Β. 1.Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου ισούται με. 2.Η διάμεσος τραπεζίου ισούται με το των δύο βάσεων.

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΙΑΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο ΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΩΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Α. Να αποδείξετε ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου, που άγονται από σημείο εκτός αυτού, είναι ίσα μεταξύ τους. (μονάδες 9) Β. 1.Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου ισούται με..η διάμεσος τραπεζίου ισούται με το των δύο βάσεων. 3.Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι και (μονάδες 6). Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι Σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος, ισαπέχει από τα άκρα του. β. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με την επίκεντρη γωνία, που βαίνει στο ίδιο τόξο γ. Οι διαγώνιοι κάθε ορθογώνιου παραλληλόγραμμου τέμνονται κάθετα. δ. Δύο ορθογώνια τρίγωνα με ίσες υποτείνουσες είναι ίσα. Ε. Δύο κύκλοι (Κ,R) και (Λ,ρ) εφάπτονται εξωτερικά αν και μόνον αν ΚΛ=R+ρ ΘΕΜΑ Ο Δίνεται τρίγωνο ΑΒ, (όπως στο διπλανό σχήμα). Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΒ κατά τμήμα ΒΔ=Α και την πλευρά Α κατά τμήμα Ε=ΑΒ. Φέρνουμε και την διχοτόμο ΑΖ της γωνίας Α. Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα ΑΔΖ και ΑΕZ είναι ίσα. (μονάδες 10) ii) η ΑΖ είναι κάθετη στην ΔΕ. (μονάδες 8) iii) η ΖΗ είναι διχοτόμος της γωνίας ΔΖΕ. (μονάδες 7) (μονάδες 10)

2 ΘΕΜΑ 3 Ο Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΔ (ΑΒ//Δ) με ΑΒ=α και Δ=3α και γωνία Δ=45 ο. Φέρνουμε τα ύψη ΑΚ και ΒΛ. Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα ΑΔΚ και ΒΛ είναι ίσα. (μονάδες 7) ii) ΔΚ=Λ=α (μονάδες 6) iii) Το ΑΒΛΚ είναι τετράγωνο (μονάδες 6) iv) Το ΑΒΚΔ είναι παραλληλόγραμμο. (μονάδες 6) ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ με γωνία Α = 90 ο και γωνία =30 ο. Φέρνουμε τη διχοτόμο ΒΔ και έστω Μ,Ν τα μέσα των ΒΔ, Β αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: i) Το τρίγωνο ΒΔ είναι ισοσκελές (μονάδες 5) ii) ΜΝ= (μονάδες 5) iii) ΑΔ= (μονάδες 5) iv) Το ΑΜΝΔ είναι ρόμβος (μονάδες 5) v) Η ΑΝ είναι κάθετη στη ΒΔ. (μονάδες 5) Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα με όποια σειρά θέλετε. Μυτιλήνη 4/5/01 Η ΔΝΤΡΙΑ ΟΙ ΕΙΣΗΗΤΕΣ ΑΝΝΑ ΚΟΥΡΑΣΑΝΗ - ΧΡΗΣΤΕΛΗ ΚΟΥΤΣΚΟΥΔΗΣ Π ΣΚΑΛΟΧΩΡΙΤΟΥ ΠΑΖΙΑΝΟΥ Ε

3 Θέμα Α ΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΙΑΝΝΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ραπτών προαγωγικών εξετάσεων περιόδου Μαίου - Ιουνίου 01 στη ΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ (Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα) Α1) Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. (Μονάδες 7) Α) Να γράψετε δύο ιδιότητες του ρόμβου καθώς επίσης και κριτήρια με τα οποία εξασφαλίζουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 4+4) Α3) Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή ( Σ) ή λανθασμένη (Λ) (Μονάδες x5) i. Οποιοσδήποτε ρόμβος είναι και τετράγωνο. Θέμα Β ii. Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός οποιουδήποτε ν-γώνου ( 3 και φυσικός) είναι 360. iii. Από σημείο εκτός ευθείας άγονται δύο ή και περισσότερες παράλληλες προς αυτή. iv. Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία τότε είναι ίσα. v. Ορθόκεντρο ενός τριγώνου είναι το κοινό σημείο τομής των τριών μεσοκαθέτων. Δίνεται τρίγωνο ΑΒ τέτοιο ώστε ΑΒ<Α. Στις προεκτάσεις των ΒΑ και Α προς το Α παίρνουμε σημεία Δ και Ε αντίστοιχα έτσι, ώστε ΑΔ=Α και ΑΕ=ΑΒ. Αν οι ευθείες ΔΕ και Β τέμνονται στο σημείο Μ, να αποδείξετε ότι: Β1) ΔΕ=Β (Μονάδες 10) Β) τα τρίγωνα ΜΒΔ και ΜΕ είναι ίσα. (Μονάδες 9) Β3) η ΜΑ είναι διχοτόμος της γωνίας BM (Μονάδες 6) Θέμα Δίνεται ρόμβος ΑΒΔ με κέντρο το σημείο Ο. Στην προέκταση της ΑΒ θεωρούμε σημείο Ε τέτοιο, ώστε ΒΕ=ΑΒ. Να αποδείξετε ότι: 1) οι ευθείες Ε και ΒΔ είναι παράλληλες. (Μονάδες 8) 1 ). (Μονάδες 10) 3) η γωνία είναι ορθή. (Μονάδες 7) Θέμα Δ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΔ με ΑΒ=Β. Έστω Ε η προβολή του Α πάνω στην ευθεία Β, Μ το μέσο της Δ και Ζ το σημείο στο οποίο η ευθεία ΕΜ τέμνει την προέκταση της ΑΔ. Να αποδείξετε ότι: Δ1) τα τρίγωνα ΔΜΖ και ΜΕ είναι ίσα (Μονάδες 8) Δ) το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ορθογώνιο (Μονάδες 7) Δ3) το τρίγωνο ΑΜΖ είναι ισοσκελές (Μονάδες 5) Δ4) (Μονάδες 5) Ο Διευθυντής Ο εισηγητής Αλέξανδρος Συγκελάκης

4 ΘΔΜΑ Α ΠΡΟΑΩΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Α ΣΑΞΖ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΔΩΜΔΣΡΗΑ ΠΔΜΠΣΖ 31 ΜΑΪΟΤ Να απνδείμεηε όηη ην άζξνηζκα ησλ γσληώλ θάζε ηξηγώλνπ είλαη νξζέο.. Τη νλνκάδεηαη δηάκεζνο ηξαπεδίνπ. Μονάδες 10 Μονάδες 5 3. Να σαπακηηπίζεηε ηιρ πποηάζειρ πος ακολοςθούν γπάθονηαρ ζηην κόλλα ζαρ ηη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα ζηο γπάμμα πος ανηιζηοισεί ζε κάθε ππόηαζη. α. Ζ απόζηαζε ηνπ βαξύθεληξνπ ηξηγώλνπ από θάζε θνξπθή ηνπ ηζνύηαη κε ην 1/3 ηνπ κήθνπο ηεο αληίζηνηρεο δηακέζνπ. β. Αλ ηα απνζηήκαηα δύν ρνξδώλ ελόο θύθινπ είλαη ίζα ηόηε θαη νη ρνξδέο απηέο είλαη ίζεο. γ. Ζ δηάκεζνο θάζε ηξαπεδίνπ ηζνύηαη κε ην άζξνηζκα ησλ βάζεσλ ηνπ. δ. Ζ δηάθεληξνο δύν ηεκλόκελσλ θύθισλ είλαη κεζνθάζεηνο ηεο θνηλήο ρνξδήο ηνπο. ε. Κάζε ηεηξάγσλν είλαη νξζνγώλην θαη ξόκβνο. Μονάδες 5x=10 ΘΔΜΑ Β Έζησ ξόκβνο ΑΒ κε θέληξν ην ζεκείν Ο. Σηελ πξνέθηαζε ηεο ΑΒ παίξλνπκε ζεκείν Ε ηέηνην ώζηε ΒΕ = Α. Να απνδείμεηε όηη: 1. Τν ηεηξάπιεπξν ΒΕ είλαη παξαιιειόγξακκν.. Ηζρύεη Ε = ΒΟ. 3. Ζ Α είλαη θάζεηε ζηελ Ε. Μονάδες 8+8+9= 5

5 ΘΔΜΑ Έζησ νμπγώλην θαη ζθαιελό ηξίγσλν ΑΒ κε ύςνο Α θαη Μ, Ν ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ηνπ ΑΒ θαη Α αληίζηνηρα. Πξνεθηείλνπκε ηελ Ν θαηά ηκήκα ΝΤ = Ν θαη ηελ Μ θαηά ηκήκα ΜΛ = Μ. Να απνδείμεηε όηη: 1. Τα ηξίγσλα ΑΝΤ θαη Ν είλαη ίζα.. Τν ηεηξάπιεπξν ΑΛΒ είλαη νξζνγώλην. 3. Τα ζεκεία Τ, Α, Λ είλαη ζπλεπζεηαθά. 4. Τα ηξίγσλα ΑΒ θαη ΛΤ είλαη ίζα. Μονάδες =5 ΘΔΜΑ Σην δηπιαλό ζρήκα, δίλεηαη θύθινο (Ο, R) κε δηάκεηξν ΑΒ. Οη Α, Β, είλαη εθαπηόκελεο ζηα ζεκεία Α, Β, Δ ηνπ θύθινπ αληίζηνηρα θαη ηζρύεη Δ Να απνδεηρζεί όηη: Α O 1. Τν ηεηξάπιεπξν ΑΒ είλαη ηξαπέδην.. Α + Β = 3. Τν ηξίγσλν Ο είλαη νξζνγώλην. 4. Οη θύθινη (Ο, R) θαη (, R) εθάπηνληαη εμσηεξηθά. Μονάδες =5 Β

6 ΜΑΘΗΜΑ: εωµετρία /ΝΣΗ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΡΟ ΟΠΗΣ ΤΑΞΗ : Α 1 ο ΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ :11/06/01 ΠΡΟΑΩΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε την πρόταση: αν σε ορθογώνιο τρίγωνο µια γωνία του ισούται µε 30 ο, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το µισό της υποτείνουσας. (Μονάδες 10) Α. Να γράψετε τον ορισµό του ρόµβου. (Μονάδες 5) Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε τη λέξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). α) Η µεσοκάθετος ενός ευθυγράµµου τµήµατος είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τα άκρα του τµήµατος. β) ύο χορδές κύκλου είναι ίσες αν και µόνο αν τα αποστήµατά τους είναι ίσα. γ) Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση µε τη διαφορά των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου. δ) Ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο αν ισχύει η πρόταση: οι διαγώνιοί του είναι ίσες. ε) Η απόσταση του βαρύκεντρου ενός τριγώνου από κάθε κορυφή του ισούται µε το του µήκους της αντίστοιχης διαµέσου. (Μονάδες 5 x = 10) Θέµα Α Απαντήσεις Α1. Θεωρία σελ. 110 Α. Θεωρία σελ. 101 Α3. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ

7 ΘΕΜΑ Β Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ φέρουµε Β ΒΑ Α και Ε Α µε Β = Ε. Η Ε τέµνει την ΑΒ στο Κ και την Α στο Λ. Να αποδείξετε ότι : Β1. Α = ΑΕ. (Μονάδες 10) Β. Τα τρίγωνα ΑΔΚ και ΑΕΛ είναι ίσα. (Μονάδες 10) Β3. ΚΛ Β. (Μονάδες 5) Β Κ Λ Ε Θέµα Β Απαντήσεις Δ Β1. Τα τρίγωνα ΑΔΒ Δ και ΑΕ έχουν: 1. Β = ο = 90 (υπόθεση). ΑΒ = Α (υπόθεση) 3. ΒΔ = Ε (υπόθεση) Άρα είναι ίσα (ΠΠ) και εποµένως ισχύουν: ΑΔ = ΑΕ και ΔΑ Β=Α Ε Δ Β. Τα τρίγωνα ΑΔΚ Δ και ΑΕΛ έχουν: 1. ΑΔ = ΑΕ (από ερώτηµα Β1). ΑΔ Κ = ΑΕ Λ (ΑΔΕ ισοσκελές) 3. ΔΑ Β = Α Ε (από ερώτηµα Β1) Άρα είναι ίσα (Π) και εποµένως ΑΚ = ΑΛ Β3. Στο τρίγωνο ΑΚΛ: ΑΚ Λ + Α = 180 ο (1) Στο τρίγωνο ΑB: ΑΒ + Α = 180 ο () Από (1) και (): ΑΚ Λ + Α = ΑΒ + Α ΑΚ Λ = ΑΒ Άρα οι εντός, εκτός και επί τ αυτά γωνίες είναι ίσες, εποµένως ΚΛ Β.

8 ΘΕΜΑ ίνεται τραπέζιο ΑΒ (ΑΒ ) µε ΑΒ =. Αν Κ, Μ, Ν µέσα των Α, ΑΒ, Β αντίστοιχα και Ρ το σηµείο τοµής των ΑΝ και Μ, να αποδείξετε ότι: Κ Ρ Ν 1. ΚΝ =. (Μονάδες 6). ΒΜ παραλληλόγραµµο. 3. ΑΡ = ΡΝ. (Μονάδες 6) Α Μ Β (Μονάδες 6) 4. Ρ = 3ΡΜ. (Μονάδες 7) Θέµα Απαντήσεις 1. ΚΝ διάµεσος του τραπεζίου, άρα: ΚΝ =. Δ//= ΑΒ ΑΒ + Δ = //= ΜΒ, άρα ΔΒΜ παραλληλόγραµµο. Δ + Δ = 3Δ. 3. Στο τρίγωνο ΑΝΒ έχουµε: Μ µέσο ΑB και ΜΡ//ΝΒ (ΔΒΜ παρ/µο) άρα Ρ µέσο ΑΝ, δηλαδή ΑΡ = ΡΝ. 4. Στο τρίγωνο ΑΝΒ έχουµε: Μ µέσο ΑB και Ρ µέσο ΑΝ άρα: ΡΜ = ΝΒ Β = = Β = ΔΜ 4 4 ΔΜ=4ΡΜ, εποµένως: ΔΡ = ΔΜ ΡΜ = 4ΡΜ ΡΜ = 3ΡΜ.

9 ΘΕΜΑ ίνεται τετράγωνο ΑΒ και σηµείο Ε στην προέκταση της πλευράς. Από το Ε φέρουµε ευθεία κάθετη στην Α, που τέµνει την Α στο Ζ και την προέκταση της Β στο Κ. Αν Μ, Ν µέσα των ΑΕ, ΑΚ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: Α Ζ Ν Κ Β 1. Το τρίγωνο Μ Ζ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6). Η Ζ είναι διάµεσος στο τρίγωνο ΕΚ. (Μονάδες 5) 3. Το τετράπλευρο ΑΝΖΜ είναι ρόµβος. (Μονάδες 9) 4. Αν επιπλέον ισχύει Ε = ΖΝ να υπολογίσετε το µέτρο της γωνίας ΕΑΔ. (Μονάδες 5) Ε Μ ( Θέµα Δ Απαντήσεις Δ1. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΖΕ (Ζ = 90 ο ) είναι ΖΜ διάµεσος, άρα ΖΜ = ΑΕ. (1) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΕ (Δ = 90 ο ) είναι ΔΜ διάµεσος, άρα ΔΜ = ΑΕ. () Από (1) και () συµπεραίνω ότι ΖΜ = ΔΜ, άρα το τρίγωνο ΖΔΜ είναι ισοσκελές. Δ. Ζ ύψος (υπόθεση) και διχοτόµος (ΑΒΔ τετράγωνο 1 = ), άρα το τρίγωνο ΕΚ είναι ισοσκελές και εποµένως η Ζ είναι επιπλέον και διάµεσος του τριγώνου. Δ3. Στο τρίγωνο ΑΚΕ είναι: Ζ µέσο ΚΕ και Ν µέσο ΑΚ άρα: ΖΝ //= ΑΕ //= ΑΜ. Εποµένως το ΑΝΖΜ είναι παραλληλόγραµµο. Όµως, ΖΜ = ΑΕ = ΑΜ, εποµένως ΑΝΖΜ ρόµβος. Δ4. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΕ (Δ = 90 ο ) ισχύει ΕΔ = ΖΝ = ΑΜ = ΑΕ, άρα ΕΑ Δ = 30 ο.

10 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΣΧΟΛ.ΕΤΟΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Α/ΘΜΙΑΣ & Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΒΟΡΕΙΟΥ ΑΙΑΙΟΥ Δ/νση Β/θµιας Εκπ/σης Ν. ΛΕΣΒΟΥ 4o ΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΩΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ: ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΥΤΙΛΗΝΗ 4/5/01 ΘΕΜΑ Α 1. α) Να αποδείξετε ότι, αν δυο ευθείες τεµνόµενες από τρίτη σχηµατίζουν δυο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες. Μονάδες 10 β) Να δώσετε τον ορισµό του ρόµβου. Μονάδες 5. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Η διάµεσος ενός τριγώνου ενώνει µια κορυφή µε το µέσο της απέναντι πλευράς. β. Η κάθετη ευθεία σε µια από δυο παράλληλες ευθείες είναι κάθετη και στην άλλη. γ. Οι διαγώνιοι κάθε παραλληλογράµµου είναι ίσες. δ. Οι διαγώνιοι κάθε ορθογωνίου τέµνονται κάθετα. ε. Κάθε εγγεγραµµένη γωνία ισούται µε το µισό της επίκεντρης που βαίνει στο ίδιο τόξο. Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Β Στο διπλανό σχήµα η Αx είναι η εφαπτόµενη του κύκλου στο σηµείο του Α, και επιπλέον ισχύει: ˆ o Α x = 85 και ΒΑ= ˆ 40 o. α. Να αποδείξετε ότι ˆB 1= 45 o. Μονάδες 8 β. Να υπολογίσετε τη γωνία ω. Μονάδες 8 γ. Να αποδείξετε ότι ˆφ = 95 o. Μονάδες 9 1 ω ϕ ϕ x

11 ΘΕΜΑ Στο διπλανό τρίγωνο ΑΒ η ΑΜ είναι διά- µεσος, το Δ είναι το µέσον του ΒΜ, το Ε είναι το µέσον του ΑΒ και επιπλέον ισχύει Β=ΑΒ. α. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΑΜ είναι ισοσκελές. Μονάδες 4 β. Να αποδείξετε ότι ΜΕ//Α. 1 γ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΜ και ΑΕΜ είναι ίσα. δ. Να αποδείξετε ότι η ΑΜ είναι η διχοτόµος της γωνίας ˆ Α. 1 Μονάδες 7 Μονάδες 7 Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Από την κορυφή Β ενός τριγώνου ΑΒ µε Α=ΑΒ, φέρουµε την ΒΕ κάθετη στη διχοτόµο της γωνίας ˆΑ που τέµνει την Α στο Δ και από το φέρουµε την παράλληλη προς τη ΒΔ που τέµνει τη διχοτόµο της γωνίας ˆΑ στο Ζ. α. Να αποδείξετε ότι ΑΔ=ΑΒ. Μονάδες 8 β. Να αποδείξετε ότι το Ε είναι το µέσον του ΑΖ. γ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΖΔ είναι ρόµβος. Μονάδες 8 Μονάδες 9 Ο Δ/ντής Ο καθηγητής Ανδρεαδέλλης Σταύρος Καλπάκας Μιχαήλ

12 ΘΕΜΑ Α ΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΠΠΕΙΟΥ ΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΩΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΤΑΞΗ : A ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 11/06/01 Α1. Να χαρακτηρίσετε ως σωστό ( Σ ) ή λάθος ( Λ ) κάθε µία από τις προτάσεις που ακολουθούν. α. Ένα σκαληνό τρίγωνο µπορεί να έχει δύο γωνίες ίσες. β. Κάθε πλευρά τριγώνου είναι µικρότερη από το άθροισµα των δύο άλλων πλευρών του. γ. ύο διαφορετικοί κύκλοι µπορεί να τέµνονται σε τρία σηµεία. δ. Οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι συµπληρωµατικές. ε. Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου είναι κάθετες. Α. Να αντιγράψετε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις και να τις συµπληρώσετε µε τις κατάλληλες λέξεις. α. Η διάµεσος προς την ορθογωνίου τριγώνου είναι.. µε το της υποτείνουσας. β. Το ευθύγραµµο τµήµα που.. τα µέσα των δύο.. τριγώνου είναι.. στην τρίτη πλευρά και ίσο µε το.. της. γ. Αν οι.. ενός τραπεζίου είναι ίσες τότε αυτό είναι. δ. Ορθογώνιο λέγεται το. που έχει µία γωνία... Α3. Να αποδείξετε ότι αν ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές τότε οι προσκείµενες γωνίες σε κάθε βάση του είναι ίσες. Μονάδες (10+8+7) ΘΕΜΑ Β Στο διπλανό σχήµα δίνεται κύκλος µε κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Προεκτείνουµε τη χορδή ABτου κύκλου εκατέρωθεν κατά ίσα τµήµατα A, Β (Α=Β ).Τα τµήµατα Ο,Ο τέµνουν τον κύκλο στα σηµεία Κ και Λ αντίστοιχα. O Β1. Τι είδους είναι το τρίγωνο ΟΑΒ ; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. Κ Λ Β. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΟΑκαι ΟΒ είναι ίσα. A B Β3. Να δείξετε ότι ΑΛ=ΒΚ. Β4. Να δείξετε ότι Κ<Α. Μονάδες ( )

13 ΘΕΜΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται τραπέζιο ΑΒ (ΑΒ // ) και Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών του Α, Β αντίστοιχα. ίνεται επίσης ότι =10 και ΕΖ = 8. Α Β 1. Να δείξετε ότι το µήκος της πλευράς ΑΒ είναι 6. Ε Κ Λ Ζ. Να βρείτε το µήκος του τµήµατος ΕΚ. 3. Να βρείτε το µήκος του τµήµατος ΚΛ. 4. Αν επιπλέον ΑΒ=Βκαι 0 ΒΑ= 30 να δείξετε ότι το τρίγωνο ΒΛΖ είναι ισόπλευρο. (Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις που θα δώσετε στα προηγούµενα ερωτήµατα) Μονάδες( ) ΘΕΜΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται τετράγωνο ΑΒ. Εσωτερικά του τετραγώνου κατασκευάζουµε το ισόπλευρο τρίγωνο Ε. A Ε B 1. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΕ,ΒΕείναι ίσα.. Να υπολογίσετε κάθε µία από τις γωνίες του τριγώνου ΑΕ. 3. Αν ΑΖ Ε,όπου Ζ σηµείο της Ε, να δείξετε ότι Ε ΑΖ=. 4. Αν επιπλέον ΕΗ Α, όπου Η σηµείο της Α, να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΕΖΗείναι ισοσκελές τραπέζιο. Μονάδες ( ) Καλή σας επιτυχία Ο ιευθυντής Ο Εισηγητής Σταύρος Βαµβακέλλης