για τις οποίες ισχύει ( )

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "για τις οποίες ισχύει ( )"

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

2 . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα για τις οποίες ισχύει 5,ώστε να ισχύει f g g () f. γ) Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει εφαπτοµένη στη γραφική παράσταση της g που να είναι παράλληλη στον άξονα. α) Αρκεί για g g ( ) ( ) () g g f g f g g( ) g( ) () Θέτω: κ + + κ + > κ κ 4 5 " " κ " " () κ( ) κ( ) β) Για την κ κ κ( ) κ() < θ. Β θ κ θ κ() () κσυν [,] θ 5 f g( θ) θ θ g( θ) κ( θ) f g( θ ) κθ + g( θ) f g( θ) g( θ) Για το g(θ): υπάρχει : g( θ ) Άρα f, άρα : f, : γ) Έστω ότι υπάρχει εφαπτοµένη της C // στον, δηλαδή θ : g ( θ) () ( ) + + () + 5 ( f g ) ( ) ( g ) θ f g g g g g ( θ ) f g( θ ) g ( θ ) 5θ + + g ( θ ) f g( θ ) 5θ + + 5θ + άτοπο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

3 . Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f, g: ώστε: f() + f() f(6) g() + g() g(6)(). Να αποδείξετε ότι υπάρχει [,6], ώστε: f g. () ( f g ) ( f g ) ( f g ) () () + () () (6) (6) () Έστω: h f g συνεχής στο [,6 ], άρα σύµφωνα µε θεώρηµα µέγιστηςελάχιστης τιµής m h M, για καθε [,6] [ ] [ ], 6 m h() M, 6 m h() M... 6, 6 m h(6) M [ ] 6m 6M m M ( + ) () 6 m h() + h() h(6) 6M Άρα το είναι ανάµεσα στη µέγιστη και στην ελάχιστη τιµή της h, άρα είναι τιµή της h, δηλαδή [ ] υπαρχει,6 : h f g. ίνεται µία συνάρτηση f συνεχής στο διάστηµα [ a, β ] τέτοια ώστε να ισχύει f( a) f( β ) >. ίνεται επιπλέον ότι υπάρχει µοναδικός αριθµός ( a β ) f ( ). είξτε ότι για κάθε [ a, β ] ισχύει f f( a). ώστε, Αφού θέλω για κάθε [ a, β ] [ ] θ a, β : f( θ) f( a) < να ισχύει f f( a), τότε έστω ότι υπάρχει Όµως, f( a) f( θ ) f( a) < f συνεχης στο [ a, θ ] f( θ) f( β) < θ. Β. ( a ) ξ, θ : f( ξ ) [, ] f β > θ. Β. ξ [ θ β) f ξ f( θ ) f( a) < f συνεχης στο θ β Άρα η f έχει δύο ρίζες διαφορετικές στο ( a, β ), άτοπο., ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

4 4. Για µια συνεχή συνάρτηση f :[, ] a β δεχόµαστε ότι: f ( β ) > β. Να δείξετε ότι: «αν β f d α < β α, τότε η εξίσωση f έχει λύση». Το β α θυµίζει: β α β d α Θέτω: g f Αρκεί να υπάρχει [ β ] a, : g( ) f( β) > β f( β) β > g( β) > β a f d< a f d< β β β α α β β β f d < d ( f ) d < α α α β gd < α Αφού g: συνεχής και το ορισµένο ολοκλήρωµα είναι αρνητικό, τότε η g θα έχει τουλάχιστον µία αρνητική τιµή στο [ a, β ]. (Γιατί αν όλες οι τιµές ήταν θετικές, τότε και το ολοκλήρωµα θα ήταν θετικό, άτοπο). Άρα, [ a ] υπαρχειξ, β : g( ξ ) < g( β) g( ξ) < θ. Β. υπαρχει ( ξ, β ) ( a, β ): g g συνεχης στο ξ β [, ] 5. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο [, ] κάθε [ a, β ] ( a, β ) a β και f για. Αν f( a) f ( β ) f( β ) f ( a) (), να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ τέτοιο ώστε: f( ξ ) f ( ξ ) >. υπάρχειη f f παραγωγ ίσιµη f συνεχής f παραγωγ ίσιµη f συνεχής (παντα στο [ a, β ] ) f f συνεχής f διατηρεί πρόσηµο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

5 4 f f( a) f( β ) () f( a) f ( β) f( β) f ( a) () f ( a) f ( β ) f f στο β,g παραγωγίσιµη άρα: Θέτω: g [ a, ] f f f f f f f g g () f f ga f( a) f ( a) () f ( β ) g( β ) f ( β ) gσυνεχης στο α β ga g( β ) [, ] θ. Roll. gπαραγωγισιµη στο α, β υπ άρχει α, β : g ( ) ga g( β ) () f ( f( ) f ( ) υπάρχει a, : ( β ) ( f ( ) ( f ) ( > f ( f( ) f ( ) f( ) f ( ) > ξ 6. ίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο ώστε να ισχύει f( + κ) + f (), για κάθε, όπου * κ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f έχει άπειρες πραγµατικές λύσεις. () f( κ + κ) + f( κ) f( κ) f () f( + κ + κ) + f( + κ) f( + κ) f( + κ) () κ + κ f( + κ ) f () κ () f κ + κ + f κ f( κ) + f( κ) f + f( κ) f( κ) f () (),() f( κ) f f( + κ) (4) Άρα η f ( ) περιοδική µε περίοδο T κ. f() f( κ ), άρα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 4

6 5 [, κ ] θ. Roll. f συνεχής στο f παραγωγίσιµη στο, κ υπαρχειξ, κ : f ( ξ) f() f( κ) (4) f ( κ)( κ) f f ( + κ)( + κ) f ( κ) f f ( + κ) Άρα η f περιοδική µε περίοδο T κ. Όµως, η f έχει στο (, κ ) ρίζα, δηλαδή σε µία περίοδο έχει ρίζα, άρα και σε κάθε άλλο διάστηµα πλάτους κ θα έχει ρίζα (λόγω περιοδικότητας). Άρα η f έχει άπειρες λύσεις, µία τουλάχιστον στο πλάτος κάθε περιόδου. 7. Έστω f συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιµη στο [, 4 ]. Αν f(), f() >, f() < και (4) 4 f ( ). f, να αποδείξετε ότι υπάρχει, 4 τέτοιο ώστε f () f (4) 4 Με οδηγεί να θέσω: g f ( ), άρα g f g() f() g(4) f(4) 4 g() f() > g() f() < g() g() < g συνεχης g συνεχής [,] [, θ ] θ. Βolzano. υπάρχειθ, : g( θ ) θ. Roll. g παραγωγίσιµη, θ υπάρχειξ, θ : g ( ξ ) g() g( θ ) g συνεχης θ [,4] θ. Roll. g παραγωγισιµη θ,4 υπαρχει ξ θ,4 : g ( ξ ) g( θ ) g(4) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 5

7 6 g συνεχης ξ ξ [, ] θ. R. g παραγωγισιµη ξ, ξ υπ άρχει ξ, ξ,4 : g ( ) g ( ξ ) g ( ξ ) 8. Έστω a, β, γ ώστε a + β + γ. Να αποδείξετε ότι β αγ β αγ : θυµίζει ιακρίνουσα α γ 4 β β αγ. Θέτω: a γ α γ f + β + µε β 4 Θέτω: a F + β + γ, αρχική της f ( ). 6 F() a β γ a+ β + γ F() F() F() F συνεχης F() F() [,] (,) F παραγωγισιµη θ. R. υπάρχειξ ( ενα τουλάχιστον ), : F ( ξ ) υπ άρχει ξ ( ενα τουλάχιστον ), : f ( ξ ) Όµως η f ( ) είναι τριώνυµο και έχει τουλάχιστον µία ρίζα, άρα α γ 4 β β aγ 9. ίνεται συνάρτηση f : µιγαδικών αριθµών A { i f, } παραγωγίσιµη στο καθώς και το σύνολο των +. Αν οι µιγαδικοί κ( i), λ( i) + + ανήκουν στο Α, όπου κλ>, µε κ λ, να αποδείξετε ότι υπάρχει θ έτσι ώστε: f( θ ) f ( θ ). κ ( + i) A άρα, υπαρχει : + if( ) κ ( + i) + if( ) κ + κi κ f( ) () f( ) κ λ ( + i) A άρα, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 6

8 7 λ υπαρχει : if( ) ( i) f( ) () + λ + f λ f( ) f f (), () f Θέτω: f g f f f f g g () ( ) g g f( ) f( ) g g [, ] g συνεχης θ. Roll () g παραγωγισιµη(, ) υπ άρχειθ ( ξ, ξ) : g ( θ ) f ( θ ) f( θ ) g g. Έστω f : παραγωγίσιµη συνάρτηση µε f f ( ) () για κάθε. Αν f (), να αποδείξετε ότι: α) f f( ) για κάθε β) f για κάθε γ) Η C f εφάπτεται στην ευθεία ε : y + α) () f ( ) f ( ) () (),() f f ( ) f( ) f f f( ) f f ( ) f f( ) + f ( f( ) ) ( f f( ) ) για καθε f f( ) c f() f( ) c c, άρα f, f( ) Άρα, f f () ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 7

9 8 β) () f( ) f () f f f για καθε f C f : f() C C Άρα f A f το σηµείο επαφής. Η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι: f ( ), γ) Έστω (, ). f ε : y f( ) f ( ) y f ( ) f ( ) + f( ) Όµως, ε : y +. Πρέπει ε ε f ( ) f ( ) + f( ) ισχύει Άρα η y + εφάπτεται στο (, ) (,). Έστω η συνάρτηση f ορισµένη και συνεχής στο [ a, β ] και παραγωγίσιµη στο ( α, β ) µε f( a) f( β ). Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ,..., ξ ( a, β) f ( ξ ) + f ( ξ ) f ( ξν ) () ν, ώστε Επειδή θέλω ν τιµές i καθένα. ξ για να ισχύει η () χωρίζω το [, ] a β σε ν διαστήµατα πλάτους β α το ν Πρέπει: β β α α β + α ν ν ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 8

10 9 β α β α β α ν ν β α β α + α β ν ν β α β α ν ν ν ν ν ν ν Η f σε καθένα από τα ν αυτά κλειστά διαστήµατα είναι συνεχής. Η f σε καθένα από τα ν αυτά ανοικτά διαστήµατα είναι παραγωγίσιµη σύµφωνα µε θ.μ.τ. β α f( a+ ) f( a) β α ξ aa, : f ν + ξ ν β α ν β α β α f( a+ ) f( a+ ) β α β α ξ a, a : f ( ) ν ν + + ξ ν ν β α ν β α β α f( a+ ) f( a+ ) β α β α ξ a, a : f ( ξ) ν ν + + ν ν β α ν... β α f( β) f( a+ ν β α ( ) ) ξν a+ ( ν ), β : f ( ξν) ν ν β α ν + f ( ξ ) + f ( ξ ) f ( ξ ) ν β α β α β α β α f a+ f( α) + f α + f a f( β) f a+ ( ν ) ν ν ν ν β α ν f( β ) f( a) f ( ξ) + f ( ξ) f ( ξν ) β α β α ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 9

11 . ίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιµη στο [, ] a β, τέτοια ώστε f ( β ). Αν f ( β ) >, να αποδείξετε ότι υπάρχει διάστηµα [ a, β ] στο οποίο η f είναι γνησίως φθίνουσα. υπάρχει f f παραγωγισιµη f συνεχης f παραγωγισιµη f συνεχης f f β f ( β ) f f ( β ) > lim > lim > β β β β Άρα η f > κοντά στο β. β ηλαδή υπάρχει δ : για καθε ( β δ, β) ηλαδή ( β δ, β) > να ισχύει να ισχύει f < αφού β και επειδή η f είναι συνεχής, έχω f για καθε [ β δ, β ] f >. β. <, δηλ. f < ( β δ, β). ίνεται το ολοκλήρωµα I π π ηµ d. Να αποδειχθεί ότι: + π ηµ i) I d π + και ii) I π i) Θέτω: π π y ( γενικά a+ β y) Άρα y d dy dy d π π y y π π π y y π Άρα ( ηµ y) π ηµ π ( y) ηµ ( y) π y I d dy dy π y π + + π + y y π yηµ y π y ηµ y π ηµ dy dy d π y y + π + π + y ii) I I π π π π ηµ d + + I ηµ d + π π ηµ + ηµ d + ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

12 π ηµ ( + ) π I d I ηµ d π + π π π π I ( συν ) d I ( συν ) ( συν ) d π I π συνπ ( π ) συν ( π ) + συν d [ ] I π ( ) + π ( ) + ηµ π I π + π + ηµπ ηµ ( π) I π I π π π π π π 4. Να αποδειχθεί ότι: I συν π / ( ηµ ) π d. ηµ συν ( συν ) + ( ηµ ) 4 Θέτω: π y d dy dy d π π y y π π π y y π ηµ ηµ y συνy π συν συν y ηµ Άρα, π / ηµ y ( συν y) y ( ηµ y) + ( συν y) συν ηµ y ( dy) I I π / ηµ y ( συν y) y ( ηµ y) + ( συν y) συν ηµ y dy I π / ηµ ( συν ) π / συν ( ηµ ) ( ηµ ) + ( συν ) ( ηµ ) + ( συν ) συν ηµ ηµ ( + ) συν π / ηµ + συν συν + ηµ I όµως I d συν ηµ π / π π I d I I 4 συν ηµ d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

13 5. Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο, µε > για κάθε. Να f αποδείξετε ότι η εξίσωση Θέτω: g f + f +, έχει ακριβώς µία λύση στο. Αρκεί η εξίσωση g να έχει µοναδική λύση στο. Επειδή > > f f f > f > Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο. g f + Επειδή f f g > + > + > + Όµως + > (τριώνυµο µε < ) τότε g >, άρα g στο. Για h f > h > h() f > f() f > + f(), + Όµως lim + +, άρα lim f + + Για h < h < h() f < f() f < + f() lim, άρα lim f Έχω g στο άρα g( ) g( ) ( lim f, lim f ) g συνεχής στο g( ) + g( ) άρα η g έχει µοναδική ρίζα στο λόγω µονοτονίας της g. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

14 6. ίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο [ a, β ] καθώς και οι µιγαδικοί αριθµοί της µορφής Z + i f, W i f αποδείξετε ότι υπάρχουν θ, θ ( a, β ) +, όπου [ a, β ] Im( Za) Im( Zβ ) f ( a) f ( β ) () Αρκεί: Wθ+ Wθ Wθ+ Wθ θ+ if ( θ) + θ + if ( θ) θ if ( θ) + θ if ( θ) ( f ( θ) + f ( θ) ) i ( f ( θ) f ( θ) ) i f ( θ) + f ( θ) f ( θ) f ( θ) f ( θ ) + f ( θ ) f ( θ ) + f ( θ ). Αν ισχύει Im( Za) Im( Zβ ), να, τέτοια ώστε Wθ + Wθ Wθ+ Wθ. a + β f f( a) a+ β a+ β a + β f συν,,,, (, ): ( a β θ a a β f θ) θ. Π. β α a+ β a+ β a + β f παραγ a,,, β f( β ) f a + β θ, β ( a, β) : f ( θ ) β α a+ β a+ β + f f( a) + f( β ) f ( f β f a f θ) + f ( θ) β α β α f( β) f( β) β α β α 7. Αν a > και η εξίσωση a έχει θετική λύση, να βρεθεί η µικρότερη τιµή του α. Έστω > η θετική λύση της εξίσωσης, τότε a ln ln a ln ln + ln a / / lna ln + ln a ln ln a ln a (ln ) Θέλω τη µικρότερη τιµή του α, άρα αρκεί να βρω την µικρότερη τιµή του Θέτω: f (ln ) D f (, + ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ (ln ).

15 4 (ln ) (ln ) f (ln ) (ln + ) [ ] (ln ) f ln (ln ) (ln ) ln ln f f f f() f < f > f() f f() Άρα min f f() min f. Άρα (ln ) min a. f 6a + a+ 9, όπου a 8. Έστω η συνάρτηση f µε τύπο συν σταθερά. Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο στο σηµείο, τότε: 7a ηµ + a + 9 α) Να αποδείξετε ότι: ( a 8) β) Αν, να βρεθεί ο α. α) f ελάχιστο στο θ. Frmat το εσωτερικό του f ( ) () στο παραγωγ ίσιµη f a+ a+ a+ a + 7 συν 9 ηµ 9 9 f 7a ηµ a + 9 συν a + 9 a + 9 7a ηµ a+ 9 a + 9 7a ηµ ( a+ 8) a + 9 β) ηµ ( a ) 7a + 8, ισχύει. a + 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 4

16 5 7a ηµ ( a + 8) a + 9 7a a + 9 a + 9 a + 9 ισχύει για κάθε a a + 9 7a 7a 9. Έστω οι πραγµατικοί αριθµοί a, b, c, d έτσι ώστε: () a+ b c+ d < () d > () a+ b+ c+ d < Να δειχτεί ότι b ac. (Υπόδειξη: Να θεωρηθεί το πολυώνυµο ρίζες στα διαστήµατα (, ) και (, )). f a b c d και να δειχτεί ότι έχει f a b c d f a b c f( ) a+ b c+ d < f( ) f() < f() d > f() d > f() f() < f() a+ b+ c+ d > [, ] f συν θ. Β. ξ (, ): f ( ξ) f( ) f() < [,] f συν θ. Β. ξ (, ): f ( ξ) f() f() < f συν ξ ξ [, ] θ. R. fπαρ ξ, ξ ξ ξ, ξ : f ( ξ ) τουλάχιστον ένα ξ f( ξ ) f( ξ ) Η f είναι τριώνυµο, έχει τουλάχιστον µία ρίζα, άρα ( b) 4 a c 4b ac b ac ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 5

17 6. Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f :, [ ], για την οποία ισχύει: ( f f ) d. ( f f ) d f f d f f + d f d d 4 f d d f d 4 f f d f f. ίνεται η συνάρτηση f µε f,. + α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση F µε αν f( ) >. F f( t) dt είναι γνησίως αύξουσα στο, β) Να λυθεί η εξίσωση f () tdt. ηµ α) f() t συνεχής f() t dt παραγωγισιµη F f > F στο β) ηµ ηµ f () tdt f() tdt+ f() tdt F F( ηµ ) + F F F( ηµ ) ηµ µοναδικό ισχύει ηµ Και η ισότητα ισχύει µόνο για ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 6

18 7 Β τρόπος f () () tdt f t > ηµ ηµ. ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο: f ( + ) + α) Να µελετηθεί η f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα και να αποδειχθεί ότι είναι: f( ) > για κάθε. β) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων M ( a, β ) για τα οποία ισχύει y y 4 f() t dt α) f + + ( ) f f ( + ) ( + ) ( ) ( + ) f + (,) (,] f < f στο (, ) [, ) + f > f στο + f f f() f f() f 6 f Άρα f > < f > f() β) y y 4 f () t > () 4 f tdt y y + 4 y y A 4, B, Γ + 4Γ 6+ 4 > κκλος A B ύ A B K, K, R R 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 7

19 8. ) Να αποδειχθεί ότι για µια συνάρτηση f : ισχύει: f f f c, όπου c σταθερά. ) α) Να βρεθεί η θετική και παραγωγίσιµη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει: f() t f ( + ) + dt () + t β) Να µελετηθεί η f ως προς την µονοτονία και να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση (c) διαθέτει δύο σηµεία καµπής τα οποία ας σηµειώσουµε µε Α και Β. γ) Να βρεθεί το εµβαδόν του χωρίου που οριοθετείται από την (c) και το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ. ) f f f f f f f f ( ) f ( ) ( ) f c f c Επαλήθευση: f c άρα f f ) f() t ή f f( t) συνεχ ς + t () + dt + + t f() t dt παραγ + t f f( t) f f + dt + t () f c + () f() ( + )( + ) f() f () Άρα c c c + f άρα f ( + ) + f ( + ) + f ( + ) f ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 8

20 9 Και η ισότητα ισχύει για µόνο, άρα f στο. f ( ) + ( ) ( + + ) f f ή ( f ) (, f () ). στο Α, σ. κ στο Β σ κ yb ya AB : y ya ( A) y f ( )... Στο διάστηµα ανάµεσα στα σ.κ. Α, Β η f είναι κοίλη, άρα C AB f AB B A f E f AB d f AB d Θεωρούµε τη συνάρτηση f που ορίζεται από τον τύπο:. t f dt, για κάθε t ) Να καθοριστούν οι τιµές της µεταβλητής για τις οποίες είναι f ln. ) Να προσδιοριστεί (εφόσον υπάρχει) το όριο: t t lim dt. + ) Θέτω: g f ln. Αρκεί να λύσω την g. g f µε g () g g g() g < g < g() g < Άρα η g έχει λύση µόνο για. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 9

21 ) dt t t t t t t t f lim dt lim dt lim dt lim t lim t t t συνεχής dt dt ή t παραγ t συνεχ ς t Για έχω f ln Επειδή lim ln + τ ότε lim f Άρα, f f lim lim lim lim + + ( ) Αν f συνεχής στο [, ], να βρείτε την ελάχιστη τιµή της παράστασης f f( y) dy d f d. ( ) ( ) f f( ydy ) d f( d ) f f( ydy ) d f( d ) f ( y) dy f d f d f d f d f d ( f d κ) κ κ κ κ κ Τριώνυµο µε a >, άρα η ελάχιστη τιµή είναι: ( ) 4 4a Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο και + g ftdt, να δείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα στο. + g f() t dt+ f() t dt g f + f( + ) f Γ ια < + f > f( + ) f( + ) f < g <, άρα g στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

22 7. Η γραφική παράσταση ( C f ) µιας συνεχούς συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα των στο διάστηµα από έως α. Η επιφάνεια που ορίζεται από την καµπύλη ( C ), τον άξονα των και τις ευθείες και a έχει εµβαδόν: a >. E a +, για κάθε ) Να βρεθούν όλες οι ασύµπτωτες που διαθέτει η γραφική παράσταση της f. f ) Να βρεθεί το + lim f ( tdt ). + a a a E a + E + + d d + Άρα η εξίσωση είναι: f συνεχής στο. + Όχι κατακόρυφες lim f lim lim ) Άρα η y οριζόντια στο + lim f lim lim + + Άρα η y οριζόντια στο. ) α τρόπος ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

23 + + + lim f( t) dt lim t dt lim t ( ( ) ) ( ) + lim lim ( ) ( ) lim lim lim β τρόπος () f t συνεχής στο [ +, ] [ ] t t + t t + t () t t + t f t + > t + t + t + t + t + f() t στο, + Άρα από θεώρηµα µέγιστης- ελάχιστης τιµής m f() t M (), όπου m f, M f( + ) λόγω µονοτονίας () mdt f ( t) dt Mdt + ( ) ( ) m + f t dt M m f() t dt M f f() t dt f( + )() lim f lim () + lim f ( tdt ) + ΚΠ.. + lim f( + ) lim ( ) 8. ίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο για την οποία ισχύει f <, για κάθε. Αποδείξτε ότι: f(4) f() < 6. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

24 f < f < f < Θέτω: g f Έχω g < [ ] (, 4) gσυν, 4 θ. ΜΤ. g (7) < g(4) g() g(4) g() ξ (, 4 ): g (7) < g(4) g() < g παρ 4 4 f(4) f() + < f(4) f() < 8 f(4) f() < 6 9. Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών z, αν ισχύει ln z z. ln z z ln z + z () Θέτω: f ln + D (, + ) f + > f στο, + Παρατηρώ f () ln + ln f Άρα, ρίζα και λόγω µονοτονίας µοναδική, άρα f " " f() f() ln z + z f() f( z) z Κύκλος κέντρου (,), ακτίνας.. Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, για την οποία ισχύει f () και, ( ) f ' 5+ 6, για κάθε. Να βρείτε τον τύπο της f.. Έστω ότι μια συνάρτηση f πληροί τις δοσμένες συνθήκες. Τότε για κάθε με θα έχουμε: ( )( ) 5+ 6 f ' f ' f ' + c, < f ' ' f ' + c, > Λόγω συνέχειας στο, αφού είναι παραγωγίσιμη στο, βρίσκουμε ότι c c cκαι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

25 4 επειδή f (), βρίσκουμε ότι c Συνεπώς:. Εξάλλου, επειδή η f είναι συνεχής στο, έχουμε: f +,για κάθε πραγματικό αριθμό f () lim f. Για το όριο θεωρούμε ότι το είναι κοντά στο, για παράδειγμα ότι: (, ) (,), οπότε και συνεπώς f() lim f lim( + ). Συμπεραίνουμε ότι τότε:. f +, για κάθε Όπως βρίσκουμε εύκολα, η συνάρτηση που βρήκαμε πληροί τις δοσμένες συνθήκες και άρα είναι η μοναδική. B. Έστω f συνεχής συνάρτηση στο για την οποία ισχύει: f και u f () t dt du, για κάθε. Υπολογίστε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f, τον και τις ευθείες και. u Θέτω: ( ) g f ( t) dt du + µε g () και g f( t) dt () f E f d f d E f( t) dt () Η g στο παραγωγ ίσιµη. θ. Frmat () Η g στο ακρότατο αϕού g g() g () ftdt Το εσωτερικό του () E E τ. µ.. ίνεται η συνάρτηση f α) Να βρεθεί η µονοτονία της f. µε >. β) Να βρεθεί το + lim f ( tdt ). + ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 4

26 5 α) 4 f > > f 4 + f t συνεχής στο [, ] β) () + και f Άρα θεώρηµα µέγιστης-ελάχιστης τιµής (µε m f και M f( + ) ) m f() t M mdt f() t dt Mdt + ( ) ( ) + m + f t dt M + f f( t) dt f( + ) lim f... + ΚΠ lim f( t) dt + lim f( + ) Όµοια µε 7 αλλά εδώ δεν µπορώ να δουλέψω µε τον α τρόπο γιατί δεν ξέρω το ολοκλήρωµα της f ( ).. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο σηµείο, για την οποία ισχύει: f ln (), για κάθε >. Αποδείξτε ότι: f (). η περίπτωση Αν f παραγωγίσιµη, τότε θα θέσω: g fln + µε g () και άρα g g() > g f ln + f () Η g στο ακρότατο θ. Frmat () Στο παραγωγ ίσιµη g () f () ln + f() f() Τ ο εσωτερικό στο, + η περίπτωση Αν f όχι παραγωγίσιµη, τότε δεν µπορώ να εφαρµόσω Frmat. Για > ln> ln ln> ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 5

27 6 fln () f () ln ln ln lim lim ln () lim f lim lim f (4) ln Για < ln< ln ln< fln () f ln ln ln lim f lim lim f (5) ln Όµως f συνεχής lim f lim f lim f f() (4) f () f () (5) f () +. Αν () z z + z z z z, δείξτε ότι δεν µπορεί να είναι και οι πραγµατικοί. Az Bz Γ ( z) Άρα () ΑΒ +ΒΓ ΑΓ Άρα, ΑΒΓ ορθογώνιο, άρα αποκλείεται Α, Β, Γ συνευθειακά. 4.Αν f συνεχής, f :, f(), z, και t z+ 5 i f( t) dt z+ 5i dt+ ( ) () α) Βρες τον γεωµετρικό τόπο του M ( z) ( c ). β) Βρες τον τύπο της h που έχει γραφική παράσταση την ( c ). γ) Εµβαδόν από H h( t) dt,, yy,. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 6

28 7 t α) g z+ 5 iftdt + z+ 5i dt ( ) g() g z i f z i g z+ 5 i f + z+ 5i () () g g() άρα η C g στο έχει ακρότατο Από Θ. Frmat () g () z+ 5 i f() z+ 5i z+ 5i + z+ 5i 6 z+ 5i + z 5i 6 z ( i) z ( i) (, 5) (,5) E E M z Άρα ME + ME 6 έλλειψη µε a 6 a y y y y y y ( 9) ( 9) ( 9) ± 6 9 Άρα h ( 9) γ) E H d H h dt H h > H > H > H > H() H > [ ] E H d H d H H d h d h d 4 4 / h d h d 9d ( 9) d * 8 / 8 8 / u... d u du ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 7

29 8 9 * u 9 u 8 u du d 5. Αν f :, +, f : συνεχής 4 tf t dt ln + (), >. α) είξτε ότι: f ( + ) β) Το εµβαδό που περικλείεται από την γραφική παράσταση της g m g + f, τους άξονες, yy, γ) Να βρεθούν οι οριζόντιες ασύµπτωτες της h g ηµ α) u t du dt dt du t u u t u u 4 tf ( t) dt f ( u) du u u f( u) du f( u) du f( u) du u f( u) du f( u) du 4 4 () uf ( u) du f ( u) du ln + f f ( u) du f + f( u) du f f + + ( + ) + + β) g ( + ) f ( + ) > στο (, + ) ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 8

30 9 E g d d d ( ) ( ln + + ) d + ln ( + )... γ) Οριζόντιες ασύµπτωτες µόνο στο + + ηµ lim ηµ lim l lim lim ( + ) lim h lim g ηµ lim ηµ u, u lim + ηµ ηµ u lim lim + u u Άρα l, άρα lim h εποµένως η y οριζόντια στο ίνεται η συνάρτηση f : µε τύπο f +, για κάθε. i) Να αποδείξετε ότι η f είναι «-» και ότι το σηµείο A (,) είναι κοινό σηµείο των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της ότι αυτή έχει και δεύτερο κοινό σηµείο µε την C f. f. C στο σηµείο (,) f A και να αποδείξετε iii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της σηµείο A (,). f στο iv) Να υπολογίσετε το όριο: lim f. i) Έχουµε + > για κάθε, διότι το τριώνυµο f + έχει διακρίνουσα 4 8<. Άρα, η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεπώς «-». Επίσης, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 9

31 ισχύει f (), οπότε και f (). Το σηµείο A (,) είναι κοινό σηµείο των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f. ii) εφαπτοµένη ( ε ) της C στο σηµείο (,) f A : y f() f ()( ) y ( ) y Η f ισοδύναµα γράφεται: + + ή εύτερο κοινό σηµείο της ( ε ) µε την C : B (, ) f iii) C, C συµµετρικές ως προς την ευθεία y. Το ίδιο ισχύει µε την ( ε ) της f f A (,) και τη ζητούµενη εφαπτοµένη η της C στο (,) f A. C f στο εξίσωση της ( ε ): y εξίσωση της ( η ) : iv) y y + f f () lim ισούται µε την παράγωγο της f στο σηµείο, η οποία παράγωγος ισούται µε τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτοµένης ( η ), που είναι Άρα, f f () lim λ. 7. Έστω συνάρτηση f :, [ ) + η οποία είναι παραγωγίσιµη και κυρτή. i) Να αποδείξετε ότι: f < f( + ) f < f ( + ), για κάθε >. ii) Να µελετήσετε ως προς την µονοτονία τις συναρτήσεις FG, :[, ) + µε τύπους: + F f( t) dt f και + G ftdt f( + ), για κάθε. iii) Να αποδείξετε ότι: f () f() < f( tdt ) f( tdt ) < f() f() ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

32 i) f παραγωγίσιµη στο [, + ), ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο [, ] κάθε >. f( + ) f ξ (, + ): f ( ξ) f( + ) f ( + ) + για Άρα f < f ( ξ ) < f ( + ), για κάθε > που ισχύει διότι < ξ < +. Η f αφού η f είναι κυρτή. ii) + + και F ( ) f () t dt+ f () t dt f ( ) f () t dt f () t dt f ( ) + G f( t) dt f( t) dt f( + ) Άρα, F f( + ) f f και G f( + ) f f ( + ) για κάθε. F > για κάθε > G < FG, συνεχείς στο [, + ), άρα F :γνησίως αύξουσα και G : γνησίως φθίνουσα iii) Από την µονοτονία FG, συµπεραίνουµε ότι: F() < F() και G() > G() F() < F() f( t) dt f() < f( t) dt f() f() f() < f( t) dt f( t) dt G() < G() f( t) dt f() < f( t) dt f() f() t dt f() t dt < f() f() Εποµένως:. f () f() < f( t) dt f( t) dt < f() f() ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

33 8. Έστω συνάρτηση f : η οποία είναι συνεχής τέτοια, ώστε: f dt, για κάθε. f () t + i) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη και γνησίως αύξουσα. f ii) Να βρείτε το lim. f + f για κάθε. iv) Αν το σύνολο τιµών της f είναι το f ( ), να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f και τις ευθείες y,. iii) Να αποδείξετε ότι: i) f () t + συνεχής στο και παραγωγίσιµη στο. f () t + f dt > για κάθε. Άρα, η f είναι γνησίως αύξουσα. f () t + f + ii) f παραγωγίσιµη συνεχής lim f f() dt f () t + (Είναι άρα:) d L'Hospital f f lim lim lim f + f () + iii) f ( ) f + f f f + ή ισοδύναµα f f + f ( f + f ) f + f + c για κάθε Για f + f c c : () () Άρα, f + f για κάθε iv) Η f είναι και «-». Έχει αντίστροφη f που ορίζεται σε όλο το. f y y + y y + y Άρα, f + + για κάθε. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

34 f για κάθε [,] E f d.. + d E τ µ + + f( u) 9. Έστω συνάρτηση f : η οποία είναι συνεχής τέτοια, ώστε: f > du u + για κάθε. Να αποδείξετε ότι: i) η συνάρτηση g f( u) ii) > για κάθε >. u + iii) f( ) > για κάθε >. f( u) du u +, είναι γνησίως αύξουσα. + iv) f ( u ) + du > f u du u +, για κάθε >. u + v) αν υπάρχει το lim f, τότε αυτό είναι ίσο µε +. + i) f( u) f( u) ( + ) du du u + u + g ( + ) f f( u) f( u) f du + >, για κάθε. ( + ) du ( ) + u + u ( + ) ( + ) Άρα, η g είναι γνησίως αύξουσα. ii, iii) Για κάθε > θα ισχύει: g > g() f( u) du u + >, + + > άρα f( u) du > u + f( u) Για κάθε > ισχύει: > και du u + > f( u) Άρα, f > du >, για κάθε > u + ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

35 4 iv) g για κάθε > ισχύει: g > g() f( u) du u + f( u) > du + u + Για κάθε > : + du + u + f ( u ) du > f u u f( u) f( u) u + u + v) Από το ερώτηµα (iv) προκύπτει: dt > ( + ) du, για κάθε f( u) f > + dt u + Όµως, lim + Άρα, lim +, για κάθε + lim + και + f( u) + du + u + f( u) lim f lim + du + + u + Άρα, lim f + + > () f( u) du > u + >. 4. Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιµη στο, µε συνεχή δεύτερη παράγωγο και σύνολο τιµών το διάστηµα [, ] a β, όπου a < < β. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν δύο τουλάχιστον σηµεία,, µε, ώστε f f. ii) υπάρχει ένας τουλάχιστον αριθµός, ώστε f. iii) Η εξίσωση f + f f έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο. iv) Η εξίσωση [ ] f + f, έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο. i) Αφού η f έχει σύνολο τιµών [ a, β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει ώστε f ( ) a () και µέγιστη τιµή β, δηλαδή υπάρχει ώστε f β (). Επειδή η f είναι παραγωγίσιµη στο, από το θεώρηµα Frmat έχουµε f ( ) και Άρα,. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 4 f.

36 5 ii) Έστω π.χ. f ( ) f ( ) <. Η f είναι συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιµη στο (, ). Από το θεώρηµα Roll, υπάρχει (, ) ώστε f. µε iii) Η συνάρτηση g f f ( f ) + είναι συνεχής στο [, ] µε: g ( ) f + f f a< και g ( ) f + f f β > Από το θεώρηµα Bolzano υπάρχει (, ) εξίσωσης. ξ µε g( ξ ). Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης iv) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] h f και παραγωγίσιµη στο (, ) h f + f f + f f f f µε ( ) f ( ) h f και h f f ( ) ( ) Από το θεώρηµα Roll, υπάρχει ξ (, ), ώστε: h ξ f ξ ( f ξ ) + 4. Έστω f συνεχής συνάρτηση στο (, ) + για την οποία ισχύει f και t f + f dt, για κάθε > και η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι: i) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο. g f +, >. ii) Η g είναι σταθερή στο. iii) Ο τύπος της f είναι f, + iv) Να υπολογίσετε το f +. lim ln f. > και βρείτε το σύνολο τιµών i) Θέτω: t u t u άρα dt du Για t u Για t u ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 5

37 6 f + [ ] [ ] f u du + f u du + > () Άρα, η f είναι παραγωγίσιµη στο µε: f [ f u ] du [ f ] Άρα, η f είναι γνησίως αύξουσα. ii) Η g είναι προφανώς παραγωγίσιµη µε: () f g f [ f ] iii) Για οπότε f + f u du είναι () [ ] g() f () g, για κάθε >. και αφού η g είναι σταθερή, έχουµε: g + f f f + Επίσης, lim και lim Άρα, f( ) ( lim f,lim f ) (,) + iv) f lim lim lim lim lim ln( + ) ln( + ) ( ln( + ) ) ίνεται η συνάρτηση f, ορισµένη στο, µε τύπο: f z + z, όπου z συγκεκριµένος µιγαδικός αριθµός µε z z+ iβ, a, β, a. α) Να βρείτε τα όρια lim f, lim f. + β) Να βρείτε τα ακρότατα της f, εάν z+ > z. γ) Να βρείτε το σύνολο τιµών της f και το πλήθος των ριζών της. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 6

38 7 β a + + a + β 4a f z + z a iβ + a iβ + a + β + a + β 4a 4a α) lim f lim lim a 4a lim f lim lim β) z+ > z a+ iβ + > a+ iβ a+ + β > a + β a> Η f παραγωγίζεται στο µε παράγωγο: ( β ) f 4a ( a + β ) ( β ) + a + β 4 a f 4 a, a> + a + + a + ( + a + β ) ( + a + β ) ( + a + β ) Σύνολο τιµών της f : a a + β M f a +, M > a + β όπου ( β ) f lim f, f a + f a +, f a + f a +, lim f + ( ) ( β ) ( β ) ( β ) ( β ) (, M] [ M, M] [ M, ) [ M, M] άρα η f έχει ολικό µέγιστο τον αριθµό Μ και ολικό ελάχιστο τον Μ. γ) Για Για a a + β a a + β,, a + β a + β a > : f ( ) [ M M] f ( ) a < : f ( ) a a + β a a + β, a + β a + β 4a f + a + β, δηλαδή η f έχει µοναδική ρίζα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 7

39 8 4. ίνεται η συνάρτηση f : για την οποία ισχύει η ισότητα f + t dt, για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι: i) Η τιµή της f στο είναι f (). ii) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο. β) Να βρείτε τις τιµές του κ για τις οποίες αληθεύει η ανίσωση ( fof )( κ + ) ( fof )( κ ) + t dt > γ) Αν επιπλέον η f είναι συνεχής στο, να δείξετε ότι f (). α) i) για f () dt + t + t > για κάθε t, θα είναι f (). Αν f () >, τότε f () + t dt >, άτοπο Αν f () <, τότε f () + t dt <, άτοπο ii) Έστω, µε <. Αν ήταν f f, τότε: f ( ) f ( ) dt f dt + f dt + t + t + t f ( ) dt dt f ( ) + t + t f f dt dt άτοπο + t + t Άρα, f < f η f είναι γνησίως αύξουσα. β) dt > + t + t f ( f ( κ + )) f ( f ( κ)) dt () Η () είναι ισοδύναµη µε την f ( κ ) f( κ) + > και αφού η f είναι γνησίως αύξουσα µε την κ κ κ κ κ ή κ + > + > < > ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 8

40 9 f f() f f γ) lim lim lim f + t όπου f u, άρα dt u lim f f(), δηλαδή u, άρα lim () u u dt o + t u gu dt, u είναι συνεχής ως παραγωγίσιµη, άρα + t u lim gu g() lim dt dt u u + t + t Το όριο () είναι της µορφής και από τον κανόνα D L Hospital προκύπτει: u ( u) lim lim lim u u u u u dt + t dt + u Άρα, f (). + t 44. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο µε f () και f f +, για κάθε. Α. Να αποδείξετε ότι: i) Για κάθε ισχύει: f + f +. ii) Η f αντιστρέφεται και να βρεθεί f : iii) Η τιµή της f στο είναι f ( ). Β. Να βρείτε τα σηµεία καµπής της f. Γ. Να υπολογιστεί το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f, τους άξονες, yy και την γραµµή. Α. i) Επειδή f f f + f f + f f + f + f + c ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 9

41 4 Για : f + f + ( c ) ii) y f δίνει: y y y y, y Από την µοναδικότητα της λύσης, προκύπτει ότι η f είναι «-» και άρα, έχει αντίστροφη την: f, +. iii) Επειδή f () είναι ισοδύναµα: f ( ). Β. Η f είναι παραγωγίσιµη στο, ως πηλικο παραγωγίσιµων συναρτήσεων f + 6 f f µε: f f + Επειδή f > το πρόσηµο της f εξαρτάται µόνο από την f ( ). Η f ( ) είναι γνησίως αύξουσα και έχει ρίζα -. Έτσι: Με < : f < f( ) f < f > Με > : f > f( ) f > f < Η f έχει σηµείο καµπής το (,). Γ. E f d f d [ f ] Θέτουµε:, τότε: ( + ) ( + ) f u f u Τα νέα άκρα ολοκλήρωσης είναι τα f (), f ( ). Τότε: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 4 d f u du u u du u du 4 u u 5 E u(u + ) du ( u u) du τ. µ

42 4 45. ίνεται η συνάρτηση f, µε 5 f 5 a, a +.( βασική ασκηση) α) Να µελετηθεί η f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα. β) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της f. γ) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f( ), όταν 4< a < 4. α) f f ± Η f είναι γνησίως αύξουσα στα (, ] και [, + ), ενώ η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [,]. Η f παρουσιάζει στο τοπικό µέγιστο την τιµή: 5 f( ) ( ) 5( ) + a a a+ 4 Η f παρουσιάζει στο τοπικό ελάχιστο την τιµή: 5 f() 5 + a a 4. β) Στο (, ] η f είναι γνησίως αύξουσα 5 5 lim f lim 5+ a lim f( ) a+ 4 Άρα, f (, a 4] +. Στο (,) η f είναι γνησίως φθίνουσα lim f f( ) a+ 4 ( f συνεχής ) ( συνεχ ς ) lim f f() a 4 f ή Άρα, f ( a 4, a 4) +. Στο [ ), + + η f είναι γνησίως αύξουσα f() a lim f lim 5+ a lim ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 4

43 4 Άρα, f [ a 4, ) +. Το σύνολο τιµών της είναι το f( A ) (, + ) γ) a 4< < a+ 4, άρα f ( ), f ( ) και f ( ) Η f( ) έχει ακριβώς µία ρίζα σε καθένα από τα, και. Άρα, η f( ) έχει ακριβώς ρίζες στο. 46. ίνεται η συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιµη στο και ισχύει 5 f + f + f, για κάθε. α) Να αποδειχθεί ότι η f δεν έχει ακρότατα. β) Να αποδειχθεί ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί η f. γ) Αν η C f διέρχεται από τα σηµεία A( a,) και B ( β,), να υπολογιστεί το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f και τις ευθείες a και β. 4 α) Παραγωγίζοντας κατά µέλη έχουµε: 5 f f + f f + f 4 f 5 f + f + f > 4 5 f + f + ( 5 f 4 f, ) + + >. Άρα, η f είναι γνησίως αύξουσα και στερείται ακροτάτων. β) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα η f είναι «-», άρα η f είναι αντιστρέψιµη. Θέτω όπου το f, άρα: 5 f f f f f + f f + f f f + + f Άρα, 5 f + +. γ) f( a) f f < β a< β f a β f( a) f f( β) f Άρα, f >, για κάθε [ a, β ]. β 4 5 ( 5 ) ( 5 ) E f d u u + u + du u + u + u du α u u u τµ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 4

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης 6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

και γνησίως αύξουσα στο 0,

και γνησίως αύξουσα στο 0, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [, ] και ισχύει f () > για κάθε (, ). Αν f() και f(), να δείξετε ότι: α. η ευθεία y τέµνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Έστω (z) = z iz, z. α) Να λύσετε την εξίσωση : (z) = i. β) Αν (z) = να βρείτε το z. γ) Αν z = να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w=(z) είναι κύκλος

Διαβάστε περισσότερα

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A Απόδειξη Σελ 53 Α Ορισμός Σελ 9 Α3 Ορισμός Σελ 58 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β 4 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. α) Έστω η συνάρτηση f ( ) = a µε R και p a.να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει f '( ) = a ln a. β) Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο. ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 6 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μια συνάρτηση f: Α R η οποία είναι. Να γράψετε τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÁ ÓÕÍÏËÏ ËÁÌÉÁ. ( i) ( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ.

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÁ ÓÕÍÏËÏ ËÁÌÉÁ. ( i) ( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία σελ. 73 σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α4. α) Λ, β) Σ, γ) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016 Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 06 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( )

Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( ) Ασκήσεις Μαθηµατικών Όρια και Παράγωγος (4 ο θέµα) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο µε ( ) =, η οποία για κάθε, y R * ικανοποιεί τη σχέση ( y) = + ( y) ( ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Θεωρία σελ. 7 Β. Θεωρία σελ. 47 Γ. α. Σωστό β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος (βρίσκεται "κάτω" από τη γραφική παράσταση) ε. Λάθος (π.χ. ()

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

( ) x( x ) ( ) 1.Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι ΛΥΣΗ. Είναι f x ( x ) οπότε. 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=

( ) x( x ) ( ) 1.Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι ΛΥΣΗ. Είναι f x ( x ) οπότε. 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= .Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι Είναι ( ) () + 9 () + 9 + () ( ) + 9 + 9 + 9 () + 9 + () + 9 + + 9 ( )... οπότε. Δίνεται η συνάρτηση () + Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g( ) ( ηµ ) ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του. Αν η f παρουσιάζει τοπικό

Διαβάστε περισσότερα

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ.

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ 6 Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Θ Ε Μ Α ο Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f (χ)= για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 25 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 25 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 5 MAΪΟΥ 5 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]. Αν η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

f(x) γν. φθίνουσα ολ.ελ. γν. αύξουσα

f(x) γν. φθίνουσα ολ.ελ. γν. αύξουσα ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 (i) Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 141 Α3. Σχολικό βιβλίο σελίδα 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. To πεδίο ορισμού της f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

παρονοµαστης υποριζο 0

παρονοµαστης υποριζο 0 Χρήσιµεες Συµβουλέές καιι Παραττηρήσεει ις από ττο κουκλίί καθηγηττή ΠΟΥ ΣΕ ΚΑΜΜΙΙΑ ΠΕΡΙΙΠΤΤΩΣΗ δεεν υποκαθισττούν ττο ΙΙΚΟ ΣΑΣ ΙΙΑΒΑΣΜΑ!!.. ΜΙΙΓΑ ΙΙΚΟΙΙ α. ΓΕΩΜΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ µε R ( z ) και Im ( z ) β.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής zi,

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ stergiu@otenet.gr Σελίδα από 4 Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Αγαπητοί συνάδελφοι - Φίλοι μαθητές! Προσπάθησα να συγκεντρώσω ηλεκτρονικά μερικά γενικά επαναληπτικά θέματα που έφτιαξα ο ίδιος ή συνάντησα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ASK4MATH WWW.ASKISIOLOGIO.GR ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 16 Εξεταζόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

β) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x

β) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο,. Μαθηματικά κατεύθυνσης f(), όπου R, α) Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. β) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f()

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΪΟΥ A Έστω μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου + Επαναληπτικές ασκήσεις ς Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Βαγγέλης Ραμαντάνης Ευάγγελος Τόλης wwwaskisopolisgr η έκδοση Μάρτιος 6 wwwaskisopolisgr Παράγωγοι Εκφωνήσεις

Διαβάστε περισσότερα