9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ"

Κλεόπατρος Λαμπρόπουλος
9 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα σταθερό σηµείο. Θα βρούµε την εξίσωση του κύκλου ως προς ένα ορθοκανονικό σύστηµα αναφοράς Αναλυτική εξίσωση κύκλου (Ι) κύκλος µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: + =ρ Παρατήρηση: κύκλος µε κέντρο (0,0) και ακτίνα λέγεται µοναδιαίος κύκλος και έχει εξίσωση : + = ρ Μ(,) Όταν οι συντεταγµένες ενός σηµείου Μ(,) της γραµµής δίνονται ως συναρτήσεις µιας µεταβλητής t ( η οποία καλείται παράµετρος), τότε λέµε ότι έχουµε τις παραµετρικές εξισώσεις της γραµµής ι παραµετρικές εξισώσεις έχουν µορφή: =(t), =(t), όπου η µεταβλητή t ανήκει σε ένα σύνολο Α Εφαπτοµένη κύκλου Η εφαπτοµένη του κύκλου + =ρ στο σηµείο του Α(, ) έχει εξίσωση: + =ρ - A(,) ε (0,0) - Μ(,) Παρατήρηση: συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης είναι: λ ε =, 0

Θα βρούµε την εξίσωση του κύκλου ως προς ένα ορθοκανονικό σύστηµα αναφοράς Αναλυτική εξίσωση κύκλου (Ι) κύκλος µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: + =ρ Παρατήρηση: κύκλος µε

2 ΚΕΦ 3 ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ Αναλυτική εξίσωση κύκλου (ΙΙ) κύκλος µε κέντρο το σηµείο Κ( 0, 0 ) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: (- 0 ) +(- 0 ) =ρ Μ(,) ρ K(, ) 0 0 Γενική εξίσωση κύκλου i) Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της µορφής + +Α+B+Γ=0, µε Α +Β -4Γ>0 ii) H εξίσωση + +Α+B+Γ=0, µε Α +Β -4Γ>0 παριστάνει κύκλο µε κέντρο Α Β Κ -,- και ακτίνα ρ= Α +Β -4Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκ. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου µε κέντρο την αρχή των αξόνων ο οποίος: α) διέρχεται από το σηµείο Α(-α,0) β) διέρχεται από το σηµείο Α(, ) γ) εφάπτεται στην ευθεία +=3 δ) εφάπτεται στην ευθεία (ηµθ)+(συνθ)= ρ K(-A/,-B/) Κύκλος µε κέντρο την αρχή των αξόνων Για να γράψουµε την εξίσωση αυτού του κύκλου πρέπει να ξέρουµε την ακτίνα ρ σηµείο Κ( 0, 0 ). Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου στις παρακάτω περιπτώσεις: Για να γράψουµε την α) Έχει κέντρο το σηµείο Κ(,-3) και διέρχεται από το σηµείο Α(3,). εξίσωση αυτού του κύκλου πρέπει να ξέρουµε την β) Έχει διάµετρο το τµήµα µε άκρα Α(0,3) και Β(4,-). ακτίνα ρ και τις συντεταγµένες ( 0, 0 ) του γ) Έχει ακτίνα ρ=5 και τέµνει τον άξονα χ χ στα σηµεία Α(-,0) και Β(4,0). κέντρου δ) ιέρχεται από τα σηµεία Α(-,0) και Β(5,0) και έχει κέντρο στην ευθεία =. ε) Τέµνει τον άξονα χ χ στα σηµεία Α(-,0) και Β(5,0) και τον στο Γ(0,-). στ) Εφάπτεται του άξονα χ χ στο σηµείο Α(5,0) και διέρχεται από το σηµείο Β(3,4). Κύκλος µε κέντρο το ζ) ιέρχεται από το σηµείο Α(,) και εφάπτεται στην ευθεία 4+3= στο σηµείο Β(0,4). 3. : ΚΥΚΛΣ Γ. Καρτελιάς

Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου µε κέντρο την αρχή των αξόνων ο οποίος: α) διέρχεται από το σηµείο Α(-α,0) β) διέρχεται από το σηµείο Α(, ) γ) εφάπτεται στην ευθεία +=3 δ) εφάπτεται στην ευθεία

3 3. είξτε ότι οι παρακάτω εξισώσεις παριστάνουν κύκλο και βρείτε το κέντρο και την ακτίνα των κύκλων αυτών. Κατόπιν να τους γράψετε και µε άλλη µορφή α) =0 β) + +6α+0β+9α +8β =0 Από την γενική εξίσωση στην αναλυτική Βρίσκουµε από τους τύπους: ( 0, 0 ) και ρ ή τα Α, Β, Γ 4. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης του κύκλου + = η οποία: α) ιέρχεται από το σηµείο Α( 6, ). β) ιέρχεται από το σηµείο Β(,0). γ) ιέρχεται από το σηµείο Γ(0,- ). δ) Σχηµατίζει µε τον άξονα χ χ γωνία ε) Είναι κάθετη στην ευθεία ++=0. στ) ιέρχεται από το σηµείο (,0) Ευθεία εφαπτοµένη σε κύκλο 5. α) Να δείξετε ότι η ευθεία: Για να είναι η ευθεία ε εφαπτοµένη του ζ: 3-=0 είναι εφαπτοµένη του κύκλου + =0 κύκλου κέντρου Κ( 0, 0 ) και ακτίνας ρ, η: 3-4-9=0 είναι εφαπτοµένη του κύκλου +(+) =9 αρκεί να ισχύει d(k, ε)=ρ β) Να βρεθεί ο λ ώστε η ευθεία θ: =λ-4 να είναι εφαπτοµένη του κύκλου (-) +(+) = 6. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης : α) του κύκλου (-) +(+) =4 στο σηµείο του Α(4,-) β) του κύκλου =0 που διέρχεται από το σηµείο Β(-4,4) γ) του κύκλου (-) +(+) =5 που είναι παράλληλη στην ευθεία =+5 7. ι συντεταγµένες ενός σηµείου Μ(,) ικανοποιούν τις σχέσεις: =+συνθ και =3-ηµθ, θ R. Να δειχθεί ότι τα σηµεία Μ ανήκουν σε κύκλο. Εφαπτοµένη κύκλου : + =ρ Για να γράψουµε την εξίσωση της εφαπτοµένης του κύκλου : Αν γνωρίζουµε το σηµείο επαφής A(, ), η εξίσωση προκύπτει άµεσα από τον τύπο + =ρ Αν δεν γνωρίζουµε το σηµείο επαφής τότε το ονοµάζουµε έστω Α(, ), γράφουµε την εφαπτοµένη στο Α και έχουµε i) ι συντεταγµένες του Α επαληθεύουν την εξίσωση του κύκλου ii) H εφαπτοµένη ικανοποιεί την συνθήκη του ζητήµατος Παραµετρική εξίσωση κύκλου Κάνουµε απαλοιφή της παραµέτρου και παίρνουµε µια από τις γνωστές µορφές. Συνήθως λύνουµε ως προς συνθ και ηµθ και αντικαθιστούµε στην ταυτότητα συν θ+ ηµ θ= 8. Για τις διάφορες τιµές του λ R να βρεθούν οι σχετικές θέσεις της ευθείας ε: =λ- και του κύκλου : + =. Σχετικές θέσεις ευθείας κύκλου Προκύπτουν από την λύση του συστήµατος των εξισώσεών τους 3

Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης του κύκλου + = η οποία: α) ιέρχεται από το σηµείο Α( 6, ). β) ιέρχεται από το σηµείο Β(,0). γ) ιέρχεται από το σηµείο Γ(0,- ).

4 ΚΕΦ 3 ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ Γεωµετρικοί τόποι 9. Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ, για i) Θεωρούµε τυχαίο σηµείο Μ(,) του γ. τόπου τα οποία ο λόγος των αποστάσεών τους από τα σηµεία Α(-3,0) ii) Εκφράζουµε µε αλγεβρικές και Β(3, 0) είναι σταθερός και ίσος µε. (Απολλώνιος κύκλος) σχέσεις την ιδιότητα που έχει το σηµείο Μ iii) Εκτελούµε τις πράξεις και παίρνουµε µία εξίσωση ως προς, 0. ίνονται τα σηµεία Α(, -) και Β(3, ). Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ όταν: α) 3ΜΑ ΜΒ = 6 β) ΜΑ ΜΒ=5. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων τοµής των ευθειών ε : λ--=0 και ε : +λ-λ=0. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις α. έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β. έχει κέντρο το σηµείο (3, -) και ακτίνα 5 γ. έχει κέντρο το σηµείο (-, ) και διέρχεται από το σηµείο (-, 3) δ. έχει διάµετρο το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ µε Α (, 3) και Β (-3, 5) 5 5 ε. διέρχεται από τα σηµεία (, ) (, ) και, στ. διέρχεται από τα σηµεία (3,), (-,3) και έχει κέντρο πάνω στην ευθεία = 3 ζ. έχει κέντρο το σηµείο (8, -6) και διέρχεται από την αρχή των αξόνων η. έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και εφάπτεται της ευθείας 3 + = 0 θ. έχει ακτίνα 4, εφάπτεται στον άξονα και διέρχεται από το σηµείο (5,4) ι. έχει κέντρο το σηµείο (-3, ), εφάπτεται στον άξονα και διέρχεται από το σηµείο (-6,) ια. έχει κέντρο το σηµείο (3,3) και εφάπτεται των αξόνων και ιβ. έχει κέντρο το σηµείο (-3, ) και εφάπτεται στην ευθεία = 0. [ Aπ : δ) (+) +(-4) =5 ε) + =5 στ) (-) +(-4) =0 η) + =0 θ) (-9) +(-4) =6 ή (-) +(-4) =6 ι) (+3) +(-) =9 ] 3. Ποιές από τις παρακάτω εξισώσεις αποτελούν κύκλο; Στις περιπτώσεις που αποτελούν κύκλο, να βρείτε τα κέντρα και τις ακτίνες τους. : = 0, : = 0 3 : + = 6, 4 : = 0 5 : = 0 4. Να εξετάσετε αν η ευθεία + = είναι εφαπτοµένη του κύκλου + =. 5. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από την αρχή των αξόνων, έχει ακτίνα R = 4 5 και η τετµηµένη του κέντρου του είναι διπλάσια της τεταγµένης. [ Απ: ( + 8) + ( + 4) = 80 ή (-8) +(-4) =80 ] 6. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του στην ευθεία (ε): + + = 0 και διέρχεται από τα σηµεία Α(-,) και Β(3, -) : ΚΥΚΛΣ Γ. Καρτελιάς

(Απολλώνιος κύκλος) σχέσεις την ιδιότητα που έχει το σηµείο Μ iii) Εκτελούµε τις πράξεις και παίρνουµε µία εξίσωση ως προς, 0. ίνονται τα σηµεία Α(, -) και Β(3, ).

5 7. ίνεται η ευθεία =λ και ο κύκλος + 4+=0. Να βρεθεί η τιµή του λ ώστε η ευθεία : α. να τέµνει τον κύκλο β. να εφάπτεται του κύκλου γ. να µην έχει κοινά σηµεία µε τον κύκλο 8. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόµενων του κύκλου + = 4 που είναι παράλληλες στην ευθεία + = 0. [ Aπ : +- 4 =0 ή ++ 4 =0 ] 9. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόµενων του κύκλου + = 9 που φέρονται από το σηµείο (0, 6). [ Aπ : 3 +=6 ή - 3 +=6 ] 0. ίνεται η εξίσωση = 0. α. Να αποδείξετε ότι είναι εξίσωση κύκλου. β. Να δείξετε ότι το σηµείο Α (3, ) ανήκει σ αυτό τον κύκλο γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης του κύκλου στο Α. [ Απ : γ) = 3 4 ]. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο Α(,3) και εφάπτεται στην ευθεία 4-5=0 στο σηµείο Β(5, 4).. Να βρείτε τη µικρότερη απόσταση του σηµείου Α (8, -6) από τον κύκλο : + 4 = [ Aπ: 8 από το, ] ίνονται τα σηµεία Α(,), Β(,4) και Γ(3,) α. Να αποδειχθεί ότι: γωνία ΒΑΓ = 90 ο β. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σηµεία Α, Β και Γ. [ Aπ : (-5/) +(-5/) =5/ ] 4. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σηµεία: Α(,), Β(6,3), Γ(9,). [ Aπ : (-6) +(+) =5 ] 5. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (, 0) και εφάπτεται στις ευθείες = 0 και 3 + = Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι : ( ) + = 4 και : + = 0 εφάπτονται εσωτερικά. 7. Να δειχθεί ότι η εξίσωση + + λ = 0 παριστάνει κύκλο για κάθε λ R *. Να βρεθεί η γραµµή πάνω στην οποία βρίσκονται τα κέντρα αυτών των κύκλων. 8. Θεωρούµε τον κύκλο : = 0 και το σηµείο Α(-,-). Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας που ορίζει στον κύκλο χορδή, µε µέσο το σηµείο Α. [ Aπ : = ] 9. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος διέρχεται από τα σηµεία Α (0, ), Β (0, 8) και εφάπτεται στον άξονα. [ Απ: ( 4) +( 5) =5 ή (+4) +( 5) =5 ] 30. ίνεται ο κύκλος ; ( ) + ( ) = και η ευθεία ε: = 3. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου του συµµετρικού του ως προς την ευθεία ε. [ Απ: ( 5) +(+) =] 5

Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόµενων του κύκλου + = 9 που φέρονται από το σηµείο (0, 6). [ Aπ : 3 +=6 ή - 3 +=6 ] 0. ίνεται η εξίσωση + + 0 + = 0. α. Να αποδείξετε ότι είναι εξίσωση κύκλου. β. Να δείξετε ότι το σηµείο Α (3, ) ανήκει σ αυτό τον κύκλο γ.

6 ΚΕΦ 3 ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ 3. ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ µε κορυφές Α(, 4), Β (4,4), Γ (4, ), (,). Αφού σχεδιάσετε τον εγγεγραµµένο και περιγεγραµµένο κύκλο : α. Να γράψετε τις εξισώσεις αυτών των δύο κύκλων β. Να βρείτε τη µικρότερη απόσταση του άξονα από τον περιγεγραµµένο κύκλο. [ Απ : a) περιγεγραµµένος κύκλος : εγγεγραµµένος κύκλος : 9 + =, 9 + =, β) ] 3. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται των ευθειών =- +3, + +=0 και το κέντρο του ανήκει στην ευθεία = +. [ Aπ : 33. ίνονται οι κύκλοι : : ( ) + ( ) = και : + ( ) = ] =. 4 Να εξετάσετε αν οι κύκλοι εφάπτονται (εσωτερικά ή εξωτερικά). 34. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του στην ευθεία (ε) µε εξίσωση =- και διέρχεται από τα κοινά σηµεία των κύκλων ( ) και ( ) µε αντίστοιχες εξισώσεις: = 0 και = Να βρείτε την εξίσωση των κύκλων που διέρχονται από τα σηµεία A( 3,) και B(, ) και εφάπτονται στην ευθεία (ε) µε εξίσωση = Να βρείτε την εξίσωση των κύκλων που διέρχονται από το σηµείο M(4, ) και εφάπτονται στις ευθείες ε ) + 4= 0 και ε ) 8= 0. ( ( 37.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στους θετικούς ηµιάξονες O και O και εξωτερικά στον κύκλο ( ) µε εξίσωση ( 4) + ( 4) = ίνεται η γραµµή µε εξίσωση µ : + +µ-µ-=0, µ R. i) είξτε ότι η µ παριστάνει κύκλο για κάθε µ R. ii) Να βρεθεί το µ ώστε η χορδή που ορίζει η ευθεία (ε): =+ στον κύκλο µ να φαίνεται από την αρχή των αξόνων υπό ορθή γωνία. [ Aπ : µ=- ] iii) Ποιός ο γεωµετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων; 39. Na βρεθεί η εξίσωση κύκλου που διέρχεται από τα σηµεία Α(,0) και Β(3,0) και ορίζει από την ευθεία -=0 τµήµα που το µήκος του είναι µονάδες. [ Aπ : (-) +(+- ) =3-8 ή (-) +(++ ) =3+8 ] 40. ίνεται η εξίσωση: + -4λ+6λ+3λ -9=0, λ R (). i) Να δείξετε ότι η () παριστάνει ίσους κύκλους. ii) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκουν τα κέντρα των κύκλων : ΚΥΚΛΣ Γ. Καρτελιάς

[ Απ : a) περιγεγραµµένος κύκλος : εγγεγραµµένος κύκλος : 9 + =, 9 + =, β) 4 5 3 ] 3. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται των ευθειών =- +3, + +=0 και το κέντρο του ανήκει στην ευθεία = +.

7 7

Σχετικά έγγραφα

x y Ax By Εξίσωση Κύκλου Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο το σημείο Εφαπτομένη Κύκλου Η εφαπτομένη του κύκλου

x y Ax By Εξίσωση Κύκλου Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο το σημείο Εφαπτομένη Κύκλου Η εφαπτομένη του κύκλου ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση Κύκλου Έστω Oy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο το σημείο O(, ) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση y y ε Εφαπτομένη Κύκλου Η εφαπτομένη του κύκλου y ρ στο σημείο του