Καμπυλόγραμμα Συστήματα Συντεγμένων

Transcript

1 Καμπυλόγραμμα Συστήματα Συντεγμένων Προσδιορίστε την αναπαράσταση των τελεστών και σε ένα καμπυλόγραμμο σύστημα συντεταγμένων. Εξειδικεύστε τα αποτέλεσματά σας στις περιπτώσεις : (α) πολικών συντεταγμένων (β) σφαιρικών συντεταγμένων (γ) κυλινδρικών συντεταγμένων Για να μελετήσουμε ( σε ένα μετρικό χώρο) τη μετάβαση από ένα καρτεσιανό σε ένα καμπυλόγραμμο σύστημα συντεταγμένων ξεκινάμε από μια ποσότητα η οποία δεν αλλάζει αν αλλάξουμε το σύστημα συντεταγμένων : το μήκος του στοιχειώδους ανύσματος ds. Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων το μήκος αυτό καορίζεται από το Πυαγόρειο Θεώρημα : ds ( dx ) + ( dx ) + ( dx ) +... () Στη σχέση αυτή χρησιμοποιήσαμε τον (πολύ βολικό) συμβολισμό x x, y x, z x,... ενώ τα αποσιωπητικά δηλώνουν ότι δεν δουλεύουμε κατ ανάγκη στις διαστάσεις. Ας πούμε τώρα ότι κάνουμε την αλλαγή x x ( q, q, q,...), x x ( q, q, q,...),... () που σημαίνει ότι τα στοιχειώδη μήκη στην () μπορούν να γραφούν Βέβαια, την αλλαγή () τη εωρούμε αντιστρεπτή : dx dq,,,,... () q q ( x, x, x,...), q q ( x, x, x,...),... (4) και επομένως dq dx,,,,... (5) Αντικαιστώντας τη σχ. () στη σχ. () α πάρουμε ( ) (6) k k ds dxkdxk dqdq g q dqdq k, k, 7

2 Η ποσότητα k k g g (7) k λέγεται μετρικός τανυστής και παίζει ρόλο κλειδί στη μετάβαση από το ένα σύστημα συντεταγμένων στο άλλο. Σε ότι ακολουεί α εωρούμε τον μετρικό τανυστή διαγώνιο : g ( q ) 0 όταν. Αυτό, όπως α διαπιστώσουμε, σημαίνει ότι α εωρούμε το νέο σύστημα ορογώνιο όπως και το καρτεσιανό. Με άλλα λόγια α εωρούμε ότι οι οικογένειες επιφανειών q ( x, x, x,...) const.,,,... τέμνονται κάετα μεταξύ τους. Ο περιορισμός αυτός με τη βοήεια της σχ.(7) μεταφράζεται στην k g όπου h δ ( ) h( ) q g q k (8) Μετά από τη σχέση αυτή το στοιχειώδες μήκος (6) γράφεται : ds h dq dq ( h dq ) + ( h dq ) +... (9) Στο αποτέλεσμα αυτό μπορούμε να διαβάσουμε πολλά πράγματα. Το πρώτο είναι ότι οι συνιστώσες του στοιχειώδους ανύσματος ds έχουν μέγεος ds h dq,,... (0) γεγονός που μας επιτρέπει να ονομάσουμε τις συναρτήσεις h παράγοντες βάμισης. Το δεύτερο είναι ότι και στο νέο σύστημα συντεταγμένων μετράμε αποστάσεις όπως και στο καρτεσιανό : Μέσω το Πυαγορείου εωρήματος. Αυτή η διαπίστωση δεν είναι παρά ένας άλλος τρόπος να πούμε ότι το νέο σύστημα είναι, κι αυτό, ένα ορογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Μετά την παραπάνω ανάλυση είναι λογικό να εισάγουμε μια οροκανονική βάση ανυσμάτων του νέου συστήματος μέσω των οποίων να γράψουμε eˆ eˆ δ,,,,,... () ds ( h dq ) eˆ ( h dq ) eˆ... ( h dq ) eˆ + + () 8

3 έτσι ώστε η σχέση (9) να προκύπτει ως άμεση και προφανής συνέπεια. Είναι φανερό ότι έχει ιδιαίτερο πρακτικό ενδιαφέρον να βρούμε τη σχέση ανάμεσα στη βάση () και στην αντίστοιχη βάση του καρτεσιανού συστήματος : xˆ xˆ δ Η σχέση αυτή μπορεί να βρεεί αν συγκρίνουμε την αναπαράσταση του στοιχειώδους ανύσματος ds στα δύο συστήματα συντεταγμένων : Επομένως ds dx xˆ + dx xˆ +... h dq eˆ + h dq eˆ +... xˆ ds dx h dq eˆ xˆ + h dq eˆ xˆ +... h dq eˆ xˆ k k k k k eˆ ds h dq dx xˆ eˆ + dx xˆ eˆ +... dx xˆ eˆ k k k Αν συνδυάσουμε τις παραπάνω σχέσεις με τις σχ. () και (5) α δούμε ότι () (4) k k dx ˆ ˆ ˆ( ) ˆ k h dqe xk dq e q xk γ k h h ˆ ˆ ˆ( ) ˆ dq dxk xk e h dxk e q xk γ k h k k k k (5) Οι ποσότητες eˆ( ) ˆ q xk γ k λέγονται ( για ευνόητους λόγους) συνημίτονα κατεύυνσης και συνδέουν τις δύο βάσεις μεταξύ τους : eˆ γ ( qx ) ˆ, xˆ γ ( qe ) ˆ (6) Ένα πρώτο συμπέρασμα που α μας είναι χρήσιμο είναι τα στοιχείο όγκου στα δύο συστήματα συντεταγμένων. Όπως μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε α είναι : D dv d s ds ds ds... dx dx dx... h dq h dq h dq... (7) Στο ίδιο αποτέλεσμα μπορούμε να καταλήξουμε και μέσω της σχέσης : ( x, x, x,...) dx dx dx... dq dq dq... (8) ( q, q, q,...) Το σύμβολο(: Jacoban) στην προηγούμενη σχέση είναι η ορίζουσα : 9

4 ( x, x, x,...) ( q, q, q,...) (9) Από τις σχέσεις στις οποίες έχουμε καταλήξει μπορούμε να βρούμε τώρα την κλίση (gad) μιας (βαμωτής) συνάρτησης : f k f f f f xˆ ˆ ( ) ˆ ( ) ( ˆ x x γ k γ kx ) h h k k k k k k k k και επομένως f eˆ k f h k k k (0) Η Laplacan βρίσκεται αμέσως από την τελευταία σχέση : eˆ( ) ˆ q e h q h eˆ + eˆ h h, h h () ( Για το τελευταίο βήμα χρησιμοποιήσαμε την ορογωνιότητα () των e ˆ ) Σαν ένα πρώτο παράδειγμα α εφαρμόσουμε τα παραπάνω συμπεράσματα για την περίπτωση πολικών συντεταγμένων : x cos, y sn () Εδώ είμαστε σε δύο διαστάσεις και για βρούμε την αντιστοιχία με τον προηγούμενο συμβολισμό ας γράψουμε q, q. Οι ποσότητες που μας χρειάζονται μπορούν να βρεούν αμέσως : y h + y h, h h + y e x+ y cosx+ sny h y e x+ y snx+ cosy h γ cos, γ sn, γ sn, γ cos () 0

5 Επομένως : cos sn γ + γ h h (4) sn cos γ + γ + y h h eˆ ˆ ˆ ˆ + e e + e h h (5) (6) Για την Laplacan αυτό που χρειάζεται να παρατηρήσουμε είναι ότι και έτσι eˆ ˆ ˆ ˆ e e e 0 eˆ eˆ και ότι eˆ, eˆ (7) + + (8) Το αντίστοιχο παράδειγμα στις διαστάσεις αφορά στις σφαιρικές συντεταγμένες : x cossn, y snsn, z cos ( εδώ q, q, q ) (9) Εύκολα μπορούμε να βρούμε ότι : h y z + +, y z + + h y z h + + sn eˆ ˆ cos sn ˆ sn cos ˆ x x+ y+ coszˆ h eˆ ˆ cos cos ˆ sn cos ˆ x x+ y snzˆ (0) h eˆ xˆ sn ˆ cos ˆ x+ y h γ cossn, γ snsn, γ cos γ coscos, γ sncos, γ sn γ sn, γ cos, γ 0 Κι έτσι : sn γ cossn + coscos h sn

6 cos γ snsn + sncos + y h q sn γ cos sn z h () Η κλίση έχει τη μορφή eˆ ˆ ˆ + e + e sn () Για να βρούμε τη Laplacan α παρατηρήσουμε πρώτα ότι eˆ eˆ eˆ ˆ eˆ, 0, cos eˆ, e 0 και α εφαρμόσουμε τη γενική έκφραση για να πάρουμε : sn + + cot + + () Οι κυλινδρικές συντεταγμένες x cos, y sn, z z είναι προφανώς ισοδύναμο με ένα διδιάστατο σύστημα πολικών συντεταγμένων το οποίο μπορεί να κινηεί στον άξονα z. Η περιγραφή, επομένως, μπορεί να διαβαστεί από τα αποτελέσματα που ήδη βρήκαμε : h h, h h, h h z y e x+ y cosx+ sny h y e x+ y snx+ cosy h eˆ eˆ zˆ z γ cos, γ sn, γ sn, γ cos γ γ 0, γ (4) cos sn γ + γ h h

7 γ + γ sn + cos y h h eˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + e e + e + ez h h z z