ΑΛΥΤΔΣ ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΜΙΓΑΓΙΚΟΙ ΟΜΑΓΑ Α

Transcript

1 ΑΛΥΤΔΣ ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΜΙΓΑΓΙΚΟΙ ΟΜΑΓΑ Α Ππάξειρ μιγαδικών ). Γίλνληαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί = x x 9 θαη w = y, x, y R. α). Να βξείηε ηνπο x, y ώζηε = w. β) Να βξείηε ηνλ. ). Γίλεηαη ν κηγαδηθόο = 6 (3 4 ) x 3 y (3 ) x + (4 y ), x, y R. α). Να γξάςεηε ηνλ ζηε κνξθή α + β. β). Να ιύζεηε ηηο εμηζώζεηο : ). Re() = 0 ). Im() = 0 ). Re() = Im() v). = 0 3). Να κεηαζρεκαηηζηνύλ νη παξαθάησ παξαζηάζεηο ζηελ κνξθή α + β. α). ( + 3 ) β). ( ) 3 γ). ( ) ( + 3 ) δ). ( + ) 0 ε). ( 3 ) 6 4). Να γξάςεηε ζηε κνξθή α + β, ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο : 3 α). β). γ). 4 δ) ). Να βξεζνύλ ηα x, y R ώζηε α). νη κηγαδηθνί: = x + y θαη = (4 x y), λα είλαη ζπδπγείο. β). νη κηγαδηθνί : = x + y + 4 θαη = 3 + x y, λα είλαη ζπδπγείο 6). Να ππνινγηζηνύλ νη παξαθάησ παξαζηάζεηο Α = 8, B = 73, Γ= , Γ = Δ = Ε = ). Να ιύζεηε ζην R θαη ζην C ηηο εμηζώζεηο : α). x x + = 0, β). x 4x + 5 = 0, γ). x + = 0, δ). x 4 =, 8). Να βξείηε ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο πνπ επαιεζεύνπλ ηελ ηζόηεηα + ( ) = ). Να βξεζεί ν κηγαδηθόο αξηζκόο πνπ ηθαλνπνηεί ηελ ηζόηεηα =. 0). Να ιπζνύλ ζην ζύλνιν C νη παξαθάησ εμηζώζεηο : α). 3 + (4 6 ) 8 = 0 β). + + = 0 γ). ( + 3) + ( ) = 0 δ). 0 ). Ζ εμίζσζε + α + β = 0, α, β R έρεη ξίδα ηνλ κηγαδηθό +. α). Να βξείηε ηελ άιιε ξίδα. β). Να βξείηε ηα α θαη β. ). Αλ λ N *, λα δείμεηε όηη: ( ) α). ν αξηζκόο c = είλαη πξαγκαηηθόο,

2 β). ν αξηζκόο u = είλαη θαληαζηηθόο w 3). Να απνδείμεηε όηη αλ w w ηόηε ν u = w 4). Να απνδείμεηε όηη αλ, ηόηε ν u = 5). Γίλεηαη ν κηγαδηθόο αξηζκόο = x + y, x, y R. 8 α). Να γξάςεηε ζηε κνξθή α + β ηνλ κηγαδηθό w =. 6 β). Να βξείηε ηε ζρέζε πνπ ζπλδέεη ηα x θαη y, αλ Im (w) = 0. γ). Να βξείηε ηε ζρέζε πνπ ζπλδέεη ηα x θαη y, αλ Re (w) = 0. δ). Να δείμεηε όηη ε πξνεγνύκελε ζρέζε (γ) είλαη εμίζσζε θύθινπ θαη λα βξείηε ην θέληξν ηνπ θαη ηελ αθηίλα ηνπ. ε). Να δείμεηε όηη ν πξνεγνύκελνο θύθινο δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ. 6). Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ w γηα ηνπο νπνίνπο ν αξηζκόο w 4 = R. w 7). Αλ ε εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ αλήθεη ζε θύθιν κε θέληξν ην Ο(, 0) θαη αθηίλα R =, λα δείμεηε όηη θαη ε εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ w =, κε -, αλήθεη επίζεο ζε θύθιν θαη λα βξείηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα ηνπ. 8). Γίλεηαη ε εμίζσζε εκ ζ εκζ εκ ζ = 0 κε ζ (0, π). α). Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε. β). Να δείμεηε όηη θαζώο ην ζ δηαηξέρεη ην δηάζηεκα (0, π), νη εηθόλεο ησλ ξηδώλ ηεο παξαπάλσ εμίζσζεο θηλνύληαη πάλσ ζε κία ππεξβνιή. 9). Αλ ε εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ θηλείηαη πάλσ ζηελ επζεία y=x- λα βξείηε ηελ εηθόλα ησλ κηγαδηθώλ w πνπ ηθαλνπνηνύλ ηελ ζρέζε w = ( ) ). Αλ C θαη f () = + λα βξείηε ηελ εηθόλα ησλ κηγαδηθώλ πνπ ηθαλνπνηνύλ ηελ ζρέζε Re(f ()) = + Re(). Η. R. ). Να γξαθνύλ ζηελ κνξθή α + β νη παξαζηάζεηο: α). ( + ) (5 ) 3 3 β ). 5 + ( + ) 3 3. γ). ( + 3 ) 3 ( + ) δ). 3 3 γ). 3 5 ζη). ( ) ( ) (3 3 ) (3 3 ) δ) ε) δ). 3 3

3 ). α). Να βξεζνύλ νη α, β R αλ ηζρύεη ε ζρέζε: (3 α + 4 β) + ( α β) = 7. β). Να ππνινγίζεηε ηνπο α, β ώζηε (α β + ) + (β α + ) = 0. 3). Γίλεηαη ην πνιπώλπκν f() = 5. Να ππνινγίζεηε ην f( ). 4). Αλ α, β, γ R θαη (α + β) γ = 5 γ + (α β) δείμηε όηη : α β = γ. 5). Αλ α, β, γ R θαη 3, δείμηε όηη: (α + β) + (β α) γ = 5 α +. 6). Να βξεζνύλ νη x, y R ώζηε (x + 3 y ) + (y x ) = ). Να βξεζνύλ νη x, y R ώζηε (x + y ) = x. 8). Γείμηε όηη λ + λ+ + λ+ + λ+3 = 0 γηα θάζε λ Ν. 9). Να βξεζεί ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο Β = 3, λ Ν. 30). Να βξεζεί ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο Α = ( + λ ) ( λ ), λ Ν. 3). Αλ ηζρύεη 3 λ+ =, λα βξεζεί (αλ ππάξρεη) ε κνξθή ηνπ λ Ν. 3). Να ιπζεί ην ζύζηεκα ζην ζύλνιν ησλ κηγαδηθώλ C: { ( ) x + y = θαη ( ) x + ( + ) y = } 33). Γίλνληαη f(x) = α (4 7 ) x + β (4 + 7 ) x µε x Ν, f(0) = 0 θαη f() = 4. Γείμηε όηη: f(3) = ). Να ιπζνύλ ζην C νη εμηζώζεηο: α). + = 0 β). = γ). = 4. 35). Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : α). 3 = 3 3. β). =. 36). Οκνίσο ε εμίζσζε : = ). Οκνίσο ε εμίζσζε: + ( ) = ). Έζησ ην πνιπώλπκν f(x) = x + α x + β. Να βξεζνύλ ηα α, β R ώζηε ν κηγαδηθόο αξηζκόο 4 λα είλαη ξίδα ηνπ f(x). 39). Αλ, C µε, λα βξεζνύλ νη ζπλζήθεο γηα ηηο νπνίεο ν αξηζκόο σ = είλαη πξαγκαηηθόο.

4 40). Να βξεζεί ε ζρέζε ώζηε ν αξηζκόο σ = 3 λα είλαη θαληαζηηθόο. 4). Να δεηρζεί όηη ν αξηζκόο = είλαη θαληαζηηθόο, όπνπ, C,. 4). Να βξεζνύλ όινη νη κηγαδηθνί αξηζκνί = x + y, όπνπ x, y R, y 0, θαη πνπ ηθαλνπνηνύλ ηελ ζρέζε = θαη ηελ + = ι, όπνπ ι Z. 43). Να δεηρηεί όηη ν αξηζκόο = (6 + 5 ) λ + (6 5 ) λ, όπνπ λ Ν *, είλαη πξαγκαηηθόο. 44). Να ιπζεί ζην C ε εμίζσζε : + = ). Να βξεζνύλ νη πξαγκαηηθνί αξηζκνί x θαη y, ώζηε λα είλαη ζπδπγείο νη κηγαδηθνί = x + y +4 θαη = 5 x y. 46). Να βξείηε ην γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ (x, y) ζε θαζεκία από ηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο α). x + y = ι ( + ) β). x ι (y ) = κ ( 3 ) όπνπ x, y,ι R. 47). Να βξείηε ην γ.η. ηεο εηθόλαο Μ(Ε) αλ ν αξηζκόο είλαη : α). Πξαγκαηηθόο β). Φαληαζηηθόο 48). Έζησ σ =, όπνπ C. α). Αλ νη εηθόλεο ησλ σ θαη ζπκπίπηνπλ ηόηε λα βξείηε ηνλ κηγαδηθό σ. β). Αλ ε εηθόλα ηνπ βξίζθεηαη ζηνλ θαληαζηηθό άμνλα ηόηε λα βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ηεο εηθόλαο ηνπ σ. γ). Αλ ε εηθόλα ηνπ βξίζθεηαη ζηνλ πξαγκαηηθό άμνλα ηόηε λα βξείηε ην γεσκεηξηθόο ηόπνο ηεο εηθόλαο ηνπ σ. 49). Αλ 0, όπνπ α, C, α 0 θαη γ R ηόηε λα δεηρζεί όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηεο εηθόλαο ηνπ κηγαδηθνύ είλαη επζεία. 50). Έζησ, w C, κε = w +. Αλ ε εηθόλα ηνπ w αλήθεη ζε θύθιν κε θέληξν ην Ο(0, 0) θαη w αθηίλα ξ = ηόηε λα δείμεηε όηη ε εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ αλήθεη ζε έιιεηςε, ηεο νπνίαο λα βξείηε ηηο εζηίεο. 5). Να βξείηε ηνλ κηγαδηθό, όηαλ ( + ) = 0. ηε ζπλέρεηα λα ιύζεηε ηελ εμίζσζε : (5 + x) + ( + x) = 0. ). ζηνr. ) ζην C. 3 5). Αλ = θαη w = +, λα δεηρζεί όηη α). + + = 0 β). 3 = γ). w λ = λ, γηα θάζε θπζηθό λ. δ). Να ππνινγίζεηε ηνπο κηγαδηθνύο w 300 θαη w 333.

5 53). Να ππνινγηζηεί ην άζξνηζκα S = ). Αλ νη θπζηθνί αξηζκνί θ, ι, κ, λ δηαηξνύκελνη κε ην 4 δίλνπλ ην ίδην ππόινηπν, λα δείμεηε όηη k ι κ λ =. 55). Να απνδεηρζεί όηη : ). Να απνδεηρζεί όηη : ( ( ). 57). Αλ x, y R, λ Ν * θαη x y = 3 7, λα δεηρζεί όηη : x + y = 0 λ. 58). Αλ C θαη + + = 0, λα δείμεηε όηη : = 59). Οη κηγαδηθνί θαη w ζπλδένληαη κε ηε ζρέζε w = ησλ εηθόλσλ ηνπ, αλ Re(w) = Im(w). ( ). Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν 60). Να βξείηε ηηο ηεηξαγσληθέο ξίδεο ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ : α) 3 4 β) ). Να δεηρζεί όηη λ λ = - ( ) όπνπ λ Ν *. 6). Να ιπζεί ε εμίζσζε = 0, C. 63). Αλ λ Ν, 999 λ 00 θαη 3 λ + =, λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ λ. 64). Να βξείηε ηηο ηηκέο ησλ x, y ( αλ νη κηγαδηθνί αξηζκνί = x + (y + 3) θαη w = x y ( + x) είλαη ζπδπγείο. 65). Αλ, w C θαη w 0, λα δείμεηε όηη α). Re w w w ww β). Im w w w w w. 66). Να πξνζδηνξίζεηε ηνλ α R, ώζηε ν αξηζκόο = ( ) ( ), λα είλαη πξαγκαηηθόο. 67). Γίλνληαη νη κηγαδηθνί,, 3. Αλ = ( + 3 ) + ( 3 + ) + 3 ( ) θαη W = ( 3 ) + ( 3 + ) + 3 ( ), λα απνδείμεηε όηη I θαη w Η. 68). Γηα θάζε κηγαδηθό λα δείμεηε όηη : α). ( + ) 0 β). ( ) 0.

6 69). Να απνδείμεηε όηη ν αξηζκόο w = R, 0. 70). Να βξείηε ηνπο α, β, γ R, ώζηε λα είλαη ζπδπγείο νη κηγαδηθνί = 4 θαη w = 3 + 7). Αλ α + β = (3 + ) 0, α, β R,λα απνδείμεηε όηη : α + β = ). Να βξείηε ησλ γεσκεηξηθό ηόπσλ ησλ εηθόλσλ Μ() ησλ κηγαδηθώλ, όηαλ : Re 4 3 = 0 θαη 3. 73). Αλ C *, λα δείμεηε όηη νη εηθόλεο ησλ, ζην κηγαδηθό επίπεδν είλαη ζπλεπζεηαθά ζεκεία. 74). Αλ είλαη 4, λα δείμεηε όηη ε εηθόλα ηνπ ζην κηγαδηθό επίπεδν θηλείηαη ζε θύθιν ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα. 75). Αλ γηα ηνπο κηγαδηθνύο = α + β w = x + y, ηζρύεη α + β = x + y = λα δείμεηε όηη ν αξηζκόο u = w w 004 είλαη πξαγκαηηθόο. 76). Γίλεηαη ε εμίζσζε α + β + γ = 0, κε α, β C, γ R θαη β = 0. Να απνδεηρζεί όηη νη εηθόλεο ησλ ξηδώλ ηεο παξαπάλσ εμίζσζεο βξίζθνληαη ζε κηα επζεία. 77). Αλ ε εηθόλα ηνπ Μ ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ 0 θηλείηαη ζηνλ θύθιν (C) : x + y =,λα δείμεηε όηη ε εηθόλα Ν ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ w = θηλείηαη ζηνλ ίδην θύθιν. 78). Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ Μ() γηα ηνπο νπνίνπο ν αξηζκόο w = είλαη πξαγκαηηθόο. 79). Αλ ε εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ θηλείηαη ζηνλ θύθιν ( C ) : x + y = 4,λα δείμεηε όηη : ε εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ w = + 4 θηλείηαη επίζεο ζε θύθιν. 80). Να ιπζεί ε εμίζσζε + + = 0, όπνπ C. 8). Να ιπζνύλ ζην C νη αληζώζεηο : α) β) ). Να βξείηε πόζεο δηαθνξεηηθέο ηηκέο κπνξεί λα πάξεη ε παξάζηαζε : Α = 3 λ -3 λ + 5, αλ λ Ν.

7 83). Έζησ ν κηγαδηθόο γηα ηνλ νπνίν ηζρύεη : = 004. Nα απνδείμεηε όηη : α). 00 = 00 =. (Τπόδεημε: Να πάξεηε ηα ζπδπγή ησλ δύν κειώλ) β). = γ), αξηζκόο w = είλαη θαληαζηηθόο. 94). Έζησ ην ηξηώλπκν Ρ() =α + β + γ, κε α 0, δηαθξίλνπζα Γ 0 θαη α, β, γ R,ελώ ν C. Αλ, ιύζεηο ηεο Ρ() = 0 : α). Να δείμεηε όηη + R. β).να δείμεηε όηη λ + λ κε λ Ν * είλαη πξαγκαηηθόο αξηζκόο. γ). Αλ Α( ), Β( ) νη εηθόλεο ησλ, αληίζηνηρα λα δείμεηε όηη : d(α, Β) =. δ). Αλ Γ( + ) ε εηθόλα ηνπ + ηόηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη : Δ (ΑΒΓ) = 4. ( ) ( ) 95). Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f() =, κε C θαη Re() 0. α). Nα δείμεηε όηη f = f(). β). Να βξείηε ην είδνο ηεο θακπύιεο ζηελ νπνία αλήθνπλ ηα ζεκεία Μ(x, y) γηα ηα νπνία νη κηγαδηθνί αξηζκνί = α x + β y, κε α, β, x, y R θαη α β x 0 ηθαλνπνηνύλ ηε ζρέζε Re[f()] = 0. 96). Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ πνπ είλαη εηθόλεο ησλ ξηδώλ ηεο εμίζσζεο, = 97). Γίλνληαη νη κηγαδηθνί θαη w πνπ ζπλδένληαη κε ηε ζρέζε w.να απνδείμεηε όηη Im() > 0 Im(w) 0. 98). Να δεηρζεί όηη ( 3+ 4 ) 4 λ + ( ) 4 λ R, γηα θάζε λ N *. 99). Να δείμεηε όηη νη εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ =, ι R αλήθνπλ ζε έλαλ νξηζκέλν ι θύθιν. 00). Αλ ηζρύεη = 0, λα δείμεηε όηη + R (Τπ.Ν.δ.ν: = ) 0). Aλ 3, λα βξείηε ηηο γσλίεο ηνπ ηξηγώλνπ κε θνξπθέο ηα ζεκεία Ο(0, 0), Α( ) θαη Β( ). (Τπ. Να ζεσξήζεηε άγλσζην ην ) 0). Αλ, είλαη ξίδεο ηεο εμίζσζεο x + x + = 0, λα βξείηε θάζε λ N *, ώζηε λ + λ = 0.

8 03). Έλα θηλεηό θηλείηαη ζην κηγαδηθό επίπεδν, ώζηε ηελ ηπραία ρξνληθή ζηηγκή t 0 λα βξίζθεηαη ζην ζεκείν πνπ είλαη εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ = t + (t 3) : α). Να δείμεηε όηη ην θηλεηό θηλείηαη πάλσ ζε κηα νξηζκέλε επζεία. β). Να βξείηε ηε ρξνληθή ζηηγκή πνπ ην θηλεηό απέρεη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ ηε κηθξόηεξε απόζηαζε. 04). Θεσξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο, w θαη w ηέηνηνπο ώζηε w = θαη w =, α R *. Να απνδείμεηε όηη, ην α κεηαβάιιεηαη ζην R * θαη ηζρύεη w = w ηόηε ε εηθόλα Ρ ηνπ ζην κηγαδηθό επίπεδν θηλείηαη ζε κηα ππεξβνιή. 04). Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f() = ( ), λ N *. α). Να απνδείμεηε όηη: f = f(). β). Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ λ νξίδεηαη ην f(). γ). Να δείμεηε όηη ην f() είλαη πξαγκαηηθόο γηα θάζε επηηξεπηό λ. 05). Γίλεηαη ην πνιπώλπκν Ρ() = Να δείμεηε όηη ππάξρεη πνιπώλπκν w(), κε πξαγκαηηθνύο ζπληειεζηέο ώζηε: Ρ() = ( + ) w(). Μέτπο μιγαδικού απιθμού ). Να βξεζεί ην κέηξν ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ: , = ( ) 5 = ( ) ( ) = 5 7 = x x x x ). Αλ α + β = (3 + ) ( 3 ), λα βξεζεί ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο α + β. 3). α).αλ + α = + β µε α β λα δεηρηεί όηη = (α + β). β). Αλ γηα ηνλ κηγαδηθό ηζρύεη 8 + = ( 3 6), λα βξείηε ην. 4). α). Βξείηε ην κέηξν ηνπ = 3, λ Ν. β). Έζησ νη κηγαδηθνί αξηζκνί = 3, θαη w = ( + ). Να ππνινγίζεηε ηνπο, w, w, 3 w 5.

9 5). Να ραξαθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο πνπ αθνινπζνύλ, γξάθνληαο ζην ηεηξάδηό ζαο ηελ έλδεημε σζηό () ή Λάζνο (Λ) δίπια ζην γξάκκα πνπ αληηζηνηρεί ζε θάζε πξόηαζε. Γηα θάζε κηγαδηθό αξηζκό ηζρύεη ). ). ). ( ) v). ( ) ( ) v).. 6). Αλ ε εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ αλήθεη ζηνλ θύθιν κε θέληξν Ο(0, 0) θαη αθηίλα ξ =. Nα δείμεηε όηη ην ίδην ηζρύεη θαη γηα ηελ εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ w =, ι R. 7). α). Να βξεζνύλ νη κηγαδηθνί αξηζκνί, w γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη w θαη + w + = w. β). Αλ, w C θαη ι R κε w λ.δ.ν: w w w w. 8). α). Αλ α R θαη = λα δείμεηε όηη =. β). Αλ ι R θαη R, λα βξείηε ην κέηξν ηνπ κηγαδηθνύ w = ). Να δεηρζνύλ νη ζρέζεηο: α). β). γ). Να δεηρζεί όηη 0 δ). Να απνδείμεηε :. 0). Να δεηρηεί όηη: α). 8 = = 4. β). 0 = 3 = 3 γ). 7 = + 7 = δ). 5 = 5 = ε) = 8 + = 8 ζη) 9 = 3 = 3. ). Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο: α). 3 > + β). 6 > + 5. ). Να βξεζνύλ νη κηγαδηθνί αξηζκνί, ώζηε: + 5 = ). Αλ = λα δεηρηεί όηη =. 4). Βξείηε ηνλ κηγαδηθό, γηα ηνλ νπνίν ηζρύεη: ). = = ). = =

10 5). Αλ, C θαη < θαη <, δείμηε όηη: <. 6). Αλ = =, ηόηε λα απνδεηρηεί όηη ν αξηζκόο = είλαη πξαγκαηηθόο. µε + 0 7). Αλ σ + = σ λα δεηρζεί όηη ν σ είλαη πξαγκαηηθόο. 8). Αλ = ( ) λα δεηρζεί όηη ν σ = είλαη θαληαζηηθόο. 9). Αλ =, λα δεηρζεί όηη ν σ = 0). Αλ + = λα δεηρζεί όηη ν αξηζκόο είλαη θαληαζηηθόο. είλαη θαληαζηηθόο. ). Αλ = 0 θαη + = 0 λα δείμεηε όηη = 0. ). Να δείμεηε όηη: α). = Re( ). β). Re 3). Αλ = = ηόηε ηζρύεη: + + = = 0 4). Αλ = 6 θαη = λα βξείηε ηελ κεγαιύηεξε θαη ηελ κηθξόηεξε ηηκή ηνπ +. 5). Αλ = α + β µε α, β R θαη ηζρύεη λα βξεζεί ε κέγηζηε θαη ε ειάρηζηε ηηκή ηνπ 3. 6). ). Αλ = 0 θαη = 0 ηόηε = = 3. ). Αλ = ηόηε νη εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ,, 3 ζην κηγαδηθό επίπεδν είλαη θνξπθέο ηζόπιεπξνπ ηξηγώλνπ. 7). Αλ α, λα ιπζεί ε εμίζσζε: + α + + = 0. 8). Αλ = = 3 = θαη =, λα απνδείμεηε όηη: 9). Γείμηε όηη: α). αλ : > 0 ηόηε + = +. β). αλ : < 0 ηόηε + = γ). αλ : > 0 ηόηε = δ). αλ : < 0 ηόηε = + 3 =

11 30). Αλ + + = 0 = + =. 3). Να ιπζεί ην ζύζηεκα: 3 3). Να δεηρηεί όηη 33). Να δεηρηεί όηη w + + w = w +. 34). Αλ θαη είλαη δύν κηγαδηθνί µε = =, = + + α + θαη = α, α R λα απνδείμεηε όηη ). = ). = 35). Αλ Re. 36). Αλ = = + = 3. 37). Αλ, C, ι > 0 ηόηε: + < ( +ι) +. 38). Γίλεηαη ν κηγαδηθόο θαη έζησ f() = α). Nα δείμεηε όηη : f( ) f ( ). β). Αλ θαη Μ είλαη ε εηθόλα ηνπ f() ζην κηγαδηθό επίπεδν, Να δείμεηε όηη : ην Μ αλήθεη ζε επζεία ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζσζε. 39). Αλ α, β Ε, λα δείμεηε όηη : ν κηγαδηθόο = α β + α β, έρεη κέηξν θπζηθό αξηζκό. 40). Αλ, w C θαη = w, λα δείμεηε όηη : ν αξηζκόο w = είλαη πξαγκαηηθόο. 4). Να ιπζεί ε εμίζσζε + = 0. 4). Να απνδεηρζεί όηη γηα θάζε κηγαδηθό αξηζκό ηζρύεη όηη : Re( ) Im( ) 43). Αλ είλαη = θαη, λα απνδείμεηε όηη: < 3. 44). Να ιπζεί ε εμίζσζε : = 0. 45). Να ιπζεί ε εμίζσζε : 4 α + + α = 0, (α 0). 46). Να ιπζεί ε εμίζσζε : + ι ( + ) = 0 αλ ι R.

12 47). Να ιπζεί ε εμίζσζε: 3 + α = 0, α R +. 48). Να ιπζεί ζην C ε εμίζσζε + = +. 49). Να βξείηε ην κηγαδηθό αξηζκό γηα ηνλ νπνίν ηζρύεη ε ζρέζε = =. 50). Αλ, w C θαη =, w = 3 θαη + w = 4, λα βξείηε ην w. 5). Αλ = λα βξείηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο Α = ). Να δείμεηε όηη ν αξηζκόο w =, όπνπ C*, είλαη πξαγκαηηθόο. 53). Αλ είλαη w = +, µε C*, λα δείμεηε όηη, w R = ή R. 54). Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ηνπ C γηα ηνλ νπνίν ηζρύεη : α) β). + 5 γ). + 3 δ). > ε) ). Αλ = 3 4 θαη w =, λα βξείηε ηε κηθξόηεξε θαη ηε κεγαιύηεξε ηηκή ηεο παξάζηαζεο ). + w ). w. 56). Αλ ε εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ αλήθεη ζηνλ θύθιν µε θέληξν Ο(0, 0) θαη αθηίλα ξ =, λα δείμεηε όηη ην ίδην ηζρύεη θαη γηα ηελ εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ w = ). Πνηνο από ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο πνπ ηθαλνπνηνύλ ηε ζρέζε + =, έρεη ην ειάρηζην θαη πνηνο ην κέγηζην δπλαηό κέηξν ; 58). Πνηνο από ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο πνπ ηθαλνπνηνύλ ηε ζρέζε = + έρεη ην ειάρηζην δπλαηό κέηξν; 59). Γίλεηαη ην ηξηώλπκν f(x) = x + x + ( + ) ( + ), µε,, x R. Να απνδείμεηε όηη f(x) 0, γηα θάζε x R. 60). Έζησ α, β C κε α β θαη. Να δείμεηε όηη ν αξηζκόο w = Δίλαη πξαγκαηηθόο.

13 6). Αλ C, θαη, λα δείμεηε όηη 3 = θαη αληίζηξνθα. 6). Αλ α, β C, ι R θαη, λα δείμεηε όηη νη αξηζκνί = α + β + ι α β + θαη w = α + β + α β + ι, έρνπλ ίζα κέηξα. 63). Αλ, w C κε w Αλ,w C λα δείμεηε όηη ν αξηζκόο w = πξαγκαηηθόο ελώ ν αξηζκόο w = ( w) ( w) είλαη θαληαζηηθόο. ( w) ( w) είλαη 64). Γίλνληαη νη κηγαδηθνί α, β, γ ησλ νπνίσλ νη εηθόλεο βξίζθνληαη ζηνλ θύθιν κε εμίζσζε x + y ( ) ( ) ( ) =. Να δεηρζεί όηη Im 0. 65). Αλ, w C θαη w w λα δείμεηε όηη : w 3. 66). Αλ, w C, λα δείμεηε όηη :: w w w w. 67). Αλ, w C, λα δείμεηε όηη :: w w w. 68). Να ππνινγηζηεί ην κέηξν ηνπ αλ ηζρύεη : ). Αλ,w C κε κέηξν κηθξόηεξν ηνπ, λα δείμεηε όηη : w w. 70). Αλ γηα ηνλ κηγαδηθό ηζρύεη 3 9, λα δεηρζεί όηη 3. 7). Αλ C, λα απνδείμεηε ηελ ηζνδπλακία : R. (Γώζηε κηα γεσκεηξηθή εξκελεία ηεο ηζνδπλακίαο.). 7). Αλ, w C {} θαη,, 3,.. λ C {} λα δείμεηε όηη : α). Im( ) 0. (... ) β). αλ ηζρύεη ε ζρέζε:..., λα δείμεηε όηη : (... ) λ. 73). Να παξαζηήζεηε ζην κηγαδηθό επίπεδν ηνπο κηγαδηθνύο γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη : α). 3 β). 3 γ). 5 5 δ).. 74). Να πξνζδηνξίζεηε ζην κηγαδηθό επίπεδν ην ρσξίν ζην νπνίν ηθαλνπνηνύληαη ηα ζπζηήκαηα ησλ Αληζνηήησλ : α). β). Re( )

14 75). Να ιπζεί ην ζύζηεκα : { 3 }. 76). Να απνδείμεηε όηη γηα ηνλ κηγαδηθό αξηζκό ηζρύεη, α, β R θαη α β αλ θαη κόλνλ αλ Im() =. Να εξκελεύζεηε γεσκεηξηθά ηελ παξαπάλσ πξόηαζε. 77). Αλ γηα ηνλ κηγαδηθό αξηζκό ηζρύεη 3,,λα ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο Α = 3 3. Να δνζεί γεσκεηξηθή εξκελεία όηαλ 3. w w 78). Αλ,w C, λα απνδείμεηε ηελ ηαπηόηεηα w () Πνηα γεσκεηξηθή πξόηαζε εθθξάδεη ε () ; 79). Έζησ = 5 θαη έλαο κηγαδηθόο κε. α). Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ε παξάζηαζε γίλεηαη ). κέγηζηε ). ειάρηζηε. β). Να εξκελεύζεηε γεσκεηξηθά ηα παξαπάλσ απνηειέζκαηα. 80). Να βξείηε ηνλ γ.η. ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη : ) ) ) v). 4 8 v). 4 5 v) ). Να βξείηε ηνλ γ.η. ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ πνπ ηθαλνπνηνύλ ηε ζρέζε : (). Από ηνπο κηγαδηθνύο πνπ ηθαλνπνηνύλ ηελ (), πνηνο έρεη ην κηθξόηεξν κέηξν ; 8). Από ηνπο κηγαδηθνύο πνπ ηθαλνπνηνύλ ηε ζρέζε 3 0, λα βξεζνύλ εθείλνη νη νπνίνη Έρνπλ : α). Σν ειάρηζην κέηξν. β). Σν κέγηζην κέηξν. 84). Γίλεηαη ν κηγαδηθόο = ( x 3) + ( y ). κε x, y R. Αλ 3 3, λα δείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ Μ(x, y) είλαη θύθινο. ηε ζπλέρεηα λα πξνζδηνξίζεηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ θέληξνπ ηνπ παξαπάλσ θύθινπ θαη ηελ αθηίλα ηνπ. 85). Έζησ,, 3, 4 C θαη Μ, Μ, Μ 3, Μ 4 νη εηθόλεο ηνπο αληηζηνίρσο ζην κηγαδηθό επίπεδν. 86). α). Να δείμεηε όηη : Μ Μ // Μ 3 Μ β). Να δείμεηε όηη : Μ Μ Μ 3 Μ R. I. γ). Να δείμεηε όηη : Μ, Μ, Μ 3 ζπλεπζεηαθά όηαλ Im 3 = 0.

15 87). Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ,, +, ησλ νπνίσλ νη εηθόλεο ηνπο αληηζηνίρσο ζην κηγαδηθό επίπεδν είλαη ζπλεπζεηαθά ζεκεία. 88). Να βξείηε ηνλ γ.η. ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ πνπ ηθαλνπνηνύλ ηε ζρέζε: 4. 89). Αλ γηα ηνπο κηγαδηθνύο, ηζρύνπλ 4 θαη 4, λα δείμεηε όηη. 90). Αλ = 9, θαη w = 4, λα δείμεηε όηη : w 9. 9). Αλ 5. λα δείμεηε όηη : 6. 9). Αλ, C λα δείμεηε όηη :. 93). Γίλεηαη ν κηγαδηθόο κε. λα δείμεηε όηη : ). Αλ C, κε 3. λα δείμεηε όηη : (ζ R). 95). Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο: 5 9 =, C. 3 =, C. 96). Αλ ε εμίζσζε ( ) λ = w ( + ) λ κε άγλσζην ηνλ, λ Ν *, έρεη πξαγκαηηθή ξίδα, λα δεηρζεί όηη : w =. 97). Να εμεηάζεηε αλ ε εμίζσζε ( + ) λ = 3 3, έρεη πξαγκαηηθή ξίδα. 98). Να δεηρζεί όηη ε εμίζσζε (-ι) λ = κε ι R θαη λ Ν * δελ έρεη ιύζε. 99). Έζησ = α + β, α, β R. Γίλεηαη αθόκα όηη ε εμίζσζε ηνλ w, έρεη ηνπιάρηζηνλ κηα πξαγκαηηθή ξίδα. α). Να δεηρζεί όηη : =. β). Όιεο νη ξίδεο ηεο () είλαη πξαγκαηηθέο. w w = (), κε άγλσζην 00). Έζησ α, β, γ, δ, x, y R *. Αλ α + β = (x + y ) 00 θαη γ + δ = (y + x ) 000, λα δεηρζεί όηη : = x + y. 0). Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε ηύπν f(x) = Ηζρύεη : f x f y x y. x, α R. Να δεηρζεί όηη : γηα θάζε x, y R

16 ΑΛΥΤΔΣ ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΜΙΓΑΓΙΚΟΙ ΟΜΑΓΑ Β ). Γίλνληαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη ε ζρέζε : = + Re() θαη ε ζπλάξηεζε f κε f() =. α). Να δείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο κεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ είλαη ε παξαβνιή κε εμίζσζε: y = 4 x. β). Να βξείηε ηνπο κηγαδηθνύο πνπ ηθαλνπνηνύλ ηελ ζρέζε () θαη γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη f() = 4 +. γ). Να βξείηε ηνπο κηγαδηθνύο πνπ ηθαλνπνηνύλ ηελ ζρέζε () θαη γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη f() = 3. ). Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε f() =, όπνπ = x + y, κε x, y πξαγκαηηθνύο θαη 0. α). Να γξαθεί ν κηγαδηθόο ζηε κνξθή α + β. β). Να απνδεηρζεί ε ηζνδπλακία : f() πξαγκαηηθόο πξαγκαηηθόο γ). Αλ ηζρύεη f() f( ) =, λα δεηρζεί όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ηνπ είλαη θύθινο θέληξνπ Κ(, 0) θαη αθηίλαο R =. δ). Γηα ηνπο κηγαδηθνύο ηνπ πξνεγνύκελνπ εξσηήκαηνο λα βξείηε ηε κέγηζηε θαη ειάρηζηε ηηκή ηνπ κέηξνπ f(). 3). Γίλεηαη ν κηγαδηθόο 0 θαη ε ζπλάξηεζε f : Ν* C κε f(λ) = ( λ ]). α). Να δείμεηε όηη γηα θάζε: λ Ν * ηζρύεη: f(λ) f(λ + ) f(λ + ) f(λ + 3) = 0. β). Aλ ηζρύεη f(3) = 3, λα δείμεηε όηη: = +. γ). Γηα ηνλ κηγαδηθό ηνπ πξνεγνύκελνπ εξσηήκαηνο λα ππνινγίζεηε ην κέηξν ηνπ κηγαδηθνύ w = f(λ + ) f(λ) δηαθνξεηηθό γηα θάζε λ Ν *. 4). Γίλνληαη νη κηγαδηθνί, w θαη u = w. α). Να απνδείμεηε όηη ν κηγαδηθόο είλαη θαληαζηηθόο αλ θαη κόλν αλ ηζρύεη =. β). Αλ γηα ηνπο, w ηζρύεη w w, λα δείμεηε όηη ν αξηζκόο u = w είλαη θαληαζηηθόο. γ). Αλ επηπιένλ δίδεηαη όηη w = +, λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ. 3 5). Γίδνληαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί θαη w =. 3 α). Αλ = x + y, x, y R λα γξάςεηε ηνλ w ζηελ κνξθή α + β. β). Να δείμεηε όηη αλ ν w είλαη πξαγκαηηθόο ηόηε ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ηνπ, είλαη ε επζεία y = x 3. γ). Να δείμεηε όηη αλ w =, ηόηε ε εηθόλα ηνπ, θηλείηαη ζε θύθιν, ηνπ νπνίνλ λα βξείηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα.

17 6). Αλ, είλαη κηγαδηθνί, γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη: 0, 0, θαη + =. α). Να δείμεηε όηη ν κηγαδηθόο w = είλαη θαληαζηηθόο. β). Να δείμεηε όηη. γ). Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ηνπ κηγαδηθνύ αλ = +. 7). Γίλνληαη νη κηγαδηθνί 0, w = θαη u =, ηέηνηνη ώζηε νη εηθόλεο ησλ θαη w λα ζρεκαηίδνπλ κε ηελ αξρή ησλ αμόλσλ Ο, νξζνγώλην ηξίγσλν ζην Ο. α). Να δείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ηνπ είλαη ή δηρνηόκνη ησλ αμόλσλ ρσξίο ην ζεκείν ηνκήο ηνπ. β). Να δείμεηε όηη ν u είλαη θαληαζηηθόο. γ). Αλ ηζρύεη, λα. βξείηε ην κέηξν ηνπ u. 8). Αλ C θαη ηζρύεη ( + ) 7 + ( ) ( 6 = 0, λα απνδείμεηε όηη : α). + = β). w = 4 R γ). u = ( + ) 3 I. 9). α). Να ιύζεηε ζην C ηελ εμίζσζε = 0. β). Να ζρεδηάζεηε ζην κηγαδηθό επίπεδν ην γεσκεηξηθό ηόπν ηεο εηθόλαο ηνπ = 4. C, αλ 0). Γίλεηαη ν κηγαδηθόο = x + y, όπνπ x, y R θαη x 0, y. Αλ =, ηόηε α). Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ηεο εηθόλαο ηνπ. β). Να πξνζδηνξίζεηε ηε κέγηζηε θαη ηελ ειάρηζηε ηηκή ηνπ θαη λα δώζεηε γεσκεηξηθή εξκελεία. ). Έζησ όηη γηα ην κηγαδηθό ηζρύεη Nα απνδείμεηε όηη: ). α). Να πξνζδηνξίζεηε γεσκεηξηθά ηε κέγηζηε θαη ηελ ειάρηζηε ηηκή ηνπ αλ 5. β). Αλ, είλαη κηγαδηθνί αξηζκνί ηόηε λα απνδείμεηε όηη : 0. 3). Γίλεηαη ν κηγαδηθόο θαη έζησ : f,. α). Να απνδείμεηε όηη ν αξηζκόο w = [f()] 004 είλαη πξαγκαηηθόο. f β).να απνδείμεηε όηη:. f γ). Αλ = θαη Μ είλαη ε εηθόλα ηνπ f() ζην κηγαδηθό επίπεδν, λα απνδείμεηε όηη ην Μ αλήθεη ζε επζεία, ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζσζε.

18 4). α). Αλ γηα ηνλ κηγαδηθό ηζρύνπλ + < θαη + <, λα δεηρζεί όηη. β).αλ, C κε 0, λα δείμεηε ηελ ηζνδπλακία: + = + C x 3 ). Γίλεηαη ν κηγαδηθόο αξηζκόο, x R. α). Να βξείηε ην x, ώζηε ν αξηζκόο λα είλαη θαληαζηηθόο. β). Αλ x = 6, λα απνδείμεηε όηη ν είλαη πξαγκαηηθόο αξηζκόο. γ). Αλ x = 4, λα βξείηε ην. ). Γίλεηαη ε εμίζσζε x 4 x + 3 = 0 () α). Να ιπζεί ζην ζύλνιν ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ ε εμίζσζε (). β). Αλ, νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο (), ηόηε λα ππνινγηζηεί ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο γ). Αλ = + 3, ηόηε λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη : 5. 3). Γίλεηαη ν κηγαδηθόο αξηζκόο =, κε α R. α). Nα απνδεηρζεί όηη ε εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ αλήθεη ζηνλ θύθιν κε θέληξν Ο(0, 0) θαη αθηίλα ξ =. β). Έζησ, νη κηγαδηθνί πνπ πξνθύπηνπλ από ηνλ ηύπν, γηα α = 0 θαη α = αληίζηνηρα. ). Να βξεζεί ε απόζηαζε ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ θαη. ). Να απνδεηρζεί όηη ηζρύεη :, γηα θάζε θπζηθό αξηζκό λ. 4). Έζησ νη κηγαδηθνί αξηζκνί, πνπ ηθαλνπνηνύλ ηελ ηζόηεηα (4 ) 0 = 0 Να απνδείμεηε όηη νη εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ αλήθνπλ ζηελ επζεία x =. 5). Γίλνληαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί,, 3 κε α). Γείμηε όηη:. β). Γείμηε όηη ν αξηζκόο είλαη πξαγκαηηθόο. γ). Γείμηε όηη: ). α). Αλ, είλαη κηγαδηθνί αξηζκνί γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη + = θαη = 5 + 5, λα βξείηε ηνπο,. β). Αλ γηα ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο, w ηζρύνπλ 3 θαη w 3 : ). λα δείμεηε όηη ππάξρνπλ κνλαδηθνί κηγαδηθνί αξηζκνί, w έηζη, ώζηε = w θαη ). λα βξείηε ηε κέγηζηε ηηκή ηνπ w.

19 7). Γίλνληαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί = α + β, όπνπ α, β R θαη w = 3 + 4, όπνπ είλαη ν ζπδπγήο ηνπ. α). Nα απνδείμεηε όηη Re(w) = 3 α β + 4, Ηm(w) = 3β α. β). Να απνδείμεηε όηη, αλ νη εηθόλεο ηνπ w ζην κηγαδηθό επίπεδν θηλνύληαη ζηελ επζεία κε εμίζσζε y = x, ηόηε νη εηθόλεο ηνπ θηλνύληαη ζηελ επζεία κε εμίζσζε y = x. 8). Έζησ νη κηγαδηθνί αξηζκνί = x + y, όπνπ x, y πξαγκαηηθνί αξηζκνί θαη w = Να απνδείμεηε όηη : x x y α). w = x y x y. β). Αλ ν w είλαη πξαγκαηηθόο αξηζκόο, ηόηε ε εηθόλα ηνπ αλήθεη ζε θύθιν θέληξνπ Ο(0, 0) θαη αθηίλαο ξ = θαη γ). αλ ν είλαη πξαγκαηηθόο αξηζκόο, ηόηε ε εηθόλα ηνπ w αλήθεη ζε θύθιν θέληξνπ Ο(0, 0) θαη αθηίλαο ξ =. κε 9). α). Αλ = ηόηε 0 = Λ β). Έζησ w = α + β,ηόηε πνην από ηα παξαθάησ είλαη ιάζνο [Α]. w w [Β]. w [Γ]. w w [Γ]. w w γ). Tη παξηζηάλνπλ νη εμηζώζεηο : [Α]. 3 5 [Β] , όπνπ = x + y, κε x,y R. δ). Αλ θαη w 5 ). πνηα είλαη ε κέγηζηε ηηκή ηνπ w. [α]. 5, [β]. 3 [γ]. 7 [δ]. ). πνηα είλαη ε ειάρηζηε ηηκή ηνπ w [α]. 3 [β]. 3 [γ]. [δ]. 5 0). Να απνδείμεηε όηη νη εηθόλεο ησλ ξηδώλ ηεο εμίζσζεο ( + ) 0 ( 004) 008 = ( 3 ) 0 (-008-) 008 αλήθνπλ ζε επζεία θαη λα πξνζδηνξίζεηε ηελ εμίζσζε ηεο. ). Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f() = ). Γείμεηε όηη f( ), C. ).Αλ ηζρύεη ε ηζόηεηα f () f λα απνδείμεηε όηη Η. ).Λύζηε ηελ εμίζσζε: f() =. ). Γίλεηαη ν κηγαδηθόο = x + y,όπνπ x, y R. Αλ ε εηθόλα ηνπ αλήθεη ζηελ γξακκή (x ) + (y + ) = 0 ηόηε : ). Να βξείηε ηνπο κηγαδηθνύο Ε πνπ έρνπλ ην κέγηζην θαη ην ειάρηζην κέηξν. ).Σελ εμίζσζε ηεο γξακκήο ζηελ νπνία θηλείηαη ε εηθόλα ηνπ w C,όηαλ w = + 4.

20 ΓΔΝΙΚΔΣ ΑΣΚΗΣΔΙΣ ). Αλ σ = R, λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ Μ ηνπ αλ C,. ). Να βξεζνύλ ηα ζεκεία Μ() ηνπ κηγαδηθνύ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ν θαληαζηηθόο θαη. είλαη θαζαξά 3). Να βξεζνύλ ηα ζεκεία Μ() ηνπ κηγαδηθνύ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη: + + = 4. 4). ). Να απνδείμεηε ηελ ηζνδπλακία R. ). Αλ γηα ηνπο κηγαδηθνύο = x + y θαη = + y ηζρύεη + = Ε + λα απνδείμεηε όηη: Ε R +. 5). Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ αλ νη εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ,, βξίζθνληαη ζηελ ίδηα επζεία. 6). Αλ Ε = = ηόηε ν αξηζκόο είλαη πξαγκαηηθόο. 7). Γίλεηαη ε ζρέζε: ( + 5 ) p + q = Να βξείηε ηα p θαη w όηαλ: ). p θαη q είλαη πξαγκαηηθνί αξηζκνί. ). p θαη q είλαη κηγαδηθνί ζπδπγείο. 8). Έζησ νη κηγαδηθνί, + θαη Α, Β νη εηθόλεο ηνπο ζην κηγαδηθό επίπεδν. Να απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΟΑΒ είλαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο, όπνπ Ο είλαη ε αξρή ησλ αμόλσλ. 9). α). Να ιύζεηε ζην C ηελ εμίζσζε: = 0 (Δ) β). Αλ Ο, Α, Β, Γ είλαη νη εηθόλεο ησλ ιύζεσλ ηεο (Δ) ζην κηγαδηθό επίπεδν λα απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη ηζόπιεπξν (ε κεδεληθή ξίδα αληηζηνηρεί ζην Ο). 0). Θεσξνύκε ηνλ κηγαδηθό θαη έζησ Μ ε εηθόλα ζην κηγαδηθό επίπεδν. Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ηνπ Μ όηαλ ). 3 0 ) ). Γηα θάζε κηγαδηθό = x + y ( ), ζεσξνύκε ην κηγαδηθό w ). Να βξείηε, ζε ζπλάξηεζε ησλ x, y ηνπο Re(w) θαη Im(w). ). Αλ Μ(x, y) είλαη ε εηθόλα ηνπ, σο πξνο έλα νξζνθαλνληθό ζύζηεκα αλαθνξάο Οxy, λα βξείηε ην ζύλνιν ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ επηπέδνπ όηαλ: Ο w είλαη έλαο αξηζκόο πξαγκαηηθόο. Ο w είλαη έλαο θαληαζηηθόο αξηζκόο. ). Να απνδείμεηε όηη: αλ = ηόηε = θαη w =.

21 ). Έζησ = x + y (x, y R) θαη Μ ε εηθόλα ηνπ ζην κηγαδηθό επίπεδν. ). Να βξείηε ην γεσκ. ηόπν ηνπ Μ αλ ην κέηξν ηνπ κηγαδηθνύ ηνπ, ( C * ). ). Όκνηα λα βξείηε ην γ.η. ηνπ Μ αλ ν w = ( C * ). είλαη ίζν κε ην κέηξν είλαη πξαγκαηηθόο αξηζκόο 3). Έζησ Ρ ε εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ = x + y θαη Q ε εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ. Να δείμεηε όηη αλ Ρ θηλείηαη ζε θύθιν κε εμίζσζε = ηόηε ην Q θηλείηαη ζε έιιεηςε ηεο νπνίαο λα γξάςεηε ηελ εμίζσζε. 4). Έζησ α πξαγκαηηθόο αξηζκόο κε α (0, ). Να πξνζδηνξίζεηε ην ζύλνιν ησλ εηθόλσλ ηνπ κηγαδηθνύ αλ ν κηγαδηθόο w = R,. 5). ). Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε, C, + + = +. ). Αλ,, 3 είλαη κηγαδηθνί αξηζκνί, µε = 0 θαη = = 3 =, ηόηε νη εηθόλεο ηνπο ζην κηγαδηθό επίπεδν είλαη θνξπθέο ηζνπιεύξνπ ηξηγώλνπ. 6). Να πξνζδηνξίζεηε ην ζύλνιν ησλ εηθόλσλ M ησλ κηγαδηθώλ, όηαλ νη εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ, θαη + βξίζθνληαη ζηελ ίδηα επζεία. 7). ). Αλ = 3 + 4, θαη = 3 λα βξείηε ηε κεγαιύηεξε ηηµή ηνπ +. ). ηελ πεξίπησζε πνπ ην + έρεη ηε κεγαιύηεξε ηηκή θαη επηπιένλ έρνπκε ηνλ αξηζκό ζην πξώην ηεηαξηεκόξην, λα βξείηε ην κηγαδηθό. 8). Αλ γηα ην κηγαδηθό ηζρύνπλ: + = = 5, λα βξεζεί ην κέηξν ηνπ θαη 4. 9). Θεσξνύκε ηελ εμίζσζε: ( ζπλ( α)) + ζπλ( α) = 0 (Δ) ). Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε α (0, π/) ε εμίζσζε (Δ) δελ έρεη ξίδεο πξαγκαηηθέο. ). Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε θαη λα βξείηε ηα κέηξα ησλ αληίζηνηρσλ ξηδώλ. (α (0, π/)). 0). ). Να ιύζεηε ζην C ηελ εμίζσζε: εµθ + εθ θ = 0 (Δ) π/ < θ < π/ ζηε ζπλέρεηα λα βξείηε ην κέηξν ησλ ξηδώλ. ). Να ιύζεηε ζην C ηελ εμίζσζε: εµθ + εθ θ = 0, θ (0,π/). ). α). Να απνδείμεηε όηη γηα νπνηνπζδήπνηε κηγαδηθνύο αξηζκνύο, ηζρύεη + =, αλ θαη κόλνλ αλ Re( ) = 0. β). Έζησ µηα ζπλάξηεζε f:[α, β] R ζπλερήο ζην [α, β] θαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί = α + f(α), w = f(β) + β µε α β 0. Αλ w + = w λα απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε f(x) έρεη µία ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην δηάζηεκα [α, β]. (Γελ. Δμεηάζεηο 995)

22 ). εκείν Μ(x, y) δηαγξάθεη θύθιν µε θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη αθηίλα. Να βξεζεί: α). Ζ ειάρηζηε θαη ε κέγηζηε ηηκή ηνπ κέηξνπ ηνπ κηγαδηθνύ = (x + 3) + (y 4). β). Ο κηγαδηθόο µε ην ειάρηζην θαη ην κέγηζην κέηξν αληηζηνίρσο. 3). α). Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο (C ) ησλ εηθόλσλ ηνπ, όπνπ ν = x + y ηθαλνπνηεί ηε ζρέζε β). Αλ ν αξηζκόο είλαη θαληαζηηθόο, λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο (C ) ησλ εηθόλσλ ηνπ. γ). Αλ f(x) είλαη ην δηάγξακκα ηνπ C θαη g(x) ην δηάγξακκα ηνπ C λα ππνινγηζηεί ην f x g x dx. 0 4). Θεσξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο = x + y µε = r όπνπ 0 < r < πνπ νη εηθόλεο ηνπ αλήθνπλ ζηνλ θύθιν C. α). Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηόκελσλ ε, ε ηνπ θύθινπ C πνπ δηέξρνληαη από ην ζεκείν Α(, 0). β). Αλ σ είλαη ε γσλία ησλ εθαπηόκελσλ ε, ε θαη ε αθηίλα r ηνπ θύθινπ κεηαβάιιεηαη µε ξπζκό dr = 0,5 cm/sec λα βξείηε ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο γσλίαο σ, ηε ρξνληθή ζηηγκή t 0 πνπ ε αθηίλα είλαη r = cm.