Partition of weighted sets (problems with numbers)
|
|
- Καλλιστράτης Ζωγράφος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 TOPICS IN ALGORITHMS Spring 27 I. ΜILIS Partition of weighted sets (problems with numbers) AUEB / DoI / TOPICS IN ALGORITHMS / Spring 27 / I. MILIS / 6 - PARTITIONS
2 Weighted set problems SUBSET SUM I: objects S={,,n}, positive integer weights w i, i=,,n, positive integer W Q: is there A Í S s.t. = W? PARTITION I: objects S={,,n}, positive integer weights w i, i=,,n Q: is there A Í S s.t? - KNAPSACK I: objects S={,,n}, positive integer weights w i, i=,,n, values v i, i=,,n, positive integer W å Q: find A Í S s.t. w W and is maximized. i iîa AUEB / DoI / TOPICS IN ALGORITHMS / Spring 27 / I. MILIS / 6 - PARTITIONS 2
3 BIN PACKING Weighted set problems I: objects S={,,n}, positive integer weights w i, i=,,n, positive integer W Q: find a partition of S into s.t. and m is minimized å iî A j wi W, j =,2,..., m SCHEDULING (P C max ) I: objects S={,,n}, positive integer weights w i, i=,,n, positive integer m Q: find a partition of S into s.t. is minimized AUEB / DoI / TOPICS IN ALGORITHMS / Spring 27 / I. MILIS / 6 - PARTITIONS 3
4 Tree of reductions (partial) Cook s Th. " Π Î NP SAT 3-SAT MAX 2-SAT CLIQUE / IS / VC HP / HC 3-DM 3- GC TSP / Δ -TSP ZOE SUBSET SUM PARTITION - KNAPSACK SCHEDULING BIN PACKING Polynomial Γενίκευση του Π Πρόβλημα Π Ειδική περίπτωση του Π NP -complete ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 26 - Ι. ΜΗΛΗΣ 6 NP-COMPLETENESS II 4
5 Matching problems Matching in a graph G=(V,E): A subset M ÍE of edges s.t. no two edges in M have a vertex in common. MATCHING INSTANCE: A graph G=(V,E) QUESTION: Find a maximal/maximum/perfect matching in G Maximal: it is not a subset of another matching, i.e. it can not be extended Maximum: a matching of maximum cardinality, M, i.e. a maximum maximal matching Perfect: a matching of cardinality M =n/2 (it is defined only for graphs with even # of vertices) All matching problems are polynomial, even their weighted versions ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 26 - Ι. ΜΗΛΗΣ 6 NP-COMPLETENESS II 5
6 Matching problems PERFECT BIPARTITE MATCHING INSTANCE: Bipartite graph B=(B, G, E), with B = G =m, edges E Í B G QUESTION: Is there a subset of edges M Í Ε with M = m such that for each pair (b,g), (b',g') Î M it holds that b¹b', g¹g'? All bipartite matching problems are polynomial ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 26 - Ι. ΜΗΛΗΣ 6 NP-COMPLETENESS II 6
7 Matching problems A generalization of Bipartite matching: 3-DIMENSIONAL MATCHING (3-DM) INSTANCE: Sets B, G, P, with B = G = P =m, a set of triples T Í B G P (i.e. a tripartite graph) QUESTION: Is there a subset M Í T with M = m such that for each pair (b,g,p), (b',g',p') Î M it holds that b¹b', g¹g', p¹p'? 3-DM is NP-complete ( 3-SAT p 3-DM ) ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 26 - Ι. ΜΗΛΗΣ 6 NP-COMPLETENESS II 7
8 Zero-One Equations (ZOE) η διατύπωση ΕΙΣΟΔΟΣ: Σύστημα m εξισώσεων όπου α ij Î {,}, i m, j n ΕΡΩΤΗΣΗ: Υπάρχει λύση του συστήματος x,x 2,..., x n τ.ω. x i Î {,}, j n ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 26 - Ι. ΜΗΛΗΣ 6 NP-COMPLETENESS II = = = n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a!!!!
9 Zero-One Equations (ZOE) 2 η διατύπωση ΕΙΣΟΔΟΣ: - πίνακας Α διαστάσεων m x n ΕΡΩΤΗΣΗ: Υπάρχει - διάνυσμα x = [x,x 2,..., x n ] τ.ω. Α x= ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 26 - Ι. ΜΗΛΗΣ 6 NP-COMPLETENESS II 9 û ù ë é = û ù ë é û ù ë é x x x x x
10 Zero-One Equations (ZOE) 3 η διατύπωση ΕΙΣΟΔΟΣ: - πίνακας Α διαστάσεων m x n ΕΡΩΤΗΣΗ: Υπάρχει υποσύνολο στηλών του Α που αν προστεθούν μεταξύ τους δίνουν σε όλες τις γραμμές ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 26 - Ι. ΜΗΛΗΣ 6 NP-COMPLETENESS II û ù ë é
11 3-DM p ZOE ZOE is NP-complete 3-DM: m αγόρια, m κορίτσια, m κατοικίδια, και n τριάδες Κατασκευάζουμε πίνακα Α με: 3m γραμμές (μία για κάθε αγόρι, κορίτσι, κατοικίδιο) n στήλες (μία για κάθε τριάδα) Κάθε στήλη/τριάδα έχει : - τρία στοιχεία (στις γραμμές αυτά που αντιστοιχούν στο αγόρι, κορίτσι, κατοικίδιο της τριάδας) - όλα τα άλλα στοιχεία Ένα 3-DM αντιστοιχεί σε m στήλες/τριάδες του πίνακα Α που αν προστεθούν μεταξύ τους δίνουν σε όλες τις γραμμές (οι γραμμές του Α είναι 3m και κάθε στήλη έχει τρία, άρα πρέπει να επιλεγούν m στήλες για να πάρουμε από την πρόσθεσή τους σε όλες τις γραμμές) ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 26 - Ι. ΜΗΛΗΣ 6 NP-COMPLETENESS II
12 3-DM p ZOE ZOE is NP-complete - παράδειγμα 5 τριάδες Al Bob Chet Alice Beatrice Carol Armadillo Bobcat Canary To 3-DM έχει απάντηση ΝΑΙ εάνν το ΖΟΕ έχει απάντηση ΝΑΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 26 - Ι. ΜΗΛΗΣ 6 NP-COMPLETENESS II 2
13 Tree of reductions (partial) Cook s Th. " Π Î NP SAT 3-SAT MAX 2-SAT CLIQUE / IS / VC HP / HC 3-DM 3- GC TSP / Δ -TSP ZOE SUBSET SUM PARTITION - KNAPSACK SCHEDULING BIN PACKING Polynomial Γενίκευση του Π Πρόβλημα Π Ειδική περίπτωση του Π NP -complete ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 26 - Ι. ΜΗΛΗΣ 6 NP-COMPLETENESS II 3
14 Problems with numbers SUBSET SUM I: items S={,,n}, integer weights w i >, i=,,n, integer W> Q: is there A Í S s.t. = W? PARTITION I: items S={,,n}, integer weights w i >, i=,,n Q: is there A Í S s.t? - KNAPSACK I: items S={,,n}, weights w i >, values v i >, i=,,n, W>, all integers å Q: find A Í S s.t. w W and is maximized iîa i ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 26 - Ι. ΜΗΛΗΣ 6 NP-COMPLETENESS II 4
15 SUBSET-SUM is NP-complete ZOE SUBSET SUM w, w 2,, w n W Υπάρχει υποσύνολο στηλών που αν προστεθούν μεταξύ τους, κάνουν σε όλες τις γραμμές? Υπάρχει υποσύνολο αριθμών που αν προστεθούν μεταξύ τους, κάνουν W? Αναγωγή? ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 26 - Ι. ΜΗΛΗΣ 6 NP-COMPLETENESS II 5
16 MSB SUBSET-SUM is NP-complete ZOE Θεωρούμε τις στήλες δυαδικούς ακεραίους (MSB πάνω) Υπάρχει υποσύνολο των ακεραίων 8, 5, 4, 8 που κάνει 2 = 3? NAI! Είναι η αναγωγή σωστή? SUBSET SUM w, w 2,, w n W Υπάρχει υποσύνολο αριθμών που αν προστεθούν μεταξύ τους, κάνουν W? ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 26 - Ι. ΜΗΛΗΣ 6 NP-COMPLETENESS II 6
17 SUBSET-SUM is NP-complete Είναι η αναγωγή σωστή? Δυστυχώς ΟΧΙ! Το άθροισμα δυαδικών αριθμών n bits μπορεί να ΕΙΝΑΙ 2 n - ΑΛΛΑ το άθροισμα των αντίστοιχων διανυσμάτων να ΜΗΝ ΕΙΝΑΙ. Π.χ.. γιατί Δυαδική πρόσθεση + + ¹ = 3! Το SUBSET SUM έχει απάντηση ΝΑΙ αλλά το ΖΟΕ έχει απάντηση ΟΧΙ ΓΙΑΤΙ? ΚΡΑΤΟΥΜΕΝΟ! ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 26 - Ι. ΜΗΛΗΣ 6 NP-COMPLETENESS II 7
18 SUBSET-SUM is NP-complete Μπορούμε να σώσουμε την αναγωγή? ΝΑΙ! Σκεφτείτε κάθε στήλη του Α σαν ακέραιο στο σύστημα με βάση το n+! Τότε δεν θα υπάρχει κρατούμενο και η αναγωγή είναι σωστή: Το SUBSET SUM έχει απάντηση ΝΑΙ εάνν το ΖΟΕ έχει απάντηση ΝΑΙ ΑΛΛΑ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! m W = n+ = Ο(n m ) και επίσης w i = Ο(n m ) Έστω Ι ένα στιγμιότυπο του ΖΟΕ και Ι το στιγμιότυπο του SUBSET SUM τότε Ι = Ο(exp( I ) Γι αυτό το SUBSET SUM έχει αλγόριθμο πολυπλοκότητας Ο(nW) (ψευτο-πολυωνυμικό) ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 26 - Ι. ΜΗΛΗΣ 6 NP-COMPLETENESS II 8
19 Strong NP-completeness 3-SAT, CLIQUE, VC, IS, 3-GC, HP, HC, TSP: The reductions for all these problems use only small (polynomial) integers (names of nodes, indices, even in TSP we used only and 2) All these problems are strongly NP-complete ZOE p * SUBSET SUM: * This reduction creates exponentially large integers (w i s and W)! Τhe size of the SUBSET SUM s instance constructed is exponential in the size of the ZOE s instance! ( If I={n}, I = log n and I = {2 n }, I =n, then I =n=2 log n = 2 I ) SUBSET SUM is not strongly NP-complete but it is NP-complete. There is an O(nW) algorithm for SUBSET SUM SUBSET SUM is O(poly) if W is O(poly( I ))! AUEB / DoI / TOPICS IN ALGORITHMS / Spring 27 / I. MILIS / 6 - PARTITIONS 9
20 Subset Sum SUBSET SUM I: a set S={a, a 2,..., a n } of n positive integers and integer B Q: is there a subset A Í S such that å Î a i A i = B? BRUTE FORCE there are 2 n possible combinations of n items Go through all combinations; stop in the first one such that å a B ; otherwise report NO Complexity: O(n2 n i Î A i = ) Can we do better? AUEB / DoI / TOPICS IN ALGORITHMS / Spring 27 / I. MILIS / 6 - PARTITIONS 2
21 Subproblem - Recursive formula Let S i ={a, a 2,,a i }, Subset Sum - DP Subproblem: M (i, b), i n, b B, M (i, b): is there a subset A Í{a, a 2,..., a i } s.t.? If a i > b, then the the answer for M (i, b) is YES iff å Î there is a subset A Í S i- s.t. a b i A i = If a i b, then the the answer for M (i, b) is YES iff either there is a subset A Í S i- s.t. a or there is a subset A Í S i- s.t. å iîa If i=, then the answer is YES if B= and NO otherwise (Base case for i=) a å b i Î A i = å a i Î A i = b - ai i = b AUEB / DoI / TOPICS IN ALGORITHMS / Spring 27 / I. MILIS / 6 - PARTITIONS 2
22 Subset Sum - DP Recursive formula M ( i, b) = ìtrue ï ï ïfalse ï í ïm ( i -,b) ï ï ï M ( i -,b) ï î OR if i = and b = if i = and b if i ³ and if i ³ and i a M ( i -,b - a ) a i i > > b b AUEB / DoI / TOPICS IN ALGORITHMS / Spring 27 / I. MILIS / 6 - PARTITIONS 22
23 There are only nb subproblems Subset Sum - DP Fill a n x B Boolean matrix M[ i, b], i n, b B SubsetSum (S,n,B) M[,]= True; for b = to B do M[,b]=False; for i = to n do for b = to B do if a i > b then M[i,b]=M[i-,b] else M[i,b]= M[i-,b] OR M[i-,b-a i ] Complexity: O(nB) AUEB / DoI / TOPICS IN ALGORITHMS / Spring 27 / I. MILIS / 6 - PARTITIONS 23
24 Example: (4,,2,5), B=6 Subset Sum - DP b i /a i /- T F F F F F F /4 T F F F T F F 2/ T T F F T T F 3/2 T T T T T T T 4/5 T T T T T T T if a i > b then M(i,b)=M(i-,b) else M(i,b)= M(i-,b) OR M(i-,b-a i ) AUEB / DoI / TOPICS IN ALGORITHMS / Spring 27 / I. MILIS / 6 - PARTITIONS 24
25 Subset Sum Complexity: O(nB) I = log a + log a log a n + log B (n+) log B = O(n log B) Hence, O(nB) is O(exp(I)) NOT POLYNOMIAL But, N(I) =B, that is O(nB) is O(poly(N(I)) PSEUDO-POLYNOMIAL AUEB / DoI / TOPICS IN ALGORITHMS / Spring 27 / I. MILIS / - INTRO 25
26 Strong NP-completeness 3-SAT, CLIQUE, VC, IS, 3-GC, HP, HC, TSP: The reductions for all these problems use only small (polynomial) integers (names of nodes, indices, even in TSP we used only and 2) All these problems are strongly NP-complete ZOE p * SUBSET SUM: * This reduction creates exponentially large integers (w i s and W)! Τhe size of the SUBSET SUM s instance constructed is exponential in the size of the ZOE s instance! ( If I={n}, I = log n and I = {2 n }, I =n, then I =n=2 log n = 2 I ) SUBSET SUM is not strongly NP-complete but it is NP-complete. There is an O(nW) algorithm for SUBSET SUM SUBSET SUM is O(poly) if W is O(poly( I ))! AUEB / DoI / TOPICS IN ALGORITHMS / Spring 27 / I. MILIS / 6 - PARTITIONS 26
27 Strong NP-completeness and pseudo-polynomial algorithms A problem Π is strongly NP-complete if it remains NP-complete even if any instance of length I is restricted to contain integers at most O(poly( I )) or it remains NP-complete even if its instances are coded in unary Let N(I) be the largest number appearing in an instance of a problem An algorithm is a pseudo-polynomial one if it is polynomial in I and N(I) Unless P=NP, there is no pseudo-polynomial algorithm for strongly NPcomplete problems (next slide) For problems that are NP-complete, but not strongly NP-complete there is a pseudo-polynomial algorithm (usually a dynamic programming one) AUEB / DoI / TOPICS IN ALGORITHMS / Spring 27 / I. MILIS / 6 - PARTITIONS 27
28 Strong NP-completeness and pseudo-polynomial algorithms Let : I be an instance of a problem Π, of size I N(I) be the largest number in I p(n) be a polynomial Π p(n) be Π restricted to instances for which N(I) p( I ) We say that Π is strongly NP-complete if Π p(n) is NP-complete Th. Unless P=NP, there is no pseudo-polynomial algorithm for a strongly NP-complete problem Π Proof: Suppose that there exists such a pseudo-polynomial algorithm Q for Π Q solves any instance of Π in q( I, N(I) ) time; q: a polynomial Q solves Π p(n) in q( I, p( I ) ) time, that is polynomial in I P=NP! AUEB / DoI / TOPICS IN ALGORITHMS / Spring 27 / I. MILIS / 6 - PARTITIONS 28
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf6/ Άνοιξη 26 - I. ΜΗΛΗΣ NP-complete προβλήματα ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 26 - Ι. ΜΗΛΗΣ 6 NP-COMPLETENESS II Tree of reductions (partial) Cook s Th. Π NP SAT 3-SAT
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf6/ Άνοιξη 06 - I. ΜΗΛΗΣ P NP και NP-complete προβλήματα (Κλάσεις Πολυπλοκότητας) ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 06 - Ι. ΜΗΛΗΣ 5 NP-COMPLETENESS I Γιατί για πολλά προβλήματα
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2)
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2) Ιωάννης Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών NP-Completeness (2) x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 12 22 32 11 13 21
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή
Διαβάστε περισσότεραFractional Colorings and Zykov Products of graphs
Fractional Colorings and Zykov Products of graphs Who? Nichole Schimanski When? July 27, 2011 Graphs A graph, G, consists of a vertex set, V (G), and an edge set, E(G). V (G) is any finite set E(G) is
Διαβάστε περισσότεραThe Simply Typed Lambda Calculus
Type Inference Instead of writing type annotations, can we use an algorithm to infer what the type annotations should be? That depends on the type system. For simple type systems the answer is yes, and
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf161/ Άνοιξη 2017 - I. ΜΗΛΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Knapsack problems ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 2017 - Ι. ΜΗΛΗΣ 10 DP III 1 Knapsack problems ΕΙΣΟΔΟΣ: Σακίδιο χωρητικότητας
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf161/ Άνοιξη 216 - I. ΜΗΛΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 216 - Ι. ΜΗΛΗΣ 9 DP II 1 Dynamic Programming ΓΕΝΙΚΗ ΙΔΕΑ 1. Ορισμός υπο-προβλήματος/ων
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness Ιωάννης Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών NP-Completeness x x x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 2 22 32 3 2 23 3 33 NP-Completeness
Διαβάστε περισσότεραHomework 3 Solutions
Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For
Διαβάστε περισσότεραC.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions
C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions Paul Liu November 15, 2007 Note that these are sample solutions only; in many cases there were many acceptable answers. 1 Reynolds Problem 10.1 1.1 Normal-order
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις
Διαβάστε περισσότεραChapter 9: NP-Complete Problems
Θεωρητική Πληροφορική Ι: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Chapter 9: NP-Complete Problems 9.3 Graph-Theoretic Problems (Συνέχεια) 9.4 Sets and Numbers Γιώργος Αλεξανδρίδης gealexan@mail.ntua.gr Κεφάλαιο 9:
Διαβάστε περισσότεραMatrices and Determinants
Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z
Διαβάστε περισσότεραNowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in
Nowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in : tail in X, head in A nowhere-zero Γ-flow is a Γ-circulation such that
Διαβάστε περισσότερα2 Composition. Invertible Mappings
Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,
Διαβάστε περισσότεραEE512: Error Control Coding
EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3
Διαβάστε περισσότεραNew bounds for spherical two-distance sets and equiangular lines
New bounds for spherical two-distance sets and equiangular lines Michigan State University Oct 8-31, 016 Anhui University Definition If X = {x 1, x,, x N } S n 1 (unit sphere in R n ) and x i, x j = a
Διαβάστε περισσότεραΜη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα
Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing Μη ντετερμινιστική
Διαβάστε περισσότεραInverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------
Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin
Διαβάστε περισσότεραOther Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests
Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests Side-Note: So far we have seen a few approaches for creating tests such as Neyman-Pearson Lemma ( most powerful tests of H 0 : θ = θ 0 vs H 1 :
Διαβάστε περισσότεραFinite Field Problems: Solutions
Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The
Διαβάστε περισσότεραReminders: linear functions
Reminders: linear functions Let U and V be vector spaces over the same field F. Definition A function f : U V is linear if for every u 1, u 2 U, f (u 1 + u 2 ) = f (u 1 ) + f (u 2 ), and for every u U
Διαβάστε περισσότεραΠρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής
Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο δέχεται ως είσοδο μια ακολουθία S από n (n 40) ακέραιους αριθμούς και επιστρέφει ως έξοδο δύο ακολουθίες από θετικούς ακέραιους
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011
Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι
Διαβάστε περισσότεραSection 8.3 Trigonometric Equations
99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.
Διαβάστε περισσότεραEvery set of first-order formulas is equivalent to an independent set
Every set of first-order formulas is equivalent to an independent set May 6, 2008 Abstract A set of first-order formulas, whatever the cardinality of the set of symbols, is equivalent to an independent
Διαβάστε περισσότεραk A = [k, k]( )[a 1, a 2 ] = [ka 1,ka 2 ] 4For the division of two intervals of confidence in R +
Chapter 3. Fuzzy Arithmetic 3- Fuzzy arithmetic: ~Addition(+) and subtraction (-): Let A = [a and B = [b, b in R If x [a and y [b, b than x+y [a +b +b Symbolically,we write A(+)B = [a (+)[b, b = [a +b
Διαβάστε περισσότεραAbstract Storage Devices
Abstract Storage Devices Robert König Ueli Maurer Stefano Tessaro SOFSEM 2009 January 27, 2009 Outline 1. Motivation: Storage Devices 2. Abstract Storage Devices (ASD s) 3. Reducibility 4. Factoring ASD
Διαβάστε περισσότεραGraph Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βασιλική
Graph Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βασιλική Περιεχόμενα minimum weight spanning tree connected components transitive closure shortest paths
Διαβάστε περισσότεραHY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems
HY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems Ημερομηνία Παράδοσης: 0/1/017 την ώρα του μαθήματος ή με email: mkarabin@csd.uoc.gr Γενικές Οδηγίες α) Επιτρέπεται η αναζήτηση στο Internet και στην βιβλιοθήκη
Διαβάστε περισσότεραThe ε-pseudospectrum of a Matrix
The ε-pseudospectrum of a Matrix Feb 16, 2015 () The ε-pseudospectrum of a Matrix Feb 16, 2015 1 / 18 1 Preliminaries 2 Definitions 3 Basic Properties 4 Computation of Pseudospectrum of 2 2 5 Problems
Διαβάστε περισσότεραω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω
0 1 2 3 4 5 6 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω + 4 ω2 ω2 + 1 ω2 + 2 ω2 + 3 ω3 ω3 + 1 ω3 + 2 ω4 ω4 + 1 ω5 ω 2 ω 2 + 1 ω 2 + 2 ω 2 + ω ω 2 + ω + 1 ω 2 + ω2 ω 2 2 ω 2 2 + 1 ω 2 2 + ω ω 2 3 ω 3 ω 3 + 1 ω 3 + ω ω 3 +
Διαβάστε περισσότερα3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β
3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS Page Theorem cos(αβ cos α cos β -sin α cos(α-β cos α cos β sin α NOTE: cos(αβ cos α cos β cos(α-β cos α -cos β Proof of cos(α-β cos α cos β sin α Let s use a unit circle
Διαβάστε περισσότεραThe challenges of non-stable predicates
The challenges of non-stable predicates Consider a non-stable predicate Φ encoding, say, a safety property. We want to determine whether Φ holds for our program. The challenges of non-stable predicates
Διαβάστε περισσότεραST5224: Advanced Statistical Theory II
ST5224: Advanced Statistical Theory II 2014/2015: Semester II Tutorial 7 1. Let X be a sample from a population P and consider testing hypotheses H 0 : P = P 0 versus H 1 : P = P 1, where P j is a known
Διαβάστε περισσότεραNetwork Algorithms and Complexity Παραλληλοποίηση του αλγορίθμου του Prim. Αικατερίνη Κούκιου
Network Algorithms and Complexity Παραλληλοποίηση του αλγορίθμου του Prim Αικατερίνη Κούκιου Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραChapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval
Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations
Διαβάστε περισσότεραTMA4115 Matematikk 3
TMA4115 Matematikk 3 Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet Trondheim Spring 2010 Lecture 12: Mathematics Marvellous Matrices Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet
Διαβάστε περισσότεραQuadratic Expressions
Quadratic Expressions. The standard form of a quadratic equation is ax + bx + c = 0 where a, b, c R and a 0. The roots of ax + bx + c = 0 are b ± b a 4ac. 3. For the equation ax +bx+c = 0, sum of the roots
Διαβάστε περισσότεραOrdinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit
Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ting Zhang Stanford May 11, 2001 Stanford, 5/11/2001 1 Outline Ordinal Classification Ordinal Addition Ordinal Multiplication Ordinal
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf161/ Άνοιξη 2016 - I. ΜΗΛΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 2016 - Ι. ΜΗΛΗΣ 08 DP I 1 Dynamic Programming Richard Bellman (1953) Etymology (at
Διαβάστε περισσότεραPartial Differential Equations in Biology The boundary element method. March 26, 2013
The boundary element method March 26, 203 Introduction and notation The problem: u = f in D R d u = ϕ in Γ D u n = g on Γ N, where D = Γ D Γ N, Γ D Γ N = (possibly, Γ D = [Neumann problem] or Γ N = [Dirichlet
Διαβάστε περισσότεραExample Sheet 3 Solutions
Example Sheet 3 Solutions. i Regular Sturm-Liouville. ii Singular Sturm-Liouville mixed boundary conditions. iii Not Sturm-Liouville ODE is not in Sturm-Liouville form. iv Regular Sturm-Liouville note
Διαβάστε περισσότεραPhys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)
Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts
Διαβάστε περισσότεραLecture 15 - Root System Axiomatics
Lecture 15 - Root System Axiomatics Nov 1, 01 In this lecture we examine root systems from an axiomatic point of view. 1 Reflections If v R n, then it determines a hyperplane, denoted P v, through the
Διαβάστε περισσότεραSCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES G11LMA Linear Mathematics Examination Solutions
SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES GLMA Linear Mathematics 00- Examination Solutions. (a) i. ( + 5i)( i) = (6 + 5) + (5 )i = + i. Real part is, imaginary part is. (b) ii. + 5i i ( + 5i)( + i) = ( i)( + i)
Διαβάστε περισσότεραSOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM
SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM Solutions to Question 1 a) The cumulative distribution function of T conditional on N n is Pr T t N n) Pr max X 1,..., X N ) t N n) Pr max
Διαβάστε περισσότεραΚατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός συγκρίσεων π
Περιορισμοί Αλγοριθμικής Ισχύος Κατηγοριοποίηση πολυπλοκοτήτων Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός
Διαβάστε περισσότεραPhysical DB Design. B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible.
B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible 3 rd -level index 2 nd -level index 1 st -level index Main file 1 The 1 st -level index consists of pairs
Διαβάστε περισσότεραCHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS
CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf161/ Άνοιξη 2016 - I. ΜΗΛΗΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 2016 - Ι. ΜΗΛΗΣ - 03 - EXAMPLES ALG & COMPL 1 Example: GCD συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραPractice Exam 2. Conceptual Questions. 1. State a Basic identity and then verify it. (a) Identity: Solution: One identity is csc(θ) = 1
Conceptual Questions. State a Basic identity and then verify it. a) Identity: Solution: One identity is cscθ) = sinθ) Practice Exam b) Verification: Solution: Given the point of intersection x, y) of the
Διαβάστε περισσότεραDistances in Sierpiński Triangle Graphs
Distances in Sierpiński Triangle Graphs Sara Sabrina Zemljič joint work with Andreas M. Hinz June 18th 2015 Motivation Sierpiński triangle introduced by Wac law Sierpiński in 1915. S. S. Zemljič 1 Motivation
Διαβάστε περισσότεραPARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities
PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities tanθ = sinθ cosθ cotθ = cosθ sinθ BASIC IDENTITIES cscθ = 1 sinθ secθ = 1 cosθ cotθ = 1 tanθ PYTHAGOREAN IDENTITIES sin θ + cos θ =1 tan θ +1= sec θ 1 + cot
Διαβάστε περισσότεραΜη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα
Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Διδάσκοντες: Σ Ζάχος, Δ Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές
Διαβάστε περισσότεραSOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM
SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM Solutions to Question 1 a) The cumulative distribution function of T conditional on N n is Pr (T t N n) Pr (max (X 1,..., X N ) t N n) Pr (max
Διαβάστε περισσότεραStatistical Inference I Locally most powerful tests
Statistical Inference I Locally most powerful tests Shirsendu Mukherjee Department of Statistics, Asutosh College, Kolkata, India. shirsendu st@yahoo.co.in So far we have treated the testing of one-sided
Διαβάστε περισσότεραEcon 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8 questions or comments to Dan Fetter 1
Eon : Fall 8 Suggested Solutions to Problem Set 8 Email questions or omments to Dan Fetter Problem. Let X be a salar with density f(x, θ) (θx + θ) [ x ] with θ. (a) Find the most powerful level α test
Διαβάστε περισσότεραLTL to Buchi. Overview. Buchi Model Checking LTL Translating LTL into Buchi. Ralf Huuck. Buchi Automata. Example
Overview LTL to Buchi Buchi Model Checking LTL Translating LTL into Buchi Ralf Huuck Buchi Automata Example Automaton which accepts infinite traces δ A Buchi automaton is 5-tuple Σ, Q, Q 0,δ, F Σ is a
Διαβάστε περισσότεραLecture 2. Soundness and completeness of propositional logic
Lecture 2 Soundness and completeness of propositional logic February 9, 2004 1 Overview Review of natural deduction. Soundness and completeness. Semantics of propositional formulas. Soundness proof. Completeness
Διαβάστε περισσότεραANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =?
Teko Classes IITJEE/AIEEE Maths by SUHAAG SIR, Bhopal, Ph (0755) 3 00 000 www.tekoclasses.com ANSWERSHEET (TOPIC DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION # Question Type A.Single Correct Type Q. (A) Sol least
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 8 ΤΕΛΕΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Εισαγωγή Βασικοί Αλγόριθμοι Γραφημάτων Πολυπλοκότητα χώρου και χρόνου:
Διαβάστε περισσότεραCongruence Classes of Invertible Matrices of Order 3 over F 2
International Journal of Algebra, Vol. 8, 24, no. 5, 239-246 HIKARI Ltd, www.m-hikari.com http://dx.doi.org/.2988/ija.24.422 Congruence Classes of Invertible Matrices of Order 3 over F 2 Ligong An and
Διαβάστε περισσότεραderivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates
derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates swapnizzle 03-03- :5:43 We begin by recognizing the familiar conversion from rectangular to spherical coordinates (note that φ is used
Διαβάστε περισσότεραNumerical Analysis FMN011
Numerical Analysis FMN011 Carmen Arévalo Lund University carmen@maths.lth.se Lecture 12 Periodic data A function g has period P if g(x + P ) = g(x) Model: Trigonometric polynomial of order M T M (x) =
Διαβάστε περισσότεραHomework 8 Model Solution Section
MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx
Διαβάστε περισσότεραMinimum Spanning Tree: Prim's Algorithm
Minimum Spanning Tree: Prim's Algorithm 1. Initialize a tree with a single vertex, chosen arbitrarily from the graph. 2. Grow the tree by one edge: of the edges that connect the tree to vertices not yet
Διαβάστε περισσότεραCyclic or elementary abelian Covers of K 4
Cyclic or elementary abelian Covers of K 4 Yan-Quan Feng Mathematics, Beijing Jiaotong University Beijing 100044, P.R. China Summer School, Rogla, Slovenian 2011-06 Outline 1 Question 2 Main results 3
Διαβάστε περισσότεραLecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3
Lecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3 1 State vector space and the dual space Space of wavefunctions The space of wavefunctions is the set of all
Διαβάστε περισσότεραCE 530 Molecular Simulation
C 53 olecular Siulation Lecture Histogra Reweighting ethods David. Kofke Departent of Cheical ngineering SUNY uffalo kofke@eng.buffalo.edu Histogra Reweighting ethod to cobine results taken at different
Διαβάστε περισσότεραA Hierarchy of Theta Bodies for Polynomial Systems
A Hierarchy of Theta Bodies for Polynomial Systems Rekha Thomas, U Washington, Seattle Joint work with João Gouveia (U Washington) Monique Laurent (CWI) Pablo Parrilo (MIT) The Theta Body of a Graph G
Διαβάστε περισσότεραTridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008
Tridiagonal matrices Gérard MEURANT October, 2008 1 Similarity 2 Cholesy factorizations 3 Eigenvalues 4 Inverse Similarity Let α 1 ω 1 β 1 α 2 ω 2 T =......... β 2 α 1 ω 1 β 1 α and β i ω i, i = 1,...,
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf161/ Άνοιξη 016 - I. ΜΗΛΗΣ AΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΦΩΝ ΙΙΙ Minimum Spanning Trees ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 016 - Ι. ΜΗΛΗΣ 14 - GRAPHS III - MSTs 1 Trees Ένας γράφος T = (V,
Διαβάστε περισσότερα2. THEORY OF EQUATIONS. PREVIOUS EAMCET Bits.
EAMCET-. THEORY OF EQUATIONS PREVIOUS EAMCET Bits. Each of the roots of the equation x 6x + 6x 5= are increased by k so that the new transformed equation does not contain term. Then k =... - 4. - Sol.
Διαβάστε περισσότερα( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) β = Chapter 5 Exercise Problems EX α So 49 β 199 EX EX EX5.4 EX5.5. (a)
hapter 5 xercise Problems X5. α β α 0.980 For α 0.980, β 49 0.980 0.995 For α 0.995, β 99 0.995 So 49 β 99 X5. O 00 O or n 3 O 40.5 β 0 X5.3 6.5 μ A 00 β ( 0)( 6.5 μa) 8 ma 5 ( 8)( 4 ) or.88 P on + 0.0065
Διαβάστε περισσότεραDESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL h in h 4 0.
DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL -7-1! PROBLEM -7 Statement: Design a double-dwell cam to move a follower from to 25 6, dwell for 12, fall 25 and dwell for the remader The total cycle must take 4 sec
Διαβάστε περισσότεραA Note on Intuitionistic Fuzzy. Equivalence Relation
International Mathematical Forum, 5, 2010, no. 67, 3301-3307 A Note on Intuitionistic Fuzzy Equivalence Relation D. K. Basnet Dept. of Mathematics, Assam University Silchar-788011, Assam, India dkbasnet@rediffmail.com
Διαβάστε περισσότεραAbout these lecture notes. Simply Typed λ-calculus. Types
About these lecture notes Simply Typed λ-calculus Akim Demaille akim@lrde.epita.fr EPITA École Pour l Informatique et les Techniques Avancées Many of these slides are largely inspired from Andrew D. Ker
Διαβάστε περισσότεραD Alembert s Solution to the Wave Equation
D Alembert s Solution to the Wave Equation MATH 467 Partial Differential Equations J. Robert Buchanan Department of Mathematics Fall 2018 Objectives In this lesson we will learn: a change of variable technique
Διαβάστε περισσότεραFourier Series. MATH 211, Calculus II. J. Robert Buchanan. Spring Department of Mathematics
Fourier Series MATH 211, Calculus II J. Robert Buchanan Department of Mathematics Spring 2018 Introduction Not all functions can be represented by Taylor series. f (k) (c) A Taylor series f (x) = (x c)
Διαβάστε περισσότεραChapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval
Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations
Διαβάστε περισσότεραAreas and Lengths in Polar Coordinates
Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/2006
ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/26 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι το 1 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση
Διαβάστε περισσότεραBounding Nonsplitting Enumeration Degrees
Bounding Nonsplitting Enumeration Degrees Thomas F. Kent Andrea Sorbi Università degli Studi di Siena Italia July 18, 2007 Goal: Introduce a form of Σ 0 2-permitting for the enumeration degrees. Till now,
Διαβάστε περισσότεραApproximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude
Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Jan Behrens 2012-12-31 In this paper we shall provide a method to approximate distances between two points on earth
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΕΝΑ ΦΛΟΚΑ Επίκουρος Καθηγήτρια Τµήµα Φυσικής, Τοµέας Φυσικής Περιβάλλοντος- Μετεωρολογίας ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Πληθυσµός Σύνολο ατόµων ή αντικειµένων στα οποία αναφέρονται
Διαβάστε περισσότερα6.3 Forecasting ARMA processes
122 CHAPTER 6. ARMA MODELS 6.3 Forecasting ARMA processes The purpose of forecasting is to predict future values of a TS based on the data collected to the present. In this section we will discuss a linear
Διαβάστε περισσότεραSequent Calculi for the Modal µ-calculus over S5. Luca Alberucci, University of Berne. Logic Colloquium Berne, July 4th 2008
Sequent Calculi for the Modal µ-calculus over S5 Luca Alberucci, University of Berne Logic Colloquium Berne, July 4th 2008 Introduction Koz: Axiomatisation for the modal µ-calculus over K Axioms: All classical
Διαβάστε περισσότεραMINIMAL CLOSED SETS AND MAXIMAL CLOSED SETS
MINIMAL CLOSED SETS AND MAXIMAL CLOSED SETS FUMIE NAKAOKA AND NOBUYUKI ODA Received 20 December 2005; Revised 28 May 2006; Accepted 6 August 2006 Some properties of minimal closed sets and maximal closed
Διαβάστε περισσότεραΜη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα
Μη Ντετερμινισμός και P-Πληρότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing Μη ντετερμινιστική Μηχ. Turing (ΝTM)
Διαβάστε περισσότεραMath 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme
Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry
Διαβάστε περισσότεραMath 446 Homework 3 Solutions. (1). (i): Reverse triangle inequality for metrics: Let (X, d) be a metric space and let x, y, z X.
Math 446 Homework 3 Solutions. (1). (i): Reverse triangle inequalit for metrics: Let (X, d) be a metric space and let x,, z X. Prove that d(x, z) d(, z) d(x, ). (ii): Reverse triangle inequalit for norms:
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 10η: Basics of Game Theory part 2 Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 0η: Basics of Game Theory part 2 Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Best Response Curves Used to solve for equilibria in games
Διαβάστε περισσότεραSCITECH Volume 13, Issue 2 RESEARCH ORGANISATION Published online: March 29, 2018
Journal of rogressive Research in Mathematics(JRM) ISSN: 2395-028 SCITECH Volume 3, Issue 2 RESEARCH ORGANISATION ublished online: March 29, 208 Journal of rogressive Research in Mathematics www.scitecresearch.com/journals
Διαβάστε περισσότεραΤο Πρόβλημα Routing and Path Coloring και οι εφαρμογές του σε πλήρως οπτικά δίκτυα
Το Πρόβλημα Routing and Path Coloring και οι εφαρμογές του σε πλήρως οπτικά δίκτυα Άρης Παγουρτζής Ευχαριστίες: οι διαφάνειες αυτές βασίστηκαν εν μέρει στην παρουσίαση της διπλωματικής εργασίας του Στρατή
Διαβάστε περισσότεραSrednicki Chapter 55
Srednicki Chapter 55 QFT Problems & Solutions A. George August 3, 03 Srednicki 55.. Use equations 55.3-55.0 and A i, A j ] = Π i, Π j ] = 0 (at equal times) to verify equations 55.-55.3. This is our third
Διαβάστε περισσότεραSecond Order Partial Differential Equations
Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y
Διαβάστε περισσότεραSection 7.6 Double and Half Angle Formulas
09 Section 7. Double and Half Angle Fmulas To derive the double-angles fmulas, we will use the sum of two angles fmulas that we developed in the last section. We will let α θ and β θ: cos(θ) cos(θ + θ)
Διαβάστε περισσότερα