Η κατανόηση και ο χειρισµός ποσοτικών ή µορφολογικών αλλαγών, εντός του πεδίου βαρύτητας, µπορούν να αντιµετωπιστούν συνδυάζοντας έννοιες

Transcript

1 Τοµέας Τοπογραίας, Εργ. Ανώτερης Γεωδαισίας Εισαγωγή στο γήινο πεδίο βαρύτητας (Αρχές της Φυσικής Γεωδαισίας) ιδάσκοντες ηµήτρης εηκαράογου 7ο εξάµηνο, Ακαδ. Έτος Οι µετρήσεις των µεγεών που συνδέονται µε το πεδίο βαρύτητας Εκτεούνται κατά κανόνα πάνω (η κοντά) στη υσική γήινη επιάνεια το υσικό σύνορο στο οποίο επιζητούνται ύσεις των προβηµάτων της Φυσικής Γεωδαισίας. Σε αρκετές επιστηµονικές προσεγγίσεις στη Φυσική Γεωδαισία εξετάζονται µεγέη που εξαρτώνται από προσανατοισµούς και κατευύνσεις, όπως π.χ. η διεύυνση της κατακορύου, η καµπυότητα των δυναµικών και ισοδυναµικών γραµµών, η ααγής της κίνησης υπό την επίδραση βαρυτικών δυνάµεων κ.ά. Κίνηση χωρίς βαρύτητα Κίνηση µε βαρύτητα Κίνηση χωρίς βαρύτητα Κίνηση µε βαρύτητα Οι ανάγκες για να εκραστούν αναυτικά το µήκος και η διεύυνση των ευυγράµµων τµηµάτων στο χώρο σχετίζονται άµεσα µε έννοιες από τον διανυσµατικό και οοκηρωµατικό ογισµό, όπως τα βαµωτά και διανυσµατικά πεδία και οι τεεστές που ενεργούν σε αυτά, τα καρτεσιανά και άα ισότιµα συστήµατα συντεταγµένων, Η κατανόηση και ο χειρισµός ποσοτικών ή µοροογικών ααγών, εντός του πεδίου βαρύτητας, µπορούν να αντιµετωπιστούν συνδυάζοντας έννοιες και µεόδους του ιαορικού και Οοκηρωτικού Λογισµού µε τις αντίστοιχες προσανατοιστικές συνήκες και επιδράσεις εωρητική και µεοδοογική αντιµετώπιση µέσω µαηµατικών εργαείων του διανυσµατικού ογισµού, Χρήση συντεταγµένων Συντεταγµένες - Είναι αριµοί που προσδιορίζουν κατά µοναδικό τρόπο, µέσω ενός συστήµατος αναοράς, κάε σηµείο στο χώρο µε µια διαδοχική σειρά αριµών Για να προσδιοριστούν χρειάζεται ένα σηµείο αναοράς, και τόσα διανύσµατα όσα και οι διαστάσεις του χώρου ενδιαέροντος που περιγράεται, υπό την προϋπόεση ότι δεν έχουν ανά δύο την ίδια διεύυνση Ένα σύστηµα µε άξονες (γραµµές συντεταγµένων) κάετους µεταξύ τους ονοµάζεται ορογώνιο, αιώς ονοµάζεται παγιογώνιο Στη γεωµετρία, οι καµπυόγραµµες (cuvilinea coodinates) είναι ένα σύστηµα συντεταγµένων για τον Ευκείδειο χώρο στον οποίο οι γραµµές των συντεταγµένων µπορεί να είναι καµπύες. Σχεδιάστηκαν και πήραν την ονοµασία τους από τον γαικό µαηµατικό Gabiel Lamé ( ) κατά τη µεέτη κειστών καµπύων γνωστές ως υπερεείψεις (supeellipses) Καρτεσιανές και καµπυόγραµµες Στη Φυσική Γεωδαισία, χρησιµοποιούµε και διάορα είδη καµπυόγραµµων συντεταγµένων που συνδέονται άµεσα µε τις καρτεσιανές Σαιρικές (π.χ. για τη σαιρική προσέγγιση του πεδίου βαρύτητας) Κυινδρικές (π.χ. για τις αναγωγές των µετρήσεων της βαρύτητας κατά το ύψος πάνω από την επιάνεια αναοράς) Εειψοειδείς (π.χ. για τη ανάπτυξη µοντέων βαρύτητας, τη γεωµετρία του κανονικού εειψοειδούς)

2 Ο κύριος ρόος των διαόρων ειδών µη καρτεσιανών (καµπυόγραµµων) συντεταγµένων στη Φυσική είναι η ανάυση υσικών προβηµάτων, τα οποία µοντεοποιούνται µέσα από διαορικές εξισώσεις. Ειδικότερα στη Φυσική Γεωδαισία, χρησιµοποιούνται διάορα κατάηα, κατά περίπτωση, συστήµατα καµπυόγραµµων συντεταγµένων που προκύπτουν από τη χρήση καρτεσιανών συντεταγµένων συστηµάτων αναοράς και σχετίζονται τόσο µε το σχήµα, όσο και µε το πεδίο βαρύτητας της Γης (τα οποία συνδέονται και µεταξύ τους), και µπορούν µε γραµµικούς συνδυασµούς να καορίσουν διάορα στοιχεία του πεδίου στο χώρο (q, q, q ) (q, q, q ) (q, q, q ) J - J q q (,, ) q q (,, ) q q (,, ) Αν η έση ενός σηµείου P στον τρισδιάστατο Ευκείδειο χώρο µπορεί να καορισεί µε ορογώνιες καρτεσιανές (,, ) τα δύο συστήµατα συντεταγµένων συνδέονται µε τρεις (συνεχώς διαορίσιµες) εξισώσεις µετασχηµατισµού η έση του P µπορεί επίσης να καοριστεί µε καµπυόγραµµες (q, q, q ) Ιακωβιανή ορίζουσα µετασχηµατισµού: καρτεσιανές καµπυόγραµµες (q, q, q ) (q, q, q ) (q, q, q ) J - J,, ) J q, q, q) q q (,, ) q q (,, ) q q (,, ) (q, q, q ) (q, q, q ) (q, q, q ) J - J q q (,, ) q q (,, ) q q (,, ) Η ιακωβιανή του µετασχηµατισµού, J, και η αντίστροή της, είναι µια ορίζουσα ( ), η οποία είναι (τοπικά) διάορη του µηδενός, ώστε να είναι αντιστρεπτές οι εξισώσεις µετασχηµατισµού. Το σύστηµα συντεταγµένων q, q, q παραµένει καρτεσιανό, (όµως είναι γενικά παγιογώνιο και όχι ορογώνιο), αν και µόνο αν οι εξισώσεις µετασχηµατισµού είναι γραµµικές. Στοιχεία ορισµού ενός συστήµατος καµπυόγραµµων συντεταγµένων Αυτά ορίζονται µε τρία γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα e, e, e που αντιπροσωπεύουν τρεις διαορετικές µεταξύ τους διευύνσεις στο χώρο. Το σύνοο τουςβ{e, e, e } έγεται ότι είναι µια βάση του τρισδιάστατου χώρου και τα διανύσµατα e, e, e συνήως επιέγονται να είναι µοναδιαία. Τρία βασικά(µοναδιαία) διανύσµατα- Βάση Αν αυτά είναι ορογώνια η βάση χαρακτηρίζεται ωςοροκανονική Συντεεστές κίµακας Για να µεετήσουµε ( σε ένα µετρικό χώρο) τη µετάβαση από ένα καρτεσιανό σε ένα καµπυόγραµµο σύστηµα συντεταγµένων απαιτούνται Απειροστές ποσότητες (ή διαορικά µεγέη) αορούν απειροστά διανυσµατικά στοιχεία που συνδέουν διπανά σηµεία στο χώρο Στοιχειώδες διάνυσµα, d Στοιχειώδες µήκος, ds ή dl Στοιχειώδης όγκος, dv Μετασχηµατισµός οοκηρωµάτων µε την ααγή συντεταγµένων καρτεσιανές και καµπυόγραµµες Οι γνώριµες γνώριµες καρτεσιανές Οείουν το όνοµά τους στον Καρτέσιο (Descates) που τις εισήγαγε Οι καρτεσιανές καορίζονται από τρεις αµοιβαία κάετες οικογένειες επιπέδων: σταερό, σταερό και σταερό Τα οροµοναδιαία διανύσµατα έχουν διεύυνση κατά τη ετική ορά των αξόνων, και αντίστοιχα και επιπέον είναι σταερά (δηαδή οι παράγωγοι τους ως προς οποιαδήποτε καρτεσιανή µεταβητή ισούται µε µηδέν)

3 Συνοπτικά: οι καρτεσιανές < <, < <, < < Η βάση τους (τα µοναδιαία i k j διανύσµατα που u αντιπροσωπεύουν τις τρεις βασικές διευύνσεις στο χώρο) συµβοίζεται µε { i, j, k } ή {e, e, e } ή συχνά {, ˆ, ˆ ˆ} u(u,u,u ) u i+u j+u k u e +u e +u e Τα τρία βασικά (µοναδιαία) διανύσµατα είναι ορογώνια η βάση είναι οροκανονική (e i e j δ ij ) ιαορετικοί συµβοισµοί που απαντώνται στη βιβιογραία καρτεσιανές Κυινδρικές Σαιρικές ρ Συντ/νες Διανύσµατα βάσης i ˆ ˆ ˆ ρ ˆ ˆ j ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Συντε. κίµακας ρ συνήως στη γεωδαισία sin sin sin Άξονες συντεταγµένων και επιάνειες P( p, p, p ) p p p Συντεταγµένη επιάνεια S p : {(,,) S p, για p Συντεταγµένη επιάνεια S p : {(,,) S p, για p Συντεταγµένη επιάνεια S p : {(,,) S p, για p Στο γνώριµο καρτεσιανό σύστηµα Στη Φυσική και στη Γεωδαισία είναι ποές ορές χρήσιµο να παραστήσουµε µαηµατικά τη έση, ταχύτητα και επιτάχυνση ενός σώµατος που κινείται σε τρεις διαστάσεις µε τα διανύσµατα: όπως µπορεί εύκοα να δειχεί παραγωγίζοντας τις συνιστώσες του διανύσµατος έσης Εν γένει, κατά την παραγώγιση διανυσµάτων ενδέχεται να χρειαστεί να παραγωγίσουµε και µερικά από τα µοναδιαία διανύσµατα. Αυτό εξαρτάται πάντα από τον τρόπο µε τον οποίο ορίζονται τα διανύσµατα αυτά. Συντεταγµένες καµπύες και επιάνειες Εάν οι καρτεσιανές (,,) ενός σηµείου µπορούν να εκραστούν ως συνάρτηση τριών νέων µεταβητών (q, q, q) τέτοιων ώστε αυτές να προκύπτουν από τις ακόουες τρεις συνεχώς διαορίσιµες εξισώσεις µετασχηµατισµού που δίνονται από αµιµονοσήµαντες σχέσεις της µορής f(q, q, q ), g(q, q, q ), h(q, q, q ) q q (,, ), q q (,, ), q q (,, ), τότε οι µεταβητές (q, q, q ) αποκαούνται καµπυόγραµµες (cuvilinea coodinates). Συντεταγµένες καµπύες Αν, για ένα σηµείο (q,q,q ), διατηρηούν σταερές οι q και q και µεταβηεί µόνο η q, το σηµείο διαγράει µια συντεταγµένη καµπύη q (από το ) παρόµοια ορίζονται καµπύες q και q από κάε σηµείο επιάνειες Αν διατηρηεί σταερή µόνο η q και µεταβηούν οι q και q, το σηµείο P γράει αντίστοιχα µια δισδιάστατη επιάνεια, η οποία καείται συντεταγµένη επιάνεια q. Όµοια ορίζονται οι επιάνειες q και q Γενικευµένα συστήµατα συντεταγµένων Ορίζονται από τρεις οικογένειες επιανειών που δεν είναι µεταξύ τους παράηες ή επίπεδες και περιγράονται συναρτήσει των ορογώνιων συντεταγµένων από εξισώσεις της µορής: q (,, ) σταερό, Συντεταγµένεςεπιάνειες, q (,, ) σταερό, και q (,, ) σταερό. Συντεταγµένες καµπύες Η ονοµασία καµπυόγραµµες (cuvilinea) οείεται στο γεγονός ότι κάε σηµείο µπορεί να εωρηεί ως τοµή τριών επιανειών q c, q c, q c, όπου c, c, c είναι σταερές, και κάε ζεύγος των εν όγω επιανειών τέµνεται σε µια καµπύη. Συντεταγµένες επιάνειες, και Συντεταγµένες καµπύες

4 Συνήως οι καµπυόγραµµες επιάνειες επιέγονται ώστε να αηοτέµνονται κατά ορές γωνίες, και για το όγο ένα τέτοιο σύστηµα καµπυόγραµµων συντεταγµένων αποκαείται ορογώνιο καµπυόγραµµες ορογώνιες (othogonal cuvilinea coodinates). Οι άξονες συντεταγµένων,, προσδιορίζονται από τις εαπτοµένες στις καµπύες συντεταγµένων στην τοµή τριών επιανειών. εν είναι γενικά σταερές κατευύνσεις στο χώρο, πράγµα που συµβαίνει στην περίπτωση απών καρτεσιανών συντεταγµένων, έτσι δεν υπάρχει γενικά καµία υσική καοική βάση για καµπυόγραµµες. Καµπυόγραµµες ορογώνιες Γνώριµο παράδειγµα ορογώνιου καµπυόγραµµου συστήµατος είναι οι σαιρικές q ή ρ q q ή Στη γεωδαισία συνήως χρησιµοποιούµε τις µεταβητές {,,} Σαιρικές Από την τοµή µιας σαίρας (q c ) ακτίνας ενός κώνου (q c ) µε την κορυή του στην αρχή των αξόνων Ο ενός επιπέδου (q c ) κάετου στο επίπεδο των αξόνων, και υπό γωνία (ή ) µε τον άξονα Ο. καµπύη συντ/νων c c O e καµπύη συντ/νων καµπύη συντ/νων c e e Στο ένα καρτεσιανό σύστηµα, τα βασικά διανύσµατα βάσης µπορούν να προέρχονται από την παράγωγο της έσης του σηµείου σε σχέση µε την εκάστοτε τοπική συντεταγµένη: Η εαρµογή των ίδιων παραγώγων στο καµπυόγραµµο σύστηµα, τοπικά σε ένα σηµείο, ορίζει τα υσικά διανύσµατα βάσης h: Μια τέτοια βάση, των οποίων τα διανύσµατα µεταβάουν την κατεύυνση ή / και το µέγεος τους από σηµείο σε σηµείο, ονοµάζεται τοπική βάση. Μοναδιαία διανύσµατα σε καµπυόγραµµες Ταδύο σύνοα συµπίπτουν µόνοεάντο σύστηµα των καµπυόγραµµών συντ/νων είναι ορογώνιο Ταe, e, e που είναι εαπτόµενα στις καµπύες των συντεταγµένων, και ταe, e, e που είναι κάετα στις επιάνειες των συντεταγµένων Εαπτόµενα διανύσµατα στις καµπύες Μοναδιαία διανύσµατα σε καµπυόγραµµες h, h, h : συντεεστές κίµακας ή βαµωτοί συντεεστές Μοναδιαία διανύσµατα σε καµπυόγραµµες ρ e m ρ h q e, m,, m m m ιαορικά µεγέη σε καµπυόγραµµες ιάνυσµα έσης ενός σηµείου i + j + k f(q,q,q ) i + g(q,q,q ) j + h(q,q,q ) k Στοιχειώδες διάνυσµα d??? Στοιχειώδες µήκος τόξου ds??? Στοιχειώδης όγκος dv???

5 Στοιχειώδες διάνυσµα ιαορικά µεγέη σε καµπυόγραµµες Στοιχειώδες µήκος, d h dq e dq + + h dq dq + e + h dq ds d d h dq + h dq + h R' dq e dq Στοιχείο όγκου,, ) dv hh h dqdq dq dqdq dq q, q, q) Μετασχηµατισµός οοκηρωµάτων,, ) F(,, ) d d d G( q, q, q) dqdq dq q, q, q ) R d i d j Στοιχεία µήκους ds, επιάνειας da, dα, dα, όγκου dv σε καρτεσιανές ds d k ds[ d +d +d ]/ da dd, da dd, da dd dvd d d d d da dd i da dd k da dd j d d d dv Το µήκος µιας καµπύης σε καρτεσιανές Εν γένει, µπορεί να υποογισεί µέσω ενός οοκηρώµατος αν παραµετροποιήσουµε την καµπύη αυτή µε µία αυαίρετη παράµετρο. Συγκεκριµένα, αν υποέσουµε ότι οι (σε δύο διαστάσεις) κάε σηµείου µιας καµπύης είναι συναρτήσεις της παραµέτρου και ότι κάε σηµείο αντιστοιχεί σε µία συγκεκριµένη τιµή της παραµέτρου το µήκος µεταξύ δύο σηµείων Α και Β της καµπύης Σαιρικές Η έση ενός σηµείου προσδιορίζεται από τρεις : την ακτινική απόσταση του σηµείου από ένα σταερό σηµείο αναοράς (το κέντρο τον αξόνων Ο), την ποική γωνία που µετράται από τη σταερή κατεύυνση του ζενί (άξονας ), και Τη γωνία της προβοής του σηµείου στο επίπεδο, από κάποια σταερή κατεύυνση στο επίπεδο (άξονας ) Σαιρικές Προσοχή στους διαορετικούς συµβοισµούς που χρησιµοποιούνται στη βιβιογραία, π.χ. στα Μαηµατικά (αριστερά) (,,) και στη Γεωδαισία (δεξιά) (,,) Τα διανύσµατα βάσης στις σαιρικές 0, 0 < < π, 0 < ή < π Η βάση του είναι {e, e, e } ή {e, e, e } το ακτινικό e, το µεσηµβρινό e και το αζιµουιακό e (ή e ) διάνυσµα αντίστοιχα u(u,u,u ) u e + u e + u e Καρτεσιανές Σαιρικές Συντεταγµένες ιανύσµατα βάσης Υπενύµιση: στη Γεωδαισία χρησιµοποιούµε (γεωδαιτικό µήκος) αντί του Συνήως χρησιµοποιούµε αντί για e,e,e ˆ, ˆ, ˆ Στοιχεία µήκους τόξου ds, επιάνειας da, όγκου dv σε σαιρικές ds (κ.ακµή ) + (κ.ακµή ) + (κ.ακµή ) ds +ds +ds d ds [d + d + ( sin) d ] / ds sin d d Στοιχεία µήκους τόξου ds, επιάνειας da, όγκου dv σε σαιρικές da d ( d) da ( d)( sin) d da d ( sin) d d dv sinddd ds sin d d

6 Κυινδρικές 0 ή ρ < +, 0 < ή < π, - < < + Προσοχή στους διαορετικούς συµβοισµούς που χρησιµοποιούνται στα Μαηµατικά (αριστερά) (ρ,,) ή (,,) και στη Γεωδαισία (δεξιά) (ρ,,) ή (,,) e ρ ρ e ρ ρ u e ρ Κυινδρικές Ορίζονται ως η τοµή τριών συντεταγµένων επιανειών q ή ρ: κυίνδρου µε βάση ακτίνας ή ρ q ή ή : επιπέδου κάετου στο επίπεδο που σχηµατίζει γωνία ή µε τον άξονα Ο q : επιπέδου κάετου στο άξονα του κυίνδρου στο ή ή ή Κυινδρικές Η βάση του είναι {e, e, e } ή {e ρ, e, e } το ακτινικό e (ή e ρ ), το αζιµουιακό e (ή e ) και το αξονικό e διάνυσµα αντίστοιχα u(u,u,u ) u e + u e + u e ή u ρ e ρ + u e + u e u(u,u,u ) u e + u e + u e ή u O u ρ e ρ + u e + u e Στοιχεία µήκους τόξου ds, επιάνειας da, όγκου dv σε κυινδρικές ds d + d +d da top d ( d) Καρτεσιανές Κυινδρικές Συντεταγµένες ds d da τοίχωµα dd d d ιανύσµατα βάσης Υπενύµιση: στη Γεωδαισία χρησιµοποιούµε {,, } ή {ρ,, } Καρτεσιανές Κυινδρικές dv ddd Καρτεσιανές Σαιρικές Καρτεσιανές Σαιρικές

7 Έστω ότι επιζητούµε τη ύση για τον υποογισµό του όγκου σαίρας µε ακτίνα m Εξίσωση της σαίρας: + + Πρέπει να καορίσουµε την περιοχή οοκήρωσης κατά, και και να υποογίσουµε το οοκήρωµα Όσον αορά τις, και, η περιοχή οοκήρωσης είναι σχετικά πούποκη. Όσον αορά τις, και, η περιοχή οοκήρωσης είναι σχετικά πούποκη. Αν προσπαήσουµε να υποογίσουµε το οοκήρωµα α δούµε σύντοµα ότι ο υποογισµός του καίσταται µάον περίποκος Αν προσπαήσουµε να υποογίσουµε το οοκήρωµα α δούµε σύντοµα ότι ο υποογισµός του καίσταται µάον περίποκος Μέσω ενός µετασχηµατισµού συντεταγµένων

8 Μέσω ενός µετασχηµατισµού συντεταγµένων Ο τεικά ζητούµενος όγκος της σαίρας υποογίζεται ως Πόσο ευκοότερο α ήταν αν είχαµε χρησιµοποιήσει σαιρικές από την αρχή. Σε αυτή την περίπτωση, η περιοχή οοκήρωσης είναι πού πιο εύκοο να προσδιοριστεί Η µόνη δυσκοία είναι να καορίσουµε πως τα d, d, d α εκραστούν µε όρους σαιρικών συντεταγµένων, δη. ως d, d, d d Βασικές έννοιες της Άγεβρας ιανυσµάτων Τεεστές που υποδηώνουν πραγµατοποίηση πράξεων παραγώγισης ή µετασχηµατισµού βαµωτών και διανυσµατικών µεγεών ιανυσµατικά και βαµωτά µεγέη πεδία Χρήση τεεστών για το χαρακτηρισµό του γήινου πεδίου βαρύτητας