Κεθάιαηο 7: Βαζηθή ζεφρία ασηόκαηοσ ειέγτοσ

Transcript

1 Μαζεζηαθοί ζηότοη Κεθάιαηο 7: Βαζηθή ζεφρία ασηόκαηοσ ειέγτοσ Μεηά ηελ αλάγλσζε ηνπ θεθαιαίνπ νη θνηηεηέο ζα είλαη ζε ζέζε: Να θαηαλννύλ ηελ έλλνηα ησλ ζπζηεκάησλ απηόκαηνπ ειέγρνπ Να είλαη ζε ζέζε λα δηαρσξίδνπλ κεηαμύ αλάιπζεο αλνηθηνύ θαη θιεηζηνύ βξόρνπ Να γλσξίδνπλ πώο νξίδεηαη ε επζηάζεηα ελόο ζπζηήκαηνο κε ηελ θιαζηθή ζεσξία απηόκαηνπ ειέγρνπ Να ρξεζηκνπνηνύλ ηε κέζνδν ηνπ γεσκεηξηθνύ ηόπνπ ξηδώλ γηα ηε κειέηε ηεο επζηάζεηαο θιεηζηνύ βξόρνπ Προαπαηηούκελε γλώζε Πξναπαηηνύκελεο γλώζεηο γηα ηελ θαηαλόεζε ηνπ θεθαιαίνπ είλαη ε εμνηθείσζε κε ηελ έλλνηα ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Laplace θαζώο θαη κε ηηο ζπλαξηήζεηο κεηαθνξάο ζπζηήκαηνο. 7.1 Γεληθά Αθνύ αλαιύζακε ηε ζπκπεξηθνξά ηνπ αεξνζθάθνπο έπεηηα από εληνιέο ηνπ πηιόηνπ, ην επόκελν βήκα είλαη λα κειεηήζνπκε ηε ρξήζε απηόκαησλ ζπζηεκάησλ ειέγρνπ (ΣΑΔ) ζηηο δηαδηθαζίεο ηεο πηήζεο. Γηα λα είκαζηε ζε ζέζε λα δηεθπεξαηώζνπκε απηό ην βήκα, ζα πξέπεη πξώηα λα ζπλνςίζνπκε ηηο βαζηθέο αξρέο ηεο ζεσξίαο ηνπ απηόκαηνπ ειέγρνπ πνπ αθνξνύλ άκεζα ηελ αληίζηνηρε δηαδηθαζία πνπ αθνξά ηελ πηήζε (βι. π.ρ., Melsa, 1992, Βειώλε, 1997, Dorf, 2015, Σεθεξιήο, 2015). Αο μεθηλήζνπκε πξώηα κε ηνλ νξηζκό ελόο ΣΑΔ (ν νπνίνο είρε αλαθεξζεί θαη ζην Κεθάιαην 1): Σύζηεκα απηόκαηνπ ειέγρνπ είλαη έλα ζύλνιν ζηνηρείσλ πνπ ιεηηνπξγνύλ ζπγρξόλσο θαη θαηά πξνδηαγεγξακκέλν ηξόπν ώζηε λα επηηεπρζεί θάπνηνο ζηόρνο. Ο ζηόρνο είλαη ν έιεγρνο θάπνησλ θπζηθώλ πνζνηήησλ κε ηξόπν απηόκαην, ζπλήζσο ρσξίο αλζξώπηλε επίβιεςε. Τέηνην παξάδεηγκα ζα κπνξνύζε λα ζεσξεζεί έλα ζύζηεκα ειέγρνπ ηνπ ύςνπο ηνπ αεξνζθάθνπο, ην νπνίν νξίδεηαη θαη δηαηεξείηαη κέζσ ελόο ΣΑΔ. Πξόθεηηαη, νπζηαζηηθά, γηα έλαλ απιό απηόκαην πηιόην (πεξηζζόηεξα ζε επόκελα θεθάιαηα), ζηόρνο ηνπ νπνίνπ είλαη ε ειαρηζηνπνίεζε ηεο δηαθνξάο κεηαμύ ηνπ πξαγκαηηθνύ θαη ηνπ επηζπκεηνύ ύςνπο. + - Σρήκα 7.1 Σρεκαηηθή αλαπαξάζηαζε απηόκαηνπ πηιόηνπ ειέγρνπ ηνπ ύςνπο

2 Σηελ πξνθεηκέλε πεξίπησζε, επηζπκνύκε ην αεξνζθάθνο λα πεηάεη ζε έλα ύςνο h ref θαη γηα λα επηηεπρζεί απηό δίλεηαη ε αληίζηνηρε εληνιή (π.ρ. ζην πεδάιην αλόδνπ-θαζόδνπ). Αλάινγα κε ηνλ ζρεδηαζκό ηνπ αεξνζθάθνπο θαη ηηο ζπλζήθεο πηήζεο (βι. θνπηάθη «Γπλακηθή αεξνζθάθνπο»), εθείλν ζα βξεζεί ζε έλα λέν ύςνο h. Η δηαθνξά κεηαμύ επηζπκεηνύ ύςνπο h ref θαη πξαγκαηηθνύ ύςνπο h αληρλεύεηαη κε ηε βνήζεηα ελόο αηζζεηήξα ύςνπο. Ο απηόκαηνο πηιόηνο επεμεξγάδεηαη απηή ηε δηαθνξά θαη δίλεη ηελ αληίζηνηρε εληνιή πξνθεηκέλνπ λα δηνξζσζεί ην ζθάικα. Δάλ ην ΣΑΔ ιεηηνπξγεί ζσζηά, θάπνηα ζηηγκή ε δηαθνξά ζα κεδεληζηεί θαη ην αεξνζθάθνο ζα πεηάεη ζην επηζπκεηό ύςνο. Τα ΣΑΔ ζε αεξνζθάθε κπνξνύκε λα πνύκε όηη έρνπλ δπν βαζηθέο ρξήζεηο: Τελ πξνζζήθε ηερλεηήο επζηάζεηαο ζε αζηαζή αεξνζθάθε. Τνύην επηηπγράλεηαη κε ηα Σπζηήκαηα Πξνζζήθεο Επζηάζεηαο (Stability Augmentation Systems, SAS). Γηα αεξνζθάθε πνπ είλαη αεξνδπλακηθώο αζηαζή (πεξηζζόηεξα ζε παξαθάησ θεθάιαην) επηβάιιεηαη ε πξνζζήθε επζηάζεηαο κέζσ ειεθηξνληθώλ ζπζηεκάησλ. Τνλ έιεγρν (κέζσ ηνπ ζρεδηαζκνύ απηόκαησλ πηιόησλ) παξακέηξσλ πηήζεο όπσο ην ύςνο, νη γσλίεο θιίζεο, ε ηαρύηεηα, ε δηαδξνκή πξνζγείσζεο θ.ιπ. Σηελ πεξίπησζε απηή ν πηιόηνο δίλεη εληνιή γηα λα απνθηήζεη κηα από ηηο παξαπάλσ παξακέηξνπο ζπγθεθξηκέλε ηηκή. Σηνπο ζύγρξνλνπο απηόκαηνπο πηιόηνπο απηό κπνξεί λα επηηεπρζεί ηαπηόρξνλα γηα πιεζώξα παξακέηξσλ, κε απνηέιεζκα λα πξνγξακκαηίδεηαη νπζηαζηηθά απηόκαηα όιε ε πηήζε. 7.2 Έιεγτος αλοηθηού θαη θιεηζηού βρότοσ Γηα λα θαηαλνεζεί ε δηαθνξά κεηαμύ ΣΑΔ αλνηθηνύ θαη θιεηζηνύ βξόρνπ, ζεσξνύκε ην παξάδεηγκα ελόο αηόκνπ πνπ πξνζπαζεί κέζσ ηεο βξύζεο ηνπ κπάληνπ λα ξπζκίζεη ηε ζεξκνθξαζία ηνπ λεξνύ. Έλαο ηξόπνο είλαη λα αλνίμεη ηε βάλα ηνπ δεζηνύ λεξνύ κέρξη θάπνην θαζνξηζκέλν ζεκείν θαη λα αθήζεη ην λεξό λα ηξέμεη γηα νξηζκέλν ρξνληθό δηάζηεκα. Απηό απνηειεί έλα παξάδεηγκα ζπζηήκαηνο ειέγρνπ αλνηθηνύ βξόρνπ δηόηη νύηε ε έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο νύηε θάπνηα κεηαβιεηή ηνπ ζπζηήκαηνο έρνπλ θάπνηα επίδξαζε ζηνλ έιεγρν ηεο εηζόδνπ. Σρήκα 7.2 Παξάδεηγκα ΣΑΕ αλνηθηνύ βξόρνπ Σηα ΣΑΔ νξίδνπκε ηηο έλλνηεο ηεο εηζόδνπ θαη ηεο εμόδνπ γηα θάζε ζύζηεκα. Σε απηό ην παξάδεηγκα, είζνδνο είλαη ε ζέζε ηεο βάλαο, έμνδνο είλαη ε ζεξκνθξαζία ηνπ λεξνύ, ζύζηεκα είλαη ε βάλα, ην λεξό ηνπ κπάληνπ, ν άλζξσπνο. Έλαο άιινο ηξόπνο αληηκεηώπηζεο ηνπ πξνβιήκαηνο είλαη λα δνθηκάδεη ν άλζξσπνο ην λεξό θαηά ηαθηά δηαζηήκαηα θαη όηαλ απηό δελ βξίζθεηαη ζηε ζσζηή ζεξκνθξαζία ζα γίλνληαη νη θαηάιιειεο ξπζκίζεηο ζηε βάλα. Σε απηή ηελ πεξίπησζε έρνπκε δεκηνπξγήζεη έλα ζύζηεκα θιεηζηνύ βξόρνπ, δηόηη ε ηηκή ηεο εμόδνπ ηνπ ζπζηήκαηνο επεξεάδεη ηνλ έιεγρό ηνπ, έρνπκε δειαδή απηό πνπ νλνκάδνπκε αλάδξαζε. Ο βξόρνο θιείλεη θαηά δηαζηήκαηα από ηνλ άλζξσπν πνπ παίξλεη ηηο κεηξήζεηο θαη αλαιακβάλεη ηε δηνξζσηηθή δξάζε.

3 Σρήκα 7.3 Παξάδεηγκα ΣΑΕ θιεηζηνύ βξόρνπ Δπηπξόζζεηεο έλλνηεο πνπ νξίδνπκε ζηα ΣΑΔ είλαη ν αηζζεηήξαο, ην θέξδνο, ν ειεγθηήο. Σε απηό ην παξάδεηγκα, αηζζεηήξαο είλαη ην ρέξη ηνπ αλζξώπνπ, θέξδνο είλαη ην πόζν έληνλα κεηαβάιιεηαη ε ζέζε ηεο βάλαο, ειεγθηήο είλαη ν άλζξσπνο. Τα ΣΑΔ αλνηθηνύ βξόρνπ είλαη ζπλήζσο ιηγόηεξν πνιύπινθα θαη σο εθ ηνύηνπ ιηγόηεξν αθξηβά. Η επηηπρία ηνπο όκσο εμαξηάηαη από ηελ αθξίβεηα ηνπ κνληέινπ ηνπ ζπζηήκαηνο θαζώο θαη ηε ζπρλόηεηα εκθάληζεο εμσηεξηθώλ δηαηαξαρώλ. Με άιια ιόγηα, πξέπεη λα γλσξίδνπκε εθ ησλ πξνηέξσλ κε αθξίβεηα ηηο παξακέηξνπο ηνπ ζπζηήκαηνο (π.ρ. ηε δηαζέζηκε πνζόηεηα δεζηνύ λεξνύ, ηε ζρέζε ζέζεο ηεο βάλαο κε ηε ξνή δεζηνύ λεξνύ) θη επίζεο λα πεξηνξίδνληαη νη εμσηεξηθνί παξάγνληεο επεξεαζκνύ (π.ρ. άλνηγκα παξαζύξνπ θαη δεκηνπξγία ξεύκαηνο). Από ηελ άιιε, ε αλάδξαζε (ζηα ζπζηήκαηα θιεηζηνύ βξόρνπ) απαιείθεη ηα κεηνλεθηήκαηα ησλ ΣΑΔ αλνηθηνύ βξόρνπ, αιιά είλαη θάπνηεο θνξέο δπλαηόλ λα επηθέξεη ην αλεπηζύκεην απνηέιεζκα ηεο αζηάζεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο. Σην παξάδεηγκα ηεο κπαληέξαο, ε θαζπζηέξεζε ζηελ αληαπόθξηζε ζηηο αιιαγέο ζεξκνθξαζίαο ηνπ λεξνύ θαζώο θαη νη αθξαίεο αιιαγέο ζηε ζέζε ηεο βάλαο κπνξεί λα δεκηνπξγήζνπλ κηα θαηάζηαζε θαηά ηελ νπνία παιηλδξνκνύκε κεηαμύ πνιύ δεζηνύ θαη πνιύ θξύνπ λεξνύ. Η θαζπζηέξεζε θαη ην κεγάιν θέξδνο απνηεινύλ βαζηθέο αηηίεο αζηάζεηαο. 7.3 Λεηηοσργηθά δηαγράκκαηα βαζκίδφλ Τα ιεηηνπξγηθά δηαγξάκκαηα βαζκίδσλ πεξηγξάθνπλ ζρεκαηηθά ηε ιεηηνπξγία ελόο ζπζηήκαηνο θαη απινπζηεύνπλ ηελ εύξεζε ηεο νιηθήο ζπλάξηεζεο κεηαθνξάο. Σπλήζσο, γλσξίδνληαο ηηο ζπλαξηήζεηο κεηαθνξάο ππνζπζηεκάησλ ηνπ νιηθνύ ζπζηήκαηνο θαη ρξεζηκνπνηώληαο κεηαζρεκαηηζκνύο ησλ ιεηηνπξγηθώλ δηαγξακκάησλ βαζκίδσλ είλαη πην εύθνιε ε εύξεζε ηεο νιηθήο ζπλάξηεζεο κεηαθνξάο. Σρήκα 7.4 Λεηηνπξγηθά δηαγξάκκαηα βαζκίδσλ

4 Τα ιεηηνπξγηθά δηαγξάκκαηα βαζκίδσλ κεηαζρεκαηίδνληαη κε δηάθνξνπο θαλόλεο νη νπνίνη παξνπζηάδνληαη ζην Σρήκα 7.5. Σρήκα 7.5 Μεηαζρεκαηηζκνί ιεηηνπξγηθώλ δηαγξακκάησλ βαζκίδσλ Δπεηδή πξνεγνπκέλσο έγηλε αλαθνξά ζηα ζπζηήκαηα αλνηθηνύ θαη θιεηζηνύ βξόρνπ, ν κεηαζρεκαηηζκόο από ην ιεηηνπξγηθό δηάγξακκα βαζκίδσλ ηεο κηαο πεξίπησζεο ζηελ άιιε παξνπζηάδεηαη ζηνλ ηξίην θαλόλα κεηαζρεκαηηζκνύ ηνπ παξαπάλσ ζρήκαηνο. Ο θαλόλαο απηόο είλαη ίζσο ν πην ζεκαληηθόο γηα ηνλ ζρεδηαζκό ΣΑΔ αεξνζθαθώλ.

5 7.4 Γεφκεηρηθός ηόπος ρηδώλ Σε πξνεγνύκελα θεθάιαηα εμεηάζακε ηελ επζηάζεηα πεξηζζόηεξν από ηε ζθνπηά ησλ θπζηθώλ κεραληζκώλ πνπ ηελ νξίδνπλ γηα έλα αεξνζθάθνο. Η επζηάζεηα, όκσο, κπνξεί λα κειεηεζεί θαη από ηε ζθνπηά ηεο θιαζηθήο ζεσξίαο απηόκαηνπ ειέγρνπ: έλα δπλακηθό ζύζηεκα είλαη επζηαζέο όηαλ γηα θάζε θξαγκέλν (πεπεξαζκέλν) ζήκα εηζόδνπ, ην ζήκα εμόδνπ είλαη επίζεο θξαγκέλν (πεπεξαζκέλν). Πην ζπγθεθξηκέλα, έλα ζύζηεκα γξακκηθό είλαη επζηαζέο αλ όινη νη πόινη (δειαδή νη ξίδεο ηεο ραξαθηεξηζηηθήο εμίζσζεο) ηεο ζπλάξηεζεο κεηαθνξάο θιεηζηνύ βξόρνπ βξίζθνληαη ζην αξηζηεξό κηγαδηθό εκηεπίπεδν. Οη ξίδεο ηεο ραξαθηεξηζηηθήο εμίζσζεο είλαη γεληθά ηεο εμήο κνξθήο: s j Γηαθξίλνπκε ηηο εμήο πεξηπηώζεηο: Σηελ πεξίπησζε πνπ 0 θαη 0 ηόηε ε ξίδα είλαη κηγαδηθή. Σηελ πεξίπησζε πνπ 0 θαη 0 ηόηε ε ξίδα είλαη θαληαζηηθή. Σηελ πεξίπησζε πνπ 0 θαη 0 ηόηε ε ξίδα είλαη πξαγκαηηθή. Όζνλ αθνξά ηελ επζηάζεηα ηνπ ζπζηήκαηνο, απηή εμαξηάηαη από ην εάλ ε ξίδα βξίζθεηαη ζην αξηζηεξό κηγαδηθό εκηεπίπεδν δειαδή εάλ ζ < 0. Δάλ απηό ηζρύεη γηα ηνπο πόινπο, ηόηε ην ζύζηεκα είλαη επζηαζέο. Δάλ έζησ γηα κηα ξίδα ζ > 0, ηόηε ην ζύζηεκα είλαη αζηαζέο. Δάλ ζ = 0 ηόηε έρνπκε κηα νξηαθή θαηάζηαζε, όπνπ ε απόθξηζε ηνπ ζπζηήκαηνο κπνξεί λα είλαη είηε απηή επζηαζνύο ζπζηήκαηνο είηε αζηαζνύο, αλάινγα κε ηνλ ηύπν ηεο εηζόδνπ πνπ δέρεηαη ην ζύζηεκα. Γίλεηαη θαλεξό από ηα παξαπάλσ όηη εθείλν πνπ θαζνξίδεη ηειηθά ηελ επζηάζεηα ελόο ζπζηήκαηνο είλαη ην πξαγκαηηθό κέξνο ησλ πόισλ ηνπ. Όπσο γλσξίδνπκε από ηνπο κεηαζρεκαηηζκνύο ιεηηνπξγηθώλ δηαγξακκάησλ βαζκίδσλ, γηα έλα ζύζηεκα κε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο αλνηθηνύ βξόρνπ G(s), γηα αλάδξαζε θαζαξνύ θέξδνπο Κ, ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο θιεηζηνύ βξόρνπ είλαη: F s Y X s s Gs G s 1 (7.1) Σρήκα 7.6 Αλάδξαζε κε θαζαξό θέξδνο(ζηελ πξνθεηκέλε πεξίπησζε ην θέξδνο αλάδξαζεο παξνπζηάδεηαη καδί κε ηε ζπλάξηεζε αλνηθηνύ βξόρνπ)

6 Δπίζεο, ε ραξαθηεξηζηηθή εμίζσζε είλαη: s 0 1 G (7.2) όπνπ G(s)=N(s)/D(s), κε κεδεληθά αλνηθηνύ βξόρνπ ηηο ξίδεο ηνπ πνιπσλύκνπ ηνπ αξηζκεηή N(s) θαη πόινπο ηνπ αλνηθηνύ βξόρνπ ηηο ξίδεο ηνπ παξνλνκαζηή D(s). Οη ξίδεο ηεο ραξαθηεξηζηηθήο εμίζσζεο νη νπνίεο θαζνξίδνπλ (όπσο έρεη δεηρηεί) θαη ηελ επζηάζεηα ηνπ ζπζηήκαηνο θιεηζηνύ βξόρνπ είλαη θαλεξό όηη εμαξηώληαη από ηηο ηηκέο ηνπ θέξδνπο αλάδξαζεο Κ. Η γξαθηθή παξάζηαζε ζην κηγαδηθό επίπεδν ηνπ ζπλόινπ ησλ ξηδώλ ελόο ζπζηήκαηνο θιεηζηνύ βξόρνπ γηα όιεο ηηο ηηκέο ηνπ θέξδνπο αλάδξαζεο Κ ιέγεηαη γεσκεηξηθόο ηόπνο ξηδώλ θαη απνηειεί ηνλ βαζηθό ηξόπν κειέηεο επζηάζεηαο ΣΑΔ αεξνζθαθώλ. Σρεδηάδνληαο ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ξηδώλ κπνξνύκε λα δηαπηζηώζνπκε εάλ ην ζύζηεκα θιεηζηνύ βξόρνπ έρεη ξίδεο ζην δεμηό κηγαδηθό εκηεπίπεδν θαη άξα αλ είλαη αζηαζέο. Οη θπξηόηεξνη θαλόλεο ζρεδηαζκνύ γεσκεηξηθνύ ηόπνπ ξηδώλ είλαη νη εμήο: 1. Ο γεσκεηξηθόο ηόπνο είλαη ζπκκεηξηθόο σο πξνο ηνλ άμνλα ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ. 2. Ο αξηζκόο ησλ μερσξηζηώλ θιάδσλ ηνπ γεσκεηξηθνύ ηόπνπ είλαη ίζνο κε ηνλ αξηζκό ησλ πόισλ ηεο ζπλάξηεζεο κεηαθνξάο αλνηθηνύ βξόρνπ. Οη θιάδνη μεθηλάλε από ηνπο πόινπο ηεο ζπλάξηεζεο κεηαθνξάο αλνηθηνύ βξόρνπ (γηα Κ = 0) θαη θαηαιήγνπλ είηε ζηα κεδεληθά (ξίδεο ηνπ αξηζκεηή) ηεο ζπλάξηεζεο κεηαθνξάο αλνηθηνύ βξόρνπ είηε ζην άπεηξν (γηα Κ = άπεηξν). Ο αξηζκόο ησλ θιάδσλ πνπ θαηαιήγνπλ ζην άπεηξν ηζνύηαη κε ηε δηαθνξά n m, όπνπ n = ν αξηζκόο ησλ πόισλ θαη m = ν αξηζκόο ησλ κεδεληθώλ ηεο ζπλάξηεζεο κεηαθνξάο αλνηθηνύ βξόρνπ. 3. Έλα ηκήκα ηνπ άμνλα ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ζα είλαη ππνζύλνιν ηνπ γεσκεηξηθνύ ηόπνπ ξηδώλ εάλ ην πιήζνο ησλ πόισλ θαη ησλ κεδεληθώλ πνπ βξίζθνληαη δεμηά ηνπ ηκήκαηνο είλαη πεξηηηό. 4. Οη θιάδνη ηνπ γεσκεηξηθνύ ηόπνπ ξηδώλ πνπ ηείλνπλ ζην άπεηξν, ην θάλνπλ θαηά κήθνο αζύκπησησλ επζεηώλ πνπ ηέκλνληαη ζηνλ άμνλα πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ζην ζεκείν: πραγματικά μέλη πλων -πραγματικά μέλη μηδενικών n m 5. Η γσλία πνπ ζρεκαηίδνπλ νη αζύκπησηεο κε ηνλ άμνλα ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ είλαη: n m, όπνπ ξ = 0, 1, 2, (n m 1) Σεκεηώλεηαη όηη νη παξαπάλσ θαλόλεο είλαη νη βαζηθνί γηα ηνλ ζρεδηαζκό γεσκεηξηθνύ ηόπνπ ξηδώλ (γ.η.ξ.) θαη ηζρύνπλ γηα Κ>0. Γηα πην αθξηβή ζρεδηαζκό αθνινπζνύληαη πξόζζεηνη θαλόλεο, όπσο πεξηγξάθνληαη ζηε ζρεηηθή βηβιηνγξαθία (π.ρ. Melsa, 1992, Βειώλε, 1997) Δπίζεο γηα Κ<0 νη θαλόλεο δηαθνξνπνηνύληαη ειαθξώο. Παράδεηγκα

7 Να ζτεδηαζηεί ο γεφκεηρηθός ηόπος ρηδώλ γηα ηο ζύζηεκα κε ζσλάρηεζε κεηαθοράς αλοηθηού βρότοσ: 1 G s s s 3 Λύζε: Οη πόινη ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη s = 0 θαη s = -3, άξα n = 2. Γελ ππάξρνπλ κεδεληθά, νπόηε m = 0. Ο αξηζκόο ησλ θιάδσλ πνπ θαηαιήγνπλ ζην άπεηξν είλαη n m = 2 0 = 2. 3 Τν ζεκείν ηνκήο ησλ αζύκπησησλ είλαη 1, 5. 2 Οη γσλίεο πνπ ζρεκαηίδνπλ νη αζύκπησηεο είλαη, n m, όπνπ ξ = 0, 1. Έηζη έρνπκε 90 κνίξεο θαη 270 κνίξεο. Καηαιήγνπκε ινηπόλ ζην εμήο γξάθεκα: Παξάδεηγκα 7.1 Γεσκεηξηθόο ηόπνο ξηδώλ Γηαπηζηώλνπκε όηη γηα όιεο ηηκέο ηνπ θέξδνπο Κ νη πόινη ηνπ ζπζηήκαηνο θιεηζηνύ βξόρνπ βξίζθνληαη ζην αξηζηεξό κηγαδηθό εκηεπίπεδν θαη άξα ην ζύζηεκα είλαη επζηαζέο. Τνλίδεηαη όηη ζε όια ηα δηαγξάκκαηα γεσκεηξηθνύ ηόπνπ ξηδώλ πνπ παξνπζηάδνληαη ζε απηό ην ζύγγξακκα, ζρεδηάδνληαη θύθινη ζηαζεξήο ηδηνζπρλόηεηαο θαη αθηίλεο ζηαζεξνύ ζπληειεζηή απόζβεζεο, όπσο θαίλεηαη θαη παξαπάλσ. Παράδεηγκα

8 Να ζτεδηαζηεί ο γεφκεηρηθός ηόπος ρηδώλ γηα ηο ζύζηεκα κε ζσλάρηεζε κεηαθοράς αλοηθηού βρότοσ: 1 G s. s s 2 s 4 Λύζε: Οη πόινη ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη s = 0 θαη s = -2 θαη s = -4, άξα n = 3. Γελ ππάξρνπλ κεδεληθά, νπόηε m = 0. Ο αξηζκόο ησλ θιάδσλ πνπ θαηαιήγνπλ ζην άπεηξν είλαη n m = 3 0 = Τν ζεκείν ηνκήο ησλ αζύκπησησλ είλαη 2. 3 Οη γσλίεο πνπ ζρεκαηίδνπλ νη αζύκπησηεο είλαη, n m, όπνπ ξ = 0, 1, 2. Έηζη έρνπκε 60 κνίξεο, 180 κνίξεο θαη 300 κνίξεο. Καηαιήγνπκε ζην εμήο γξάθεκα: Παξάδεηγκα 7.2 Γεσκεηξηθόο ηόπνο ξηδώλ Γηαπηζηώλνπκε όηη γηα κεγάιεο ηηκέο ηνπ θέξδνπο Κ νη πόινη ηνπ ζπζηήκαηνο θιεηζηνύ βξόρνπ βξίζθνληαη ζην δεμηό κηγαδηθό εκηεπίπεδν θαη άξα ην ζύζηεκα γηα απηέο ηηο ηηκέο είλαη αζηαζέο. Παράδεηγκα Να ζτεδηαζηεί ο γεφκεηρηθός ηόπος ρηδώλ γηα ηο ζύζηεκα κε ζσλάρηεζε κεηαθοράς αλοηθηού βρότοσ: s 3 G s. 2 s s 10 s 8s 20 Λύζε: Οη πόινη ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη s = 0 θαη s = -10, s = -4+2j θαη s = -4-2j, άξα n = 4. Τν κνλαδηθό κεδεληθό είλαη ζην -3, νπόηε m = 1. Ο αξηζκόο ησλ θιάδσλ πνπ θαηαιήγνπλ ζην άπεηξν είλαη n m = 4 1 = 3.

9 ( 3) Τν ζεκείν ηνκήο ησλ αζύκπησησλ είλαη 5. 3 Οη γσλίεο πνπ ζρεκαηίδνπλ νη αζύκπησηεο είλαη, n m, όπνπ ξ = 0, 1, 2. Έηζη έρνπκε 60 κνίξεο, 180 κνίξεο θαη 300 κνίξεο. Καηαιήγνπκε ζην εμήο γξάθεκα: Παξάδεηγκα 7.3 Γεσκεηξηθόο ηόπνο ξηδώλ Γηαπηζηώλνπκε όηη γηα κεγάιεο ηηκέο ηνπ θέξδνπο Κ νη πόινη ηνπ ζπζηήκαηνο θιεηζηνύ βξόρνπ βξίζθνληαη ζην δεμηό κηγαδηθό εκηεπίπεδν θαη άξα ην ζύζηεκα γηα απηέο ηηο ηηκέο είλαη αζηαζέο. Σύλουε Σην θεθάιαην απηό παξνπζηάζακε ηε βαζηθή ζεσξία απηόκαηνπ ειέγρνπ πνπ είλαη απαξαίηεηε γηα ηε κειέηε ΣΑΕ αεξνζθαθώλ. Σην επόκελν θεθάιαην ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ απνθηεζείζα γλώζε γηα ηε κειέηε πξνζζήθεο ηερλεηήο επζηάζεηαο. Βηβιηογραθία Melsa, J., Schultz, D. (1992): Linear Control Systems, McGraw-Hill College Βειώλε, Α. (1997): Σπζηήκαηα Απηόκαηνπ Διέγρνπ Λπκέλεο Αζθήζεηο, Παπαζσηεξίνπ Dorf R.C., Bishop R.H. (2015): Σύγρξνλα Σπζηήκαηα Απηόκαηνπ Διέγρνπ, 12ε Έθδνζε, Δθδόζεηο Τδηόια. Σεθεξιήο, Π, Απηόκαηνο Έιεγρνο. Αλαθηήζεθε ηελ Τεηάξηε, 23 Σεπηεκβξίνπ 2015 από