Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Transcript

1 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

2

3 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Σε μοίρες Σε ακτίνια ημχ συνχ εφχ σφχ 0 ο π 6 45 ο π 4 60 ο π 90ο π 0 Δεν ορίζεται Δεν ορίζεται 0

4 ΤΥΠΟΙ ΑΝΑΓΩΓΗΣ ημ(π-χ) = -ημχ συν(π-χ) = συνχ εφ(π-χ) = -εφχ σφ(π-χ) = -σφχ ημ(-χ) = -ημχ συν(-χ) = συνχ εφ(-χ) = -εφχ σφ(-χ) = -σφχ ημ(π-χ) = ημχ συν(π-χ) = -συνχ εφ(π-χ) = -εφχ σφ(π-χ) = -σφχ ημ(π+χ) = -ημχ συν(π+χ) = -συνχ εφ(π+χ) = εφχ σφ(π+χ) = σφχ ημ(π/-χ) = συνχ συν(π/-χ) = ημχ εφ(π/-χ) = σφχ σφ(π/-χ) = εφχ ημ(π/+χ) = συνχ συν(π/+χ) = -ημχ εφ(π/+χ) = -σφχ σφ(π/+χ) = -εφχ ημ(π/-χ) = -συνχ συν(π/-χ) =-ημχ εφ(π/-χ) = σφχ σφ(π/-χ) = εφχ ημ(π/+χ) = -συνχ συν(π/+χ) = ημχ εφ(π/+χ) = -σφχ σφ(π/+χ) = -εφχ 4

5 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ημ(α+β)= ημασυνβ+ συν(α β)= συνασυνβ+ ημαημβ ημ(α β)= ημασυνβ- ημβσυνα εφα+εφβ εφ(α+β)= εφαεφβ σφασφβ σφ(α+β)= σφα+σφβ συν(α+β)= συνασυνβ- ημαημβ ημβσυνα εφα-εφβ εφ(α-β)= +εφαεφβ σφασφβ+ σφ(α β)= σφβ σφα ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΙΠΛΑΣΙΟΥ ΤΟΞΟΥ ημα = ημασυνα, ημα= εφα +εφ α, συνα= -εφ α +εφ α συνα = συν α-ημ α εφα = συν α- = -ημ α εφα = -εφ α συνα Επίσης: ημ α = -συνα ή ημ α = συν α = +συνα ή συν α= +συνα εφ α= συνα +συνα 5

6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Αν ημχ = α = ημθ τότε χ = κπ + θ ή χ = (κ+)π- θ Αν συνχ = α = συνθ τότε χ = κπ ± θ Αν εφχ = α = εφθ τότε χ = κπ + θ 6

7 7

8 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Τριγωνομετρία n Μονάδες μέτρησης τόξων (γωνιών) μοίρα είναι το /60 του κύκλου. Σύμβολο ο. βαθμός είναι το /400 του κύκλου. Σύμβολο g (grade). ακτίνιο είναι το τόξο που έχει μήκος όσο και η ακτίνα ρ του κύκλου. Σύμβολο rad. Αν ένα τόξο μ σε μοίρες, β σε βαθμούς και α σε ακτίνια τότε ισχύει μεταξύ τους: μ β α = = π n Τριγωνομετρικός κύκλος είναι κάθε κύκλος στον οποίο έχουμε ορίσει το σταθερό σημείο Α ως αρχή κάθε τόξου, έχουμε ορίσει μια θετική φορά και η ακτίνα του είναι η μονάδα. Ο τριγωνομετρικός κύκλος χωρίζεται σε 4 ίσα τόξα, από ορθοκανονικό σύστημα αξόνων. Κάθε τόξο από αυτά το λέμε τεταρτημόριο, που έχει μέτρο π/ ακτίνια ή 90 ο. Στο Α αντιστοιχεί τόξο 0 ο ή 0 ακτινίων. Στο Β αντιστοιχεί τόξο 90 ο ή π/ ακτινίων. Στο Α αντιστοιχεί τόξο 80 ο ή π ακτινίων. Στο Β αντιστοιχεί τόξο 70 ο ή π/ ακτινίων. Στο Α αντιστοιχούν 0 ακτίνια ή π ακτίνια (ένας κύκλος) ή 4π ( τόξο με δύο περιστροφές ) κ.λ.π., δηλαδή άπειροι αριθμοί που δίνονται από τη σχέση : χ=κπ, κ Ζ Ο άξονας ΑΑ λέγεται άξονας των συνιμητόνων Ο άξονας ΒΒ λέγεται άξονας των ημιτόνων 8

9 Στο γυμνάσιο Μάθαμε Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνία ω (σε ορθογώνιο τρίγωνο) : ημω= β απέναντι κάθετη = α υποτείνουσα συνω= γ προσκείμενη κάθετη = α υποτείνουσα β εφω = = γ απέναντι κάθετη προσκείμενη κάθετη Τριγωνομετρικοί αριθμοί ημθ, συνθ, εφθ, σφθ Αν Μ(α,β) τυχαίο σημείο ώστε το τόξο ΑΜ να έχει μέτρο θ, όσο και η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία τότε: Η τετμημένη α του σημείου Μ στο σύστημα αξόνων λέγεται συνιμήτονο της γωνίας (ή τόξου) θ, ενώ Η τεταγμένη β του Μ λέγεται ημίτονο της γωνίας (ή τόξου θ). 9

10 Είναι (ΟΜ ) = α = συνθ =συν(κπ+θ), κ Ζ (ΟΜ ) = β = ημθ = ημ(κπ+θ), κ Ζ Οι τιμές που παίρνουν το ημίτονο και συνιμήτονο είναι για κάθε χ R: - συνχ και - ημχ Προσοχή: (ΚΑ)=εφθ (ΒΛ)=σφθ Ισχύει: ημθ εφθ= συνθ συνθ σφθ= ημθ 0

11 Να θυμάσαι! 0 ο 0 ο 45 ο 60 ο 90 ο Παίρνω τους αριθμούς 0 4 Παίρνω τις ρίζες τους 0 4 Διαιρώ δια 0 4 = = = 0 ημχ 0 0 Ο 0 Ο 45 Ο 60 Ο 90 Ο Παίρνω τους αριθμούς 4 0 Παίρνω τις ρίζες τους 4 0 Διαιρώ δια = = =

12 συνχ 0 Τριγωνομετρικοί αριθμοί που συνδέονται με τις οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου. Με βάση το παρακάτω σχήμα: α) Το συνβ ισούται με: ΒΛ Α. ΒΔ BA Β. ΒΓ BK Γ. BΔ BΔ Δ. ΒΚ BΛ Ε. ΛΔ β) Το ημβ ισούται με: ΔΛ Α. ΒΔ ΑΔ Β. ΒΔ ΑΔ Γ. ΑΒ ΔΚ Δ. ΒΚ BΛ Ε. BΔ. Στο παρακάτω σχήμα η υποτείνουσα ισούται με: Α. 7.συν40 Β. 7.ημ Γ. Δ. συν 40 ημ40 Ε. 7.εφ40

13 Σχέσεις μεταξύ των κυρίων στοιχείων του τριγώνου, πλευρών και γωνιών. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 ): α) Δίνονται Β = και ΒΓ = 6 m. Υπολογίστε τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ. β) Δίνονται ΑΒ = 5 m και Β = 4. Υπολογίστε τις πλευρές ΑΓ και ΒΓ. γ) Δίνονται ΒΓ = 8 m και ΑΓ = 5 m. Υπολογίστε τις γωνίες Β και Γ του τριγώνου, χρησιμοποιώντας τον πίνακα των τριγωνομετρικών αριθμών.. Δίνονται τα σχήματα: Κάνοντας τις απαραίτητες μετρήσεις (προσέξτε την κλίμακα των σχεδίων) να συμπληρώσετε τον πίνακα: γωνία θ συνθ ημθ

14 Τριγωνομετρικοί αριθμοί των αξιοσημείωτων γωνιών 45, 0, 60. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές με κάθετες πλευρές cm. Να υπολογίσετε: α) την υποτείνουσά του β) τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας των 45 και να συμπληρώσετε τον πίνακα. ημ45 συν45 εφ45 σφ45. Επαληθεύστε τις ισότητες: α) συν60 = συν 0 - ημ 0 β) ημ60 = ημ0. συν0 γ) συν60 = συν 0 - δ) συν60 = - ημ 0. Χρησιμοποιώντας τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 0 και 45 επαληθεύστε ότι: α) ημ5 = ημ45 συν0 - συν45 ημ0 β) ημ75 = ημ45 συν0 + συν45 ημ0 Σ όλους τους υπολογισμούς να γίνεται χρήση των τετραγωνικών ριζών. ημ45 - ηημ 4. Να δειχθεί ότι: συν45 + συν60 = -. 4

15 Σχέσεις μεταξύ των τεσσάρων τριγωνομετρικών αριθμών της ίδιας οξείας γωνίας Χρησιμοποιώντας τις παρακάτω βασικές ταυτότητες (α) - (στ), να λύσετε τις ασκήσεις που ακολουθούν: ημω α) εφω = συνω δ) συνω = + εφ ω β) σφω = ε) ημω = συνω ημω εφω + εφ ω γ) εφω. σφω = στ) ημ ω + συν ω =. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 ): α) Δίνεται συνβ = 0,6. Υπολογίστε: i) ημβ, ii) εφβ. β) Δίνεται ημβ =. Υπολογίστε: i) συνβ, ii) εφβ. 4 γ) Δίνεται εφβ = 5 8. Υπολογίστε: i) ημβ, ii) συνβ, iii) σφβ. Αποδείξτε ότι: (ημx + συνx) = + ημx.συνx.. Απλοποιήστε τις παραστάσεις: α) εφx.συνx β) ημx.συν x + ημ x γ) ημx + ημx 4. Απλοποιήστε τις κλασματικές παραστάσεις: α) 4 συν x - συν x 4 ημ x - ηη x β) ημ x - ημ y συν x - συν y 5

16 Προβλήματα. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ορθογώνιο στο Α. α) Εάν ΑΒ = m και ΑΓ = 4 m, υπολογίστε τις γωνίες Β και Γ. β) Εάν ΒΓ = 7 m και Β = 5, υπολογίστε τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. γ) Εάν ΑΒ = 6 m και Β = 65, υπολογίστε τη ΒΓ και την ΑΓ.. Δίνεται τρίγωνο ΚΛΜ με γωνίες Κ = 7 και M = 5. α) Τι είδους τρίγωνο είναι το ΚΛΜ; β) Γνωρίζοντας ότι ΚΛ = 5 m, να υπολογίσετε: i) την ΚΜ και ii) την ΛΜ.. Υπολογίστε το ύψος ΑΗ του δέντρου της διπλανής εικόνας αν γνωρίζουμε ότι η γωνία των ακτίνων του ήλιου με τον ορίζοντα είναι 8 και ότι η σκιά του δέντρου ΑΓ έχει μήκος 70 m. 6

17 Β Τριγωνομετρία Γενική Τριγωνομετρία Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας μ. Χρησιμοποιώντας τον τύπο 80 = π α, να συμπληρώσετε τον πίνακα: Μέτρο γωνίας σε μοίρες Μέτρο γωνίας σε ακτίνια π/ π/ π/4 π. Πόσο είναι σε ακτίνια οι γωνίες: α) ενός ισόπλευρου τριγώνου; β) ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου;. Συμπληρώστε τον πίνακα: Μέτρο γωνίας σε μοίρες Μέτρο γωνίας σε ακτίνια π/ π/4 π/8 4. Από τις παρακάτω τιμές δεν μπορεί να είναι ημίτονο γωνίας: Α. B. - Γ. Δ. - Ε. 7

18 Αξιοσημείωτες γωνίες 0 / 6 π 45 / 4 π 60 / π Τριγωνομετρία 90 / π 80 / π 70 / π 60 / π. Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: συν 0 + συν π + συν π + συν π + συν π 6 4. Η τιμή του γινομένου: συν0. συν90. συν80. συν70. συν60 είναι: Α. - Β. Γ. 0 Δ. Ε.. α) Συμπληρώστε στον παρακάτω πίνακα τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών που σημειώνονται. Γωνία θ π/ 80 π 70 π/ 60 π ημθ συνθ εφθ σφθ β) Αντικαταστήστε στον ίδιο πίνακα τις τελείες με το (+) ή με το (-) ανάλογα με το πρόσημο των γωνιών που βρίσκονται μεταξύ των δεδομένων γωνιών. 8

19 Σχέσεις μεταξύ των τεσσάρων τριγωνομετρικών αριθμών της ίδιας γωνίας Χρησιμοποιώντας τις παρακάτω βασικές ταυτότητες (α) - (στ) ημω α) εφω = συνω συνω β) σφω = ημω γ) εφω. σφω = δ) συνω = ± + εφ ω ε) ημω = ± εφω + εφ ω στ) ημ ω + συν ω = να λύσετε τις ασκήσεις που ακολουθούν:. Δίνεται: α) συνθ = 0,6 όπου 0 < θ < 90. Υπολογίστε: i) ημθ, ii) εφθ β) συνθ = - όπου 80 < θ < 70. Υπολογίστε: i) ημθ, ii) εφθ 4. Εάν ημθ = 0,4 και 0 < θ < 90, υπολογίστε το συνθ και την εφθ.. Εάν ημy = και 90 < y < 80, υπολογίστε το συνy και την εφy. 4. Να γίνουν οι πράξεις: α) (ημθ + συνθ) + (ημθ - συνθ) β) (ημθ + συνθ) - (ημθ - συνθ) 5. Αποδείξτε ότι για οποιεσδήποτε γωνίες x, α, β ισχύουν: α) (ημx - συνx) = - ημx. συνx β) ( + ημx + συνx) = ( + συνx) ( + ημx) γ) - συν x + ηημ = ημx δ) ημ α ( + σφ α) + συν α ( + εφ α) = 9

20 ΓΩΝΙΕΣ ΠΟΥ ΣΥΝΔΕΟΝΤΑΙ ΜΕΤΑΞΥΤΟΥΣ Γωνίες με την ίδια τελική πλευρά. Συμπληρώστε τις ισότητες: α) ημ (κπ + α) =... β) εφ (8π - α) =... γ) συν (α - λπ) =... δ) σφ (0π - α) =.... Να χαρακτηρίσετε με σωστό ή λάθος τις ισότητες: Σωστό Λάθος α) ημ500 = ημ40 β) συν750 = συν0 γ) εφ (-00 ) = εφ (-0 ). Να απλοποιηθεί το κλάσμα: ημ (π + α) σϕ (7π + α) συνα συν (π + α) σϕ (4π + α) ημα Γωνίες με άθροισμα 80 - Γωνίες με διαφορά 80 - Γωνίες αντίθετες. Εάν x και y είναι δύο οποιεσδήποτε γωνίες, να δείξετε ότι: α) συν (x - y) = συν (y - x) β) ημ (x - y) = - ημ (y - x). Επαληθεύστε τις ισότητες: α) συν (x - π) = συν (x + π) β) ημ (x - π) = ημ (π + x). Το συν (π + ω) ισούται με: Α. ημ (-ω) Β. συνω Γ. ημω Δ. - συνω Ε. κανένα από τα προηγούμενα 4. Το άθροισμα ημ (-ω) + συν (-ω) + ημ (80 - ω) + συν (80 - ω) ισούται με: Α. Β. - Γ. 0 Δ. Ε. ημω 0

21 Γωνίες με άθροισμα 90 - Γωνίες με διαφορά 90. Να εκφράσετε συναρτήσει του ημx και του συνx τις παραστάσεις: Α = συν (x π) + συν (x - π ) + ημ (x π) + ημ (x - π ) Β = ημ ( π - x) + συν (π + x) συν (x - π ). Η παράσταση ημ x + ημ ( π - x) ισούται με: Α. Β. 0 Γ. ημ x Δ. Ε. - ημ x. Να δειχθεί ότι: ημx + ημ (x + 90 ) + ημ (x + 80 ) + ημ (x + 70 ) = 0. Ερωτήσεις ανάπτυξης ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α. Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) ημx = - ημ5 β) ημx = ημ (x + 0 ) γ) ημx +5 = 0 δ) συν (x + 50 ) = ημ (x + 0 ) ε) συνx συν π 6 - ημx ημ π 6 = Β. Αλγεβρικές εξισώσεις ως προς ένα τριγωνομετρικό αριθμό ενός τόξου και οι αναγόμενες σ αυτές. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) ημ x - ημx + = 0 β) ημ θ = ( - συνθ) γ) συνx - 4συνx - 5 = 0 δ) συνx + συνx = συνx + συν4x ε) συνx = συν x στ) ημx = εφx ζ) συνx + συνx = +, 70 < x < 60 Γ. Εξισώσεις του τύπου αημx + βσυνx = γ. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) ημx + συνx = 0 β) ημx - συνx = γ) ημx + συνx =

22 4. Να λυθεί στο διάστημα [0, π] η εξίσωση: ημx + συνx = Δ. Τριγωνομετρικές εξισώσεις του τύπου Α = 0 όπου το πρώτο μέλος τρέπεται σε γινόμενο παραγόντων 5. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) συνx + συνx + συνx + συν4x = 0 β) ημx - ημx = συνx - συνx γ) ημ (α + x) + ημ (α + x) + ημα = 0 όπου α γνωστή γωνία δ) συν (α + x) + συν (α + x) + συνα = 0 - συνα ε) εφ (α + x) εφ (α - x) = + συνα ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Το ημα είναι ίσο με: Α. ημασυνα Β. ημ α + Γ. ημασυνα Δ. - συν α Ε. κανένα από τα προηγούμενα. Το συνα είναι ίσο με: Α. - συν α Β. ημ α - συν α Γ. - ημα Δ. - ημ α Ε. κανένα από τα προηγούμενα. Το ημ6α είναι ίσο με: Α. ημ4ασυνα Β. ημασυνα Γ. - συν α Δ. ημ α - Ε. κανένα από τα προηγούμενα 4. Το συν8α είναι ίσο με: Α. - συν 4α Β. ημ4ασυν4α Γ. - ημ 4α Δ. ημ 4α - συν 4α Ε. κανένα από τα προηγούμενα 5. Η τιμή της παράστασης συν7 συν6 - ημ6 ημ7 είναι: Α. Β. Γ. 0 Δ. - Ε.

23 6. Η παράσταση: y = ημ ( π 6 - x) συν ( π + x) + ημ ( π + x) συν (x - π 6 ) είναι ίση με: Α. συν π Β. συν π 6 Γ. ημ π Δ. ημ π Ε. ημ π 6 7. Η τιμή της παράστασης ημ (50 - α) συν (40 + α) + ημ (40 + α) συν (50 - α) είναι: Α. - Β. 0 Γ. - Ερωτήσεις ανάπτυξης. Να αποδείξετε ότι: α) συνx + συν (0 + x) + συν (40 + x) = 0 β) συν (α + β) ημ (α - β) = ημασυνα - ημβσυνβ Δ. Ε. γ) (συνx - ημx) εφ ( π 4 + x) = συνx + ημx. Αν α + β + γ = 90 να αποδειχθεί ότι: α) εφα εφβ + εφβ εφγ + εφγ εφα = β) σφα + σφβ + σφγ = σφα σφβ σφγ. Αν α + β = γ να δείξετε ότι: εφγ - εφα - εφβ = εφα εφβ εφγ 4. Αν συνθ = - και π < θ < π να υπολογιστούν το ημθ και η εφθ. 6. Αν συν x + 5συνx - = 0 και ημx > 0 να υπολογιστούν το ημx και το συνx. 7. Να δείξετε ότι: α) εφ ( π 4 + α) - εφ ( π 4 - α) = εφα ημα συνα β) = εφ α + ημθ - συνθ γ) = εφθ + συνα + συνα + ημθ + συνθ 8. Να δείξετε ότι: ημ (x - y) + συν (x + y) = (ημx + συνx) (συνy - ημy) 9. Να δείξετε ότι ημα + συνα συνα + συνα = εφ α

24 4