1. Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού

Transcript

1 Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού α Θεώρημα Rolle Αν μία συνάρτηση f είναι: Συνεχής στο κλειστό διάστημα [ αα ] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( αα ) και f( α) = f( ) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ( α ) τέτοιο ώστε f ( )= χ y f(α) f() O y Α α M(f()) B χ Γεωμετρική ερμηνεία Αν για μια συνάρτηση f ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle σε ένα διάστημα α τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο της C f στο οποίο η εφαπτομένη είναι οριζόντια δηλαδή είναι παράλληλη στον άονα χ χ Αλγερική ερμηνεία Το συμπέρασμα του Θ Rolle είναι ότι η είσωση f ( )= έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ( α ) Επομένως το θεώρημα αποτελεί ένα ισχυρό εργαλείο για την εύρεση μίας τουλάχιστον ρίζας σε ένα διάστημα Παρατηρήσεις Οι συνθήκες του Θ Rolle είναι ικανές όχι όμως αναγκαίες Για παράδειγμα αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση f( )= παρατηρούμε ότι: Δεν είναι συνεχής στο Δεν είναι παραγωγίσιμη στο f( )= = f() Όμως στο = ισχύει: f ( )= Οι δύο πρώτες προϋποθέσεις του Θ Rolle μπορούν να αντικατασταθούν από τη συνθήκη: η f είναι παραγωγίσιμη στο α Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα α τότε δεν εφαρμόζεται το Θ Rolle για την f στο α γιατί f α f

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Το Θ Rolle εασφαλίζει την ύπαρη ρίζας της είσωσης f ( )= σε ένα διάστημα ( α ) χωρίς όμως να προσδιορίζει τη ρίζα 5 Το Θ Rolle εασφαλίζει την ύπαρη ρίζας της είσωσης f ( )= ενώ το Θ Bolzano εασφαλίζει την ύπαρη ρίζας για την είσωση f( )= 6 Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες σε όλο το άρα και σε κάθε κλειστό διάστημα α Επομένως οι δύο πρώτες προϋποθέσεις του Θ Rolle ισχύουν για κάθε πολυωνυμική συνάρτηση η Κατηγορία Μεθοδολογία ασκήσεων - Λυμένες ασκήσεις Έλεγχος εφαρμογής του Θ Rolle-εύρεση του Εετάζουμε αν εφαρμόζονται οι τρείς προϋποθέσεις του θεωρήματος Σε περίπτωση που ζητείται να ρεθεί και η ρίζα της f τότε λύνουμε την είσωση f ( )= και ρίσκουμε τα α Παραμετρικές θ Rolle Σε ασκήσεις στις οποίες ζητείται ο προσδιορισμός παραμέτρων ώστε να εφαρμόζεται το θ Rolle στο διάστημα α τότε απαιτούμε: f( α)= f( ) Η f να είναι συνεχής στο α και στην περίπτωση που έχουμε συνάρτηση πολλαπλού τύπου να είναι συνεχής στο σημείο αλλαγής τύπου Η f να είναι παραγωγίσιμη στο ( α ) και αν είναι κλαδωτή να είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αλλαγής Λύνοντας το σύστημα των εισώσεων που προκύπτουν από τα προηγούμενα ήματα προσδιορίζουμε τις παραμέτρους Γεωμετρική ερμηνεία θ Rolle Σε ασκήσεις στις οποίες ζητείται να εετάσουμε αν υπάρχει σημείο M( ( f ) ) με ( α ) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C f να είναι παράλληλη με τον άονα τότε εετάζουμε αν πληρούνται οι προϋποθέσεις του θ Rolle

3 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 5 Να εετάσετε για τις παρακάτω συναρτήσεις αν εφαρμόζεται το θ Rolle στο κλειστό διάστημα που δίνεται και να ρείτε τις ρίζες της παραγώγου στο αντίστοιχο ανοικτό διάστημα: + α) f( ) = στο [ ] ) g( ) = στο [ ] + > α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ως σύνθεση συνεχών είναι παραγωγίσιμη στο + με f ( )= και f( )= f( )= 9 = οπότε σύμφωνα με το θ Rolle υπάρχει ( ) τέτοιο ώστε: f ( )= = + = = ) Για < είναι g ( )= g g lim lim lim g g lim lim lim και για > είναι g ( )= Στο = έχουμε: = + = = + = = = και Άρα g ( )= και g ( )= > Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο άρα και συνεχής Επίσης g( )= ( ) + = και g ()= + = οπότε g( )= g() Άρα εφαρμόζεται το θ Rolle για τη συνάρτηση g στο διάστημα Δηλαδή υπάρχει ( ) τέτοιο ώστε g ( )= Αν ( τότε g ( )= = = Αν ( ) τότε g ( )= = = που απορρίπτεται 5 Να ρείτε τους πραγματικούς αριθμούς αγ για τους οποίους εφαρμόζεται το θ Rolle + + α για τη συνάρτηση f( ) = στο διάστημα γ + + > Πρέπει: f( )= f() ( ) + ( )+ α= γ + + α γ = 7 Η f πρέπει να είναι συνεχής στο άρα και στο = οπότε lim f( )= lim f( )= f ( ) α = + Επίσης η f πρέπει να είναι παραγωγίσιμη στο άρα και στο = = + + = f f α α + Για < lim lim = lim και () 5

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ = + + = f f γ α γ+ για > lim lim = lim f( ) f ( ) f f Πρέπει lim lim = ( ) + = και από την () προκύπτει γ=7 = ( ) [ ] 5 Δίνεται η συνάρτηση f Να αποδείετε ότι υπάρχει ( ) τέτοιο ώστε η εφαπτομένης της C f στο σημείο ( f( )) να είναι παράλληλη προς τον άονα Αρκεί να αποδείουμε ότι υπάρχει ( ) τέτοιο ώστε f ( )= Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο μορφοποιούμε τον τύπο και είναι: f( )= 5 = Η f είναι παραγωγίσιμη στο 5 f ( )= ( ) Επειδή f f ( )= f ως πράη συνεχών συναρτήσεων Για να ρούμε την 5 ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: = 5 5 ( ) 5 ( 5 ) f ( )= ( )= f()= εφαρμόζεται για την f το θ Rolle και υπάρχει ( ) 5 τέτοιο ώστε η Κατηγορία: = Υπάρχει α : Π f f Για να ρούμε την αρχική συνάρτηση της παράστασης που πρέπει να ορίσουμε για να εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle θα χρησιμοποιούμε τη παρακάτω λογική: Φέρνω τη σχέση στη μορφή h = (μεταφέρω όλους τους όρους στο πρώτο μέλος θέτοντας ως άγνωστο το χ) Αν η παράσταση h περιέχει το χ και το f ( ) τότε: Βρίσκω την αρχική της h με άση τον πίνακα ασικών παραγώγων Είναι: k+ k = k συν ηµ = k + = ( ) = ( εϕ) = σϕ συν ηµ = ηµ ( συν) e e = = ( ln ) 6

5 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ και το Αν η παράσταση h περιέχει το f f τότε: ο: Αρχικά παρατηρώ αν η παράσταση h είναι ή μπορεί να μετασχηματιστεί σε παράγωγο γινομένου ή πηλίκου fg + fg = ( fg ) fg fg f ή = g g ο: Αν δεν ισχύει το προηγούμενο εετάζω αν η παράσταση h προέρχεται από παράγωγο σύνθεσης k+ f k f ( ) f ( ) f ( )= k k + = ( ln f ( ) ) αν f( )> f f ( ) f( ) f( ) f e f ( )= ( e ) f ( ) συνf( )= ( ηµ f( ) ) f = ( ) = εϕf ( ) f f ( ) ηµ f( )= ( συν f( ) ) f ( συν ) ο: Αν δεν ισχύει κάποιο από τα προηγούμενα φέρνω τη παράσταση h στη μορφή f ( )+ gf ( )= και πολλαπλασιάζω με το e G όπου G αρχική της g Τότε η σχέση γίνεται: G G G G e f ( )+ e gf ( )= e f ( )+ ( e ) G f( )= ή e f( ) = [ ] με f( ) = και f 5 Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο τέτοιο ώστε: f ( ) = ()= Να αποδείετε ότι υπάρχει Θέτοντας όπου το είναι: f f = + + = = + + Παρατηρούμε ότι: f( ) + + f = + + Θεωρούμε τη συνάρτηση h f Αυτή είναι συνεχής στο ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιμη στο ( ) με h f = + + ( )= f( ) + + = και h()= f() + + = δηλαδή h( )= h() Είναι h οπότε λόγω του Θ Rolle υπάρχει ( ) τέτοιο ώστε: h ( )= f f + + = = [ ] 55 Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο αα συναρτήσεις fg με g( α ) g( ) Να αποδείετε ότι υπάρχει ( α ) ( ) f τέτοιο ώστε: ( = f ) f ( α ) g g g α 7

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Έστω ότι f ( ) f ( α) λ g( ) g( α) = τότε f g = λ f ( )= λg ( ) f ( ) λg ( )= = λ α και παραγωγίσιμη στο ( α ) με h ( )= f ( ) λ g ( ) = και h( )= f( ) λg( ) Για να εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle πρέπει: = = + = f f α ( α) ( )+ λ ( ) ( α) = f( α) f( ( )+ ) g( ) g( α) g( ) g( α) = + = που ισχύει ( α ) τέτοιο ώστε: h ( )= f ( ) λg ( )= Έστω η συνάρτηση h f g Η h είναι συνεχής στο α Είναι h α f α λg α h α h f α λg α f λg f α f λg α λg f f g g f α f f f α Άρα υπάρχει [ ] με f 56 Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ()= Να αποδείετε ότι η είσωση f ( ) = f( ) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( ) = + = = = + f f f f Παρατηρούμε ότι: f ( ) f f Θεωρούμε τη συνάρτηση h f Η h είναι συνεχής στο h ( )= f ( )+ f( ) με ως πράη συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιμη στο Είναι h( )= και h()= f() = = δηλαδή h h ( ) τέτοιο ώστε: h ( )= f ( )+ f ( ) = = () άρα λόγω του θ Rolle υπάρχει 57 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f: [ ] ( + ) δύο φορές παραγωγίσιμη στο ( ) με f ( ) και f f f f τέτοιο 8 () = () Να αποδείετε ότι υπάρχει ώστε: f ( ) = f( ) f ( ) f( ) = ( f f ( ) f ( ) f ( ) f f f f f f f )= f ( ) Παρατηρούμε ότι f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) = f ( ) f( ) f h = f( ) = για αυτό το λόγο θεωρούμε τη συνάρτηση

7 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ με = f ( ) f( ) ( f ( ) ) f ( ) f f () ( )= ( ) h h f = () = () οπότε σύμφωνα με το θ Rolle υπάρχει f () Η h είναι συνεχής στο ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιμη στο h Είναι f f f f ( ) τέτοιο ώστε: h f = ( ) f( ) ( f ( ) ) f ( ) = f ( ) f( ) ( f ( ) ) = f f= f [ ] 58 Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο παραγωγίσιμη στο με f( ) = f( ) και f( ) > για κάθε [ ] Να αποδείετε ότι υπάρχει f f ος τρόπος τέτοιο ώστε = Θέτοντας όπου το έχουμε: f ( )= f ( ) f ( ) f( )= Η αρχική της είναι οπότε πολλαπλασιάζουμε την = () () με e ( ) = και είναι: e f e f παρατηρούμε ότι e f e f e f = Θεωρούμε τη συνάρτηση h e f Η h είναι συνεχής στο ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιμη στο ( ) με 9 h ( )= e f ( ) e f( ) Είναι h( )= e f ( ) και h( )= e 9 f ( ) δηλαδή h( )= h( ) Οπότε σύμφωνα με το θ Rolle υπάρχει τέτοιο ώστε: e ( )= ( ) : ( )= h e f e f ( ) ( )= ( )= ( ) f f f f ος τρόπος Στον προηγούμενο τρόπο δεν χρησιμοποιήθηκε η σχέση f( )> για κάθε = f f f f f παρατηρούμε ότι ( lnf( ) ) = f f f = = = ln Έστω η συνάρτηση h f Η h είναι συνεχής στο ως πράεις συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιμη στο ( ) με = h f f( ) Είναι h( )= ln f( ) 9 και h( )= ln f( ) 9 δηλαδή h( )= h( ) άρα σύμφωνα με το θ Rolle υπάρχει ( ) τέτοιο ώστε: = h f f ( )= f( ) f = 9

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 59 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι f( + ) = f( + )+ για κάθε α) Να προσδιορίσετε τον α για τον οποίο ισχύουν οι προϋποθέσεις του θ Rolle αα + στο διάστημα [ ] για τη συνάρτηση h( ) = f( )+ e e ) Να αποδείετε ότι υπάρχει ( ) τέτοιο ώστε f ( ) = e e τέτοιο ώστε f ( ) = γ) Να αποδείετε ότι υπάρχει ( 5) α) Επειδή η h είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο με = + + α+ α+ ( )= ( ) ( )+ = ( )+ () ( )= ( )+ Επειδή για την h ισχύει το θ Rolle είναι: h h f e f e Η σχέση f( + )= f( + )+ για = δίνει f f Οπότε η () με άση τη γίνεται: α+ α+ α α α f( )+ + e = f( )+ e + ee = ee e ( e e )= e α = α= ln e e e e ln e e = ( + ln )+ = ( )+ = + h f e α e e ) Είναι h f e f e e h f e e e και h ( )= f ( )+ e e e Επειδή για την h ισχύει το θ Rolle υπάρχει ( ) τέτοιος ώστε h = f + = = = e e e f e e f e e e e γ) Παραγωγίζοντας τη σχέση f( + )= f( + )+ έχουμε: f + f = ( + ) Θέτοντας = έχουμε f ( )= f ( 5 ) και η f είναι συνεχής στο 5 παραγωγίσιμη στο ( 5 ) οπότε σύμφωνα με το θ Rolle υπάρχει 5 τέτοιος ώστε f ( )= 5 Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο α) Υπάρχει θ ( ) ) Υπάρχει ( ) [ ] με f() f( ) = Να αποδείετε ότι: f θ θ τέτοιο ώστε = f τέτοιο ώστε ( = ) f ( ) f α) Είναι f ( θ)= θ f ( θ) + θ= Θέτουμε όπου θ το και έχουμε: = + f ( ) + = Παρατηρούμε ότι f( ) + f = + Θεωρούμε τη συνάρτηση g f Η g είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο με = + g f

9 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Είναι: g ( )= f( ) και g f f ()= () + = () Όμως f() f( )= f( )= f() g( )= g() Οπότε λόγω του θ Rolle υπάρχει θ ( ) τέτοιο ώστε g ( θ)= f ( θ) + θ = f f f f ( ) ( )+ f( ) f ( )= Θέτουμε όπου το και έχουμε: f f f ) Είναι = ( )+ = ( ( ) ( ) ) = ( )+ ( ) = ( ) ( ) και παραγωγίσιμη στο ( ) με h ( )= f ( ) ( )+ f( ) f ( )= f( ) και h()= f( ) δηλαδή h( )= h() Παρατηρούμε ότι f f f f f Θεωρούμε τη συνάρτηση h f f Η h είναι συνεχής στο Επίσης είναι h Οπότε λόγω του θ Rolle υπάρχει ( ) τέτοιο ώστε: h f f f = ( )+ = [ ] = = 5 Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο αα α > με f α α και f α Να αποδείετε ότι υπάρχει σημείο M( f( )) με ( α ) στο οποίο η εφαπτομένη της C f διέρχεται από την αρχή των αόνων = = = Η εφαπτομένη της C f στο Μ έχει είσωση y f f Για να διέρχεται από την αρχή των αόνων πρέπει: f f f f f f Θέτουμε όπου το και έχουμε: f ( ) f( )= = f( ) f ( ) f( ) Παρατηρούμε ότι = f Θεωρούμε τη συνάρτηση g ( )= α H g είναι συνεχής στο α ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιμη στο ( α ) με f = ( ) f( ) g f α α Επίσης είναι: g( α)= = =α και g ( f ( ) α α α )= = =α δηλαδή g( α)= g( ) Οπότε λόγω του θ Rolle υπάρχει ( α ) τέτοιο ώστε: f = ( ) f( ) g = f ( ) f( )= 5 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: [ ] για την οποία ισχύει ότι: f ( ) 9 f () για κάθε [ ] Να αποδείετε ότι:

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ( ) α) f f ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άονα σε τουλάχιστον ένα σημείο με τετμημένη α) Για = είναι: f( ) 9 f 6f f Για = είναι: ( ) f( ) 9 f 6 ( ) f ( ) f( ) Άρα f( ) f( ) ) Έστω ότι η f δεν τέμνει τον άονα σε κανένα σημείο με τετμημένη ( ) δηλαδή f( ) για κάθε ( ) Τότε επειδή f( ) και f ( ) είναι f( ) για κάθε Είναι: f ( ) 9 f f ( )( 9) f ( ) ( ) 9 9 f 9 f Παρατηρούμε ότι = f( ) f ( ) 9 Θεωρούμε τη συνάρτηση g = f ( ) 9 f( ) 9 f f ( ) Η g είναι συνεχής στο ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων παραγωγίσιμη στο με f ( )( 9) f ( ) g ( )= και g ( )= = g( ) f οπότε λόγω του θ Rolle υπάρχει τέτοιο ώστε: f ( ) 9 f g ( )= = f ( ) f ( ) 9 f f 9 f = =( ) που είναι άτοπο λόγω της σχέσης Άρα η f έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο () 5 Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο αα και υπάρχουν τα όρια lim f και lim f και είναι lim f α + = lim f( ) = + α να αποδείετε ότι υπάρχει ( α ) τέτοιο ώστε f ( ) = (γενίκευση του θ Rolle στο ανοικτό διάστημα αα ) χ O y y α χ