fysikoblog.blogspot.com

Transcript

1 fysoblog.blogspot.com Πανεπιστήμιο Αηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙΙ: Αλλαγή Συστήματος Συντεταγμένων Στις σημειώσεις αυτές δίνομε την αναπαράσταση των τελεστών και σε ένα καμπυλόγραμμο σύστημα συντεταγμένων. Εξετάζονται οι περιπτώσεις πολικών συντεταγμένων, σφαιρικών συντεταγμένων και κυλινδρικών συντεταγμένων. Ο Γενικός μετασχηματισμός Για να μελετήσουμε (σε ένα μετρικό χώρο τη μετάβαση από ένα καρτεσιανό σε ένα καμπυλόγραμμο σύστημα συντεταγμένων ξεκινάμε από μια ποσότητα η οποία δεν αλλάζει αν αλλάξουμε το σύστημα συντεταγμένων: το μήκος του στοιχειώδους ανύσματος ds. Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων το μήκος αυτό καορίζεται από το Πυαγόρειο Θεώρημα : ds ( dx + ( dx + ( dx +... (. Στη σχέση αυτή χρησιμοποιήσαμε τον (πολύ βολικό συμβολισμό x x, y x, x,... ενώ τα αποσιωπητικά δηλώνουν ότι δεν δουλεύουμε κατ ανάγκη στις διαστάσεις. Έστω τώρα ότι κάνουμε την αλλαγή x x( q, q, q,..., x x( q, q, q,...,... (. που σημαίνει ότι τα στοιχειώδη μήκη στην ( μπορούν να γραφούν x dx dq,,,,... q (. Βέβαια, εωρούμε ότι η αλλαγή (. είναι αντιστρεπτή, δηλ. Ότι μπορούμε να γράψουμε: q q( x, x, x,..., q q( x, x, x,...,... (.4 και επομένως q dq dx,,,,... x (.5 Αντικαιστώντας τη σχ. (. στη σχ. (. παίρνομε x x ds dxdx dqdq g( q dqdq, q q (.6, Η ποσότητα x x g ( q g ( q q q (.7 λέγεται μετρικός τανυστής και παίζει ρόλο κλειδί στη μετάβαση από ένα σύστημα συντεταγμένων σε άλλο. Σε ότι ακολουεί α εωρούμε τον μετρικό τανυστή διαγώνιο: g ( q 0 όταν. Αυτό, όπως α διαπιστώσουμε, σημαίνει ότι α εωρούμε το νέο σύστημα ορογώνιο όπως και το καρτεσιανό. Με άλλα λόγια α εωρούμε ότι οι οικογένειες επιφανειών q( x, x, x,... c;,,,... (όπου c σταερές τέμνονται κάετα μεταξύ τους. Ο περιορισμός αυτός, με τη βοήεια της σχ. (.7 μεταφράζεται στην

2 fysoblog.blogspot.com x g ( q h ( q δ όπου h ( q g ( q q (.8 Μετά από τη σχέση αυτή το στοιχειώδες μήκος (.6 γράφεται : ds h dqdq ( hdq + ( hdq +... (.9 Στο αποτέλεσμα αυτό μπορούμε να διαβάσουμε πολλά πράγματα. Το πρώτο είναι ότι οι συνιστώσες του στοιχειώδους ανύσματος ds έχουν μέγεος : ds h( q dq,,... (.0 γεγονός που μας επιτρέπει να ονομάσουμε τις συναρτήσεις h παράγοντες βάμισης. Το δεύτερο είναι ότι και στο νέο σύστημα συντεταγμένων μετράμε αποστάσεις όπως και στο καρτεσιανό: μέσω το Πυαγορείου εωρήματος. Αυτή η διαπίστωση δεν είναι παρά ένας άλλος τρόπος να πούμε ότι και το νέο σύστημα είναι ένα ορογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Μετά την παραπάνω ανάλυση είναι λογικό να εισάγουμε μια οροκανονική βάση ανυσμάτων του νέου συστήματος eˆ ( ˆ q e( q δ,,,,,... (. μέσω των οποίων να γράψουμε ds ( h ˆ ˆ ˆ dq e+ ( hdq e +... ( hdq e (. έτσι ώστε η σχέση (.9 να προκύπτει ως άμεση (και προφανής συνέπεια. Έχει ιδιαίτερο πρακτικό ενδιαφέρον να βρούμε τη σχέση ανάμεσα στη βάση (. και στην αντίστοιχη βάση του καρτεσιανού συστήματος : xˆ ˆ x δ. Η σχέση αυτή μπορεί να βρεεί αν συγκρίνουμε την αναπαράσταση του στοιχειώδους ανύσματος ds στα δύο συστήματα συντεταγμένων : ds dxxˆ + dx ˆ ˆ ˆ x +... hdqe + hdqe +... (. Παίρνοντας τα εσωτερικά γινόμενα με x ˆ και e παίρνομε: xˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ds dx hdqe x + hdqe x +... hdqe x (.4 eˆ ds h dq dx xˆ eˆ + dx xˆ eˆ +... dx xˆ eˆ Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις με τις (. και (.5 α δούμε ότι x x dx ˆ ˆ ˆ( ˆ hdqe x dq e q x γ ( q q h( q q (.5 q q hdq ˆ ˆ ˆ( ˆ dxx e h dx e q x γ ( q h( q x x Οι ποσότητες eˆ( ˆ q x γ ( q λέγονται (για ευνόητους λόγους συνημίτονα κατεύυνσης και συνδέουν τις δύο βάσεις μεταξύ τους: eˆ( q γ ( q xˆ, xˆ γ ( q eˆ ( q (.6 Ένα πρώτο συμπέρασμα που α μας είναι χρήσιμο είναι τα στοιχείο όγκου στα δύο συστήματα συντεταγμένων. Όπως μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε α είναι : D dv d s ds ds ds... dx dx dx... h dq h dq h dq... (.7 Στο ίδιο αποτέλεσμα μπορούμε να καταλήξουμε και μέσω της σχέσης :

3 fysoblog.blogspot.com ( x, x, x,... dx dx dx... dq dq dq... (.8 ( q, q, q,... ( x, x, x,... Το σύμβολο ( q, q, q,... (Jacoban στην προηγούμενη σχέση είναι η ορίζουσα : x x x q q q ( x, x, x,... x x x ( q, q, q,... q q q (.9 Από τις σχέσεις στις οποίες έχουμε καταλήξει μπορούμε να βρούμε τώρα την κλίση (gad μιας (βαμωτής συνάρτησης : f q f f f f xˆ ˆ ( ˆ ( ( ˆ x x γ γ x x x q hq hq και επομένως f eˆ ( q f (.0 h ( q q Η Laplacan βρίσκεται αμέσως από την τελευταία σχέση : ˆ ˆ e( q e( q h( q q h( q q eˆ ( q + eˆ ( q h q q h q q q h q h q q ( (, ( ( (. ( Για το τελευταίο βήμα χρησιμοποιήσαμε την ορογωνιότητα (. των e ˆ. Πολικές συντεταγμένες Σαν ένα πρώτο παράδειγμα α εφαρμόσουμε τα παραπάνω συμπεράσματα για την περίπτωση πολικών συντεταγμένων x cos, y sn (. Εδώ είμαστε σε δύο διαστάσεις και για να βρούμε την αντιστοιχία με τον προηγούμενο συμβολισμό ά γράψουμε q, q. Οι ποσότητες που μας χρειάζονται μπορούν να βρεούν αμέσως :

4 fysoblog.blogspot.com x y x y +, + h h h h x y e x+ y cosx+ sny h x y e x+ y snx+ cosy h (. γ cos, γ sn, γ sn, γ cos Επομένως : cos sn γ + γ x h h (.4 sn cos γ + γ + y h h eˆ ˆ ˆ ˆ + e e + e h h (.5 (.6 Για την Laplacan αυτό που χρειάζεται να παρατηρήσουμε είναι ότι και έτσι eˆ eˆ eˆ ˆ ˆ ˆ 0 και ότι ˆ, ˆ e e e e e q q + + (.7 (.8 Το αντίστοιχο παράδειγμα στις διαστάσεις αφορά στις σφαιρικές συντεταγμένες : x cos sn, y snsn, cos (.9 ( εδώ q, q, q Εύκολα μπορούμε να βρούμε ότι : x y x y + +, + + h h h x y + + sn 4

5 fysoblog.blogspot.com x eˆ ˆ cos sn ˆ sn cos ˆ cos ˆ x x+ y+ h x eˆ xˆ cos cos ˆ sn cos ˆ sn ˆ x+ y h x eˆ xˆ sn ˆ cos ˆ x+ y h γ cossn, γ snsn, γ cos γ coscos, γ sncos, γ sn γ sn, γ cos, γ 0 (.0 Κι έτσι : sn γ cossn + coscos x h q sn cos γ snsn + sncos + y h q sn γ cos sn h q (. Η κλίση έχει τη μορφή eˆ ˆ ˆ + e + e sn Για να βρούμε τη Laplacan α παρατηρήσουμε πρώτα ότι eˆ eˆ eˆ ˆ eˆ, 0, cos eˆ, e 0 και α εφαρμόσουμε τη γενική έκφραση για να πάρουμε: + + cot + + sn (. (.. Κυλινδρικές συντεταγμένες Δίδονται από τις σχέσεις x cos, y sn, είναι προφανώς ισοδύναμο με ένα διδιάστατο σύστημα πολικών συντεταγμένων το οποίο μπορεί να κινηεί στον άξονα. Η περιγραφή, επομένως, μπορεί να διαβαστεί από τα αποτελέσματα που ήδη βρήκαμε: h h, h h, h h x y e x+ y cosx+ sny h x y e x+ y snx+ cos y h eˆ eˆ ˆ 5

6 fysoblog.blogspot.com γ cos, γ sn, γ sn, γ cos γ γ 0, γ γ 0, γ γ + γ cos sn x h h γ + γ sn + cos y h h eˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + e e + e + e h h ( Τελεστές της στροφορμής Γυρνάμε τώρα στην αναπαράσταση των τελεστών L ˆ, καρτεσιανές και σφαιρικές συντεταγμένες. Μετά από τα προηγούμενα αποτελέσματα είναι εύκολο να δούμε ότι: ˆ L ˆˆ ˆ ˆ x yp py y δ ( y Lˆ ˆ ˆ ˆˆ y px xp x δ ( x Lˆ ˆˆ ˆˆ xpy ypx x y δ ( y x ˆ L και ˆL ± στον χώρο των έσεων σε (.5 και ˆ ˆ ˆ L + Lx + Ly ( + ( x+ y ( x y δ Lˆ Lˆ ˆ x Ly ( ( x y δ ( x y (.6 Αν χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις (. α βρούμε : ˆ Lx ( sn coscot δ( ˆ Ly ( cos sncot δ( Lˆ δ ( ˆ L+ e ( cot δ( ˆ L e ( cot δ( (.7 6

7 fysoblog.blogspot.com Στις παραπάνω σχέσεις τη συνάρτηση δ α πρέπει να τη διαβάζουμε σε σφαιρικές συντεταγμένες : δ ( δ( δ( δ( (.8 sn Η σχέση αυτή μπορεί να παραχεί από τις ιδιότητες της συνάρτησης δ αλλά και από τον ορισμό της. Πράγματι. σε καρτεσιανές συντεταγμένες α έχουμε D d f( δ ( f(. Αν πάμε σε ένα καμπυλόγραμμο (ορογώνιο σύστημα η παραπάνω σχέση α πάρει τη μορφή D (... ( (, d q h h ( D f q δ q q f q όπου με δ ( qq, σημειώσαμε την αναζητούμενη έκφραση της συνάρτησης δ. Το συμπέρασμα τώρα είναι άμεσο: δ( qq, δ( q q... δ( qd q D δ( q q (.9 h... hd h... hd Μπορούμε επίσης να βρούμε από τις σχ.(.7 ˆ ˆ ˆ ˆ Lx + Ly + L L + cot + δ( (.40 sn και ο τελεστής κινητικής ενέργειας α είναι : pˆ + L δ ( (.4 m m όπου γράψαμε L + cot + (.4 sn 5. Σημείωση Η σχέση (.4 μπορεί να γραφεί και με τη μορφή pˆ pˆ + L δ ( (.4 m m όπου pˆ + (.44 ο λεγόμενος τελεστής της ακτινικής ορμής. Το αποτέλεσμα (.4 μπορούμε να το ελέγξουμε αμέσως από το εξής: f f ( + ( + f ( + ( f + f + (.45 Την ονομασία του τελεστή την καταλάβενομε αν πάμε στη σχέση d m m [ H, ] p (.46 dt oρσ Αμέσως βλέπομε ότι m p ( +,, +, + m και έτσι p ( + (.47 7