ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

Transcript

1 εωμετρία και Λυκείου ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜA Ορισμός Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. ηλαδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, όταν // και //. Ιδιότητες παραλληλογράμμων Σε κάθε παραλληλόγραμμο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: (i) Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες, δηλαδή, = και =. (ii) Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες, δηλαδή, ˆ ˆ και ˆ ˆ. (iii) Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται, δηλαδή, Ο=Ο και Ο=Ο. O Πoρίσματα i) Το σημείο τομής των διαγωνίων παραλληλογράμμου είναι κέντρο συμμετρίας του. ια το λόγο αυτό λέγεται κέντρο του παραλληλογράμμου. ii) Παράλληλα τμήματα που έχουν τα άκρα τους σε δύο παράλληλες ευθείες είναι ίσα. ν τα τμήματα είναι κάθετα στις παράλληλες, το κοινό μήκος τους λέγεται απόσταση των παραλλήλων. Κ Λ Μ Ν Ορισμοί Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που έχει τα άκρα του στις ευθείες των απέναντι πλευρών παραλληλογράμμου και είναι κάθετο σε αυτές λέγεται ύψος του παραλληλογράμμου, ενώ οι απέναντι πλευρές του λέγονται βάσεις ως προς αυτό το ύψος. Κριτήρια για παραλληλόγραμμα Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις: (i) Οι απέναντι πλευρές ανά δύο είναι ίσες. (ii) ύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες. (iii) Οι απέναντι γωνίες ανά δύο είναι ίσες. (iv) Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. Ζ 19

2 εωμετρία και Λυκείου ΟΡΘΟΩΝΙΟ Ορισμός Ορθογώνιο λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει μία γωνία ορθή. πειδή είναι παραλληλόγραμμο, προκύπτει ότι όλες οι γωνίες του ορθογωνίου είναι ορθές. O Ιδιότητες ορθογωνίου Το ορθογώνιο έχει τις ιδιότητες των παραλληλογράμμων, επιπλέον όμως οι διαγώνιοι του ορθογωνίου είναι ίσες. Κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο ορθογώνιο Ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο, αν ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις: (i) ίναι παραλληλόγραμμο και έχει μία ορθή γωνία. (ii) ίναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του είναι ίσες. (iii) Έχει τρεις γωνίες ορθές. (iv) Όλες οι γωνίες του είναι ίσες. ΡΟΜΟΣ Ορισμός Ρόμβος λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. πειδή είναι παραλληλόγραμμο οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες, οπότε όλες οι πλευρές του ρόμβου είναι ίσες. Ιδιότητες του ρόμβου Ο ρόμβος έχει τις ιδιότητες των παραλληλογράμμων, επιπλέον όμως, (i) Οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται κάθετα. ii) Οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούν τις γωνίες του. O Κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο ρόμβος Ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος, αν ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις: (i) Έχει όλες τις πλευρές του ίσες. (ii) ίναι παραλληλόγραμμο και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες. (iii) ίναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα. (iv) ίναι παραλληλόγραμμο και μία διαγώνιος του διχοτομεί μία γωνία του. 20

3 εωμετρία και Λυκείου ΤΤΡΩΝΟ Τετράγωνο λέγεται το παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος. Ιδιότητες τετραγώνου Σε κάθε τετράγωνο: (i) Οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες. (ii) Όλες οι πλευρές του είναι ίσες. (iii) Όλες οι γωνίες του είναι ορθές. O (iv) Οι διαγώνιοί του είναι: ίσες, τέμνονται κάθετα, διχοτομούνται και διχοτομούν τις γωνίες του. Κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο τετράγωνο ια να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι τετράγωνο, αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι ορθογώνιο και ρόμβος. ΙΗ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΩΝ Έχει τρείς γωνίες του ορθές. Έχει όλες τις γωνίες του ίσες. Ορθογώνιο Οι απέναντι πλευρές του παρ/λες (Ορισμός) Μια γωνία του είναι ορθή. Οι διαγώνιοι του είναι ίσες. τετράπλευρο Οι απέναντι πλευρές του ίσες. ύο απέναντι πλευρές του ίσες και παρ/λες. Παραλληλόγραμμο Τετράγωνο Οι απέναντι γωνίες του ίσες. Οι διαγώνιοι του διχοτομούνται ύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες. Οι διαγώνιοί του είναι κάθετες. Μια διαγώνιός του διχοτομεί γωνία του. Ρόμβος Έχει όλες τις πλευρές του ίσες. 21

4 εωμετρία και Λυκείου φαρμογές στα τρίγωνα Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. ηλαδή αν, είναι τα μέσα των και αντίστοιχα τότε // και = ઠડ. ν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέ-ρουμε ευθεία παράλληλη προς μια άλλη πλευρά του, τότε η ευθεία αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του. ηλαδή αν είναι το μέσο της και // ࢣࢢ = τότε είναι το μέσο της και. B ν τρεις (τουλάχιστον) παράλληλες ευθείες ορίζουν σε μία ευθεία ίσα τμήματα, θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει. ηλαδή αν είναι == τότε θα είναι και = =. Μεσοπαράλληλος δύο παραλλήλων Μια ευθεία (ε) λέγεται μεσοπαράλληλος δύο παραλλήλων αν είναι παράλληλη και ισα-πέχει απ αυτές. Κάθε σημείο της (ε) ισαπέχει από τις (ε 1 ) και (ε 2 ) και αν ένα σημείο ισαπέχει από τις ε 1 και ε 2 τότε ανήκει στην ευθεία ε. ηλαδή η μεσοπαράλληλος δύο παραλλήλων είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τις ευθείες αυτές. ε1 ε ε2 22

5 εωμετρία και Λυκείου φαρμογή Ν Τα μέσα των πλευρών ενός τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου. K M Λ αρύκεντρο τριγώνου Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο που λέγεται βαρύκεντρο και του οποίου η απόσταση από κάθε κορυφή είναι τα ଶ ଷ του μήκους της αντίστοιχης διαμέσου. ηλαδή αν Θ είναι το βαρύκεντρο του και η διάμεσός του τότε: Ζ A Θ. ߂߆ 2 = ߆ ή ߂ = ଵ ߂߆ ή ߂ = ଶ ߆ ଷ ଷ νάλογα ισχύουν και για τις άλλες διαμέσους. B Ορθόκεντρο τριγώνου Οι φορείς των υψών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο που λέγεται ορθόκεντρο. Οι κορυφές,,, τριγώνου και το ορθόκεντρό του Η αποτελούν ορθοκεντρική τετράδα, δηλαδή κάθε ένα από αυτά τα σημεία είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου, που ορίζεται από τα άλλα τρία σημεία. Ζ Η I Η διάμεσος οθρογώνιου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας του είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ηλαδή: αν መ=90 ο και Μ είναι διάμεσος τότε ߊ = ௯௰ ଶ. ντίστροφα: ν η διάμεσος ενός τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή. Μ ηλαδή: αν Μ είναι διάμεσος και ߊ = ௯௰ ଶ τότε መ=90 ο. A B 23

6 εωμετρία και Λυκείου Πόρισμα ν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα. ηλαδή, αν መ=90 ο τότε: 30. ଶ = ௯௰ ߀ =30 ߁ ο ΤΡΠΖΙΟ Ορισμός Τραπέζιο λέγεται το κυρτό τετράπλευρο που έχει μόνο δύο πλευρές παράλληλες. Οι παράλληλες πλευρές και του τραπεζίου λέγονται βάσεις του τραπεζίου. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα κάθετο στις βάσεις του τραπεζίου με τα άκρα του στους φορείς των βάσεων λέγεται ύψος του τραπεζίου. Το ευθύγραμμο τμήμα Ζ που ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του λέγεται διάμεσος του τραπεζίου. υ Ζ Η διάμεσος Ζ του τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους.. ߁߂+߀ Ζ= ηλαδή, Ζ//// και 2 Πόρισμα Η διάμεσος Ζ τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα Κ και Λ των διαγωνίων του και το τμήμα ΚΛ είναι παράλληλο με τις βάσεις του και ίσο με την ημιδιαφορά των βάσεων του.. ߀ ߁߂ ΚΛ= ηλαδή, 2 Κ Λ Ζ Ισοσκελές τραπέζιο Ορισμός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι μη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 24

7 εωμετρία και Λυκείου Ιδιότητες ισοσκελούς τραπεζίου ν ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές, τότε: (i) Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μια βάση είναι ίσες. (ii) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες. Κριτήρια για να είναι ένα τραπέζιο ισοσκελές Ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές, αν ισχύει μια από τις παρακάνω προτάσεις. (i) Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μια βάση του είναι ίσες. (ii) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες. ΣΚΗΣΙΣ 1. Συµπληρώστε τις προτάσεις: α) Το παραλληλόγραµµο που έχει ίσες διαγωνίους λέγεται... β) Το παραλληλόγραµµο που είναι ορθογώνιο και ρόµβος λέγεται. γ) Στο τετράγωνο οι διαγώνιοι έχουν τις παρακάτω ιδιότητες: i)... ii)... iii) ια να είναι ένα τετράπλευρο ορθογώνιο παραλληλόγραµµο πρέπει: α) Να έχει δύο γωνίες ορθές β) Οι διαγώνιοί του να διχοτοµούνται γ) Να είναι παραλληλόγραµµο µε µια γωνία ορθή δ) Να έχει τις απέναντι γωνίες του ίσες ε) Να έχει τις απέναντι πλευρές του ίσες. 3. Ένα παραλληλόγραµµο δεν είναι ρόµβος όταν: α) ύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες β) Οι διαγώνιοί του τέµνονται καθέτως γ) Οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του είναι ίσες δ) ύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες ε) Όλες οι πλευρές του είναι ίσες. 4. ίνεται παραλληλόγραµµο και από τις απέναντι κορυφές του και φέρνουµε καθέτους και Ζ στη διαγώνιο. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και Ζ είναι ίσα. β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο Ζ είναι παραλληλόγραµµο. 25

8 εωμετρία και Λυκείου 5. Οι διαγώνιοι ενός τετραπλεύρου είναι ίσες. ν Κ, Λ, Μ, Ν είναι τα µέσα των πλευρών του, αποδείξτε ότι το ΚΛΜΝ είναι ρόµβος. 6. Να αποδείξετε ότι: α) τα µέσα των πλευρών ρόµβου είναι κορυφές ορθογωνίου. β) τα µέσα των πλευρών τετραγώνου είναι κορυφές άλλου τετραγώνου. 7. ίνεται παραλληλόγραµµο µε γωνία = 45. πό το µέσο Μ της φέρνουµε κάθετη πάνω στη και έστω και Ζ τα σηµεία στα οποία αυτή τέµνει τις και (ή τις προεκτάσεις τους) αντιστοίχως. ποδείξτε ότι το Ζ είναι τετράγωνο. 8. ίνεται τρίγωνο και Η σηµείο της πλευράς τέτοιο ώστε Η = ν είναι το µέσο της διαµέσου, αποδείξτε ότι Η = // A ίνεται τρίγωνο. πό το µέσο Μ της γράφουµε ευθύγραµµο τµήµα Μ ίσο και παράλληλο προς την και ένα άλλο Μ ίσο και παράλληλο προς την (τα σηµεία και βρίσκονται στο ηµιεπίπεδο που ορίζεται από τη και το ση- µείο ). Να αποδείξετε ότι: α) Τα σηµεία,, βρίσκονται στην ίδια ευθεία β) = γ) Η περίµετρος του τριγώνου Μ ισούται µε την περίµετρο του. 10. Να αποδείξετε ότι η διχοτόµος της ορθής γωνίας ορθογωνίου τριγώνου διχοτοµεί τη γωνία που σχηµατίζεται από το ύψος και τη διάµεσο που αντιστοιχούν στην υποτείνουσα. 11. Σε ένα παραλληλόγραµµο είναι = 120 και η διχοτόµος της γωνίας τέµνει την στο µέσον της. Ι. Η γωνία είναι: α) 30 β) 40 γ) 50 δ) 60 ε) 70 ΙΙ. ποδείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές 26

9 εωμετρία και Λυκείου ΙΙΙ. ν = κ. το κ ισούται µε: α) 1 β) 2 γ) 21 δ) 3 ε) 31 ΙV. ν Ζ αποδείξτε ότι = 2Ζ ίνεται τραπέζιο µε βάσεις, και =. ν, Ζ, Η είναι 2 τα µέσα των,, αντιστοίχως, να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. ν Θ είναι το σηµείο τοµής της και της προέκτασης της Ζ, να αποδειχθεί ότι το Θ ισούται µε τη διαφορά των βάσεων του τραπεζίου. 13. ίνεται το τραπέζιο µε βάσεις και και <. Παίρνουµε τυχαίο σηµείο Μ της και το ενώνουµε µε τα µέσα και Ζ των και αντιστοίχως. Στις προεκτάσεις των ΜΖ και Μ παίρνουµε αντιστοίχως ευθύγραµµα τµήµατα ΖΗ = ΖΜ και Θ = Μ. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Θ,,, Η είναι συνευθειακά. 14. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο µε κορυφή το. Στην προέκταση της παίρνουµε σηµείο Μ από το οποίο γράφουµε ευθείες παράλληλες προς τις και που τέµνουν τις προεκτάσεις των και στα σηµεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι η διαφορά δύο πλευρών του σχηµατιζόµενου παραλληλογράµµου ισούται µε καθεµιά από τις ίσες πλευρές του τριγώνου. 15. Σε τραπέζιο είναι // και =. είξτε ότι η είναι διχοτόµος της γωνίας. 27

10 εωμετρία και Λυκείου 28