Stationary Stochastic Processes Table of Formulas, 2016

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Stationary Stochastic Processes Table of Formulas, 2016"

Transcript

1 Stationary Stochastic Processes, 06 Stationary Stochastic Processes Table of Formulas, 06 Basics of probability theory The following is valid for probabilities: P(Ω), where Ω is all possible outcomes 0 P(A), where A is some event P(A c ) P(A), where A c is the complement of A P(A B) P(A) + P(B), if the events A and B are mutually exclusive The addition law of probability: P(A B) P(A) + P(B) P(A B) The conditional probability: P(B A) P(A B) P(A) A and B are independent P(A B) P(A) P(B) Stochastic variables p X (k) k x Distribution functions: F X (x 0 ) P(X x 0 ) 0 x0 f X (x) dx k p X (k) k Expected value: E[X] m X x f X (x) dx (X discrete) (X continuous) (X discrete) (X continuous) (k m X ) p X (k) (X discrete) Variance: V[X] E[X ] m X k (x m X ) f X (x) dx (X continuous) Rules for expected value and variance (a and b constants): E[aX + b] ae[x] + b V[aX] a V[X] V[X + b] V[X] E[X + Y] E[X] + E[Y] V[X + Y] V[X] + V[Y] + C[X, Y]

2 Stationary Stochastic Processes, 06 Covariance: C[X, Y] E[(X m X )(Y m Y )] E[XY] m X m Y Correlation coefficient: ρ[x, Y] C[X, Y] V[X] V[Y] Taylor series expansions ("Gauss approximations"): E[g(X,..., X n )] g(e[x ],..., E[X n ]) V[g(X,..., X n )] c i V[X i ] + c i c j C[X i, X j ] i<j where c i g (x,..., x n ) x i xk E[X k ], k i The two-dimensional probability density function of a jointly Gaussian random variable, (X, Y), with E[X] E[Y] 0, V[X] V[Y] and C[X, Y] ρ is { } f X,Y (x, y) π ρ exp ( ρ ) (x ρxy + y ) Stationary stochastic processes Estimation of expected value: ˆm n n t X t V [ ˆm n ] n n nv [ ˆm n ] τ τ n+ r X (τ) (n τ )r X (τ) If ˆm n N(m, V[ ˆm n ]), the confidence interval for m is for large n I m : { ˆm n λ α/ V[ ˆmn ], ˆm n + λ α/ V[ ˆmn ]} with confidence level α. For confidence level 0.95, α 0.05 and λ α/ λ Estimation of covariance function: ˆr n (τ) n τ (X t m X )(X t+τ m X ) for τ 0 n t

3 Stationary Stochastic Processes, 06 3 where m X is replaced by ˆm n if m X is unknown. If X t is Gaussian, with mean m X and covariance function r X (τ), such that τ0 r X(τ) <, then for t s + τ, nc [ˆr n (s),ˆr n (t)] u The Poisson process and the Wiener process {r X (u)r X (u + τ) + r X (u s)r X (u + t)} when n A simply increasing process {X(t), t 0} is a homogeneous Poisson process, if X(0) 0 and X(t) has stationary, independent increments. If the intensity is λ, E[X(t)] λt V[X(t)] λt r X (s, t) λ min(s, t) The interarrival times are independent and exponentially distributed with mean value /λ. A Gaussian process {X(t), t 0} is a Wiener process, if X(0) 0, and X(t) has independent increments, where X(t) X(t + h) N(0, σ h), E[X(t)] 0 V[X(t)] σ t r X (s, t) σ min(s, t) Spectral representations Relations between covariance function r X (τ) and spectral density R X (f): Continuous time Discrete time r X (τ) R X(f)e iπfτ df r X (τ) / / R X(f)e iπfτ df R X (f) r X(τ)e iπfτ dτ R X (f) τ r X(τ)e iπfτ Folding (aliasing): Let {Z t, t 0, ±d, ±d,... } be the continuous time process Y(t) sampled with time interval d and sampling frequency f s /d: R Z (f) R Y (f + kf s ) for f s / < f f s / k

4 4 Stationary Stochastic Processes, 06 Sum of harmonic components with random phase and amplitude: X(t) A 0 + A k cos(πf k t + φ k ) where φ k Rect(0, π), A k, k 0,..., n, are independent and E[A 0 ] 0. Covariance function: k r X (τ) σ 0 + where σ 0 E [A 0] and σ k E [A k ] /. Spectral density: σ k cos πf k τ k R X (f) k n b k δ fk (f), where b 0 σ 0 E [A 0], and b k σ k / E [A k ] /4. Linear filters - general theory Impulse response h(u): Y(t) h(u)x(t u) du u h(u)x(t u) (continuous time) (discrete time) Relation between covariance functions: h(u)h(v) r X(τ + u v) du dv r Y (τ) v h(u)h(v) r X(τ + u v) u (continuous time) (discrete time) Relation between spectral densities: R Y (f) H(f) R X (f) where H(f) is the frequency function corresponding to the impulse response h(n). Differentiation: X (t) exists (in quadratic mean) if r X (t) exists. This is equivalent

5 Stationary Stochastic Processes, 06 5 to (πf) R(f)df <. If X (t) exists, the following relations hold: r X (τ) r X(τ) R X (f) (πf) R X (f) V [X (t)] (πf) R X (f) df r X,X (τ) r X(τ) r X (j),x (k)(τ) ( )j r (j+k) X (τ) Integration: [ E ] g(s)x(s) ds g(s)e[x(s)] ds [ C g(s)x(s) ds, ] h(t)y(t) dt g(s)h(t) C[X(s), Y(t)] ds dt Cross-covariance and cross-spectrum: r X,Y (τ) C[X(t), Y(t + τ)] e iπfτ R X,Y (f) df R X,Y (f) H(f)R X (f) A X,Y (f)e iφ X,Y(f) where A X,Y (f) is the amplitude spectrum and Φ X,Y (f) the phase spectrum. The squared coherence spectrum is κ X,Y(f) A X,Y (f) R X (f)r Y (f) AR- MA- and ARMA-models White noise in discrete time: {e t, t 0, ±,...}, E[e t ] 0 and V[e t ] σ : R e (f) σ for / f / AR(p)-process: (a 0 ) X t + a X t + a X t a p X t p e t

6 6 Stationary Stochastic Processes, 06 Yule-Walker equations for covariance function: r X (k) + a r X (k ) a p r X (k p) Spectral density: { σ for k 0 0 for k,,... MA(q)-process: (b 0 ) R X (f) σ p k0 a ke iπfk Covariance function: Spectral density: X t e t + b e t + b e t b q e t q r X (τ) Matched filter and Wiener filter Matched filter: with white noise: with colored noise: s(t u) c { σ j kτ b jb k for τ q 0 for τ > q q R X (f) σ b k e iπfk k0 h(u) c s(t u) SNR N 0 s(t u) du SNR c h(v)r N (u v) dv h(u)h(v)r N (u v) du dv Wiener filter: H(f) SNR R S (f) R S (f) + R N (f) RS (f) df RS (f)r N (f) R S (f)+r N (f) df

7 Stationary Stochastic Processes, 06 7 Spectral estimation Periodogram of the sequence {x(t), t 0,,,... n }, where X (f) n t0 x(t)e iπft. ] E [ˆRx (f) ˆR x (f) X (f) n τ / / k n (τ)r X (τ)e iπfτ K n (f u)r X (u)du where k n (τ) τ for n + τ n and K n n(f) n τ n+ k n(τ)e iπfτ. ] { R V [ˆRx (f) X (f) for 0 < f < / R X (f) for f 0, ±/ The distribution of the periodogram estimate is ˆR x (f) R X (f) χ () for 0 < f < / Modified periodogram ˆR w (f) n x(t)w(t)e iπft n t0 / X (ν)w(f ν)dν n Lag-windowing Averaging of spectrum ˆR lw (f) / τ / / ˆR av (f) K k Ln (τ)ˆr x (τ)e iπfτ K Ln (f ν)ˆr x (ν)dν K ˆR x,j (f) where K different spectrum estimates, ˆR x,j (f), j... K, are used. The distribution is ˆR av (f) R X (f) χ (K) for 0 < f < / K j

8 8 Stationary Stochastic Processes, 06 Fourier transforms g(τ) (α > 0) G(f) e iπfτ g(τ) dτ e α τ α α +(πf) α +τ π α e πα f τ e α τ (α (πf) ) (α +(πf) ) τ k e α τ k! {(α + iπf) k+ + (α iπf) k+ } (α +(πf) ) k+ e ατ π/α exp( (πf) 4α ) e α τ cos(πf 0 τ) e α τ sin(πf 0 τ) { α if τ 0 sin(πατ) πτ if τ 0 { α τ if τ α 0 if τ > α g(τ)h(τ) g(τ) h(τ) g(t)h(τ t)dt g (τ) α α α +(πf 0 + πf) α +(πf 0 +πf) πf 0 πf α +(πf 0 + πf 0+πf πf) α +(πf 0 +πf) { / if f α 0 if f > α { α ( ( if f 0 α (πf) cos πf )) α if f 0 G(f) H(f) G(ν)H(f ν)dν G(f)H(f) iπf G(f) g(ατ) α G( f α ) α g( τ α ) G(αf) g(τ τ 0 ) G(f)e iπfτ 0 g(τ)e iπf 0τ G(f f 0 )

9 Stationary Stochastic Processes, 06 9 Gaussian distribution table F(x) Φ(x) x

Probability and Random Processes (Part II)

Probability and Random Processes (Part II) Probability and Random Processes (Part II) 1. If the variance σ x of d(n) = x(n) x(n 1) is one-tenth the variance σ x of a stationary zero-mean discrete-time signal x(n), then the normalized autocorrelation

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 4

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 4 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 4 5.9 Η Στοχαστική Ανέλιξη Gauss (οι διαφάνειες ακολουθούν διαφορετική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3 5.6: Μέση Τιμή, Συναρτήσεις Συσχέτισης (Correlation) & Συνδιασποράς (Covariance)

Διαβάστε περισσότερα

Solution Series 9. i=1 x i and i=1 x i.

Solution Series 9. i=1 x i and i=1 x i. Lecturer: Prof. Dr. Mete SONER Coordinator: Yilin WANG Solution Series 9 Q1. Let α, β >, the p.d.f. of a beta distribution with parameters α and β is { Γ(α+β) Γ(α)Γ(β) f(x α, β) xα 1 (1 x) β 1 for < x

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 5

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 5 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 5 5.10: Θόρυβος (Πηγές Θορύβου, Κατανομή Poisson, Λευκός Θόρυβος, Ισοδύναμο

Διαβάστε περισσότερα

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων HMY 799 : Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη Στοχαστικές Τυχαίες Μεταβλητές/ Στοχαστικά Σήματα Πειραματικά δεδομένα >Επιλογή τύπου μοντέλου >Επιλογή κριτηρίου >Υπολογισμός >Επικύρωση Προσαρμογή καμπύλης (Curve

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Forecasting ARMA processes

6.3 Forecasting ARMA processes 122 CHAPTER 6. ARMA MODELS 6.3 Forecasting ARMA processes The purpose of forecasting is to predict future values of a TS based on the data collected to the present. In this section we will discuss a linear

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3 5.6: Μέση Τιμή, Συναρτήσεις Συσχέτισης & Συνδιασποράς 5.7: Μετάδοση Στοχαστικής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1 5.1: Εισαγωγή 5.2: Πιθανότητες 5.3: Τυχαίες Μεταβλητές καθ. Βασίλης Μάγκλαρης

Διαβάστε περισσότερα

Homework 8 Model Solution Section

Homework 8 Model Solution Section MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx

Διαβάστε περισσότερα

Estimation for ARMA Processes with Stable Noise. Matt Calder & Richard A. Davis Colorado State University

Estimation for ARMA Processes with Stable Noise. Matt Calder & Richard A. Davis Colorado State University Estimation for ARMA Processes with Stable Noise Matt Calder & Richard A. Davis Colorado State University rdavis@stat.colostate.edu 1 ARMA processes with stable noise Review of M-estimation Examples of

Διαβάστε περισσότερα

Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1

Main source: Discrete-time systems and computer control by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 A Brief History of Sampling Research 1915 - Edmund Taylor Whittaker (1873-1956) devised a

Διαβάστε περισσότερα

Durbin-Levinson recursive method

Durbin-Levinson recursive method Durbin-Levinson recursive method A recursive method for computing ϕ n is useful because it avoids inverting large matrices; when new data are acquired, one can update predictions, instead of starting again

Διαβάστε περισσότερα

Introduction to Time Series Analysis. Lecture 16.

Introduction to Time Series Analysis. Lecture 16. Introduction to Time Series Analysis. Lecture 16. 1. Review: Spectral density 2. Examples 3. Spectral distribution function. 4. Autocovariance generating function and spectral density. 1 Review: Spectral

Διαβάστε περισσότερα

List MF20. List of Formulae and Statistical Tables. Cambridge Pre-U Mathematics (9794) and Further Mathematics (9795)

List MF20. List of Formulae and Statistical Tables. Cambridge Pre-U Mathematics (9794) and Further Mathematics (9795) List MF0 List of Formulae and Statistical Tables Cambridge Pre-U Mathematics (979) and Further Mathematics (979) For use from 07 in all aers for the above syllabuses. CST7 Mensuration Surface area of shere

Διαβάστε περισσότερα

Biostatistics for Health Sciences Review Sheet

Biostatistics for Health Sciences Review Sheet Biostatistics for Health Sciences Review Sheet http://mathvault.ca June 1, 2017 Contents 1 Descriptive Statistics 2 1.1 Variables.............................................. 2 1.1.1 Qualitative........................................

Διαβάστε περισσότερα

Second Order Partial Differential Equations

Second Order Partial Differential Equations Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων HMY 799 : Αναγνώριση Συστημάτων Διαλέξεις 3 4 Στοχαστικά/τυχαία / χ διανύσματα Ντετερμινιστικά και στοχαστικά σήματα στο πεδίο της συχνότητας Στοχαστικά σήματα και γραμμικά συστήματα Deterministic and

Διαβάστε περισσότερα

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS Gerard t Hooft Stefan Nobbenhuis Institute for Theoretical Physics Utrecht University, Leuvenlaan 4 3584 CC Utrecht, the Netherlands and Spinoza Institute Postbox 8.195

Διαβάστε περισσότερα

APPENDICES APPENDIX A. STATISTICAL TABLES AND CHARTS 651 APPENDIX B. BIBLIOGRAPHY 677 APPENDIX C. ANSWERS TO SELECTED EXERCISES 679

APPENDICES APPENDIX A. STATISTICAL TABLES AND CHARTS 651 APPENDIX B. BIBLIOGRAPHY 677 APPENDIX C. ANSWERS TO SELECTED EXERCISES 679 APPENDICES APPENDIX A. STATISTICAL TABLES AND CHARTS 1 Table I Summary of Common Probability Distributions 2 Table II Cumulative Standard Normal Distribution Table III Percentage Points, 2 of the Chi-Squared

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations

Διαβάστε περισσότερα

Nachrichtentechnik I WS 2005/2006

Nachrichtentechnik I WS 2005/2006 Nachrichtentechnik I WS 2005/2006 1 Signals & Systems wt 10/2005 1 Overview (Signals & Systems) Signals: definition & classification properties basic signals Signal transformations Fourier transformation

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1) 84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this

Διαβάστε περισσότερα

w o = R 1 p. (1) R = p =. = 1

w o = R 1 p. (1) R = p =. = 1 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος 205 ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Τριτη Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Ασκηση 3. 5.2 (a) From the Wiener-Hopf equation we have:

Διαβάστε περισσότερα

γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000

Διαβάστε περισσότερα

MOTORCAR INSURANCE I

MOTORCAR INSURANCE I MOTORCAR INSURANCE I I Acc. II Acc. III Acc. Sex Year Month Day 19970602 0 0 M 1966 4 11 19820101 19840801 0 M 1926 3 25 19820801 19840712 0 F 1952 2 19 19781222 19810507 0 M 1952 3 23 19821110 19870614

Διαβάστε περισσότερα

A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics

A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics Contents 1. Markov set-chain 2. Model of bonus-malus system 3. Example 4. Conclusions

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IV

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IV ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IV Μοντέλα χρονολογικών σειρών Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Fundamentals of Probability: A First Course. Anirban DasGupta

Fundamentals of Probability: A First Course. Anirban DasGupta Fundamentals of Probability: A First Course Anirban DasGupta Contents 1 Introducing Probability 5 1.1 ExperimentsandSampleSpaces... 6 1.2 Set Theory Notation and Axioms of Probability........... 7 1.3

Διαβάστε περισσότερα

l 0 l 2 l 1 l 1 l 1 l 2 l 2 l 1 l p λ λ µ R N l 2 R N l 2 2 = N x i l p p R N l p N p = ( x i p ) 1 p i=1 l 2 l p p = 2 l p l 1 R N l 1 i=1 x 2 i 1 = N x i i=1 l p p p R N l 0 0 = {i x i 0} R

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Επικοινωνίες

Ψηφιακές Επικοινωνίες Ψηφιακές Επικοινωνίες Βασικές Έννοιες Θεωρία Σηµάτων: ανάλυση στο χρονικό και φασµατικό πεδίο Continuous Fourier Transform Σειρές Fourier Σήµατα βασικής ζώνης (Baseband) και ιέλευσης ζώνης (Bandpass) Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 6. Fourier Ανάλυση Σημάτων. (Επανάληψη Κεφ. 10.0-10.2 Κεφ. 10.3, 10.5-7) Ανάλυση σημάτων. Τι πρέπει να προσέξουμε

Διάλεξη 6. Fourier Ανάλυση Σημάτων. (Επανάληψη Κεφ. 10.0-10.2 Κεφ. 10.3, 10.5-7) Ανάλυση σημάτων. Τι πρέπει να προσέξουμε University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη (Επανάληψη Κεφ. 10.0-10. Κεφ. 10.3, 10.5-7) Ανάλυση σημάτων Τι πρέπει να προσέξουμε Επαρκής ψηφιοποίηση στο χρόνο (Nyquist) Αναδίπλωση (aliasing)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ανάλυση Επικοινωνιακών Σημάτων κατά Fourier

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ανάλυση Επικοινωνιακών Σημάτων κατά Fourier ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ανάλυση Επικοινωνιακών Σημάτων κατά Fourier 2.2: Μετασχηματισμός Fourier (Fourier Transform, FT) 2.3: Ιδιότητες του

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 101 FOURIER SERIES FOR PERIODIC FUNCTIONS OF PERIOD

CHAPTER 101 FOURIER SERIES FOR PERIODIC FUNCTIONS OF PERIOD CHAPTER FOURIER SERIES FOR PERIODIC FUNCTIONS OF PERIOD EXERCISE 36 Page 66. Determine the Fourier series for the periodic function: f(x), when x +, when x which is periodic outside this rge of period.

Διαβάστε περισσότερα

Probability theory STATISTICAL METHODS FOR SAFETY ANALYSIS FMS065 TABLE OF FORMULÆ (2016) Basic probability theory. One-dimensional random variables

Probability theory STATISTICAL METHODS FOR SAFETY ANALYSIS FMS065 TABLE OF FORMULÆ (2016) Basic probability theory. One-dimensional random variables Lund University Centre for Mthemticl Sciences Mthemticl Sttistics STATISTICAL METHODS FOR SAFETY ANALYSIS FMS065 TABLE OF FORMULÆ (06) Probbility theory Bsic probbility theory Let S be smple spce, nd let

Διαβάστε περισσότερα

Section 8.3 Trigonometric Equations

Section 8.3 Trigonometric Equations 99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι) HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Χρόνου (Ι) Στοχαστικά σήματα Στα προηγούμενα: Ντετερμινιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Jesse Maassen and Mark Lundstrom Purdue University November 25, 2013

Jesse Maassen and Mark Lundstrom Purdue University November 25, 2013 Notes on Average Scattering imes and Hall Factors Jesse Maassen and Mar Lundstrom Purdue University November 5, 13 I. Introduction 1 II. Solution of the BE 1 III. Exercises: Woring out average scattering

Διαβάστε περισσότερα

ON NEGATIVE MOMENTS OF CERTAIN DISCRETE DISTRIBUTIONS

ON NEGATIVE MOMENTS OF CERTAIN DISCRETE DISTRIBUTIONS Pa J Statist 2009 Vol 25(2), 135-140 ON NEGTIVE MOMENTS OF CERTIN DISCRETE DISTRIBUTIONS Masood nwar 1 and Munir hmad 2 1 Department of Maematics, COMSTS Institute of Information Technology, Islamabad,

Διαβάστε περισσότερα

Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit

Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ting Zhang Stanford May 11, 2001 Stanford, 5/11/2001 1 Outline Ordinal Classification Ordinal Addition Ordinal Multiplication Ordinal

Διαβάστε περισσότερα

ENGR 691/692 Section 66 (Fall 06): Machine Learning Assigned: August 30 Homework 1: Bayesian Decision Theory (solutions) Due: September 13

ENGR 691/692 Section 66 (Fall 06): Machine Learning Assigned: August 30 Homework 1: Bayesian Decision Theory (solutions) Due: September 13 ENGR 69/69 Section 66 (Fall 06): Machine Learning Assigned: August 30 Homework : Bayesian Decision Theory (solutions) Due: Septemer 3 Prolem : ( pts) Let the conditional densities for a two-category one-dimensional

Διαβάστε περισσότερα

k A = [k, k]( )[a 1, a 2 ] = [ka 1,ka 2 ] 4For the division of two intervals of confidence in R +

k A = [k, k]( )[a 1, a 2 ] = [ka 1,ka 2 ] 4For the division of two intervals of confidence in R + Chapter 3. Fuzzy Arithmetic 3- Fuzzy arithmetic: ~Addition(+) and subtraction (-): Let A = [a and B = [b, b in R If x [a and y [b, b than x+y [a +b +b Symbolically,we write A(+)B = [a (+)[b, b = [a +b

Διαβάστε περισσότερα

Stationary ARMA Processes

Stationary ARMA Processes Stationary ARMA Processes Eduardo Rossi University of Pavia October 2013 Rossi Stationary ARMA Financial Econometrics - 2013 1 / 45 Moving Average of order 1 (MA(1)) Y t = µ + ɛ t + θɛ t 1 t = 1,..., T

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Θορύβου Σε Γραμμικά Κυκλώματα

Ανάλυση Θορύβου Σε Γραμμικά Κυκλώματα AO Ηλεκτρονική ΙΙΙ Παύλος - Πέτρος Σωτηριάδης Ανάλυση Θορύβου Σε Γραμμικά Κυκλώματα Θεωρία, Εξαρτήματα και ιατάξεις Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών Άδεια

Διαβάστε περισσότερα

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων HMY 799 : Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη 5 Εκτίμηση φάσματος ισχύος Συνάφεια Παραδείγματα Στοχαστικά Διανύσματα Autoregressive model with exogenous inputs (ARX y( t + a y( t +... + a y( t n = bu( t +...

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοσειρές Μάθημα 3

Χρονοσειρές Μάθημα 3 Χρονοσειρές Μάθημα 3 Ασυσχέτιστες (λευκός θόρυβος) και ανεξάρτητες (iid) παρατηρήσεις Chafield C., The Analysis of Time Series, An Inroducion, 6 h ediion,. 38 (Chaer 3): Some auhors refer o make he weaker

Διαβάστε περισσότερα

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5

Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 Prof. Dr. Christine Müller Dipl.-Math. Christoph Kustosz Eercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 E. 9 (5 a Show, that a Fisher information matri for a two dimensional parameter θ (θ,θ 2 R 2, can

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

A Two-Sided Laplace Inversion Algorithm with Computable Error Bounds and Its Applications in Financial Engineering

A Two-Sided Laplace Inversion Algorithm with Computable Error Bounds and Its Applications in Financial Engineering Electronic Companion A Two-Sie Laplace Inversion Algorithm with Computable Error Bouns an Its Applications in Financial Engineering Ning Cai, S. G. Kou, Zongjian Liu HKUST an Columbia University Appenix

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Φωνής

Ψηφιακή Επεξεργασία Φωνής ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Φωνής Ενότητα 1η: Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος Στυλιανού Ιωάννης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών CS578- Speech Signal Processing Lecture 1: Discrete-Time

Διαβάστε περισσότερα

Anti-Final CS/SE 3341 SOLUTIONS

Anti-Final CS/SE 3341 SOLUTIONS CS/SE 3341 SOLUTIONS Anti-Final 1. Users call help desk every 15 minutes, on the average. There is one help desk specialist on duty, and her average service time is 9 minutes. Modeling the help desk as

Διαβάστε περισσότερα

Teor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 2016, stor

Teor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 2016, stor eor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 6, stor. 93 5 Abstract. e article is devoted to models of financial markets wit stocastic volatility, wic is defined by a functional of Ornstein-Ulenbeck process

Διαβάστε περισσότερα

4 4 2 = 3 2 = = 1 2

4 4 2 = 3 2 = = 1 2 Πιθανότητες και Τυχαία Σήματα Μάθημα 3 ΑΣΚΗΣΗ Εστω ότι έχουμε δύο νομίσματα. Στο νόμισμα A η πιθανότητα να έρθει κεφαλή είναι. Στο νόμισμα B 4 3 η πιθανότητα να έρθει κεφαλή είναι. Δεν είστε σίγουροι ποιο

Διαβάστε περισσότερα

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8 questions or comments to Dan Fetter 1

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8  questions or comments to Dan Fetter 1 Eon : Fall 8 Suggested Solutions to Problem Set 8 Email questions or omments to Dan Fetter Problem. Let X be a salar with density f(x, θ) (θx + θ) [ x ] with θ. (a) Find the most powerful level α test

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Διαδικασίες (έμφαση στις σ.δ. διακριτού χρόνου)

Στοχαστικές Διαδικασίες (έμφαση στις σ.δ. διακριτού χρόνου) Στοχαστικές Διαδικασίες (έμφαση στις σ.δ. διακριτού χρόνου) Εισαγωγικές Έννοιες για το μάθημα Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Τυχαίες Μεταβλητές: Ορισμοί Θεωρούμε το πείραμα της ρίψης ενός νομίσματος. Το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

MAJ. MONTELOPOIHSH II

MAJ. MONTELOPOIHSH II MAJ MONTELOPOIHSH II ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 009 ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΙV Οι ασκήσεις είναι από το βιβλίο του Simon Haykin Θα ακολουθήσει ακόμη ένα φυλλάδιο τις επόμενες μέρες Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

Bessel functions. ν + 1 ; 1 = 0 for k = 0, 1, 2,..., n 1. Γ( n + k + 1) = ( 1) n J n (z). Γ(n + k + 1) k!

Bessel functions. ν + 1 ; 1 = 0 for k = 0, 1, 2,..., n 1. Γ( n + k + 1) = ( 1) n J n (z). Γ(n + k + 1) k! Bessel functions The Bessel function J ν (z of the first kind of order ν is defined by J ν (z ( (z/ν ν Γ(ν + F ν + ; z 4 ( k k ( Γ(ν + k + k! For ν this is a solution of the Bessel differential equation

Διαβάστε περισσότερα

Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude

Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Jan Behrens 2012-12-31 In this paper we shall provide a method to approximate distances between two points on earth

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εκθετική Κατανομή, Στοχαστικές Ανελίξεις Διαδικασίες Απαρίθμησης, Κατανομή Poisson

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εκθετική Κατανομή, Στοχαστικές Ανελίξεις Διαδικασίες Απαρίθμησης, Κατανομή Poisson ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εκθετική Κατανομή, Στοχαστικές Ανελίξεις Διαδικασίες Απαρίθμησης, Κατανομή Poisson Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 9/3/2016 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry

Διαβάστε περισσότερα

1. A fully continuous 20-payment years, 30-year term life insurance of 2000 is issued to (35). You are given n A 1

1. A fully continuous 20-payment years, 30-year term life insurance of 2000 is issued to (35). You are given n A 1 Chapter 7: Exercises 1. A fully continuous 20-payment years, 30-year term life insurance of 2000 is issued to (35). You are given n A 1 35+n:30 n a 35+n:20 n 0 0.068727 11.395336 10 0.097101 7.351745 25

Διαβάστε περισσότερα

T b. x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) ... x 100 (t) x(t, φ) = A cos (2πf 0 t + φ) (6.3)

T b. x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) ... x 100 (t) x(t, φ) = A cos (2πf 0 t + φ) (6.3) Κεφάλαιο 6 Τυχαία Σήματα και Διαδικασίες 6.1 Εισαγωγή Μια άλλη σπουδαία κατηγορία σημάτων ισχύος είναι τα τυχαία σήματα. Τι είναι όμως τυχαία σήματα; Είναι σήματα τα οποία δεν έχουν πραγματοποιηθεί ακόμα.

Διαβάστε περισσότερα

Lecture 2: ARMA Models

Lecture 2: ARMA Models Leture 2: ARMA Models Bus 41910, Autumn Quarter 2008, Mr Ruey S Tsay Autoregressive Moving-Average (ARMA) models form a lass of linear time series models whih are widely appliable and parsimonious in parameterization

Διαβάστε περισσότερα

10 20 X i a i (i, j) a ij (i, j, k) X x ijk j :j i i: R I J R K L IK JL a 11 a 12... a 1J a 21 a 22... a 2J = a I1 a I2... a IJ = [ 1 1 1 2 1 3... J L 1 J L ] R I K R J K IJ K = [ 1 1 2 2... K

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Φωνής

Ψηφιακή Επεξεργασία Φωνής ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Φωνής Ενότητα 7η: Βελτίωση Σήματος Φωνής Στυλιανού Ιωάννης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών CS578- Speech Signal Processing Lecture 8: Speech Enhancement

Διαβάστε περισσότερα

E[x 2 ] = E[(an+b) 2 ] = E[a 2 n 2 +2nab+b 2 ] = n 2 E[a 2 ]+2nE[ab]+E[b 2 ] = n 2 E[a 2 ]+E[b 2 ] E[x 2 ] = n 2 σ 2 a+σ 2 b

E[x 2 ] = E[(an+b) 2 ] = E[a 2 n 2 +2nab+b 2 ] = n 2 E[a 2 ]+2nE[ab]+E[b 2 ] = n 2 E[a 2 ]+E[b 2 ] E[x 2 ] = n 2 σ 2 a+σ 2 b Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-57: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος 15 ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Πρώτη Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Ασκηση 1. 1. Since a and b are independent and have zero mean,

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Ανάλυση Ουράς Αναμονής M/G/1 Αρχές Ανάλυσης Ουράς M/G/1 Ενσωματωμένη Αλυσίδα Markov (Embedded Markov Chain) Τύποι Pollaczeck - Khinchin (P-K) για Ουρές M/G/1 Μέσες Τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Homework for 1/27 Due 2/5

Homework for 1/27 Due 2/5 Name: ID: Homework for /7 Due /5. [ 8-3] I Example D of Sectio 8.4, the pdf of the populatio distributio is + αx x f(x α) =, α, otherwise ad the method of momets estimate was foud to be ˆα = 3X (where

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 εκεµβρίου 29 5.1. Στο τυχαίο πείραµα της ϱίψης δύο διακεκριµένων κύβων έστω X η ένδειξη του πρώτου κύβου και Y η µεγαλύτερη από τις δύο ενδείξεις. Να προσδιορισθούν

Διαβάστε περισσότερα

The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions

The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions Theo p. / The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions Walter Gautschi wxg@cs.purdue.edu Purdue University Theo p. 2/ Theodorus of ca. 46 399 B.C. Theo p. 3/ spiral of Theodorus 6

Διαβάστε περισσότερα

Description of the PX-HC algorithm

Description of the PX-HC algorithm A Description of the PX-HC algorithm Let N = C c= N c and write C Nc K c= i= k= as, the Gibbs sampling algorithm at iteration m for continuous outcomes: Step A: For =,, J, draw θ m in the following steps:

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 3: Τυχαίες Διαδικασίες Διακριτού Χρόνου Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Εισαγωγή στις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ y t x Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 ΤΥΠΟΙ ΣΗΜΑΤΩΝ Analog: Continuous Time & Continuous Amplitude Sampled: Discrete Time & Continuous

Διαβάστε περισσότερα

g-selberg integrals MV Conjecture An A 2 Selberg integral Summary Long Live the King Ole Warnaar Department of Mathematics Long Live the King

g-selberg integrals MV Conjecture An A 2 Selberg integral Summary Long Live the King Ole Warnaar Department of Mathematics Long Live the King Ole Warnaar Department of Mathematics g-selberg integrals The Selberg integral corresponds to the following k-dimensional generalisation of the beta integral: D Here and k t α 1 i (1 t i ) β 1 1 i

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

h(t τ k ) X (t) = X (t) = (shot noise). 3/28 4/28

h(t τ k ) X (t) = X (t) = (shot noise). 3/28 4/28 Θόρυβος Στοχαστικά συστήματα & επικοινωνίες 6 Δεκεμβρίου 2012 1/28 2/28 Ο θόρυβος βολής εμφανίζεται στις ηλεκτρονικές συσκευές, όπως οι δίοδοι και τα τρανζίστορ, εξαιτίας της διακριτής φύσης της ροής του

Διαβάστε περισσότερα

Bayes Rule and its Applications

Bayes Rule and its Applications Bayes Rule and its Applications Bayes Rule: P (B k A) = P (A B k )P (B k )/ n i= P (A B i )P (B i ) Example : In a certain factory, machines A, B, and C are all producing springs of the same length. Of

Διαβάστε περισσότερα

forms This gives Remark 1. How to remember the above formulas: Substituting these into the equation we obtain with

forms This gives Remark 1. How to remember the above formulas: Substituting these into the equation we obtain with Week 03: C lassification of S econd- Order L inear Equations In last week s lectures we have illustrated how to obtain the general solutions of first order PDEs using the method of characteristics. We

Διαβάστε περισσότερα

Stationary Univariate Time Series Models 1

Stationary Univariate Time Series Models 1 Stationary Univariate Time Series Models 1 Sebastian Fossati University of Alberta 1 These slides are based on Eric Zivot s time series notes available at: http://faculty.washington.edu/ezivot Example

Διαβάστε περισσότερα

HMY 799 1: Αναγνώριση. συστημάτων. Διαλέξεις 6 7. Συνάφεια (συνέχεια) Μη παραμετρική αναγνώριση γραμμικών

HMY 799 1: Αναγνώριση. συστημάτων. Διαλέξεις 6 7. Συνάφεια (συνέχεια) Μη παραμετρική αναγνώριση γραμμικών HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων Διαλέξεις 6 7 Συνάφεια (συνέχεια Συστήματα πολλαπλών εισόδων Μη παραμετρική αναγνώριση γραμμικών συστημάτων Εκτίμηση άσματος Ισχύος Περιοδόγραμμα, Bartlett/Welch, Παραμετρική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 5

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 5 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 5 5.10 Θόρυβος (Noise) καθ. Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@etmode.tua.gr www.etmode.tua.gr

Διαβάστε περισσότερα

The Normal and Lognormal Distributions

The Normal and Lognormal Distributions The Normal and Lognormal Distributions John Norstad j-norstad@northwestern.edu http://www.norstad.org February, 999 Updated: November 3, Abstract The basic properties of the normal and lognormal distributions,

Διαβάστε περισσότερα

Problem Set 3: Solutions

Problem Set 3: Solutions CMPSCI 69GG Applied Information Theory Fall 006 Problem Set 3: Solutions. [Cover and Thomas 7.] a Define the following notation, C I p xx; Y max X; Y C I p xx; Ỹ max I X; Ỹ We would like to show that C

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες Ροµ οτική Χαρτογράφηη Robotic Mapping Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιτών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Στρατηγικές MaxiMin παιχνίδια

Διαβάστε περισσότερα

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

Probability theory STATISTICAL MODELING OF MULTIVARIATE EXTREMES, FMSN15/MASM23 TABLE OF FORMULÆ. Basic probability theory

Probability theory STATISTICAL MODELING OF MULTIVARIATE EXTREMES, FMSN15/MASM23 TABLE OF FORMULÆ. Basic probability theory Lud Istitute of Techology Cetre for Mathematical Scieces Mathematical Statistics STATISTICAL MODELING OF MULTIVARIATE EXTREMES, FMSN5/MASM3 Probability theory Basic probability theory TABLE OF FORMULÆ

Διαβάστε περισσότερα

Second Order RLC Filters

Second Order RLC Filters ECEN 60 Circuits/Electronics Spring 007-0-07 P. Mathys Second Order RLC Filters RLC Lowpass Filter A passive RLC lowpass filter (LPF) circuit is shown in the following schematic. R L C v O (t) Using phasor

Διαβάστε περισσότερα

The ε-pseudospectrum of a Matrix

The ε-pseudospectrum of a Matrix The ε-pseudospectrum of a Matrix Feb 16, 2015 () The ε-pseudospectrum of a Matrix Feb 16, 2015 1 / 18 1 Preliminaries 2 Definitions 3 Basic Properties 4 Computation of Pseudospectrum of 2 2 5 Problems

Διαβάστε περισσότερα

Spherical Coordinates

Spherical Coordinates Spherical Coordinates MATH 311, Calculus III J. Robert Buchanan Department of Mathematics Fall 2011 Spherical Coordinates Another means of locating points in three-dimensional space is known as the spherical

Διαβάστε περισσότερα

y(t) S x(t) S dy dx E, E E T1 T2 T1 T2 1 T 1 T 2 2 T 2 1 T 2 2 3 T 3 1 T 3 2... V o R R R T V CC P F A P g h V ext V sin 2 S f S t V 1 V 2 V out sin 2 f S t x 1 F k q K x q K k F d F x d V

Διαβάστε περισσότερα

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then x 2 + y 2 Solution : Take y /x = k y = k x dy/dx = k dy/dx = y / x Answer : 2] y / x

Διαβάστε περισσότερα

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω 0 1 2 3 4 5 6 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω + 4 ω2 ω2 + 1 ω2 + 2 ω2 + 3 ω3 ω3 + 1 ω3 + 2 ω4 ω4 + 1 ω5 ω 2 ω 2 + 1 ω 2 + 2 ω 2 + ω ω 2 + ω + 1 ω 2 + ω2 ω 2 2 ω 2 2 + 1 ω 2 2 + ω ω 2 3 ω 3 ω 3 + 1 ω 3 + ω ω 3 +

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

CRASH COURSE IN PRECALCULUS

CRASH COURSE IN PRECALCULUS CRASH COURSE IN PRECALCULUS Shiah-Sen Wang The graphs are prepared by Chien-Lun Lai Based on : Precalculus: Mathematics for Calculus by J. Stuwart, L. Redin & S. Watson, 6th edition, 01, Brooks/Cole Chapter

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων

Υπολογιστική Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων Υπολογιστική Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων Όρια Πιστότητας (Confidence Limits) 2/4/2014 Υπολογ.Φυσική ΣΣ 1 Τα όρια πιστότητας -Confidence Limits (CL) Tα όρια πιστότητας μιας μέτρησης Μπορεί να αναφέρονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σκοπός Οι δειγματικοί χώροι, ανάλογα με τη φύση και τον τρόπο έκφρασης των ενδεχομένων τους κατατάσσονται σε ποσοτικούς και ποιοτικούς. Προφανώς ο υπολογισμός πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα