlinear Fourier transform for the conductivity equation Visibility and Invisibility in Impedance Tomography Kari Astala University of Helsinki CoE in Analysis and Dynamics Research

2 What is the non linear Fourier transform?

3 What is the non linear Fourier transform? Dimension n = 1.

4 What is the non linear Fourier transform? Dimension n = 1. For q L (R) with supp(q) [ M, M], consider ψ (x) + q(x)ψ(x) = k 2 ψ (k R) If ψ(x) = e ikx, x, then ψ(x) = a(k)e ikx + b(k)e ikx, x

5 What is the non linear Fourier transform? Dimension n = 1. For q L (R) with supp(q) [ M, M], consider ψ (x) + q(x)ψ(x) = k 2 ψ (k R) If ψ(x) = e ikx, x, then ψ(x) = a(k)e ikx + b(k)e ikx, x We call τ q (k) := ( a(k), b(k) ) the Non Linear Fourier Transform of q.

6 What is the non linear Fourier transform? Dimension n = 1. For q L (R) with supp(q) [ M, M], consider ψ (x) + q(x)ψ(x) = k 2 ψ (k R) If ψ(x) = e ikx, x, then ψ(x) = a(k)e ikx + b(k)e ikx, x We call τ q (k) := ( a(k), b(k) ) the Non Linear Fourier Transform of q. a(k) = 1+ i 2k q(y)dy+o( q 2 ), b(k) = i 2k F(q)( 2k)+O( q 2 )

7 What is the non linear Fourier transform? Dimension n = 2.

8 WHY the non linear Fourier transform? Dimension n = 2.

9 WHY the non linear Fourier transform? Dimension n = 2. Medical imaging in 2 dimensions (Electric Impedance Tomography)

10 WHY the non linear Fourier transform? Dimension n = 2. Medical imaging in 2 dimensions (Electric Impedance Tomography) Inverse conductivity problem: Measure electric resistance between all boundary points of a body. Can one determine from this data the conductivity inside the body?

11 What is the non linear Fourier transform? Dimension n = 2. Conductivity equation: Div ( σ u ) = 0 ( σ(z) = I ) for z large

12 What is the non linear Fourier transform? Dimension n = 2. Conductivity equation: Div ( σ u ) = 0 ( σ(z) = I ) for z large A basic method in impedance tomography: Analysis of complex geometric optics solutions: u = u σ (z, ξ) = e iξz (1 + O ( )) 1 z as z,

13 What is the non linear Fourier transform? Dimension n = 2. Conductivity equation: Div ( σ u ) = 0 ( σ(z) = I ) for z large IF can find (unique) solutions of the form u = u σ (z, ξ) = e iξz (1 + O ( )) 1 z as z, then u σ (z, ξ) = e iξz + a(ξ) z e i ξ z + b(ξ) z e i ξ z + O( 1 z 2) ei ξ z, z

14 What is the non linear Fourier transform? Dimension n = 2. Conductivity equation: Div ( σ u ) = 0 ( σ(z) = I ) for z large IF can find (unique) solutions of the form u = u σ (z, ξ) = e iξz (1 + O ( )) 1 z as z, then u σ (z, ξ) = e iξz + a(ξ) z e i ξ z + b(ξ) z e i ξ z + O( 1 z 2) ei ξ z, z NLFT: τ σ (ξ) b(ξ), ξ R 2

15 Calderon s problem (1980) Mathematical model of Electric Impedance Tomography (EIT) Given the Dirichlet-to-Neumann map Λ σ, can we construct the conductivity σ inside Ω?

16 In two dimensions Calderon problem admits a solution: Theorem 1 (Astala Päivärinta) Let Ω R 2 be a bounded, simply connected domain. Assume that Then σ 1, σ 2, σ 1 1, σ 1 2 L. Λ σ1 = Λ σ2 σ 1 = σ 2 a.e. Here conductivity σ(x) isotropic, i.e. a scalar function. The proof yields, in principle, a method to construct σ from Λ σ.

17 Structure of Proof: Ω = D = { z < 1}, Set σ(z) 1 outside D; u σ (z, ξ) = e iξz + a(ξ) z e i ξ z + b(ξ) z e i ξ z + O( 1 z 2) ei ξ z, z NLFT: τ σ (ξ) b(ξ), ξ R 2, exists and is well defined. Λ σ determines τ σ (ξ), ξ R 2 (easy) τ σ determines the conductivity σ(z), z R 2 (difficult) τ σ σ Inverting NLFT

18 Finding exponentially growing u σ : Reduction to Complex Analysis. 1. If u W 1,2 loc (D) satisfies σ(x) u(x) = 0 Hodge * conjugate v(z) = J σ(z) u(z), J = 2. f = u + iv satisfies ( ) z f = ν z f ν = 1 σ 1+σ 3. Show: unique solution f = f ν such that f ν = e ikz ( 1 + O( 1 z )),

19 Finding exponentially growing u σ : Reduction to Complex Analysis. 1. If u W 1,2 loc (D) satisfies σ(x) u(x) = 0 Hodge * conjugate v(z) = J σ(z) u(z), J = 2. f = u + iv satisfies ( ) z f = ν z f ν = 1 σ 1+σ 3. Show: unique solution f = f ν such that f ν = e ikz ( 1 + O( 1 z )), f ν (z) = e ikφ(z), φ : C C homeo with φ(z) = z + O( 1 z )

20 Finding exponentially growing u σ : Reduction to Complex Analysis. 1. If u W 1,2 loc (D) satisfies σ(x) u(x) = 0 Hodge * conjugate v(z) = J σ(z) u(z), J = 2. f = u + iv satisfies ( ) z f = ν z f ν = 1 σ 1+σ 3. Show: unique solution f = f ν such that f ν = e ikz ( 1 + O( 1 z )), f ν (z) = e ikφ(z), φ : C C homeo a priori bounds!

21 4. Solution to conductivity equation: u(z) = u σ (z, ξ) = Ref ν (z, ξ) + i Imf ν (z, ξ)

22 Inverting NLFT, τ σ σ??

23 Inverting NLFT, τ σ σ?? Suppose: Div ( σ u ) = 0, (1) with u σ (z, ξ) = e iξz + a(ξ) z e i ξ z + b(ξ) z e i ξ z + O( 1 z 2) ei ξ z, z

24 Inverting NLFT, τ σ σ?? Suppose: Div ( σ u ) = 0, (1) with u σ (z, ξ) = e iξz + a(ξ) z e i ξ z + b(ξ) z e i ξ z + O( 1 z 2) ei ξ z, z Then: u σ (z, ξ) smooth in ξ

25 Inverting NLFT, τ σ σ?? Suppose: Div ( σ u ) = 0, (1) with u σ (z, ξ) = e iξz + a(ξ) z e i ξ z + b(ξ) z e i ξ z + O( 1 z 2) ei ξ z, z Then: u σ (z, ξ) smooth in ξ, ξ u σ satisfies (1)!

26 Inverting NLFT, τ σ σ?? Suppose: Div ( σ u ) = 0, (1) with u σ (z, ξ) = e iξz + a(ξ) z e i ξ z + b(ξ) z e i ξ z + O( 1 z 2) ei ξ z, z Then: u σ (z, ξ) smooth in ξ, ξ u σ satisfies (1)!

27 Inverting NLFT, τ σ σ?? Suppose: Div ( σ u ) = 0, (1) with u σ (z, ξ) = e iξz + a(ξ) z e i ξ z + b(ξ) z e i ξ z + O( 1 z 2) ei ξ z, z Then: u σ (z, ξ) smooth in ξ, ξ u σ satisfies (1)! ξ u σ (z, ξ) = iτ(ξ) u σ (z, ξ)

28 Inverting NLFT, τ σ σ?? Suppose: Div ( σ u ) = 0, (1) with u σ (z, ξ) = e iξz + a(ξ) z e i ξ z + b(ξ) z e i ξ z + O( 1 z 2) ei ξ z, z Then: u σ (z, ξ) smooth in ξ, ξ u σ satisfies (1)! ξ u σ (z, ξ) = iτ(ξ) u σ (z, ξ) σ smooth decay in ξ τ σ determines u σ (z, ξ), hence σ. For σ non smooth: asymptotics in ξ?

29 A simple conductivity σ(z) with a discontinuity

30 f µ (z, k) = e ikz (1 + ω(z, k)), here ω as a function k k=2 k=12 k= ! !

31

32 Theorem. Suppose σ, 1/σ L. Then τ σ (ξ) 1, ξ R 2.

33 Theorem. Suppose σ, 1/σ L. Then τ σ (ξ) 1, ξ R 2. Plancherel Formula? Riemann-Lebesgue lemma? etc.? etc.?

34 Above σ(z) scalar. Howabout the case of σ(z) R 2 2?

35 Above σ(z) scalar. Howabout the case of σ(z) R 2 2? Lemma. For σ L (Ω, R 2 2 ), symmetric and positive definite, τ σ = τ F σ, F σ det(σ F 1 ) I ( scalar!) where F : R 2 R 2 a quasiconformal mapping, F (z) z as z. Push forward F σ = H; DF (x)σ(x)df (x) t = H ( F (x) ) det(df (x))

36 Above σ(z) scalar. Howabout the case of σ(z) R 2 2? Lemma. For σ L (Ω, R 2 2 ), symmetric and positive definite, τ σ = τ F σ, F σ det(σ F 1 ) I ( scalar!) where F : R 2 R 2 a quasiconformal mapping, F (z) z as z. Push forward F σ = H; DF (x)σ(x)df (x) t = H ( F (x) ) det(df (x)) Corollary. Λ σ1 = Λ σ2 σ 1 = F σ 2 ; F : Ω Ω with F Ω = id

37 Degenerate equations?

38 Degenerate equations? Visibility in low fequences: Do the electric impedance tomography measurements on the boundary determine the inside of a body? Invisibility cloaking for low frequences: Can we coat a body with a special material so that it appears like homogeneous material in EIT-measurements? Limits of invisibility and visibility?!

39 Artistic illustration by M. and J. Levin.

40 Limits to Calderon s problem: Non-visible conductivities in 2D.

41 Limits to Calderon s problem: Non-visible conductivities in 2D. Let B(ρ) be a 2-dimensional disc of radius ρ. Consider the map F : B(2) \ {0} B(2) \ B(1), F (x) = ( x 2 + 1) x x.

42 Limits to Calderon s problem: Non-visible conductivities in 2D. Let B(ρ) be a 2-dimensional disc of radius ρ. Consider the map F : B(2) \ {0} B(2) \ B(1), F (x) = ( x 2 + 1) x x. Theorem (Greenleaf-Lassas-Uhlmann invisibility cloaking) σ = F 1 in B(2) \ B(1) with σ arbitrary in B(1). Then boundary measurements for σ and γ 1 coincide. Set:

43

44 Iwaniec Martin (2001): Whenever A(t) sublinear with exists a W 1,1 -homeo F : B(2) \ {0} B(2) \ B(1) with A(t) t 2 <, DF (x)σ 0 (x)df (x) t = det DF (x) Id, det(σ 0 ) = 1 Ω ea ( Trace(σ 0 ) ) dx <

45 Iwaniec Martin (2001): Whenever A(t) sublinear with exists a W 1,1 -homeo F : B(2) \ {0} B(2) \ B(1) with A(t) t 2 <, DF (x)σ 0 (x)df (x) t = det DF (x) Id, det(σ 0 ) = 1 ( Ω ea Trace(σ 0 ) ) dx < Set: γ(z) 1 in B(2) \ B(1) (homogeneous conductivity) with γ(z) 0, for z < 1 (perfect insulator). Then Λ σ0 = Λ γ Sharp limit to Calderon problem: Ω ea( Trace(σ) ) dx < ; A(t) t 2 <

46 Theorem. (A. Lassas Päivärinta) Let symmetric and positive definite σ 1, σ 2 : Ω R 2 2 satisfy Ω e A( Trace(σ) ) dx < ; A(t) t 2 = (+ mild growth control) and let (det σ j ) ±1 L. Then Λ σ1 = Λ σ2 σ 1 = F σ 2 for a W 1,1 loc -homeomorphism F : Ω Ω with F Ω = id. Moreover, for any E Ω, F (E) E = 0 (conditions N ±1 )

### 2 Composition. Invertible Mappings

Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

### Areas and Lengths in Polar Coordinates

Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

### EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

### Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

### 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)

84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this

Διαβάστε περισσότερα

### Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

### CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

### Trigonometric Formula Sheet

Trigonometric Formula Sheet Definition of the Trig Functions Right Triangle Definition Assume that: 0 < θ < or 0 < θ < 90 Unit Circle Definition Assume θ can be any angle. y x, y hypotenuse opposite θ

Διαβάστε περισσότερα

### 2. Let H 1 and H 2 be Hilbert spaces and let T : H 1 H 2 be a bounded linear operator. Prove that [T (H 1 )] = N (T ). (6p)

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Andreas Strömbergsson Prov i matematik Funktionalanalys Kurs: F3B, F4Sy, NVP 2005-03-08 Skrivtid: 9 14 Tillåtna hjälpmedel: Manuella skrivdon, Kreyszigs bok

Διαβάστε περισσότερα

### ( ) 2 and compare to M.

Problems and Solutions for Section 4.2 4.9 through 4.33) 4.9 Calculate the square root of the matrix 3!0 M!0 8 Hint: Let M / 2 a!b ; calculate M / 2!b c ) 2 and compare to M. Solution: Given: 3!0 M!0 8

Διαβάστε περισσότερα

### Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

### Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics

Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics Volume 31, 2004, 83 97 T. Tadumadze and L. Alkhazishvili FORMULAS OF VARIATION OF SOLUTION FOR NON-LINEAR CONTROLLED DELAY DIFFERENTIAL EQUATIONS

Διαβάστε περισσότερα

### Second Order Partial Differential Equations

Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

### ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

### Problem Set 3: Solutions

CMPSCI 69GG Applied Information Theory Fall 006 Problem Set 3: Solutions. [Cover and Thomas 7.] a Define the following notation, C I p xx; Y max X; Y C I p xx; Ỹ max I X; Ỹ We would like to show that C

Διαβάστε περισσότερα

### ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω

0 1 2 3 4 5 6 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω + 4 ω2 ω2 + 1 ω2 + 2 ω2 + 3 ω3 ω3 + 1 ω3 + 2 ω4 ω4 + 1 ω5 ω 2 ω 2 + 1 ω 2 + 2 ω 2 + ω ω 2 + ω + 1 ω 2 + ω2 ω 2 2 ω 2 2 + 1 ω 2 2 + ω ω 2 3 ω 3 ω 3 + 1 ω 3 + ω ω 3 +

Διαβάστε περισσότερα

### Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.

Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given

Διαβάστε περισσότερα

### Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference

Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference Capacitors store electric charge. This ability to store electric charge is known as capacitance. A simple capacitor consists of 2 parallel metal

Διαβάστε περισσότερα

### Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry

Διαβάστε περισσότερα

### MATRIX INVERSE EIGENVALUE PROBLEM

English NUMERICAL MATHEMATICS Vol.14, No.2 Series A Journal of Chinese Universities May 2005 A STABILITY ANALYSIS OF THE (k) JACOBI MATRIX INVERSE EIGENVALUE PROBLEM Hou Wenyuan ( ΛΠ) Jiang Erxiong( Ξ)

Διαβάστε περισσότερα

### A Lambda Model Characterizing Computational Behaviours of Terms

A Lambda Model Characterizing Computational Behaviours of Terms joint paper with Silvia Ghilezan RPC 01, Sendai, October 26, 2001 1 Plan of the talk normalization properties inverse limit model Stone dualities

Διαβάστε περισσότερα

### Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

### Testing for Indeterminacy: An Application to U.S. Monetary Policy. Technical Appendix

Testing for Indeterminacy: An Application to U.S. Monetary Policy Technical Appendix Thomas A. Lubik Department of Economics Johns Hopkins University Frank Schorfheide Department of Economics University

Διαβάστε περισσότερα

### 1. Introduction and Preliminaries.

Faculty of Sciences and Mathematics, University of Niš, Serbia Available at: http://www.pmf.ni.ac.yu/filomat Filomat 22:1 (2008), 97 106 ON δ SETS IN γ SPACES V. Renuka Devi and D. Sivaraj Abstract We

Διαβάστε περισσότερα

### If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2

Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

### Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Differential Topology (math876 - Spring2006 Søren Kold Hansen Problem 1: Exercise 3.2 p. 246 in [MT]. Let {ɛ 1,..., ɛ n } be the basis of Alt 1 (R n dual to the standard basis {e 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

### If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2

Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

### Bessel functions. ν + 1 ; 1 = 0 for k = 0, 1, 2,..., n 1. Γ( n + k + 1) = ( 1) n J n (z). Γ(n + k + 1) k!

Bessel functions The Bessel function J ν (z of the first kind of order ν is defined by J ν (z ( (z/ν ν Γ(ν + F ν + ; z 4 ( k k ( Γ(ν + k + k! For ν this is a solution of the Bessel differential equation

Διαβάστε περισσότερα

### The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions

Theo p. / The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions Walter Gautschi wxg@cs.purdue.edu Purdue University Theo p. 2/ Theodorus of ca. 46 399 B.C. Theo p. 3/ spiral of Theodorus 6

Διαβάστε περισσότερα

### Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing Γιώργος Μπορμπουδάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Procedure 1. Form the null (H 0 ) and alternative (H 1 ) hypothesis 2. Consider

Διαβάστε περισσότερα

### Jordan Form of a Square Matrix

Jordan Form of a Square Matrix Josh Engwer Texas Tech University josh.engwer@ttu.edu June 3 KEY CONCEPTS & DEFINITIONS: R Set of all real numbers C Set of all complex numbers = {a + bi : a b R and i =

Διαβάστε περισσότερα

### Two generalisations of the binomial theorem

39 Two generalisations of the binomial theorem Sacha C. Blumen Abstract We prove two generalisations of the binomial theorem that are also generalisations of the q-binomial theorem. These generalisations

Διαβάστε περισσότερα

### SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS

SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS The purpose of this handout is to record the classical formulas expressing the roots of degree three and degree four polynomials in terms of radicals. We begin with

Διαβάστε περισσότερα

### Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11

Potential Dividers 46 minutes 46 marks Page 1 of 11 Q1. In the circuit shown in the figure below, the battery, of negligible internal resistance, has an emf of 30 V. The pd across the lamp is 6.0 V and

Διαβάστε περισσότερα

### A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics

A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics Contents 1. Markov set-chain 2. Model of bonus-malus system 3. Example 4. Conclusions

Διαβάστε περισσότερα

### ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006

Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή

Διαβάστε περισσότερα

### Section 8.2 Graphs of Polar Equations

Section 8. Graphs of Polar Equations Graphing Polar Equations The graph of a polar equation r = f(θ), or more generally F(r,θ) = 0, consists of all points P that have at least one polar representation

Διαβάστε περισσότερα

### arxiv: v3 [math.ca] 4 Jul 2013

POSITIVE SOLUTIONS OF NONLINEAR THREE-POINT INTEGRAL BOUNDARY-VALUE PROBLEMS FOR SECOND-ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS arxiv:125.1844v3 [math.ca] 4 Jul 213 FAOUZI HADDOUCHI, SLIMANE BENAICHA Abstract. We

Διαβάστε περισσότερα

### TMA4115 Matematikk 3

TMA4115 Matematikk 3 Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet Trondheim Spring 2010 Lecture 12: Mathematics Marvellous Matrices Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet

Διαβάστε περισσότερα

### THE GENERAL INDUCTIVE ARGUMENT FOR MEASURE ANALYSES WITH ADDITIVE ORDINAL ALGEBRAS

THE GENERAL INDUCTIVE ARGUMENT FOR MEASURE ANALYSES WITH ADDITIVE ORDINAL ALGEBRAS STEFAN BOLD, BENEDIKT LÖWE In [BoLö ] we gave a survey of measure analyses under AD, discussed the general theory of order

Διαβάστε περισσότερα

### 1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then x 2 + y 2 Solution : Take y /x = k y = k x dy/dx = k dy/dx = y / x Answer : 2] y / x

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Ενότητα 1: Elements of Syntactic Structure Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια

Διαβάστε περισσότερα

### Strukturalna poprawność argumentu.

Strukturalna poprawność argumentu. Marcin Selinger Uniwersytet Wrocławski Katedra Logiki i Metodologii Nauk marcisel@uni.wroc.pl Table of contents: 1. Definition of argument and further notions. 2. Operations

Διαβάστε περισσότερα

### Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5

Prof. Dr. Christine Müller Dipl.-Math. Christoph Kustosz Eercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 E. 9 (5 a Show, that a Fisher information matri for a two dimensional parameter θ (θ,θ 2 R 2, can

Διαβάστε περισσότερα

### Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ

Διαβάστε περισσότερα

### DIRECT PRODUCT AND WREATH PRODUCT OF TRANSFORMATION SEMIGROUPS

GANIT J. Bangladesh Math. oc. IN 606-694) 0) -7 DIRECT PRODUCT AND WREATH PRODUCT OF TRANFORMATION EMIGROUP ubrata Majumdar, * Kalyan Kumar Dey and Mohd. Altab Hossain Department of Mathematics University

Διαβάστε περισσότερα

### Πανεπιστήµιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή

Πανεπιστήµιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΗΜΥ 220: ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ακαδηµαϊκό έτος 2011-12 Εαρινό Εξάµηνο Ενδιάµεση Εξέταση 1 Παρασκευή 17 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

### Example of the Baum-Welch Algorithm

Example of the Baum-Welch Algorithm Larry Moss Q520, Spring 2008 1 Our corpus c We start with a very simple corpus. We take the set Y of unanalyzed words to be {ABBA, BAB}, and c to be given by c(abba)

Διαβάστε περισσότερα

### Space Physics (I) [AP-3044] Lecture 1 by Ling-Hsiao Lyu Oct Lecture 1. Dipole Magnetic Field and Equations of Magnetic Field Lines

Space Physics (I) [AP-344] Lectue by Ling-Hsiao Lyu Oct. 2 Lectue. Dipole Magnetic Field and Equations of Magnetic Field Lines.. Dipole Magnetic Field Since = we can define = A (.) whee A is called the

Διαβάστε περισσότερα

### On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume

BULETINUL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A REPUBLICII MOLDOVA. MATEMATICA Numbers 2(72) 3(73), 2013, Pages 80 89 ISSN 1024 7696 On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume I.S.Gutsul Abstract. In

Διαβάστε περισσότερα

### Solutions to Selected Homework Problems 1.26 Claim: α : S S which is 1-1 but not onto β : S S which is onto but not 1-1. y z = z y y, z S.

Solutions to Selected Homework Problems 1.26 Claim: α : S S which is 1-1 but not onto β : S S which is onto but not 1-1. Proof. ( ) Since α is 1-1, β : S S such that β α = id S. Since β α = id S is onto,

Διαβάστε περισσότερα

### Derivation of Optical-Bloch Equations

Appendix C Derivation of Optical-Bloch Equations In this appendix the optical-bloch equations that give the populations and coherences for an idealized three-level Λ system, Fig. 3. on page 47, will be

Διαβάστε περισσότερα

### Solution to Review Problems for Midterm III

Solution to Review Problems for Mierm III Mierm III: Friday, November 19 in class Topics:.8-.11, 4.1,4. 1. Find the derivative of the following functions and simplify your answers. (a) x(ln(4x)) +ln(5

Διαβάστε περισσότερα

### Wavelet based matrix compression for boundary integral equations on complex geometries

1 Wavelet based matrix compression for boundary integral equations on complex geometries Ulf Kähler Chemnitz University of Technology Workshop on Fast Boundary Element Methods in Industrial Applications

Διαβάστε περισσότερα

### A METHOD OF SOLVING LAGRANGE S FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION WHOSE COEFFICIENTS ARE LINEAR FUNCTIONS

International Journal of Differential Equations and Applications Volume 14 No. 2 2015, 65-79 ISSN: 1311-2872 url: http://www.ijpam.eu doi: http://dx.doi.org/10.12732/ijdea.v14i2.2091 PA acadpubl.eu A METHOD

Διαβάστε περισσότερα

### Derivations of Useful Trigonometric Identities

Derivations of Useful Trigonometric Identities Pythagorean Identity This is a basic and very useful relationship which comes directly from the definition of the trigonometric ratios of sine and cosine

Διαβάστε περισσότερα

### Risk! " #\$%&'() *!'+,'''## -. / # \$

Risk! " #\$%&'(!'+,'''## -. / 0! " # \$ +/ #%&''&(+(( &'',\$ #-&''&\$ #(./0&'',\$( ( (! #( &''/\$ #\$ 3 #4&'',\$ #- &'',\$ #5&''6(&''&7&'',\$ / ( /8 9 :&' " 4; < # \$ 3 " ( #\$ = = #\$ #\$ ( 3 - > # \$ 3 = = " 3 3, 6?3

Διαβάστε περισσότερα

### AN APPLICATION OF THE SUBORDINATION CHAINS. Georgia Irina Oros. Abstract

AN APPLICATION OF THE SUBORDINATION CHAINS Georgia Irina Oros Abstract The notion of differential superordination was introduced in [4] by S.S. Miller and P.T. Mocanu as a dual concept of differential

Διαβάστε περισσότερα

### MATRICES

MARICES 1. Matrix: he arrangement of numbers or letters in the horizontal and vertical lines so that each horizontal line contains same number of elements and each vertical row contains the same numbers

Διαβάστε περισσότερα

### Εγχειρίδια Μαθηµατικών και Χταποδάκι στα Κάρβουνα

[ 1 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Εγχειρίδια Μαθηµατικών και Χταποδάκι στα Κάρβουνα Νίκος Στυλιανόπουλος, Πανεπιστήµιο Κύπρου Λευκωσία, εκέµβριος 2009 [ 2 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Πόσο σηµαντική είναι η απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

### Elements of Information Theory

Elements of Information Theory Model of Digital Communications System A Logarithmic Measure for Information Mutual Information Units of Information Self-Information News... Example Information Measure

Διαβάστε περισσότερα

### The Invariant Relations of 3D to 2D Projection of Point Sets

Journal of Pattern Recognition Research 1 28 14-23 The Invariant Relations of 3D to 2D Projection of Point Sets Wang YuanBin wangyuanbin@ise.neu.edu.cn Zhang Bin zhangbin@ise.neu.edu.cn Yu Ge yuge@ise.neu.edu.cn

Διαβάστε περισσότερα

### Correction Table for an Alcoholometer Calibrated at 20 o C

An alcoholometer is a device that measures the concentration of ethanol in a water-ethanol mixture (often in units of %abv percent alcohol by volume). The depth to which an alcoholometer sinks in a water-ethanol

Διαβάστε περισσότερα

### Well-posedness for compressible Euler with physical vacuum singularity

Well-posedness for compressible Euler with physical vacuum singularity Juhi Jang and Nader Masmoudi May 28, 28 Abstract An important problem in the theory of compressible gas flows is to understand the

Διαβάστε περισσότερα

### 1. A fully continuous 20-payment years, 30-year term life insurance of 2000 is issued to (35). You are given n A 1

Chapter 7: Exercises 1. A fully continuous 20-payment years, 30-year term life insurance of 2000 is issued to (35). You are given n A 1 35+n:30 n a 35+n:20 n 0 0.068727 11.395336 10 0.097101 7.351745 25

Διαβάστε περισσότερα

### John Nash. Παύλος Στ. Εφραιµίδης. Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ορισµένα αποτελέσµατα του τα σηµεία ισορροπίας Nash (NE Nash Equilibrium) ύπαρξη σηµείου

Διαβάστε περισσότερα

### ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011

Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι

Διαβάστε περισσότερα

### HISTOGRAMS AND PERCENTILES What is the 25 th percentile of a histogram? What is the 50 th percentile for the cigarette histogram?

HISTOGRAMS AND PERCENTILES What is the 25 th percentile of a histogram? The point on the horizontal axis such that of the area under the histogram lies to the left of that point (and to the right) What

Διαβάστε περισσότερα

### DETERMINANT AND PFAFFIAN OF SUM OF SKEW SYMMETRIC MATRICES. 1. Introduction

Unspecified Journal Volume 00, Number 0, Pages 000 000 S????-????(XX)0000-0 DETERMINANT AND PFAFFIAN OF SUM OF SKEW SYMMETRIC MATRICES TIN-YAU TAM AND MARY CLAIR THOMPSON Abstract. We completely describe

Διαβάστε περισσότερα

### wave energy Superposition of linear plane progressive waves Marine Hydrodynamics Lecture Oblique Plane Waves:

3.0 Marine Hydrodynamics, Fall 004 Lecture 0 Copyriht c 004 MIT - Department of Ocean Enineerin, All rihts reserved. 3.0 - Marine Hydrodynamics Lecture 0 Free-surface waves: wave enery linear superposition,

Διαβάστε περισσότερα

### Ψηφιακή Επεξεργασία Φωνής

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Φωνής Ενότητα 1η: Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος Στυλιανού Ιωάννης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών CS578- Speech Signal Processing Lecture 1: Discrete-Time

Διαβάστε περισσότερα

### MATHEMATICS. 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81

1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81 We know that KA = A If A is n th Order 3AB =3 3 A. B = 27 1 3 = 81 3 2. If A= 2 1 0 0 2 1 then

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ "ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΗΨΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΤΗΡΙΟΥ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟΥ ΥΓΕΙΑΣ "

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ "ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΗΨΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΤΗΡΙΟΥ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

### SOLUTIONS TO PROBLEMS ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA

SOLUTIONS TO PROBLEMS ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA K R MATTHEWS DEPARTMENT OF MATHEMATICS UNIVERSITY OF QUEENSLAND First Printing, 99 CONTENTS PROBLEMS 6 PROBLEMS 4 PROBLEMS 7 8 PROBLEMS 36 3 PROBLEMS 4 45

Διαβάστε περισσότερα

### Lecture 6 Mohr s Circle for Plane Stress

P4 Stress and Strain Dr. A.B. Zavatsk HT08 Lecture 6 Mohr s Circle for Plane Stress Transformation equations for plane stress. Procedure for constructing Mohr s circle. Stresses on an inclined element.

Διαβάστε περισσότερα

### Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο δέχεται ως είσοδο μια ακολουθία S από n (n 40) ακέραιους αριθμούς και επιστρέφει ως έξοδο δύο ακολουθίες από θετικούς ακέραιους

Διαβάστε περισσότερα

### EE101: Resonance in RLC circuits

EE11: Resonance in RLC circuits M. B. Patil mbatil@ee.iitb.ac.in www.ee.iitb.ac.in/~sequel Deartment of Electrical Engineering Indian Institute of Technology Bombay I V R V L V C I = I m = R + jωl + 1/jωC

Διαβάστε περισσότερα

### ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Μελέτη των υλικών των προετοιμασιών σε υφασμάτινο υπόστρωμα, φορητών έργων τέχνης (17ος-20ος αιώνας). Διερεύνηση της χρήσης της τεχνικής της Ηλεκτρονικής Μικροσκοπίας

Διαβάστε περισσότερα

### Calculating the propagation delay of coaxial cable

Your source for quality GNSS Networking Solutions and Design Services! Page 1 of 5 Calculating the propagation delay of coaxial cable The delay of a cable or velocity factor is determined by the dielectric

Διαβάστε περισσότερα

### (1) Describe the process by which mercury atoms become excited in a fluorescent tube (3)

Q1. (a) A fluorescent tube is filled with mercury vapour at low pressure. In order to emit electromagnetic radiation the mercury atoms must first be excited. (i) What is meant by an excited atom? (1) (ii)

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων. Χειμερινό Εξάμηνο Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ. Επερωτήσεις SQL

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ Επερωτήσεις SQL Άσκηση 1 Για το ακόλουθο σχήμα Suppliers(sid, sname, address) Parts(pid, pname,

Διαβάστε περισσότερα

### Study of limit cycles for some non-smooth Liénard systems

3 011 5 ( ) Journal of East China Normal University (Natural Science) No. 3 May 011 Article ID: 1000-5641(011)03-0044-10 Study of limit cycles for some non-smooth Liénard systems YANG Lu, LIU Xia, XING

Διαβάστε περισσότερα

### The kinetic and potential energies as T = 1 2. (m i η2 i k(η i+1 η i ) 2 ). (3) The Hooke s law F = Y ξ, (6) with a discrete analog

Lecture 12: Introduction to Analytical Mechanics of Continuous Systems Lagrangian Density for Continuous Systems The kinetic and potential energies as T = 1 2 i η2 i (1 and V = 1 2 i+1 η i 2, i (2 where

Διαβάστε περισσότερα

### DERIVATION OF OROWAN S LAW FROM THE PEIERLS-NABARRO MODEL. Régis Monneau. Stefania Patrizi

DERIVATION OF OROWAN S LAW FROM THE PEIERLS-NABARRO MODEL Régis Monneau Université Paris-Est, CERMICS, Ecole des Ponts ParisTech, 6-8 avenue Blaise Pascal, Cité Descartes, Champs sur Marne, 77455 Marne

Διαβάστε περισσότερα

### SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS Gerard t Hooft Stefan Nobbenhuis Institute for Theoretical Physics Utrecht University, Leuvenlaan 4 3584 CC Utrecht, the Netherlands and Spinoza Institute Postbox 8.195

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΜΕΝΩΝ ΥΓΡΩΝ ΑΠΟΒΛΗΤΩΝ ΣΕ ΦΥΣΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΛΙΝΗΣ ΚΑΛΑΜΙΩΝ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΜΕΝΩΝ ΥΓΡΩΝ ΑΠΟΒΛΗΤΩΝ ΣΕ ΦΥΣΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΛΙΝΗΣ ΚΑΛΑΜΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΡΜΕΝΑΚΑΣ ΜΑΡΙΝΟΣ ΧΑΝΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

### ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ :ΤΥΠΟΙ ΑΕΡΟΣΥΜΠΙΕΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΡΟΠΟΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΡΙΑ: ΕΥΘΥΜΙΑ ΟΥ ΣΩΣΑΝΝΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΓΟΥΛΟΠΟΥΛΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 1 ΑΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

### HOMOGENIZATION OF NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

HOMOGENIZATION OF NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS A Dissertation Submitted to the Graduate Faculty of the Louisiana State University and Agricultural and Mechanical College in partial fulfillment

Διαβάστε περισσότερα

### Introduction to Time Series Analysis. Lecture 16.

Introduction to Time Series Analysis. Lecture 16. 1. Review: Spectral density 2. Examples 3. Spectral distribution function. 4. Autocovariance generating function and spectral density. 1 Review: Spectral

Διαβάστε περισσότερα

### arxiv: v2 [math.ap] 7 Jun 2016

VALIDITY AND REGULARIZATION OF CLASSICAL HALF-SPACE EQUATIONS QIN LI, JIANFENG LU, AND WEIRAN SUN arxiv:66.3v2 [math.ap] 7 Jun 26 Abstract. Recent result [] has shown that over the 2D unit disk, the classical

Διαβάστε περισσότερα

### Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης. Απόστολος Σ. Παπαγεωργίου

Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης VISCOUSLY DAMPED 1-DOF SYSTEM Μονοβάθμια Συστήματα με Ιξώδη Απόσβεση Equation of Motion (Εξίσωση Κίνησης): Complete

Διαβάστε περισσότερα

### Homomorphism and Cartesian Product on Fuzzy Translation and Fuzzy Multiplication of PS-algebras

Annals of Pure and Applied athematics Vol. 8, No. 1, 2014, 93-104 ISSN: 2279-087X (P), 2279-0888(online) Published on 11 November 2014 www.researchmathsci.org Annals of Homomorphism and Cartesian Product

Διαβάστε περισσότερα

### The Jordan Form of Complex Tridiagonal Matrices

The Jordan Form of Complex Tridiagonal Matrices Ilse Ipsen North Carolina State University ILAS p.1 Goal Complex tridiagonal matrix α 1 β 1. γ T = 1 α 2........ β n 1 γ n 1 α n Jordan decomposition T =

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΒΑΛΕΝΤΙΝΑ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΥ Α.Μ.: 09/061. Υπεύθυνος Καθηγητής: Σάββας Μακρίδης

Α.Τ.Ε.Ι. ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΑΡΓΟΣΤΟΛΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Η διαμόρφωση επικοινωνιακής στρατηγικής (και των τακτικών ενεργειών) για την ενδυνάμωση της εταιρικής

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 8η: Producer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 8η: Producer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Firm Behavior GOAL: Firms choose the maximum possible output (technological

Διαβάστε περισσότερα

### CHAPTER 103 EVEN AND ODD FUNCTIONS AND HALF-RANGE FOURIER SERIES

CHAPTER 3 EVEN AND ODD FUNCTIONS AND HALF-RANGE FOURIER SERIES EXERCISE 364 Page 76. Determie the Fourier series for the fuctio defied by: f(x), x, x, x which is periodic outside of this rage of period.

Διαβάστε περισσότερα

### Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ:ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

### Εργαστήριο Ανάπτυξης Εφαρμογών Βάσεων Δεδομένων. Εξάμηνο 7 ο

Εργαστήριο Ανάπτυξης Εφαρμογών Βάσεων Δεδομένων Εξάμηνο 7 ο Oracle SQL Developer An Oracle Database stores and organizes information. Oracle SQL Developer is a tool for accessing and maintaining the data

Διαβάστε περισσότερα

### Ιστορία νεότερων Μαθηματικών

Ιστορία νεότερων Μαθηματικών Ενότητα 3: Παπασταυρίδης Σταύρος Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Περιγραφή Ενότητας Ιταλοί Αβακιστές. Αλγεβρικός Συμβολισμός. Άλγεβρα στην Γαλλία, Γερμανία, Αγγλία.

Διαβάστε περισσότερα

### Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2)

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2) Ιωάννης Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών NP-Completeness (2) x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 12 22 32 11 13 21

Διαβάστε περισσότερα