για τις οποίες ισχύει ( )

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "για τις οποίες ισχύει ( )"

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

2 . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα για τις οποίες ισχύει 5,ώστε να ισχύει f g g () f. γ) Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει εφαπτοµένη στη γραφική παράσταση της g που να είναι παράλληλη στον άξονα. α) Αρκεί για g g ( ) ( ) () g g f g f g g( ) g( ) () Θέτω: κ + + κ + > κ κ 4 5 " " κ " " () κ( ) κ( ) β) Για την κ κ κ( ) κ() < θ. Β θ κ θ κ() () κσυν [,] θ 5 f g( θ) θ θ g( θ) κ( θ) f g( θ ) κθ + g( θ) f g( θ) g( θ) Για το g(θ): υπάρχει : g( θ ) Άρα f, άρα : f, : γ) Έστω ότι υπάρχει εφαπτοµένη της C // στον, δηλαδή θ : g ( θ) () ( ) + + () + 5 ( f g ) ( ) ( g ) θ f g g g g g ( θ ) f g( θ ) g ( θ ) 5θ + + g ( θ ) f g( θ ) 5θ + + 5θ + άτοπο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

3 . Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f, g: ώστε: f() + f() f(6) g() + g() g(6)(). Να αποδείξετε ότι υπάρχει [,6], ώστε: f g. () ( f g ) ( f g ) ( f g ) () () + () () (6) (6) () Έστω: h f g συνεχής στο [,6 ], άρα σύµφωνα µε θεώρηµα µέγιστηςελάχιστης τιµής m h M, για καθε [,6] [ ] [ ], 6 m h() M, 6 m h() M... 6, 6 m h(6) M [ ] 6m 6M m M ( + ) () 6 m h() + h() h(6) 6M Άρα το είναι ανάµεσα στη µέγιστη και στην ελάχιστη τιµή της h, άρα είναι τιµή της h, δηλαδή [ ] υπαρχει,6 : h f g. ίνεται µία συνάρτηση f συνεχής στο διάστηµα [ a, β ] τέτοια ώστε να ισχύει f( a) f( β ) >. ίνεται επιπλέον ότι υπάρχει µοναδικός αριθµός ( a β ) f ( ). είξτε ότι για κάθε [ a, β ] ισχύει f f( a). ώστε, Αφού θέλω για κάθε [ a, β ] [ ] θ a, β : f( θ) f( a) < να ισχύει f f( a), τότε έστω ότι υπάρχει Όµως, f( a) f( θ ) f( a) < f συνεχης στο [ a, θ ] f( θ) f( β) < θ. Β. ( a ) ξ, θ : f( ξ ) [, ] f β > θ. Β. ξ [ θ β) f ξ f( θ ) f( a) < f συνεχης στο θ β Άρα η f έχει δύο ρίζες διαφορετικές στο ( a, β ), άτοπο., ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

4 4. Για µια συνεχή συνάρτηση f :[, ] a β δεχόµαστε ότι: f ( β ) > β. Να δείξετε ότι: «αν β f d α < β α, τότε η εξίσωση f έχει λύση». Το β α θυµίζει: β α β d α Θέτω: g f Αρκεί να υπάρχει [ β ] a, : g( ) f( β) > β f( β) β > g( β) > β a f d< a f d< β β β α α β β β f d < d ( f ) d < α α α β gd < α Αφού g: συνεχής και το ορισµένο ολοκλήρωµα είναι αρνητικό, τότε η g θα έχει τουλάχιστον µία αρνητική τιµή στο [ a, β ]. (Γιατί αν όλες οι τιµές ήταν θετικές, τότε και το ολοκλήρωµα θα ήταν θετικό, άτοπο). Άρα, [ a ] υπαρχειξ, β : g( ξ ) < g( β) g( ξ) < θ. Β. υπαρχει ( ξ, β ) ( a, β ): g g συνεχης στο ξ β [, ] 5. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο [, ] κάθε [ a, β ] ( a, β ) a β και f για. Αν f( a) f ( β ) f( β ) f ( a) (), να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ τέτοιο ώστε: f( ξ ) f ( ξ ) >. υπάρχειη f f παραγωγ ίσιµη f συνεχής f παραγωγ ίσιµη f συνεχής (παντα στο [ a, β ] ) f f συνεχής f διατηρεί πρόσηµο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

5 4 f f( a) f( β ) () f( a) f ( β) f( β) f ( a) () f ( a) f ( β ) f f στο β,g παραγωγίσιµη άρα: Θέτω: g [ a, ] f f f f f f f g g () f f ga f( a) f ( a) () f ( β ) g( β ) f ( β ) gσυνεχης στο α β ga g( β ) [, ] θ. Roll. gπαραγωγισιµη στο α, β υπ άρχει α, β : g ( ) ga g( β ) () f ( f( ) f ( ) υπάρχει a, : ( β ) ( f ( ) ( f ) ( > f ( f( ) f ( ) f( ) f ( ) > ξ 6. ίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο ώστε να ισχύει f( + κ) + f (), για κάθε, όπου * κ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f έχει άπειρες πραγµατικές λύσεις. () f( κ + κ) + f( κ) f( κ) f () f( + κ + κ) + f( + κ) f( + κ) f( + κ) () κ + κ f( + κ ) f () κ () f κ + κ + f κ f( κ) + f( κ) f + f( κ) f( κ) f () (),() f( κ) f f( + κ) (4) Άρα η f ( ) περιοδική µε περίοδο T κ. f() f( κ ), άρα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 4

6 5 [, κ ] θ. Roll. f συνεχής στο f παραγωγίσιµη στο, κ υπαρχειξ, κ : f ( ξ) f() f( κ) (4) f ( κ)( κ) f f ( + κ)( + κ) f ( κ) f f ( + κ) Άρα η f περιοδική µε περίοδο T κ. Όµως, η f έχει στο (, κ ) ρίζα, δηλαδή σε µία περίοδο έχει ρίζα, άρα και σε κάθε άλλο διάστηµα πλάτους κ θα έχει ρίζα (λόγω περιοδικότητας). Άρα η f έχει άπειρες λύσεις, µία τουλάχιστον στο πλάτος κάθε περιόδου. 7. Έστω f συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιµη στο [, 4 ]. Αν f(), f() >, f() < και (4) 4 f ( ). f, να αποδείξετε ότι υπάρχει, 4 τέτοιο ώστε f () f (4) 4 Με οδηγεί να θέσω: g f ( ), άρα g f g() f() g(4) f(4) 4 g() f() > g() f() < g() g() < g συνεχης g συνεχής [,] [, θ ] θ. Βolzano. υπάρχειθ, : g( θ ) θ. Roll. g παραγωγίσιµη, θ υπάρχειξ, θ : g ( ξ ) g() g( θ ) g συνεχης θ [,4] θ. Roll. g παραγωγισιµη θ,4 υπαρχει ξ θ,4 : g ( ξ ) g( θ ) g(4) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 5

7 6 g συνεχης ξ ξ [, ] θ. R. g παραγωγισιµη ξ, ξ υπ άρχει ξ, ξ,4 : g ( ) g ( ξ ) g ( ξ ) 8. Έστω a, β, γ ώστε a + β + γ. Να αποδείξετε ότι β αγ β αγ : θυµίζει ιακρίνουσα α γ 4 β β αγ. Θέτω: a γ α γ f + β + µε β 4 Θέτω: a F + β + γ, αρχική της f ( ). 6 F() a β γ a+ β + γ F() F() F() F συνεχης F() F() [,] (,) F παραγωγισιµη θ. R. υπάρχειξ ( ενα τουλάχιστον ), : F ( ξ ) υπ άρχει ξ ( ενα τουλάχιστον ), : f ( ξ ) Όµως η f ( ) είναι τριώνυµο και έχει τουλάχιστον µία ρίζα, άρα α γ 4 β β aγ 9. ίνεται συνάρτηση f : µιγαδικών αριθµών A { i f, } παραγωγίσιµη στο καθώς και το σύνολο των +. Αν οι µιγαδικοί κ( i), λ( i) + + ανήκουν στο Α, όπου κλ>, µε κ λ, να αποδείξετε ότι υπάρχει θ έτσι ώστε: f( θ ) f ( θ ). κ ( + i) A άρα, υπαρχει : + if( ) κ ( + i) + if( ) κ + κi κ f( ) () f( ) κ λ ( + i) A άρα, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 6

8 7 λ υπαρχει : if( ) ( i) f( ) () + λ + f λ f( ) f f (), () f Θέτω: f g f f f f g g () ( ) g g f( ) f( ) g g [, ] g συνεχης θ. Roll () g παραγωγισιµη(, ) υπ άρχειθ ( ξ, ξ) : g ( θ ) f ( θ ) f( θ ) g g. Έστω f : παραγωγίσιµη συνάρτηση µε f f ( ) () για κάθε. Αν f (), να αποδείξετε ότι: α) f f( ) για κάθε β) f για κάθε γ) Η C f εφάπτεται στην ευθεία ε : y + α) () f ( ) f ( ) () (),() f f ( ) f( ) f f f( ) f f ( ) f f( ) + f ( f( ) ) ( f f( ) ) για καθε f f( ) c f() f( ) c c, άρα f, f( ) Άρα, f f () ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 7

9 8 β) () f( ) f () f f f για καθε f C f : f() C C Άρα f A f το σηµείο επαφής. Η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι: f ( ), γ) Έστω (, ). f ε : y f( ) f ( ) y f ( ) f ( ) + f( ) Όµως, ε : y +. Πρέπει ε ε f ( ) f ( ) + f( ) ισχύει Άρα η y + εφάπτεται στο (, ) (,). Έστω η συνάρτηση f ορισµένη και συνεχής στο [ a, β ] και παραγωγίσιµη στο ( α, β ) µε f( a) f( β ). Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ,..., ξ ( a, β) f ( ξ ) + f ( ξ ) f ( ξν ) () ν, ώστε Επειδή θέλω ν τιµές i καθένα. ξ για να ισχύει η () χωρίζω το [, ] a β σε ν διαστήµατα πλάτους β α το ν Πρέπει: β β α α β + α ν ν ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 8

10 9 β α β α β α ν ν β α β α + α β ν ν β α β α ν ν ν ν ν ν ν Η f σε καθένα από τα ν αυτά κλειστά διαστήµατα είναι συνεχής. Η f σε καθένα από τα ν αυτά ανοικτά διαστήµατα είναι παραγωγίσιµη σύµφωνα µε θ.μ.τ. β α f( a+ ) f( a) β α ξ aa, : f ν + ξ ν β α ν β α β α f( a+ ) f( a+ ) β α β α ξ a, a : f ( ) ν ν + + ξ ν ν β α ν β α β α f( a+ ) f( a+ ) β α β α ξ a, a : f ( ξ) ν ν + + ν ν β α ν... β α f( β) f( a+ ν β α ( ) ) ξν a+ ( ν ), β : f ( ξν) ν ν β α ν + f ( ξ ) + f ( ξ ) f ( ξ ) ν β α β α β α β α f a+ f( α) + f α + f a f( β) f a+ ( ν ) ν ν ν ν β α ν f( β ) f( a) f ( ξ) + f ( ξ) f ( ξν ) β α β α ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 9

11 . ίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιµη στο [, ] a β, τέτοια ώστε f ( β ). Αν f ( β ) >, να αποδείξετε ότι υπάρχει διάστηµα [ a, β ] στο οποίο η f είναι γνησίως φθίνουσα. υπάρχει f f παραγωγισιµη f συνεχης f παραγωγισιµη f συνεχης f f β f ( β ) f f ( β ) > lim > lim > β β β β Άρα η f > κοντά στο β. β ηλαδή υπάρχει δ : για καθε ( β δ, β) ηλαδή ( β δ, β) > να ισχύει να ισχύει f < αφού β και επειδή η f είναι συνεχής, έχω f για καθε [ β δ, β ] f >. β. <, δηλ. f < ( β δ, β). ίνεται το ολοκλήρωµα I π π ηµ d. Να αποδειχθεί ότι: + π ηµ i) I d π + και ii) I π i) Θέτω: π π y ( γενικά a+ β y) Άρα y d dy dy d π π y y π π π y y π Άρα ( ηµ y) π ηµ π ( y) ηµ ( y) π y I d dy dy π y π + + π + y y π yηµ y π y ηµ y π ηµ dy dy d π y y + π + π + y ii) I I π π π π ηµ d + + I ηµ d + π π ηµ + ηµ d + ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

12 π ηµ ( + ) π I d I ηµ d π + π π π π I ( συν ) d I ( συν ) ( συν ) d π I π συνπ ( π ) συν ( π ) + συν d [ ] I π ( ) + π ( ) + ηµ π I π + π + ηµπ ηµ ( π) I π I π π π π π π 4. Να αποδειχθεί ότι: I συν π / ( ηµ ) π d. ηµ συν ( συν ) + ( ηµ ) 4 Θέτω: π y d dy dy d π π y y π π π y y π ηµ ηµ y συνy π συν συν y ηµ Άρα, π / ηµ y ( συν y) y ( ηµ y) + ( συν y) συν ηµ y ( dy) I I π / ηµ y ( συν y) y ( ηµ y) + ( συν y) συν ηµ y dy I π / ηµ ( συν ) π / συν ( ηµ ) ( ηµ ) + ( συν ) ( ηµ ) + ( συν ) συν ηµ ηµ ( + ) συν π / ηµ + συν συν + ηµ I όµως I d συν ηµ π / π π I d I I 4 συν ηµ d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

13 5. Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο, µε > για κάθε. Να f αποδείξετε ότι η εξίσωση Θέτω: g f + f +, έχει ακριβώς µία λύση στο. Αρκεί η εξίσωση g να έχει µοναδική λύση στο. Επειδή > > f f f > f > Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο. g f + Επειδή f f g > + > + > + Όµως + > (τριώνυµο µε < ) τότε g >, άρα g στο. Για h f > h > h() f > f() f > + f(), + Όµως lim + +, άρα lim f + + Για h < h < h() f < f() f < + f() lim, άρα lim f Έχω g στο άρα g( ) g( ) ( lim f, lim f ) g συνεχής στο g( ) + g( ) άρα η g έχει µοναδική ρίζα στο λόγω µονοτονίας της g. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

14 6. ίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο [ a, β ] καθώς και οι µιγαδικοί αριθµοί της µορφής Z + i f, W i f αποδείξετε ότι υπάρχουν θ, θ ( a, β ) +, όπου [ a, β ] Im( Za) Im( Zβ ) f ( a) f ( β ) () Αρκεί: Wθ+ Wθ Wθ+ Wθ θ+ if ( θ) + θ + if ( θ) θ if ( θ) + θ if ( θ) ( f ( θ) + f ( θ) ) i ( f ( θ) f ( θ) ) i f ( θ) + f ( θ) f ( θ) f ( θ) f ( θ ) + f ( θ ) f ( θ ) + f ( θ ). Αν ισχύει Im( Za) Im( Zβ ), να, τέτοια ώστε Wθ + Wθ Wθ+ Wθ. a + β f f( a) a+ β a+ β a + β f συν,,,, (, ): ( a β θ a a β f θ) θ. Π. β α a+ β a+ β a + β f παραγ a,,, β f( β ) f a + β θ, β ( a, β) : f ( θ ) β α a+ β a+ β + f f( a) + f( β ) f ( f β f a f θ) + f ( θ) β α β α f( β) f( β) β α β α 7. Αν a > και η εξίσωση a έχει θετική λύση, να βρεθεί η µικρότερη τιµή του α. Έστω > η θετική λύση της εξίσωσης, τότε a ln ln a ln ln + ln a / / lna ln + ln a ln ln a ln a (ln ) Θέλω τη µικρότερη τιµή του α, άρα αρκεί να βρω την µικρότερη τιµή του Θέτω: f (ln ) D f (, + ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ (ln ).

15 4 (ln ) (ln ) f (ln ) (ln + ) [ ] (ln ) f ln (ln ) (ln ) ln ln f f f f() f < f > f() f f() Άρα min f f() min f. Άρα (ln ) min a. f 6a + a+ 9, όπου a 8. Έστω η συνάρτηση f µε τύπο συν σταθερά. Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο στο σηµείο, τότε: 7a ηµ + a + 9 α) Να αποδείξετε ότι: ( a 8) β) Αν, να βρεθεί ο α. α) f ελάχιστο στο θ. Frmat το εσωτερικό του f ( ) () στο παραγωγ ίσιµη f a+ a+ a+ a + 7 συν 9 ηµ 9 9 f 7a ηµ a + 9 συν a + 9 a + 9 7a ηµ a+ 9 a + 9 7a ηµ ( a+ 8) a + 9 β) ηµ ( a ) 7a + 8, ισχύει. a + 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 4

16 5 7a ηµ ( a + 8) a + 9 7a a + 9 a + 9 a + 9 ισχύει για κάθε a a + 9 7a 7a 9. Έστω οι πραγµατικοί αριθµοί a, b, c, d έτσι ώστε: () a+ b c+ d < () d > () a+ b+ c+ d < Να δειχτεί ότι b ac. (Υπόδειξη: Να θεωρηθεί το πολυώνυµο ρίζες στα διαστήµατα (, ) και (, )). f a b c d και να δειχτεί ότι έχει f a b c d f a b c f( ) a+ b c+ d < f( ) f() < f() d > f() d > f() f() < f() a+ b+ c+ d > [, ] f συν θ. Β. ξ (, ): f ( ξ) f( ) f() < [,] f συν θ. Β. ξ (, ): f ( ξ) f() f() < f συν ξ ξ [, ] θ. R. fπαρ ξ, ξ ξ ξ, ξ : f ( ξ ) τουλάχιστον ένα ξ f( ξ ) f( ξ ) Η f είναι τριώνυµο, έχει τουλάχιστον µία ρίζα, άρα ( b) 4 a c 4b ac b ac ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 5

17 6. Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f :, [ ], για την οποία ισχύει: ( f f ) d. ( f f ) d f f d f f + d f d d 4 f d d f d 4 f f d f f. ίνεται η συνάρτηση f µε f,. + α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση F µε αν f( ) >. F f( t) dt είναι γνησίως αύξουσα στο, β) Να λυθεί η εξίσωση f () tdt. ηµ α) f() t συνεχής f() t dt παραγωγισιµη F f > F στο β) ηµ ηµ f () tdt f() tdt+ f() tdt F F( ηµ ) + F F F( ηµ ) ηµ µοναδικό ισχύει ηµ Και η ισότητα ισχύει µόνο για ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 6

18 7 Β τρόπος f () () tdt f t > ηµ ηµ. ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο: f ( + ) + α) Να µελετηθεί η f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα και να αποδειχθεί ότι είναι: f( ) > για κάθε. β) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων M ( a, β ) για τα οποία ισχύει y y 4 f() t dt α) f + + ( ) f f ( + ) ( + ) ( ) ( + ) f + (,) (,] f < f στο (, ) [, ) + f > f στο + f f f() f f() f 6 f Άρα f > < f > f() β) y y 4 f () t > () 4 f tdt y y + 4 y y A 4, B, Γ + 4Γ 6+ 4 > κκλος A B ύ A B K, K, R R 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 7

19 8. ) Να αποδειχθεί ότι για µια συνάρτηση f : ισχύει: f f f c, όπου c σταθερά. ) α) Να βρεθεί η θετική και παραγωγίσιµη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει: f() t f ( + ) + dt () + t β) Να µελετηθεί η f ως προς την µονοτονία και να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση (c) διαθέτει δύο σηµεία καµπής τα οποία ας σηµειώσουµε µε Α και Β. γ) Να βρεθεί το εµβαδόν του χωρίου που οριοθετείται από την (c) και το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ. ) f f f f f f f f ( ) f ( ) ( ) f c f c Επαλήθευση: f c άρα f f ) f() t ή f f( t) συνεχ ς + t () + dt + + t f() t dt παραγ + t f f( t) f f + dt + t () f c + () f() ( + )( + ) f() f () Άρα c c c + f άρα f ( + ) + f ( + ) + f ( + ) f ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 8

20 9 Και η ισότητα ισχύει για µόνο, άρα f στο. f ( ) + ( ) ( + + ) f f ή ( f ) (, f () ). στο Α, σ. κ στο Β σ κ yb ya AB : y ya ( A) y f ( )... Στο διάστηµα ανάµεσα στα σ.κ. Α, Β η f είναι κοίλη, άρα C AB f AB B A f E f AB d f AB d Θεωρούµε τη συνάρτηση f που ορίζεται από τον τύπο:. t f dt, για κάθε t ) Να καθοριστούν οι τιµές της µεταβλητής για τις οποίες είναι f ln. ) Να προσδιοριστεί (εφόσον υπάρχει) το όριο: t t lim dt. + ) Θέτω: g f ln. Αρκεί να λύσω την g. g f µε g () g g g() g < g < g() g < Άρα η g έχει λύση µόνο για. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 9

21 ) dt t t t t t t t f lim dt lim dt lim dt lim t lim t t t συνεχής dt dt ή t παραγ t συνεχ ς t Για έχω f ln Επειδή lim ln + τ ότε lim f Άρα, f f lim lim lim lim + + ( ) Αν f συνεχής στο [, ], να βρείτε την ελάχιστη τιµή της παράστασης f f( y) dy d f d. ( ) ( ) f f( ydy ) d f( d ) f f( ydy ) d f( d ) f ( y) dy f d f d f d f d f d ( f d κ) κ κ κ κ κ Τριώνυµο µε a >, άρα η ελάχιστη τιµή είναι: ( ) 4 4a Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο και + g ftdt, να δείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα στο. + g f() t dt+ f() t dt g f + f( + ) f Γ ια < + f > f( + ) f( + ) f < g <, άρα g στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

22 7. Η γραφική παράσταση ( C f ) µιας συνεχούς συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα των στο διάστηµα από έως α. Η επιφάνεια που ορίζεται από την καµπύλη ( C ), τον άξονα των και τις ευθείες και a έχει εµβαδόν: a >. E a +, για κάθε ) Να βρεθούν όλες οι ασύµπτωτες που διαθέτει η γραφική παράσταση της f. f ) Να βρεθεί το + lim f ( tdt ). + a a a E a + E + + d d + Άρα η εξίσωση είναι: f συνεχής στο. + Όχι κατακόρυφες lim f lim lim ) Άρα η y οριζόντια στο + lim f lim lim + + Άρα η y οριζόντια στο. ) α τρόπος ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

23 + + + lim f( t) dt lim t dt lim t ( ( ) ) ( ) + lim lim ( ) ( ) lim lim lim β τρόπος () f t συνεχής στο [ +, ] [ ] t t + t t + t () t t + t f t + > t + t + t + t + t + f() t στο, + Άρα από θεώρηµα µέγιστης- ελάχιστης τιµής m f() t M (), όπου m f, M f( + ) λόγω µονοτονίας () mdt f ( t) dt Mdt + ( ) ( ) m + f t dt M m f() t dt M f f() t dt f( + )() lim f lim () + lim f ( tdt ) + ΚΠ.. + lim f( + ) lim ( ) 8. ίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο για την οποία ισχύει f <, για κάθε. Αποδείξτε ότι: f(4) f() < 6. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

24 f < f < f < Θέτω: g f Έχω g < [ ] (, 4) gσυν, 4 θ. ΜΤ. g (7) < g(4) g() g(4) g() ξ (, 4 ): g (7) < g(4) g() < g παρ 4 4 f(4) f() + < f(4) f() < 8 f(4) f() < 6 9. Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών z, αν ισχύει ln z z. ln z z ln z + z () Θέτω: f ln + D (, + ) f + > f στο, + Παρατηρώ f () ln + ln f Άρα, ρίζα και λόγω µονοτονίας µοναδική, άρα f " " f() f() ln z + z f() f( z) z Κύκλος κέντρου (,), ακτίνας.. Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, για την οποία ισχύει f () και, ( ) f ' 5+ 6, για κάθε. Να βρείτε τον τύπο της f.. Έστω ότι μια συνάρτηση f πληροί τις δοσμένες συνθήκες. Τότε για κάθε με θα έχουμε: ( )( ) 5+ 6 f ' f ' f ' + c, < f ' ' f ' + c, > Λόγω συνέχειας στο, αφού είναι παραγωγίσιμη στο, βρίσκουμε ότι c c cκαι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

25 4 επειδή f (), βρίσκουμε ότι c Συνεπώς:. Εξάλλου, επειδή η f είναι συνεχής στο, έχουμε: f +,για κάθε πραγματικό αριθμό f () lim f. Για το όριο θεωρούμε ότι το είναι κοντά στο, για παράδειγμα ότι: (, ) (,), οπότε και συνεπώς f() lim f lim( + ). Συμπεραίνουμε ότι τότε:. f +, για κάθε Όπως βρίσκουμε εύκολα, η συνάρτηση που βρήκαμε πληροί τις δοσμένες συνθήκες και άρα είναι η μοναδική. B. Έστω f συνεχής συνάρτηση στο για την οποία ισχύει: f και u f () t dt du, για κάθε. Υπολογίστε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f, τον και τις ευθείες και. u Θέτω: ( ) g f ( t) dt du + µε g () και g f( t) dt () f E f d f d E f( t) dt () Η g στο παραγωγ ίσιµη. θ. Frmat () Η g στο ακρότατο αϕού g g() g () ftdt Το εσωτερικό του () E E τ. µ.. ίνεται η συνάρτηση f α) Να βρεθεί η µονοτονία της f. µε >. β) Να βρεθεί το + lim f ( tdt ). + ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 4

26 5 α) 4 f > > f 4 + f t συνεχής στο [, ] β) () + και f Άρα θεώρηµα µέγιστης-ελάχιστης τιµής (µε m f και M f( + ) ) m f() t M mdt f() t dt Mdt + ( ) ( ) + m + f t dt M + f f( t) dt f( + ) lim f... + ΚΠ lim f( t) dt + lim f( + ) Όµοια µε 7 αλλά εδώ δεν µπορώ να δουλέψω µε τον α τρόπο γιατί δεν ξέρω το ολοκλήρωµα της f ( ).. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο σηµείο, για την οποία ισχύει: f ln (), για κάθε >. Αποδείξτε ότι: f (). η περίπτωση Αν f παραγωγίσιµη, τότε θα θέσω: g fln + µε g () και άρα g g() > g f ln + f () Η g στο ακρότατο θ. Frmat () Στο παραγωγ ίσιµη g () f () ln + f() f() Τ ο εσωτερικό στο, + η περίπτωση Αν f όχι παραγωγίσιµη, τότε δεν µπορώ να εφαρµόσω Frmat. Για > ln> ln ln> ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 5

27 6 fln () f () ln ln ln lim lim ln () lim f lim lim f (4) ln Για < ln< ln ln< fln () f ln ln ln lim f lim lim f (5) ln Όµως f συνεχής lim f lim f lim f f() (4) f () f () (5) f () +. Αν () z z + z z z z, δείξτε ότι δεν µπορεί να είναι και οι πραγµατικοί. Az Bz Γ ( z) Άρα () ΑΒ +ΒΓ ΑΓ Άρα, ΑΒΓ ορθογώνιο, άρα αποκλείεται Α, Β, Γ συνευθειακά. 4.Αν f συνεχής, f :, f(), z, και t z+ 5 i f( t) dt z+ 5i dt+ ( ) () α) Βρες τον γεωµετρικό τόπο του M ( z) ( c ). β) Βρες τον τύπο της h που έχει γραφική παράσταση την ( c ). γ) Εµβαδόν από H h( t) dt,, yy,. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 6

28 7 t α) g z+ 5 iftdt + z+ 5i dt ( ) g() g z i f z i g z+ 5 i f + z+ 5i () () g g() άρα η C g στο έχει ακρότατο Από Θ. Frmat () g () z+ 5 i f() z+ 5i z+ 5i + z+ 5i 6 z+ 5i + z 5i 6 z ( i) z ( i) (, 5) (,5) E E M z Άρα ME + ME 6 έλλειψη µε a 6 a y y y y y y ( 9) ( 9) ( 9) ± 6 9 Άρα h ( 9) γ) E H d H h dt H h > H > H > H > H() H > [ ] E H d H d H H d h d h d 4 4 / h d h d 9d ( 9) d * 8 / 8 8 / u... d u du ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 7

29 8 9 * u 9 u 8 u du d 5. Αν f :, +, f : συνεχής 4 tf t dt ln + (), >. α) είξτε ότι: f ( + ) β) Το εµβαδό που περικλείεται από την γραφική παράσταση της g m g + f, τους άξονες, yy, γ) Να βρεθούν οι οριζόντιες ασύµπτωτες της h g ηµ α) u t du dt dt du t u u t u u 4 tf ( t) dt f ( u) du u u f( u) du f( u) du f( u) du u f( u) du f( u) du 4 4 () uf ( u) du f ( u) du ln + f f ( u) du f + f( u) du f f + + ( + ) + + β) g ( + ) f ( + ) > στο (, + ) ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 8

30 9 E g d d d ( ) ( ln + + ) d + ln ( + )... γ) Οριζόντιες ασύµπτωτες µόνο στο + + ηµ lim ηµ lim l lim lim ( + ) lim h lim g ηµ lim ηµ u, u lim + ηµ ηµ u lim lim + u u Άρα l, άρα lim h εποµένως η y οριζόντια στο ίνεται η συνάρτηση f : µε τύπο f +, για κάθε. i) Να αποδείξετε ότι η f είναι «-» και ότι το σηµείο A (,) είναι κοινό σηµείο των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της ότι αυτή έχει και δεύτερο κοινό σηµείο µε την C f. f. C στο σηµείο (,) f A και να αποδείξετε iii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της σηµείο A (,). f στο iv) Να υπολογίσετε το όριο: lim f. i) Έχουµε + > για κάθε, διότι το τριώνυµο f + έχει διακρίνουσα 4 8<. Άρα, η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεπώς «-». Επίσης, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 9

31 ισχύει f (), οπότε και f (). Το σηµείο A (,) είναι κοινό σηµείο των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f. ii) εφαπτοµένη ( ε ) της C στο σηµείο (,) f A : y f() f ()( ) y ( ) y Η f ισοδύναµα γράφεται: + + ή εύτερο κοινό σηµείο της ( ε ) µε την C : B (, ) f iii) C, C συµµετρικές ως προς την ευθεία y. Το ίδιο ισχύει µε την ( ε ) της f f A (,) και τη ζητούµενη εφαπτοµένη η της C στο (,) f A. C f στο εξίσωση της ( ε ): y εξίσωση της ( η ) : iv) y y + f f () lim ισούται µε την παράγωγο της f στο σηµείο, η οποία παράγωγος ισούται µε τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτοµένης ( η ), που είναι Άρα, f f () lim λ. 7. Έστω συνάρτηση f :, [ ) + η οποία είναι παραγωγίσιµη και κυρτή. i) Να αποδείξετε ότι: f < f( + ) f < f ( + ), για κάθε >. ii) Να µελετήσετε ως προς την µονοτονία τις συναρτήσεις FG, :[, ) + µε τύπους: + F f( t) dt f και + G ftdt f( + ), για κάθε. iii) Να αποδείξετε ότι: f () f() < f( tdt ) f( tdt ) < f() f() ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

32 i) f παραγωγίσιµη στο [, + ), ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο [, ] κάθε >. f( + ) f ξ (, + ): f ( ξ) f( + ) f ( + ) + για Άρα f < f ( ξ ) < f ( + ), για κάθε > που ισχύει διότι < ξ < +. Η f αφού η f είναι κυρτή. ii) + + και F ( ) f () t dt+ f () t dt f ( ) f () t dt f () t dt f ( ) + G f( t) dt f( t) dt f( + ) Άρα, F f( + ) f f και G f( + ) f f ( + ) για κάθε. F > για κάθε > G < FG, συνεχείς στο [, + ), άρα F :γνησίως αύξουσα και G : γνησίως φθίνουσα iii) Από την µονοτονία FG, συµπεραίνουµε ότι: F() < F() και G() > G() F() < F() f( t) dt f() < f( t) dt f() f() f() < f( t) dt f( t) dt G() < G() f( t) dt f() < f( t) dt f() f() t dt f() t dt < f() f() Εποµένως:. f () f() < f( t) dt f( t) dt < f() f() ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

33 8. Έστω συνάρτηση f : η οποία είναι συνεχής τέτοια, ώστε: f dt, για κάθε. f () t + i) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη και γνησίως αύξουσα. f ii) Να βρείτε το lim. f + f για κάθε. iv) Αν το σύνολο τιµών της f είναι το f ( ), να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f και τις ευθείες y,. iii) Να αποδείξετε ότι: i) f () t + συνεχής στο και παραγωγίσιµη στο. f () t + f dt > για κάθε. Άρα, η f είναι γνησίως αύξουσα. f () t + f + ii) f παραγωγίσιµη συνεχής lim f f() dt f () t + (Είναι άρα:) d L'Hospital f f lim lim lim f + f () + iii) f ( ) f + f f f + ή ισοδύναµα f f + f ( f + f ) f + f + c για κάθε Για f + f c c : () () Άρα, f + f για κάθε iv) Η f είναι και «-». Έχει αντίστροφη f που ορίζεται σε όλο το. f y y + y y + y Άρα, f + + για κάθε. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

34 f για κάθε [,] E f d.. + d E τ µ + + f( u) 9. Έστω συνάρτηση f : η οποία είναι συνεχής τέτοια, ώστε: f > du u + για κάθε. Να αποδείξετε ότι: i) η συνάρτηση g f( u) ii) > για κάθε >. u + iii) f( ) > για κάθε >. f( u) du u +, είναι γνησίως αύξουσα. + iv) f ( u ) + du > f u du u +, για κάθε >. u + v) αν υπάρχει το lim f, τότε αυτό είναι ίσο µε +. + i) f( u) f( u) ( + ) du du u + u + g ( + ) f f( u) f( u) f du + >, για κάθε. ( + ) du ( ) + u + u ( + ) ( + ) Άρα, η g είναι γνησίως αύξουσα. ii, iii) Για κάθε > θα ισχύει: g > g() f( u) du u + >, + + > άρα f( u) du > u + f( u) Για κάθε > ισχύει: > και du u + > f( u) Άρα, f > du >, για κάθε > u + ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

35 4 iv) g για κάθε > ισχύει: g > g() f( u) du u + f( u) > du + u + Για κάθε > : + du + u + f ( u ) du > f u u f( u) f( u) u + u + v) Από το ερώτηµα (iv) προκύπτει: dt > ( + ) du, για κάθε f( u) f > + dt u + Όµως, lim + Άρα, lim +, για κάθε + lim + και + f( u) + du + u + f( u) lim f lim + du + + u + Άρα, lim f + + > () f( u) du > u + >. 4. Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιµη στο, µε συνεχή δεύτερη παράγωγο και σύνολο τιµών το διάστηµα [, ] a β, όπου a < < β. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν δύο τουλάχιστον σηµεία,, µε, ώστε f f. ii) υπάρχει ένας τουλάχιστον αριθµός, ώστε f. iii) Η εξίσωση f + f f έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο. iv) Η εξίσωση [ ] f + f, έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο. i) Αφού η f έχει σύνολο τιµών [ a, β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει ώστε f ( ) a () και µέγιστη τιµή β, δηλαδή υπάρχει ώστε f β (). Επειδή η f είναι παραγωγίσιµη στο, από το θεώρηµα Frmat έχουµε f ( ) και Άρα,. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 4 f.

36 5 ii) Έστω π.χ. f ( ) f ( ) <. Η f είναι συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιµη στο (, ). Από το θεώρηµα Roll, υπάρχει (, ) ώστε f. µε iii) Η συνάρτηση g f f ( f ) + είναι συνεχής στο [, ] µε: g ( ) f + f f a< και g ( ) f + f f β > Από το θεώρηµα Bolzano υπάρχει (, ) εξίσωσης. ξ µε g( ξ ). Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης iv) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] h f και παραγωγίσιµη στο (, ) h f + f f + f f f f µε ( ) f ( ) h f και h f f ( ) ( ) Από το θεώρηµα Roll, υπάρχει ξ (, ), ώστε: h ξ f ξ ( f ξ ) + 4. Έστω f συνεχής συνάρτηση στο (, ) + για την οποία ισχύει f και t f + f dt, για κάθε > και η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι: i) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο. g f +, >. ii) Η g είναι σταθερή στο. iii) Ο τύπος της f είναι f, + iv) Να υπολογίσετε το f +. lim ln f. > και βρείτε το σύνολο τιµών i) Θέτω: t u t u άρα dt du Για t u Για t u ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 5

37 6 f + [ ] [ ] f u du + f u du + > () Άρα, η f είναι παραγωγίσιµη στο µε: f [ f u ] du [ f ] Άρα, η f είναι γνησίως αύξουσα. ii) Η g είναι προφανώς παραγωγίσιµη µε: () f g f [ f ] iii) Για οπότε f + f u du είναι () [ ] g() f () g, για κάθε >. και αφού η g είναι σταθερή, έχουµε: g + f f f + Επίσης, lim και lim Άρα, f( ) ( lim f,lim f ) (,) + iv) f lim lim lim lim lim ln( + ) ln( + ) ( ln( + ) ) ίνεται η συνάρτηση f, ορισµένη στο, µε τύπο: f z + z, όπου z συγκεκριµένος µιγαδικός αριθµός µε z z+ iβ, a, β, a. α) Να βρείτε τα όρια lim f, lim f. + β) Να βρείτε τα ακρότατα της f, εάν z+ > z. γ) Να βρείτε το σύνολο τιµών της f και το πλήθος των ριζών της. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 6

38 7 β a + + a + β 4a f z + z a iβ + a iβ + a + β + a + β 4a 4a α) lim f lim lim a 4a lim f lim lim β) z+ > z a+ iβ + > a+ iβ a+ + β > a + β a> Η f παραγωγίζεται στο µε παράγωγο: ( β ) f 4a ( a + β ) ( β ) + a + β 4 a f 4 a, a> + a + + a + ( + a + β ) ( + a + β ) ( + a + β ) Σύνολο τιµών της f : a a + β M f a +, M > a + β όπου ( β ) f lim f, f a + f a +, f a + f a +, lim f + ( ) ( β ) ( β ) ( β ) ( β ) (, M] [ M, M] [ M, ) [ M, M] άρα η f έχει ολικό µέγιστο τον αριθµό Μ και ολικό ελάχιστο τον Μ. γ) Για Για a a + β a a + β,, a + β a + β a > : f ( ) [ M M] f ( ) a < : f ( ) a a + β a a + β, a + β a + β 4a f + a + β, δηλαδή η f έχει µοναδική ρίζα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 7

39 8 4. ίνεται η συνάρτηση f : για την οποία ισχύει η ισότητα f + t dt, για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι: i) Η τιµή της f στο είναι f (). ii) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο. β) Να βρείτε τις τιµές του κ για τις οποίες αληθεύει η ανίσωση ( fof )( κ + ) ( fof )( κ ) + t dt > γ) Αν επιπλέον η f είναι συνεχής στο, να δείξετε ότι f (). α) i) για f () dt + t + t > για κάθε t, θα είναι f (). Αν f () >, τότε f () + t dt >, άτοπο Αν f () <, τότε f () + t dt <, άτοπο ii) Έστω, µε <. Αν ήταν f f, τότε: f ( ) f ( ) dt f dt + f dt + t + t + t f ( ) dt dt f ( ) + t + t f f dt dt άτοπο + t + t Άρα, f < f η f είναι γνησίως αύξουσα. β) dt > + t + t f ( f ( κ + )) f ( f ( κ)) dt () Η () είναι ισοδύναµη µε την f ( κ ) f( κ) + > και αφού η f είναι γνησίως αύξουσα µε την κ κ κ κ κ ή κ + > + > < > ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 8

40 9 f f() f f γ) lim lim lim f + t όπου f u, άρα dt u lim f f(), δηλαδή u, άρα lim () u u dt o + t u gu dt, u είναι συνεχής ως παραγωγίσιµη, άρα + t u lim gu g() lim dt dt u u + t + t Το όριο () είναι της µορφής και από τον κανόνα D L Hospital προκύπτει: u ( u) lim lim lim u u u u u dt + t dt + u Άρα, f (). + t 44. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο µε f () και f f +, για κάθε. Α. Να αποδείξετε ότι: i) Για κάθε ισχύει: f + f +. ii) Η f αντιστρέφεται και να βρεθεί f : iii) Η τιµή της f στο είναι f ( ). Β. Να βρείτε τα σηµεία καµπής της f. Γ. Να υπολογιστεί το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f, τους άξονες, yy και την γραµµή. Α. i) Επειδή f f f + f f + f f + f + f + c ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 9

41 4 Για : f + f + ( c ) ii) y f δίνει: y y y y, y Από την µοναδικότητα της λύσης, προκύπτει ότι η f είναι «-» και άρα, έχει αντίστροφη την: f, +. iii) Επειδή f () είναι ισοδύναµα: f ( ). Β. Η f είναι παραγωγίσιµη στο, ως πηλικο παραγωγίσιµων συναρτήσεων f + 6 f f µε: f f + Επειδή f > το πρόσηµο της f εξαρτάται µόνο από την f ( ). Η f ( ) είναι γνησίως αύξουσα και έχει ρίζα -. Έτσι: Με < : f < f( ) f < f > Με > : f > f( ) f > f < Η f έχει σηµείο καµπής το (,). Γ. E f d f d [ f ] Θέτουµε:, τότε: ( + ) ( + ) f u f u Τα νέα άκρα ολοκλήρωσης είναι τα f (), f ( ). Τότε: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 4 d f u du u u du u du 4 u u 5 E u(u + ) du ( u u) du τ. µ

42 4 45. ίνεται η συνάρτηση f, µε 5 f 5 a, a +.( βασική ασκηση) α) Να µελετηθεί η f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα. β) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της f. γ) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f( ), όταν 4< a < 4. α) f f ± Η f είναι γνησίως αύξουσα στα (, ] και [, + ), ενώ η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [,]. Η f παρουσιάζει στο τοπικό µέγιστο την τιµή: 5 f( ) ( ) 5( ) + a a a+ 4 Η f παρουσιάζει στο τοπικό ελάχιστο την τιµή: 5 f() 5 + a a 4. β) Στο (, ] η f είναι γνησίως αύξουσα 5 5 lim f lim 5+ a lim f( ) a+ 4 Άρα, f (, a 4] +. Στο (,) η f είναι γνησίως φθίνουσα lim f f( ) a+ 4 ( f συνεχής ) ( συνεχ ς ) lim f f() a 4 f ή Άρα, f ( a 4, a 4) +. Στο [ ), + + η f είναι γνησίως αύξουσα f() a lim f lim 5+ a lim ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 4

43 4 Άρα, f [ a 4, ) +. Το σύνολο τιµών της είναι το f( A ) (, + ) γ) a 4< < a+ 4, άρα f ( ), f ( ) και f ( ) Η f( ) έχει ακριβώς µία ρίζα σε καθένα από τα, και. Άρα, η f( ) έχει ακριβώς ρίζες στο. 46. ίνεται η συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιµη στο και ισχύει 5 f + f + f, για κάθε. α) Να αποδειχθεί ότι η f δεν έχει ακρότατα. β) Να αποδειχθεί ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί η f. γ) Αν η C f διέρχεται από τα σηµεία A( a,) και B ( β,), να υπολογιστεί το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f και τις ευθείες a και β. 4 α) Παραγωγίζοντας κατά µέλη έχουµε: 5 f f + f f + f 4 f 5 f + f + f > 4 5 f + f + ( 5 f 4 f, ) + + >. Άρα, η f είναι γνησίως αύξουσα και στερείται ακροτάτων. β) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα η f είναι «-», άρα η f είναι αντιστρέψιµη. Θέτω όπου το f, άρα: 5 f f f f f + f f + f f f + + f Άρα, 5 f + +. γ) f( a) f f < β a< β f a β f( a) f f( β) f Άρα, f >, για κάθε [ a, β ]. β 4 5 ( 5 ) ( 5 ) E f d u u + u + du u + u + u du α u u u τµ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 4

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A Απόδειξη Σελ 53 Α Ορισμός Σελ 9 Α3 Ορισμός Σελ 58 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β 4 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÁ ÓÕÍÏËÏ ËÁÌÉÁ. ( i) ( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ.

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÁ ÓÕÍÏËÏ ËÁÌÉÁ. ( i) ( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία σελ. 73 σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α4. α) Λ, β) Σ, γ) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής zi,

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]. Αν η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Δευτέρα 25-5-2015 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ. Α4.) α) Λάθος, β) Σωστό, γ) Λάθος, δ) Σωστό, ε) Σωστό

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Δευτέρα 25-5-2015 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ. Α4.) α) Λάθος, β) Σωστό, γ) Λάθος, δ) Σωστό, ε) Σωστό ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 5-5-5 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α.) Θεωρία σελ. 94 Α.) Θεωρία σελ.88 Α3.) Θεωρία σελ. 59 Α4.) α) Λάθος, β) Σωστό, γ) Λάθος, δ) Σωστό, ε) Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 )

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 ) ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( & ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( Επιμέλεια Συρραφή Θεμάτων Ζαχαριάδης Λάζαρος - Μαθηματικός ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΑΠΟ ΕΩΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι 2.7) 03/01/2014. Θέμα A. Θέμα Β

Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι 2.7) 03/01/2014. Θέμα A. Θέμα Β Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι.7 0/01/014 Θέμα A Α 1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 191. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0 ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ -4 Λύσεις Θέμα ο α) H f παραγωγίσιμη στο (,) ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f() για κάθε (,). Αφού η f είναι συνεχής στο (,) και f() για κάθε (,) είναι γνησίως αύξουσα στο (,) άρα

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή"

Τομέας Mαθηματικών ρούλα μακρή Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή" ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Πρότυπου Εκπαιδευτικού Οργανισμού ρούλα μακρή ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. σας προτείνουν για άλλη μια χρονιά, ένα ολοκληρωμένο

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. σας προτείνουν για άλλη μια χρονιά, ένα ολοκληρωμένο ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αγαπητοί μαθητές και μαθήτριες, Τα σας προτείνουν για άλλη μια χρονιά, ένα ολοκληρωμένο επαναληπτικό υλικό στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β. κ Θέµα 1 ο Α. Έστω η συνάρτηση f ορισµένη και συνεχής στο διάστηµα [ α,β ] µε f ( α) f ( β)

( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β. κ Θέµα 1 ο Α. Έστω η συνάρτηση f ορισµένη και συνεχής στο διάστηµα [ α,β ] µε f ( α) f ( β) Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου κ Θέµα 1 ο Α. Έστω η συνάρτηση ορισµένη και συνεχής στο διάστηµα [ α,β ] µε ( α) ( β). Να δειχτεί ότι για κάθε αριθµό η µεταξύ των ( α ) και ( β ) υπάρχει ένας τουάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΖΗΤΗΜΑ ο Α. α Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Να αποδείξετε ότι, αν > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι αν () 0 στο, ) και ()

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός. Λογισμός

Διαφορικός. Λογισμός Διαφορικός Λογισμός Συλλογή 5 Ασκήσεων mathmatica - ΕΠΙΛΟΓΗ + ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗΣ: 9// 7// Πηγή Απαντήσεις Διαφορικός Λογισμός:- Μια συλλογή 5 ασκήσεων. Έλυσαν οι: XRIMAK Βασίλης Κακαβάς Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 25 Μαΐου 2015

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 25 Μαΐου 2015 Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 5 Μαΐου 5 Απαντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο σελ. 94

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ θεματα Α-Β-Γ-Δ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ 0 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3-4 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΘΕΜΑ Α) 5-7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ Β)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ()= για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] είναι όριο? β) Για να βρούμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Απαντήσεις Θεμάτων Θεμα Α Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 334-335

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

Το Ορισµένο Ολοκλήρωµα

Το Ορισµένο Ολοκλήρωµα Το Ορισµένο Ολοκλήρωµα Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο Πειραµατικό Γ.Ε.Λ. Βαρβακείου Σχολής 3 Μαρτίου 4 Εισαγωγή Ο δρόµος της ϑεωρίας της ολοκλήρωσης ξεκινά απο τον Αρχιµήδη, αλλά η πραγµατική ιστορία αρχίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα