Διανύσματα. ! Ο απλούστερος ορισμός διανύσματος είναι ότι μετρά μετατοπίσεις. ! Διανύσματα περιγράφουν μέτρο αλλά και κατεύθυνση

Transcript

1 Επισκόπιση Θα µελετήσουµε την κίνηση σωµάτων και πώς οι αλληλεπιδράσεις τους µε άλλα σώµατα επηρεάζουν τη κίνηση αυτή Η µελέτη αυτή στηρίζεται σε µετρηµένο αριµό εµελιωδών αρχών που συσχετίζουν αιτία και αποτέλεσµα και διέπουν όλους τους τοµείς της φυσικής από τον κόσµο µικρόκοσµο έως το µακρόκοσµο Οι αρχές µε τις οποίες α ασχοληούµε στο µάηµα αυτό είναι: Η αρχή της ορµής Η αρχή της ενέργειας Η αρχή της στροφορµής Με βάση τις αρχές αυτές και τα µοντέλα που περιγράφουν από πως είναι φτιαγµένη η ύλη µπορούµε να κάνουµε διάφορες προβλέψεις για το πως συµπεριφέρεται ο κόσµος γύρω µας Σηµαντικό ωστόσο να χρησιµοποιήσουµε την κατάλληλη γλώσσα για να περιγράψουµε συγκεκριµένα και ακριβώς το τρόπο που εφαρµόνται οι αρχές αυτές Οι προβλέψεις µας για το αποτέλεσµα της αλληλεπίδρασης σωµάτων µεταξύ τους στηρίζονται σε κάποια µεγέη: ποια η έση των σωµάτων, πόσο γρήγορα κινούνται, ποια h κατεύυνση κίνησης

2 Διανύσματα ΦΥΣ Διάλ. 2 2 Ο απλούστερος ορισμός διανύσματος είναι ότι μετρά μετατοπίσεις Διανύσματα περιγράφουν μέτρο αλλά και κατεύυνση Αντίετα, βαμωτά μεγέη περιγράφονται μόνο από το μέτρο τους Περιγραφή της έσης ενός αντικειμένου στο χώρο γίνεται βάσει ενός συστήματος συντεταγμένων Ο " Ένα σημείο για την αρχή μέτρησης " Σύστημα αξόνων που ορίζουν κατευύνσεις στο χώρο " Δεξίοστροφο σύστημα σύστημα " Κανόνες μέτρησης (μονάδες, υποδιαιρέσεις) z Σύνηες σύστημα συντεταγμένων: ορογώνιο ή καρτεσιανό

3 ΦΥΣ Διάλ. 2 3 Α Εύρεση της έσης ενός σώματος r z Ο Η έση σώματος, Α, γίνεται ως προς σημείο αναφοράς: " αρχή του συστήματος συντεταγμένων Χρησιμοποιούμε ένα διάνυσμα (βέλος) η αρχή του οποίου συμπίπτει με την αρχή του συστήματος συντεταγμένων και η άκρη του βέλους συμπίπτει με τη έση του σώματος To διάνυσμα r γράφεται συναρτήσει των συνιστωσών του ή συντεταγμένων του τέλους του: r = r,r,r z " H προηγούμενη σχέση μας λέει ότι αν έλουμε να περιγράψουμε τη έση του σώματος Α α πρέπει να κινηούμε: r μέτρα (m) στη -διεύυνση μέτρα (m) στη -διεύυνση r r z μέτρα (m) στη z-διεύυνση " H προηγούμενη έκφραση ωστόσο δεν μας λέει πόσο μακριά είναι το σώμα Α από το Ο: Μέτρο διανύσματος: r = r 2 + r 2 + r z 2 " Προσοχή: Το διάνυσμα περιγράφεται από 3 συνιστώσες ενώ το μέτρο από ένα νούμερο με κάποιες μονάδες Το μέτρο είναι βαμωτό

4 ΦΥΣ Διάλ. 2 4 Σμίκρυνση Μεγένυση διανύσματος αλλαγή διεύυνσης " Έστω ότι έλουμε να βρούμε ένα διάνυσμα το οποίο είναι παράλληλο προς το αρχικό μας διάνυσμα αλλά διπλάσιου μήκους: " Πολλαπλασιασμός διανύσματος με βαμωτό μέγεος μεγενύνει ή ελαττώνει το διάνυσμα: r = r = r,r,r z = r,r,r z " Έλεγχος του μέτρου του διανύσματος r r = ( r ) 2 + ( r ) 2 + ( r z ) 2 = 2 ( r ) 2 + r ( ) 2 ( ) 2 + r z = ( r ) 2 + ( r ) 2 + ( r z ) 2 = r " Αλλαγή της διεύυνση του διανύσματος r r = r όπου α είναι αρνητικός αριμός " Πολλαπλασιασμός διανύσματος r με βαμωτό μέγεος αλλάζει το μέτρο και τη φορά του διανύσματος αλλά δεν μπορεί να στρέψει το διάνυσμα να αλλάξει δηλαδή την διεύυνσή του. Το διάνυσμα που προκύπτει είναι συγγραμμικό με το αρχικό διάνυσμα

5 ΦΥΣ Διάλ. 2 5 Διανύσματα Ένα διάνυσμα είναι αυτό που είναι, ανεξάρτητα από το πως προσπαούμε να το περιγράψουμε Κάποιος μπορεί να διαλέξει διαφορετικούς r άξονες και να δώσει νέες συντεταγμένες Ως προς τους διακεκομμένους άξονες, οι συντεταγμένες, είναι διαφορετικές από τις, Ορισμός: Μοναδιαία διανύσματα είναι τα διανύσματα χωρίς διαστάσεις (αδιάστατα) με μέτρο ίσο με τη μονάδα r â r â = 1 â â,â,â z = r r, r r, rz r Σκοπός των μοναδιαίων διανυσμάτων είναι να δηλώσουν κατεύυνση

6 Ισότητα διανυσµάτων Δύο διανύσματα είναι ίσα μεταξύ τους όταν έχουν το ίδιο μέτρο και την ίδια κατεύυνση r = w r,r,r z = r = w = w,w,w z r = w r = w r z = w z r = w ˆr = ŵ

7 Πράξεις με διανύσματα: Πρόσεση/αφαίρεση ΦΥΣ Διάλ. 2 7 b + b α α b b α b Συνιστώσες διανυσμάτων: α -b Κάε διάνυσμα μπορεί να αναλυεί σε συνιστώσες προβάλλοντάς το στους άξονες ενός οποιουδήποτε συστήματος συντεταγμένων R = R R = Rcos R R ˆ = Rcosϕ = Rcos π j 2,R = Rsin φ R ˆR = R î + R ĵ Η πρόσεση διανυσμάτων ĵ απλουστεύεται προσέτοντας î τις συνιστώσες τους σε κάε R ˆ i άξονα ξεχωριστά -b α b α Το αποτέλεσµα της αφαίρεσης είναι διάνυσµα σχετικής έσης

8 ΦΥΣ Διάλ. 2 8 Διανύσματα R V ĵ î R V î = 1,0,0 ĵ = 0,1,0 R + V = (R + V )î + (R + V ) ĵ R + V = H κατεύυνση του διανύσματος (( R + V ) 2 + ( R + V ) 2 ) R + V ϕ = rc(tnϕ) = rc Ανάλογες σχέσεις ισχύουν και για 3 διαστάσεις R = R cosφ = Rsin cosϕ R R R z φ φ V R R R R α δίνεται από την γωνία φ ( R + V ) ( R + V ) R = R sinφ = Rsin sinϕ R z = Rcos R = R î + R ĵ + R z ˆk

9 Παράδειγμα/πρόβλημα Να βρεούν οι συντεταγμένες (,) συναρτήσει των (, ) του περιστρεφόμενου συστήματος συντεταγμένων Y Y Y Y X X Κινηείτε μια απόσταση κατά μήκος του -άξονα (η προβολή στο ) # 1 είναι: sin = O 1 O = 1 1 = sin Από το πηγαίνουµε στο V (κίνηση κατά ) # 2 είναι: cos = wv V = 2 2 = cos Το ύψος δεν εξαρτάται από το δρόμο που ακολουήσατε: = = sin + cos X Y Y Y 1 O Y X X X X Y V 2 X w 1 O ( wv OX, V O X ) X

10 Παράδειγμα συνέχεια Πως βρίσκουµε το συναρτήσει των και? Y Κινούµαστε και πάλι στον -άξονα κατά # 1 είναι: cos = O 1 O = 1 1 = cos Κινούµαστε στον Y -άξονα κατά # 1 2 είναι: sin = w = 1 2 Y Y 1 2 = sin Y 1 X X X w 2 1 X Αλλά: = O 2 = O = cos sin Εποµένως καταλήγουµε: = cos sin = sin + cos Θα µπορούσαµε να το γράψουµε και µε τη µορφή: = cos sin sin cos

11 ΦΥΣ Διάλ Διανύσματα: εσωτερικό γινόμενο Εσωτερικό γινόμενο 2 διανυσμάτων α,β ορίζεται σαν b = b cos b b α cos Είναι βαμωτό μέγεος και όχι διάνυσμα Συμβολίζει την προβολή του διανύσματος α στο διάνυσμα β Το εσωτερικό γινόμενο μπορεί να γραφεί συναρτήσει των συνιστωσών των 2 διανυσμάτων ως: b = ( î + ĵ + z ˆk ) b î + b ĵ + b z ˆk ( ) = b î î + b î ĵ + b z î ˆk + b ĵ î + b ĵ ĵ + b z ĵ ˆk + z b ˆk î + z b ˆk ĵ + z b z ˆk ˆk Το εσωτερικό γινόμενο υπακούει στον επιμεριστικό κανόνα b = ( b + b + z b z ) = b αλλά = b + b + z b z ( b + c ) = b + c î ĵ = ĵ ˆk = î ˆk = 0 î î = ĵ ĵ = ˆk ˆk = 1

12 ΦΥΣ Διάλ Διανύσματα: εξωτερικό γινόμενο c Εξωτερικό γινόμενο 2 διανυσμάτων και b είναι ένα διάνυσμα c c = με μέτρο b sinφ όπου φ η γωνία των,b. b φ Η διεύυνση του c είναι κάετη στο επίπεδο των α και b και το μέτρο του ισούται με το εμβαδό του παραλ/μου. Η διεύυνσή του βρίσκεται σύμφωνα με το κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία: Με το δεξί μας χέρι να στρέφεται προς τη διεύυνση φ του διανύσματος προς το b, ο αντίχειρας δηλώνει την διεύυνση του διανύσματος c. α sinφ φ b bsinφ φ b Το εξωτερικό γινόμενο ισούται με το γινόμενο του μέτρου του ενός διανύσματος επί την κάετη συνιστώσα του άλλου διανύσματος ως προς το πρώτο

13 ΦΥΣ Διάλ Διανύσματα: εξωτερικό γινόμενο/ιδιότητες b = b i ˆ ˆ j = k ˆ ˆ j k ˆ = i ˆ ( = 0 b b + c ) = b i ˆ i ˆ = ˆ j ˆ j = + c = ( î + ĵ + z ˆk) (b î + b ĵ + b z ˆk) = î b î + î b ĵ + î b z ˆk b = b + ĵ b î + ĵ b ĵ + ĵ b z ˆk + z ˆk b î + z ˆk b ĵ + z ˆk bz ˆk b = ( b z z b )î b = iˆ b +( b z z b ) ĵ +( b b ) ˆk ˆj kˆ = î z z b b ĵ z + ˆk z b b z b b b b z k ˆ k ˆ = 0 k ˆ i ˆ = ˆ j ( + ˆk )+ b ( z ĵ )+ b ( ˆk )+ b ( z +î )+ z b ( + ĵ ) + z b ( î )

14 ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα = 1 ( ± ) = ± log = = 10 log ± logb = log( b ± 1 ) log( n ) = n log( ) ln = = e ln ± lnb = ln(b ±1 ) ln( n ) = nln() Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου