ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ ΑΓΩΓΗ () Νυμφοδώρα Παπασιώπη Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -

2 . Αγωγή (). ΑΓΩΓΗ. Γενική εξίσωση ενέργειας για την αγωγή.. Εξίσωση αγωγής ερμότητας σε επίπεδο τοίχωμα.. Εξίσωση αγωγής ερμότητας σε κύινδρο μεγάου μήκους..3 Εξίσωση αγωγής ερμότητας σε σφαίρα..4 Εξισώσεις μονοδιάστατης αγωγής (ανακεφααίωση). Οριακέςκαιαρχικέςσυνήκεςγιατιςεξισώσειςαγωγής.3 Μονοδιάστατη αγωγή σε μόνιμη κατάσταση χωρίς παραγωγή ερμότητας.3. Επίπεδο τοίχωμα.3. Κυινδρικό τοίχωμα.3.3 Σφαιρικό τοίχωμα.4 Μεταβαόμενη αγωγιμότητα Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -

3 . Αγωγή (). Γενική εξίσωση ενέργειας για την αγωγή Η ροή ερμότητας έχει κατεύυνση, είναι δη. διανυσματικό μέγεος q & Η ερμοκρασία είναι βαμωτό μέγεος Η κίση της ερμοκρασίας (μεταβοή στο χώρο) είναι διάνυσμα n d dn n : κατεύυνση μεταβοής της ερμοκρασίας και κατεύυνση της ροής ερμότητας Το σύνοο των σημείων που έχουν την ίδια ερμοκρασία καορίζουν μία ισοερμοκρασιακή επιφάνεια Η ροή ερμότητας και η κίση της ερμοκρασίας είναι διανύσματα κάετα στις ισοερμοκρασιακές επιφάνειες Νόμος Fuie q & n Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -3 n A n d dn

4 . Αγωγή (). Γενική εξίσωση ενέργειας για την αγωγή Σε σύστημα ορογώνιων συντεταγμένων (καρτεσιανό σύστημα) Γενικό ισοζύγιο ενέργειας για αγωγή στον όγκο εέγχου y y z z ρc p t Θερμότητα που εξέρχεται από τον όγκο εέγχου -ερμότητα που εισέρχεται Ρυμός παραγωγής ερμότητας στο εσωτερικό του όγκου εέγχου Ρυμός μεταβοής ενεργειακού περιεχομένου στον όγκο εέγχου Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -4

5 Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -5. Γενική εξίσωση ενέργειας για την αγωγή Γενικό ισοζύγιο ενέργειας για αγωγή στον όγκο εέγχου Σε σύστημα ορογώνιων συντεταγμένων (καρτεσιανό σύστημα) t C q z q y q q p z y ρ & & & & t C q z z y y p z y ρ & Για σταερό και α/(ρc p ) t q z y α &. Αγωγή ()

6 Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -6. Γενική εξίσωση ενέργειας για την αγωγή Σε σύστημα ορογώνιων συντεταγμένων (καρτεσιανό σύστημα) t q z y α & Ειδικές περιπτώσεις Εξίσωση Fuie t z y α Εξίσωση Pissn 0 q z y & Εξίσωση Laplace 0 z y. Αγωγή ()

7 Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -7. Γενική εξίσωση ενέργειας για την αγωγή Τεεστής Laplace σε ορογώνιες, κυινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες t q z y α & t q α & z y z φ sin sin sin φ ψ ψ ψ ψ ψ. Αγωγή ()

8 . Αγωγή ().. Εξίσωσηαγωγήςερμότηταςσεεπίπεδοτοίχωμα (Μονοδιάστατη αγωγή σε ορογωνικές συντεταγμένες) Μονοδιάστατη αγωγή Μεταβητή αγωγιμότητα ρc p t Μονοδιάστατη αγωγή Σταερή αγωγιμότητα α t 0 0 Πουδιάστατη αγωγή Σταερή αγωγιμότητα y z α t Μονοδιάστατη αγωγή Σταερή αγωγιμότητα Χωρίς παραγωγή ερμότητας Μόνιμη κατάσταση α d 0 d t Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -8

9 . Αγωγή ().. Εξίσωσηαγωγήςερμότηταςσεκύινδρομεγάου μήκους (Μονοδιάστατη αγωγή σε κυινδρικές συντεταγμένες) Μονοδιάστατη αγωγή Μεταβητή αγωγιμότητα ρc p t Μονοδιάστατη αγωγή Σταερή αγωγιμότητα α t Πουδιάστατη αγωγή Σταερή αγωγιμότητα α t φ z Μονοδιάστατη αγωγή Σταερή αγωγιμότητα Χωρίς παραγωγή ερμότητας Μόνιμη κατάσταση d d 0 0 d 0 d α t Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -9

10 . Αγωγή ()..3 Εξίσωσηαγωγήςερμότηταςσεσφαίρα (Μονοδιάστατη αγωγή σε σφαιρικές συντεταγμένες) Μονοδιάστατη αγωγή Μεταβητή αγωγιμότητα ρc p t Μονοδιάστατη αγωγή Σταερή αγωγιμότητα α t Πουδιάστατη αγωγή Σταερή αγωγιμότητα... α t ψ... φ Μονοδιάστατη αγωγή Σταερή αγωγιμότητα Χωρίς παραγωγή ερμότητας Μόνιμη κατάσταση 0 0 α t d d d 0 d Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -0

11 . Αγωγή () Μονοδιάστατη αγωγή Σταερή αγωγιμότητα Χωρίς παραγωγή ερμότητας Μόνιμη κατάσταση..4 Εξισώσεις μονοδιάστατης αγωγής (ανακεφααίωση) Επίπεδο τοίχωμα Κύινδρος Σφαίρα ρc p t ρc p t ρc p t α t α t α t α t α t α t d d 0 d d d 0 d d d d 0 d Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -

12 .. Οριακέςκαιαρχικέςσυνήκεςγιατιςεξισώσειςαγωγής Η επίυση μιας εξίσωσης αγωγής έχει σαν αντικείμενο: (α) τον υποογισμό της χωρικής κατανομής της ερμοκρασίας (β) το υποογισμό των μεταβοών της χωρικής κατανομής συναρτήσει του χρόνου (στην περίπτωση μη μόνιμης κατάστασης) Για την επίυση πρέπει να ορισούν οι κατάηες οριακές και αρχικές συνήκες. Οριακές συνήκες: αφορούν την κατανομή στο χώρο Αρχικές συνήκες: αφορούν τις χρονικές μεταβοές Οι εξισώσεις αγωγής είναι: ης τάξηςωςπροςτονχώρο χρειάζονται οριακές συνήκες για κάε διάσταση οι οριακές συνήκες μπορεί να περιαμβάνουν (α) συγκεκριμένες τιμές της ερμοκρασίας, (β) τιμές της ης παραγώγου της ης τάξηςωςπροςτονχρόνο. Αγωγή () χρειάζεται αρχική συνήκη, π.χ. η κατανομή της ερμοκρασίας (,y,z) σε t 0 Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -

13 . Αγωγή (). Οριακέςκαιαρχικέςσυνήκεςγιατιςεξισώσειςαγωγής Οι οριακές συνήκες που συναντάμε συνήως αφορούν: (α) καορισμένη ερμοκρασία (β) καορισμένη ροή ερμότητας (γ) καορισμένες συνήκες συναγωγής και ακτινοβοίας Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -3

14 . Αγωγή ().3 Μονοδιάστατη αγωγή σε μόνιμη κατάσταση, χωρίς παραγωγή ερμότητας.3. Επίπεδο τοίχωμα Διαφορική εξίσωση: d 0 d d c d c c Οριακές συνήκες: α) 0, β) L, L c και c Ρυμός ροής ερμότητας (νόμος Fuie): & d d L q Οοκηρωμένη εξίσωση: L ή L Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -4

15 . Αγωγή ().3. Επίπεδο τοίχωμα. Παράδειγμα. Οριακή συνήκη ροής ερμότητας Δεδομένα: Πυμένας κατσαρόας: D0cm, L0.3cm Υικό: αουμίνιο 37 W/(m C) Ηεκτρική μονάδα έρμανσης: 800W Το 90% της ερμότητας που παράγεται από το στοιχείο έρμανσης μεταφέρεται στην κατσαρόα. Κατά τη μόνιμη ειτουργία, η ερμοκρασία της εσωτερικής επιφάνειας του πυμένα είναι 0 C. Ζητούνται: Η ερμοκρασία στην εξωτερική επιφάνεια του πυμένα Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -5

16 . Αγωγή ().3. Επίπεδο τοίχωμα. Παράδειγμα. Οριακή συνήκη ροής ερμότητας Λύση: d 0 d d c d c c D0cm, L0.3cm 37 W/(m C) Ισχύς 800 W (90% στην κατσαρόα) Οριακές συνήκες: α) L, 0 C β) W 70 W 0.70 kw q &.9kW / m A πd / 4 π(0.m) / 4 d d.9kw / m d d 0.37kW /(m C) d 96.6 d C / m Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -6

17 . Αγωγή ().3. Επίπεδο τοίχωμα. Παράδειγμα. Οριακή συνήκη ροής ερμότητας Λύση: d 0 d d c d c c D0cm, L0.3cm 37 W/(m C) Ισχύς 800 W (90% στην κατσαρόα) Οριακές συνήκες: α) L0.003m, 0 C d β) 96.6 C/ m d c d d 96.6 C/ m c cl 0( C) 96.6( C/ m) 0.003(m) 0.9 C 0 c 0.9 C Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -7

18 . Αγωγή ().3. Επίπεδο τοίχωμα. Οριακή συνήκη συναγωγής ή ακτινοβοίας Αγωγή ερμότητας στην επιφάνεια προς μία διεύυνση Συναγωγή ερμότητας στην επιφάνεια προς την ίδια διεύυνση Αγωγή ερμότητας στην επιφάνεια προς μία διεύυνση Αντααγή ακτινοβοίας στην επιφάνεια προς την ίδια διεύυνση Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -8

19 . Αγωγή ().3. Επίπεδο τοίχωμα. Παράδειγμα. Οριακή συνήκη συναγωγής Δεδομένα: Ηεκτρικό σίδερο με αντίσταση έρμανσης ισχύος 00W Πάκα βάσης: Α300cm, L0.5 cm, 5 W/(m C) Η εσωτερική επιφάνεια της πάκας ερμαίνεται ομοιόμορφα με τις ηεκτρικές αντιστάσεις του σίδερου Από την εξωτερική επιφάνεια της πάκας αποβάεται ερμότητα προς το περιβάον με συναγωγή Συντεεστής συναγωγής, h80 W/(m C) Θερμοκρασία περιβάοντος, π 0 C Η απώεια ερμότητας όγω ακτινοβοίας εωρείται αμεητέα. Ζητούνται: Οι ερμοκρασίες στην εσωτερική και εξωτερική επιφάνεια της πάκας Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -9

20 . Αγωγή ().3. Επίπεδο τοίχωμα. Παράδειγμα. Οριακή συνήκη συναγωγής Λύση: d d 0 c d d c c Οριακές συνήκες: d α) 0, 00W q A d β) L, d h[ ( L) π ] d 00W q 40000W / m A 0.03m 00 W d Α300cm 40000W / m, L0.5 cm 667 C/ m 5 W/(m C) d 5W /(m C) c h80 W/(m C), 40000W / m ( ) π 0 β) L 0 C C π h 80W /(m C) L 667 Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -0 ( ) 50 C C/ m

21 . Αγωγή ().3. Επίπεδο τοίχωμα. Παράδειγμα. Οριακή συνήκη συναγωγής Λύση: d d 0 c c c d d Οριακές συνήκες: d α) 0, 00W q A d d β) L, h[ ( L) π ] d 00 W Α300cm, L0.5 cm 5 W/(m C) h80 W/(m C), π 0 C c c 667 C/ m ( L) 50 C (L) c L 50( C) 667( C / m) 0.005(m) c 533 C ( 0) c 533 C ( L) 50 C Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -

22 . Αγωγή ().3. Κυινδρικό τοίχωμα Ψυχρό ρευστό Διαφορική εξίσωση: d d d 0 d d c d c ln c Οριακές συνήκες: Θερμό ρευστό α), c β), ln( ) και c c ln Οοκηρωμένη εξίσωση: ( ln( ) ln( ) ) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -

23 . Αγωγή ().3. Κυινδρικό τοίχωμα Ψυχρό ρευστό Θερμό ρευστό ( ln( ) ln( ) ) Μόνιμη κατάσταση Χωρίς παραγωγή ερμότητας Ρυμός ροής ερμότητας (νόμος Fuie): Στο κυινδρικό τοίχωμα ο ρυμός ροής ερμότητας υποογίζεται ευκοότερα εάν εωρήσουμε το ισοζύγιο ενέργειας στον κατάηο στοιχειώδη όγκο. Θεωρούμε κυινδρικό δακτύιο με : εσωτερική ακτίνα, εξωτερική ακτίνα Δ μήκος L d Δ ή 0 d & q d Α d d Lπ d d Lπd L π ln( ) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -3

24 .3. Κυινδρικό τοίχωμα Αντιστοίχηση εξισώσεων ρυμού ροής ερμότητας: (α) σε επίπεδο και (β) σε κυινδρικό τοίχωμα & Α L q πl ln( ) πl ln( ) A A ln(a A ) A lm Α lm μέση ογαριμική τιμή των επιφανειών Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -4

25 . Αγωγή ().3. Κυινδρικό τοίχωμα Παράδειγμα.3 Απώεια ερμότητας διαμέσου κυινδρικού σωήνα Δεδομένα: Σωήνας μήκους L0 m, εσωτερικής ακτίνας 6cm και εξωτερικής ακτίνας 8cm χρησιμοποιείται για μεταφορά υδρατμών. Η ερμική αγωγιμότητα του σωήνα είναι 0 W/(m C) Η εσωτερική επιφάνεια διατηρείται σε μέση ερμοκρασία 50 C και η εξωτερική σε 60 ο C Ζητούνται: Η γενική σχέση για την κατανομή της ερμοκρασίας στο εσωτερικό του σωήνα Ο ρυμός απώειας ερμότητας από τους υδρατμούς διαμέσου του σωήνα Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -5

26 . Αγωγή ().3. Κυινδρικό τοίχωμα Παράδειγμα.3 Απώεια ερμότητας διαμέσου κυινδρικού σωήνα Λύση: d d d 0 d Οριακές συνήκες: α) 0.06m 50 C β) 0.08m 60 C d c d c ln c L0 m, 6cm, 8cm 0 W/(m C) 50 C, 60 ο C c ln( ) 90 ln(0.08/ 0.06) c c ln ( ln( ) ln( ) ) 3.8 C 50( C) 3.8( C) ln( ) Εξίσωση κατανομής ερμοκρασίας στο τοίχωμα του σωήνα Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -6

27 . Αγωγή ().3. Κυινδρικό τοίχωμα Παράδειγμα.3 Απώεια ερμότητας διαμέσου κυινδρικού σωήνα Λύση: d d d 0 d Οριακές συνήκες: d c d c ln c L0 m, 6cm, 8cm 0 W/(m C) 50 C, 60 ο C σταερή π L α) 0.06m 50 C β) 0.08m 60 C Ρυμός απώειας ερμότητας π 0(W /(m 0m L 50( C) 3.8( C) ln( ) π ln( 90( C) C)) ln(.33) ) Κατανομή ερμοκρασίας kw Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -7

28 . Αγωγή ().3.3 Σφαιρικό τοίχωμα Διαφορική εξίσωση: d d d 0 d d d c c c Οριακές συνήκες: c α), ( ) ( ) β), c ( ) και Οοκηρωμένη εξίσωση: Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -8

29 .3.3 Σφαιρικό τοίχωμα Ρυμός ροής ερμότητας (νόμος Fuie): Θεωρούμε σφαιρικό δακτύιο με : εσωτερική ακτίνα, εξωτερική ακτίνα Δ d Δ ή 0 d d d Α 4π σταερό d d d 4πd 4π ( ). Αγωγή () Ισοζύγιο ενέργειας (μόνιμη κατάσταση, χωρίς παραγωγή ερμότητας): Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -9

30 . Αγωγή ().3.3 Σφαιρικό τοίχωμα Αντιστοίχηση εξισώσεων ρυμού ροής ερμότητας: (α) σε επίπεδο και (β) κυινδρικό και (γ) σε σφαιρικό τοίχωμα & Α L q A lm A gm μέση ογαριμική τιμή των επιφανειών A lm A A ln(a A ) μέση γεωμετρική τιμή των επιφανειών A gm 4π 4π 4π Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -30

31 . Αγωγή ().4 Μεταβαόμενη αγωγιμότητα Κατά κανόνα ο συντεεστής ερμικής αγωγιμότητας μεταβάεται με την ερμοκρασία. Όταν οι μεταβοές είναι σχετικά μικρές αγνοούνται. Όταν πρέπει να ηφεί υπόψη η μεταβοή του με την ερμοκρασία, χρησιμοποιούνται συνήως εμπειρικές σχέσεις που αντιστοιχούν σε πουώνυμα α ήβ βαμού: 0( α) ή ( α ) 0 β Για μονοδιάστατη αγωγή, μόνιμη κατάσταση, χωρίς ενέργειας το πρόβημα αντιμετωπίζεται εύκοα παραγωγή Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -3

32 . Αγωγή ().4 Μεταβαόμενη αγωγιμότητα Παράδειγμα: Αγωγή σε επίπεδο τοίχωμα με μεταβαόμενη αγωγιμότητα Με τις υποέσεις: (α) μονοδιάστατη αγωγή, (β) μόνιμη κατάσταση, (γ) χωρίς παραγωγή ενέργειας, ισχύει: d q A d d d A Εάν q καιαείναισταεράκαι 0( α) Ισοδύναμη σχέση: m A A 0 m & α d προκύπτει: 0 α Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -3

33 350 C. Αγωγή ().4 Μεταβαόμενη αγωγιμότητα Παράδειγμα: Αγωγή σε επίπεδο τοίχωμα με μεταβαόμενη αγωγιμότητα 0 (α) 50 C Δεδομένα: Μπρούτζινη πάκα ύψους Ηm, πάτους W0.7m και πάχους L0. m Η μία πευρά διατηρείται σε σταερή ερμοκρασία 350 C και η άη σε 50 C Η ερμική αγωγιμότητα της πάκας στο συγκεκριμένο ερμοκρασιακό διάστημα μεταβάεται γραμμικά σύμφωνα με τη σχέση: 0 (α) όπου 0 48 W/(m C) και α C -. Ζητούνται: Ο ρυμός αγωγής ερμότητας δια μέσου της πάκας. Υποέσεις: μόνιμη και μονοδιάστατη μεταφορά ερμότητας, αμεητέες επιδράσεις των άκρων. Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -33

34 350 C 0 (α) 50 C. Αγωγή ().4 Μεταβαόμενη αγωγιμότητα Παράδειγμα: Αγωγή σε επίπεδο τοίχωμα με μεταβαόμενη αγωγιμότητα Λύση: m m A 48(W /(m m 56.8W /(m C) m d 0 α 4 (350 50)( C) ( C ) C) Δεδομένα: Ηm, W0.7m, L0. m 350 C και 50 C 0 (α) 0 48 W/(m ο C) α C - m A W 56.8( ) (0.7.0)(m m C 5930 W C ) ( ) 0. m Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -34