: Σημειώσεις. Μοντελοποίησης. Eυάγγελου Παπαδόπουλου. Kαθηγητή Σχολή Mηχανολόγων Mηχανικών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Transcript

1 : Σημειώσεις Μοντελοποίησης Eυάγγελου Παπαδόπουλου Kαθηγητή Σχολή Mηχανολόγων Mηχανικών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

2 2

3 Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Περιεχομένων Μηχανικά Συστήματα Μεταβλητές Ισχύος 5 2. Θεμελιώδη Στοιχεία Ελατήριο Μάζα Αποσβεστήρας 9 3. Πηγές Διασυνδεδεμένα Μηχανικά Στοιχεία 11 Ηλεκτρικά Συστήματα Μεταβλητές Ισχύος Θεμελιώδη Στοιχεία Πυκνωτής Επαγωγέας Αντίσταση Πηγές 2 Στροφικά Μηχανικά Συστήματα Μεταβλητές Ισχύος Θεμελιώδη Στοιχεία Ροπή αδράνειας Περιστροφικό ελατήριο Στοιχείο αντίστασης Πηγές 24 Υδραυλικά Συστήματα Μεταβλητές Ισχύος Θεμελιώδη Στοιχεία Υδραυλική Αδράνεια Υδραυλική Χωρητικότητα Υδραυλική Αντίσταση Πηγές 36 3

4 Θερμικά Συστήματα Μεταβλητές Ισχύος Θεμελιώδη Στοιχεία Θερμική Χωρητικότητα Θερμική Αντίσταση 4 Ιδανικά, Γραμμικά, Μονόθυρα Στοιχεία Μεταβλητές Ισχύος Θεμελιώδη Στοιχεία Στοιχείο συσσώρευσης ενέργειας τύπου «Α» Στοιχείο συσσώρευσης ενέργειας τύπου «T» Στοιχείο κατανάλωσης ισχύος τύπου «D» Πηγές Ιδανικές πηγές Πραγματικές πηγές Αιτιότητα 48 Γραμμικοί Γράφοι Έννοιες Γραμμικών Γράφων Kατασκευή Γραμμικού Γράφου Δένδρα Γράφων Tο Kανονικό Δένδρο Kατάστρωση Eξισώσεων Κατάστασης 59 6 Eιδικές Περιπτώσεις 63 Ιδανικά, Γραμμικά, Δίθυρα Στοιχεία Μεταλλάκτες Μετασχηματιστές Αναστροφείς Αιτιότητα Eξισώσεις Κατάστασης με Δίθυρα 7 4

5 Κεφάλαιο 1 Μηχανικά Συστήματα Μελετάμε συστήματα (μίας διάστασης) σε μεταφορική κίνηση και χρησιμοποιούμε διακριτά στοιχεία που περιγράφονται από συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Οι μεταβλητές του συστήματος είναι συναρτήσεις του χρόνου και όχι του χώρου. Περιγράφονται από συνήθεις διαφορικές εξισώσεις και όχι από εξισώσεις με μερικές παραγώγους. 1. Μεταβλητές Ισχύος v v = F Σχήμα 1-1. Στερεό σώμα σε μονοδιάστατη μεταφορική κίνηση. P = μηχανική ισχύς F = δύναμη: «διαμήκης» μεταβλητή ή through variable «Τ» v = ταχύτητα: «εγκάρσια» μεταβλητή ή across variable «Α» P = Fv (1-1) Για την μέτρηση μίας μεταβλητής «διαμήκους» απαιτείται η παρεμβολή οργάνου ή αισθητήρα μέτρησης. F F Σχήμα 1-2. Η δύναμη «διαπερνά» το υλικό. 5

6 Για την μέτρηση μίας «εγκάρσιας» μεταβλητής αυτή πρέπει να μετρηθεί ως προς άλλο σημείο που θεωρείται ότι κινείται με την ταχύτητα αναφοράς. v v = Σχήμα 1-3. Μέτρηση ταχύτητας. Εάν: P > τότε η ισχύς εισέρχεται στο σύστημα. F,v έχουν την ίδια κατεύθυνση P < τότε η ισχύς εξέρχεται από το σύστημα. F,v έχουν αντίθετες κατευθύνσεις v F Σχήμα 1-4. Αρνητική ροή ισχύος προς το σύστημα. v F Σχήμα 1-5. Θετική ροή ισχύος προς το σύστημα. Ανάλογα με τις «θύρες» από τις οποίες μεταφέρεται ισχύς σε ένα στοιχείο, αυτά χωρίζονται σε μονόθυρα, δίθυρα, ή και πολύθυρα. Τα στοιχεία 2 ακροδεκτών είναι μονόθυρα, ενώ τα στοιχεία 4 ακροδεκτών, δίθυρα. Ολοκληρωμένη «εγκάρσια» μεταβλητή: μετατόπιση Ολοκληρωμένη «διαμήκης» μεταβλητή: ορμή Εργο t x = v + x() (1-2) t p = F + p() (1-3) 6

7 t W = P = Fv (1-4) t 2. Θεμελιώδη Στοιχεία Τα θεμελειώδη μηχανικά στοιχεία για μεταφορική κίνηση είναι τα εξής: - Στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας: ελατήριο, μάζα - Στοιχείο κατανάλωσης ενέργειας (αντίσταση): αποσβεστήρας 2-1. Ελατήριο Καθαρό ελατήριο: περιγράφεται από μία μονότιμη και μονοτονική σχέση μεταξύ μεταβολής μήκους και δύναμης (δεν έχει μάζα) F F x Σχήμα 1-6. Ελατήριο x F Σχήμα 1-7. Σχέση δύναμης και μεταβολής μήκους. Καταστατική εξίσωση για ένα καθαρό ελατήριο x = f (F) (1-5) Ιδανικό ελατήριο: Η εξίσωση (σχέση) μεταξύ x και F είναι γραμμική. όπου c = υποχωρητικότητα [ m / N ]. Επίσης, γράφουμε: x = cf (1-6) όπου K = σκληρότητα, ή σταθερά ελατηρίου [ N / m] x = 1 K F (1-7) Εξίσωση στοιχείου: Συσχετίζει την «εγκάρσια» με την «διαμήκη» μεταβλητή ισχύος του στοιχείου. 7

8 df K = Kv K (1-8) F K v 2 K v 1 F K v K v 2 v 1 Σχήμα 1-8. Ελατήριο υπό την επίδραση δυνάμεων. Η δύναμη F K επιλέγεται ως μεταβλητή κατάστασης για ένα ελατήριο. Η v K θα αντικατασταθεί. Συσσώρευση ενέργειας (δυναμική ενέργεια) t Ε = F K v = F K dx = Kx dx (1-9) x x E = 1 2 Kx2 = 1 2K F 2 K (1-1) Το ελατήριο είναι ένα στοιχείο συσσώρευσης τύπου «Τ», διότι η ενέργειά του είναι μία συνάρτηση της «διαμήκους» μεταβλητής (και όχι μία συνάρτηση της ταχύτητας) Μάζα H καταστατική εξίσωση για μία καθαρή μάζα συνδέει την ορμή p με την ταχύτητα v ενός σώματος: Για παράδειγμα, ισχύει ότι p = f (v) (1-11) p = m v = m(v)v (1-12) 2 1 (v / c) όπου c είναι η ταχύτητα του φωτός. Για την ιδανική μάζα, ισχύει p = mv (1-13) v = v m F m m Σχήμα 1-9. Επιταχυνόμενη μάζα. 8

9 Εξίσωση στοιχείου F = dp F = m dv m m (1-14) dv m = 1 m F m (1-15) Η ταχύτητα v m είναι η μεταβλητή κατάστασης που αντιστοιχεί σε μία μάζα. Συσσώρευση ενέργειας (κινητική) t 1 E = F m v m = v m dv m m = 2 mv 2 m = 1 2 t E = 1 2 mv 2 m = 1 2m p 2 m p m 2 m (1-16) (1-17) Μία μάζα είναι ένα στοιχείο τύπου Α. Γιατί; 2-3. Αποσβεστήρας Καταστατική εξίσωση καθαρού στοιχείου F = f (v) (1-18) v = f (F) (1-19) Ιδανικός Αποσβεστήρας (τριβή ιξώδους ή δυναμική τριβή) F B = Bv B F B F B B v 2 v 1 Σχήμα 1-1. Αποσβεστήρας. Εξίσωση στοιχείου F B = Bv B = B(v 2 v 1 ) v B = 1 B F B (1-2) Κατανάλωση ισχύος (σε θερμότητα) 9

10 P = F B v B = Bv B 2 > (1-21) Η ενέργεια αποροφάται από έναν αποσβεστήρα και μετατρέπεται σε θερμότητα. Ο αποσβεστήρας είναι ένα στοιχείο τύπου «D» (dissipative element). Παραδείγματα Υπάρχουν διάφορα στοιχεία που καταναλώνουν ισχύ και την μετατρέπουν σε θερμότητα, βλ. Σχ F 1 B v Σχήμα Τύποι τριβής. Η ιξώδης ή δυναμική τριβή εμφανίζεται σε τριβή μεταξύ λιπαινόμενων επιφανειών, ή σε αποσβεστήρες λαδιού. Τότε ισχύει: F B = Bv B v B v = B Σχήμα Τριβή ιξώδους ή δυναμική τριβή (π.χ. τριβή σε γλύστρες). Αποσβεστήρας v 2 v 1 F B F B Σχήμα Αποσβεστήρας. F B = B(v 2 v 1 ) = Bv B (1-22) Άλλοι τύποι τριβής μπορούν να προσεγγισθούν με ιδανικά στοιχεία και γραμμικοποίηση. Επίσηςν μπορούν να εισαχθούν στις εξισώσεις και με τη μη γραμμική τους μορφή. 1

11 3. Πηγές Πηγή Δύναμης: Μία πηγή δύναμης εφαρμόζει δύναμη F s ανεξάρτητα της ταχύτητας του σημείου εφαρμογής. Η ταχύτητα στο σημείο αυτό καθορίζεται από το σύστημα F s v S Σχήμα Πηγές μηχανικών συστημάτων. 2 F s 1 mg Σχήμα Πηγή δύναμης. Πηγή ταχύτητας: Μία πηγή καθορίζει την ταχύτητα v s κάποιου σημείου ανεξάρτητα από την δύναμη που απαιτείται. Η απαιτούμενη δύναμη προκύπτει από τη δυναμική του συστήματος. v S 2 v S 1 Σχήμα Πηγή ταχύτητας. 4. Διασυνδεδεμένα Μηχανικά Στοιχεία Παράδειγμα: Ανάρτηση αυτοκινήτου Θεωρούμε το μοντέλο ανάρτησης αυτοκινήτου 1/4. Σε αυτό, θεωρούμε ότι κάθε τροχός παραλαμβάνει περίπου το ¼ του συνολικού βάρους. Προσθέτουμε την ανάρτηση και ένα 11

12 μοντέλο του τροχού που αποτελείται από μια μάζα, ελατήριο και απόσβεση, βλ. Σχ Είσοδος: Κίνηση εκτός δρόμου V. Εξισώσεις στοιχείων Τύπου Α Τύπου Τ Τύπου D dv m1 = 1 m 1 F m1 df K1 = K 1 v K1 F B1 = B 1 v B1 dv m2 = 1 m 2 F m2 df K2 = K 2 v K2 F B2 = B 2 v B2 v m 2 m 2 K 2 B 2 v m 1 m 1 v = V K 1 B 1 Σχήμα Μοντέλο ¼ αυτοκινήτου. Έχουμε 6 εξισώσεις με 12 αγνώστους. Άρα χρειαζόμαστε ακόμη 6 εξισώσεις. Αυτές προκύπτουν ως εξής: F m1 = F K1 + F B1 F K2 F B2 (1-23) F m2 = F K2 + F B2 (1-24) v K1 = V v m1 (1-25) v B1 = v K1 (1-26) v K2 = v m1 v m2 (1-27) v B2 = v K2 (1-28) 12

13 Η απεικόνιση με τη μορφή γραμμικού γράφου γίνεται με προσανατολισμένα γραμμικά τμήματα, βλ. Σχ Τα βέλη δείχνουν τη θετική κατεύθυνση της μεταβλητής Τ και τη φορά κατά την οποία η μεταβλητή Α μειώνεται. v m v 1 v 2 v 1 B v 2 K m v = K B m v v 1 2 v v 1 v 2 v m = Σχήμα Μηχανικά στοιχεία και απεικόνιση με στοιχεία γραμμικού γράφου. V K 1 v m 1 K 2 v m 2 V B 1 B 2 m 1 m 2 v = Σχήμα Γράφος της ανάρτησης αυτοκινήτου. 13

14 14

15 Κεφάλαιο 2 Ηλεκτρικά Συστήματα 1. Μεταβλητές Ισχύος Η ηλεκτρική ισχύς είναι ίση με: - v = τάση, μεταβλητή «Α», ή «εγκάρσια» μεταβλητή [ V ] - i = ρεύμα, μεταβλητή «Τ», ή «διαμήκης» μεταβλητή [ Α] P = vi (2-1) V i V i Σχήμα 2-1. Μέτρηση τάσης και ρεύματος. - Ολοκληρωμένη «εγκάρσια» μεταβλητή «Α»: πεπλεγμένη μαγνητική ροή t λ = v(τ )dτ + λ() Vs = Wb - Ολοκληρωμένη «διαμήκης» μεταβλητή «Τ»: ηλεκτρικό φορτίο t [ ] (2-2) q = i(τ )dτ + q() [C] (2-3) - Έργο ΔW = iv (2-4) 2. Θεμελιώδη Στοιχεία - Στοιχεία συσσώρευσης ενέργειας: πυκνωτής, επαγωγέας - Στοιχείο αντίστασης: αντίσταση 2-1. Πυκνωτής Ο πυκνωτής είναι στοιχείο τύπου «Α». Η εξίσωση στοιχείου είναι: 15

16 d(v 2 v 1 ) = dv 21 = 1 C i C (2-5) dv C = 1 C i C (2-6) Η τάση v 21 είναι υποψήφια μεταβλητή κατάστασης (σε μηχανολογικά συστήματα το αντίστοιχο είναι η γραμμική ταχύτητα v m ). C = χωρητικότητα F = C /V [ ]. i c v 2 C v 1 Σχήμα 2-2. Πυκνωτής. Συσσώρευση ενέργειας t E = vi = q vdq= q q C dq = 1 2C q2 E = 1 2 Cv 2 C, Τύπου «Α» (2-7) 2-2. Επαγωγέας Ο επαγωγέας είναι στοιχείο τύπου «T», με τη μεταβλητή «Τ» i L ως υποψήφια μεταβλητή κατάστασης. v 2 L v 1 i L Σχήμα 2-3. Επαγωγέας. L = Συντελεστής αυτεπαγωγής [ H = Vs / A] Συσσώρευση ενέργειας di L = 1 L v 21 = 1 L v L (2-8) v 21 = v 2 v 1 (2-9) t E = vi = i Li di E = 1 2 Li 2 L = 1 2L λ 2 L (2-1) 16

17 2-3. Αντίσταση Η αντίσταση είναι στοιχείο τύπου «D» και οι μεταβλητές ισχύος σχετίζονται αλγεβρικά. R = αντίσταση [ Ω], Σχ i R v 2 v 1 Σχήμα 2-4. Αντίσταση. v 21 = Ri R (2-11) Παράδειγμα Κύκλωμα (διασυνδεδεμένα ηλεκτρικά στοιχεία). Το σύστημα αυτό αντιστοιχεί και στο λεπτομερές μοντέλο ενός πραγματικού πυκνωτή. v 2 i R1 v 1 R 1 V C R 2 i c i R2 V Σχήμα 2-5. Γραμμικός Γράφος R "A" C R 2 V REF = V = Σχήμα 2-6. Στη συνέχεια, καταστρώνουμε τις εξισώσεις κατάστασης. Εξισώσεις στοιχείων: Στοιχείο τύπου «Α», με την μεταβλητή «Α» v c ως υποψήφια μεταβλητή κατάστασης. dv c = 1 C i c 17

18 Στοιχεία τύπου «D» v R1 = R 1 i R1 v R2 = R 2 i R2 Μεταβλητή κατάστασης: v c Στη συνέχεια εκφράζουμε την i c σαν μεταβλητή των v c και v S. Συμβατότητα σε βρόχους ΝΤΚ Σv i = βρόχος #1:v = v R1 + v c Συνέχεια σε κόμβους ΝΡΚ Σi i = βρόχος # 2:v c = v R2 Επομένως: κόμβος #1 i R1 = i C + i R2 i c = i R1 i R2 = v R 1 R 1 v R 2 R 2 = v S v c R 1 v c R 2 dv c = 1 v S 1 v c + 1 C R 1 R 1 R 2 dv c = R 1 + R 2 CR 1 R 2 v c + 1 CR 1 v S Έχουμε δηλαδή την εξίσωση κατάστασης που είναι τάξης n=1 και της μορφής: x = ax + bu C L R v 2 v 1 v 2 v 1 v 2 v 1 Σχήμα 2-7. Στοιχεία κυκλωμάτων και η αναπαράστασή τους ως κλάδων γράφου. Παράδειγμα Κύκλωμα (Διασυνδεδεμένα ηλεκτρικά στοιχεία) 18

19 v 3 i R1 v 2 i L v 1 R 1 V i c C R 2 i R2 V Σχήμα 2-8. Ηλεκτρικό κύκλωμα. Γραμμικός Γράφος v 3 R v 2 L v 1 C R 2 V REF = V = Σχήμα 2-9. Γράφος κυκλώματος του Σχ Εξισώσεις Κατάστασης Εξισώσεις στοιχείων τύπου «Α» τύπου «Τ» τύπου «D» dv 1 = 1 C i C di L = 1 L v 21 v 32 = R 1 i R1 v 1 = R 2 i R2 Έχουμε 2 μεταβλητές κατάστασης: v 1, i L Εκφράζουμε τις μεταβλητές i c, v 21, v 32, i R1, i R2 κατάστασης. ως συναρτήσεις των μεταβλητών Συμβατότητα σε βρόχους ΝΤΚ Σv i = βρόχος # 1:v 3 v 32 v 21 v 1 = (1) βρόχος # 2:v 1 v 1 = (2) Συνέχεια σε κόμβους ΝΡΚ Σi i = 19

20 κόμβος # 1 i R1 i L = (3) κόμβος # 2 i L i C i R2 = (4) (3) => i R1 = i L,v 32 = R 1 i L i R2 = v 1 R 2 (4) i C = i L v 1 R 2 Κατάστρωση εξισώσεων κατάστασης (1) v 21 = v S R 1 i L v 1 Τις ξαναγράφουμε στη σύνηθη μορφή di L = 1 ( L V R 1i L v 1 )) dv 1 = 1 C i v 1 L R 2 x 1 = i L, x 2 = v 1, u = v S x 1 = R 1 L x 1 1 L x L u x 2 = 1 C x 1 1 R 2 C x 2 x 1 x 2 = R 1 L 1 C 1 L 1 R 2 C x 1 x L u Δηλαδή ήλθαν στη μορφή x = Ax+ Bu (2-12) που αποτελεί την κανονική περιγραφή όλων των γραμμικών συστημάτων. 3. Πηγές Πηγή Ρεύματος: Μία πηγή ρεύματος ορίζει το ρεύμα i s ανεξάρτητα της τάσης στα άκρα της. Η τάση καθορίζεται από το σύστημα. 2

21 Πηγή Τάσης: Μία πηγή τάσης καθορίζει την τάση V s ανεξάρτητα από το ρεύμα που την διαπερνά. Το ρεύμα προκύπτει από τη δυναμική του συστήματος i S V S Σχήμα 2-1. Πηγές ηλεκτρικών συστημάτων. 21

22

23 Κεφάλαιο 3 Στροφικά Μηχανικά Συστήματα 1. Μεταβλητές Ισχύος Η στροφική ισχύς είναι ίση με: T = ροπή που είναι «διαμήκης» μεταβλητή «Τ» [ Nm] P = TΩ (3-1) Ω = γωνιακή ταχύτητα που είναι «εγκάρσια» μεταβλητή [ rad / s] Ολοκληρωμένη «εγκάρσια» μεταβλητή: γωνιακή μετατόπιση Ολοκληρωμένη «διαμήκης» μεταβλητή: στροφορμή Έργο t θ = Ω(τ )dτ +θ() (3-2) t h = T (τ )dτ + h() (3-3) ΔW = T Ω (3-4) 2. Θεμελιώδη Στοιχεία 2-1. Ροπή αδράνειας Αυτό είναι στοιχείο συσσώρευσης τύπου «Α». dω ανάλογο του στοιχείου μάζα στα γραμμικά μηχανικά συστήματα: = 1 J T (3-5) dv = 1 m F (3-6) 23

24 J T, REF Σχήμα 3-1. Επιταχυνόμενη ροπή αδράνειας. Η ροπή αδράνειας υπολογίζεται ως: J = r 2 dm kgm 2 v (3-7) Για ένα λεπτό δίσκο, η πολική ροπή αδράνειας δίνεται από τον τύπο: J δ = 1 2 mr 2 (3-8) 2-2. Περιστροφικό ελατήριο Αυτό είναι στοιχείο συσσώρευσης τύπου «Τ». dτ = K r Ω (3-9) K r = πgd 4 32l G N m 2 Κ r : σταθερά στροφικού ελατηρίου (στροφική δυσκαμψία) [ Nm / rad] (3-1) 2-3. Στοιχείο αντίστασης Πρόκειται για στοιχείο τύπου «D» Τ = Β r Ω (3-11) B r = στροφική απόσβεση, ή συντελεστής ιξώδους ή δυναμικής τριβής [ Nms] 3. Πηγές Πηγή Ροπής: Μία πηγή ροπής εφαρμόζει ροπή T s ανεξάρτητα της γωνιακής ταχύτητας του σημείου εφαρμογής. Η ταχύτητα στο σημείο αυτό καθορίζεται από το σύστημα. Πηγή γωνιακής ταχύτητας: Μία πηγή γωνιακής ταχύτητας καθορίζει τη γωνιακή ταχύτητα Ω s κάποιου στρεφόμενου σώματος ανεξάρτητα από τη ροπή που απαιτείται. Η απαιτούμενη ροπή προκύπτει από τη δυναμική του συστήματος. 24

25 Παράδειγμα Θεωρούμε το στροφικό σύστημα του Σχ. 3-2 και εξετάζουμε τα βασικά χαρακτηριστικά του κάθε στοιχείου. Σχήμα 3-2. Στροφικό σύστημα. Άξονας: Βασικά χαρακτηριστικά: ελαστικότητα + αδράνεια, υποθέτουμε ότι χαρακτηρίζεται κυρίως από ελαστικότητα. Αδράνεια: Βασικά χαρακτηριστικά: αδράνεια + ελαστικότητα, υποθέτουμε ότι χαρακτηρίζεται κυρίως από αδράνεια. Έδρανο: στοιχείο τριβής, υποθέτουμε ιξώδη τριβή. Ιδανικό Μοντέλο Ω s = Ω 2 Ω 1 = Ω J Ω = K r S 2 1 J B J Σχήμα 3-3. Στροφικό σύστημα ελατηρίου, απόσβεσης και αδράνειας. Γραμμικός Γράφος K r 2 1 m 2 B r J Σχήμα 3-4. Γράφος που αντιστοιχεί στο Σχ

26 Εξισώσεις Στοιχείων dt K = K r ( Ω 2 Ω 1 ) «Τ» dω 1 = 1 J Τ J «Α» Τ B = B r Ω 1 «D» Ω 1 = Ω J Εξισώσεις Μεταβλητών Κατάστασης T K T B T J = T J = Τ K Τ B ( ) T K = K r Ω J Ω S Ω S = 1 ( J Τ ΒΩ K r J ) Εάν το K r είναι πολύ μεγάλο, τότε ο άξονας είναι πρακτικά άκαμπτος και μπορεί να θεωρηθεί στερεό σώμα. Σε αυτή την περίπτωση, Αναθεωρημένο Μοντέλο Τ K = Τ J Ω = Ω 1 = Ω J T m B r Σχήμα 3-5. Απλοποιημένος γράφος για άκαμπτο άξονα. Ω = 1 ( J T m B r Ω) Κανονική μορφή Ω + B r J Ω = 1 J T m Ω() = 26

27 T m (t > ) = T Ω =? (απόκριση) T m T Σχήμα 3-6. Βηματική είσοδος ροπής. t (α) Λύση ομογενούς εξίσωσης Ω + 1 τ Ω = όπου τ η μηχανική χρονική σταθερά που ορίζεται ως τ = J Β r (β) Μερική λύση για Ω = Ω= σταθ. Ω ο = ce t/τ Ω μ = T Β r = Ω ss (γ) Πλήρης λύση Αρχικές συνθήκες Ω = Ω ο + Ω μ = ce t/τ + Ω ss Ω() = = c + Ω ss c = Ω ss Επομένως, η μεταβατική απόκριση είναι: Ω = Ω ss ( 1 e t/τ ) Με τιμή μόνιμης κατάστασης: Ω ss = T B r Το Σχ. 3-7 απεικονίζει την απόκριση καθώς και την μερική λύση και τη λύση της ομογενούς. 27

28 SS SS SS et/.63 SS Σχήμα 3-7. Απόκριση συστήματος 1ης τάξης σε βηματική είσοδο. Για τη χάραξη της απόκρισης χρησιμοποιούμε τις εξής παρατηρήσεις: Ω(τ ) =.63Ω ss Χαρακτηριστικά μεταβατικής απόκρισης 1. Τιμή της Ω σε χρόνο kτ : Ω() = Ω ss τ t /τ Ω / Ω ss Κλίση σε t = Ω() = Ω ss τ Απόκριση μόνιμης κατάστασης: 28

29 Ορίζουμε ως χρόνο αποκατάστασης t s το χρόνο στον οποίο η τιμή της απόκρισης απέχει από την τελική τιμή ±2% αυτής της τιμής. 1,63 Ω/Ω ss.8.6.4,98.2 t S /τ t/τ Σχήμα 3-8. Απόκριση συστήματος 1ης τάξης σε βηματική είσοδο t s Ω =.98Ω ss Ένα πείραμα με είσοδο βηματική συνάρτηση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για αναγνώριση (εύρεση) των παραμέτρων του συστήματος, βλ. Σχ ss ss t Σχήμα 3-9. Αναγνώριση των παραμέτρων του συστήματος. τ : Ω(τ ) =.63Ω ss τ * = J B r J = τ B r Ω * ss = T B r = Ω ss B r T Αδιάστατη απόκριση συστήματος 1 ης τάξης: Η εξίσωση γράφεται ως: x + 1 x = bu (3-12) τ Η αδιάστατη απόκριση παρουσιάζεται στο Σχ

30 1.8 x/x ss t/τ Σχήμα 3-1. Αδιάστατη απόκριση συστήματος 1ης τάξης. 3

31 Κεφάλαιο 4 Υδραυλικά Συστήματα 1. Μεταβλητές Ισχύος P= Πτώση πίεσης [ Ν / m 2, Pa] Q= παροχή, όγκος ροής m 3 / s «T» Ολοκλήρωμενη «εγκάρσια» μεταβλητή: Ορμή πίεσης Γ Ολοκλήρωμενη «διαμήκης» μεταβλητή: όγκος ρευστού t Ρ = PQ (4-1) Γ = P(τ )dτ + Γ() (4-2) t V = Q(τ )dτ + V() (4-3) Έργο ΔW = PQΔt (4-4) 2. Θεμελιώδη Στοιχεία Στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας: υδραυλική αδράνεια, χωρητικότητα Στοιχείο αντίστασης: αντίσταση ρευστού 31

32 2-1. Υδραυλική Αδράνεια A F 2 F 1 Σχήμα 4-1. Επιταχυνόμενη μάζα ρευστού μήκους Δl. l Υποθέτουμε: ρευστό χωρίς τριβές, ασυμπίεστο, ομοιόμορφη ταχύτητα, τοιχώματα σωλήνα μη παραμορφώσιμα m = ρv = ραδl (4-5) (F 2 F 1 ) = ραδl dv (4-6) Ρ 21 = Ρ 2 Ρ 1 = F 2 F 1 A Q = Av dq = A dv (εξ oρισμού) (4-7) (εξ ορισμού) (4-8) P 21 = ρδl A dq (4-9) Εξίσωση στοιχείου «Τ» dq όπου I είναι η αδράνεια ρευστού και δίνεται από τη σχέση: = 1 I P 21 (4-1) I = ρδl A kg / m 4 (4-11) Φυσική εξήγηση: Δεν μπορεί κανείς να αλλάξει τον ρυθμό ροής κατά μήκος ενός ενός σωλήνα ακαριαία. Σε μια τέτοια περίπτωση απαιτείται τεράστια διαφορά πίεσης με αποτέλεσμα το υδραυλικό πλήγμα. Γραμμικός γράφος Q P 2 P 1 Q P 2 I P 1 Σχήμα 4-2. Απεικόνιση αδράνειας ρευστού ως κλάδου γραμμικού γράφου. 32

33 Συσσώρευση ενέργειας t 1 Ε = PQ = IQ dq = 2 IQ2 στοιχείο τύπου «Τ» (4-12) Q 2-2. Υδραυλική Χωρητικότητα Ανοικτή δεξαμενή Στη συνέχεια εξετάζουμε μία ανοικτή δεξαμενή. Σε αυτή εισέρχεται ρευστό σε πίεση P 2 με παροχή Q. Η εξωτερική πίεση είναι P 1. Τότε ισχύει ότι: P 1 Q h P 2 Σχήμα 4-3. Υδραυλική χωρητικότητα (δεξαμενή). P 2 P 1 = mg A = ρahg = ρgh (4-13) A Q = dv = A dh (4-14) dp 21 = pg A Q (4-15) Εξίσωση στοιχείου dp 21 = 1 C f Q (4-16) Πρόκειται για στοιχείο τύπου «Α». Για μία δεξαμενή, η χωρητικότητα είναι ίση με: Καταστατική εξίσωση για γραμμική χωρητικότητα C f = A pg, m 4 s 2 kg (4-17) Συσσώρευση ενέργειας V = C f P (4-18) 33

34 t P Ε = PQ = C f PdP = 1 2 C f P2 = C f V 2 (4-19) Συσσωρευτής (εφοδιασμένος με ελατήριο) Όπως φαίνεται στο Σχ. 4-4, το ρευστό εισέρχεται στο συσσωρευτή από τη μία είσοδο και λόγω της αύξησης της πίεσης στο θάλαμο, μετακινεί το έμβολο που συμπιέζει ένα ελατήριο. Συχνά, το ελατήριο μπορεί να αντικαθίσταται από αέριο. x Q P 2 F P 1 Σχήμα 4-4. Υδραυλικός συσσωρευτής ελατηρίου. P 2 P 1 = F K A = K(x x ) A (4-2) dp 21 = K A v = K Α 2 Q (4-21) C f = A2 K (4-22) Η ενέργεια αποθηκεύεται στο ελατήριο. Συμπιεστό ρευστό σε μη παραμορφώσιμο αεροφυλάκιο Η καταστατική εξίσωση είναι: dp p = dp β όπου β είναι το μέτρο συμπιεστότητας ρευστού σε β = 2,2 1 9 Pa. Για τα τέλεια αέρια ισχύει, (4-23) [ Pa]. Για το νερό ισχύει β = kp, k = 1, 1, 4 k = (4-24) όπου k=1, για ισοθερμική και 1,4 για αδιαβατική μεταβολή. 34

35 Q P 1 V P 2 Σχήμα 4-5. Συμπιεστό ρευστό σε μη παραμορφώσιμο αεροφυλάκιο. H πίεση του περιβάλλοντος είναι σταθερή και ίση με P 1. Ισχύει ότι η εισροή μάζας στο αεροφυλάκιο ισούται με την αύξηση της μάζας σε αυτό. Έχουμε: PQ = d dp (ρ V ) = V dp P = Q V = dp 2 β = dp 21 β (4-25) dp 21 = β V Q = 1 C f Q (4-26) C f = V β ή V kp 2 (4-27) Αυτή η χωρητικότητα είναι καθαρή (όχι ιδανική) και μη γραμμική. Εξαρτάται από μία μεταβλητή ισχύος Υδραυλική Αντίσταση Οφείλεται στο ιξώδες του ρευστού, ή στην κίνηση των μορίων του. Αντίσταση: ροή μέσω σωλήνα, στόμια, βαλβίδες, ακροφύσια. P 21 = R f Q (4-28) Στρωτή ροή σε σωλήνα y u(y) D Σχήμα 4-6. Κατανομή ταχύτητας σε στρωτή ροή. R f = 128μl D 4 π (4-29) 35

36 Η σχέση αυτή ισχύει έως R e = 4 pq 2 (4-3) π Dμ όπου μ = απόλυτο/ δυναμικό ιξώδες και l το μήκος του σωλήνα. Τυρβώδης ροή και ροή μέσω ακροφυσίου Στην περίπτωση τυρβώδους ροής, η σχέση πίεσης-παροχής (ταχύτητας) είναι μη γραμμική. Η σχέση γράφεται όπως στην Εξ. (4-31), έτσι ώστε να διατηρείται το σωστό πρόσημο στη διαφορά της πίεσης. P 21 = C R QQ (μη γραμμικό) (4-31) όπου C R = P 2c d 2 A 2 (4-32) Η παράμετρος c d προκύπτει από πινακες ή πειράματα. Ορίζουμε επίσης το συντελεστής αντίστασης: K = 1 c d 2 (4-33) με τον οποίο γράφουμε τη συνήθη σχέση: P = K ρ 2 v2 (4-34) Ροή μέσω πορώδους υλικού P 21 = R f Q (4-35) όπου R f = σταθερά. 3. Πηγές Πηγή πίεσης: Μία πηγή πίεσης εφαρμόζει πίεση P s ανεξάρτητα της παροχής του σημείου εφαρμογής. Η παροχή καθορίζεται από το σύστημα. Στην πράξη, αυτό επιτυγχάνεται με εμβολοφόρες αντλίες και σερβο-ελεγχόμενη πλάκα. Πηγή παροχής: Μία πηγή παροχής καθορίζει την παροχή ρευστού Q s ανεξάρτητα από την πίεση που απαιτείται. Η απαιτούμενη πίεση προκύπτει από τη δυναμική του συστήματος. Στην πράξη, αυτό επιτυγχάνεται με γραναζωτές αντλίες. 36

37 Παράδειγμα P 5 R 2, I 2 C R 1, I 1 P 1 P 3 P = m 2 m Σχήμα 4-7. Υδραυλική εγκατάσταση. Συσσωρευτής: εκμηδενίζει διαταραχές πίεσης (διατηρεί σταθερή την πίεση). P R I 2 2 P 3 R 5 1 P 4 I C P 2 1 P 1 R P REF = Σχήμα 4-8. Γράφος της εγκατάστασης του Σχ Οι μακρείς και μικρής διατομής σωλήνες, μοντελοποιούνται ως στοιχεία αντίστασης R και αδράνειας I με κοινή ροή (σύνδεση σε σειρά). Για να γίνει αυτό, υποθέτουμε την ύπαρξη πλασματικής ενδιάμεσης πίεσης, π.χ. της πίεσης P 4 στο Σχ Εξισώσεις Στοιχείων dq I 2 = 1 I 2 P 43 αδράνεια «Τ» dq I1 dp 3 = 1 I 1 P 21 = 1 c Q c χωρητικότητα «Α» P 54 = R 2 Q R2 P 32 = R 1 Q R1 P 1 = R Q R στοιχεία αντίστασης 37

38 38

39 Κεφάλαιο 5 Θερμικά Συστήματα 1. Μεταβλητές Ισχύος Τ= θερμοκρασία K, ο C, στοιχείο τύπου «Α» q= ροή θερμότητας [ W, J / s] στοιχείο τύπου «Τ» Ροή ισχύος οφειλόμενη στη μεταφορά θερμότητας P = q (5-1) Για τα θερμικά συστήματα, το γινόμενο των μεταβλητών ισχύος δεν δίνει ισχύ. Αντίθετα, ισχύς είναι η μεταβλητή «Τ». Η ενέργεια E αποθηκεύεται ή μεταφέρεται. Επίσης, η E είναι η ολοκληρωμένη μεταβλητή «Τ». t E = q (5-2) 2. Θεμελιώδη Στοιχεία - Δεν υπάρχει φυσικό φαινόμενο, το οποίο αντιστοιχεί σε αυτεπαγωγή. - Θερμική χωρητικότητα (συσσώρευση), θερμική αντίσταση Θερμική Χωρητικότητα Καταστατική εξίσωση καθαρής χωρητικότητας, με U την εσωτερική ενέργεια U = f (T ), [J] (5-3) Ιδανική χωρητικότητα Θερμική χωρητικότητα μίας καθαρής ουσίας U = C t T (5-4) C t = c p m J / K (5-5) όπου m μάζα και c p = ειδική θερμότητα υπό σταθερή πίεση (πίνακες). Εξισώσεις (ιδανικών) στοιχείου τύπου «Α» q = C t dt (5-6) 39

40 dt = 1 C t q (5-7) E = U = C t T (5-8) Ως θερμοκρασία αναφοράς μπορούμε να λάβουμε οποιαδήποτε σταθερή θερμοκρασία T 1, π.χ. τη θερμοκρασία του περιβάλλοντος ή και την T =. c t T 2 T 1 T = Σχήμα 5-1. Κλάδος γράφου για τη θερμική χωρητικότητα Θερμική Αντίσταση Καθαρή αντίσταση q = f (T ) (5-9) Θερμικά Φαινόμενα: μεταφορά θερμότητας με αγωγή ροή μέσω υλικών μεταφορά θερμότητας με συναγωγής κίνηση ρευστού μεταφορά θερμότητας μέσω ακτινοβολίας όπως η διάδοση του φωτός Αγωγή (Fourier): q = 1 R t (T 2 T 1 ) (5-1) o K R t W Για αγωγή μέσα από πλάκα ισχύει, βλ. Σχ. 5-2, (5-11) R t = l ρ c A (5-12) όπου ρ c = k W Km (5-13) είναι η θερμική αγωγιμότητα. Η θερμική αγωγιμότητα είναι υψηλή για θερμικούς αγωγούς και χαμηλή για μονωτές. Για ροή μέσα από κυλίνδρους, βλ. Σχ. 5-2, ισχύει ότι: R t = ln(r 1 / r 2 ) 2πlρ c (5-14) 4

41 T 2 A r 1 r 2 l T 1 l Σχήμα 5-2. Αγωγή θερμότητας μέσα από υλικό. Συναγωγή: (φυσική, εξαναγκασμένη) q = 1 R t (T 2 T 1 ) (5-15) R t = Ah (5-16) όπου h = συντελεστής μεταφοράς θερμότητας και Α = επιφάνεια διεπαφής A T 2 T 1 Σχήμα 5-3. Συναγωγή. Ακτινοβολία (Stefan-Boltzman): q = c r (T 2 4 T 1 4 ) (5-17) όπου c r = συντελεστής μεταφοράς θερμότητας με ακτινοβολία που εξαρτάται από τη γεωμετρία και τα υλικά. q f (T 21 ) (5-18) 41

42 Η σχέση αυτή είναι ιδιαίτερα μη γραμμική. Κατά προσέγγιση σε ορισμένες περιπτώσεις μπορούμε να γράψουμε: q = c r (T 2 T 1 )(T 2 + T 1 )(T T 1 2 ) c r T 3 (T 2 T 1 ) (5-19) Παράδειγμα Απόκριση πυρακτωμένης μεταλλικής πλάκας που βυθίζεται σε δεξαμενή λαδιού. T C T C t A h T C t T C T C T R t T C T 2 T l Σχήμα 5-4. Ανόπτηση μεταλλικής πλάκας. Εξισώσεις στοιχείων dt C = 1 C t q c "A" όπου C t = c p ρal T C = T C T q R = 1 R t T C "D" όπου R t = 1 Ah Εξισώσεις συνέχειας (1 κόμβος) q c = q h Διαφορική εξίσωση: dt C + 1 R t C t T C = 42

43 Θερμική χρονική σταθερά: τ = R t C t Αρχική συνθήκη: T C () = T C () T Απόκριση στην αρχική συνθήκη: T C = T C ()e t/τ Χρόνος αποκατάστασης: t s = 4τ 2% της αρχικής τιμής. Ορίζεται ως: T C (t s ) =.2T C ()+ T Χρονική απόκριση για T C : T () C T C T C,37 T C (),2 T C () Σχήμα 5-5. Απόκριση θερμοκρασίας πλάκας. 43

44 44

45 Κεφάλαιο 6 Ιδανικά, Γραμμικά, Μονόθυρα Στοιχεία 1. Μεταβλητές Ισχύος Ισχύς P = vf= Εγκάρσια x Διαμήκης = «Α» x «Τ» (6-1) F f v 2 v 2 P v 2 v 1 F v 1 v 1 Σχήμα 6-1. Μονόθυρο στοιχείο. Tα βέλη δείχνουν προς την κατεύθυνση θετικής ροής f και κατά την κατεύθυνση αυτή, η μεταβλητή v μειώνεται. Μονόθυρα Στοιχεία Ενεργειακή Περιοχή v "A" f "T " Μηχανική γραμμική v F Μηχανική περιστροφική Ω T Ηλεκτρική v i Υδραυλική P Q Θερμική (Tq P ) T q 45

46 2. Θεμελιώδη Στοιχεία 2-1. Στοιχείο συσσώρευσης ενέργειας τύπου «Α» Γενικευμένος πυκνωτής: E = t dv 21 vf= C = 1 C f (6-2) t 1 cvdv= 2 cv2 (6-3) v 1 v 2 Σχήμα 6-2. Κλάδος γενικευμένης χωρητικότητας Στοιχείο συσσώρευσης ενέργειας τύπου «T» Γενικευμένος επαγωγέας: E = df = 1 L v 21 (6-4) t 1 vf= 2 Lf 2 (6-5) L v 1 v 2 Σχήμα 6-3. Κλάδος γενικευμένης αυτεπαγωγής Στοιχείο κατανάλωσης ισχύος τύπου «D» Γενικευμένη αντίσταση: v 21 = Rf (6-6) f = R / v 21 (6-7) P καταναλ. = v 2 21 / R = f 2 R (ισχύς που καταναλώνεται) (6-8) R v 1 v 2 Σχήμα 6-4. Κλάδος γενικευμένης αντίστασης. 46

47 3. Πηγές 3-1. Ιδανικές πηγές Οι ιδανικές πηγές διαθέτουν απεριόριστη ενέργεια. Μία από τις μεταβλητές ισχύος δεν υπόκειται σε περιορισμούς. f S v S Σχήμα 6-5. Γενικευμένες πηγές. Για τις πηγές τύπου «Τ», η μεταβλητή «Τ», f S είναι η είσοδος (ανεξάρτητη μεταβλητή ή πρωτεύουσα). Tα βέλη δείχνουν τη θετική φορά της f S. Η μεταβλητή τύπου «Α» που αντιστοιχεί στην πηγή αυτή, δηλ. η v S είναι εξαρτημένη μεταβλητή (ή δευτερεύουσα) και εξαρτάται από το υπόλοιπο σύστημα. Εάν οι ιδανικές πηγές παρέχουν σταθερή f S ή v S, τότε παρίστανται όπως στο Σχ "A" "A" v S f S "T " "T " Σχήμα 6-6. Ιδανικές πηγές «Α», «Τ» Πραγματικές πηγές Η ισχύς τους είναι περιορισμένη. H μεταβλητή «Α» εξαρτάται από την «Τ». "A" v,p,v, Σχήμα 6-7. Πραγματική πηγή. F,Q,i,T "T " Παράδειγμα Πραγματική μπαταρία. 47

48 v R v(i) i v i(v) v S v 1 R v S v(i) v S Ri i S R i(v) i S v R i i s i v v Thevenin Norton Σχήμα 6-8. Ισοδύναμα πραγματικής μπαταρίας κατά Thevenin και Norton. 4. Αιτιότητα Σε κάθε στοιχείο, η μία μεταβλητή ισχύος καθορίζεται από το σύστημα, ενώ ή άλλη από το στοιχείο μέσω της εξίσωσης στοιχείου που του αντιστοιχεί. Για παράδειγμα, εάν γράψουμε: F = m dv (6-9) τότε η ταχύτητα v ορίζεται από το σύστημα, ενώ το στοιχείο καθορίζει την απαιτούμενη δύναμη. Η σχέση αυτή ορίζεται ώς διαφορική αιτιότητα. Εάν όμως γράψουμε: dv = 1 m F v = 1 F+ v() m (6-1) τότε η δύναμη F ορίζεται από το σύστημα και η v ορίζεται από το στοιχείο μέσω ολοκλήρωσης. Επομένως εδώ έχουμε ολοκληρωτική αιτιότητα. Σε αυτή την περίπτωση, το στοιχείο μπορεί να καθορίσει μία αρχική συνθήκη, ανεξάρτητα από το τι γίνεται στο σύστημα. Στην περίπτωση των στοιχείων τύπου «D», έχουμε αλγεβρική αιτιότητα. F = Bv (6-11) Όλα τα ανεξάρτητα στοιχεία συσσώρευσης ενέργειας μπορούν να εκφραστούν από ολοκληρωτική αιτιότητα. # των ανεξάρτητων στοιχείων συσσώρευσης ενέργειας = # εξισώσεων = = ΤΑΞΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ = Παράδειγμα Ελατήριο και μάζα με είσοδο δύναμης. 48

49 v 2 v 1 K v 2 v 1 F s K m F s m Σχήμα 6-9. : Εξαρτημένο ελατήριο Έχουμε 2 στοιχεία συσσώρευσης άρα η τάξη 2. E m = 1 2 mv 2 1 (ανεξάρτητη) «Α» E K = 1 2 Επομένως, η τάξη του συστήματος είναι 1. Εξισώσεις: 1 K F 2 K = 1 2K F 2 s (εξαρτημένη) «Τ» df K = df s = K( v 2 v 1 ) v 2 = 1 df s + v 1 K δηλαδή έχουμε διαφορική αιτιότητα. dv 1 = 1 m F S v 1 = 1 m t F s + v 1 () δηλαδή έχουμε ολοκληρωτική αιτιότητα και δυνατότητα για αρχικές συνθήκες. Παράδειγμα Θεωρούμε το κύκλωμα του Σχ L 2 i S L 1 C R Σχήμα 6-1. Κύκλωμα. d i = 1 L v 49

50 dv = 1 c i E L1 = 1 2 L 2 1i L1 (εξαρτημένο) E L2 = 1 2 L i 2 2 L 2 (ανεξάρτητο) E c = 1 2 cv 2 c (ανεξάρτητο) Η τάξη του συστήματος είναι 2. 5

51 Κεφάλαιο 7 Γραμμικοί Γράφοι Οι γραμμικοί γράφοι είναι μία αφαίρεση ενός συστήματος που αντιπροσωπεύει τη δομή του και χρησιμοποιείται στην κατασκευή των εξισώσεων κατάστασης. Το όνομα γραμμικός γράφος δεν προέρχεται από την υπόθεση ότι το σύστημα πρέπει να είναι γραμμικό (μπορεί και να μην είναι), αλλά από το γεγονός ότι ο γράφος αποτελείται από γραμμικά τμήματα με προσανατολισμό. Ένα παράδειγμα γραμμικού γράφου παρουσιάζεται στο Σχ Σχήμα 7-1. Παράδειγμα γραμμικού γράφου. Στο κεφάλαιο αυτό, οι γραμμικοί γράφοι χρησιμοποιούνται για (α) να γραφούν ανεξάρτητες εξισώσεις συνέχειας μεταβλητών «Τ» και συμβατότητας μεταβλητών «Α» με συστηματικό τρόπο, (β) να ορισθούν οι μεταβλητές κατάστασης, και (γ) να κατασκευασθούν συστηματικά οι εξισώσεις κατάστασης που αντιστοιχούν σε ένα σύστημα. 1. Έννοιες Γραμμικών Γράφων Μερικές χρήσιμες έννοιες γράφων είναι οι εξής Οι κλάδοι ενός γράφου αντιπροσωπεύουν στοιχεία (μάζες, ελατήρια, τριβές, χωρητικότητες, αδράνειες, αντιστάσεις, πυκνωτές, επαγωγείς, μεταλλάκτες, πηγές). Οι κόμβοι ορίζουν σημεία με διακριτή μεταβλητή «Α», κοινή σε όσους ακροδέκτες είναι συνδεδεμένοι σε κάποιο κόμβο. Γράφος συστήματος είναι ο προσανατολισμένος γραμμικός γράφος ενός συστήματος. Συνεκτικός γράφος είναι ο γράφος συστήματος στον οποίο μπορεί κανείς να διαγράψει όλους τους κόμβους με συνεχή γραμμή. Τα βέλη ή ο προσανατολισμός των κλάδων αντιστοιχούν σε μείωση (πτώση) μεταβλητής «Α» ή στη φορά της μεταβλητής «Τ» σε ένα στοιχείο. Το Σχ. 7-2 απεικονίζει ένα συνεκτικό και ένα μη συνεκτικό γράφο. 51

52 Σχήμα 7-2. (α) Συνεκτικός γραμμικός γράφος, (β) Μη συνεκτικός γραμμικός γράφος. 2. Kατασκευή Γραμμικού Γράφου Για να κατασκευάσουμε ένα γραμμικό γράφο από ένα σύστημα, ακολουθούμε τα εξής βήματα. Kατασκευή Γραμμικού Γράφου 1. Προσδιορίζουμε τους κόμβους του συστήματος με διακριτή τιμή μεταβλητής «Α» και τους σχεδιάζουμε εκ νέου. 2. Ο κόμβος αναφοράς παρίσταται με οριζόντια γραμμή με διαγράμμιση, βλ. Σχ. 7-3ζ. Δεν είναι απαραίτητο να υπάρχει τέτοιος κόμβος. 3. Κάθε παθητικό στοιχείο του συστήματος συνδέεται μεταξύ των αντίστοιχων κόμβων του γραμμικού γράφου και παρίσταται ως ένα προσανατολισμένο καμπύλο τμήμα, βλ. Σχ. 7-3α-γ. 4. Το βέλος του προσανατολισμένου τμήματος έχει τη φορά της μεταβλητής «Τ» ή τη φορά κατά την οποία η μεταβλητή «Α» ελαττώνεται, δηλαδή από το + προς το -. Δίπλα στο βέλος προστίθεται η παράμετρος που χαρακτηρίζει το στοιχείο, π.χ. R για μία αντίσταση, βλ. Σχ. 7-3α-γ. 5. Οι πηγές συμβολίζονται με ένα κύκλο που φέρει ένα βέλος. Προκειμένου για πηγές μεταβλητής «Α», το βέλος δείχνει τη φορά κατά την οποία η μεταβλητή «Α» ελαττώνεται, δηλαδή από το + προς το -. Προκειμένου για πηγές μεταβλητής «Τ», το βέλος ακολουθεί τη θετική φορά της μεταβλητής «Τ» της πηγής, βλ. Σχ. 7-3δ,ε. Η φορά των βελών επιλέγεται έτσι ώστε τα παθητικά στοιχεία να απορροφούν ισχύ όταν η μεταβλητή «Α» και τη μεταβλητή «Τ» είναι θετικές ποσότητες. Παρ όλα αυτά, η επιλογή της διεύθυνσης των βελών είναι αυθαίρετη και δεν επηρεάζει την κατασκευή των εξισώσεων κατάστασης ή την επίλυσή τους. Εάν αλλάξουμε τη φορά ενός βέλους, τότε απλώς αλλάζουμε το πρόσημο της μεταβλητής «Α» και της μεταβλητής «Τ». Εάν δηλαδή ένα σύστημα επιλυθεί με ορισμένη φορά του βέλους που αντιστοιχεί σε ένα επαγωγέα και προκύψει μεταβλητή «Τ» θετικό, τότε η εκ νέου επίλυση του συστήματος με αντίστροφη φορά βέλους, θα δώσει αρνητική μεταβλητή «Τ», ίση σε απόλυτη τιμή με την προηγούμενη. Αυτό βέβαια σημαίνει ότι η πραγματική μεταβλητή «Τ» δεν έχει τη φορά που υποθέσαμε τη δεύτερη φορά, αλλά έχει 52

53 την αρχική φορά (που αντιστοιχεί στην πρώτη επίλυση). Για να καταλήγουμε πάντα σε σωστά αποτελέσματα πρέπει να ακολουθούμε τις συμβάσεις με συστηματικότητα. i L L L i R R R i C C C V s V s I s I s Σχήμα 7-3. Αντιστοιχία στοιχείων συστήματος και γραμμικού γράφου. (α) Επαγωγέας, (β) Αντίσταση, (γ) Πυκνωτής, (δ) Πηγή «Α», (ε) Πηγή «Τ», (ζ) Μεταβλητή «Α» αναφοράς (γείωση). Το Σχ. 7-4 απεικονίζει ένα ηλεκτρικό σύστημα και τον αντίστοιχο γράφο του. R R v S i R i L L i C C L C v S Σχήμα 7-4. (α) Ηλεκτρικό σύστημα και (β) Γραμμικός γράφος του συστήματος. 3. Δένδρα Γράφων Για να συνθέσουμε συστηματικά τις εξισώσεις κατάστασης, χρησιμοποιούμε την έννοια του δένδρου του γράφου. Ένα δένδρο είναι ένας υπογράφος του γράφου του συστήματος τέτοιος ώστε (α) να περιέχει όλους τους κόμβους του γράφου του συστήματος, (β) να περιλαμβάνει το μέγιστο αριθμό κλάδων χωρίς να δημιουργείται βρόχος. Το Σχ. 7-5 απεικονίζει ένα γράφο συστήματος και τα δένδρα που αντιστοιχούν σε αυτόν. 53

54 Σχήμα 7-5. Δένδρα γράφου συστήματος (α) Γράφος συστήματος, (β)-(ζ) Δένδρα. Οι κλάδοι που δεν περιέχονται σε ένα δένδρο λέγονται δεσμοί. Εάν ένας συνεκτικός γράφος έχει N κόμβους και B κλάδους, τότε ένα δένδρο έχει B T = N 1 B L = B B T = B N +1 (7-1) όπου B T είναι ο αριθμός των κλάδων του δένδρου και B L ο αριθμός των συνδέσμων που αντιστοιχούν. Αυτές οι σχέσεις μπορούν να αποδειχθούν με τη μέθοδο της επαγωγής. Πράγματι, εάν έχουμε δύο κόμβους, τότε το δένδρο έχει μόνο ένα κλάδο. Έστω ότι ένα δένδρο έχει N κόμβους. Ένας επί πλέον κόμβος πρέπει να συνδεθεί με ένα νέο κλάδο. Εάν συνδεθεί με δύο κλάδους, τότε θα υπάρχει διαδρομή μεταξύ δύο παλαιών κόμβων του δένδρου με N κόμβους που όμως δεν πρέπει να υπάρχει γιατί τότε το προηγούμενο δένδρο δεν θα ήταν δένδρο (εφόσον δύο ακόμη κόμβοι θα μπορούσαν να συνδεθούν χωρίς να κλείσει βρόχος). Υπενθυμίζουμε ότι οι κόμβοι είναι σημεία με διακριτές μεταβλητές «Α». Εάν σε δύο σημεία αντιστοιχεί η ίδια μεταβλητή «Α», τότε πρόκειται για ένα και τον αυτό κόμβο. Προφανώς, όσοι κλάδοι δεν ανήκουν σε ένα δένδρο ανήκουν στους δεσμούς και αυτό αποδεικνύει τη δεύτερη των Εξ. (6-18). Προκειμένου να διευκολυνθεί η συστηματική γραφή των εξισώσεων, διακρίνουμε τις μεταβλητές που αντιστοιχούν στα στοιχεία ενός συστήματος σε δύο τύπους, (α) στις πρωτεύουσες μεταβλητές και (β) στις δευτερεύουσες μεταβλητές. Πρωτεύουσες μεταβλητές είναι οι μεταβλητές «Α» των στοιχείων που βρίσκονται στο δένδρο ενός γράφου και οι μεταβλητές «Τ» των στοιχείων που ανήκουν στους δεσμούς. Δευτερεύουσες μεταβλητές είναι οι μεταβλητές «Α» των στοιχείων που ανήκουν στους δεσμούς ενός γράφου και οι μεταβλητές «Τ» των στοιχείων που βρίσκονται στο δένδρο. 54

55 Παράδειγμα Να ευρεθούν τα B T, B L και οι πρωτεύουσες και δευτερεύουσες μεταβλητές που αντιστοιχούν στο σύστημα του Σχ Λύση (α) Από το Σχ. 7-5 έχουμε N = 3 B = 4 B T = 3 1 = 2 B L = 4 2 = 2 Προκειμένου να καθορίσουμε τις πρωτεύουσες και δευτερεύουσες μεταβλητές, επιλέγουμε ένα από τα δένδρα του γράφου του συστήματος όπως φαίνεται στο Σχ Παρατηρείστε ότι οι αριθμοί των κλάδων του δένδρου και ο αριθμός των δεσμών συμφωνούν με αυτούς που υπολογίσθηκαν πιο πάνω. R R L C C L v S v S Σχήμα 7-6. (α) Γραμμικός γράφος, (β) Δένδρο, (γ) Δεσμοί. Με βάση το δένδρο που παρουσιάζεται στο Σχ. 7-6 και τους ορισμούς που δόθηκαν διαχωρίζουμε τις μεταβλητές ως εξής Πρωτεύουσες Μεταβλητές: v s, v C, i R, i L Δευτερεύουσες Μεταβλητές: i s, i C, v R, v L 4. Tο Kανονικό Δένδρο Ένα από τα δένδρα που αντιστοιχούν στο γράφο ενός συστήματος έχει ειδική σημασία γιατί είναι αυτό που μας επιτρέπει να γράψουμε όλες τις εξισώσεις που χρειάζονται για να καταλήξουμε στις εξισώσεις κατάστασης. Με το δένδρο αυτό, που λέγεται κανονικό δένδρο, καθορίζουμε (α) τις πρωτεύουσες και δευτερεύουσες μεταβλητές, (β) την τάξη του συστήματος, (γ) τις μεταβλητές κατάστασης και (δ) ένα σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων εξισώσεων που προέρχονται από την εφαρμογή των νόμων συνέχειας και συμβατότητας. Για τους λόγους αυτούς, η σωστή κατασκευή του δένδρου αυτού είναι ιδιαίτερα σημαντική. Για να σχηματίσουμε το κανονικό δένδρο ακολουθούμε τα εξής βήματα. 55

56 Kατασκευή Kανονικού Δένδρου 1. Σημειώνουμε όλους τους κόμβους του συστήματος. 2. Στο δένδρο περιλαμβάνουμε όλες τις πηγές «Α». Εάν μία πηγή δεν μπορεί να περιληφθεί, τότε αυτό συμβαίνει γιατί δημιουργείται βρόχος και η συμβατότητα παραβιάζεται. 3. Στη συνέχεια περιλαμβάνουμε όσο το δυνατό περισσότερους κλάδους που αντιστοιχούν σε στοιχεία τύπου «Α». Εάν ένας στοιχείο τύπου «Α» δεν μπορεί να περιληφθεί, τότε είναι εξαρτημένο, δηλαδή διέπεται από διαφορική αιτιότητα. 4. Συμπληρώνουμε το δένδρο με την προσθήκη όσων στοιχείων «D» χρειάζονται. 5. Εάν και μετά το βήμα 4 το δένδρο δεν είναι πλήρες, τότε προσθέτουμε κλάδους που αντιστοιχούν σε στοιχεία τύπου «Τ». Εάν ένα στοιχείο τύπου «Τ» περιληφθεί στο κανονικό δένδρο, τότε είναι εξαρτημένο, δηλαδή διέπεται από διαφορική αιτιότητα. 6. Εάν τέλος είναι δυνατό να προστεθεί πηγή «Τ», τότε αυτή η πηγή δεν είναι ανεξάρτητη και η συνέχεια παραβιάζεται. Η εφαρμογή της παραπάνω μεθόδου συνεπάγεται τα εξής 1. Πρωτεύουσες μεταβλητές ενός συστήματος είναι οι μεταβλητές «Α» των στοιχείων που βρίσκονται στο κανονικό δένδρο και οι μεταβλητές «Τ» των στοιχείων που ανήκουν στους δεσμούς. 2. Δευτερεύουσες μεταβλητές ενός συστήματος είναι οι μεταβλητές «Α» των στοιχείων που ανήκουν στους δεσμούς και οι μεταβλητές «Τ» των στοιχείων που βρίσκονται στο κανονικό δένδρο. 3. Η τάξη του συστήματος n ισούται με το άθροισμα στοιχείων συσσώρευσης «Α» που βρίσκονται στο κανονικό δένδρο και των στοιχείων συσσώρευσης «Τ» που βρίσκονται στους δεσμούς. Αυτά είναι τα ανεξάρτητα στοιχεία του συστήματος κάθε ένα από τα οποία είναι υπεύθυνο για μία διαφορική εξίσωση από το σύνολο των εξισώσεων κατάστασης. 4. Οι μεταβλητές κατάστασης του συστήματος είναι οι μεταβλητές «Α» στοιχείων συσσώρευσης «Α» που ανήκουν στο κανονικό δένδρο και οι μεταβλητές «Τ» στοιχείων συσσώρευσης «Τ» που ανήκουν στους δεσμούς. Παράδειγμα Να ευρεθούν το κανονικό δένδρο, οι πρωτεύουσες και δευτερεύουσες μεταβλητές, η τάξη του συστήματος και οι μεταβλητές κατάστασης που αντιστοιχούν στο σύστημα του Σχ

57 C C L R L R v S v S Σχήμα 7-7. (α) Γραμμικός γράφος, (β) Δένδρο, (γ) Δεσμοί. Λύση Το κανονικό δένδρο εμφανίζεται στο Σχ. 7-7β. Για την κατασκευή του ακολουθούμε τα εξής βήματα 1. Σημειώνουμε τους τρεις κόμβους του συστήματος. 2. Στο δένδρο περιλαμβάνουμε την μοναδική πηγή «Α». 3. Περιλαμβάνουμε στη συνέχεια το στοιχείο «Α». 4. Δεν είναι δυνατό να προσθέσουμε άλλο κλάδο γιατί θα εμφανισθεί βρόχος. Μετά από αυτά, έχουμε Πρωτεύουσες Μεταβλητές: v s, v C, i R, i L Δευτερεύουσες Μεταβλητές: i s, i C, v R, v L Τάξη συστήματος: 2 = 1 (ένα στοιχείο «Α» στο κανονικό δένδρο) + 1 (ένα στοιχείο «Τ» στους δεσμούς) Μεταβλητές Κατάστασης: v C, i L Παράδειγμα Να ευρεθούν το κανονικό δένδρο, οι πρωτεύουσες και δευτερεύουσες μεταβλητές, η τάξη του συστήματος και οι μεταβλητές κατάστασης που αντιστοιχούν στο σύστημα του Σχ Λύση Το κανονικό δένδρο εμφανίζεται στο Σχ. 7-8β. Παρατηρούμε ότι το τρίτο βήμα κατά την κατασκευή του κανονικού δένδρου, απαιτεί μεγιστοποίηση του αριθμού των στοιχείων «Α» στο κανονικό δένδρο. Όμως, εάν προσθέσουμε στο δένδρο τον στοιχείο C 1 τότε δεν μπορούμε να περιλάβουμε το C 2 διότι τότε εμφανίζεται βρόχος, πράγμα που παραβιάζει τον ορισμό του δένδρου. Το ίδιο συμβαίνει εάν στο κανονικό δένδρο προσθέσουμε το στοιχείο C 2. Στην περίπτωση αυτή δεν μπορούμε να περιλάβουμε το C 1. Επομένως, στο σύστημα αυτό ένα στοιχείο «Α» είναι ανεξάρτητο και το άλλο εξαρτημένο. 57

58 Για την επίλυση του συστήματος δεν έχει σημασία ποιο στοιχείο «Α» είναι το ανεξάρτητο. Η επιλογή του ενός ή του άλλου θα δώσει διαφορετικές μεταβλητές κατάστασης αλλά βέβαια την ίδια τάξη συστήματος. C 1 C 1 C 2 R C 2 R v S v S Σχήμα 7-8. (α) Γραμμικός γράφος, (β) Δένδρο, (γ) Δεσμοί. Προκειμένου να κατανοήσουμε τη σημασία της εξάρτησης του ενός πυκνωτή, γράφουμε την εξίσωση συμβατότηατς για το βρόχο που σχηματίζεται αν στο κανονικό δένδρο προσθέσουμε το στοιχείο «Α» C 2. Πράγματι, τότε v s + v C1 + v C2 = v C2 = v s v C1 Δηλαδή, εάν η πηγή «Α» είναι ανεξάρτητη και εάν το στοιχείο C 1 καθορίζει ανεξάρτητα την μεταβλητή «Α» του (και μία αρχική συνθήκη), τότε η μεταβλητή «Α» του C 2 είναι καθορισμένη από την παραπάνω εξίσωση και επομένως δεν είναι ανεξάρτητη. Μετά από αυτές τις παρατηρήσεις έχουμε Πρωτεύουσες Μεταβλητές: v s, v C1, i C2, i R Δευτερεύουσες Μεταβλητές: i s, i C1, v C2, v R Τάξη συστήματος: 1 = 1 (ένας στοιχείο «Α» στο κανονικό δένδρο) Μεταβλητές Κατάστασης: v C1 Όπως αναμέναμε, η τάξη του συστήματος είναι τώρα 1 παρ όλο που υπάρχουν δύο στοιχεία συσσώρευσης ενέργειας. Eιδικές Περιπτώσεις Οι εξής δύο ειδικές περιπτώσεις μπορούν να οδηγήσουν σε περισσότερες μεταβλητές κατάστασης από τα υπάρχοντα ανεξάρτητα στοιχεία συσσώρευσης ενέργειας. Κυκλώματα που περιέχουν στοιχεία «Α» σε σειρά Κυκλώματα που περιέχουν στοιχεία «Τ» σε παράλληλη σύνδεση. Αυτό το πρόβλημα λύνεται πολύ εύκολα με αντικατάσταση των στοιχείων «Α» σε σειρά με ένα ισοδύναμο στοιχείο «Α» και με αντικατάσταση των παράλληλων στοιχείων «Τ» με το ισοδύναμο στοιχείο «Τ». 58

59 5. Kατάστρωση Eξισώσεων Κατάστασης Στο εδάφιο αυτό παρουσιάζουμε τη μέθοδο κατάστρωσης εξισώσεων κατάστασης ενός συστήματος χρησιμοποιώντας το κανονικό δένδρο. Κατ αρχή παρατηρούμε ότι σε ένα γραμμικό γράφο με B κλάδους και S ανεξάρτητες πηγές, έχουμε B S εξισώσεις παθητικών στοιχείων. Οι S πηγές δεν προσφέρουν σχέση μεταξύ της μεταβλητής «Α» και της μεταβλητής «Τ» και επομένως δεν γράφουμε εξισώσεις για αυτές. Οι B S εξισώσεις συνδέουν τις πρωτεύουσες μεταβλητές με τις δευτερεύουσες. Το κανονικό δένδρο και οι εξισώσεις συμβατότηατς και συνέχειας κατάλληλα εφαρμοσμένες, δίνουν άλλες B S αλγεβρικές εξισώσεις που χρησιμοποιούνται για να γραφούν οι δευτερεύουσες μεταβλητές ως συνάρτηση των πρωτευουσών. Όταν οι B S αλγεβρικές εξισώσεις αντικατασταθούν στις εξισώσεις στοιχείων, καταλήγουμε σε B S αλγεβρικές και διαφορικές εξισώσεις ως προς τις πρωτεύουσες μεταβλητές μόνο. Τέλος, μετά από αλγεβρική απάλειψη των πρωτευουσών μεταβλητών που δεν είναι μεταβλητές κατάστασης, παίρνουμε τις εξισώσεις κατάστασης. Εάν διακρίνουμε τις πηγές σε S Α πηγές μεταβλητής «Α» και S Τ πηγές μεταβλητής «Τ» ( S Α + S Τ = S ), τότε οι εξισώσεις συνέχειας εφαρμόζονται σε N 1 S Α κλειστές επιφάνειες γύρω από κόμβους ή υπερκόμβους του κανονικού δένδρου. Επίσης, οι εξισώσεις συμβατότητας μπορούν να εφαρμοσθούν σε B N +1 S Τ ανεξάρτητους βρόχους. Οι πηγές αφαιρούνται και στις δύο περιπτώσεις γιατί δεν προσφέρουν σχέση μεταξύ της μεταβλητής «Α» και της μεταβλητής «Τ» που τις διαρρέουν. Η μέθοδος κατάστρωσης των εξισώσεων κατάστασης περιγράφεται από τα εξής βήματα. Kατάστρωση Eξισώσεων Κατάστασης 1. Κατασκευάζουμε το κανονικό δένδρο του συστήματος. 2. Καθορίζουμε τις πρωτεύουσες και δευτερεύουσες μεταβλητές, την τάξη του συστήματος και τις μεταβλητές κατάστασης. 3. Γράφουμε B-S εξισώσεις στοιχείων για τα παθητικά στοιχεία του συστήματος (όχι για τις πηγές) έτσι ώστε η πρωτεύουσα μεταβλητή να βρίσκεται στο αριστερό μέρος της εξίσωσης. 4. Γράφουμε N-1-S Α ανεξάρτητες εξισώσειςσυνέχειας, κάθε μία από τις οποίες περιλαμβάνει μία μόνο δευτερεύουσα μεταβλητή που εμφανίζεται στο αριστερό μέρος της εξίσωσης. Αυτό επιτυγχάνεται αν οι εξισώσεις γραφούν για N-1-S Α κόμβους ή υπερκόμβους των οποίων η περιβάλλουσα κλειστή γραμμή συναντά τους κλάδους του κανονικού δένδρου που αντιστοιχούν σε παθητικά στοιχεία μόνο μία φορά. 5. Γράφουμε B-N+1-S Τ ανεξάρτητες εξισώσεις συμβατότητας, κάθε μία από τις οποίες περιλαμβάνει μία μόνο δευτερεύουσα μεταβλητή που εμφανίζεται στο αριστερό μέρος της εξίσωσης. Αυτό επιτυγχάνεται γράφοντας εξισώσεις συμβατότητας για B-N+1-S Τ βρόχους που σχηματίζονται εάν κάθε ένας από τους B-N+1-S Τ κλάδους των δεσμών μετακινηθεί στο κανονικό δένδρο. 6. Χρησιμοποιούμε στη συνέχεια τις N-1-S Α και τις B-N+1-S Τ ανεξάρτητες εξισώσεις για να απαλείψουμε τις δευτερεύουσες μεταβλητές από τις B-S εξισώσεις στοιχείων του τρίτου βήματος. 59

60 7. Αλγεβρικά μειώνουμε τις εξισώσεις του έκτου βήματος έτσι ώστε να λάβουμε ένα σύνολο εξισώσεων ως προς τις μεταβλητές κατάστασης και τις εισόδους (πηγές). Τέλος, γράφουμε τις εξισώσεις στην κανονική μορφή πινάκων. Κατά την εφαρμογή των νόμων συνέχειας και συμβατότητας και εάν έχουμε εξαρτημένα στοιχεία, υπάρχει περίπτωση μετά από διαδοχικές αντικαταστάσεις μεταβλητών, προσπαθώντας να επιλύσουμε ως προς κάποια δευτερεύουσα μεταβλητή, να καταλήξουμε σε μία εξίσωση όπου αυτή η μεταβλητή επανεμφανίζεται. Και πάλι όμως, η επίλυση είναι δυνατή αλγεβρικά χωρίς πρόβλημα, αρκεί οι αντικαταστάσεις να σταματήσουν την πρώτη φορά όπου θα ξαναπαρουσιασθεί η δευτερεύουσα μεταβλητή και να γίνει η επίλυση ως προς αυτή. Παράδειγμα Να καταστρωθούν οι εξισώσεις κατάστασης που αντιστοιχούν στο σύστημα του Σχ L R L R v S i L i C1 i R i C2 C 1 C 2 v S C 1 C 2 L R v S C 1 C 2 Σχήμα 7-9. (α) Σύστημα, (β) Γραμμικός γράφος, (γ) Κανονικό δένδρο, (δ) Δεσμοί. Λύση Παρατηρούμε ότι το σύστημα έχει τρία στοιχεία συσσώρευσης ενέργειας, επομένως η τάξη του είναι το πολύ τρία. Η μεθοδολογία κατάστρωσης των εξισώσεων κατάστασης ξεκινά με την κατασκευή του γράφου του συστήματος που γίνεται ακολουθώντας τα 5 βήματα. Το αποτέλεσμα παρίσταται στο Σχ. 7-9β. 1. Κατασκευάζουμε το κανονικό δένδρο με τα εξής βήματα. 6

61 (α) Σημειώνουμε τους τέσσερις κόμβους του συστήματος. (β) Στο δένδρο περιλαμβάνουμε την μοναδική πηγή μεταβλητής «Α». (γ) Περιλαμβάνουμε στη συνέχεια τα δύο στοιχεία «Α». (δ) Δεν είναι δυνατό να προσθέσουμε άλλο κλάδο γιατί θα εμφανισθεί βρόχος. 2. Μετά από αυτά, έχουμε Πρωτεύουσες Μεταβλητές: v s, v C1, v C2,i R, i L Δευτερεύουσες Μεταβλητές: i s, i C1, i C2,v R, v L Τάξη συστήματος: 3 = 2 (δύο «Α» στο κανονικό δένδρο) + 1 (ένα «Τ» στους δεσμούς) Μεταβλητές Κατάστασης: v C1, v C2, i L Παρατηρούμε ότι όπως αναμέναμε, οι τρεις μεταβλητές κατάστασης είναι υποσύνολο των πρωτευουσών μεταβλητών. 3. Γράφουμε B-S=5-1=4 εξισώσεις στοιχείων για τα παθητικά στοιχεία του συστήματος (όχι για τις πηγές) έτσι ώστε η πρωτεύουσα μεταβλητή να βρίσκεται στο αριστερό μέρος της εξίσωσης. dv C1 = 1 C 1 i C1 dv C2 = 1 C 2 i C2 di L = 1 L v L i R = 1 R v R 4. Γράφουμε N-1-S τ = = 2 ανεξάρτητες εξισώσεις συνέχειας κάθε μία από τις οποίες περιλαμβάνει μία μόνο δευτερεύουσα μεταβλητή που εμφανίζεται στο αριστερό μέρος της εξίσωσης. Αυτό επιτυγχάνεται αν ο νόμος της συνέχειας γραφεί για 2 κόμβους ή υπερκόμβους των οποίων η περιβάλλουσα κλειστή γραμμή συναντά τους κλάδους του κανονικού δένδρου που αντιστοιχούν σε παθητικά στοιχεία μόνο μία φορά. Τέτοιοι κόμβοι είναι οι δύο που περιβάλλονται από κύκλο στο Σχ. 7-9γ. Προσοχή: Ο νόμος της συνέχειας γράφεται λαμβάνοντας υπ όψη όλους τους κλάδους και όχι μόνο αυτούς που εμφανίζονται στο κανονικό δένδρο. Έχουμε: N-1-S τ = = 2 εξισώσεις συνέχειας i L i R i C1 = i C1 = i L i R 61

62 i R i C2 = i C2 = i R 5. Γράφουμε B-N+1-S Τ = = 2 ανεξάρτητες εξισώσεις συμβατότηατς κάθε μία από τις οποίες περιλαμβάνει μία μόνο δευτερεύουσα μεταβλητή που εμφανίζεται στο αριστερό μέρος της εξίσωσης. Αυτό επιτυγχάνεται όταν ο νόμος της συμβατότητας γραφεί για 2 βρόχους που σχηματίζονται εάν πρώτα το στοιχείο «Τ» και μετά ητο στοιχείο «D» μετακινηθούν στο κανονικό δένδρο. Στους βρόχους που σχηματίζονται ακολουθούμε τη φορά περιστροφής των δεικτών ωρολογίου. B-N+1-S T = = 2 εξισώσεις συμβατότητας v s + v L + v C1 = v L = v s v C1 v C1 + v R + v C2 = v R = v C1 v C2 6. Στη συνέχεια απαλείφουμε τις δευτερεύουσες μεταβλητές από τις 4 εξισώσεις στοιχείων. dv C1 = 1 C 1 (i L i R ) dv C2 = 1 C 2 i R di L = 1 L (v s v C 1 ) i R = 1 R (v C 1 v C2 ) Οι εξισώσεις τώρα περιέχουν μόνο πρωτεύουσες μεταβλητές. 7. Αλγεβρικά μειώνουμε τις εξισώσεις αντικαθιστώντας το i R στις δύο πρώτες εξισώσεις. dv C1 = 1 C 1 (i L 1 R (v C 1 v C2 )) dv C2 = 1 C 2 1 R (v C 1 v C2 ) di L = 1 L (v s v C1 ) Τέλος, γράφουμε τις εξισώσεις στην κανονική μορφή πινάκων. 62

63 d v C1 v C2 i L = 1 RC 1 1 RC 1 1 C 1 1 RC 2 1 RC 2 1 L v C1 v C2 i L + 1 L v s 6 Eιδικές Περιπτώσεις Υπάρχουν περιπτώσεις όπου οι εξισώσεις κατάστασης και οι εξισώσεις εξόδου δεν είναι στην κανονική μορφή x = Ax + Bu y = Cx + Du (7-2) αλλά σε μορφή όπου εμφανίζεται και η παράγωγος των εισόδων x = Ax + Bu + Eu y = Cx + Du + Fu (7-3) Αυτό συμβαίνει κυρίως στην περίπτωση όπου έχουμε εξαρτημένα στοιχεία συσσώρευσης ενέργειας, δηλαδή στοιχεία «Α» και «Τ». Για παράδειγμα, εάν έχουμε ένα εξαρτημένο πυκνωτή, τότε i C = C dv C (7-4) Προκειμένου να απαλείψουμε την τάση του πυκνωτή που είναι δευτερεύουσα μεταβλητή, θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το ΝΤΚ, χρήση του οποίου είναι δυνατό να εμφανίσει μία πηγή τάσης μετά από απαραίτητες αλγεβρικές απλοποιήσεις. i C = C dv C = C d (+ av s +) (7-5) Επομένως, η απαλοιφή του ρεύματος του πυκνωτή θα παρουσιάσει την παράγωγο της τάσης στις εξισώσεις κατάστασης. Ανάλογα συμβαίνουν εάν έχουμε ένα στοιχείο «Τ» σε σειρά με μία πηγή «Τ». Το εξαρτημένο στοιχείο «Τ» θα εισαγάγει στις εξισώσεις την παράγωγο της πηγής «Τ». Στις περιπτώσεις αυτές, χρησιμοποιούμε έναν αλγεβρικό μετασχηματισμό που φέρνει τις Εξ. (7-3) στην κανονική μορφή, Εξ. (7-2). Ο μετασχηματισμός αυτός είναι x = x Eu (7-6) Πράγματι, εάν διαφορίσουμε την Εξ. (7-6) και μετά από αντικαταστάσεις έχουμε x = x Eu = (Ax + Bu + Eu) Eu = A( x + Eu) + Bu = A x + (B + AE)u = A x + B u (7-7) 63

64 όπου A = A B = B + AE x = x Eu u = u (7-8) Οι εξισώσεις κατάστασης Εξ. (7-7) μπορούν να ολοκληρωθούν όπως και αυτές που είναι σε κανονική μορφή. Προκειμένου να βρεθούν οι μεταβλητές κατάστασης x χρησιμοποιείται ο αντίστροφος της Εξ. (7-6) μετασχηματισμός. Οι εξισώσεις εξόδου μπορούν να υπολογισθούν εύκολα y = Cx + Du + Fu = C( x + Eu) + Du + Fu = C x + (D + CE)u + Fu = C x + D u + F u (7-9) όπου C = C D = D + CE (7-1) Βέβαια η παράγωγος των εισόδων παραμένει στις εξισώσεις εξόδου. Αυτό όμως δεν ενοχλεί διότι οι είσοδοι είναι γνωστές. Φυσικά, εάν οι παράγωγοι όλων των εισόδων είναι μηδέν, τότε το πρόβλημα των εξισώσεων μη κανονικής μορφής δεν εμφανίζεται. 64

65 Κεφάλαιο 8 Ιδανικά, Γραμμικά, Δίθυρα Στοιχεία 1. Μεταλλάκτες Τα συστήματα που είδαμε μέχρι στιγμής είχαν στοιχεία από την ίδια ενεργειακή περιοχή, π.χ. τη μηχανική, ηλεκτρική, κ.λπ. Γενικά όμως, πολλά συστήματα αποτελούνται από υποσυστήματα που ορίζονται σε διαφορετικές ενεργειακές περιοχές. Για παράδειγμα, ένας ηλεκτρικός κινητήρας έχει μηχανικό και ηλεκτρικό υποσύστημα. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η ροή ισχύος από μια ενεργειακή περιοχή (π.χ. ηλεκτρική) σε μια άλλη (π.χ. μηχανική) γίνεται μέσω ενός μεταλλάκτη (transducer), βλ. Σχ P Σχήμα 8-1. Mεταλλάκτης. f 1 v 1 1 v 2 P 2 Οι μεταλλάκτες είναι ενεργειακά δίθυρα, διότι ανταλλάσουν ενέργεια από δύο «θύρες», μια για κάθε μια από τις ενεργειακές περιοχές με τις οποίες επικοινωνούν. Αυτό σημαίνει ότι έχουν τέσσερις «ακροδέκτες» και περιγράφονται από τέσσερις μεταβλητές ισχύος, ή δύο ζεύγη μεταβλητών ισχύος, ένα για κάθε ενεργειακή περιοχή, βλ. Σχ Σημειώστε ότι όλα τα παθητικά στοιχεία που είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο είναι ενεργειακά μονόθυρα εφόσον έχουν δύο ακροδέκτες, περιγράφονται από δύο μεταβλητές ισχύος και επικοινωνούν με μια ενεργειακή περιοχή. f 2 v i p ( ) T p P Q p () i p v Σχήμα 8-2. (α) Ηλεκτρομηχανικός μεταλλάκτης, (β) ηλεκτροϋδραυλικός μεταλλάκτης. Υποθέτουμε ότι οι μεταλλάκτες είναι ιδανικά γραμμικά στοιχεία χωρίς απώλειες και χωρίς δυναμική. Τυχόν απώλειες των πραγματικών στοιχείων ή δυναμική συμπεριφορά προστίθενται με τη μορφή στοιχείων συγκεντρωμένων παραμέτρων κατάλληλων για την κάθε ενεργειακή περιοχή. Τυχόν μη γραμμικότητα, αντιμετωπίζεται με γραμμικοποίηση. Από άποψη θεωρίας συστημάτων, οι μεταλλάκτες ταξινομούνται ως μετασχηματιστές (transformers) και αναστροφείς (gyrators). Οι μετασχηματιστές περιγράφονται από τις εξής αλγεβρικές σχέσεις: 65