Χρωματισμός γραφημάτων
|
|
- Λωΐς Μεταξάς
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Χρωματισμός γραφημάτων
2 Χρωματισμός γραφημάτων Έστω γράφημα G Αποδίδουμε 1 ακριβώς χρώμα σε κάθε κορυφή του G έτσι ώστε κορυφές που συνδέονται με ακμή να λαμβάνουν διαφορετικά χρώματα
3 Χρωματισμός γραφημάτων proper coloring: ανάθεση χρωμάτων στις κορυφές ενός γραφήματος ώστε γειτονικές κορυφές να μη λαμβάνουν το ίδιο χρώμα k-coloring: proper coloring με το πολύ k χρώματα Το αντίστοιχο γράφημα λέγεται k-χρωματίσιμο (k-colorable)
4 Χρωματισμός γραφημάτων proper coloring: ανάθεση χρωμάτων στις κορυφές ενός γραφήματος ώστε γειτονικές κορυφές να μη λαμβάνουν το ίδιο χρώμα k-coloring: proper coloring με το πολύ k χρώματα Το αντίστοιχο γράφημα λέγεται k-χρωματίσιμο (k-colorable) Αναζητούμε k-colorings με ελάχιστο k
5 Χρωματισμός γραφημάτων χ(g) ή γ(g) - χρωματικός αριθμός (chromatic number) γραφήματος G: η μικρότερη τιμή k για την οποία γράφημα G είναι k-colorable χ(k n ) = n αφού κάθε κορυφή πρέπει να λάβει διαφορετικό χρώμα
6 Γραφήματα διαδρομών Tour graphs Διαδρομή (tour) ενός απορριμματοφόρου οχήματος είναι το πρόγραμμα των σημείων που επισκέπτεται σε δοσμένη μέρα Το ακόλουθο πρόβλημα πρόεκυψε [Beltrami & Bodin (1973), Tucker (1973)] από ένα πρόβλημα που τέθηκε από την υπηρεσία Ύδρευσης/Αποχέτευσης της Νέας Υόρκης Δεδομένης συλλογής διαδρομών απορριμματοφόρων οχημάτων, είναι δυνατή η ανάθεση μιας διαδρομής σε κάθε ημέρα της εβδομάδας (εκτός Κυριακής) έτσι ώστε αν δύο διαδρομές περνούν από το ίδιο σημείο να είναι προγραμματισμένες για διαφορετική ημέρα; Παρόμοια προβλήματα διατυπώθηκαν και για το πρόγραμμα άλλων υπηρεσιών όπως π.χ., διανομή τύπου ή γάλακτος, οδοκαθαρισμός,
7 Γραφήματα διαδρομών Tour graphs Το πρόβλημα διατυπώνεται γραφοθεωρητικά ως εξής: Γράφημα διαδρομών (tour graph): κορυφές = οι διαδρομές (tours), υπάρχει ακμή μεταξύ δύο διαδρομών αν περνάνε από το ίδιο σημείο Το πρόβλημα: είναι δυνατόν να ανατεθεί σε κάθε κορυφή (tour) 1 από 6 χρώματα (ημέρες) έτσι ώστε αν δύο διαδρομές συνδέονται με ακμή (περνάνε από το ίδιο σημείο) να λαμβάνουν διαφορετικό χρώμα; είναι το γράφημα διαδρομών (tour graph) 6-χρωματίσιμο (6-colorable);
8 Προγράμματα Επιτροπών Committee schedules Κάθε μέλος κάποιων νομικών προσώπων μετέχει σε πολλές επιτροπές Πρέπει να δημιουργείται πρόγραμμα συνεδριάσεων των επιτροπών σε εβδομαδιαία βάση Κάθε επιτροπή πρέπει να συνεδριάζει ακριβώς μία φορά αλλά δύο επιτροπές στις οποίες μετέχει το ίδιο μέλος δεν πρέπει να συνεδριάζουν ταυτόχρονα Πόσα διαστήματα συνεδριάσεων απαιτούνται;
9 Προγράμματα Επιτροπών Committee schedules Για να απαντήσουμε προχωράμε ως εξής: Κατασκευάζουμε γράφημα G στο οποίο κορυφές είναι οι επιτροπές και υπάρχει ακμή μεταξύ δύο επιτροπών αν και μόνον αν τα μέλη τους επικαλύπτονται Επιθυμούμε να αναθέσουμε σε κάθε κορυφή (επιτροπή) ένα χρώμα (διάστημα συνεδρίασης) έτσι ώστε αν δύο κορυφές συνδέονται με ακμή (έχουν κοινό μέλος) να λαμβάνουν διαφορετικά διαστήματα συνεδρίασης Ο ελάχιστος αριθμός διαστημάτων συνεδρίασης είναι ο χρωματικός αριθμός του γραφήματος G Παρόμοιο πρόβλημα ανακύπτει κατά τον προγραμματισμό εξετάσεων σε πανεπιστημιακό τμήμα επιτροπές μαθήματα
10 Χρωματισμός χαρτών Map coloring Μας δίνεται χάρτης και επιθυμούμε να χρησιμοποιήσουμε συλλογή χρωμάτων για τις χώρες έτσι ώστε κράτη που συνορεύουν να λαμβάνουν διαφορετικά χρώματα Μετατρέπουμε το χάρτη σε γράφημα κάνοντας κάθε κράτος κορυφή και τοποθετώντας ακμή μεταξύ δύο κορυφών όταν τα αντίστοιχα κράτη συνορεύουν Τότε το πρόβλημα χρωματισμού του χάρτη είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα χρωματισμού του γραφήματός του
11 Χρωματισμός χαρτών Map coloring Γνωστή ερώτηση: μπορεί κάθε χάρτης να χρωματιστεί με 4 ή λιγότερα χρώματα; Η απάντηση είναι θετική [Appel & Haken (1977), Appel, Haken & Koch (1977)] Ισοδύναμη ερώτηση: μπορεί κάθε γράφημα που προκύπτει από χάρτη να χρωματιστεί με 4 χρώματα; Τα γραφήματα που προκύπτουν από χάρτες καλούνται επίπεδα (planar) γραφήματα που μπορούν να ζωγραφιστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους
12 Υπολογισμός χρωματικού αριθμού Το πρόβλημα υπολογισμού του χρωματικού αριθμού ενός γραφήματος είναι δύσκολο στη γενική περίπτωση Δεν είναι γνωστό αν υπάρχει πολυωνυμικός (ντετερμινιστικός) αλγόριθμος για τον υπολογισμό του χ(g) Το πρόβλημα υπολογισμού του χ(g) ανήκει στην κλάση NP [Stockmeyer (1973)] το πρόβλημα καθορισμού του αν ένα επίπεδο (planar) γράφημα είναι 3-χρωματίσιμο είναι πλήρες στην κλάση NP (NP-complete) το ίδιο ισχύει και για το πρόβλημα υπολογισμού του χ(g) [Garey, Johnson & Stockmeyer (1976)] το πρόβλημα καθορισμού της δυνατότητας 3- χρωματισμού σε επίπεδα γραφήματα των οποίων οι κορυφές έχουν το πολύ 4 γειτονικές είναι NP-complete τα προβλήματα χρονοπρογραμματισμού διαδρομών απορριμματοφόρων και συνεδριάσεων επιτροπών είναι επίσης δύσκολα αφού αντιστοιχούν σε προβλήματα χρωματισμού Σημείωση: η ακριβής μαθηματική διατύπωση ενός προβλήματος μπορεί να μας διαφωτίσει για τη δυσκολία του προβλήματος
13 Υπολογισμός χρωματικού αριθμού Εύκολα διαπιστώνουμε σε πολυωνυμικό χρόνο αν ένα γράφημα είναι 2- χρωματίσιμο Ένα γράφημα είναι 2-χρωματίσιμο αν και μόνον αν είναι διμερές Διμερές γράφημα: οι κορυφές του διαμερίζονται σε 2 κλάσεις έτσι ώστε όλες οι ακμές του γραφήματος να είναι μεταξύ κλάσεων Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο DFS έχουμε πολυωνυμικό αλγόριθμο για έλεγχο του αν ένα γράφημα είναι διμερές [Reingold, Nievergelt & Deo (1977)]
14 Υπολογισμός χρωματικού αριθμού [König (1936)] Ένα γράφημα είναι 2-χρωματίσιμο αν και μόνον αν δεν περιέχει κυκλώματα περιττού μήκους ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν το γράφημα G είναι 2-χρωματίσιμο σε κάθε κύκλωμα πρέπει να εναλλάσσονται 2 χρώματα κάθε κύκλωμα έχει άρτιο μήκος
15 Υπολογισμός χρωματικού αριθμού [König (1936)] Ένα γράφημα είναι 2-χρωματίσιμο αν και μόνον αν δεν περιέχει κυκλώματα περιττού μήκους ΑΠΟΔΕΙΞΗ Υποθέτουμε ότι κάθε κύκλωμα του G είναι άρτιο Χ.α.γ., υποθέτουμε ότι το G είναι συνεκτικό διαφορετικά εκτελούμε 2-χρωματισμό ξεχωριστά σε κάθε συνιστώσα Αφού το G είναι συνεκτικό, έστω d(u, v) το μήκος της συντομότερης αλυσίδας μεταξύ των κορυφών u και v Διαλέγουμε αυθαίρετη κορυφή u στο V(G) και ορίζουμε τα σύνολα: A = {v V(G): d(u,v) άρτιος} B = {v V(G): d(u,v) περιττός} u ανήκει στο σύνολο A αφού d(u, u) = 0 Δεν υπάρχουν ακμές μεταξύ κορυφών στην κλάση A ή μεταξύ κορυφών στην κλάση Β Αν υπήρχε τέτοια ακμή θα υπήρχε κλειστή αλυσίδα περιττού μήκους στο G μια συντομότερη τέτοια αλυσίδα θα έπρεπε να ήταν κύκλωμα περιττού μήκους Με παραπλήσιο τρόπο δείχνουμε ότι τα A και B είναι ξένα μεταξύ τους αποτελούν 2 κλάσεις κορυφών σε έναν 2-χρωματισμό
16 Clique number clique number, ω(g): το μέγεθος της μέγιστης κλίκας στο G Κλίκα σε γράφημα G: σύνολο αμοιβαία γειτονικών κορυφών του G
17 Clique number O clique number εμφανίζεται σε διάφορες εφαρμογές Π.χ., κοινωνιολογία: είναι εξαιρετικά σημαντικός ο εντοπισμός κλικών σε κοινωνιογράμματα (sociograms) δηλ., γραφήματα που αναπαριστούν κάποια σχέση μεταξύ μελών της ομάδας χ(g) ω(g): αφού κάθε κορυφή μιας κλίκας πρέπει να λάβει διαφορετικό χρώμα χ μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ω Π.χ., χ(z 5 ) = 3 ενώ ω(z 5 ) = 2 Ένα γράφημα λέγεται ασθενώς γ-τέλειο (weakly γ-perfect) αν χ(g) = ω(g) Z 5 και Z n όπου n περιττός μεγαλύτερος του 3 ΔΕΝ είναι weakly γ-perfect Τα γραφήματα Z n καλούνται και περιττές οπές (odd holes)
18 Clique number Ο όρος γ-perfect προκύπτει από το ότι ο συμβολισμός γ(g) χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει τον ελάχιστο αριθμό ανεξάρτητων συνόλων στα οποία διαμερίζονται οι κορυφές του G Ισχύει ότι χ(g) = γ(g): οι κορυφές συγκεκριμένου χρώματος αποτελούν τα ανεξάρτητα σύνολα
19 Clique number Αν ένα γράφημα είναι weakly γ-perfect ο χρωματικός του αριθμός μπορεί να υπολογιστεί από το clique number του Αν και ίσως φαίνεται απλούστερο, το πρόβλημα εντοπισμού του clique number είναι επίσης δύσκολο (NP-hard) Πάντως, με συγκεκριμένους αλγόριθμους ο clique number υπολογίζεται ευκολότερα από το χρωματικό αριθμό Κατά την επίλυση του tour graph problem ο καθορισμός του χρωματικού αριθμού πρέπει να γίνεται ξανά και ξανά για συνεχώς μεταβαλλόμενο σύνολο διαδρομών Επειδή το σύνολο των διαδρομών μεταβάλλεται bit by bit, το γράφημα διαδρομών αλλάζει μόνον τοπικά Έτσι είναι ευκολότερος ο υπολογισμός clique number για τα επόμενα γραφήματα από προηγούμενα κάνοντας μόνο τοπικές αναζητήσεις ΔΕΝ είναι δυνατόν να υπολογιστεί ο χρωματικός αριθμός επόμενων γραφημάτων από προηγούμενα με τοπικές αναζητήσεις Για το λόγο αυτό ο Tucker (1973) πρότεινε τη χρήση του clique number για τον υπολογισμό του χρωματικού αριθμού Η διαδικασία δουλεύει μόνον αν υπάρχει τρόπος να διαπιστωθεί αν οι δύο αριθμοί είναι οι ίδιοι μόνον αν υπάρχει τρόπος να διαπιστωθεί αν δοσμένο γράφημα είναι weakly γ-perfect
20 Clique number Ένα γράφημα είναι γ-perfect αν κάθε υπογράφημά του είναι weakly γ-perfect Μεγάλη κλάση γραφημάτων είναι γ-perfect Η ιδέα οφείλεται στον Berge (1961,1962) που διατύπωσε την εικασία ότι ένα γράφημα G είναι γ-perfect αν και μόνον αν το συμπληρωματικό του είναι γ-perfect Η δήλωση αυτή γνωστή σαν weak Berge conjecture ή weak perfect graph conjecture αποδείχθηκε από το Lovász (1972)
21 Πολυχρωματισμοί Multicolorings Ένα n-tuple coloring για γράφημα G είναι μια ανάθεση χρώματος από ένα σύνολο S(x) με n διαφορετικά χρώματα σε κάθε κορυφή του G έτσι ώστε αν {x,y} ακμή του G τότε τα S(x) και S(y) είναι ξένα μεταξύ τους Αν US(x) είναι σύνολο με k στοιχεία, το n-tuple coloring χρησιμοποιεί k χρώματα Δεδομένου του n, το μικρότερο k ώστε να υπάρχει n-tuple coloring με k χρώματα για το G λέγεται n-χρωματικός αριθμός (n-chromatic number) του G και συμβολίζεται X n (G) Έχει μελετηθεί από Clarke & Jamison (1976), Garey & Johnson (1976), Scott (1975), Stahl (1976), Chvátal, Garey & Johnson (1976) Παράδειγμα: Αν I p είναι το γράφημα που αποτελείται από p απομονωμένες κορυφές τότε χ n (I p )=n αφού κάθε κορυφή μπορεί να λάβει το ίδιο σύνολο n χρωμάτων Αν G είναι διμερές γράφημα με τουλάχιστον 1 ακμή τότε χ n (G)=2n αφού κάθε κορυφή στην ίδια κλάση μπορεί να λάβει τα ίδια n χρώματα αλλά κορυφές που συνδέονται με ακμή πρέπει να λάβουν ξένα μεταξύ τους σύνολα χρωμάτων Σχήμα: 2-tuple coloring με 5 χρώματα για το γράφημα Z 5
22 Πολυχρωματισμοί Multicolorings Η ιδέα του n-tuple coloring προέκυψε από το πρόβλημα ανάθεσης συχνοτήτων στην κινητή τηλεφωνία Αρχικά κατασκευάζεται ένα conflict graph όπου κορυφές = ζώνες, ακμές = παρεμβολές μεταξύ ζωνών Ζητούμενο: ανάθεση δέσμης συχνοτήτων B(i) σε κάθε ζώνη i έτσι ώστε αν υπάρχει ακμή μεταξύ των i και j τότε θα πρέπει B(i) B(j) = Φανταζόμαστε τις δέσμες συχνοτήτων σαν διαστήματα ή σαν ένωση διαστημάτων και απαιτούμαι να έχουν συγκεκριμένο ελάχιστο μέγεθος Αν υποθέσουμε ότι τα διαστήματα έχουν το ίδιο μήκος ή το ίδιο άθροισμα μηκών μπορούμε να τα χειριστούμε σαν διακριτά σύνολο, π.χ., n ακεραίων Τότε η ανάθεση δεσμών συχνοτήτων χωρίς παρεμβολές αντιστοιχεί σε ένα n- tuple coloring του conflict graph
23 Πολυχρωματισμοί Multicolorings Έχει ενδιαφέρον ο συσχετισμός του n-χρωματικού αριθμού με το χρωματικό αριθμό [Harary (1959b)] lexicographic product G[H] of two graphs Σύνολο κορυφών: καρτεσιανό γινόμενο V(G) x V(H) Υπάρχει ακμή από την (a,b) στην (c,d) αν και μόνον αν {a,c} είναι ακμή του G ή a = c και {b, d} είναι ακμή του H [Stahl (1976)] χ n (G) = χ(g[k n ])
24 O άπληστος αλγόριθμος χρωματισμού κορυφών Άπληστος (greedy): προσπαθεί να χρησιμοποιεί τα λιγότερα δυνατά χρώματα Επιτυγχάνει proper coloring Δεν επιτυγχάνει πάντα το χρωματικό αριθμό (δηλ., χρωματισμούς με ελάχιστο αριθμό χρωμάτων) Τα χρώματα αριθμούνται καθώς χρησιμοποιούνται 1. Χρωμάτισε μια κορυφή με το χρώμα 1 2. Διάλεξε μια μη χρωματισμένη κορυφή v και χρωμάτισέ τη με το μικρότερο χρώμα που δεν χρησιμοποιείται σε ήδη χρωματισμένες κορυφές γειτονικές της v αν κανένα από τα ήδη χρησιμοποιούμενα χρώματα δεν είναι διαθέσιμο, χρησιμοποίησε νέο χρώμα και αρίθμησέ το 3. Επανάλαβε το προηγούμενο βήμα όσο υπάρχουν μη χρωματισμένες κορυφές
25 O άπληστος αλγόριθμος χρωματισμού κορυφών Ο αλγόριθμος επιστρέφει proper coloring αφού κάθε φορά που χρωματίζεται νέα κορυφή δεν λαμβάνει ίδιο χρώμα με κάποια γειτονικής της Πόσα χρώματα χρησιμοποιούνται; Είναι δύσκολο να πούμε εξ αρχής Εξαρτάται από τη σειρά με την οποία επισκεπτόμαστε τις κορυφές
26 O άπληστος αλγόριθμος χρωματισμού κορυφών Σειρά επίσκεψης κορυφών: G, L, H, P, M, A, I, S, C
27 O άπληστος αλγόριθμος χρωματισμού κορυφών Σειρά επίσκεψης κορυφών: G, L, H, P, M, A, I, S, C 4 χρώματα
28 O άπληστος αλγόριθμος χρωματισμού κορυφών Σειρά επίσκεψης κορυφών: A, I, P, M, S, C, H, L, G 5 χρώματα
29 O άπληστος αλγόριθμος χρωματισμού κορυφών Ποιότητα χρωματισμού που παράγει ο άπληστος αλγόριθμος = f(σειρά επίσκεψης κορυφών) Υπάρχει εγγύηση ποιότητας Υπάρχει ελάχιστη ποιότητα παραγόμενου χρωματισμού Έστω d ο μέγιστος βαθμός κορυφών στο γράφημα Όλες οι κορυφές έχουν βαθμό d ή μικρότερο και ακριβώς μία κορυφή έχει βαθμό ακριβώς d, δηλ., ακριβώς d προσκείμενες ακμές Καθώς χρωματίζουμε μια κορυφή v, αυτή είναι γειτονική με το πολύ d άλλες κορυφές κάποιες από τις οποίες μπορεί να έχουν ήδη χρωματιστεί Υπάρχουν το πολύ d χρώματα που πρέπει να αποφύγουμε Χρησιμοποιούμε το μικρότερο επιτρεπτό χρώμα Χρησιμοποιούμε το χρώμα d + 1 ή μικρότερο αφού τουλάχιστον 1 από τα χρώματα 1, 2,, d + 1 είναι επιτρεπτό Δεν χρησιμοποιούμε ποτέ πάνω από d + 1 χρώματα
30 O άπληστος αλγόριθμος χρωματισμού κορυφών ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν d είναι ο μέγιστος βαθμός κορυφής σε ένα γράφημα G, τότε το G έχει ένα proper coloring με d + 1 ή λιγότερα χρώματα, δηλ., ο χρωματικός αριθμός του G είναι το πολύ d + 1 Έχουμε ένα άνω φράγμα (upper bound) για το χρωματικό αριθμό ΑΛΛΑ ο πραγματικός χρωματικός αριθμός μπορεί να είναι πολύ μικρότερος ειδικά αν είμαστε τυχεροί στη σειρά επίσκεψης των κορυφών Σειρά επίσκεψης κορυφών: G, L, H, P, M, A, I, S, C
31 Χρωματισμός χαρτών Ποιο είναι το μέγιστο πλήθος χρωμάτων που χρειάζονται για το χρωματισμό χάρτη έτσι ώστε γειτονικές περιοχές να λαμβάνουν διαφορετικά χρώματα; Ισοδύναμο με χρωματισμό γραφήματος Περιοχές κορυφές Γειτονικές περιοχές ύπαρξη ακμής μεταξύ τους Άλλο πρακτικό ισοδύναμο: ανάθεση συχνοτήτων σε ασύρματα κυψελικά δίκτυα Περιοχές κυψέλες Χρώματα συχνότητες Πρόβλημα χρωματισμού πρόβλημα ανάθεσης συχνοτήτων
32 Χρωματισμός χαρτών
33 Χρωματισμός χαρτών
34 Χρωματισμός χαρτών 4 χρώματα
35 Χρωματισμός χαρτών Αν δοκιμάσετε να χρωματίσετε και άλλους χάρτες θα διαπιστώσετε ότι 4 χρώματα πάντα είναι επαρκή Θα αποδείξουμε ότι: Six Color Theorem: Κάθε χάρτης μπορεί να χρωματιστεί με 6 ή λιγότερα χρώματα έτσι ώστε γειτονικές περιοχές να μη λαμβάνουν το ίδιο χρώμα
36 Χρωματισμός χαρτών Five Color Theorem, P. J. Heawood, 1890: Κάθε χάρτης μπορεί να χρωματιστεί με 5 ή λιγότερα χρώματα έτσι ώστε γειτονικές περιοχές να μη λαμβάνουν το ίδιο χρώμα Το 5 ο χρώμα φαίνεται να μην είναι απαραίτητο αν είμαστε προσεκτικοί Ισχυρισμός, Appel & Haken, 1976: Κάθε χάρτης μπορεί να χρωματιστεί με 4 ή λιγότερα χρώματα έτσι ώστε γειτονικές περιοχές να μη λαμβάνουν το ίδιο χρώμα
37 Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη Ζητούμενο: κάθε χάρτης χρωματίζεται με 6 χρώματα Παρατήρηση: δεν μπορούμε να χρωματίσουμε όλα τα γραφήματα με 6 χρώματα!!
38 Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη Ζητούμενο: κάθε χάρτης χρωματίζεται με 6 χρώματα Παρατήρηση: δεν μπορούμε να χρωματίσουμε όλα τα γραφήματα με 6 χρώματα!! ΑΛΛΑ γραφήματα σαν το προηγούμενο που χρειάζεται 7 χρώματα για να χρωματιστεί δεν ανακύπτουν ως αφαιρέσεις γεωγραφικών χαρτών Γράφημα που προέρχεται από χάρτη έχει περιορισμούς που το κάνουν πάντα 6-χρωματίσιμο! Γράφημα που προέρχεται από χάρτη μπορεί να σχεδιαστεί στο επίπεδο έτσι ώστε να μην τέμνονται οι ακμές του ΟΡΙΣΜΟΣ: Επίπεδο (planar) είναι ένα γράφημα που μπορεί να σχεδιαστεί στο επίπεδο χωρίς να διασταυρώνονται οι ακμές του Οι γεωγραφικοί χάρτες δίνουν επίπεδα γραφήματα
39 Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη Ζητούμενο: κάθε χάρτης χρωματίζεται με 6 χρώματα Κάθε επίπεδο (planar) γράφημα έχει χρωματικό αριθμό μικρότερο ή ίσο με 6
40 Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη 18 κορυφές - 29 ακμές
41 Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη Το γράφημα διαμερίζει το επίπεδο σε 13 μέρη ή όψεις (faces)
42 Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη V = 18 κορυφές, E = 29 ακμές, F = 13 όψεις
43 V - E + F = 2 V = 13 κορυφές, E = 25 ακμές, F = 14 όψεις V = 18 κορυφές, E = 29 ακμές, F = 13 όψεις
44 Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη Euler Characteristic Σε κάθε κανονικό πολύεδρο ισχύει: ΚΟΡΥΦΕΣ ΑΚΜΕΣ + ΟΨΕΙΣ = 2 V - E + F = 2 Κύβος: V - E + F = = 2 Τετράεδρο: V - E + F = = 2 ΟΡΙΣΜΟΣ: Το Euler characteristic ενός επίπεδου (planar) γραφήματος ή πολυέδρου με V κορυφές, E ακμές και F όψεις ισούται με V - E + F
45 Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη ΘΕΩΡΗΜΑ: Κάθε επίπεδο (planar) γράφημα έχει Euler characteristic = 2 Η πλήρης απόδειξη είναι δύσκολη Αποδεικνύουμε κατασκευάζοντας το γράφημα βήμα-βήμα 1. Γράφημα με 1 κορυφή έχει V-E+F = 1-0+1=2 2. Προσθέτουμε κορυφές χρησιμοποιώντας 1 ακμή κάθε φορά οπότε παραμένει V-E+F = 2 Όσο προσθέτουμε νέες κορυφές τις προσθέτουμε με αντίστοιχη ακμή και δεν δημιουργούνται νέες όψεις 3. Κάθε φορά που προσθέτουμε ακμή δημιουργείται και νέα όψη οπότε παραμένει V-E+F = 2 Αφού προσθέσουμε όλες τις κορυφές, για κάθε επιπλέον ακμή που προσθέτουμε δημιουργείται και νέα όψη
46 Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη ΘΕΩΡΗΜΑ: Κάθε επίπεδο (planar) γράφημα έχει τουλάχιστον 1 κορυφή με βαθμό 5 ή μικρότερο Κορυφές χαμηλού βαθμού, δηλ., περιοχές στο χάρτη που δεν έχουν πολλές γειτονικές περιοχές χρωματίζονται ευκολότερα Έστω επίπεδο γράφημα G που έχει κορυφή v με βαθμό 5 ή μικρότερο Αν χρωματίσουμε όλες τις άλλες κορυφές του G με 6 χρώματα και μείνει μόνον η v δεν χρειαζόμαστε νέο χρώμα Η v γειτονεύει με 5 (ή λιγότερες) άλλες κορυφές υπάρχουν το πολύ 5 χρώματα που δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για τη v 1 από τα 6 χρώματα είναι διαθέσιμο για τη v
47 Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη ΘΕΩΡΗΜΑ: Κάθε επίπεδο (planar) γράφημα έχει τουλάχιστον 1 κορυφή με βαθμό 5 ή μικρότερο Απόδειξη (με εις άτοπον απαγωγή) Υποθέτουμε ότι δεν ισχύει το θεώρημα Υπάρχει επίπεδο γράφημα που όλες οι κορυφές του έχουν βαθμό 6 ή μεγαλύτερο Θα καταλήξουμε σε άτοπο
48 Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη ΘΕΩΡΗΜΑ: Κάθε επίπεδο (planar) γράφημα έχει τουλάχιστον 1 κορυφή με βαθμό 5 ή μικρότερο Απόδειξη (με εις άτοπον απαγωγή) 1. Υπάρχουν V κορυφές, E ακμές και F όψεις στο επίπεδο γράφημα 2. Αφού κάθε κορυφή έχει βαθμό 6 ή μεγαλύτερο, έχει και περισσότερες προσκείμενες ακμές Υπάρχουν 3πλάσιες ακμές από ό,τι κορυφές Αφού κάθε ακμή συνδέει 2 κορυφές Μισή ακμή ανήκει σε κάθε κορυφή Σε κάθε ακμή ανήκουν τόσες ακμές όσο είναι το μισό του βαθμού της Αφού όλες οι κορυφές έχουν βαθμό 6 ή μεγαλύτερο Κάθε κορυφή έχει τουλάχιστον 6/2 = 3 ακμές Ε 3V V E/3
49 Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη ΘΕΩΡΗΜΑ: Κάθε επίπεδο (planar) γράφημα έχει τουλάχιστον 1 κορυφή με βαθμό 5 ή μικρότερο Απόδειξη (με εις άτοπον απαγωγή) 3. Κάποιες ακμές ορίζουν όψεις μισές ακμές ανήκουν στη μία όψη και μισές στην άλλη 4. Κάποιες ακμές έχουν την ίδια όψη και από τις δύο μεριές τους ανήκουν εξ ολοκλήρου στην όψη που τις περιβάλλει 5. Μία φραγμένη όψη πρέπει να έχει τουλάχιστον 3 ακμές που να την περιβάλλουν Αν έχουμε 2 ή 1 ακμές χρειαζόμαστε loop για να ορίσουμε όψη ΑΛΛΑ loops δεν υπάρχουν σε επίπεδα γραφήματα (a) Το ίδιο ισχύει και για μη φραγμένη όψη αν υπάρχει τουλάχιστον μία άλλη φραγμένη όψη στο επίπεδο γράφημα» Η μη φραγμένη όψη δεν μπορεί να διαχωριστεί από άλλες όψεις με λιγότερες από 3 ακμές εκτός και αν επιτρέπονται loops ή πολλαπλές ακμές (b) Αν η μη φραγμένη όψη είναι μοναδική ( το επίπεδο γράφημα είναι δέντρο) τότε ο όψη αυτή αγγίζει όλες τις ακμές πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 6 ακμές αφού κάθε κορυφή έχει βαθμό 6 ή μεγαλύτερο όπως αρχικά υποθέσαμε
50 Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη ΘΕΩΡΗΜΑ: Κάθε επίπεδο (planar) γράφημα έχει τουλάχιστον 1 κορυφή με βαθμό 5 ή μικρότερο Απόδειξη (με εις άτοπον απαγωγή) 6. Σε κάθε όψη πρόσκεινται 3 ή περισσότερες ακμές και σε κάθε όψη ανήκει μισή από κάθε προσκείμενη ακμή σε κάθε όψη ανήκουν 3/2 ακμές το πλήθος των ακμών είναι τουλάχιστον 3F/2: Ε 3F/2 F 2E/3 7. Ισχύει V-E+F=2 αφού έχουμε επίπεδο γράφημα V E/3 & F 2E/3 V-E+F E/3-E+ 2E/3=0 ΑΤΟΠΟ Είναι αδύνατον να έχουμε επίπεδο γράφημα με όλες τις κορυφές του να έχουν βαθμό 6 ή μεγαλύτερο Τουλάχιστον μία κορυφή του έχει βαθμό 5 ή μικρότερο
51 Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη Ζητούμενο: κάθε χάρτης χρωματίζεται με 6 χρώματα Κάθε επίπεδο (planar) γράφημα έχει χρωματικό αριθμό μικρότερο ή ίσο με 6 Ισχύει για επίπεδα γραφήματα με 6 ή λιγότερες κορυφές Δώσε την κάθε μία διαφορετικό χρώμα Τι συμβαίνει για επίπεδα γραφήματα με περισσότερες από 6 κορυφές; Χρησιμοποιούμε επαγωγή
52 Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη Ζητούμενο: κάθε χάρτης χρωματίζεται με 6 χρώματα Κάθε επίπεδο (planar) γράφημα έχει χρωματικό αριθμό μικρότερο ή ίσο με 6 Μπορεί επίπεδο γράφημα με 7 κορυφές να χρωματιστεί με 6 χρώματα; 1. Γνωρίζουμε ότι επίπεδα γραφήματα με 6 κορυφές χρωματίζονται με 6 χρώματα 2. Θέλουμε να δείξουμε ότι και κάθε επίπεδο γράφημα G με 7 κορυφές μπορεί να χρωματιστεί με 6 χρώματα 3. Όπως δείξαμε πριν, το G έχει κορυφή v με βαθμό 5 ή μικρότερο
53 Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη Ζητούμενο: κάθε χάρτης χρωματίζεται με 6 χρώματα Κάθε επίπεδο (planar) γράφημα έχει χρωματικό αριθμό μικρότερο ή ίσο με 6 Μπορεί επίπεδο γράφημα με 7 κορυφές να χρωματιστεί με 6 χρώματα; 4. Αν αγνοήσουμε τη v και τις προσκείμενες ακμές της λαμβάνουμε επίπεδο γράφημα με 6 κορυφές που μπορεί να χρωματιστεί με 6 χρώματα 5. Επαναφέρουμε τη v και τις προσκείμενες ακμές της και πρέπει να χρωματίσουμε τη v με κάποιο χρώμα διαφορετικό από αυτό των γειτονικών της κορυφών
54 Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη Ζητούμενο: κάθε χάρτης χρωματίζεται με 6 χρώματα Κάθε επίπεδο (planar) γράφημα έχει χρωματικό αριθμό μικρότερο ή ίσο με 6 Μπορεί επίπεδο γράφημα με 7 κορυφές να χρωματιστεί με 6 χρώματα; 6. Επειδή η v έχει βαθμό 5 ή μικρότερο έχει 5 ή λιγότερες προσκείμενες ακμές υπάρχουν 5 ή λιγότερα χρώματα που δεν μπορεί να λάβει Αλλά έχουμε στη διάθεσή μας 6 χρώματα υπάρχει τουλάχιστον 1 χρώμα που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη v της το αναθέτουμε το γράφημα G χρωματίζεται με 6 χρώματα 7. κάθε επίπεδο γράφημα με 7 κορυφές χρωματίζεται με 6 χρώματα
55 Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη Ζητούμενο: κάθε χάρτης χρωματίζεται με 6 χρώματα Κάθε επίπεδο (planar) γράφημα έχει χρωματικό αριθμό μικρότερο ή ίσο με 6 Μπορεί επίπεδο γράφημα με 8 κορυφές να χρωματιστεί με 6 χρώματα;
56 Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη 1. Δείξαμε ότι επίπεδα γραφήματα με 7 κορυφές χρωματίζονται με 6 χρώματα 2. Θέλουμε να δείξουμε ότι και κάθε επίπεδο γράφημα G με 8 κορυφές μπορεί να χρωματιστεί με 6 χρώματα 3. Έχουμε δείξει ότι το G περιέχει κορυφή v με βαθμό 5 ή μικρότερο 4. Αγνοούμε προσωρινά τη v και χρωματίζουμε με 6 χρώματα τις υπόλοιπες 7 κορυφές του G 5. Επαναφέρουμε τη v και τη χρωματίζουμε 6. Επειδή η v έχει βαθμό 5 ή μικρότερο 5 ή λιγότερα χρώματα έχουν ανατεθεί σε γειτονικές της κορυφές και περισσεύει 1 χρώμα το οποίο της αναθέτουμε 7. Κάθε επίπεδο γράφημα με 8 κορυφές μπορεί να χρωματιστεί με 6 χρώματα
57 Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη Με ανάλογο συλλογισμό, αυξάνοντας το πλήθος των κορυφών του επίπεδου γραφήματος κατά 1 κάθε φορά, καταλήγουμε στο ότι Κάθε επίπεδο γράφημα μπορεί να χρωματιστεί με 6 χρώματα
Χρωματισμός γραφημάτων
Χρωματισμός γραφημάτων Εφαρμογές χρωματισμού γραφημάτων Έστω γράφημα G Αποδίδουμε 1 ακριβώς χρώμα σε κάθε κορυφή του G έτσι ώστε κορυφές που συνδέονται με ακμή να λαμβάνουν διαφορετικά χρώματα Αν η διαδικασία
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 7 ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΣ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Εισαγωγή Χρωματισμός κορυφών-ακμών-περιοχών. Χρωματική τάξη (color class):
Διαβάστε περισσότεραΤο πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)
Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραχ(k n ) = n χ(c 5 ) = 3
Διάλεξη 20: 16.12.26 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιώτης Ρεπούσκος 20.1 Βασικές Ιδιότητες Θεώρημα 20.1 Για ένα πλέγμα Γ r r, ισχύει ότι bn(γ r r ) r + 1. Απόδειξη: Κατασκευάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα
Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα (μέρος ΙIΙ) Έλεγχος αποδοχής κλήσεων Οάπληστος(Greedy) αλγόριθμος ελέγχου αποδοχής κλήσεων Ο αλγόριθμος ταξινόμησης
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια,
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 07 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα, αντίστοιχη
Διαβάστε περισσότεραΤο Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)
Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Διατύπωση Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη από κλέφτες. Σε
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία και Κυριαρχία (Independence and Domination)
Ανεξαρτησία και Κυριαρχία (Independence and Domination) Κανονικό γινόμενο (normal product) Έστω γραφήματα G και H Κατ αναλογία με το λεξικογραφικό γινόμενο (lexicographic product) ορίζουμετοκανονικόγινόμενο
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε
Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 9 η Διάλεξη Χρωματισμός γράφων Θεωρήματα Τεχνικές Εφαρμογές
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 9 η Διάλεξη Χρωματισμός γράφων Θεωρήματα Τεχνικές Εφαρμογές Βασικές Εννοιές (1) Πρόβλημα του χρωματισμού των κορυφών ετσι ώστε κανένα ζεύγος
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 11 Λύσεις
Άσκηση 1 Φροντιστήριο 11 Λύσεις Να αποδείξετε ότι η κλάση Ρ είναι κλειστή ως προς τις πράξεις της ένωσης, της συναρμογής και του συμπληρώματος. Θα πρέπει να δείξουμε ότι: (α) Ένωση: Αν οι Λ 1 και Λ 2 είναι
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΤο Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)
Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 4: Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός
Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:
Διαβάστε περισσότεραΔιμερή γραφήματα και ταιριάσματα
Κεφάλαιο 6 Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι C. L. Liu and C. Liu 1985, Cameron 1994, Diestel 2005 και Stanley 1986. 6.1 Διμερή γραφήματα Η κλάση
Διαβάστε περισσότεραΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 8.1 Εισαγωγή 8.2 Χρωματισμός Κόμβων 8.3 Χρωματισμός Ακμών 8.4 Χρωματισμός Επιπέδων Γραφημάτων και Χαρτών 8.5 Χρωματικά Πολυώνυμα 8.6 Σειριακός και άλλοι Αλγόριθμοι Χρωματισμού
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες
Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες
Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 10: Χρωματισμός Ιωάννης Μανωλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΜορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ
Μαθηματικά Πληροφορικής 4ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.
Διαβάστε περισσότεραq(g \ S ) = q(g \ S) S + d = S.
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος & Σ. Κ. Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε
Διαβάστε περισσότεραd(v) = 3 S. q(g \ S) S
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο
Διαβάστε περισσότεραΓράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά.
Γράφοι Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο πλευρές (ακµές) και κορυφές (κόµβους). Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Graph Drawing 4 πιθανές αναπαραστάσεις
Διαβάστε περισσότερα2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα. (μέρος Ι)
Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα (μέρος Ι) Online vs offline Φανταστείτε ότι καλείστε σε συνέντευξη και γνωρίζετε εκ των προτέρων τις ερωτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Σχετικά με το Μάθημα Ώρες γραφείου: Δευτέρα Παρασκευή
Διαβάστε περισσότερα... a b c d. b d a c
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ιδάσκοντες: Φωτάκης, Σούλιου η Γραπτή Εργασία Θέµα (Αρχή του Περιστερώνα, 8 µονάδες) α) Σε ένα διάστηµα
Διαβάστε περισσότεραΕπίπεδα Γραφήματα (planar graphs)
Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ενθαρρυντική εικόνα, σαφώς καλύτερη από
Διαβάστε περισσότεραu v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4
Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E
Διαβάστε περισσότερα1. Σε ένα τουρνουά με 8 παίκτες μπορεί οι παίκτες να συμμετείχαν σε: 6,5,4,4,4,3,1,1 αγώνες αντίστοιχα;
Ασκήσεις υποδειγματικές για το θεωρητικό μέρος του μαθήματος Α1. Εξετάστε αν είναι Σωστή ή Λάθος κάθε μία από τις επόμενες προτάσεις. Εξηγείστε την απάντησή σας. 1. Σε ένα τουρνουά με 8 παίκτες μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΘέματα υπολογισμού στον πολιτισμό
Θέματα υπολογισμού στον πολιτισμό Ενότητα 9: Το πρόβλημα της Πινακοθήκης (The art gallery problem) Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΚατανεμημένα Συστήματα Ι
Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου 11η Διάλεξη 12 Ιανουαρίου 2017 1 Ανεξάρτητο σύνολο Δοθέντος ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος G = (V, E), ένα ανεξάρτητο σύνολο (independent set) είναι ένα
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα. (μέρος ΙΙ)
Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα (μέρος ΙΙ) Ανάθεση συχνοτήτων Ο αλγόριθμος σταθερών αναθέσεων FA (Fixed Allocation) Ο άπληστος (Greedy) αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΔρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026
Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing
Διαβάστε περισσότεραn ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4
Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραjτο πλήθος των ταξιδιών που κάνει η αεροσυνοδός µέχρι την j ηµέρα. Σχηµατίζω µία ακολουθία που αποτελείται από τα a.
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ιδάσκοντες: Φωτάκης, Σούλιου, Θ Λιανέας η Γραπτή Εργασία Θέµα (Αρχή του Περιστερώνα, 8 µονάδες) α)
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα
Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και
Διαβάστε περισσότεραe 2 S F = [V (H), V (H)]. 3-1 e 1 e 3
Διάλεξη 3: 19.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Λίβανος & Σ. Κ. 3.1 Ακμοδιαχωριστές, Τομές, Δεσμοί Ορισμός 3.1 Ακμοδιαχωριστής (edge-separator) ενός γραφήματος =
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ ενθαρρυντική εικόνα. Σαφώς καλύτερη
Διαβάστε περισσότεραΥποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι αλη
Υποθέσεις - - Θεωρήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες
Διαβάστε περισσότεραEdge-coloring σε διμερή πολυγραφήματα
Edge-coloring σε διμερή πολυγραφήματα σε Ο(ED) χρόνο από Alexander Schrijver σε Ο(ElogD) χρόνο από Richard Cole Kristin Ost Stefan Schirra Μαρίνου Μαργαρίτα Μ.Π.Λ.Α Βασικοί Ορισμοί: Edge-coloring σε ένα
Διαβάστε περισσότεραβασικές έννοιες (τόμος Β)
θεωρία γραφημάτων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα βασικές έννοιες (τόμος Α) βασικές έννοιες (τόμος Β) 2 Θεωρία Γραφημάτων Βασική Ορολογία Τόμος Α, Ενότητα 4.1 Βασική Ορολογία Γραφημάτων Γράφημα Γ = (E,V)
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 3 η Διάλεξη Μονοπάτια και Κύκλοι Μήκη και αποστάσεις Κέντρο και μέσο γράφου. Ακτίνα και Διάμετρος Δυνάμεις Γραφημάτων Γράφοι Euler.
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΜονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Παραδείγµατα. Κριτήρια Υπαρξης.
Μονοπάτια και Κυκλώµατα Eulr Σε γράφηµα G(V, E): Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Κύκλωµα Eulr: Απλό κύκλωµα που διασχίζει κάθε ακµή του G. Μονοπάτι Eulr: Απλό µονοπάτι που
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.
Διαβάστε περισσότεραγια NP-Δύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΕπίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία
Διαβάστε περισσότεραz 1 E(G) 2(k 1) = 2k 3. x z 2 H 1 H 2
Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από
Διαβάστε περισσότεραΥποθέσεις - Θεωρήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα. Η χρυσή τομή. Υποθέσεις - Εικασίες
Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Μαθηματικά Πληροορικής ο Μάθημα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΤο πρόβλημα του σταθερού γάμου
Το πρόβλημα του σταθερού γάμου Γάμος και Θεωρία Γραφημάτων Γάμος πρόβλημα ταιριάσματος Θα δούμε έναν αλγόριθμο ταιριάσματος (matching algorithm) που χρησιμοποιείται σε πολλές εφαρμογές Γνωριμίες (γραφεία,
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραE(G) 2(k 1) = 2k 3.
Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια
Διαβάστε περισσότεραΤομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα
Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1
ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 Θέματα μελέτης Πρόβλημα αναζήτησης σε γραφήματα Αναζήτηση κατά βάθος (Depth-first search DFS) Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth-first search BFS) 2 Γράφημα (graph) Αναπαράσταση συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα
Ασκήσεις στους Γράφους 2 ο Σετ Ασκήσεων Δέντρα Ασκηση 1 η Ένας γράφος G είναι δέντρο αν και μόνο αν κάθε δυο κορυφές του συνδέονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Υποθέτουμε ότι ο γράφος G είναι δέντρο. Έστω
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΛΑΣΕΩΝ ΤΕΛΕΙΩΝ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΛΑΣΕΩΝ ΤΕΛΕΙΩΝ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Η ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ Υποβάλλεται στην ορισθείσα από την Γενική Συνέλευση Ειδικής Σύνθεσης του Τμήματος
Διαβάστε περισσότεραΓραφήματα. Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό Γραφήματα
Γραφήματα Θεωρία γραφημάτων Παλιό αντικείμενο 18 ος αιώνας Leonhard Euler (Ελβετός μαθηματικός): πρόβλημα γεφυρών της πόλης Königsberg Με πολλές σύγχρονες εφαρμογές Μελέτη ιδιοτήτων ηλεκτρονικών κυκλωμάτων
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότερα(β) Θεωρούµε µια ακολουθία Nθετικών ακεραίων η οποία περιέχει ακριβώς
Θέµα (Αρχή του Περιστερώνα, 8 µονάδες) (α) Επιλέγουµε αυθαίρετα φυσικούς αριθµούς από το σύνολο {,,3,, 3, } Να δείξετε ότι µεταξύ των αριθµών που έχουµε επιλέξει υπάρχει πάντα ένα ζευγάρι όπου ο µεγαλύτερος
Διαβάστε περισσότεραΓράφοι. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα. Στάθης Ζάχος, Δημήτρης Φωτάκης
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Στάθης Ζάχος, Δημήτρης Φωτάκης Γράφοι Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Θεωρία γράφων / γραφήματα. 25 -Γράφοι. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Παρασκευή, 12/05/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Υπογράφημα Συμπληρωματικά γραφήματα Ισομορφισμός γράφων Υπολογιστική πολυπλοκότητα
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #7: Ελάχιστα Επικαλυπτικά Δένδρα, Αλγόριθμος Kruskal, Δομές Union-Find Άσκηση # 0 5 0 0 0
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017
Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις». Α 1 Έστω η παρακάτω σχέση Q(k) πάνω στο σύνολο {1, 2} όπου k τυχαίος
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { R η R είναι μια κανονική έκφραση η οποία παράγει μια μη πεπερασμένη γλώσσα} (β) { G η G είναι μια CFG η οποία
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com
Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Αλγόριθμοι Γραφημάτων Τοπολογική Διάταξη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία γραφημάτων. Παλιό αντικείμενο 18 ος αιώνας Leonhard Euler (Ελβετός μαθηματικός): πρόβλημα γεφυρών της πόλης Königsberg
Γραφήματα Θεωρία γραφημάτων Παλιό αντικείμενο 18 ος αιώνας Leonhard Euler (Ελβετός μαθηματικός): πρόβλημα γεφυρών της πόλης Königsberg Με πολλές σύγχρονες εφαρμογές Μελέτη ιδιοτήτων ηλεκτρονικών κυκλωμάτων
Διαβάστε περισσότεραΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Εύρεση ελάχιστων μονοπατιών Αλγόριθμος του ijkstra Θέματα μελέτης Πρόβλημα εύρεσης ελάχιστων μονοπατιών σε γραφήματα (shortest path problem) Αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΘΕΜΑ: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Επίκουρος Καθηγητής ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι εύρεσης ελάχιστων γεννητικών δέντρων (MST)
Αλγόριθμοι εύρεσης ελάχιστων γεννητικών δέντρων (MST) Γεννητικό δέντρο (Spanning Tree) Ένα γεννητικό δέντρο για ένα γράφημα G είναι ένα υπογράφημα του G που είναι δέντρο (δηλ., είναι συνεκτικό και δεν
Διαβάστε περισσότερα