f 1 (A) = {f 1 (A i ), A i A}

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "f 1 (A) = {f 1 (A i ), A i A}"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ, 11Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ Μετά τη συνεκτικότητα, όπου είδαμε κάπως αναλυτικά την ιδιότητα εκείνη που επιτρέπει σύνολα όπως τα κλειστά διαστήματα του R να ικανποιούν θεωρήματα όπως το ΘΕΤ, θα εξετάσουμε την ιδιότητα εκείνη που επιτρέπει σε τέτοια σύνολα να ικανοποιούν θεωρήματα όπως το ΘΜΕ και το ΘΟΣ. 1. Συμπαγεια-Ορισμος Ορισμός 1.1. Εστω X τοπολογικός χώρος. Μία οικογένεια A = {A i, i I} στοιχείων A i T X καλείται ανοικτό κάλυμμα του X αν X = i I A i. Προσέξτε ότι δεν παίρνουμε καμμία προϋπόθεση για την πληθικότητα του συνόλου δεικτών I αυτή μπορεί να είναι οποιαδήποτε κατά αρχήν. Ορισμός 1.2. Ο τοπολογικός χώρος X καλείται συμπαγής αν κάθε ανοικτό του κάλυμμα ανάγεται σε πεπερσμένο. Δηλαδή A = {A i } i I ανοικτό κάλυμμα του X, J = {1,..., m} I : X = j J A j. Ορισμός της συμπάγειας Κάνουμε ορισμένες αρχικές παρατηρήσεις στο σημείο αυτό: 1 1 Ισως η καλύτερη παρατήρηση επί του ορισμού της συμπάγειας οφείλεται στον H. Weyl: Μία πόλη είναι συμπαγής αν για τη φύλαξή της χρειάζονται μόνο πεπερασμένου πλήθους και τυχαίου βαθμού μυωπίας αστυνομικοί για να τη φυλάξουν. 1

2 2 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ Προσέξτε τον ορισμό: η συμπάγεια έπεται αν κάθε ανοικτό κάλυμμα του X ανάγεται σε πεπερασμένο. Ο R λόγου χάρη έχει ένα πεπερασμένο ανοικτό κάλυμμα (τον εαυτό του), αλλά δεν είναι συμπαγής: αν πάρουμε το κάλυμμα A = {( n, n), n N }, τότε δεν υπάρχει πεπερασμένο υποκάλυμμα του A που να καλύπτει το R. Το υποσύνολο X = {0} {1/n, n N} του R είναι συμπαγές: έστω A ανοικτό κάλυμμα του X υπάρχει τότε U A που περιέχει το 0, και λόγω αυτού, περιέχει και όλα τα 1/n εκτός ίσως από πεπερασμένου πλήθους. Αυτά τα πεπερασμένου πλήθους σημεία ανήκουν το πολύ σε πεπερασμένου πλήθους στοιχεία του καλύμματος, ας πούμε στα U 1,..., U m. Τότε το πεπερασμένο υποκάλυμμα του A είναι αυτό που αποτελείται από το U και τα U 1,..., U m. Κάθε πεπερασμένος τοπολογικός χώρος είναι συμπαγής. Το (0, 1] δεν είναι συμπαγές: παίρνουμε A = {(1/n, 1], n N} δεν υπάρχει πεπερασμένο υποκάλυμμα του A που να καλύπτει το (0, 1]. Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να δείξουμε ότι ούτε και το (0, 1) είναι συμπαγές. 2. Υποχωροι συμπαγων χωρων Παραθέτουμε παρακάτω ορισμένες προτάσεις που αφορούν σε υποχώρους συμπαγών χώρων. Πρόταση 2.1. Εστω Y υπόχωρος του X. Τότε ο Y είναι συμπαγής αν και μόνο αν κάθε κάλυμμα του Y από ανοικτά του X περιέχι πεπερασμένο υποκάλυμμα που καλύπτει το Y. 2 Απόδειξη. Εστω ότι ο Y είναι συμπαγής και έστω A = {A i, i I} κάλυμμα του Y με ανοικτά του X. Τότε η συλλογή {A i Y, i I} είναι κάλυμμα του Y με σύνολα της T Y X. Άρα, υπάρχει υποκάλυμμα του Y και κατά συνέπεια η υποσυλλογή {A i Y, j J}, όπου J I, J πεπερασμένο {A i, j J}, καλύπτει το Y. Αντιστρόφως, έστω ότι ισχύει η δοθείσα συνθήκη θα δείξουμε ότι ο Y είναι συμπαγής. Εστω προς τούτο κάλυμμα A = {A i, i I} του Y με στοιχεία της T Y X. Για κάθε i επιλέγουμε A i T X με A i = A i Y. Τότε το A = {A i, i I} είναι ανοικτό κάλυμμα του Y με στοιχεία του X. Από υπόθεση, κάποιο πεπαρσμένο υποκάλυμμά του {A j, j J}, J I, J πεπερασμένο, καλύπτει το Y. Συνεπώς το πεπερασμένο υποκάλυμμα {A j, j J} του A καλύπτει το Y. Πρόταση 2.2. Κάθε κλειστός υπόχωρος συμπαγούς χώρου είναι συμπαγής. 2 Προσέχουμε σε αυτό το σημείο ότι όταν λέμε ότι ο υπόχωρος Y καλύπτεται από κάποιο κάλυμμα του X εννοούμε ότι ο Y περιέχεται στην ένωση των στοιχείων του καλύμματος.

3 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ 1, 11Η ΔΙΑΛΕΞΗ 3 Απόδειξη. Εστω Y X κλειστός και έστω A κάλυμμά του από ανοικτά του X. Θεωρούμε το κάλυμμα B = A {X \ Y } του X. Λόγω συμπάγειας του X, υπάρχει πεπερασμένο υποκάλυμμα του B που καλύπτει το X. Εάν αυτό το υποκάλυμμα περιέχει το X \ Y, τότε το αφαιρούμε. Το εναπομείνον κάλυμμα που είναι υποκάλυμμα του A καλύπτει το Y. Πρόταση 2.3. Κάθε συμπαγής υπόχωρος χώρου Hausdorff είναι κλειστός. Απόδειξη. Εστω ότι ο Y X είναι συμπαγής θα δείξουμε ότι το X \ Y είναι ανοικτό. Αν x 0 X \ Y, τότε από κάθε σημείο y Y επιλέγουμε ξένες περιοχές U y και V y των x 0 και y αντίστοιχα. Προκύπτει ένα κάλυμμα {V y, y Y } του Y από ανοικτά του X. Εστω το πεπερασμένο υποκάλυμμα {V y1,..., V yn } του Y. Κάθε ένα από τα στοιχεία του πεπεραμένου υποκαλύμματος είναι ξένο με το σύνολο U = U y1 U yn που είναι η τομή των αντίστοιχων υποσυνόλων U yi. Διότι, αν z V, τότε z V yj για κάποιο y j, άρα z / U. Άρα, η U = U x0 είναι ξένη με το V. Χωρίς απόδειξη, αναφέρουμε το 3. Συμπαχεια σε χωρους γινομενα Θεώρημα 3.1. Το καρτεσιανό γινόμενο πεπερασμένου πλήθους συμπαγών χώρων είναι συμπαγές. Οι ενδιαφερόμενοι για την απόδειξη μπορούν να ανατρέξουν στον Munkres, Theorem Αναφέρουμε μόνο εδώ, ότι υπάρχει μία πολύ ισχυρότερη μορφή αυτού του θεωρήματος που οφείλεται στον Tychonoff: το καρτεσιανό γινόμενο οποιουδήποτε πλήθους συμπαγών χώρων είναι συμπαγές. Το θεώρημα αυτό είναι ισοδύναμο με το Αξίωμα της Επιλογής, κάτι που δείχνει μία κατ αρχάς παράξενη σύνδεση της Λογικής με την Τοπολογία. Το παρακάτω θεώρημα είναι σημαντικό. 4. Συμπαγεια και συνεχεια Θεώρημα 4.1. Η συνεχής εικόνα συμπαγούς χώρου είναι συμπαγής χώρος. Απόδειξη. Εστω f : X Y, X συμπαγής και f συνεχής. Θα δείξουμε ότι η εικόνα f(x) είναι συμπαγής. Εστω A κάλυμμα του f(a) αοό ανοικτά του Y. Τότε το f 1 (A) = {f 1 (A i ), A i A} είναι κάλυμμα του X από ανοικτά του X λόγω συνέχειας της f. Επειδή ο X είναι συμπαγής, το κάλυμμα αυτό ανάγεται στο κάλυμμα που αποτελείται από πεπερασμένου πλήθους σύνολα Επεται ότι τα A 1,..., A n καλύπτουν το f(a). f 1 (A 1 ),... f 1 (A n ). Πόρισμα 4.2. Η συμπάγεια είναι τοπολογική ιδιότητα: αν f : X Y είναι ομοιομορφισμός, τότε ο X είναι συμπαγής αν και μόνο αν ο Y είναι συμπαγής.

4 4 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ Το παρακάτω είναι χρήσιμο κριτήριο για να επιβεβαιώνουμε ότι μία απεικόνιση είναι ομοιομορφισμός. 3 Θεώρημα 4.3. Εστω f : X Y, 1 1, επί και συνεχής. Αν ο X είναι συμπαγής και ο Y είναι Hausdorff, τότε η f είναι ομοιομορφισμός. 4 Απόδειξη. Αρκεί να δείξουμε ότι η f είναι κλειστή. Εάν A είναι κλειστό του X, τότε είναι συμπαγές. άρα, το f(a) είναι συμπαγές, και επειδή ο Y είναι Hausdorff, το f(a) είναι κλειστό του Y. 5. Χωροι με την ιδιοτητα της πεπερασμενης τομης Ορισμός 5.1. Λέμε ότι μία συλλογή C υποσυνόλων του τοπολογικού χώρου X έχει την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής αν για κάθε πεπερασμένη υποσυλλογή {C 1,..., C n } της C, ισχύει ότι n C i. i=1 Ο ορισμός αυτός μας επιτρέπει να δώσουμε το παρακάτω θεώρημα, που αν και πρακτικά είναι επαναδιατύπωση του ορισμού των συμπαγών χώρων, αποδεικνύεται αρκετά χρήσιμο. Θεώρημα 5.2. Ο τοπολογικός χώρος X είναι συμπαγής αν και μόνο αν για κάθε συλλογή C κλειστών συνόλων του X με την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής, ισχύει ότι η τομή ολων των στοιχείων της C, C C C, είναι μη κενή. Απόδειξη. Ας διαβάσουμε την αντιθετοαντιστροφή του ορισμού της συμπάγειας: για κάθε ανοικτή συλλογή A ανοικτών υποσυνόλων του X, εάν καμμία πεπερασμένη υποσυλλογή της A δεν καλύπτει το X, τότε η A δεν καλύπτει το X. Εστω τώρα A συλλογή ανοικτών υποσυνόλων του X και έστω Ισχύουν τα ακόλουθα: C = {X \ A, A A}. Εφ όσον τα στοιχεία της A είναι ανοικτά, τα στοιχεία της C είναι κλειστά. Η A καλύπτει το X αν και μόνο αν C C C =. Η πεπερασμένη υποσυλλογή {A 1,..., A n } της A καλύπτει το X αν και μόνο αν n C i = i=1 n (X \ A i ) =. i=1 3 Θα κάνουμε εκτεταμένη χρήση του θεωρήματος αυτού στο κεφάλαιο που αφορά στην τοπολογία πηλίκο. 4 Λόγω του θεωρήματος αυτού ισχύει στον λογισμό το θεώρημα: αν f : [a, b] R 1-1, επί και συνεχής, τότε και η f 1 είναι συνεχής το [a, b] είναι συμπαγές και ο R είναι Hausdorff.

5 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ 1, 11Η ΔΙΑΛΕΞΗ 5 Διαβάζουμε πάλι τον ορισμό: Για κάθε συλλογή C κλειστών συνόλων του X, εάν καθε πεπερασμένη τομή στοιχείων της C είναι, τότε η τομή όλων των στοιχείων της C είναι μη κενή. Ακριβώς δηλαδή αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε. Μία ειδική περίπτωση προσκύπτει όταν έχουμε μία εγκιβωτισμένη ακολουθία C 1 C 2 C n... κλειστών συνόλων σε συμπαγές X. Εάν C n για κάθε n, τότε αυτομάτως η συλλογή C = {C n, n N} έχει την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής. Τότε η τομή C n. n N Το Θεώρημα 5.2 θα μας χρησιμεύσει παρακάτω στην απόδειξη του υπεραριθμησίμου του R. 6. Συμπαγεια στον μετρικο χωρο R n Εχουμε ήδη αποδείξει στην ενότητα της τοπολογίας της ευθείας ότι κάθε κλειστό διάστημα [a, b] του R με την τυπική τοπολογία είναι συμπαγές. Σύμφωνα με το Θεώρημα 3.1 τώρα, συμπαγείς είναι και όλοι οι κλειστοί κύβοι και τα κλειστά παραλληλεπίπεδα του R n. Διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε στο σημείο αυτό το Θεώρημα Heine-Borel στην πλήρη ισχύ του: Θεώρημα 6.1. ( Heine-Borel) Ενα υποσύνολο A του R n είναι συμπαγές αν και μόνο αν είναι κλειστό και φραγμένο. Απόδειξη. Χωρίς βλάβη, θα χρησιμοποιήσουμε για την απόδειξη την sup μετρική ρ για το R n θυμηθείτε ότι ρ(x, y) d(x, y) n ρ(x, y) για κάθε x, y R n εδώ, d είναι η Ευκλείδεια μετρική. Εστω κατ αρχάς ότι το A είναι συμπαγές. Από την Πρόταση 2.3 έπεται ότι το A είναι κλειστό αφού ο R n είναι Hausdorff. Παίρνουμε τώρα την ανοικτή συλλογή {B ρ (0, n), n N} των ανοικτών ρ-μπαλλών των οποίων η ένωση είναι όλο το R n. Λόγω συμπάγειας του A, κάποια πεπερασμένη υποσυλλογή της καλύπτει το A. Άρα, M > 0 τέτοιο ώστε A B ρ (0, M). Για τυχαία στοιχεία x, y του A ισχύει τότε ρ(x, y) 2M και συνεπώς το A είναι φραγμένο. Αντιστρόφως, έστω ότι το A είναι κλειστό και φραγμένο τότε, λόγω του φραγμένου, το A περιέχεται σε κάποιον αρκούντως μεγάλο κύβο [ N, N] n που είναι συμπαγής. Επειδή είναι και κλεσιτό υποσύνολο του συμπαγούς αυτού κύβου, έπεται ότι είναι και συμπαγής από την Πρόταση 2.2. Ορισμένες παρατηρήσεις: Κάθε συμπαγές του R n περιέχεται σε έναν κλειστό κύβο-αυτό είναι άμεση απόρροια του Θεωρήματος 6.1. Η σφαίρα S n καθώς και κάθε κλειστή μπάλλα του R n είναι συμπαγή σύνολα (είναι κλειστά και περιέχονται σε κλειστούς θύβους).

6 6 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ Υπάρχουν σύνολα του R n που είναι κλειστά αλλά όχι φραγμένα: λόγου χάρη το σύνολο {(x, 1/x), x (0, 1]}. Υπάρχουν από την άλλη φραγμένα σύνολα του R n που δεν είναι κλειστά: ένα τέτοιο είναι το σύνολο S = {(x, sin(1/x) x (0, 1]}. 7. Το Θεωρημα Μεγιστου-Ελαχιστου Θεώρημα 7.1. (Θεώρημα Μεγίστου-Ελαχίστου (ΘΜΕ)) Εστω X συμπαγής και f : X R συνεχής. Τότε υπάρχουν x m, x M X τέτοια ώστε f(x m ) = m = min (f) και f(x M) = M = max (f). X X Απόδειξη. Επειδή η εικόνα A = f(x) είναι συμπαγής, περιέχεται σε κάποιο κλειστό διάστημα [a, b] του R. Αν f(x) = [a, b] έχουμε τελειώσει διότι τότε m = a και M = b. Σε κάθε περίπτωση, θα δείξουμε ότι m f(x) M και m = f(x m ), M = f(x M ) για κάποια x m, x M X. Εστω προς το άτοπο ότι δεν υπάρχει τέτοιο M. Παίρνουμε τη συλλογή {(, a), a A}, που καλύπτει το A. Λόγω συμπάγειας, το A καλύπτεται από κάποια πεπερασμένη υποσυλλογή {(, a 1 ),..., (, a n )}, καλύπτει το A. Εάν a i είναι το μεγαλύτερο των a 1,..., a n τότε δεν ανήκεις σε κανένα από τα παραπάνω σύνολα, πράγμα που αντιτίθεται στο γεγονός ότι τα σύνολα αυτά καλύπτουν το A. Παρόμοιο επιχείρημα αποδεικνύει την ύπαρξη του m. 8. Το Θεωρημα Ομοιομορφης Συνεχειας Για την απόδειξη του ΘΟΣ μας χρειάζεται το Λήμμα του αριθμού Lebesque. Κάνουμε μία μικρή προεργασία αρχικά. Ορισμός 8.1. Εστω (X, d) μετρικός χώρος και έστω A X. Τότε η απόσταση του x X από το A είναι η dist(x, A) = inf {d(x, a)}. a A Πρόταση 8.2. Η συνάρτηση dist(x, A) : X R +, x dist(x, A) είναι συνεχής. Απόδειξη. Εάν x, y X, τότε για κάθε a A. Άρα, οπότε dist(x, A) d(x, a) d(x, y) + d(y, a) dist(x, A) d(x, y) inf {d(y, a)} = dist(y, A), a A dist(x, A) dist(y, A) d(x, y). Εναλλάσσοντας τα x, y προκύπτει η ίδια ανισότητα, άρα και η συνέχεια της dist(x, A).

7 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ 1, 11Η ΔΙΑΛΕΞΗ 7 Ορισμός 8.3. Αν A (X, d), η διάμετρος του A είναι ο αριθμός diam(a) = sup{d(a 1, a 2 ), a 1, a 2 A}. Λήμμα 8.4. (αριθμού Lebesgue) Εάν A είναι ανοικτό κάλυμμα του μετρικού χώρου (X, d) και ο X είναι συμπαγής, τότε υπάρχει δ > 0 (ο αριθμός Lebesgue του A) τέτοιος ώστε για κάθε A X με diam(a) < δ, υπάρχει A i A με A i A. Απόδειξη. Αν X A δεν έχουμε τίποτε να αποδείξουμε-κάθε δ > 0 είναι αριθμός Lebesgue για το A. Υποθέτουμε λοιπόν ότι X / A. Επιλέγουμε πεπερασμένο υποκάλυμμα {A 1,..., A n } του A και για κάθε i = 1,..., n θέτουμε C i = X \ A i. Ορίζουμε f : X R από την f(x) = 1 n n dist(x, C i ). i=1 Δείχνουμε ότι f > 0. Δοθέντος x X, έστω i τέτοιο ώστε x A i. Εστω ɛ > 0 με B(x, ɛ) A i. Τότε, dist(x, C i ) ɛ, άρα f(x) ɛ/n. Επειδή η f είναι συνεχής, έχει μία ελάχιστη τιμή δ. Θα δείξουμε ότι αυτό το δ είναι όντως ο αριθμός Lebesgue του A. Εστω B X με diam(b) < δ. Εστω x 0 B, τότε B B(x 0, δ). Τώρα, όπου Επεται ότι B(x 0, δ) A m = X \ C m A. δ f(x 0 ) dist(x 0, C m ), dist(x 0, C m ) = max i=1,...,n {d(x 0, C i )}. Ορισμός 8.5. Η f : (X, d X ) (Y, d Y ) καλείται ομοιοόμορφα συνεχής αν ɛ > 0, δ = δ(ɛ) > 0 : x, y X, d X (x, y) < δ = d Y (f(x), f(y)) < ɛ. Θεώρημα 8.6. (Θεώρημα Ομοιόμορφης Συνέχειας (ΘΟΣ)) Εστω f : (X, d X ) (Y, d Y ) συνεχής και X συμπαγής. Τότε η f είναι ομοιόμορφα συνεχής. Απόδειξη. δοθέντος ɛ > 0 παίρνουμε κάλυμμα του Y από μπάλλες B(y, ɛ/2). Θεωρούμε το ανοικτό κάλυμμα A = {f 1 (B(y, ɛ/2)), ɛ R + }. Εστω δ ο αριθμός Lebesgue του A. Τότε, αν x, y X με d X (x, y) < δ, το σύνολο {x, y} έχει διάμετρο < δ, άρα η εικόνα του {f(x), f(y)} ανήκει σε κάποια μπάλλα B(y, ɛ/2). Τότε όμως d Y (f(x), f(y)) < ɛ. 9. Υπεραριθμησιμοτητα του R Ορισμός 9.1. Εστω X τοπολογικός χώρος το x X καλείται απομονωμένο σημείο του X αν το {x} είναι ανοικτό. Θεώρημα 9.2. έστω X συμπαγής και Hausdorff. Εάν δεν έχει απομονωμένα σημεία, τότε είναι υπεραριθμήσιμος.

8 8 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ Απόδειξη. Βήμα 1. Δείχνουμε ότι δοθέντος = U X, U T X, και x X, υπάρχει = V U με x / V. Εστω y U, y x μπορούμε να επιλέξουμε ένα τέτοιο y εάν x U διότι το x δεν είναι απομονωμένο σημείο του X, και μπορούμε πάλι να το κάνουμε αυτό αν x / U απλώς και μόνο επειδή U. Επιλέγουμε τώρα ανοικτά W 1 και W 2 με W 1 W 2 =, x W 1, y W 2. Τότε, το σύνολο V = W 2 U είναι αυτό που θέλουμε: W 2 U U, W 2 U (y W 2 U). Επίσης, x / W 2 U. Βήμα 2. Θα δείξουμε ότι δοθείσης f : N X, η f δεν είναι επί ώστε να προκύψει ότι ο X είναι υπεραριθμήσιμος. Εστω x n = f(n). Εφαρμόζοντας το Βήμα 1 στο U = X, επιλέγουμε μη κενό και ανοικτό V 1 X τέτοιο ώστε x / V 1. Εν γένει, δοθέντος V n 1 ανοικτού και μη κενού, επιλέγουμε V n ανοικτό και μη κενό με V n V n 1, x n / V n. Εστω τώρα η εγκιβωτισμένη ακολουθία V 1 V n... μη κενών, κλειστών υποσυνόλων του X, Επειδή ο X είναι συμπαγής, υπάρχει x n N V n. Τώρα, x x n για κάθε n, εφ όσον x V n, x n / V n. Πόρισμα 9.3. Κάθε διάστημα του R είναι υπεραριθμήσιμο.

S n = ( 1, 0] 1 + b 1 a1 + b 1 I 1 I 2 I 3...,

S n = ( 1, 0] 1 + b 1 a1 + b 1 I 1 I 2 I 3..., ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 017-18 ΜΕΜ31-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ 1, 3Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΣΥΝΤΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ ΤΟΥ R ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Ανοικτα και κλειστα συνολα του R Το σύνολο R των πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1), Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο

Διαβάστε περισσότερα

x \ B T X. A = {(x, y) R 2 : x 0, y 0}

x \ B T X. A = {(x, y) R 2 : x 0, y 0} ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 2017-18 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ, 6Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΚΛΕΙΣΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΕΣΩΤΕΡΙΚΑ ΚΑΙ ΚΛΕΙΣΤΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΧΩΡΟΙ HAUSDORFF ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Κλειστα συνολα Εχοντας

Διαβάστε περισσότερα

B X Y : T X Y = U i V i : U i T X, V i T Y. (x, y) (U 1 V 1 ) (U 2 V 2 ) = (U 1 U 2 ) (V 1 V 2 ) B X Y. ((0, 2) (1, 3)) ((1, 3) (1, 2)) B X B Y

B X Y : T X Y = U i V i : U i T X, V i T Y. (x, y) (U 1 V 1 ) (U 2 V 2 ) = (U 1 U 2 ) (V 1 V 2 ) B X Y. ((0, 2) (1, 3)) ((1, 3) (1, 2)) B X B Y ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 2017-18 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ, 5Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΕΠΑΓΟΜΕΝΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Τοπολογια γινομενο και προβολες Εστω X, Y τοπολογικοί

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

B = F i. (X \ F i ) = i I

B = F i. (X \ F i ) = i I Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Ας θυμηθούμε από την περασμένη φορά ότι ένα σύνολο M σε έναν μετρικό χώρο (X, d είναι συμπαγές όταν: αν έχουμε οποιαδήποτε ανοικτά σύνολα που καλύπτουν

Διαβάστε περισσότερα

EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata

EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata Εστω f : X Y μια εμφύτευση του μετρικού χώρου (X, ρ) στο χώρο με νόρμα (Y, ). Η παραμόρφωση της f ορίζεται ως εξής: f(x) f(y) ρ(x, y) dist(f) = sup sup x y ρ(x, y)

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής.

Πρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I ɛ > 0, δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ f(x) ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής ɛ > 0, δ > 0 : x, ξ I, x ξ < δ f(x) f(ξ) ɛ f(x) συνεχής στο [a, b] f(x) ομοιόμορφα συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν 3 4.3 Τελείως κανονικοί χώροι ( ). 3 2 Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysoh, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν κανονικός χώρος, x και κλειστό ώστε x. Υπάρχει τότε συνεχής συνάρτηση f :, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine. 8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

j=1 x n (i) x s (i) < ε.

j=1 x n (i) x s (i) < ε. Κεφάλαιο 5 Πληρότητα 5.1 Πλήρεις μετρικοί χώροι Ορισμός 5.1.1 (πλήρης μετρικός χώρος). Ενας μετρικός χώρος (X, ρ) λέγεται πλήρης (complete) αν κάθε ρ βασική ακολουθία (x n ) στον X είναι ρ συγκλίνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές

Διαβάστε περισσότερα

convk. c i c i t i. c i u i c < c i φ i (F (ω)) c < ( ) c i m i < i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1

convk. c i c i t i. c i u i c < c i φ i (F (ω)) c < ( ) c i m i < i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 Ολοκλήρωση συναρτήσεων με τιμές σε χώρους Baach Αν (Ω, S, µ είναι χώρος μέτρου και (X, είναι χώρος Baach, μια συνάρτηση F : Ω X θα λέγεται ασθενώς μετρήσιμη (αντίστοιχα, ασθενώς ολοκληρώσιμη αν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνθήκες αριθµησιµότητας Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα 33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy Augustin- Louis Cauchy 1789-1857 ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ Ορισμός σύγκλισης Cauchy συγκλίνει για x ξ Η συνάρτηση f(x) ɛ > 0 δ (ɛ, ξ) : x ξ < δ f(x) l < ɛ f(x) = l + f(x) = l +

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Βάσεις και υποβάσεις.

1.2 Βάσεις και υποβάσεις. . Βάσεις και υποβάσεις. Το «καθήκον» του ορισμού μιας τοπολογίας διευκολύνεται αν είμαστε σε θέση να περιγράψουμε αρκετά ανοικτά σύνολα τα οποία να παραγάγουν όλα τα ανοικτά σύνολα. Ορισμός.9. Έστω X,

Διαβάστε περισσότερα

1 + t + s t. 1 + t + s

1 + t + s t. 1 + t + s Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι Ομάδα Α 1.1. Εστω (X, ) χώρος με νόρμα. Δείξτε ότι η νόρμα είναι άρτια συνάρτηση και ικανοποιεί την ανισότητα x y x y για κάθε x, y X. Υπόδειξη. Για κάθε x X έχουμε x = ( 1)x

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών

Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών 2010-11 Περιεχόμενα I Μετρικοί χώροι 1 1 Μετρικοί χώροι 3 1.1 Ορισμός και παραδείγματα........................... 3 1.2 Χώροι με

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ii

ii Σημειώσεις Γενικής Τοπολογίας Σημειώσεις Μ. Γεραπετρίτη από τις παραδόσεις (διορθώσεις, 2016) Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 ii Περιεχόμενα 1 Τοπολογικοί Χώροι 3 1.1 Ανοικτά σύνολα,

Διαβάστε περισσότερα

f x 0 για κάθε x και f 1

f x 0 για κάθε x και f 1 06 4.2 Το Λήμμα του Uysoh το Λήμμα της εμφύτευσης και το θεώρημα μετρικοποίησης του Uysoh. Ο κύριος στόχος αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεμελιώδους αποτελέσματος γνωστού ως το Λήμμα του Uysoh.

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους 121 5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους Στο κεφάλαιο αυτό πρόκειται να μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, πέραν των μετρικών χώρων. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ( πρβλ.

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t) Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ Άσκηση 11.1.2. (i) Είναι η συνάρτηση d : R R R με τύπο d(x, y) = (x y) 2 μετρική στο R; (ii) Ίδια ερώτηση για την d : R R R με τύπο d(x, y) = x y

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ»

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ σε ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» Εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση ( ) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3

Πραγµατική Ανάλυση ( ) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3 Πραγµατική Ανάλυση (2015-16) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3 Οµάδα Α 1. Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

Sunarthsiak Anˆlush. Shmei seic gia metaptuqiakì mˆjhma

Sunarthsiak Anˆlush. Shmei seic gia metaptuqiakì mˆjhma Sunarthsiak Anˆlush Shmei seic gia metaptuqiakì mˆjhma Μ. Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης νοιξη 2004 2 Perieqìmena 1 Εισαγωγικά 7 1.1 Διατάξεις............................... 7 1.2

Διαβάστε περισσότερα

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

f(x) f(c) x 1 c x 2 c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς

Διαβάστε περισσότερα

x < A y f(x) < B f(y).

x < A y f(x) < B f(y). Χειμερινό Εξάμηνο 2016 2017 Ασκήσεις στα Κεφάλαια 5 & 6 1. Αυτή είναι ουσιαστικά η Άσκηση 5.2 (σελ. 119), από τις σημειώσεις του Σκανδάλη. Εστω A, < καλά διατεταγμένο σύνολο και έστω στοιχείο a A. Αποδείξτε

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Αρμονική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα 1 Το ολοκλήρωμα Lebesgue. 1 1.1 Σύνολα μηδενικού μέτρου..................................... 1 1.2 Η συλλογή C

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. 7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ Θα γυρίσουμε πίσω για να κάνουμε μια απόδειξη που είχαμε παραλείψει σε κάποιο προηγούμενο παράδειγμα. Παράδειγμα. Έστω ξ [, b] και η συνάρτηση { 0, αν x [, b],

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Πραγματική Ανάλυση. Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο R. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Πραγματική Ανάλυση. Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο R. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Πραγματική Ανάλυση Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο R Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα Το μέτρο Lebesgue.. Μήκη διαστημάτων..................................2

Διαβάστε περισσότερα

Ενα δεύτερο μάθημα στις πιθανότητες Περιεχόμενα Μέρος I Γνώσεις Θεωρίας Μέτρου 1 1 σ-άλγεβρες 3 1.1 σ-άλγεβρες 3 1.2 Παραγόμενη σ-άλγεβρα 5 1.3 Τα σύνολα Borel 6 Ασκήσεις 7 2 Μέτρα 9 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ, 10-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα δούμε την συμμετρική ιδιότητα της Ιδιότητας Supremum. Η ΙΔΙΟΤΗΤΑ INFIMUM. Κάθε μη-κενό και κάτω φραγμένο σύνολο έχει μέγιστο κάτω φράγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος).

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος). 4 Τοπολογικοί χώροι. Στοιχειώδεις έννοιες της τοπολογίας Στην παράγραφο αυτή εισάγουμε τις βασικές έννοιες της τοπολογίας, δηλαδή αυτές του ανοικτού και κλειστού συνόλου, της κλειστότητας και του εσωτερικού

Διαβάστε περισσότερα

( ) x 1 1. cone( (10.1) ( ) x ) := D (10.2) D Ax b 0 Ax 0 b. i λ i 1

( ) x 1 1. cone( (10.1) ( ) x ) := D (10.2) D Ax b 0 Ax 0 b. i λ i 1 Θεωρία Γραμμικού Προγραμματισμού Διάλεξη 0: 2..204 Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Ευάγγελος Αναγνωστόπουλος, Πέτρος Μπαρμπαγιάννης & Σ. Κ. 0. Θεώρημα Minkowski-Weyl για πολύεδρα Ορισμός 0. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

2. d(x, y) = 0 x = y. 3. d(x, y) = d(y, x)

2. d(x, y) = 0 x = y. 3. d(x, y) = d(y, x) Τελεστές σε χώρους Hilbert Γεωργάτος Σπυρίδων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Επιτροπή Επιβλέπων: Φελουζής Ευάγγελος - Αναπληρωτής Καθηγητής Μέλη : Τσολομύτης Αντώνιος - Καθηγητής Νικολόπουλος Χρήστος

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στην Τοπολογία! http://eclass.uoa.gr/courses/math451/ Χειμερινό Εξάμηνο 2015-16 Υπενθύμιση: Η τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης Εστω K ένα σύνολο (π.χ. K = [a,b]) και f n,f : K R φραγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 2: Το Θεώρημα Καραθεοδωρή και τα μέτρα Borel Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση.

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση. 3 Παράρτημα 2 Παρατηρήσεις, ασκήσεις και Διορθώσεις Παράγραφος ) Σελίδα, : Παρατηρούμε τα ακόλουθα για το χώρο πηλίκο / Y : Y = / Y και (α) { } (β) = Y / Y { } Επίσης από τον τύπο () έπεται ιδιαίτερα ότι

Διαβάστε περισσότερα

G n. n=1. n=1. n=1 G n) = m (E). n=1 G n = k=1

G n. n=1. n=1. n=1 G n) = m (E). n=1 G n = k=1 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Επαναληπτικές Εξετάσεις στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωση Θέμα. Εστω R Lebesgue μετρήσιμο σύνολο. (αʹ) Να αποδειχθεί ότι για κάθε ε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: ιαχωριστικά αξιώµατα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Shmei seic Genik c TopologÐac. Miqa l GerapetrÐthc

Shmei seic Genik c TopologÐac. Miqa l GerapetrÐthc Shmei seic Genik c TopologÐac Miqa l GerapetrÐthc Tm ma Majhmatik n Panepist mio Ajhn n Aj na, 2013 ii Perieqìmena Εισαγωγή 1 1 Τοπολογικοί Χώροι 3 1.1 Ανοικτά σύνολα, βάσεις και υποβάσεις..................

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 5:Θεώρημα ακραίων τιμών και θεώρημα ενδιάμεσων τιμών- Ομοιόμορφη συνέχεια. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

Λογισμός 3. Ενότητα 5:Θεώρημα ακραίων τιμών και θεώρημα ενδιάμεσων τιμών- Ομοιόμορφη συνέχεια. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5:Θεώρημα ακραίων τιμών και θεώρημα ενδιάμεσων τιμών- Ομοιόμορφη συνέχεια. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΟΙ ΧΩΡΟΙ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΟΙ ΧΩΡΟΙ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΟΙ ΧΩΡΟΙ Διπλωματική Εργασία Για Μεταπτυχιακό Δίπλωμα Ειδίκευσης ΑΡΕΤΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Επιβλέπων Καθηγητής: ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πλειότιµες απεικονίσεις. 1.1 Ορισµοί

Κεφάλαιο 1. Πλειότιµες απεικονίσεις. 1.1 Ορισµοί Κεφάλαιο 1 Πλειότιµες απεικονίσεις 1.1 Ορισµοί Εστω X,Y µη κενά σύνολα. Μία (πλειότιµη) απεικόνιση φ : X Y, από το X στο Y είναι ένας κανόνας που σε κάθε σηµείο x του X αντιστοιχεί ένα υποσύνολο φ(x) του

Διαβάστε περισσότερα

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον Χώροι πηλίκα Έστω διανυσματικός χώρος και Y διανυσματικός υπόχωρος του. Για κάθε θεωρούμε το σύμπλοκο σχετικά με τον Y, = + y y Y = + Y ορ { : } δηλαδή το είναι η παράλληλη μεταφορά του Y κατά το διάνυσμα.

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 1: Τοπολογία των Ευκλείδειων χώρων. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 1: Τοπολογία των Ευκλείδειων χώρων. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Τοπολογία των Ευκλείδειων χώρων. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 14, 30 Απριλίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Χώροι με εσωτερικό γινόμενο (Ευκλείδειοι χώροι) 2. Βέλτιστες προσεγγίσεις

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

ονομάζεται τότε χώρος πηλίκο. διατηρεί τα συμπληρώματα συνόλων, ένα σύνολο F είναι είναι κλειστό στον.

ονομάζεται τότε χώρος πηλίκο. διατηρεί τα συμπληρώματα συνόλων, ένα σύνολο F είναι είναι κλειστό στον. 67 2.3 Χώροι πηλίκο και τοπολογία πηλίκο Στην παρούσα παράγραφο θα δείξουμε πως μπορούμε μέσω μιας απεικόνισης ενός δεδομένου τοπολογικού χώρου επί ενός συνόλου να εισαγάγουμε τοπολογία στο σύνολο, την

Διαβάστε περισσότερα

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m.

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m. Σηµειώσεις Συναρτησιακής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Το ϑεώρηµα κατηγορίας του Baire 4 2. Χώροι Banach 5 3. Φραγµένοι γραµµικοί τελεστές 8 4. Χώροι πεπερασµένης

Διαβάστε περισσότερα

Νιάχος ιονύσιος Χώροι Συναρτήσεων (Function Spaces) Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών

Νιάχος ιονύσιος Χώροι Συναρτήσεων (Function Spaces) Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών Νιάχος ιονύσιος Χώροι Συναρτήσεων (Functon Spaces) Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών 2 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ UNIVERSITY OF PATRAS ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 15-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Παράδειγμα. Ως εφαρμογή της Αρχιμήδειας Ιδιότητας θα μελετήσουμε το σύνολο { 1 } A = n N = {1, 1 n 2, 1 } 3,.... Κατ αρχάς το σύνολο A έχει προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και 8.3 Σχετική τοπολογία και υπόχωροι. Ορισμός.37. Έστω X, τ.χ. Αν U : U X, τότε η οικογένεια είναι μια τοπολογία στο σύνολο, η οποία ονομάζεται η σχετική ( ή επαγόμενη ) τοπολογία του. Ο χώρος, ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Infimum. Ορισμός κάτω φράγματος συνόλου A. Ορισμός infimum του συνόλου A. Το σύνολο A R είναι κάτω φραγμένο αν. k R : x A k x.

Infimum. Ορισμός κάτω φράγματος συνόλου A. Ορισμός infimum του συνόλου A. Το σύνολο A R είναι κάτω φραγμένο αν. k R : x A k x. Infimum Ορισμός κάτω φράγματος συνόλου A Το σύνολο A R είναι κάτω φραγμένο αν k R : x A k x k = κάτω φράγμα Ορισμός infimum του συνόλου A inf A = infimum του συνόλου A Το μεγαλύτερο από τα κάτω φράγματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Μετρικοί χώροι. 1.1 Βασικές έννοιες. Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν :

Κεφάλαιο 1. Μετρικοί χώροι. 1.1 Βασικές έννοιες. Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Βασικές έννοιες Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : (i) d(x, y) 0 και d(x, y) = 0 αν και µόνο αν x = y, (ii) d(x, y) = d(y,

Διαβάστε περισσότερα

(s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). s n (f) g = (f D n ) g = f (D n g) = f (g D n ) = f s n (g). K n (x)g δ (x) dx. K n (x) dx.

(s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). s n (f) g = (f D n ) g = f (D n g) = f (g D n ) = f s n (g). K n (x)g δ (x) dx. K n (x) dx. Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωμα Lebesgue (11 1) 3ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω f, g : T C ολοκληρώσιμες συναρτήσεις. Δείξτε ότι, για κάθε n N, (s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). Υπόδειξη. Θυμηθείτε

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

όπως οι Kolmogorov, Wiener, Prohorov, Skorohod, Lévy, Donsker

όπως οι Kolmogorov, Wiener, Prohorov, Skorohod, Lévy, Donsker Ασθενής Σύγκλιση Μέτρων Πιθανότητας σε Μετρικούς Χώρους Πέτρος Μπουφούνος Επιβλέπων : Μιχάλης Λουλάκης Επίκουρος Καθηγητής Ε.Μ.Π. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

35 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ Του προπτυχιακού φοιτητή Ευάγγελου Γκούμα

35 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ Του προπτυχιακού φοιτητή Ευάγγελου Γκούμα 35 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ Του προπτυχιακού φοιτητή Ευάγγελου Γκούμα Ασκήσεις στους τοπολογικούς χώρους 1.Δίνεται το σύνολο Χ={a, b, c, d, e}. Να εξετάσετε αν τα σύνολα και τ 1= {, Χ, {a},

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 03, 12 Φεβρουαρίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Επαναληπτικές μέθοδοι - Γενική θεωρία 2. Η μέθοδος του Newton

Διαβάστε περισσότερα

a = a a Z n. a = a mod n.

a = a a Z n. a = a mod n. Αλγεβρα Ι Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Πράξεις: Πράξεις στο σύνολο S, ο πίνακας της πράξης, αντιμεταθετικές πράξεις. Προσεταιριστικές πράξεις, το στοιχείο a 1 a 2 a n. Η πράξη «σύνθεση

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 4ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

2 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ Επτά Γέφυρες της Καινιξβέργης 1 απέδειξε ότι δεν μπορούμε να χαράξουμε διαδρομή στην πόλη, δια της οποίας θα διασχίζουμε ακριβ

2 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ Επτά Γέφυρες της Καινιξβέργης 1 απέδειξε ότι δεν μπορούμε να χαράξουμε διαδρομή στην πόλη, δια της οποίας θα διασχίζουμε ακριβ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 2017-18 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ 1, 1Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ-ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Προλογος Η τοπολογία είναι η περιοχή εκείνη των μαθηματικών που ασχολείται με

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7: X Y Σχήμα 7.2: Παράδειγμα για το Πόρισμα 7.2, όπου: 1 = {1, 2, 5}, 2 = {1, 2, 3}, 3 = {4}, 4 = {1, 3, 4}. Θ

Διάλεξη 7: X Y Σχήμα 7.2: Παράδειγμα για το Πόρισμα 7.2, όπου: 1 = {1, 2, 5}, 2 = {1, 2, 3}, 3 = {4}, 4 = {1, 3, 4}. Θ Διάλεξη 7: 2.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Μαργώνης & Σ. Κ. 7.1 Εφαρμογές του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα 7.1 (Ελλειματική εκδοχή Θεωρήματος Hall) Δίνεται διμερές

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω ( X, ) και (, ) X Y {( x, ) : x X και Y} Y χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα I. Λέμε ότι η F είναι αντιπαράγωγος της f στο I αν ισχύει F = f στο I. ΠΡΟΤΑΣΗ. Αν η F είναι αντιπαράγωγος της f στο

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x 8 Συνέχεια συνάρτησης Ορισμός της συνέχειας 8. α) Πότε μια συνάρτηση f :A λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση:, αν < f() =, αν i) Να αποδείξετε ότι f() = 7 και να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 12-12-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Ας δούμε ένα παράδειγμα υπολογισμού ορίου με χρήση της συνέχειας της σύνθεσης συνεχών συναρτήσεων. Παράδειγμα. Θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Μετρικοποιησιµότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα