Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Transcript

1 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ορίζουσες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

2 Ορίζουσα H Ορίζουσα είναι ένας αριθμός και ορίζεται μόνον για τετραγωνικούς πίνακες. Κάθε τετραγωνικός πίνακας έχει ορίζουσα και είναι μοναδική. Συμβολισμός det ή Ορίζουσα 1x1 [ a] a Ορίζουσα 3x3 Ορίζουσα 2x2 a b ad bc c d a b c e f d f d e d e f a b + c aei + bfg + cdh ceg afh bdi h i g i g h g h i Μέθοδος Sarrus (Εφαρμόζεται μόνον σε 3x3 πίνακα) a b c a b d e f d e aei + bfg + cdh ceg afh bdi g h i g h det : M( F) F

3 Ελάσσων Ορίζουσα του πίνακα Α ( 1) ( 1) Είναι η ορίζουσα του πίνακα, που προκύπτει διαγράφοντας την i γραμμή και την j στήλη του πίνακα Α M a a... a... a j 1 a a... a... a j a a... a... a i1 i2 i a a... a... a 1 2 j Προσαρτημένος Πίνακας του πίνακα adj( ) ( ) T όπου ( 1) i+ j M Αλγεβρικό Συμπλήρωμα ή Συμπαράγοντας του a

4 Ανάπτυγμα Laplace Έστω ο πίνακας: Ανάπτυγμα ορίζουσας ως προς τα στοιχεία της i γραμμής: a a + a a k 1 ik ik i1 i1 i2 i2 i i ( 1) am + ( 1) am ( 1) am i+ 1 i+ 2 i+ i1 i1 i2 i2 i i Ανάπτυγμα ορίζουσας ως προς τα στοιχεία της j στήλης: a a + a a k 1 ( a ) kj kj 1j 1j 2 j 2 j j j ( 1) a M + ( 1) a M ( 1) a M j+ 1 j+ 2 j+ 1j 1j 2 j 2 j j j Παρατήρηση: Το ανάπτυγμα της ορίζουσας κατά Laplace μπορεί να γίνει ως προς οποιαδήποτε γραμμή ή στήλη μας βολεύει. Η τιμή της ορίζουσας είναι μοναδική και δεν μεταβάλλεται.

5 Ανάπτυγμα Ορίζουσας Το τελικό ανάπτυγμα της ορίζουσας έχει! όρους. Κάθε όρος περιέχει στοιχεία του πίνακα με την προϋπόθεση κάθε στοιχείο να βρίσκεται σε διαφορετική γραμμή και στήλη από τα υπόλοιπα στοιχεία του όρου. Το πρόσημο του όρου μπορεί να καθοριστεί από το πρόσημο της μετάθεσης των αριθμών 1,, που αντιστοιχεί στους δείκτες των γραμμών, αν τοποθετήσουμε τους δείκτες των στηλών κατά αύξουσα σειρά. Θετική κλίση σ ( p) k 1 α α α a a a a a a Αρνητική κλίση σ ( paa ) a i1 i2 i : Το πρόσημο της μετάθεσης των αριθμών 1,, Επίσης ισχύει: σ ( p) ( 1) N ( i i i ),,, 1 2 Πλήθος αρνητικών κλίσεων Για το υπολογισμό του πρόσημου μιας μετάθεσης αθροίζουμε για κάθε αριθμό το πλήθος των μικρότερών του αριθμών που βρίσκονται δεξιότερά του. Αν το σύνολο είναι άρτιο τότε το πρόσημο είναι + διαφορετικά είναι Π.χ. η μετάθεση έχει θετικό πρόσημο καθώς το υπολογιζόμενο σύνολο βγαίνει 6 γιατί δεξιότερα του 3 υπάρχουν δύο μικρότεροι αριθμοί, δεξιότερα του 5 υπάρχουν τρεις, δεξιότερα του 1 κανένας, δεξιότερα του 4 ένας και δεξιότερα του 2 κανένας. Μετάθεση Μία συγκεκριμένη διάταξη όλων των αριθμών 1,, (χωρίς επαναλήψεις)

6 Ανάπτυγμα Ορίζουσας (Παράδειγμα) 4 4 4! 24 Το τελικό ανάπτυγμα της ορίζουσας έχει όρους. α α α α a a α a α α α α a a α a a a a a a a a a a a a a + a a a a + a a a a a a a a a a a a + a a a a + a a a a a a a a a a a a + a a a a a31a12a23a44 a31a12a43a24 a31a22a13a44 + a31a22a43a14 + a31a42a13a24 a31a42a23a14 a a a a + a a a a + a a a a a a a a a a a a + a a a a Σε κάθε όρο οι δείκτες των στηλών γράφτηκαν σε αύξουσα σειρά ενώ οι δείκτες των γραμμών κάθε όρου αποτελούνται από το σύνολο των δυνατών μεταθέσεων των αριθμών 1,,4. a a a a Το πρόσημο π.χ. του όρου είναι αρνητικό καθώς η μετάθεση των γραμμών του είναι η 3,4,2,1 και έχει αρνητικό πρόσημο επειδή δεξιότερα του 3 υπάρχουν δύο μικρότεροι αριθμοί, δεξιότερα του 4 υπάρχουν επίσης δύο μικρότεροι αριθμοί, δεξιότερα του 2 υπάρχει ένας μικρότερος αριθμός και δεξιότερα του 1 κανένας, δίνοντας ένα σύνολο 5 μικρότερων αριθμών, που είναι περιττό.

7 Ιδιότητες Ορίζουσας 0 I 1 Όλα τα στοιχεία μιας γραμμής ή στήλης είναι ίσα με το μηδέν Δύο γραμμές ή στήλες είναι πολλαπλάσιο η μία της άλλης (ή ταυτίζονται) O 0 B B Η ορίζουσα ενός άνω ή κάτω τριγωνικού ή διαγώνιου πίνακα ισούται με το γινόμενο των στοιχείων της διαγωνίου του. Άρτιου πλήθους εναλλαγές γραμμών (ή στηλών) δεν μεταβάλλουν το πρόσημο της ορίζουσας, ενώ περιττού πλήθους εναλλαγές αλλάζουν το πρόσημο της ορίζουσας. Η πρόσθεση σε μία γραμμή ενός πολλαπλάσιου μίας άλλης γραμμής δεν μεταβάλλει την ορίζουσα. Το ίδιο ισχύει και για τις στήλες. Αν πολλαπλασιάσουμε κάθε στοιχείο μίας γραμμής (ή στήλης) με τον ίδιο αριθμό k, τότε η ορίζουσα πολλαπλασιάζεται με τον k. k k Επίσης ως συνέπεια έχουμε: Αν κάθε στοιχείο μίας γραμμής (ή στήλης) είναι άθροισμα λ προσθετέων, τότε η ορίζουσα αναλύεται σε άθροισμα λ οριζουσών T + B + B λ λ (Εν γένει) Προσοχή:, Ο αντίστροφος του Α υπάρχει αν και μόνον αν 0 και είναι ο: 1 1 adj ( ) Η ορίζουσα του αντιστρόφου ισούται με: 1 1

8 Γεωμετρική Ερμηνεία Ορίζουσας Η απόλυτη τιμή της ορίζουσας του ισούται με τον όγκο του παραλληλεπιπέδου του -διάστατου χώρου, του οποίου οι ακμές ορίζονται από τις γραμμές του Α. π.χ. στον 3-διάστατο χώρο: a a a a a a a a a z ( a, a, a ) V det ( a, a, a ) y ( a, a, a ) x

9 Ορίζουσες Στοιχειωδών Πινάκων Αν ο στοιχειώδης πίνακας E προκύπτει από τη στοιχειώδη πράξη E 1 r i r j τότε Αν ο στοιχειώδης πίνακας E προκύπτει από τη στοιχειώδη πράξη E λ, λ 0 r i λ r i τότε Αν ο στοιχειώδης πίνακας E προκύπτει από τη στοιχειώδη πράξη E 1 ri ri +λ rk τότε Υπολογισμός Ορίζουσας με απαλοιφή Gauss Αν η απαλοιφή Gauss δίνει έναν άνω τριγωνικό πίνακα U: τότε r το πλήθος ανταλλαγών γραμμών ( ) k E E E U ή r ( 1) ( γιν όµενο οδηγ ών ), αν ο µηιδιάζων 0, αν ο ιδιάζων U EE E k k 1 1

10 Ορίζουσες και Λύσεις Γραμμικών Συστημάτων Μη ομογενή συστήματα Κανόνας Cramer x b Το γραμμικό σύστημα με 0 έχει μοναδική λύση την: x i i, i 1,2,, όπου i ο πίνακας, που προκύπτει από τον αν αντικαταστήσουμε την i στήλη του με τη στήλη b των σταθερών όρων του συστήματος. Παρατήρηση: Ο κανόνας Cramer ενδείκνυται μόνον για μικρά συστήματα (2x2 ή 3x3). Για μεγαλύτερα συστήματα είναι υπολογιστικά ασύμφορος. (Σε αυτή την περίπτωση προτιμάται η απαλοιφή Gauss.) Ομογενή συστήματα Το ομογενές γραμμικό σύστημα x O έχει μοναδική λύση (την μηδενική) αν-ν έχει άπειρες λύσεις αν-ν 0 0