Physics by Chris Simopoulos

Transcript

1 ΣΥΝΙΣΤΑΜΕΝΗ Παρακάτω α αναέρουμε τον τρόπο που ακουούμε σε κάε άσκηση για να υπογίσουμε τη συνική δύναμη που ενεργεί σε ένα σώμα ή να αναλύσουμε τις διάορες δυνάμεις σε άλλες. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΠΟΥ ΕΝΕΡΓΕΙ ΣΕ ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ. Ανάλυση δύναμης ονομάζουμε την αντικατάσταση μιας δύναμης από δύο ή περισσότερες δυνάμεις οι οποίες προκαλούν το ίδιο αποτέλεσμα με αυτό και πρώτης δύναμης. Γενικά τα προβλήματα της ανάλυσης των δυνάμεων λύνονται με πάρα πλούς τρόπους. Η πιο συνηισμένη περίπτωση ανάλυσης δύναμης είναι αυτή του υπογισμού της συνισταμένης που α αναέραμε παρακάτω. Στην περίπτωση της ανάλυσης διακρίνουμε δύο περιπτώσεις. α) Όταν μας δίνουν τις διευύνσεις των συνιστωσών. β) Όταν δίδεται η μία δύναμη κατά μέτρο, διεύυνση και ορά (χρησιμοποιούμε για την λύση του προβλήματος τον τύπο της συνισταμένης και το νόμο των ημιτόνων). ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΠΟΥ ΕΝΕΡΓΟΥΝ ΣΕ ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ. Σύνεση δύο ή περισσότερων δυνάμεων λέμε την διαδικασία εύρεσης της συνιστάμενης τους. Συνισταμένη δύο ή περισσότερων δυνάμεων λέμε την αντικατάστασή τους από μία δύναμη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα με τις άλλες δυνάμεις (συνιστώσες). Στην σύνεση των δυνάμεων εμανίζονται οι παρακάτω περιπτώσεις: i) Συγγραμικές της ίδιας οράς: Η συνισταμένη δύο δυνάμεων που ενεργούν στο ίδιο σημείο, είναι της ίδιας διεύυνσης και οράς είναι μια δύναμη με το ίδιο σημείο εαρμογής, την ίδια διεύυνση και ορά με τις συνιστώσες και έχει μέτρο ίσο με το άροισμα των μέτρων των συνιστουσών. ii) Συγγραμικές αντιέτου οράς: Η συνισταμένη δύο δυνάμεων που ενεργούν στο ίδιο σημείο, είναι της ίδιας διεύυνσης και αντιέτου οράς είναι μια δύναμη με το ίδιο σημείο εαρμογής, την ίδια διεύυνση με τις συνιστώσες, + ορά την ορά της μεγαλύτερης των δυνάμεων και έχει μέτρο ίσο με την διαορά των μέτρων των συνιστουσών. Εάν οι δυνάμεις είναι περισσότερες από δύο τότε διαλέγουμε αυαίρετα την ετική και αρνητική Phsics b Chris Simopoulos 5 4

2 ορά. Στη περίπτωση αυτή η συνισταμένη είναι μια δύναμη με το ίδιο σημείο εαρμογής και την ίδια διεύυνση με τις συνιστώσες δυνάμεις έχει δε μέτρο ίσο με το αλγεβρικό άροισμα των μέτρων των συνιστουσών και α έχει ετική ορά αν το σημείο του αλγεβρικού αροίσματος είναι ετικό και αρνητική ορά αν ε το σημείο του αλγεβρικού αροίσματος είναι αρνητικό iii) Aν οι δυνάμεις σχηματίζουν ορή γωνία: Η συνισταμένη τους δίνεται από τη διαγώνιου του ορογωνίου το οποίο σχηματίζεται με πλευρές τις δύο δυνάμεις και έχει το ίδιο σημείο εαρμογής με τις συνιστώσες δυνάμεις. Το μέτρο της υπογίζεται από το πυαγόρειο εώρημα + και η διεύυνσή της από την εαπτομένη του ορογωνίου τριγώνου που σχηματίζει η διεύυνση της μίας συνιστώσας με την διεύυνση της άλλης συνιστώσας. ε iv) Αν οι δυνάμεις σχηματίζουν τυχαία γωνία: Αν οι δυνάμεις των σωμάτων του συστήματος δεν έχουν την ίδια διεύυνση χρησιμοποιώ τους πιο κάτω τρόπους για τον υπογισμό της συνισταμένης δύναμης. ος τρόπος: Μέοδος παραλληλογράμμου Η συνισταμένη των δυνάμεων δίνεται από την διαγώνιο του παραλληλογράμμου το οποίο σχηματίζεται με πλευρές τις δύο δυνάμεις και έχει το ίδιο σημείο εαρμογής με τις συνιστώσες. Το μέτρο της συνισταμένης δίνεται από την σχέση + + συν όπου η γωνία που σχηματίζουν μεταξύ τους οι δύο συνιστώσες και. Η διεύυνση της συνισταμένης καορίζεται από τις γωνίες ή ω τις οποίες σχηματίζουν η διεύυνση της συνισταμένης με τις διευύνσεις των συνιστουσών και. Οι γωνίες αυτές υπογίζονται με εαρμογή του εωρήματος των ημιτόνων στο τρίγωνο ΟΑΒ δηλαδή ή από τη γνωστή σχέση διότι ημω ημ ημ ημω ημ ημ. ημ ε +. συν Phsics b Chris Simopoulos ω A B

3 ος τρόπος: Μέοδος συνημίτονων Σχεδιάζω τα ανύσματα και προσέτω αυτά διανυσματικά ανά δύο ώστε να σχηματίζεται πάντοτε ένα τρίγωνο. Για παράδειγμα έστω δύο ανύσματα v και v που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία. Σχεδιάζοντας με βάση το άροισμα ανυσμάτων το τρίγωνο έχω την σχέση r r r + + συν Προσοχή στο σχεδιασμό του διανυσματικού αροίσματος πρέπει να καορίζω πάντα το σημείο που αρχίζω τον σχεδιασμό (α σημειώνεται με αστερίσκο*) και το σημείο που σταματώ. Η διεύυνση της oλ με ένα από τα διανύσματα των δυνάμεων ή καορίζεται από το νόμο των ημιτόνων ως εξής: ος τρόπος: Μέοδος ανάλυσης σε άξονες ημω ημ ημ Αναλύω τα διανύσματα όλων των δυνάμεων που δίνονται σε δύο άξονες ένα οριζόντιο και ένα κατακόρυο (ή γενικά ένα κατά τη διεύυνση των περισσοτέρων ανυσμάτων και ένα κάετο σ αυτά). Οι συνιστώσες των δυνάμεων υπογίζονται εύκα τριγωνομετρικά από τα ορογώνια τρίγωνα που προκύπτουν με βάση το ημίτονο και το συνημίτονο των γωνιών που δείχνουν τις διευύνσεις των δυνάμεων.. συν και. ημ Στη συνέχεια συνέτω τις δυνάμεις που βρίσκονται στον ίδιο άξονα αλγεβρικά και υπογίζω την συνισταμένη δύναμη σε κάε άξονα χωριστά + και Εάν το αποτέλεσμα είναι ετικό οι συνιστώσες δυνάμεις και έχουν αντίστοιχα ορά προς τα δεξιά και προς τα πάνω ενώ αν είναι αρνητικό έχουν αντίστοιχα ορά προς τα αριστερά και προς τα κάτω. Τέλος με βάση το πυαγόρειο εώρημα υπογίζω την συνισταμένη δύναμη. + και η διεύυνση καορίζεται από την εαπτομένη ε Phsics b Chris Simopoulos ω A B

4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο Στα παρακάτω σχήμα τα αίνεται η δράση τριών δυνάμεων σε ένα υλικό σημείο. Να υπογίσετε τη συνισταμένη των ομοεπίπε δων δυνάμεων, που έχουν μέτρα (α) 00 Νt, 60 Νt, 0 Νt. Δίνονται συν 0,6 ημ0,8. ΛΥΣΗ Επειδή οι δυνάμεις βρίσκονται τοποετημένες στο ορογώνιο σύστημα αξόνων εαρμόζουμε απευείας μέοδο αξόνων Με βάση το πυαγόρειο εώρημα υπογίζω την συνισταμένη δύναμη και η διεύυνση καορίζεται από την εαπτομένη ε 60 ε ε 80 4 β) Επειδή οι δυνάμεις βρίσκονται τοποετημένες στο ορογώνιο σύστημα αξόνων εαρμόζουμε απευείας μέοδο αξόνων. Αναλύουμε τη δύναμη σε συνιστώσες και τις υπογίζουμε από τις σχέσεις ημιτόνου και συνημιτόνου. ημϕ συνϕ 0,8 00 0, Οπότε η συνισταμένη δύναμη σε κάε άξονα είναι ίση με (β) Phsics b Chris Simopoulos (γ) 0.000

5 80 Με βάση το πυαγόρειο εώρημα υπογίζω την συνισταμένη δύναμη και η διεύυνση καορίζεται από την εαπτομένη ε 80 ε ε 0,8 00 γ) Επειδή οι δυνάμεις βρίσκονται τοποετημένες στο ορογώνιο σύστημα αξόνων εαρμόζουμε απευείας μέοδο αξόνων. Αναλύουμε τη δύναμη σε συνιστώσες και τις υπογίζουμε από τις σχέσεις ημιτόνου και συνημιτόνου. ημϕ συνϕ 0,8 00 0, Οπότε η συνισταμένη δύναμη σε κάε άξονα είναι ίση με Οπότε -60 και η διεύυνση της είναι κατακόρυη. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο Τρεις ομοεπίπεδες δυνάμεις,, και που έχουν μέτρα 0 και Ν έχουν εαρμοστεί στο ίδιο υλικό σημείο. Να υπογίσετε τη συνισταμένη τους εαρμόζοντας τη μέοδο αξόνων. Δίνονται ημ 0 και συν 0. ΛΥΣΗ Αναλύω τα διανύσματα όλων των δυνάμεων που δίνονται σε δύο άξονες ένα οριζόντιο και ένα κατακόρυο και υπογίζω τις συνιστώσες τους από τα ορογώνια τρίγωνα που δημιουργούνται με βάση τις τριγωνομετρικές σχέσεις. 0 ημ 0 0 Phsics b Chris Simopoulos

6 0 συν 0 0 ημ 0 0 συν Στη συνέχεια συνέτω τις δυνάμεις που βρίσκονται στον ίδιο άξονα αλγεβρικά και υπογίζω την συνισταμένη δύναμη σε κάε άξονα χωριστά Επομένως η συνισταμένη των τριών δυνάμεων είναι ίση με 8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο Να αναλύσετε μια δύναμη με μέτρο 0 σε δύο συνιστώσες και έτσι ώστε η διεύυνση της να σχηματίζει με την διεύυνση της γωνία 0 και η δύναμη να έχει μέτρο ίσο με 0. Phsics b Chris Simopoulos

7 ΛΥΣΗ Η ανάλυση μιας δύναμης βασίζεται γενικά στη γεωμετρία. Για το λόγο αυτό ελάχιστα α τη χρησιμοποιήσουμε στη υσική. Γενικά βασιζόμαστε στη κατασκευή τριγώνων. Σχεδιάζουμε πρώτα τη δύναμη. Στη συνέχεια έρνουμε μια ημιευεία που σχηματίζει με την δύναμη γωνία 0 0. Στη συνέχεια με τη χρήση του διαβήτη και με άνοιγμα ίσο με 0 έρνω την δύναμη ως εξής. Τοποετώ την ακίδα του διαβήτη στο τέλος της δύναμης και χαράσσω το σημείο που τέμνει την ημιευεία. Το τμήμα της ημιευείας από την αρχή της δύναμης μέχρι το σημείο τομής που βρήκαμε δηλώνει την δύναμη. Τέλος μεταέρω τη δύναμη στο σημείο εαρμογής της δύναμης και σχηματίζω το παραλληλόγραμμο. Τα μέτρα των άγνωστων δυνάμεων και των διευύνσεων τους τα υπογίζουμε από τις σχέσεις της μεόδου του παραλληλογράμμου. 0 ( ημϕ ημ +... συν 0 + ημ συν ) συν ημ 0 0, συν συν 00 () 0 ημ 0 ημ συν 0 ημ Οπότε η σχέση () γράεται () συν Phsics b Chris Simopoulos 0