ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων."

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων Ορισµός 6 Εστω, > είναι δυο φυσικοί αριθµοί Κάθε συνάρτηση F : Ε Α καλείται διανυσµατική συνάρτηση πολλών µεταβλητών και αποτελείται από: (α το πεδίο ορισµού της Ε που είναι υποσύνολο του ευκλείδιου χώρου, (β έναν κανόνα έτσι ώστε σε κάθε σηµείο P= ( x, x,, x E να αντιστοιχεί έναν µοναδικό σηµείο F ( P = ( f ( P,, f ( P του όπου f:ε i, ( i =,, είναι βαθµωτά πεδία Με άλλα λόγια F : Ε Α : F ( P = f ( P,, f ( P Κάθε διανυσµατική συνάρτηση ορίζεται και ως F: E A : F=F r, όπου r = OP είναι το διάνυσµα θέσης σηµείου P E ως προς τη συνήθη βάση του και Fr είναι διάνυσµα θέσης ως προς την κανονική βάση του Ορισµός 6 Έστω Ε είναι ανοικτό σύνολο, F: Ε είναι µια διανυσµατική συνάρτηση και P είναι ένα σηµείο συσσώρευσης του Ε Θα λέµε ότι το διάνυσµα λ είναι όριο της διανυσµατικής συνάρτησης F στο P αν ισχύει ε > δ > : P E: < PP < δ F P - λ < ε 49

2 Θεώρηµα 6 Έστω Ε, : E : F P = f,, P f P είναι µια διανυσµατική συνάρτηση και P είναι σηµείο συσσώρευσης λ = λ,, λ τότε ισχύει του Ε Αν F li F P = λ li f P = λ i=,, P P P P Ορισµός 6 Έστω Ε είναι ανοικτό σύνολο, F: Ε είναι µια διανυσµατική συνάρτηση και P είναι σηµείο του Ε Θα λέµε ότι η F είναι συνεχής στο r εάν ισχύει i i ε > δ > : P E: PP < δ F P F P < ε Θεώρηµα 6 Έστω Ε είναι ανοικτό σύνολο, F : E : F ( P = ( f,, P f P είναι µια διανυσµατική συνάρτηση και P είναι σηµείο του Ε Τότε F συνεχής στο P fi : E συνεχείς στο P i=,, H παραπάνω είναι ισοδύναµη µε την li F P = F P li f P = f P i=,, i i P P P P Τα Θεωρήµατα 6 και 6 είναι σηµαντικά διότι ανάγουν την ύπαρξη ορίου και τη µελέτη συνέχειας µιας διανυσµατικής συνάρτησης σε κάποιο σηµείο P στην ύπαρξη ορίου και στη µελέτη συνέχειας των αντιστοίχων συνιστωσών συναρτήσεων f i στο σηµείο P οι οποίες είναι συναρτήσεις πολλών µεταβλητών και η ύπαρξη ορίου και η συνέχεια αυτών σε σηµείο έχει ήδη µελετηθεί αναλυτικά στο Κεφάλαιο Οι δε αποδείξεις των Θεωρηµάτων 6 και 6 είναι παρόµοιες αυτών του Κεφαλαίου που αναφέρονται στο όριο και συνέχεια διανυσµατικών συναρτήσεων Ορισµός 64 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο, F: E : F( P = ( f( P,, f( P είναι µια διανυσµατική συνάρτηση και P E Εστω ότι υπάρχουν όλες οι µερικές παράγωγοι 5

3 fi P, i =,,, j σηµείο P εάν ισχύει F j =,, Θα λέµε ότι η F είναι διαφορίσιµη στο F ( P f P P P P i j x li =, P P PP και ο πίνακας f( P f( P fi ( P = j x f( P f( P x x καλείται παράγωγος της F στο F P ή Ιακωβιανός πίνακας της F στο P, συµβολικά JF ( P Στην περίπτωση όπου = (δηλαδή ο Ιακωβιανός πίνακας είναι τετραγωνικός ορίζεται η ορίζουσα του πίνακα JF ( P, η οποία καλείται Ιακωβιανή ορίζουσα και συµβολίζεται ως P, συµβολικά J F ( P, ή D ( f,, f( P D( x,,x Ορισµός 65 Καλούµε διαφορικό µιας διανυσµατικής συνάρτησης F στο σηµείο P, συµβολικά df ( P, τον πίνακα Αν F ( P = f ( P f ( P P P df P = F P P P = F P dp (,, όπου, τότε είναι εύκολο να δούµε ότι (,,, = df P df P df P, P P,P df, P P,, df,p P είναι τα γνωστά διαφορικά συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 5

4 Σηµείωση Γεωµετρικά το διαφορικό d ( P F P µιας διανυσµατικής συνάρτησης στο P είναι ένα µέτρο της γραµµικότητας της διανυσµατικής συνάρτησης σε µια περιοχή του σηµείου P Θεώρηµα 6 Εάν µια διανυσµατική συνάρτηση F είναι διαφορίσιµη σε σηµείο P τότε η F είναι συνεχής στο P Αποδεικνύεται ότι: Θεώρηµα 64 Έστω Ε είναι ανοικτό σύνολο, F : E : F ( P = ( f,, P f P είναι µια διανυσµατική συνάρτηση και P είναι σηµείο του Ε Τότε F διαφορίσιµη στο P fi : E διαφορίσιµες στο P i=,, Το Θεώρηµα αυτό ανάγει τη διαφορισιµότητα των διανυσµατικών συναρτήσεων στη διαφορισιµότητα κάθε συνιστώσας συνάρτησης η οποία είναι συνάρτηση πολλών µεταβλητών Ετσι προκύπτει άµεσα το ακόλουθο πολύ χρήσιµο Θεώρηµα 64 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο, F: E : F( P = ( f( P,, f( P είναι µια διανυσµατική συνάρτηση και P E Αν υπάρχουν όλες οι µερικές παράγωγοι fi ( P, i =,,, j =,, και είναι συνεχείς σε µια περιοχή του j σηµείου P τότε η F είναι διαφορίσιµη στο P Παρατηρήσεις (α Ο κανόνας αλυσίδας για διαφορίσιµες διανυσµατικές συναρτήσεις έχει ήδη αναφερθεί στο Θεώρηµα 6 του Κεφαλαίου (β Εστω F: E : F( P = ( f ( P,, f ( P είναι µια διαφορίσιµη διανυσµατική συνάρτηση σε ανοικτό σύνολο Ε Τότε ο πίνακας γραµµή ( P f ( P f ( P f ( P F = i i i i 5

5 καλείται µερική παράγωγος της F ως προς τη µεταβλητή x i F P Είναι εύκολο να (i=,, στο P και συµβολίζεται και ως x i δούµε ότι η µερική παράγωγος x ( P i του Ιακωβιανού πίνακα J ( P F F ταυτίζεται µε την i στήλη (γ Η παράγωγος µιας διανυσµατικής συνάρτησης F: E : F( P = ( f( P,, f( P ως προς κατεύθυνση a (a µοναδιαίο διάνυσµα ορίζεται ως το διάνυσµα F F = = a ( ( P ( P f ( P f ( P a a a Αν η F είναι διαφορίσιµη στο P τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι F a ( P J ( P = a F (δ Αν µια διανυσµατική συνάρτηση F είναι διαφορίσιµη τότε για να υπάρχει το όριο του κλάσµατος (βλέπε τον ορισµό 64 θα πρέπει αναγκαστικά το όριο του αριθµητή να είναι µηδέν δηλαδή, ( P f li F P F P P P = P P i j x Αρα σε µια περιοχή του P µπορούµε να γράψουµε µε κάποιο σφάλµα που µπορεί να ελεγχθεί ( P ( P + J ( P ( P P F F F x Το γράφηµα της ( P = ( P + J ( P ( P P G F F καλείται εφαπτοµενικός χώρος του γραφήµατος της διανυσµατικής P, F P ( συνάρτησης F σε µια περιοχή του σηµείου 5

6 ιανυσµατικά Πεδία Εστω > Κάθε διανυσµατική συνάρτηση πολλών µεταβλητών ( F: Ε Α : F P = f P,, f P καλείται διανυσµατικό πεδίο ηλαδή το διανυσµατικό πεδίο είναι ειδική περίπτωση µιας διανυσµατικής συνάρτησης F : Ε Α για = Παράδειγµα ιανυσµατικό πεδίο κλίσεων Έστω f: είναι µια διαφορίσιµη συνάρτηση στο P= ( x, x,, x Τότε η κλίση και f P f P f ( P =,, το οποίο καλείται διανυσµατικό πεδίο κλίσεων της f Προφανώς κάθε διαφορίσιµη συνάρτηση f: ορίζει πάντοτε ένα διανυσµατικό πεδίο κλίσεων αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα (βλέπε Κεφ ορίζει ένα διανυσµατικό πεδίο : F : F( P = f ( P Παράδειγµα ίνεται το διανυσµατικό πεδίο F: : F r = x i+y j Ενας τρόπος παράστασης του πεδίου αυτού είναι να αντιστοιχίσουµε σε κάθε σηµείο M = ( xy, του επιπέδου την τιµή του πεδίου Fr που στην προκειµένη περίπτωση είναι το διάνυσµα θέσης του σηµείου Μ M =, ζωγραφίζουµε το διάνυσµα Για παράδειγµα στο σηµείο MB = OM =F (, = (,, όπου M = (, και B = (,4 Πρακτικά εφαρµόζουµε τη διαδικασία αυτή για ένα πεπερασµένο σύνολο σηµείων και προκύπτει το ακόλουθο σχήµα: 54

7 Το παραπάνω είναι ένα παράδειγµα γραµµικού πεδίου Γενικότερα ένα διανυσµατικό πεδίο F : είναι γραµµικό αν ορίζεται από τη σχέση Fr = A r, r = ( x,, x όπου A είναι ένας πίνακας Η σηµασία των γραµµικών πεδίων έγκειται στην απλότητα αναπαράστασής τους λόγω της οποίας ένα «πολύπλοκο» πεδίο προσεγγίζεται καταλλήλως από ένα γραµµικό πεδίο στην περιοχή κάποιου σηµείου του Ετσι το πεδίο µπορεί να µελετηθεί πιο εύκολα τουλάχιστον «τοπικά» Παράδειγµα ίνεται το διανυσµατικό πεδίο F: : F r = y i+x j Εφαρµόζοντας τη διαδικασία όπως παραπάνω προκύπτει το ακόλουθο σχήµα: ιαισθητικά βλέπουµε ότι το πεδίο περιστρέφεται γύρω από το σηµείο (, Παράδειγµα 4 ίνεται το διανυσµατικό πεδίο 55

8 F { } F( r = r r : (,, : Εφαρµόζοντας τη διαδικασία όπως παραπάνω προκύπτει το ακόλουθο σχήµα: Το παραπάνω είναι τυπικό παράδειγµα ενός κεντρικού πεδίου που χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι οι τιµές του πεδίου Fr έχουν φορέα ο οποίος ταυτίζεται µε το φορέα του αντιστοίχου διανύσµατος θέσης r και ορίζεται µέσω της σχέσης όπου : + { } f ( r Fr = r r, f είναι µια συνήθης πραγµατική συνάρτηση Τα πεδία αυτά έχουν ευρύτατες εφαρµογές όπως για παράδειγµα το ηλεκτροστατικό πεδίο Coulob K q Q = r r r Fr (Κ=σταθερά που ασκείται σε φορτίο q που απέχει απόσταση r = r από ακίνητο σηµειακό θετικό φορτίο Q στην αρχή των αξόνων ή η βαρυτική δύναµη έλξης µεταξύ δύο υλικών σηµείων µε µάζες M, και απόσταση r M r r = G Fr 56

9 Σχεδίαση πεδίου µέσω διανυσµατικών γραµµών Μια απ τις πολλές φυσικές ερµηνείες που µπορεί να δώσει κάποιος σ ένα διανυσµατικό πεδίο είναι ότι η τιµή του Fr παριστάνει την ταχύτητα στο σηµείο r κατά την κίνηση πχ ενός ρευστού στο χώρο Στην περίπτωση αυτή µας ενδιαφέρει να βρούµε τις τροχιές κίνησης των σωµατιδίων του ρευστού, δηλαδή καµπύλες στο χώρο τέτοιες ώστε η ταχύτητα σε κάθε σηµείο αυτών να ταυτίζεται µε τις τιµές Fr Με άλλα λόγια ορίζουµε dr v ( t = =F( r ( t dt Κάθε τροχιά (δηλ καµπύλη που ικανοποιεί το παραπάνω σύστηµα διαφορικών εξισώσεων καλείται διανυσµατική γραµµή του πεδίου Λύνοντας το σύστηµα και σχεδιάζοντας τις τροχιές παίρνουµε µια εποπτική παράσταση του πεδίου µέσω των διανυσµατικών γραµµών του Παράδειγµα 5 Ας θεωρήσουµε ότι η ταχύτητα ενός ρευστού σε κάθε σηµείο του επιπέδου τη χρονική στιγµή t περιγράφεται από το διανυσµατικό πεδίο του παραδείγµατος, δηλαδή v: : v r = y i+x j Τότε από τη σχέση ( t ( t διαφορικών εξισώσεων ιαιρώντας κατά µέλη παίρνουµε dr v = =F( r προκύπτει το σύστηµα dt x = y y = x dy dx x y = ydy = xdx y + x = c Στο ακόλουθο σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση των τροχιών y + x = c για κάποιες τιµές της παραµέτρου c Η φορά των τροχιών καθορίζεται από τη φορά των διανυσµάτων Fr που εφάπτονται των τροχιών 57

10 Kλίση-Απόκλιση-Περιστροφή Στην παράγραφο αυτή ασχολούµαστε µε διαφορίσιµα διανυσµατικά πεδία F: E : F( P = f ( P,, f ( P Εστω V f : E και E είναι ο χώρος όλων των αριθµητικών/βαθµωτών πεδίων V, είναι ο χώρος όλων των διαφορίσιµων διανυσµατικών συναρτήσεων F : E Αν = θα E E V E γράφουµε V (αντί V και θα µιλάµε για το χώρο, των διαφορίσιµων διανυσµατικών πεδίων Ορίζουµε το γραµµικό τελεστή κλίσης =,, x που δρα πάνω είτε σε βαθµωτά είτε σε διανυσµατικά πεδία ως εξής: ή :V ( E V ( E: F( P = f P = f P,, f P, x x : V ( E V ( E : F P = F P,, F P x x, Στο εξής για απλότητα εργαζόµαστε στο χώρο Ορισµός 65 Εστω F: E : F( xyz,, = ( Pxyz (,,, Qxyz (,,, Rxyz (,, είναι ένα διαφορίσιµο πεδίο Ορίζουµε ως απόκλιση του πεδίου F στο σηµείο P x, y, z divf P να είναι ο αριθµός =, συµβολικά 58

11 (,, (,, (,, P x y z Q x y z R x y z divf ( x, y, z = + + y z Παρατηρήσεις: (α Χρησιµοποιώντας τον τελεστή κλίσης η απόκλιση ορίζεται φορµαλιστικά ως εξής: P Q R F =,, ( PQR,, x y z = + + y z Συνεπώς η απόκλιση µπορεί να θεωρηθεί και ως ένας γραµµικός διαφορικός τελεστής που απεικονίζει διανυσµατικά πεδία σε βαθµωτά/αριθµητικά πεδία ηλαδή: Ισχύει δε : V E V E : f = F ( a b a b, ( a, b F+ G = F+ G Επίσης αν f : E είναι ένα διαφορίσιµο βαθµωτό πεδίο αποδεικνύεται ο χρήσιµος τύπος ( f f f F = F+ F (Α (β Η απόκλιση ενός πεδίου F: A : F= ( PQ, ( x, y ορίζεται ως P( x, y Q( x, y ( xy, = + στο σηµείο (γ Αν f : E είναι ένα βαθµωτό πεδίο µε µερικές παραγώγους ης τάξης είναι εύκολο να δούµε ότι y f f f = + + = = y z f f f ηλαδή η Λαπλασιανή της f είναι η απόκλιση του διανύσµατος κλίσης της f 59

12 (δ Η απόκλιση διανυσµατικού πεδίου F ισούται µε το ίχνος του Ιακωβιανού πίνακα J F Μία φυσική ερµηνεία της απόκλισης αντλούµε από τη ροή ρευστού (ή φορτίου ως εξής: Εστω v είναι το πεδίο ταχυτήτων ενός ρευστού (ή φορτίου µε πυκνότητα µάζας (φορτίου ρ : E και P = ( x, y, z είναι κάποιο τυχαίο σηµείο µέσα στο πεδίο ορισµού του πεδίου v Τότε το πεδίο ( x, yz, ρ ( xyz,, ( xyz,, P( xyz,,, Q( xyz,,, R( xyz,, F = v = ορίζεται ως η πυκνότητα ροής του ρευστού (φορτίου κατά τη κατεύθυνση της ταχύτητας σε κάθε σηµείο Θεωρούµε ένα στοιχειώδες ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο µε πλευρές x, y, z ώστε µια ακµή του παραλληλεπιπέδου να διέρχεται από το σηµείο P και υποθέτουµε ότι διαµέσου του παραλληλεπιπέδου ρέει ρευστό µε πυκνότητα ροής F Εστω { i,, j k } είναι η κανονική βάση του Τότε τη χρονική στιγµή t ο αριθµός ( F i = (,, P y z P x y z y z δηλώνει τη συνολική µάζα (φορτίο που εισρέει στο παραλληλεπίπεδο στο σηµείο P (αν F( P i >, ή εκρέει απ το παραλληλεπίπεδο (αν F( P i< κατά την κατεύθυνση i (στη µονάδα του χρόνου, ενώ η ποσότητα ( F(,, i = (,, x + xy z y z Px+ xy z y z δηλώνει τη συνολική µάζα (φορτίο που εκρέει απ το παραλληλεπίπεδο την ίδια χρονική στιγµή t στο σηµείο x xy,, z F x + x, y, z i >, ή εισρέει στο ( + (αν ( παραλληλεπίπεδο στο σηµείο ( x xy,, z ( x + x, y, z + (αν F i< κατά την κατεύθυνση i Αρα η διαφορά ( (,, (,, P x + x y z P x y z y z 6

13 ισούται µε τη συνολική µεταβολή της µάζας (φορτίου, αλλιώς ροή που διέρχεται από το στοιχειώδες παραλληλεπίπεδο τη χρονική στιγµή t κατά την κατεύθυνση i Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία για τις δύο άλλες κατευθύνσεις j και k προκύπτει ότι η συνολική µεταβολή µάζας (φορτίου που ρέει διαµέσου του στοιχειώδους παραλληλεπιπέδου ανά µονάδα όγκου και χρόνου είναι ( (,, (,, P x + x y z P x y z y z x y z + ( (,, (,, Q x y + y z Q x y z x z + + x y z + ( (,, (,, R x y z + z R x y z x y x y z Αφήνοντας x, y, z παίρνουµε ότι η συνολική στιγµιαία µεταβολή µάζας (φορτίου ανά µονάδα όγκου και χρόνου στο σηµείο P, ή αλλιώς η συνολική στιγµιαία ροή ανά µονάδα όγκου και χρόνου στο σηµείο P, είναι li x ( +,, (,, P x x y z P x y z x (, +, (,, + li + + y y Q x y y z Q x y z (,, + (,, z R x li y z z R x y z z (,, (,, (,, P x y z Q x y z R x y z = + + = y z Αν λοιπόν + ( x, y, z F F P > τότε λέµε ότι το σηµείο P είναι µια πηγή µάζας (φορτίου και το πεδίο τείνει να «απλωθεί» στο χώρο Αν F ( P < τότε λέµε ότι το σηµείο P είναι µια απαγωγή µάζας (φορτίου ιαισθητικά, αν ρίξουµε λίγο πριονίδι σ ένα σηµείο πάνω στην επιφάνεια µιας ήρεµης λίµνης και δούµε ότι αυτό αρχίζει 6

14 να απλώνεται προς τα «έξω» τότε η απόκλιση στο σηµείο αυτό είναι θετική, αλλιώς είναι αρνητική Στο τελευταίο Κεφάλαιο θα δώσουµε µια πιο κοµψή ερµηνεία της απόκλισης µέσω επιφανειακού ολοκληρώµατος Ορισµός 66 Ένα διανυσµατικό πεδίο F καλείται ασυµπίεστο ή σωληνοειδές αν και µόνον αν η απόκλισή του είναι µηδέν σε κάθε σηµείο του Ορισµός 67 Εστω F: E : F( P = ( P, Q, R είναι ένα διαφορίσιµο διανυσµατικό πεδίο Τότε καλούµε περιστροφή ή x, yz, το διάνυσµα στροβιλισµό του πεδίου στο σηµείο i j k rot F( x, y,z = curl F ( x, y,z = y z P x,y,z Q x,y,z R x,y,z Παρατηρήσεις: (α Χρησιµοποιώντας τον τελεστή κλίσης η περιστροφή ορίζεται φορµαλιστικά µε χρήση του εξωτερικού γινοµένου rot F= F Συνεπώς η περιστροφή µπορεί να θεωρηθεί και ως ένας (γραµµικός τελεστής που απεικονίζει διανυσµατικά πεδία σε διανυσµατικά πεδία Ετσι ισχύει και : V E V E : f = F ( a b a b, ( a, b F+ G = F+ G Επίσης αν f : E είναι ένα διαφορίσιµο βαθµωτό πεδίο αποδεικνύεται ο χρήσιµος τύπος ( f ( f f F = F+ F (Β (β Μπορούµε να ορίσουµε περιστροφή και για ένα πεδίο F: : F( x, y = ( P, Q επεκτείνοντας το πεδίο F στο χώρο µέσω της σχέσης 6

15 G ( P Q : : G( P =,, Τότε ισχύει Q P G = y k Σ αυτή την περίπτωση ορίζουµε Q P F = y, δηλαδή στην περίπτωση αυτή η περιστροφή είναι αριθµός και όχι διάνυσµα Για να δώσουµε µια φυσική ερµηνεία της περιστροφής θα χρησιµοποιήσουµε για ευκολία το προηγούµενο παράδειγµα ως ένα τυπικό παράδειγµα πεδίου δυνάµεων στον της µορφής F ( P Q : : F( x, y =, Εστω ( x, y είναι τυχαίο σηµείο µε ( x, y = ( P( x, y, Q( x, y F Θεωρούµε ένα στοιχειώδες ορθογώνιο µε πλευρές x, y µια κορυφή του οποίου ταυτίζεται µε το σηµείο ( x, y και ορίζουµε Fx = ( P, i F =, Q j να είναι να είναι η οριζόντια συνιστώσα της δύναµης F και y P( x, y η κάθετη συνιστώσα της δύναµης F Aν > τότε θα ισχύει y P( x, y + y > P( x, y «κοντά» στο P και εποµένως αν φανταστούµε την πλευρά y= y του ορθογωνίου τότε οι κάθετες στην πλευρά αυτή συνιστώσες στα άκρα τείνουν να στρέψουν το ορθογώνιο Q( x, y δεξιόστροφα Με την ίδια λογική αν > τότε Q( x + x, y > Q( x, y «κοντά» στο P κι έτσι αν φανταστούµε την πλευρά x = x του ορθογωνίου τότε οι κάθετες στην πλευρά αυτή συνιστώσες Fx = ( f ( P, i στα άκρα της πλευράς αυτής τείνουν να στρέψουν το ορθογώνιο αριστερόστροφα Εποµένως η συνολική Q( x, y P( x, y διαφορά F ( x, y = y µας δίνει τη στιγµιαία γωνιακή ταχύτητα περιστροφής στο σηµείο Ρ µε το πρόσηµο να δηλώνει F x, y >, ή δεξιόστροφη κίνηση αριστερόστροφη κίνηση (αν ( (αν F ( x, y < Αν ( x y = F, σηµαίνει ότι οι δυνάµεις που προκαλούν δεξιόστροφη και αριστερόστροφη κίνηση εξισορροπούνται 6

16 και συνεπώς δεν έχουµε καθόλου περιστροφή Στην περίπτωση που µελετήσαµε (δηλαδή πεδίο στον προφανώς ο άξονας περιστροφής είναι το κανονικό διάνυσµα του επιπέδου και είναι ο ίδιος για κάθε σηµείο Γι αυτό το λόγο η περιστροφή όπως την ορίσαµε για πεδία στο είναι αριθµός Τα παραπάνω γενικεύονται και σε πεδία στον µε την επισήµανση ότι σ αυτή την περίπτωση η περιστροφή είναι διάνυσµα το οποίο είναι ένα µέτρο της στιγµιαίας τάσης περιστροφής του πεδίου σ ένα σηµείο P γύρω από κάποιον άξονα (που φυσικά µπορεί να µην είναι κοινός για κάθε σηµείο του χώρου Ετσι η κατεύθυνση του άξονα περιστροφής καθορίζεται F ενώ το µέτρο από την κατεύθυνση του διανύσµατος ( P F ( P µετρά τη στιγµιαία γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του πεδίου στο σηµείο P ιαισθητικά αν ρίξουµε µια σαµπρέλα µε κέντρο ένα σηµείο P πάνω στην επιφάνεια µιας ήρεµης λίµνης και δούµε ότι η σαµπρέλα αρχίζει να περιστρέφεται τότε η περιστροφή του πεδίου στο P είναι µη µηδενική Ορισµός 68 Ένα διαφορίσιµο διανυσµατικό πεδίο F καλείται αστρόβιλο αν και µόνον αν η περιστροφή του είναι το µηδενικό διάνυσµα σε κάθε σηµείο του Χρήσιµα παραδείγµατα αστρόβιλων πεδίων (α Πεδία κλίσεων F = f (όπου η f : E έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης είναι αστρόβιλα ηλαδή αν F = f τότε Πράγµατι ( f = i j k F= ( f = = y z f f f x y z Η ιδιότητα αυτή είναι χρήσιµη για να δείξουµε ότι ένα πεδίο δεν είναι πεδίο κλίσεων r (β Τα κεντρικά πεδία δυνάµεων Fr = f ( r, r = r είναι r,, Πράγµατι: { } αστρόβιλα πεδία στον 64

17 f ( r r f r F= f ( r = r+ r r r r Αλλά είναι εύκολο να δούµε ότι και Αρα r= f r f r r f( r r= r r= r r F= (γ ιανυσµατικά πεδία µε συµµετρικό Ιακωβιανό πίνακα είναι αστρόβιλα Αποδεικνύεται εύκολα ότι: Θεώρηµα 65 Η απόκλιση της περιστροφής ενός διανυσµατικού πεδίου F= ( PQR,, του οποίου οι συνιστώσες συναρτήσεις έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης είναι µηδενική Με άλλα λόγια ισχύει Επίσης αποδεικνύεται ότι ( F = Θεώρηµα 66 Αν F είναι ένα ασυµπίεστο πεδίο µε συνεχείς µερικές παραγώγους επί κυρτού τόπου E του, τότε υπάρχει ένα επίσης διανυσµατικό πεδίο G µε συνεχείς µερικές παραγώγους επί του E τέτοιο ώστε F= G Το πεδίο G καλείται διανυσµατικό δυναµικό του πεδίου F Αποδεικνύεται ότι το πεδίο G = r t F t r dt είναι διανυσµατικό δυναµικό του F, δεν είναι όµως o τύπος αυτός ο µοναδικός Πράγµατι αν f : E είναι µια βαθµωτή συνάρτηση επί κυρτού τόπου E µε συνεχείς µερικές παραγώγους ης 65

18 τάξης τότε και το πεδίο του πεδίου F διότι G+ f είναι επίσης διανυσµατικό δυναµικό ( f G+ = G+ f = G+= G=F Ισχύει και το αντίστροφο Πράγµατι αν G είναι ένα άλλο διανυσµατικό δυναµικό του πεδίου F, τότε F= G F= G G G = και επειδή το Ε είναι κυρτό το πεδίο G G είναι πεδίο κλίσεων, δηλαδή ισχύει G G = f για κάποιο βαθµωτό πεδίο (βλέπε Κεφ Θεώρηµα 67 Αν F είναι ένα διανυσµατικό πεδίο µε συνεχείς µερικές παραγώγους επί κυρτού τόπου E του, τότε υπάρχει ένα διαυσµατικό πεδίο G µε συνεχείς µερικές παραγώγους επί του E και µια βαθµωτή συνάρτηση f : E µε συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης στο E έτσι ώστε F= G+ f Με άλλα λόγια κάθε συνεχώς διαφορίσιµο πεδίο επί κυρτού τόπου αναλύεται σε άθροισµα ενός ασυµπίεστου πεδίου (του G και ενός αστρόβιλου πεδίου (του f ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ίνεται το πεδίο F: : F ( P = ( x, y, Ποια η γεωµετρική ερµηνεία του; είξτε ότι είναι διαφορίσιµο πεδίο και υπολογίστε την παράγωγο σε κάθε σηµείο του Υπολογίστε την παράγωγο του a=,, πεδίου κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος Λύση Για κάθε σηµείο P= ( x, y, z η τιµή ( P ( x, y, F = είναι η ορθογώνια προβολή του Ρ στο επίπεδο Oxy Επειδή οι συνιστώσες συναρτήσεις του πεδίου 66

19 (,, (,, ( x y z f xyz = x f xyz = y f,, = έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους σε µια περιοχή κάθε σηµείου P το πεδίο είναι διαφορίσιµο λόγω Θεωρήµατος 64 Επιπρόσθετα, η παράγωγος του πεδίου στο P είναι ο Ιακωβιανός πίνακας J F ( P f P f P f P f( P f( P f( P = = y y y f( P f( P f( P z z z δηλαδή η παράγωγος είναι σταθερή σε κάθε σηµείο Τέλος εφόσον το πεδίο είναι διαφορίσιµο ισχύει / 4 / 4 F( P = = / 4= / 4 a a / 4 a J ( P F ίνεται το πεδίο F: : F ( P = ( z + xy, x y z, x + zy είξτε ότι το πεδίο είναι διαφορίσιµο Στη συνέχεια υπολογίστε τη F µερική παράγωγο σε κάθε σηµείο του πεδίου Βρείτε τη y βέλτιστη γραµµική προσέγγιση του πεδίου σε µια περιοχή του σηµείου P = (,, Λύση Επειδή οι συνιστώσες συναρτήσεις του πεδίου (,, (,, (,, f xyz = z + xy f xyz = x + zy f xyz = xy z 67

20 έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους σε µια περιοχή κάθε σηµείου P το πεδίο είναι διαφορίσιµο λόγω Θεωρήµατος 64 Τότε F f f f = = xy x yz y y y y Εφόσον το πεδίο είναι διαφορίσιµο υπάρχει βέλτιστη γραµµική προσέγγιση του πεδίου στο σηµείο P = (,, και είναι ( P = ( P ( P ( P P G F +F f P f P f P y z f( P x x f( P f( P f( P = f( P y y + x y z f( P z z f( P f( P f( P y z x+ z = + 8 y = 8y z 4 4 z 4x 4 Αρα το πεδίο ( P = ( z, 8 y z, 4x 4 προσέγγιση Εστω G είναι η βέλτιστη P f f F P = D είναι τόπος και F: : F = (,, είναι µια διαφορίσιµη διανυσµατική συνάρτηση έτσι ώστε για κάθε P είξτε ότι F( P = σταθερό διάνυσµα του b όπου b είναι τυχαίο (αλλά fi Λύση Από την υπόθεση έχουµε = i =,,, j =,, Αρα j ισχύει dfi = i =,,, όπου df i είναι το διαφορικό των βαθµωτών συναρτήσεων fi : Εφόσον το πεδίο ορισµού είναι τόπος (δηλαδή ανοικτό και συνεκτικό σύνολο έχουµε (βλέπε άσκηση 9 Κεφ 68

21 df = f = b =σταθερα i i i Αρα ( P = ( f,, f = ( b,, b F 4 Εστω D είναι τόπος και F : D είναι διαφορίσιµη διανυσµατική συνάρτηση έτσι ώστε F ( P = Αν (, = (,, F βρείτε την F ( Λύση Εστω F ( P = f ( x, y, f ( x, y, f ( x, y Τότε Συνεπώς f P f P y f( P f( P F ( P = = y f( P f( P f ( P = f xy, = x+ g y για κάποια παραγωγίσιµη πραγµατική συνάρτηση g Αλλά: f ( P x+ g( y y = = g y = g y = y+ c y Aρα f xy, = x y+ c και εφόσον (, = (,, = f(,, f(,, f(, ισχύει, F θα πρέπει να f, = = + c c = 69

22 Τελικά f ( xy, x y υπόλοιπες συνιστώσες συναρτήσεις f ( xy, και f (, f ( xy = x+ y και f ( x y = x+, = + Eργαζόµαστε αναλόγως για τις, xy και έχουµε 5 ίνεται το πεδίο Fr = x i+ y j Υπολογίστε τις διανυσµατικές γραµµές του πεδίου και σχεδιάστε τις γραµµές αυτές d Λύση Από τη σχέση r =F ( r ( t προκύπτει το σύστηµα διαφορικών dt εξισώσεων x = x y = y Από την επίλυση αυτού του συστήµατος προκύπτει Αρα: x= ce y c y= c e t x = c = y = c t y c c x = cy Στο ακόλουθο σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση των τροχιών για διάφορες (θετικές ή αρνητικές τιµές της παραµέτρου c Η φορά των τροχιών καθορίζεται από τη φορά των διανυσµάτων Fr που εφάπτονται των τροχιών (δηλαδή όλες αποµακρύνονται απ το σηµείο (, που είναι το µοναδικό σηµείο ισορροπίας 6 Εστω πεδίο = F a r, όπου a είναι σταθερό διάνυσµα Υπολογίστε την απόκλιση και περιστροφή του πεδίου F 7

23 i j k a r= = i+ j + k x y z Λύση a a a ( a z a y ( a x a z ( a y a x Αρα ( az ay ( ax az ( ay ax a r y z = + + = i j k ( a r = = ( a i+ ( a j+ ( a k y z az ay ax az ay ax = a 7 Aν = r Fr r όπου r= x i+ y j+ z k, r = r να υπολογισθεί η απόκλιση και η περιστροφή του πεδίου F Λύση Εχουµε r r r r = r+ r (βλέπε σχέση (Α του ΚεφαλαίουΑρα r ( r r = r r+ r = 4( r r + = r + = 4 r r r r r r Απ την άλλη µεριά έχουµε r r r = r r+ r r= r r= r r= r r 4 (βλέπε σχέση (Β του Κεφαλαίου 8 Αν F= ( f, f, f και ( g, g, g διανυσµατικά πεδία στον πεδίο στον δείξτε ότι (α ( F h= F h G= είναι δυο διαφορίσιµα και h είναι ένα διαφορίσιµο βαθµωτό 7

24 (β ( ( f, f, f G F= G G G Λύση (α Εχουµε h h h F f = f + f + f h f f f h x y z = + + = F y z (β Επίσης: y z y z ( G F= g + g + g F= g + g + g ( f, f, f = f f f f f f g g g + + g + g + g y z y z i+ j f f f + g + g + g ( f, f, f y z k = G G G 9 Εστω ( x, y, z ( x,xyz x y, xz F = είναι πεδίο στον είξτε ότι προέρχεται από διανυσµατικό δυναµικό G και στη συνέχεια υπολογίστε το δυναµικό G Είναι το G µοναδικό; Λύση Θα χρησιµοποιήσουµε το Θεώρηµα 66 Το πεδίο F είναι διαφορίσιµο επί κυρτού τόπου (του άρα για να προέρχεται από διανυσµατικό δυναµικό G αρκεί να δείξουµε ότι είναι ασυµπίεστο Πράγµατι ( x ( xyz x y ( xz F= + + = y z Ενας τύπος για το διανυσµατικό δυναµικό έχει δοθεί στο Θεώρηµα 66 Συγκεκριµένα G = r t F t r dt (,, (,, (,, 4 4 = r tf tx ty tz dt = r t F x y z dt = r F x y z t dt 7

25 = ( r F = ( F r = ( xyz x yz, x z zx, 4 x y x yz Ο τύπος του πεδίου G δεν είναι µοναδικός Όπως είδαµε παραπάνω το πεδίο G+ f είναι επίσης διανυσµατικό δυναµικό του πεδίου F για κάθε διαφορίσιµη βαθµωτή συνάρτηση f : Εστω F είναι ένα ασυµπίεστο πεδίο επί κυρτού τόπου E µε συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης είξτε ότι υπάρχει µια συνάρτηση f : E η Λαπλασιανή της οποίας είναι µηδέν σε κάθε σηµείο του E Λύση Θα χρησιµοποιήσουµε το Θεώρηµα 67 Το πεδίο F µπορεί να γραφεί ως F= G+ f για κάποιο πεδίο G επί του E και για κάποια βαθµωτή συνάρτηση f : E Επειδή divf= έχουµε = F= G+ f = G+ f = + f ΑΛΥΤΕΣ AΣΚΗΣΕΙΣ ίνεται το πεδίο F: : F ( P = (, y, z Ποια η γεωµετρική ερµηνεία του; είξτε ότι είναι διαφορίσιµο πεδίο και υπολογίστε την παράγωγο σε κάθε σηµείο του Υπολογίστε την παράγωγο του a=,, πεδίου κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος Απάντ Είναι η ορθογώνια προβολή σηµείου P ( x, y, z επίπεδο Oyz ( P ίνεται το πεδίο F = F,, =,, a ( P ηµ ( x y συν ( y z ch( x z = στο F: : F = +, +, + 7

26 είξτε ότι το πεδίο είναι διαφορίσιµο Βρείτε τη βέλτιστη γραµµική π προσέγγιση του πεδίου σε µια περιοχή του σηµείου P =,, 4 Ποια είναι η απόκλιση και ποια η περιστροφή του F ; Εστω Απάντ ( P 4x+ 4y+ 4 π 4z 4y+ π + G =,, 4 4 ( + ( + + ( + divf= συν x y ηµ y z sh x z ( ηµ ( +, ( +, συν ( + rotf= y z sh x z x y D είναι τόπος και έστω, : FG F P = G είναι δυο διαφορίσιµες διανυσµατικές συναρτήσεις έτσι ώστε ( P για κάθε P Αν F( P = G ( P για κάποιο σηµείο P δείξτε ότι F( P = G ( P για κάθε P : : (,, είξτε ότι το πεδίο είναι διαφορίσιµο Εξετάσετε για ποια σηµεία (x,y υπάρχει η - αντίστροφη συνάρτηση F και υπολογίστε την παράγωγό της 4 ίνεται το πεδίο F F x y = xy ( x y Απάντ Για κάθε σηµείο (, (, 5 Aν ( x, yz, = ( x z, y+ z, x+ az y x F = x + y x y - xy ( xy, F υπολογίστε τη σταθερά a ώστε div F = Απάντ a = 6 Aν r είναι το διάνυσµα θέσης σηµείου P και αν r = r δείξτε ότι (α f ( r f ( r = r, (β div( r r r r = 6r, (γ rot = r 7 Αν f, g είναι δύο βαθµωτά πεδία µε συνεχείς µερικές παραγώγους στον δείξτε ότι ( f g = 74

27 8 Να βρεθούν όλες οι πραγµατικές συναρτήσεις f ( r, r = r για τις c = r οποίες ισχύει f ( r r = Απάντ f ( r 9 Εστω u: : u= u( x, y, z έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης Αν f : είναι παραγωγίσιµη συνάρτηση δείξτε ότι ( u (α f ( u = ( = (β div a f u u όπου a είναι σταθερό διάνυσµα (γ div u f ( u = Εστω FG, είναι δυο αστρόβιλα διανυσµατικά πεδία είξτε ότι το εξωτερικό τους γινόµενο είναι ασυµπίεστο πεδίο x 4 z Αν F ( xyz,, = + y, x ay+ z, x+ y+ (a είναι σταθερά βρείτε την επιφάνεια πάνω στην οποία το πεδίο είναι ασυµπίεστο Απάντ x + z = a Αν r r = 4 = + +, δείξτε ότι f ( r f ( r r x y z r f r = + και r 75

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 2.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 2.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Οριο και συνέχεια πραγµατικών συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ο υπολογισµός ορίου σε σηµείο Ρ συναρτήσεων πολλών

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γράφημα μιας πραγματικής συνάρτησης : ή ( )/ σύνολο: f Οι θέσεις του κινητού σημείου G ( x, y)/ y f( x), xa. f A y f x A είναι το M x, y, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν (

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Θεώρημα Green Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ETION 1 13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 13.1 Ορισµοί Μεγέθη Μια ποσότητα που εκφράζεται από ένα µόνο πραγµατικό αριθµό καλείται βαθµωτό µέγεθος. Μια ποσότητα που εκφράζεται από περισσότερους από έναν πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Θεώρημα Green Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Κλίση συνάρτησης f Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Αν σε κάθε σημείο Px, y,z ενός τμήματος Δ του χώρου μία τιμή, ορίζεται μια συνάρτηση. f x, y,z : Δ, Δ αντιστοιχίσουμε την οποία ονομάζουμε σημειακή

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Θεώρημα Green Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 1.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ.

ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 1.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ. ΚEΦΑΛΑΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ορισµός Μια πραµατική συνάρτηση f πολλών µεταβλητών (ή αλλιώς βαθµωτό ή αριθµητικό πεδίο) αποτελείται από το πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Κατευθυνόµενη Παράγωγος Ορισµός Έστω a είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα µοναδιαίο διάνυσµα του χώρου ), E είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του, : E και

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

1 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 19 Νοεµβρίου 2006

1 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 19 Νοεµβρίου 2006 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 9 Νοεµβρίου 6. α. Να βρεθεί η γωνία µεταξύ των διανυσµάτων a = i + j k και b = 6 i j + k. β. Να δείξετε ότι τα διανύσµατα a, b, c είναι ορθογώνια και µοναδιαία. a = ( i

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ A u B Μέτρο Διεύθυνση Κατεύθυνση (φορά) Σημείο Εφαρμογής Διανυσματικά Μεγέθη : μετάθεση, ταχύτητα, επιτάχυνση, δύναμη Μονόμετρα Μεγέθη : χρόνος, μάζα, όγκος, θερμοκρασία,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ

Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ 2 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Ορια και Συνέχεια 1.1 Ορια Παράδειγµα 1.1. Να υπολογίσετε το x+y lim (x,y) (0,0) x y. Απάντηση: Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση 44 ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση F : U R R. Για εµάς φυσικά µια τέτοια συνάρτηση θα θεωρείται ότι είναι τουλάχιστον συνεχής και συνήθως C και βέβαια

Διαβάστε περισσότερα

8. 1 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία

8. 1 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία 8. 1 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f : 2 Ø που έχει ως πεδίο ορισμού ολόκληρο το επίπεδο 2 και τύπο f Hx, yl = 2 xy. Επειδή τα στοιχεία του ονομάζονται και βαθμωτά, η παραπάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ (ΘΕ ΠΛΗ ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ TEΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουνίου 8 Θέµα ο ( µονάδες) α) ( µονάδες) yz yz του διανυσµατικού

Διαβάστε περισσότερα

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( )

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( ) 3 Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος Ολόµορφες συναρτήσεις Τοπολογικοί ορισµοί Ορισµός 3 Εστω και ε > Καλούµε ε-ανοικτή περιοχή ή ανοικτό δίσκο κέντρου και ακτίνας ε το σύνολο { ε} D ( ) = : < ε Ορισµός 3 Έστω Το

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Τρία συνηθισµένα λάθη που κάνουν µαθητές της Γ Λυκείου σε ασκήσεις του ιαφορικού Λογισµού ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ3 e-mail@p-thedrpuls.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή επισηµαίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Εφαρµογές του ορισµένου ολοκληρώµατος

Κεφάλαιο 9. Εφαρµογές του ορισµένου ολοκληρώµατος 9. Εµαδόν χωρίου Κεφάλαιο 9 Εφαρµογές του ορισµένου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο είδαµε ότι αν f είναι µια συνάρτηση συνεχής στο κλειστό και φραγµένο διάστηµα [α,] (α

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 8 Παραβολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Παραβολή είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από µια σταθερή ευθεία (δ) που λέγεται διευθετούσα της παραβολής και από

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Στροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή.

Στροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή. Στροφορµή Έστω ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ και έστω ένα σηµείο Ο. Ορίζουµε στροφορµή του υλικού σηµείου ως προς το Ο, το εξωτερικό γινόµενο: L= r p= m r υ Όπου r η απόσταση του υλικού σηµείου

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4. bt (γιατί;).

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4. bt (γιατί;). ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 1 Τμήμα Α Ακ.Έτος: 6-7 Διδάσκων Σ.Ε.Π. : Τρύφων Δάρας ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Μία συνάρτηση της μορφής r ():[ aβ, ] (αντίστοιχα r ():[, ] aβ ) λέμε ότι παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Ενότητα 1: Στοιχεία Διανυσματικού Λογισμού Σκορδύλης Εμμανουήλ Καθηγητής Σεισμολογίας,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ ιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ Kαλούµε διάνυσµα AB ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα µε άκρα τα Α και Β Το σηµείο Α καλείται σηµείο εφαρµογής του διανύσµατος AB, ενώ το σηµείο Β καλείται

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Kehagias, 2009

Thanasis Kehagias, 2009 Μέρος II Αναλυτικη Γεωµετρια 33 34 Το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια, λυµενες και αλυτες ασκησεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου

Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων Τοµεας Γεωµετριας Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου Πρώτη Εργασία, 2017-2018 1. ίνεται ϱοή φ(p, t). (αʹ) είξτε ότι το ω οριακό

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική

Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική ΦΥΣ 211 - Διαλ.29 1 q Ενδιαφέρουσα κίνηση: Ø Αρκετά περίπλοκη Ø Δεν καταλήγει σε κίνηση ενός βαθµού ελευθερίας q Τι είναι το στερεό σώµα: Ø Συλλογή υλικών σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Ακουστικό Ανάλογο Μελανών Οπών

Ακουστικό Ανάλογο Μελανών Οπών Ακουστικό Ανάλογο Μελανών Οπών ιάδοση ηχητικών κυµάτων σε ρευστά. Ηχητικά κύµατα σε ακίνητο ρευστό. Εξίσωση συνέχειας: ρ t + ~ (ρ~v) =0 Εξίσωση Euler: ~v t +(~v ~ )~v = 1 ρ ~ p ( ~ Φ +...) Μικρές διαταραχές:

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 3 Σεπτεµβρίου 205 Εισαγωγή Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε πως προκύπτει η ιδέα του ορίου στην προσπά- ϑεια να ορίσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 6 Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Υπάρχουν διαφόρων ειδών ολοκληρώµατα διανυσµάτων, ανάλογα µε τη µορφή που έχει η ολοκληρωτέα

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. Κεφάλαιο 6. a = a 0 + x 1 b 1 + x 2 b 2 + x 3 b 3, όπου b i = a i a 0, i = 1, 2, 3, P 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2y + 3z = 2}.

Ασκήσεις. Κεφάλαιο 6. a = a 0 + x 1 b 1 + x 2 b 2 + x 3 b 3, όπου b i = a i a 0, i = 1, 2, 3, P 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2y + 3z = 2}. Κεφάλαιο 6 Ασκήσεις 1. (αʹ) ώστε δράση του Χ R 2 στο αφινικό επίπεδο P = {(x, y, z) R 3 : x = 2}. Επίσης, δώστε µία αφινική ϐάση τριών σηµείων (a 0, a 1, a 2 ) και ϐρείτε τις ϐαρυκεντρικές συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι ικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 207 Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Επισκόπηση γνωστών εννοιών. -8. Σειρές πραγµατικών αριθµών..2 Σειρές συναρτήσεων..3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα