Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί

Transcript

1 Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â =90 ο ) φέρουµε το ύψος Α. Ν.δ.ο. Γ ηµβ σφγ =. ΑΒ. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 5 ο. 3. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 3 4. Αν ισχύει < x <, ν.δ.ο. i) σφx 3συνx > 0 ηµx συνx + εφx > 0 5. Σ ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ): 5. 3 i) Να ορίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας Bˆ. α Ν.δ.ο. εφβ + εφγ =. βγ 6. Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρουµε το ύψος Α. Ν.δ.ο. ΒΓ = ΑΓ συνγ + ΑΒ συνβ. 7. Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται: Βˆ = 45 ο, Γˆ = 30 ο και ΒΓ = 0( + 3 ). Να βρείτε το ύψος Α. 8. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) είναι Γˆ = 60 ο και ΒΓ = 7cm. Να υολογίσετε τα µήκη των καθέτων λευρών του. 9. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Βˆ = 45 ο, Γˆ = 30 ο και το ύψος Α έχει µήκος 3cm. Να υολογίσετε τα µήκη των λευρών του. 0. Όταν βρισκόµαστε στην όχθη ενός οταµού βλέουµε στην αέναντι όχθη ένα δένδρο µε γωνία ύψους 60 ο. Αν όµως αοµακρυνθούµε κατά 0 µέτρα, τότε βλέουµε το δένδρο µε γωνία ύψους 30 ο. Να υολογίσετε: i) Το ύψος του δένδρου. Το λάτος του οταµού. (Α.: 0, 0 3 )

2 . Αν ηµω = Ασκήσεις Τριγωνοµετρικές Ταυτότητες 5 και 80 ο 3 τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας ω.. Αν γνωρίζετε ότι συνω = τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας ω. < ω < 70 ο, να υολογίσετε τους άλλους 4 και 90 ο < ω < 80 ο, να υολογίσετε τους άλλους Αν είναι εφω =, < ω <, να υολογιστούν οι υόλοιοι τριγωνοµετρικοί 3 αριθµοί. 4. Να εξετάσετε αν υάρχει γωνία ω, για την οοία ισχύει ηµω = και συνω =. 5. i) Αν γνωρίζετε ότι εφθ = 3 και αράσταση Α = σφ θ + ηµ θ + συνθ. 3 < θ <, να υολογίσετε την Να εξετάσετε αν υάρχει τόξο φ για το οοίο να ισχύει ηµφ = Α. 6. i) Αν γνωρίζετε ότι σφθ = 3 και < θ <, να υολογίσετε την 33 αράσταση Α = σφ θ + ηµ θ + συνθ + (εφθ σφθ) 00 + (συν θ + ηµ θ) 004. Να εξετάσετε αν υάρχει τόξο φ για το οοίο να ισχύει ηµφ = Α. 7. Αν ισχύει 3ηµ α = συν α και είναι τριγωνοµετρικοί αριθµοί. < α <, να υολογιστούν όλοι οι 8. Αν γνωρίζετε ότι ισχύει ηµx + 3 συνx =, να υολογίσετε τα ηµx, συνx. 9. Αν γνωρίζετε ότι ισχύει 4εφω + 4σφω = 7, να υολογίσετε τα εφω, σφω. 0. Ν.δ.ο. για τυχαία γωνία α ισχύει: i) ηµ 3 α συν 3 α = ( συνα)( + συνα) ηµ 4 α συν 4 α = ( συνα)( + συνα) i συν 4 α + ηµ α συν α + ηµ α = iv) συν α + = v) vi) συνα εφα = + + συνα + = + συνα

3 Ασκήσεις Αναγωγή στο ο Τεταρτηµόριο. Να υολογιστούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί των γωνιών 0 ο, 35 ο, 50 ο, 0 ο, 5 ο, 40 ο, 300 ο, 35 ο, 330 ο, 750 ο, 840 ο, 960 ο και των αντιθέτων τους.. Ν.δ.ο.: i) ηµ (45 ο ω) + ηµ (45 ο + ω) = ηµ (360 ο κ + ω) + συν (360 ο κ ω) =, κ Ζ i εφ x εφ 3 3. Αν α + β = ν.δ.ο. i) ηµ α + ηµ β = 6 συν α + συν β = i εφα εφβ = iv) σφα σφβ = + x = 4. Αν Α, Β, Γ γωνίες τριγώνου ν.δ.ο. i) ηµβ = ηµ(α + Γ) Γ Α+ Β ηµ = συν i ηµα = ηµ(α + Β + Γ) iv) εφ(3α + 3Β) + εφ3γ = 0 5. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ). Αν ισχύει ηµb συνγ = 4, να υολογίσετε τις γωνίες Β και Γ. (Α.: 60 ο, 30 ο ) 6. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ). Αν ισχύει ηµβ συνγ =, ν.δ.ο. το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. 7. Ν.δ.ο.: i) εφ ο εφ ο εφ3 ο εφ87 ο εφ88 ο εφ89 ο = (ηµ ο συν ο ) + (ηµ ο συν ο ) + + (ηµ89 ο συν89 ο ) = 0 8. Ν.δ.ο. ηµ α ηµ β - συν 3 β συν ( α) = ηµ α ηµ β 9. Για οιες τιµές των x, y R η αράσταση: Α = x y 3 3 ηµ(5 + α) + xσυν α + συν α είναι ανεξάρτητη του α. (Α.: x =, y =0)

4 Ασκήσεις Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις. Ν.δ.ο.: i) H f(x) = ηµx + 5συν4x έχει ερίοδο 3. H f(x) = 4σφ3x + 5ηµ4x έχει ερίοδο 3. i H f(x) = ηµ(x ) έχει ερίοδο. 3 iv) H f(x) = αηµ(ωx + β) έχει ερίοδο, α 0 και ω > 0. ω v) H f(x) = αεφ(ωx + β) έχει ερίοδο ω, α 0 και ω > 0.. Αν η συνάρτηση f είναι εριοδική µε ερίοδο Τ ν.δ.ο. i) H g µε g(x) = f(x + α) έχει ερίοδο Τ. Η h µε h(x) = f(αx), α > 0 έχει ερίοδο α T. 3. Να γίνει η γραφική αράσταση των συναρτήσεων: i) f(x) = ηµx i f(x) = ηµx f(x) = ηµ4x x iv) f(x) = 3ηµ v) f(x) = συν(x + 4 ) vi) f(x) = συνx + 3 v f(x) = + εφx 4. Το διάγραµµα της f(x) = αηµx + β ερνάει αό τα σηµεία Α, 3 και Β, 0. i) Να βρεθούν οι αριθµοί α, β R. Να γίνει ο ίνακας µονοτονίας και να βρεθούν τα ακρότατα της f. i Να γίνει η γραφική αράσταση της f. 5. H συνάρτηση f(x) = x β αηµ +, α, β R, x R, έχει µέγιστο τον αριθµό 5 και 4 η γραφική της αράσταση ερνάει αό το σηµείο Α(, 3). Να γίνει η γραφική αράσταση της f.

5 Ασκήσεις - Τριγωνοµετρικές Εξισώσεις. Να αντιστοιχίσετε σε κάθε τριγωνοµετρική εξίσωση της στήλης Α τις κατάλληλες λύσεις αό τη στήλη Β. ηµx = Α Β x = κ + 6 ή x = κ 6, κ Ζ συνx = 3 x = κ +, κ Z 7 εφx = 3 x = κ ή x = κ +, κ Ζ 6 6 σφx = 0 x = κ + 3, κ Ζ x = κ 3, κ Ζ. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ηµ3x = 3 συν 3 x + = 0 i εφ(x 0 o 4x ) = 3 iv) 3 εφ 5 = v) ηµ(x 60 o ) = συν(x + 0 o ) vi) εφ(x 3 ) = σφ(x + 4 ) v ( ηµx + )(εφ x )(συνx + 3 ) = 0 vi 4συν 3 x = 3συνx ix) ηµx εφx + = ηµx + εφx x) ηµx + συνx = ηµx xi) εφ(x 4 ) σφ(x + 3 ) = x + συνx = ηµx xi ηµ x συνx = 0 xiv) συν(ηµx) = xv) ηµ 3 x + συν 3 x = συνx xvi) συν 3. Να λυθούν στο [0, ] οι εξισώσεις: x εφx = 4 i) ηµ x 7ηµx + 3 = 0 εφx = σφx 4. Ν.δ.ο. η εξίσωση x xσυνω + συν ω = 0 έχει µια διλή ρίζα. Να βρεθεί ο ω (0, ) ώστε η ρίζα αυτή να είναι ρ = /. 5. ίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 3εφ x και g(x) = εφx. Να βρεθούν τα κοινά τους σηµεία.