Πρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής.

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής."

Αμύντας Ὀλυμπιόδωρος Βασιλόπουλος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I ɛ > 0, δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ f(x) ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής ɛ > 0, δ > 0 : x, ξ I, x ξ < δ f(x) f(ξ) ɛ f(x) συνεχής στο [a, b] f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο [a, b]

2 f(x) συνεχής στο [a, b] f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο [a, b] Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι η f(x) ΔΕΝ είναι ομοιόμορφα συνεχής αλλά είναι ΜΟΝΟ απλά συνεχής στο [a, b]. όχι ομοιόμορφα συνεχής ɛ 0 : δ 0 x 0, y 0 : x 0 y 0 < δ 0 f(x 0 ) f(y 0 ) ɛ 0 f(x) συνεχής ɛ > 0 δ(ɛ, y 0 ) : x, x y 0 < δ(ɛ, y 0 ) f(x) f(y 0 ) < ɛ Διαλέγουμε ɛ = ɛ 0 /2 και δ 0 = δ(ɛ 0 /2, y 0 ) οπότε θα πρέπει f(x 0 ) f(y 0 ) < ɛ 0 /2 οπότε έχουμε άτοπο

3 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός συνέχειας Cauchy σε ένα υποσύνολο I R πχ I = [a, b] ή [a, ) ή (, b] κλπ lim f(x) = f(ξ) x, ξ I, ɛ > 0 δ (ɛ, ξ) > 0 : x ξ x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ Ομοιόμορφη συνέχεια ɛ > 0 inf ξ I δ(ɛ, ξ) > 0 πχ f(x) = x, x > 1, f(x) = e x, x [0, 1], f(x) = 1 x 2 + 1, x R

4 Ορισμός f(x) συνάρτηση Lipschitz f(x) f(y) < K x y f(x) συνάρτηση Lipschitz σε ένα διάστημα f(x) ομοιόμορφα συνεχής πχ Η f(x) = e x είναι Lipschitz σε ένα διάστημα [a, b] f(x) συνεχής Η f(x) = 1 x 2 είναι Lipschitz στο R f(x) συνεχής στο R. + 1

5 Λήμμα f(x) συνεχής στο ανοικτό διάστημα (a, b) για ξ (a, b) και f(ξ) > 0 δ > 0 : a < ξ δ < x < ξ + δ < b f(x) > 0 Απόδειξη. Απόδ: Για ɛ = f(ξ) δ > 0 : 2 a < ξ δ < x < x + δ < b 0 < f(ξ) 2 < f(x) < 3f(ξ) 2

6 ΟΡΙΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ lim x ξ f(x) = + Cauchy : R > 0, δ : x ξ < δ f(x) > R Heine : x n ξ f(x n ) n n f(x) = lim x ξ Cauchy : R > 0, Heine : x n lim f(x) = l x + Cauchy : ɛ > 0, Heine : x n lim f(x) = l x Cauchy : ɛ > 0, Heine : x n δ : x ξ < δ f(x) < R ξ f(x n ) n n r : x > r f(x) l < ɛ + f(x n ) l n n r : x < r f(x) l < ɛ n f(x n ) n l

7 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Πλάγια ασύμπτωτη: α 0 και β : lim x α 0 και β : lim x ή (f(x) (αx + β)) = 0 (f(x) (αx + β)) = 0 α = lim x ± f(x) x β = lim x ± (f(x) αx) πχ f(x) = 7 x 2 x + 15

8 Οριζόντια ασύμπτωτη: β + ή/και β + : lim x ± (f(x) β ±) = 0 πχ f(x) = x x 2 1

9 A φραγμένο σύνολο A ΜΗ φραγμένο σύνολο m, M : x A m x M K : x A x K K : x A x > K Θεώρημα Bolzano - Weierstrass A φραγμένο απειροσύνολο Μη φραγμένα σύνολα Bolzano συγκλίνουσα υπακολουθία x nk k N = x n n N A xn n N A μονότονη ΜΗ συγκλίνουσα A ΜΗ φραγμένο σύνολο

10 Συνεχής εικόνα κλειστού διαστήματος f(x) συνεχής στο κλειστό διάστημα I = [a, b] f(i) φραγμένο σύνολο m M : x I m f(x) M f(x) συνεχής στο κλειστό διάστημα I = [a, b] ξ [a, b] : f(ξ) = min f ([a, b]) = m η [a, b] : f(η) = max f ([a, b]) = M Συμπέρασμα Αν f(x) είναι συνεχής συνάρτηση τότε η εικόνα ενός κλειστού διαστήματος είναι ένα κλειστό διάστημα [a, b] f επί [m, M]

11 Αποδείξεις f(x) συνεχής στο κλειστό διάστημα I = [a, b] f(i) φραγμένο σύνολο m M : x I m f(x) M Απόδειξη. Εστω f(i) ΜΗ φραγμένο σύνολο y n f(i) μονότονη ΜΗ φραγμένη και y n = f(x n ), x n A, η y n δεν συγκλίνει Bolzano I φραγμένο σύνολο = x n I Επειδή I = [a, b] φραγμένο σύνολο f συνεχής = lim k f (x n k ) συγκλίνουσα υπακολουθία x nk lim x n k = ξ I k Αρα η υπακολουθία y nk = f (x nk ) μιας μονότονης ακολουθίας συγκλίνει lim y n πράγμα άτοπο, δηλαδή f(i) είναι φραγμένο σύνολο. n m = inf f ([a, b]), M = sup f ([a, b])

12 f(x) συνεχής στο κλειστό διάστημα I = [a, b] ξ [a, b] : f(ξ) = min f ([a, b]) η [a, b] : f(η) = max f ([a, b]) Απόδειξη. Εστω M = sup f ([a, b]), τότε x [a, b] f(x) M x n [a, b] : M 1 n < f(x n) M Weierstrass x nk : lim k x n k lim f(x n) = M n συνέχεια lim f(x n k ) = f(ξ) k κάθε υπακολουθία f(x nk ) της συγκλίνουσας ακολουθίας f(x n ) έχει το ίδιο όριο, δηλαδή f(ξ) = M. Αρα M = max f(i) = ξ

13 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΜΟΝΟΤΟΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ f(x) συνεχής στο [a, b] ΚΑΙ f(x) γνήσια αύξουσα/φθίνουσα f 1 γνήσια αύξουσα/φθίνουσα και συνεχής f(x) συνεχής στο [a, b] ΚΑΙ f(x) αμφιμονότιμη δηλ. f 1 f(x) γνήσια αύξουσα/φθίνουσα f(x) γνήσια αύξουσα/φθίνουσα ΚΑΙ f 1 f(x) συνεχής στο [a, b]

14 f(x) γνήσια αύξουσα/φθίνουσα f(x) αμφιμονότιμη δηλ. f 1 και [a, b] f επί [m, M] f(x) συνεχής στο [a, b]

15 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΜΟΝΟΤΟΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ- Αποδείξεις f(x) συνεχής στο [a, b] f(x) γνήσια αύξουσα/φθίνουσα f 1 γνήσια αύξουσα/φθίνουσα και συνεχής Απόδειξη. (Απόδειξη με Heine) Βήμα i: f(x) γνήσια αύξουσα στο [a, b] a x < x b m = f(a) f(x) < f(x ) < f(b) = M αν f(a) < y < f(b) Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών x [a, b] y = f(x) το x ορίζεται μονοσήμαντα από το y f 1 και είναι αύξουσα Βήμα ii: Εστω ότι y n f([a, b]) είναι μια αύξουσα ακολουθία και y n η τότε x n = f 1 (y n ) είναι αύξουσα ακολουθία και n φραγμένη (x n [a, b]) οπότε x n ξ. Επειδή η f(x) είναι n συνεχής θα έχουμε f(ξ) = η και επειδή υπάρχει η f 1 τότε ξ = f 1 (η). Δηλαδή f 1 (y n ) f 1 (η). Οπότε n lim f 1 (y) = f 1 (η). y η Βήμα iii: Με τον ίδιο τρόπο, διαλέγουμε μια φθίνουσα ακολουθία y n η και βρίσκουμε ότι f 1 (y n ) f 1 (η). Οπότε n n lim f 1 (y) = f 1 (η). y η+ f 1 είναι συνεχής

16 f(x) συνεχής στο [a, b] f(x) αμφιμονότιμη δηλ. f 1 f(x) γνήσια αύξουσα/φθίνουσα Απόδειξη. Εστω f(a) < f(b) και a < x 1 < x 2 < b Περ. (i) f(x 1 ) ( ή f(x 2 ) ) < f(a) < f(b) Θεώρημα ενδιαμέσου σημείου x 0 [x 1, b] : f(x 0 ) = f(a) x 0 a Ατοπο Περ. (ii) f(a) < f(b) < f(x 1 ) ( ή f(x 2 ) ) Θεώρημα ενδιαμέσου σημείου x 0 [a, x 1 ] : f(x 0 ) = f(b) x 0 b Ατοπο Περ. (iii) f(a) < f(x 2 ) < f(x 1 ) < f(b) Θεώρημα ενδιαμέσου σημείου x 0 [a, x 1 ] : f(x 0 ) = f(x 2 ) x 0 x 2 Ατοπο Η μόνη περίπτωση που μένει είναι: f(a) < f(x 1 ) < f(x 2 ) < f(b)

17 f(x) γνήσια αύξουσα/φθίνουσα f(x) αμφιμονότιμη δηλ. f 1 και [a, b] f επί [m, M] f(x) συνεχής στο [a, b] Απόδειξη. Εστω f(x) γνήσια αύξουσα, m = f(a) και M = f(b) Εστω ɛ > 0 y 0 ɛ < y 0 < y 0 + ɛ x 1 = f 1 (y 0 ɛ) < x 0 = f 1 (y 0 ) < x 2 = f 1 (y 0 + ɛ) δ(ɛ) = min x 0 x 1, x 2 x 0 x 1 x 0 δ < x < x 0 + δ x 2 y 0 ɛ = f(x 1 ) f(x 0 δ) < f(x) < f(x 0 + δ) f(x 2 ) = y 0 + ɛ f(x) είναι συνεχής συνάρτηση

Σχετικά έγγραφα

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy Augustin- Louis Cauchy 1789-1857 ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ Ορισμός σύγκλισης Cauchy συγκλίνει για x ξ Η συνάρτηση f(x) ɛ > 0 δ (ɛ, ξ) : x ξ < δ f(x) l < ɛ f(x) = l + f(x) = l +