Αλγόριθμος Βελτιστοποίησης Τύπου Gradient για τη Σχεδίαση Βιομηχανικών Συστημάτων Παραγωγής - Συγκριτική Μελέτη με άλλους Αλγορίθμους.

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ» ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Αλγόριθμος Βελτιστοποίησης Τύπου Gradient για τη Σχεδίαση Βιομηχανικών Συστημάτων Παραγωγής - Συγκριτική Μελέτη με άλλους Αλγορίθμους. Διπλωματική Εργασία του Δαγκάκη Γεώργιου (ΑΕΜ: 198) Επιβλέποντες Καθηγητές: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΥΣΟΛΕΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2009

2 Ευχαριστίες Αισθάνομαι την ανάγκη να εκφράσω τις ειλικρινείς μου ευχαριστίες σε όλους, όσους με παρότρυναν, συμβούλεψαν και βοήθησαν στη δημιουργία αυτής της εργασίας. Κατ αρχάς θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα Καθηγητή κ. Παπαδόπουλο Χρυσολέοντα, τόσο για την γνωστική βοήθεια, όσο και για την καθοδήγηση και υποστήριξη την οποία προσέφερε καθ όλη την διάρκεια της εκπόνησης αυτής της διπλωματικής εργασίας. Ακόμη, ευχαριστώ πολύ τον λέκτορα κ. Διαμαντίδη Αλέξανδρο, ο οποίος επίσης βοήθησε τα μέγιστα με τις συμβουλές και τις υποδείξεις του. Επίσης, θα επιθυμούσα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα (και μέλος της εξεταστικής επιτροπής) Επίκουρο Καθηγητή κ. Βασιλειάδη Νικόλαο, ο οποίος με τις παρατηρήσεις και τα σχόλιά του συνετέλεσε στην βελτίωση της εργασίας αυτής. Ευχαριστώ πολύ την οικογένεια μου, που μου συμπαραστάθηκαν και με παρότρυναν συνεχώς σε όλη τη διάρκεια των σπουδών, και πολύ περισσότερο κατά το χρονικό διάστημα εκπόνησης της παρούσας διπλωματικής εργασίας. Θα επιθυμούσα να ευχαριστήσω τους συναδέλφους κ. Πιτσιόρλα Θωμά και κ. Παπακρίβο Χρήστο, οι οποίοι ασχολήθηκαν με παρόμοια θέματα στα πλαίσια των δικών τους διπλωματικών εργασιών, για την άψογη συνεργασία τους κατά την προσπάθεια ολοκλήρωσης της εργασίας. Τέλος, θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες μου στους φίλους μου Καρασμάνη Φανή, Παπαδόπουλο Σάββα και Γούδα Θεοδόσιο, που με βοήθησαν σε διάφορα τμήματα της εργασίας.

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ: Κίνητρο, Συνεισφορά και Περίγραμμα Εργασίας... 6 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ... 9 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ορισμός του βιομηχανικού συστήματος Βασικά θέματα που έχουν απασχολήσει τη διεθνή βιβλιογραφία Γραμμές παραγωγής, job shops και ευέλικτα βιομηχανικά συστήματα Κατηγοριοποίηση των γραμμών παραγωγής Κατηγοριοποίηση με βάση την τοπολογία των μηχανών Σειριακές γραμμές παραγωγής Συστήματα Συναρμολόγησης (Assembly Lines/Systems) Συστήματα Αποσυναρμολόγησης (Disassembly Lines/Systems) Γραμμές συγχώνευσης (Merge Lines) Γραμμές Διάσπασης (Split Lines) Γραμμές παραγωγής με σταθμούς εργασίας που αποτελούνται από πολλές παράλληλες μηχανές Κατηγοριοποίηση με βάση το είδος των μηχανών Κατηγοριοποίηση με βάση το παραγόμενο προϊόν Κατηγοριοποίηση με βάση το αν η γραμμή παραγωγής είναι συγχρονισμένη ή όχι Μέτρα απόδοσης των βιομηχανικών συστημάτων ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Η μέθοδος της προσομοίωσης Μαρκοβιανή ανάλυση Η μέθοδος της αποσύνθεσης (Decomposition method) Η μέθοδος της συνάθροισης (aggregation method) ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Τυποποίηση του προβλήματος Η μέθοδος της απαρίθμησης Αναλυτικές μέθοδοι βελτιστοποίησης Η Μέθοδος Tabu Search Η μέθοδος Gradient... 38

4 Η μέθοδος Simulated Annealing Γενετικοί αλγόριθμοι (Genetic Algorithms) Η μέθοδος LIBA Ευρετική μέθοδος (Heuristic method) των Sabunsuoglu, Erel και Gocgun Η μέθοδος Nested Partitions Υβριδικές μέθοδοι ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΓΡΑΜΜΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Βιβλιογραφική επισκόπηση Μαθηματικοί συμβολισμοί Τα βήματα του αλγόριθμου βελτιστοποίησης Υπολογισμός του Gradient G Υπολογισμός του περιορισμένου Gradient p Γραμμική αναζήτηση Δυαδική αναζήτηση Συνθήκες τερματισμού Διάγραμμα ροής και ψευδοκώδικας Μέθοδος στρογγυλοποίησης Περεταίρω επεξεργασία Θέματα υλοποίησης Ορισμός της αρχικής λύσης Εκτιμητική συνάρτηση Σειριακές γραμμές παραγωγής και γραμμές παραγωγής με σταθμούς εργασίας που αποτελούνται από πολλές παράλληλες μηχανές ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Σύνολο πειραμάτων Αποτελέσματα Αποτελέσματα για μικρές γραμμές (5 έως 12 σταθμοί εργασίας). Σύγκριση με απαρίθμηση Αποτελέσματα για μεσαίου μεγέθους γραμμές (13 έως 20 σταθμοί εργασίας) όπου έχουμε παντού r και S ίσα με 1. Σύγκριση με Simulated Annealing και Genetic Αποτελέσματα για μικρού και μεσαίου μεγέθους γραμμές (7 έως 30 σταθμοί εργασίας) όπου δεν είναι όλοι οι σταθμοί ταυτόσημοι Αποτελέσματα για μεγάλου μεγέθους γραμμές (50 έως 200 σταθμοί εργασίας) ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΕΡΕΤΑΙΡΩ ΕΡΕΥΝΑ

5 6.1. Συμπεράσματα και σύγκριση των μεθόδων Περεταίρω έρευνα ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Στο συνοδευτικό CD παρατίθεται ο πηγαίος κώδικας που αναπτύχθηκε σε γλώσσα προγραμματισμού C++ για την υλοποίηση του αλγορίθμου Gradient, σε μορφή.cpp και αναφέρεται στην παρούσα διπλωματική εργασία.

6 Κίνητρο, Συνεισφορά και Περίγραμμα Εργασίας Η ανάλυση και βελτιστοποίηση των βιομηχανικών συστημάτων παραγωγής αποτελεί ένα θέμα που έχει απασχολήσει ευρέως, τόσο την ακαδημαϊκή έρευνα, όσο και τις επιχειρήσεις. Το σύγχρονο επιχειρησιακό περιβάλλον διακρίνεται από αυξανόμενη ζήτηση λόγο της αύξησης του πληθυσμού και του βιοτικού επιπέδου, αλλά και έντονο ανταγωνισμό. Όλα αυτά δημιουργούν την ανάγκη για μαζική παραγωγή ποιοτικών προϊόντων από τις επιχειρήσεις. Αυτό το γεγονός καθιστά επιτακτική την ανάγκη της μελέτης και ανάλυσης βιομηχανικών συστημάτων παραγωγής. Ένα βιομηχανικό σύστημα είναι μια μονάδα που αποτελείται συνήθως από ένα σύνολο σταθμών εργασίας (μηχανών) και παράγει ένα ή περισσότερα είδη προϊόντων σε μεγάλες ποσότητες. Η διαδρομή που ακολουθεί το προϊόν είναι προκαθορισμένη, ενώ οι εργασίες που εκτελούνται σε κάθε σταθμό εργασίας είναι πάντα οι ίδιες για κάθε μονάδα προϊόντος που περνάει από αυτόν. Ανάμεσα στους σταθμούς εργασίας υπάρχουν αποθηκευτικοί χώροι στους οποίους περιμένουν τα ημικατεργασμένα προϊόντα ώσπου να εισαχθούν στον επόμενο σταθμό. Σε όλη αυτή τη διαδικασία εμπλέκονται πολλές τυχαίες παράμετροι (πχ χρόνοι επεξεργασίας μηχανών, βλάβες μηχανών), οι οποίες καθιστούν το πρόβλημα της ανάλυσης των βιομηχανικών συστημάτων παραγωγής ιδιαίτερα πολύπλοκο. Ένα πολύ σημαντικό πρόβλημα που σχετίζεται με τα βιομηχανικά συστήματα παραγωγής είναι η βέλτιστη κατανομή των αποθηκευτικών χώρων (Buffer Allocation Problem - BAP). Οι αποθηκευτικοί χώροι σε μία βιομηχανική μονάδα έχουν ιδιαίτερα υψηλό κόστος. Για το λόγο αυτό είναι πολύ σημαντικό να βρεθεί η βέλτιστη κατανομή του υπάρχοντα συνολικού αποθηκευτικού χώρου, ώστε να βελτιωθεί η απόδοση του συστήματος χωρίς επιπλέον κόστος. Όπως είναι φανερό, η λύση το προβλήματος προϋποθέτει την ύπαρξη μιας μεθόδου που να μπορεί να υπολογίσει την απόδοση του συστήματος για μια συγκεκριμένη κατανομή. Τις τελευταίες δεκαετίες υπάρχει μεγάλη ενασχόληση των ακαδημαϊκών ερευνητών με το BAP. Έχουν αναπτυχθεί διάφορες μέθοδοι και μαθηματικές τεχνικές για την επίλυση του προβλήματος. Λόγω της μεγάλης υπολογιστικής πολυπλοκότητας σχεδόν όλες οι μέθοδοι βασίζονται στη χρήση ηλεκτρονικού 6

7 υπολογιστή και μάλιστα απαιτούν πολύ υπολογιστικό χρόνο, ειδικά όσο το υπό εξέταση σύστημα μεγαλώνει. Στην παρούσα εργασία ασχοληθήκαμε με την ανάπτυξη και υλοποίηση ενός αλγορίθμου τύπου gradient για την επίλυση του BAP. Η μέθοδος βασίστηκε σε αυτήν που ανέπτυξαν οι Gershwin and Schor (2000) και τροποποιήθηκε ώστε να μπορεί να συνεργαστεί με συγκεκριμένη εκτιμητική συνάρτηση και να ληφθούν αποτελέσματα για συγκεκριμένο είδος γραμμών παραγωγής. Επίσης, ο αλγόριθμος συνδυάστηκε και με δύο άλλες μεθόδους (Nested Partitions και Heuristic Algorithm) με αποτέλεσμα να δημιουργηθούν δύο υβριδικές μέθοδοι. Η εργασία αποτελείται από έξι κεφάλαια: Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στα βιομηχανικά συστήματα και περιγράφονται οι κατηγορίες των βιομηχανικών συστημάτων που συναντώνται στην πράξη και στη διεθνή βιβλιογραφία. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται μέθοδοι ανάλυσης των βιομηχανικών συστημάτων που χρησιμοποιούνται για την εύρεση της απόδοσης του συστήματος. Όπως αναφέραμε η ύπαρξη μιας μεθόδου μέτρησης της απόδοσης είναι απαραίτητη για έναν αλγόριθμο βελτιστοποίησης. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται αναλυτικά το πρόβλημα βελτιστοποίησης της κατανομής αποθηκευτικού χώρου σε γραμμές παραγωγής και γίνεται ανασκόπηση των πιο γνωστών μεθόδων που έχουν χρησιμοποιηθεί στη διεθνή βιβλιογραφία. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζεται ο προτεινόμενος αλγόριθμος για τον προσδιορισμό της βέλτιστης κατανομής αποθηκευτικών χώρων σε σειριακές, διακριτές και αξιόπιστες γραμμές παραγωγής, στις οποίες κάθε σταθμός εργασίας μπορεί να αποτελείται από παράλληλες μηχανές. Στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των δοκιμών που διεξήχθησαν με τον προτεινόμενο αλγόριθμο και με τις υβριδικές υλοποιήσεις που αναπτύχθηκαν. Σε κάθε περίπτωση γίνεται σύγκριση με τα αποτελέσματα ενός ή περισσοτέρων δοκιμασμένων αλγορίθμων. Στο έκτο και τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας παρουσιάζονται τα συμπεράσματα που προέκυψαν από την εργασία και γίνονται προτάσεις για μελλοντική μελέτη. Η συνεισφορά της παρούσας εργασίας έγκειται στο ότι έγινε υλοποίηση και τροποποίηση της μεθόδου που προτείνεται στη βιβλιογραφία, ώστε να μπορεί να 7

8 συνεργασθεί με μια εκτιμητική συνάρτηση που δέχεται μόνο ακέραιες τιμές στους αποθηκευτικούς χώρους. Ακόμη, έγινε για πρώτη φορά πειραματισμός της συγκεκριμένης μεθόδου σε σειριακές γραμμές παραγωγής μικρού, μεσαίου και μεγάλου μεγέθους, με παράλληλες μηχανές στους σταθμούς εργασίας και σύγκριση αποτελεσμάτων με άλλους αλγορίθμους. Τέλος, υλοποιήθηκαν υβριδικές μέθοδοι, από τις οποίες προέκυψαν ενδιαφέροντα στοιχεία. Τα αποτελέσματα της προτεινόμενης μεθόδου είναι καλά όσον αφορά την απόδοση και εξαιρετικά όσον αφορά την ταχύτητα. Το θέμα βεβαίως χρήζει περισσότερης διερεύνησης και πειραματισμού. 8

9 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 3.1: αντιστοιχία ανόπτησης στο φυσικό κόσμο και στη βελτιστοποίηση γραμμών παραγωγής (πηγή: Spinellis D., Papadopoulos, C., Smith M.J., 2000) Πίνακας 5.1: αποτελέσματα για {Κ=5, =6, =1 και =1 για κάθε i} Πίνακας 5.2: αποτελέσματα για { Κ=6, =7, =1 και =1 για κάθε i} Πίνακας 5.3: αποτελέσματα για {Κ=6, =11, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.4: αποτελέσματα για {Κ=6, =12, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.5: αποτελέσματα για {Κ=6, =13, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.6: αποτελέσματα για {Κ=7, =8, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.7: αποτελέσματα για {Κ=8, =9, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.8: αποτελέσματα για {Κ=8, =10, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.9: αποτελέσματα για {Κ=8, =15, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.10: αποτελέσματα για {Κ=8, =11, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.11: αποτελέσματα για {Κ=9, =10, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.12: αποτελέσματα για {Κ=10 =11, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.13: αποτελέσματα για {Κ=11 =12, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.14: αποτελέσματα για {Κ=12, =13, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.15: αποτελέσματα για {Κ=13, =26, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.16: αποτελέσματα για {Κ=14, =28, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.17: αποτελέσματα για {Κ=15, =30, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.18: αποτελέσματα για {Κ=16, =32, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.19: αποτελέσματα για {Κ=17, =34, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.20: αποτελέσματα για {Κ=18, =36, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.21: αποτελέσματα για {Κ=19, =38, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.22: αποτελέσματα για {Κ=20, =40, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.23: αποτελέσματα για {Κ=7, =14 και διαφορετικούς σταθμούς εργασίας} Πίνακας 5.24: αποτελέσματα για {Κ=10, =20 και διαφορετικούς σταθμούς εργασίας} Πίνακας 5.25: αποτελέσματα για {Κ=15, =30 και διαφορετικούς σταθμούς εργασίας} Πίνακας 5.26: αποτελέσματα για {Κ=20, =40 και διαφορετικούς σταθμούς εργασίας} Πίνακας 5.27: αποτελέσματα για {Κ=30, =60 και διαφορετικούς σταθμούς εργασίας} Πίνακας 5.28: αποτελέσματα για {K=50, =98, = 1, όπου i=1,2,,50, =1, όπου i=1,2,,25, =2, όπου i=26,27,,50}

10 Πίνακας 5.29: αποτελέσματα για { K=50, =98, = 1, όπου i=1,2,,50, =2, όπου i=1,2,,25, =1, όπου i=26,27,,50} Πίνακας 5.30: αποτελέσματα για { K=50, =98, = 1, όπου i=1,2,,50, =2, όπου i=1,2,,50} Πίνακας 5.31: αποτελέσματα για { K=50, =100, = 1, όπου i=1,2,,50, =2, όπου i=1,2,,50} Πίνακας 5.32: αποτελέσματα για { K=60, =118, = 1, όπου i=1,2,,60, =1, όπου i=1,2,,30, =2, όπου i=31,27,,60} Πίνακας 5.33: αποτελέσματα για {Κ=60, =118, = 1, όπου i=1,2,,60, =2, όπου i=1,2,,30, =1, όπου i=31,27,,60} Πίνακας 5.34: αποτελέσματα για {Κ=60, =118, = 1, όπου i=1,2,,60, =2, όπου i=1,2,,60} Πίνακας 5.35: αποτελέσματα για {Κ=60, =122, = 1, όπου i=1,2,,60, =2, όπου i=1,2,,60} Πίνακας 5.36: αποτελέσματα για {Κ=70, =138, = 1, όπου i=1,2,,70, =2, όπου i=1,2,,35, =1, όπου i=36,37,,70} Πίνακας 5.37: αποτελέσματα για {Κ=70, =138, = 1, όπου i=1,2,,70, =2, όπου i=1,2,,70} Πίνακας 5.38: αποτελέσματα για {Κ=80, =158, = 1, όπου i=1,2,,80, =1, όπου i=1,2,,40, =2, όπου i=41,42,,80} Πίνακας 5.39: αποτελέσματα για {Κ=80, =158, = 1, όπου i=1,2,,80, =2, όπου i=1,2,,80} Πίνακας 5.40: αποτελέσματα για {Κ=100, =110, = 1, όπου i=1,2,,100, =1, όπου i=1,2,,100} Πίνακας 5.41: αποτελέσματα για {Κ=200, =210, = 1, όπου i=1,2,,200, =1, όπου i=1,2,,200}

11 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 1.1: Tα βασικά στοιχεία των γραμμών παραγωγής Σχήμα 1.2: Σειριακή γραμμή παραγωγής με Ν σταθμούς επεξεργασίας Σχήμα 1.3: Γραμμή συναρμολόγησης με εφτά μηχανές Σχήμα 1.4: Γραμμή αποσυναρμολόγησης με τέσσερις σταθμούς εργασίας Σχήμα 1.5: Σύστημα συγχώνευσης εργασιών με τρεις σταθμούς εργασίας Σχήμα 1.6: Σύστημα συγχώνευσης με τρεις μηχανές Σχήμα 1.7: Γραμμή διάσπασης με τέσσερις μηχανές Σχήμα 1.8: Γραμμή παραγωγής με 5 μηχανές και βρόγχο επαναεπεξεργασίας Σχήμα 1.9: Γραμμή παραγωγής με Μ σταθμούς εργασίας που αποτελούνται από παράλληλες μηχανές εξυπηρέτησης Σχήμα 2.1: Δομικό Στοιχείο της Μεθόδου της Αποσύνθεσης (ΔΣΜΑ-decomposition block) Σχήμα 2.2: Σειριακή γραμμή παραγωγής με τέσσερις μηχανές και τρεις αποθηκευτικούς χώρους Σχήμα 2.3: Η μέθοδος της αποσύνθεσης για τη γραμμή παραγωγής του σχήματος Σχήμα 2.4: Σειριακή γραμμή παραγωγής με τρεις μηχανές και δύο αποθηκευτικούς χώρους Σχήμα 2.5: Εφαρμογή της μεθόδου της συνάθροισης στη γραμμή του σχήματος Σχήμα 3.1: Μια σχηματική απεικόνιση της διαδικασία διαίρεσης υπογραμμών (πηγή: Sabunsuoglu, Erel and Gocgun 2006) Σχήμα 3.2: Διάγραμμα ροής του ευρετικού αλγορίθμου (πηγή: Sabunsuoglu, Erel and Gocgun 2006) Σχήμα 3.3: Διαμερισμός των λύσεων σε μια γραμμή παραγωγής με 4 αποθηκευτικούς χώρους και 12 μονάδες αποθηκευτικού χώρου (πηγή: Shi and Men 2003) Σχήμα 4.1: Διάγραμμα ροής του αλγόριθμου gradient (αρχική πηγή: Gershwin and Schor, 2000 το σχήμα τροποποιήθηκε) Σχήμα 5.1: Απεικόνιση του σφάλματος (%) της βέλτιστης λύσης των αλγορίθμων σε σχέση με τη λύση της απαρίθμησης, σε μικρές γραμμές παραγωγής Σχήμα 5.2: Απεικόνιση του χρόνου σύγκλισης των αλγορίθμων, σε γραμμές παραγωγής μικρού μεγέθους Σχήμα 5.3: Απεικόνιση του χρόνου σύγκλισης των αλγορίθμων gradient, heuristic και gradient/heuristic, σε γραμμές παραγωγής μικρού μεγέθους Σχήμα 5.4: Απεικόνιση του σφάλματος (%) της βέλτιστης λύσης των αλγορίθμων σε σχέση με της simulated annealing, σε γραμμές παραγωγής μεσαίου μεγέθους Σχήμα 5.5: Απεικόνιση του σφάλματος (%) της βέλτιστης λύσης των αλγορίθμων σε σχέση με της genetic, σε γραμμές παραγωγής μεσαίου μεγέθους

12 Σχήμα 5.6: Απεικόνιση του χρόνου σύγκλισης των αλγορίθμων σε γραμμές παραγωγής μεσαίου μεγέθους Σχήμα 5.7: Απεικόνιση του χρόνου σύγκλισης των αλγορίθμων gradient, heuristic, gradient/heuristic και genetic σε γραμμές παραγωγής μεσαίου μεγέθους Σχήμα 5.8: Απεικόνιση του χρόνου σύγκλισης των αλγορίθμων gradient, heuristic, gradient/heuristic και genetic σε γραμμές παραγωγής μεσαίου μεγέθους Σχήμα 5.9: Απεικόνιση του σφάλματος απόδοσης των αλγορίθμων σε σχέση με SA, σε γραμμές παραγωγής μεσαίου μεγέθους με διαφορετικούς σταθμούς εργασίας Σχήμα 5.10: Απεικόνιση του σφάλματος απόδοσης των αλγορίθμων σε σχέση με genetic, σε γραμμές παραγωγής μεσαίου μεγέθους με διαφορετικούς σταθμούς εργασίας Σχήμα 5.11: Απεικόνιση του χρόνου σύγκλισης των αλγορίθμων σε γραμμές παραγωγής μεσαίου μεγέθους με διαφορετικούς σταθμούς εργασίας Σχήμα 5.12: Απεικόνιση του χρόνου σύγκλισης των αλγορίθμων gradient, heuristic και gradient/heuristic σε γραμμές παραγωγής μεσαίου μεγέθους με διαφορετικούς σταθμούς εργασίας Σχήμα 5.13: Απεικόνιση του σφάλματος απόδοσης των αλγορίθμων σε σχέση με SA, σε γραμμές παραγωγής μεγάλου μεγέθους Σχήμα 5.14: Απεικόνιση του χρόνου σύγκλισης των αλγορίθμων σε γραμμές παραγωγής μεγάλου μεγέθους Σχήμα 5.15: Απεικόνιση του χρόνου σύγκλισης των αλγορίθμων heuristic και gradient/heuristic παραγωγής μεγάλου μεγέθους

13 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βιομηχανικά συστήματα, τις βασικές κατηγορίες στις οποίες διαχωρίζονται και τα κυριότερα θέματα που έχουν μελετηθεί στη διεθνή βιβλιογραφία. Αρχικά, στην ενότητα 1.1 ορίζεται τι είναι ένα βιομηχανικό σύστημα και περιγράφονται τα κύρια χαρακτηριστικά του. Στην επόμενη παράγραφο παρατίθενται τα πιο σημαντικά θέματα που έχουν απασχολήσει τη διεθνή αρθρογραφία και βιβλιογραφία, όπως η μέτρηση της απόδοσης και ο βέλτιστος σχεδιασμός των βιομηχανικών συστημάτων. Έπειτα, στην παράγραφο 1.3 παρουσιάζονται οι διάφορες κατηγορίες στις οποίες διακρίνονται τα βιομηχανικά συστήματα με βάση τα κριτήρια με τα οποία εξετάζονται. Στο υποκεφάλαιο 1.4 τέλος, αναφέρουμε κάποια μέτρα απόδοσης με βάση τα οποία γίνεται η αξιολόγηση των βιομηχανικών συστημάτων. Σκοπός του κεφαλαίου είναι να κατανοήσει και να διαχωρίσει ο αναγνώστης βασικές έννοιες ώστε να γίνει πιο εύκολη η ανάγνωση της υπόλοιπης εργασίας Ορισμός του βιομηχανικού συστήματος Ένα βιομηχανικό σύστημα είναι μια μονάδα που αποτελείται συνήθως από ένα σύνολο σταθμών εργασίας (μηχανών) και παράγει ένα ή περισσότερα είδη προϊόντων σε μεγάλες ποσότητες. Κάθε μονάδα προϊόντος (αντικείμενο εργασίας) περνάει μέσα από τους σταθμούς εργασίας, στους οποίους υπόκειται επεξεργασία μέχρι να παρασκευαστεί το τελικό προϊόν. Η διαδρομή που ακολουθεί το αντικείμενο εργασίας είναι προκαθορισμένη, ενώ οι εργασίες που εκτελούνται σε κάθε σταθμό εργασίας είναι πάντα οι ίδιες για κάθε μονάδα προϊόντος που περνάει από αυτόν. Εκτός από τους σταθμούς εργασίας και τις μονάδες των προϊόντων μια τρίτη βασική οντότητα των βιομηχανικών συστημάτων είναι οι αποθηκευτικοί χώροι. Τέτοιοι χώροι υπάρχουν συνήθως πριν από κάθε σταθμό εργασίας και είναι οι χώροι στους οποίους τα προϊόντα βρίσκονται σε κατάσταση αναμονής εάν το επόμενο κέντρο είναι απασχολημένο. Οι σταθμοί εργασίας θα μπορούσαν να χαρακτηριστούν ως ενεργητικές οντότητες του συστήματος καθώς επεξεργάζονται τα αντικείμενα εργασίας. Επίσης είναι μόνιμες οντότητες του βιομηχανικού συστήματος. Τα αντικείμενα εργασίας 13

14 είναι παθητικές και προσωρινές οντότητες, καθώς εισέρχονται στο σύστημα, υπόκεινται επεξεργασία και εξέρχονται από αυτό. Οι αποθηκευτικοί χώροι αποτελούν και αυτοί μόνιμες οντότητες του βιομηχανικού συστήματος αλλά είναι ουδέτεροι διότι ούτε επεξεργάζονται ούτε υπόκεινται επεξεργασία. Ένα βασικό χαρακτηριστικό του βιομηχανικού συστήματος είναι πως ένα πρόβλημα που προκύπτει σε κάποιο σημείο του συστήματος έχει επίδραση σε όλο το σύστημα. Για παράδειγμα έστω ότι έχουμε μια σειρά από δέκα μηχανές. Αν μια μηχανή, έστω η πέμπτη, υποστεί βλάβη τότε η επόμενες από αυτήν δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν έστω και αν λειτουργούν κανονικά. Η προηγούμενη μηχανή μπορεί να συνεχίσει να λειτουργεί, όμως αν δεν υπάρχει κάποιος αποθηκευτικός χώρος ώστε να εναποθέσει το προϊόν μετά την επεξεργασία ή ο αποθηκευτικός χώρος γεμίσει, τότε και αυτή αναγκαστικά θα μπλοκάρει και θα περιμένει την επισκευή της επόμενης. Το μπλοκάρισμα θα μεταφερθεί διαδοχικά και στις προηγούμενες μηχανές. Βλέπουμε ότι η βλάβη της μηχανής επηρεάζει άμεσα τις γειτονικές της, αλλά και έμμεσα τη λειτουργία ολόκληρου του συστήματος. Το γεγονός αυτό όπως θα δούμε καθιστά τη μελέτη και ανάλυση των βιομηχανικών συστημάτων ιδιαίτερα περίπλοκη Βασικά θέματα που έχουν απασχολήσει τη διεθνή βιβλιογραφία Δύο είναι οι βασικοί τομείς στους οποίους επικεντρώνεται η ακαδημαϊκή έρευνα όσον αφορά τα βιομηχανικά συστήματα: η μέτρηση της απόδοσης του συστήματος και ο βέλτιστος σχεδιασμός του. Πρέπει να τονιστεί ότι οι δύο αυτές κατηγορίες δεν είναι ανεξάρτητες, καθώς για να σχεδιάσουμε με τον καλύτερο τρόπο ένα σύστημα, θα πρέπει προφανώς να μπορούμε να μετρήσουμε με κάποιον τρόπο την απόδοση των εναλλακτικών σεναρίων. Για την πρόβλεψη της απόδοσης χρησιμοποιείται συχνά η μέθοδος της προσομοίωσης με βάση την οποία τα χαρακτηριστικά του συστήματος προσομοιώνονται και λαμβάνονται μετρήσεις για τη συμπεριφορά του. Όμως η μέθοδος αυτή είναι χρονοβόρα, ιδιαίτερα όταν έχουμε μεγάλα συστήματα με πολλούς σταθμούς εργασίας. Για το λόγο αυτό υπάρχει η προσπάθεια να αναπτυχθούν αναλυτικές μέθοδοι μέτρησης της απόδοσης των βιομηχανικών συστημάτων. Οι μέθοδοι αυτές επιτρέπουν μια ταχύτατη προσεγγιστική ανάλυση για την απόδοση ενός προσχεδιασμένου βιομηχανικού συστήματος. Με τις μεθόδους μέτρησης της 14

15 απόδοσης των βιομηχανικών συστημάτων θα ασχοληθούμε αναλυτικά στο επόμενο κεφάλαιο. Στον τομέα της βελτιστοποίησης υπάρχουν δύο βασικά θέματα: η βέλτιστη κατανομή των σταθμών εργασίας (Server Allocation Problem - SAP) και η βέλτιστη κατανομή των αποθηκευτικών χώρων (Buffer Allocation Problem - BAP). Επίσης αν υποθέσουμε ότι στο σύστημα υπάρχουν και ανθρώπινοι πόροι, δηλαδή εργαζόμενοι, υπάρχει και το πρόβλημα της βέλτιστης κατανομής τους (Worker Allocation Problem). Όπως είπαμε τα προβλήματα βελτιστοποίησης προϋποθέτουν ότι έχουμε κάποιον τρόπο να προσδιορίσουμε την απόδοση του συστήματος. Στην παρούσα εργασία θα ασχοληθούμε με το πρόβλημα της βέλτιστης κατανομής των αποθηκευτικών χώρων (BAP). Οι αποθηκευτικοί χώροι σε βιομηχανικά συστήματα έχουν πολλές φορές ιδιαίτερα υψηλό κόστος. Για αυτό το λόγο είναι πολύ σημαντικό αν μπορούμε ανακατανέμοντας τον υπάρχοντα αποθηκευτικό χώρο (buffer Space), να αυξήσουμε την απόδοση του συστήματος. Ένας τρόπος να βρούμε τη βέλτιστη κατανομή είναι η απαρίθμηση, με βάση την οποία μετράμε την απόδοση όλων των πιθανών τρόπων με τους οποίους μπορεί να σχεδιαστεί το σύστημα και επιλέγουμε το σενάριο που δίνει τη μέγιστη απόδοση. Όμως όπως θα δούμε ο αριθμός των πιθανών λύσεων αυξάνεται δραματικά όσο αυξάνεται το μέγεθος του προβλήματος, πράγμα που καθιστά τη χρήση απαρίθμησης απαγορευτική ακόμη και για μεσαίου μεγέθους συστήματα. Έτσι έχουν αναπτυχτεί αναλυτικές μέθοδοι που οδηγούν στην εύρεση της βέλτιστης κατανομής. Οι κυριότερες μέθοδοι και οι βασικές αρχές λειτουργίας τους παρουσιάζονται στο κεφάλαιο 3. Να αναφέρουμε εδώ ότι το BAP μπορεί να αναφέρεται σε δύο ελαφρώς διαφορετικά προβλήματα. Πρώτο πρόβλημα είναι ο καθορισμός της βέλτιστης κατανομής των αποθηκευτικών χώρων, όταν έχουμε ένα συγκεκριμένο συνολικό buffer space έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί η απόδοση. Το δεύτερο πρόβλημα είναι ο καθορισμός του ελάχιστου συνολικού αποθηκευτικού χώρου ώστε να μπορεί να επιτευχθεί μια συγκεκριμένη απόδοση. Δηλαδή εδώ είναι δεν είναι δεδομένο το συνολικό buffer space, αλλά η επιθυμητή απόδοση. Τα δύο προβλήματα είναι αλληλένδετα και συνήθως η λύση του δεύτερου προϋποθέτει την ύπαρξη μεθόδου για τη λύση του πρώτου. Στην παρούσα εργασία θα ασχοληθούμε κυρίως με συστήματα που έχουν δεδομένο συνολικό αποθηκευτικό χώρο, τον οποίο και επιχειρούμε να κατανείμουμε με το βέλτιστο τρόπο. 15

16 1.3. Γραμμές παραγωγής, job shops και ευέλικτα βιομηχανικά συστήματα Με βάση τη βιβλιογραφία μπορούμε να ξεχωρίσουμε τρείς βασικές κατηγορίες βιομηχανικών συστημάτων: τις γραμμές παραγωγής (flow lines ή production lines), τα job shops και τα ευέλικτα βιομηχανικά συστήματα. Το βασικό χαρακτηριστικό μιας γραμμής παραγωγής είναι ότι αποτελείται από διάφορα κέντρα εργασίας από τα οποία θα περάσουν αναγκαστικά όλα τα παραγόμενα προϊόντα. Για αυτόν το λόγο οι γραμμές παραγωγής δεν έχουν τη δυνατότητα να παράγουν μεγάλη ποικιλία προϊόντων. Όμως επειδή υπάρχει μια τυποποιημένη διαδικασία μέσα από την οποία όλα τα προϊόντα ακολουθούν την ίδια διαδρομή, μπορούμε να έχουμε καλύτερο έλεγχο της ροής πράγμα που δίνει τη δυνατότητα μεγάλου όγκου παραγωγής. Τα job shops αντίθετα, αποτελούνται από διαφορετικού τύπου μηχανές και έχουν την ιδιότητα παραγωγής πολλών διαφορετικών προϊόντων. Εδώ δεν έχουμε μια προκαθορισμένη πορεία για όλα τα προϊόντα. Επίσης, ένα προϊόν μπορεί να περάσει από τον ίδιο σταθμό εργασίας περισσότερες από μία φορές. Πολλές φορές η ίδια μηχανή χρειάζεται να υποστεί μια διαδικασία ρύθμισης ώστε να επεξεργαστεί με διαφορετικό τρόπο ένα αντικείμενο εργασίας. Όλα αυτά αυξάνουν την πολυπλοκότητα του συστήματος και δεν επιτρέπουν την παραγωγή μεγάλης ποσότητας προϊόντων από ένα job shop. Όμως το βασικό του πλεονέκτημα είναι ότι μπορεί να παράγει μεγάλη ποικιλία προϊόντων. Στα ευέλικτα βιομηχανικά συστήματα έχουμε τον έλεγχο των μηχανών από έναν κεντρικό ηλεκτρονικό υπολογιστή. Όλη η κίνηση των προϊόντων και η λειτουργία των μηχανών ελέγχεται από τον ηλεκτρονικό υπολογιστή μέσω πολύπλοκων διαδικασιών. Τέτοια συστήματα έχουν τη δυνατότητα να παρασκευάσουν πολύ μεγάλη ποικιλία προϊόντων, μεγαλύτερη και από αυτή τον job shops. Η πολυπλοκότητα όμως της διαδικασίας, οδηγεί δυστυχώς σε μικρό όγκο παραγωγής, πολλές φορές μικρότερο από αυτόν των job shops. Στην παρούσα εργασία θα ασχοληθούμε αποκλειστικά με τις γραμμές παραγωγής. Για το λόγο αυτό, στο υπόλοιπο του κεφαλαίου θα κάνουμε μια παρουσίαση των βασικών γραμμών παραγωγής όπως αυτές παρουσιάζονται στη βιβλιογραφία. 16

17 1.4. Κατηγοριοποίηση των γραμμών παραγωγής Στη βιβλιογραφία παρουσιάζονται πολλά είδη γραμμών παραγωγής τα οποία διαχωρίζονται με βάση διάφορα κριτήρια. Τα βασικά κριτήρια με βάση τα οποία διακρίνονται οι γραμμές παραγωγής είναι: 1. Η τοπολογία των μηχανών. 2. Ο τύπος των παραγόμενων προϊόντων. 3. Η αξιοπιστία των μηχανών. 4. Η συγχρονισμένη ή όχι κίνηση των προϊόντων από τη μια μηχανή στην άλλη Κατηγοριοποίηση με βάση την τοπολογία των μηχανών Οι γραμμές παραγωγής συμβολίζονται στη βιβλιογραφία με διαγράμματα. Οι σταθμοί εργασίας συμβολίζονται με τετράγωνα, οι αποθηκευτικοί χώροι με κύκλους και ενώνονται με βέλη η φορά των οποίων συμβολίζει τη ροή των υλικών (σχήμα 1.1). Η πιο απλή τοπολογία είναι η σειριακή γραμμή παραγωγής, όπου έχουμε μηχανές στη σειρά με ενδιάμεσους buffers. Όμως σε πραγματικά συστήματα μπορούμε να έχουμε πιο περίπλοκες, μη σειριακές γραμμές όπως γραμμές συναρμολόγησης και γραμμές συγχώνευσης. Παρακάτω θα εξετάσουμε τις κύριες τοπολογίες γραμμών παραγωγής που έχουν μελετηθεί, αλλά και παρουσιάζονται στην πράξη. Σχήμα 1.1: Tα βασικά στοιχεία των γραμμών παραγωγής Σειριακές γραμμές παραγωγής Όπως είπαμε οι σειριακές γραμμές παραγωγής είναι η πιο απλή τοπολογία και έχει μελετηθεί εκτενώς. Στο σχήμα 1.2 παρουσιάζεται η γενική μορφή μιας σειριακής γραμμής παραγωγής με Ν μηχανές και Ν-1 αποθηκευτικούς χώρους. Όταν μια μηχανή επεξεργαστεί ένα αντικείμενο εργασίας το εναποθέτει στον επόμενο αποθηκευτικό χώρο. Αν όμως αυτός είναι γεμάτος, τότε δεν έχει που να το στείλει και 17

18 αναγκαστικά το κρατάει, με αποτέλεσμα να μην μπορεί να επεξεργαστεί το επόμενο προϊόν. Σε αυτήν την περίπτωση η μηχανή χαρακτηρίζεται ως μπλοκαρισμένη (blocked). Όταν η μηχανή τελειώσει με την επεξεργασία ενός προϊόντος και το εναποθέσει επιτυχώς στον επόμενο αποθηκευτικό χώρο, παίρνει το επόμενο που αναμένει στον προηγούμενο αποθηκευτικό χώρο. Αν αυτός είναι άδειος, η μηχανή δεν έχει κάποιο προϊόν για επεξεργασία και χαρακτηρίζεται ως άδεια (starved). Προφανώς η ύπαρξη μπλοκαρισμένων και άδειων μηχανών, μειώνουν την απόδοση της γραμμής. Σχήμα 1.2: Σειριακή γραμμή παραγωγής με Ν σταθμούς επεξεργασίας Συστήματα Συναρμολόγησης (Assembly Lines/Systems) Τα συστήματα συναρμολόγησης αποτελούν παράδειγμα γραμμών όπου έχουμε μη γραμμική ροή προϊόντων. Τέτοια συστήματα είναι πολύ συνηθισμένα σε μονάδες συναρμολόγησης αυτοκινήτων ή αεροσκαφών, όπου πάρα πολλά επιμέρους εξαρτήματα συναρμολογούνται ώσπου να κατασκευαστεί το τελικό προϊόν. Στο σχήμα 1.3 παρουσιάζεται μια γραμμή συναρμολόγησης με εφτά μηχανές. Σχήμα 1.3: Γραμμή συναρμολόγησης με εφτά μηχανές 18

19 Βλέπουμε ότι σε αυτή την περίπτωση ο δείκτης στους αποθηκευτικούς χώρους αποτελείται από δύο αριθμούς ώστε να είναι φανερό ποιους σταθμούς εργασίας συνδέουν. Για παράδειγμα ο αποθηκευτικός χώρος Β 1,5 βρίσκεται μετά τη μηχανή Μ 1 και πριν από τη Μ 5. Οι μηχανές M 5,Μ 6,Μ 7 χαρακτηρίζονται ως μηχανές συναρμολόγησης. Για παράδειγμα η μηχανή Μ 5 παίρνει ένα αντικείμενο εργασίας από τον αποθηκευτικό Β 1,5 χώρο και ένα από τον Β 2,5 και τα συναρμολογεί. Για να λειτουργήσει η μηχανή είναι απαραίτητο να έχουν και οι δύο αποθηκευτικοί χώροι τουλάχιστον μία μονάδα προϊόντος. Αν ένας από τους προηγούμενους αποθηκευτικούς χώρους είναι άδειος, τότε και η μηχανή θα είναι άδεια (starved). Συστήματα Αποσυναρμολόγησης (Disassembly Lines/Systems) Τα συστήματα αποσυναρμολόγησης (σχήμα 1.4) χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν τη διαδικασία της αποσυναρμολόγησης. Η μηχανή Μ 2 λειτουργεί ως κέντρο αποσυναρμολόγησης και στέλνει από μία μονάδα προϊόντος στις Μ 3 και Μ 4. Αν έστω και ένας από τους επόμενους δύο αποθηκευτικούς χώρους (Β 2,3 και Β 2,4 ) είναι γεμάτος, η μηχανή θα οδηγηθεί σε μπλοκάρισμα. Σχήμα 1.4: Γραμμή αποσυναρμολόγησης με τέσσερις σταθμούς εργασίας Γραμμές συγχώνευσης (Merge Lines) Οι γραμμές συγχώνευσης (σχήμα 1.5) χρησιμοποιήθηκαν από τον Helber (1999) για την ανάλυση μεγάλων γραμμών παραγωγής με εργασίες συγχώνευσης και βρόγχους επανεπεξεργασίας. Η Μ 3 στο σχήμα δέχεται αντικείμενα εργασίας από τους αποθηκευτικούς χώρους B 1,3 και B 2,3. Τώρα όμως οι δύο αποθηκευτικοί χώροι δεν περιέχουν διαφορετικά προϊόντα που πρέπει να συναρμολογηθούν, αλλά περιέχουν ταυτόσημα προϊόντα. 19

20 Σχήμα 1.5: Σύστημα συγχώνευσης εργασιών με τρεις σταθμούς εργασίας Η μηχανή συγχώνευσης δέχεται τα αντικείμενα εργασίας με βάση κάποιον κανόνα προτεραιότητας. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα υποθέτουμε ότι ο B 1,3 έχει μεγαλύτερη προτεραιότητα από τον B 2,3 και για αυτό ο B 2,3 δεν παρουσιάζεται άμεσα συνδεδεμένος με το υπόλοιπο σύστημα. Οπότε η μηχανή Μ 3 θα πάρει αντικείμενο εργασίας από τον B 2,3 μόνο σε περίπτωση που ο B 1,3 θα είναι άδειος (και εννοείται ότι ο B 2,3 θα έχει κάποιο αντικείμενο εργασίας). Η μηχανή θα είναι άδεια (starved) μόνο στην περίπτωση που και οι δύο αποθηκευτικοί χώροι του σχήματος είναι άδειοι. Να αναφέρουμε ότι τέτοιου είδους συστήματα θα μπορούσαν να μοντελοποιηθούν και με περισσότερο περίπλοκους κανόνες προτεραιότητας, όπως για παράδειγμα επιλογή προϊόντος από τον αποθηκευτικό χώρο που είναι περισσότερο γεμάτος. Η μελέτη αυτού του συστήματος όμως έδειξε ότι η χρήση τους σε ανάλυση μεγάλων γραμμών με εργασίες συγχώνευσης και βρόγχους επαναεπεξεργασίας δεν είναι ιδιαίτερα αποτελεσματική. Κατά τον προσδιορισμό της απόδοσης τέτοιων συστημάτων παρουσιάστηκαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις από την πραγματική τους απόδοση. Για το λόγο αυτό μελετήθηκε από τους Helber και Merthens (1999) και Diamantidis, Papadopoulos and Vidalis (2004) ένα νέο σύστημα που μοντελοποιεί τις εργασίες συγχώνευσης και επαναεπεξεργασίας. Το νέο σύστημα παρουσιάζεται στο σχήμα 1.6 και αποδείχτηκε πιο αποτελεσματικό στον προσδιορισμό της απόδοσης τέτοιον γραμμών. Όπως βλέπουμε τώρα δεν έχουμε δύο διαφορετικούς αποθηκευτικούς χώρους, αλλά μόνο τον Β (1,2),3 στον οποίο εναποθέτουν τα προϊόντα τους και η Μ 1 και η Μ 2. Οπότε η Μ 3 δέχεται τα προϊόντα ανεξάρτητα από το ποια μηχανή προήλθαν, δηλαδή δεν υπάρχει κάποιος κανόνας προτεραιότητας. Ο μοναδικός κανόνας που ισχύει, είναι 20

21 πως όταν ο αποθηκευτικός χώρος Β (1,2),3 γεμίσει, τότε η Μ 1 έχει την προτεραιότητα να είναι η πρώτη που θα αποθέσει προϊόν σε αυτόν μόλις αδειάσει μία θέση. Σχηματικά αυτό αποδίδεται συνδέοντας τη Μ 2 με διακεκομμένη γραμμή. Σχήμα 1.6: Σύστημα συγχώνευσης με τρεις μηχανές Γραμμές Διάσπασης (Split Lines) Ένα παράδειγμα συστήματος διάσπασης παρουσιάζεται στο σχήμα 1.7. Όταν η μηχανή Μ 2 τελειώσει την επεξεργασία ενός προϊόντος μπορεί να επιλέξει να το στείλει είτε στη Μ 3 είτε στη Μ 4. Βλέπουμε ότι υπάρχει διαφορά με τα συστήματα αποσυναρμολόγησης, καθώς εκεί η μηχανή έστελνε από ένα διαφορετικό προϊόν και στις δύο επόμενες. Σχήμα 1.7: Γραμμή διάσπασης με τέσσερις μηχανές Οι γραμμές διάσπασης χρησιμοποιούνται συχνά για να μοντελοποιήσουν καταστάσεις όπου έχουμε προβλήματα ποιότητας. Έστω ότι η Μ 2 παράγει ένα ποσοστό ελαττωματικών προϊόντων. Τότε μπορεί να επιλέγει τα ελαττωματικά να τα στέλνει στη Μ 4, όπου ή θα βγαίνουν από το σύστημα ή θα υπόκεινται επαναεπεξεργασία. Τα μη ελαττωματικά προϊόντα κατευθύνονται στη Μ 3 και συνεχίζουν την πορεία τους μέχρι την παραγωγή του τελικού προϊόντος. Να αναφέρουμε εδώ ότι αν ένας από τους αποθηκευτικούς χώρους, για παράδειγμα ο Β 2,4 γεμίσει, τότε η μηχανή θα μπλοκάρει μόνο στην περίπτωση που θα βγάλει 21

22 ελαττωματικό προϊόν, καθώς τα μη ελαττωματικά μπορεί να συνεχίσει να τα στέλνει στον Β 2,3. Αν όμως παράγει ελαττωματικό προϊόν, τότε θα μπλοκάρει ανεξάρτητα του γεγονότος ότι ο Β 2,3 δεν είναι γεμάτος. Συνήθως ορίζεται κάποια πιθανότητα για να βγάλει η μηχανή ελαττωματικό προϊόν. Πολλές φορές σε ένα πραγματικό σύστημα τα ελαττωματικά προϊόντα επανατοποθετούνται σε κάποιο προηγούμενο σημείο της γραμμής για επαναεπεξεργασία. Για παράδειγμα στο σχήμα 1.8 η μηχανή Μ 4 στέλνει τα ελαττωματικά προϊόντα στη Μ 2 ενώ τα μη ελαττωματικά συνεχίζουν κανονικά τη πορεία τους στο σύστημα. Τέτοια συστήματα συνήθως μοντελοποιούνται με τη χρήση συστημάτων διάσπασης (split) και συγχώνευσης (merge), ώστε να μπορέσει να γίνει η ανάλυσή τους. Σχήμα 1.8: Γραμμή παραγωγής με 5 μηχανές και βρόγχο επαναεπεξεργασίας Γραμμές παραγωγής με σταθμούς εργασίας που αποτελούνται από πολλές παράλληλες μηχανές Πολλές φορές είναι δυνατόν να έχουμε σε ένα κέντρο εργασίας παραπάνω από μία μηχανές όπου λειτουργούν παράλληλα. Ένα τέτοιο σύστημα βλέπουμε στο σχήμα 1.9. Το σύστημα αποτελείται από Μ σταθμούς εργασίας W i όπου κάθε ένας έχει S i αριθμό παράλληλων μηχανών. Για παράδειγμα αν S 1 =3 αυτό σημαίνει ότι στον σταθμό W 1 λειτουργούν 3 παράλληλες μηχανές. Στην ειδική περίπτωση όπου S i =1 για κάθε i, έχουμε τη γνωστή σειριακή γραμμή παραγωγής που παρουσιάστηκε σε προηγούμενη παράγραφο. Οι παράλληλες μηχανές σε κάθε σταθμό μπορεί να έχουν ίδιους ή διαφορετικούς χρόνους επεξεργασίας. Σε κάθε περίπτωση όμως θα παράγουν όλες το ίδιο προϊόν. 22

23 Σχήμα 1.9: Γραμμή παραγωγής με Μ σταθμούς εργασίας που αποτελούνται από παράλληλες μηχανές εξυπηρέτησης Να αναφέρουμε ότι ένα πραγματικό σύστημα μπορεί να συνδυάζει διάφορες τοπολογίες. Για παράδειγμα μπορούμε να έχουμε και μηχανές συναρμολόγησης ή συγχώνευσης, αλλά και παράλληλες μηχανές σε κάποιο σημείο της γραμμής. Στην παρούσα εργασία θα ασχοληθούμε κυρίως με σειριακές γραμμές παραγωγής και γραμμές όπου έχουμε σταθμούς εργασίες με παράλληλες μηχανές, όπου όλες οι παράλληλες μηχανές ενός σταθμού έχουν ίδιους χρόνους εξυπηρέτησης Κατηγοριοποίηση με βάση το είδος των μηχανών Μια μηχανή που θεωρούμε ότι λειτουργεί συνεχώς χωρίς να παθαίνει ποτέ βλάβη ονομάζεται αξιόπιστη. Μια γραμμή παραγωγής που αποτελείται αποκλειστικά από αξιόπιστες μηχανές ονομάζεται πλήρως αξιόπιστη (perfectly reliable). Αν μια μηχανή υπόκειται σε βλάβες τότε είναι μη αξιόπιστη. Μια γραμμή που έχει έστω και μία μη αξιόπιστη μηχανή χαρακτηρίζεται ως μη αξιόπιστη (unreliable). Δυστυχώς οι πραγματικές γραμμές παραγωγής είναι σχεδόν πάντα μη αξιόπιστες. Στην ανάλυση μη αξιόπιστων γραμμών παραγωγής πρέπει να ληφθούν υπ όψιν και οι βλάβες που οι μηχανές παθαίνουν, οι οποίες μπορεί να είναι σταθερές ή να ακολουθούν κάποια κατανομή. Αν οι βλάβες ακολουθούν κάποια κατανομή, τότε αυτή μπορεί να εξαρτάται από το χρόνο (time dependent failures) ή από τον αριθμό τον προϊόντων που η μηχανή επεξεργάζεται (operation dependent failures). 23

24 Κατηγοριοποίηση με βάση το παραγόμενο προϊόν Μια γραμμή παραγωγής μπορεί να χαρακτηριστεί ως διακριτού ή συνεχούς τύπου, ανάλογα με τον τύπο του προϊόντος που παράγει. Αν το παραγόμενο προϊόν είναι διακριτού τύπου, δηλαδή μπορούν να ξεχωρίσουν οι μονάδες του προϊόντος (πχ αυτοκίνητα, μολύβια, λαμπτήρες), τότε έχουμε γραμμή διακριτού τύπου προϊόντων. Αν όμως τα προϊόντα είναι συνεχή (συνήθως υγρά ή αέρια όπως καύσιμα, ποτά κλπ), τότε η γραμμή χαρακτηρίζεται ως συνεχούς τύπου προϊόντων Κατηγοριοποίηση με βάση το αν η γραμμή παραγωγής είναι συγχρονισμένη ή όχι Αν σε μια γραμμή παραγωγής όλες οι μηχανές έχουν σταθερούς και ταυτόσημους χρόνους επεξεργασίας και επιπλέον είναι αξιόπιστες, τότε η κίνηση των προϊόντων μέσα στη γραμμή παραγωγής θα είναι πλήρως συγχρονισμένη. Δηλαδή σε μια τέτοια γραμμή κανένα προϊόν δε θα περίμενε σε κάποιον αποθηκευτικό χώρο και οι αποθηκευτικοί χώροι δε θα ήταν αναγκαίοι. Ένα τέτοιου είδους σύστημα ονομάζεται συγχρονισμένη γραμμή παραγωγής. Δυστυχώς στην πράξη δεν έχουμε σχεδόν ποτέ συγχρονισμένες γραμμές παραγωγής για διάφορους λόγους. Καταρχήν οι μηχανές δεν έχουν τον ίδιο χρόνο επεξεργασίας των προϊόντων μεταξύ τους. Ακόμη και όταν αναφερόμαστε στην ίδια μηχανή, ο χρόνος επεξεργασίας μεταξύ δύο προϊόντων μπορεί να μην είναι πάντα ακριβώς ο ίδιος. Αν σε κάποια διεργασία συμμετέχει και κάποιος άνθρωπος, τότε ο χρόνος επεξεργασίας ποικίλει ακόμη περισσότερο. Επίσης οι μηχανές στην πράξη δεν είναι πλήρως αξιόπιστες καθώς παρουσιάζουν βλάβες και δυσλειτουργίες. Μάλιστα οι βλάβες δεν έχουν τον ίδιο χρόνο διόρθωσης για κάθε μηχανή, ούτε εμφανίζονται με την ίδια κατανομή. Για τους παραπάνω λόγους σχεδόν σε όλα τα πραγματικά συστήματα η κίνηση των προϊόντων δεν είναι πλήρως συγχρονισμένη και δημιουργούνται προβλήματα όπως το μπλοκάρισμα. Τέτοια συστήματα ονομάζονται ασύγχρονες γραμμές παραγωγής. 24

25 1.4. Μέτρα απόδοσης των βιομηχανικών συστημάτων Τα βιομηχανικά συστήματα αξιολογούνται με βάση κάποιο μέτρο απόδοσης. Υπάρχουν πολλά διαφορετικά μέτρα που χρησιμοποιούνται στη διεθνή βιβλιογραφία και αρθρογραφία. Τα πιο συνήθη από αυτά είναι: Ρυθμός παραγωγής ή Απόδοση (Production Rate) Αναφέρεται στον αριθμό των προϊόντων που παράγονται από το σύστημα ανά μονάδα χρόνου. Αν το σύστημα είναι συνεχές, τότε μπορούμε να αναφερθούμε σε κάποια ποσότητα προϊόντος (πχ λίτρα καυσίμου) ανά μονάδα χρόνου. Αριθμός των ημιακατέργαστων προϊόντων (Work In Progress: WIP) Αναφέρεται στο σύνολο των βιομηχανικών προϊόντων που υπάρχουν στο σύστημα. Μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα (flow time) Αναφέρεται στο μέσο χρόνο που χρειάζεται ένα βιομηχανικό προϊόν από τη στιγμή που θα εισέλθει στο σύστημα, ως της στιγμή που θα εξαχθεί από αυτό ως έτοιμο προϊόν. Προφανώς το σύστημα αξιολογείται ως πιο αποδοτικό όσο ο μέσος χρόνος παραμονής σε αυτό μειώνεται. 25

26 2. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Όπως αναφέραμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, η ακαδημαϊκή έρευνα έχει εστιάσει σε δύο θέματα όσον αφορά τα βιομηχανικά συστήματα: την εκτίμηση της απόδοσης των συστημάτων και τον βέλτιστο σχεδιασμό τους. Σε αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με την πρόβλεψη της απόδοσης των βιομηχανικών συστημάτων και θα κάνουμε μια ανασκόπηση της βιβλιογραφίας, παρουσιάζοντας τις κυριότερες μεθόδους που έχουν χρησιμοποιηθεί. Στην επόμενη παράγραφο θα αναφερθούμε στη μέθοδο της προσομοίωσης η οποία είναι συχνά η μόνη που χρησιμοποιείται για την εύρεση της απόδοσης των γραμμών παραγωγής. Στην παράγραφο 2.2 παρουσιάζεται η μέθοδος της Μαρκοβιανής ανάλυσης, η οποία δίνει πολύ καλά και σίγουρα αποτελέσματα, αλλά όπως θα δούμε δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε μεσαίου μεγέθους ή μεγάλες γραμμές παραγωγής. Τέλος, οι παράγραφοι 2.3 και 2.4 ασχολούνται με τις αναλυτικές μεθόδους της αποσύνθεσης και της συνάθροισης αντίστοιχα. 2.1 Η μέθοδος της προσομοίωσης Η προσομοίωση αποτελεί μια μέθοδο που χρησιμοποιείται πολύ συχνά για την αξιολόγηση βιομηχανικών συστημάτων στην πράξη. Αυτό συμβαίνει κυρίως διότι πολλές φορές η υπό εξέταση γραμμή παραγωγής είναι ιδιαίτερα περίπλοκη και δεν υπάρχουν αναλυτικές μέθοδοι που να δίνουν καλά αποτελέσματα. Ως προσομοίωση ορίζεται η διαδικασία της κατασκευής και εφαρμογής ενός μοντέλου το οποίο μιμείται κάθε σημαντικό βήμα που συμβαίνει σε μια διαδικασία και κάθε σημαντική αλληλεπίδραση ανάμεσα σε παράγοντες της διαδικασίας. Το πρώτο βήμα για τη διεξαγωγή της προσομοίωσης είναι η λήψη στοιχείων από το πραγματικό σύστημα, όπως ο χρόνος επεξεργασίας κάθε σταθμού εργασίας, οι χρόνοι εμφάνισης βλαβών κλπ. Με βάση τα στοιχεία αυτά κατασκευάζεται το μοντέλο της προσομοίωσης, το οποίο μοντελοποιεί όλες τις διαδικασίες που γίνονται στο πραγματικό σύστημα. Το μοντέλο αυτό υλοποιείται συνήθως σε ηλεκτρονικό υπολογιστή, όπου μπορούμε να το τρέξουμε και να λάβουμε αποτελέσματα που μας δείχνουν τη συμπεριφορά του συστήματος. Να τονίσουμε εδώ ότι αν στο σύστημα έχουμε διαδικασίες όπου υπάρχει στοχαστικότητα, όπως για παράδειγμα χρόνοι που 26

27 ακολουθούν κάποια κατανομή τυχαίων αριθμών, το τρέξιμο της προσομοίωσης μία φορά δεν είναι αρκετό. Το σωστό είναι να διεξαχθεί η προσομοίωση πολλές φορές και να γίνει στατιστική επεξεργασία των αποτελεσμάτων ώστε να προκύψουν διαστήματα εμπιστοσύνης μέσα στα οποία βρίσκονται οι τιμές που μας ενδιαφέρουν. Όσο πιο πολλές φορές γίνει το πείραμα, τόσο πιο στενά και αξιόπιστα θα είναι τα διαστήματα εμπιστοσύνης. Η μέθοδος της προσομοίωσης έχει το μειονέκτημα του υψηλού κόστους. Ακόμη και με τα σύγχρονα πακέτα προσομοίωσης η ανάπτυξη των προγραμμάτων είναι δαπανηρή και απαιτεί ειδική εκπαίδευση και εμπειρία. Επίσης είναι ιδιαίτερα χρονοβόρα και δεν καταλήγει γρήγορα σε μία τιμή αλλά σε κάποιο διάστημα εμπιστοσύνης. Για τους παραπάνω λόγους υπάρχει η προσπάθεια να αναπτυχθούν αναλυτικές μέθοδοι οι οποίες είναι σαφώς γρηγορότερες και δίνουν το ίδιο καλά αποτελέσματα με την προσομοίωση. Με τέτοιες μεθόδους θα ασχοληθούμε στις επόμενες παραγράφους. Να αναφέρουμε ότι η προσομοίωση χρησιμοποιείται και για την επικύρωση της ισχύος των αναλυτικών μεθόδων, καθώς γίνεται σύγκριση των αποτελεσμάτων, ώστε να επιβεβαιωθεί ότι η αναλυτική μέθοδος λειτουργεί ορθά Μαρκοβιανή ανάλυση Η Μαρκοβιανή ανάλυση χρησιμοποιείται σε στοχαστικά, δυναμικά συστήματα όπου ισχύει η Μαρκοβιανή (αμνήμων) ιδιότητα. Αυτό σημαίνει ότι η κατάσταση του συστήματος την αμέσως επόμενη χρονική στιγμή (t+1), εξαρτάται αποκλειστικά από την παρούσα κατάσταση τη χρονική στιγμή t και δεν έχει καμιά εξάρτηση από παρελθοντικές καταστάσεις (t-1, t-2 κλπ). Στη μέθοδο ορίζονται οι πιθανότητες μετάβασης μεταξύ διαφορετικών καταστάσεων. Για παράδειγμα μια μηχανή που τη χρονική στιγμή t λειτουργεί, μπορεί να υποστεί βλάβη στην t+1 με πιθανότητα p. Η πιθανότητα να συνεχίσει να λειτουργεί είναι 1-p (αν υποθέσουμε ότι οι δύο πιθανές καταστάσεις είναι μόνο αυτή της βλάβης και της λειτουργίας). Η Μαρκοβιανή ανάλυση δίνει πολύ ακριβή αποτελέσματα στον προσδιορισμό των διαφόρων μέτρων στα συστήματα τα οποία χρησιμοποιείται. Δυστυχώς όμως όσο μεγαλώνει το σύστημα οι πιθανές καταστάσεις στις οποίες μπορεί να βρεθεί αυξάνονται δραματικά με αποτέλεσμα η μέθοδος να μην μπορεί να χρησιμοποιηθεί. 27

28 Έστω ότι έχουμε μια σειριακή γραμμή παραγωγής με Κ μηχανές και Κ-1 αποθηκευτικούς χώρους. Ας υποθέσουμε επίσης, ότι κάθε μηχανή μπορεί να βρεθεί σε δύο πιθανές καταστάσεις (λειτουργία ή βλάβη) και κάθε αποθηκευτικός χώρος χωρητικότητας μπορεί να βρεθεί σε +1 καταστάσεις ανάλογα με την ποσότητα των προϊόντων που περιέχει κάθε χρονική στιγμή ( 0,1,2 ). Ο αριθμός των πιθανών διακριτών καταστάσεων θα είναι ίσος με το γινόμενο του αριθμού των πιθανών καταστάσεων που μπορεί να βρεθεί η κάθε μια μηχανή επί τον αριθμό των δυνατών τιμών που μπορεί να πάρει η χωρητικότητα κάθε ενός αποθηκευτικού χώρου. Δηλαδή στο παράδειγμά μας το σύνολο των πιθανών καταστάσεων Μ δίνεται από την εξίσωση: M 2 k 1 k i 0 Σε μια σχετικά μικρή γραμμή με 10 κέντρα εργασίας και 9 αποθηκευτικούς χώρους όπου όλοι έχουν χωρητικότητα 5, ο αριθμός των πιθανών καταστάσεων προκύπτει μεγαλύτερος από 10. Αν έχουμε 20 μηχανές και 19 ενδιάμεσους αποθηκευτικούς χώρους με χωρητικότητα 10 το νούμερο ξεπερνά το Τέτοιοι αριθμοί καθιστούν τη χρήση της μεθόδου απαγορευτική για μεγάλες ή μεσαίου μεγέθους γραμμές παραγωγής. Όμως η Μαρκοβιανή μέθοδος χρησιμοποιείται ακόμη στην ανάλυση των γραμμών παραγωγής. Πρώτον, χρησιμοποιείται για να συγκριθεί με άλλες μεθόδους σε μικρές γραμμές παραγωγής, ως μια ένδειξη της ισχύος των υπολοίπων μεθόδων. Ακόμη, χρησιμοποιείται σε βήματα άλλων μεθόδων όπως για παράδειγμα της αποσύνθεσης και της συνάθροισης που θα δούμε παρακάτω. ( C i 1) 2.3. Η μέθοδος της αποσύνθεσης (Decomposition method) Η μέθοδος της αποσύνθεσης αναπτύχθηκε από τον Gerswin (1987) και ένα χρόνο αργότερα βελτιώθηκε από τους Dallery, David and Xie (1988). Σύμφωνα με τον Gerswin (1987) μια σειριακή γραμμή παραγωγής όπως αυτή παρουσιάστηκε στο σχήμα 1.2 στην παράγραφο 1.3, μπορεί να αποσυντεθεί σε υποσυστήματα (υπογραμμές) που αποτελούνται από δύο σταθμούς εργασίας και έναν ενδιάμεσο αποθηκευτικό χώρο. Ένα τέτοιο υποσύστημα παρουσιάζεται στο σχήμα 2.1 και 28

29 ονομάζεται Δομικό Στοιχείο της Μεθόδου της Αποσύνθεσης (ΔΣΜΑ-decomposition block). Σχήμα 2.1: Δομικό Στοιχείο της Μεθόδου της Αποσύνθεσης (ΔΣΜΑ-decomposition block). Αυτά τα εικονικά υποσυστήματα χρησιμοποιούνται διότι είναι πολύ μικρά και έτσι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την Μαρκοβιανή ανάλυση για την εύρεση των διάφορων μέτρων απόδοσης. Πράγματι αν βάλουμε στη σχέση υπολογισμού του πλήθους των πιθανών λύσεων k=2 προκύπτει: M 2 i 1 2 i 1 ( C 1) 4( C 1) Αυτό δείχνει ότι όσο μεγάλη και να είναι η χωρητικότητα του ενδιάμεσου αποθηκευτικού χώρου, το πλήθος M των πιθανών λύσεων δεν αυξάνεται υπερβολικά. Η μέθοδος της αποσύνθεσης μέσα από τον υπολογισμό της απόδοσης του κάθε δομικού στοιχείου, καταλήγει στην απόδοση όλης της γραμμής. Ας δούμε για παράδειγμα την σειριακή γραμμή παραγωγής του σχήματος 2.2, που αποτελείται από τέσσερις μηχανές. Η κάθε μηχανή έχει ρυθμό επεξεργασίας, πιθανότητα εμφάνισης βλάβης και πιθανότητα επιδιόρθωσης βλάβης (i=1,2,3,4) Σχήμα 2.2: Σειριακή γραμμή παραγωγής με τέσσερις μηχανές και τρεις αποθηκευτικούς χώρους Η αρχική γραμμή που ονομάζεται και πραγματική γραμμή και συμβολίζεται με L, αποσυντίθεται σε δομικά στοιχεία όπως φαίνεται στο σχήμα

30 Σχήμα 2.3: Η μέθοδος της αποσύνθεσης για τη γραμμή παραγωγής του σχήματος 2.2 Βλέπουμε ότι σε κάθε αποθηκευτικό χώρο αντιστοιχεί ένα δομικό στοιχείο. Οι χώροι αυτοί των δομικών στοιχείων έχουν την ίδια χωρητικότητα με τους αντίστοιχους της αρχικής γραμμής. Σε κάθε δομικό στοιχείο υπάρχουν δύο εικονικές μηχανές και. H (upstream μηχανή) αναπαριστά το κομμάτι της γραμμής παραγωγής που βρίσκεται πριν τον. H (downstream μηχανή) αναπαριστά το κομμάτι της γραμμής παραγωγής που βρίσκεται μετά τον. Κάθε upstream μηχανή έχει ρυθμό επεξεργασίας, πιθανότητα εμφάνισης βλάβης και πιθανότητα επιδιόρθωσης βλάβης. Τα αντίστοιχα μέτρα για την downstream μηχανή είναι, και. Οι έξι αυτές παράμετροι πρέπει να υπολογιστούν για κάθε εικονική μηχανή έτσι ώστε να ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες: Ο ρυθμός της ροής των προϊόντων προς και από τον αποθηκευτικό χώρο του κάθε δομικού στοιχείου να είναι ίσος με τον ρυθμός ροής τον προϊόντος προς και από τον αντίστοιχο αποθηκευτικό χώρο της πραγματικής γραμμής. Η πιθανότητα για να είναι άδειος ή γεμάτος ο αποθηκευτικός χώρο κάθε δομικού στοιχείου να είναι ίση με την αντίστοιχη πιθανότητα του αντίστοιχου αποθηκευτικού χώρου της πραγματικής γραμμής. Η πιθανότητα επαναφοράς της ροής προς και από τον αποθηκευτικό χώρο του κάθε δομικού στοιχείου να είναι ίση με την αντίστοιχη πιθανότητα του αντίστοιχου αποθηκευτικού χώρου της πραγματικής γραμμής. 30

31 Ο μέσος αριθμός προϊόντων στον αποθηκευτικό χώρο του κάθε δομικού στοιχείου να είναι ίση με την αντίστοιχη πιθανότητα του αντίστοιχου αποθηκευτικού χώρου της πραγματικής γραμμής. Οι παράμετροι όλων των εικονικών μηχανών υπολογίζονται με τη χρήση των παρακάτω συνόλων εξισώσεων: Εξισώσεις ροής (Flow rate idle time equations) Χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό του ρυθμού εξυπηρέτησης και της κάθε εικονικής μηχανής Εξισώσεις διακοπής της ροής (Interruption of flow equations) Χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων εμφάνισης βλαβών και της κάθε εικονικής μηχανής Εξισώσεις επαναφοράς της ροής (Resumption of flow equations) Χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων επιδιόρθωσης και της κάθε εικονικής μηχανής. Εξισώσεις διατήρησης της ροής (Conservation of flow equations) Εκφράζουν την αρχή της διατήρησης της ροής των προϊόντων μεταξύ των αποθηκευτικών χώρων. Κάτι τέτοιο ισχύει διότι δεν έχουμε καταστροφή η δημιουργία νέου υλικού. O Gerswin (1987) δημιούργησε τις παραπάνω εξισώσεις και οι Dallery, David and Xie (1988) παρουσίασαν έναν αλγόριθμο που να τις λύνει όλες ταυτόχρονα, για τη περίπτωση σειριακών γραμμών παραγωγής. Αργότερα η μέθοδος της αποσύνθεσης επεκτάθηκε από διάφορους άλλους ερευνητές, ώστε να λειτουργεί και για μη σειριακές γραμμές παραγωγής και για γραμμές συνεχούς τύπου προϊόντος. Τα αποτελέσματα της μεθόδου είναι πολύ καλά και έχουν δοκιμαστεί σε πληθώρα περιπτώσεων. Παρόλα αυτά δεν υπάρχει ως σήμερα κάποια μαθηματική απόδειξη της σύγκλισης της μεθόδου της αποσύνθεσης. Ωστόσο η μέθοδος έχει χρησιμοποιηθεί πάρα πολλές φορές από πολλούς ερευνητές και τα αποτελέσματα δείχνουν ότι σε όλες σχεδόν τις περιπτώσεις συγκλίνει. Όμως η μαθηματική απόδειξη αποτελεί ένα ανοικτό θέμα μελέτης. 31

32 2.4. Η μέθοδος της συνάθροισης (aggregation method) Η μέθοδος της συνάθροισης (Ancelin and Semery, 1987; Terracol and David, 1987; De Koster 1987) ακολουθεί μια διαφορετική λογική. Οι μηχανές της γραμμής παραγωγής συναθροίζονται διαδοχικά μέχρι να καταλήξουμε σε ένα σύστημα με δύο μηχανές και έναν ενδιάμεσο αποθηκευτικό χώρο. Το τελικό αυτό σύστημα μπορεί να αναλυθεί εύκολα με βάση τις Μαρκοβιανές εξισώσεις. Αν έχουμε για παράδειγμα μια σειριακή γραμμή παραγωγής με τρία κέντρα εργασίας και δύο αποθηκευτικούς χώρους όπως στο σχήμα 2.4. μπορούμε να συναθροίσουμε τις μηχανές και σε μια μηχανή που την ονομάζουμε, και έπειτα να εφαρμόσουμε τη μαρκοβιανή ανάλυση στο σύστημα όπως αυτό εμφανίζεται στο σχήμα 2.5. Όμως παρόμοια θα μπορούσαμε αντί να συναθροίσουμε τις δύο πρώτες μηχανές να συναθροίσουμε τις και στη,. Ένα σημαντικό πρόβλημα που δημιουργήθηκε είναι ότι το αποτέλεσμα που δίνουν οι δυο διαφορετικοί τρόποι συνάθροισης δεν είναι αναγκαστικά το ίδιο. Αυτό γίνεται εμφανές από τα αριθμητικά αποτελέσματα που παρουσίασαν οι Terracol and David (1987). Δηλαδή το αποτέλεσμα εξαρτάται από τον τρόπο με τον οποίο κάνουμε τη συνάθροιση πράγμα που προφανώς δεν είναι επιθυμητό. Σχήμα 2.4: Σειριακή γραμμή παραγωγής με τρεις μηχανές και δύο αποθηκευτικούς χώρους Σχήμα 2.5: Εφαρμογή της μεθόδου της συνάθροισης στη γραμμή του σχήματος 2.4 Για να αντιμετωπιστεί το παραπάνω πρόβλημα, οι Lim et al (1990) ανέπτυξαν μια νέα τροποποιημένη μέθοδο συνάθροισης. Σε αυτήν η συνάθροιση ξεκινάει αρχικά από την πρώτη μηχανή και καταλήγει στην τελευταία (forward pass). Έπειτα ακολουθείται αντίθετη πορεία, ξεκινώντας από την τελευταία μηχανή και καταλήγοντας στην πρώτη (forward pass). Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται έως 32

33 τα forward και backward pass να καταλήξουν στο ίδιο αποτέλεσμα. Η κοινή αυτή εκτίμηση θα αποτελεί και την απόδοση του συστήματος. 33

34 3. ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Όπως αναφέραμε και στο κεφάλαιο 1, ένα σημαντικό πρόβλημα που απασχολεί τους ερευνητές είναι να βρεθούν μέθοδοι για την εύρεση του βέλτιστου σχεδιασμού ενός βιομηχανικού συστήματος. Σημειώσαμε ότι υπάρχουν τρία βασικά θέματα βελτιστοποίησης που είναι τα παρακάτω: Η βέλτιστη κατανομή των σταθμών εργασίας (Server Allocation Problem - SAP) Η βέλτιστη κατανομή των αποθηκευτικών χώρων (Buffer Allocation Problem - BAP) Η βέλτιστη κατανομή των εργαζομένων (Worker Allocation Problem - WAP) Στην παρούσα εργασία θα ασχοληθούμε με μια μεθοδολογία για την επίλυση του BAP σε διακριτές γραμμές παραγωγής με σταθμούς που έχουν παράλληλες μηχανές. Για αυτό το λόγο στο υπόλοιπο του κεφαλαίου θα παρουσιάσουμε μερικές από τις πιο γνωστές μεθόδους επίλυσης του BAP. Σκοπός είναι να γίνουν κατανοητές οι βασικές αρχές και ιδέες στις οποίες βασίζεται η κάθε μέθοδος. Στην επόμενη παράγραφο θα ασχοληθούμε με τη μαθηματική τυποποίηση του προβλήματος. Στην 3.2 θα παρουσιάσουμε τη μέθοδο της απαρίθμησης και θα εξηγήσουμε γιατί είναι αδύνατο να χρησιμοποιηθεί όσο η γραμμή παραγωγής μεγαλώνει και οι πιθανές λύσεις αυξάνονται. Τέλος, στην παράγραφο 3.3 θα ασχοληθούμε με μερικές από τις πιο γνωστές αναλυτικές μεθόδους βελτιστοποίησης που έχουν μελετηθεί στη διεθνή βιβλιογραφία Τυποποίηση του προβλήματος Συνήθως στα προβλήματα βελτιστοποίησης έχουμε κάποια αντικειμενική συνάρτηση που επιθυμούμε είτε να μεγιστοποιήσουμε ή να ελαχιστοποιήσουμε. Έστω ότι έχουμε Κ μηχανές και Κ-1 αποθηκευτικούς χώρους στους οποίους μπορούμε να κατανέμουμε N μονάδες αποθηκευτικού χώρου. Η χωρητικότητα που δίνεται στον αποθηκευτικό χώρο Β σε κάθε λύση συμβολίζεται ως N. Έτσι μια πιθανή λύση συμβολίζεται ως ένα διάνυσμα [N, N,, N ]. Όπου το σύνολο των N πρέπει να ισούται με το N και κάθε N πρέπει να είναι μεγαλύτερο ή ίσο από το μηδέν. Αν έχουμε διακριτό σύστημα πρέπει όλα τα N να έχουν ακέραιες τιμές. Η 34

35 απόδοση που προκύπτει από μια λύση μπορεί να συμβολιστεί ως P(N, N,, N ). Όπως είπαμε υπάρχουν δύο διαφορετικές πτυχές του BAP. Το πρώτο πρόβλημα είναι να ορίσουμε την κατανομή τον αποθηκευτικών χώρων που θα μεγιστοποιήσει την απόδοση, όταν έχουμε δεδομένο συνολικό αποθηκευτικό χώρο. Το πρόβλημα αυτό θα μπορούσε να εκφραστεί μαθηματικά παρακάτω: Βρείτε τα,,, έτσι ώστε δεδομένου ότι να μεγιστοποιηθεί η P(,,, ) =, με δεδομένο Το πρόβλημα αυτό ονομάζεται στη βιβλιογραφία και ως δυϊκό (dual problem). Βλέπουμε ότι η αντικειμενική συνάρτηση που θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε είναι η απόδοση του συστήματος. Το δεύτερο σημαντικό πρόβλημα που έχει απασχολήσει τη βιβλιογραφία, είναι η εύρεση του ελάχιστου συνολικού αποθηκευτικού χώρου, με τον οποίο μπορεί να σχεδιαστεί μία γραμμή παραγωγής, έτσι ώστε η απόδοσή της να φτάσει ή να ξεπεράσει μια συγκεκριμένη τιμή. Το πρόβλημα αυτό ονομάζεται ως αρχικό (primal problem) και δίνεται μαθηματικά παρακάτω: Βρείτε το έτσι ώστε δεδομένου ότι να ελαχιστοποιηθεί το P( ) ό, με δεδομένο ό Σε αυτή την περίπτωσή η αντικειμενική μας συνάρτηση είναι το N το οποίο και θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε. Προφανώς και πάλι έχουμε και τον περιορισμό των μη αρνητικών (και ακέραιων αν έχουμε διακριτό σύστημα) N. Τα δύο προβλήματα που παρουσιάσαμε δεν είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους και συνήθως χρειάζεται να υπάρχει τρόπος λύσης του δυϊκού προβλήματος για να λυθεί το αρχικό. Στην παρούσα εργασία θα ασχοληθούμε με την ανάπτυξη μιας μεθόδου που λύνει το δυϊκό πρόβλημα, για αυτό και στο υπόλοιπο του κεφαλαίου θα αναφερθούμε σε μεθόδους που ασχολούνται κυρίως με το δυϊκό πρόβλημα. 35

36 3.2. Η μέθοδος της απαρίθμησης Ένας τρόπος να βρούμε τον σχεδιασμό που θα οδηγήσει στην καλύτερη απόδοση είναι να υπολογίσουμε την απόδοση της κάθε πιθανής λύσης και να επιλέξουμε αυτήν που δίνει τη μεγαλύτερη. Αυτό γίνεται στη μέθοδο της απαρίθμησης, όπου απαριθμούνται όλες οι πιθανές λύσεις και εφαρμόζεται σε κάθε μία κάποια μέθοδος εύρεσης της απόδοσης. Το πλεονέκτημα της μεθόδου είναι ότι λαμβάνονται υπ όψιν όλες οι πιθανές λύσεις και έτσι εξασφαλίζεται ότι θα βρεθεί όντως αυτή που βελτιστοποιεί το σύστημα. Δυστυχώς όμως, όσο η γραμμή παραγωγής μεγαλώνει το εύρος των πιθανών λύσεων αυξάνεται δραματικά. Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μια γραμμή με Κ σταθμούς εργασίας, Κ-1 αποθηκευτικούς χώρους και συνολικό αποθηκευτικό χώρο που πρέπει να κατανείμουμε ίσο με N τότε το πλήθος των πιθανών λύσεων δίνεται από τον τύπο: Κ 1 Ν! N! Κ 1! Για μια γραμμή παραγωγής με 10 σταθμούς παραγωγής και συνολικό αποθηκευτικό χώρο ίσο με 20 ο αριθμός των πιθανών λύσεων ξεπερνά τα 10 εκατομμύρια. Για 20 μηχανές και συνολικό αποθηκευτικό χώρο 40 ο αριθμός του συνόλου των λύσεων ξεπερνά το 1.39Χ10. Βλέπουμε λοιπόν ότι το πλήθος των λύσεων αυξάνει με γεωμετρικούς ρυθμούς γεγονός που καθιστά τη χρήση της μεθόδου απαγορευτική για μεγαλύτερες γραμμές παραγωγής. Για το λόγο αυτό υπάρχει η ανάγκη ανάπτυξης μαθηματικών μεθόδων που καταλήγουν στη βέλτιστη λύση (ή σε μια λύση κοντά στη βέλτιστη) χωρίς να χρειάζεται να υπολογίσουν όλες τις πιθανές. Η απαρίθμηση χρησιμοποιείται κυρίως από τους ερευνητές για την επικύρωση της ισχύος των υπολοίπων μεθόδων. Σε μικρές γραμμές (όπου μπορεί να λειτουργήσει η απαρίθμηση) γίνονται συγκρίσεις των λύσεων που δίνει ή μέθοδος με αυτήν που δίνει η απαρίθμηση. Αν η βέλτιστη απόδοση είναι ίση ή έστω κοντά σε αυτήν που προκύπτει από την απαρίθμηση (η οποία όπως είπαμε είναι με βεβαιότητα η βέλτιστη λύση του προβλήματος), αυτό αποτελεί ένδειξη ότι η μαθηματική μέθοδος λειτουργεί ορθά. 36

37 3.3. Αναλυτικές μέθοδοι βελτιστοποίησης Στην παράγραφο αυτή θα παρουσιάσουμε μερικές από τις πιο γνωστές μεθόδους βελτιστοποίησης που έχουν προταθεί και μελετηθεί στη διεθνή βιβλιογραφία. Ο σκοπός είναι να κατανοήσει ο αναγνώστης τις βασικές αρχές στις οποίες βασίζεται η κάθε μεθοδολογία. Αυτό θα οδηγήσει σε καλύτερη κατανόηση του BAP και σε πιο εύκολη ανάγνωση της υπόλοιπης εργασίας. Αποτελέσματα κάποιων από τις παρακάτω διαδικασίες χρησιμοποιούνται για συγκρίσεις με τα αποτελέσματα του αλγόριθμου που υλοποιήθηκε στην παρούσα εργασία. Ο μέθοδοι που παρουσιάζονται δεν οδηγούν με βεβαιότητα στην εύρεση της βέλτιστης λύσης καθώς κάτι τέτοιο μόνο με την απαρίθμηση μπορεί να εξασφαλιστεί. Όμως βρίσκουν κάποια λύση που να είναι κοντά στη βέλτιστη (near optimal). Με τον όρο κοντά εννοούμε ότι η απόδοση που δίνει η λύση που προτείνει ο αλγόριθμος δε θα είναι μακριά από την απόδοση της πραγματικής βέλτιστης λύσης. Ακόμη να αναφέρουμε ότι οι μέθοδοι αυτές δεν καταλήγουν πάντα στην ίδια λύση για το ίδιο πρόβλημα. Οι περισσότερες ξεκινάν με μία αρχική λύση η οποία επηρεάζει το τελικό αποτέλεσμα που θα προκύψει. Επίσης κάποιες περιλαμβάνουν στοχαστικές διαδικασίες (ύπαρξη τυχαίων αριθμών), οπότε ενδέχεται να δώσουν διαφορετικό αποτέλεσμα ακόμη και αν εκκινήσουν με την ίδια αρχική λύση Η Μέθοδος Tabu Search H Tabu Search πρωτοπαρουσιάστηκε από τον Glover (1986) και αποτελεί μια μέθοδο τοπικής ανίχνευσης λύσεων (local search method), σε προβλήματα βελτιστοποίησης. Η μέθοδος έχει βρει πολλές εφαρμογές σε τομείς όπως ο προγραμματισμός (Glover and Laguna,1997), οι μεταφορές (Smith et al., 1996), ο σχεδιασμός κυκλωμάτων για τηλεπικοινωνίες (Geiger et al.,1997) και πολλούς άλλους. Στο dual BAP ο Tabu Search ξεκινάει με μία αρχική εφικτή λύση και συνεχίζει ψάχνοντας διαδοχικά γειτονικές λύσεις κάνοντας συγκεκριμένες κινήσεις. Όταν λέμε κίνηση εννοούμε έναν μετασχηματισμό που παράγει μια λύση κοντινή στην προηγούμενη. Για παράδειγμα αν έχουμε τέσσερις αποθηκευτικούς χώρους με συνολικό χώρο 40 μονάδων, η αρχική λύση μπορεί να είναι = [10,10,10,10]. Στο επόμενο βήμα μπορεί να έχουμε τη λύση = [9,11,10,10]. Η κίνηση ανάμεσα στις 37

38 και μπορεί να συμβολιστεί ως [2,1] που σημαίνει ότι αυξήθηκε η χωρητικότητα του δεύτερου αποθηκευτικού χώρου κατά 1 και αντίστοιχα μειώθηκε αυτή του πρώτου αποθηκευτικού χώρου. Ο Tabu Search ελέγχει όλες τις γειτονικές λύσεις και επιλέγει να κινηθεί εκεί που υπάρχει μεγαλύτερη απόδοση. Ο κίνδυνος που δημιουργείται είναι ότι στο επόμενο βήμα ο αλγόριθμος μπορεί να οδηγηθεί ξανά στην προηγούμενη λύση και έτσι να έχουμε μια διαδικασία που επαναλαμβάνεται συνέχεια. Αν στο παράδειγμα η επόμενη κίνηση είναι η [1,2], τότε από τη N θα οδηγηθούμε ξανά στη N. Για να αντιμετωπιστεί αυτό και να μη κολλήσει ο αλγόριθμος σε κάποιο τοπικό μέγιστο χρησιμοποιείται ένα είδος ευέλικτης μνήμης (Shi and Men, 2003). Αυτό που γίνεται είναι να κρατείται σε μια λίστα ένας αριθμός των τελευταίων βημάτων έτσι ώστε να αποφεύγεται να καταλήξουμε σε κάποια λύση την οποία έχουμε ελέγξει ξανά. Έτσι η αρχική κίνηση [2,1] θα είναι καταγεγραμμένη στη λίστα απαγορεύοντας να γίνει αμέσως μετά η [1,2]. Όσο ο αλγόριθμος προχωράει συγκρίνει τις λύσεις τις οποίες ελέγχει με την καλύτερη που έχει βρει ως εκείνη τη στιγμή. Όταν βρει κάποια λύση που δίνει μεγαλύτερη απόδοση την ορίζει ως βέλτιστη. Η διαδικασία τερματίζεται όταν μετά από ένα συγκεκριμένο αριθμό επαναλήψεων δεν μπορεί να βρεθεί κάποια λύση καλύτερη από την τρέχουσα βέλτιστη Η μέθοδος Gradient Η μέθοδος Gradient (κλίση) έχει χρησιμοποιηθεί από διάφορους ερευνητές για την επίλυση του BAP (Seong; Chang and Hong, 1994; Gershwin and Goldis, 1995; Gershwin and Schor 2000). Ο σκοπός της μεθόδου είναι να βρεθεί η κατεύθυνση όπου η απόδοση του συστήματος αυξάνει περισσότερο. Αφού βρεθεί αυτή η κατεύθυνση διενεργείται ένα ψάξιμο για να βρεθεί η βέλτιστη λύση. Ο αλγόριθμος εκκινεί με μία αρχική λύση [N, N,, N ], η οποία δίνεται από τον χρήστη και μπορεί να είναι είτε τυχαία ή να ακολουθεί κάποια λογική (για παράδειγμα ομοιόμορφη). Έπειτα υπολογίζεται το διάνυσμα g= [g, g,, g ], όπου g = (N, N,, N ). To g ονομάζεται διάνυσμα gradient και δείχνει την κατεύθυνση όπου η απόδοσή P του συστήματος αυξάνεται περισσότερο. Το πρόβλημα είναι ότι αν κινηθούμε στην κατεύθυνση που ορίζει το g θα προκύψουν 38

39 ανέφικτες λύσεις, δηλαδή λύσεις όπου ο συνολικός αποθηκευτικός χώρος θα είναι μεγαλύτερος του δεδομένου. Για αυτό το λόγο υπολογίζεται ένα νέο διάνυσμα p το οποίο είναι αυτό που βρίσκεται κοντύτερα στο g και η κίνηση στην κατεύθυνσή του δεν να αναιρεί τον περιορισμό του συνολικού αποθηκευτικού χώρου. Εφόσον η κατεύθυνση έχει βρεθεί, ακολουθείται μια γραμμική αναζήτηση σε αυτήν. Η αναζήτηση γίνεται με ένα βήμα b που μπορεί να καθοριστεί από τον χρήστη. Όταν αναγνωριστεί η περιοχή της γραμμής όπου υπάρχει η βέλτιστη λύση γίνεται δυαδική αναζήτηση ώστε να βρεθεί η ακριβής λύση. Η λύση αυτή δίνεται ως αρχική λύση και η διαδικασία ξαναρχίζει από την αρχή. Ο τερματισμός του αλγορίθμου γίνεται όταν δούμε ότι η λύση δεν μπορεί να βελτιωθεί περαιτέρω, όταν δηλαδή η λύση που θα προκύψει από έναν κύκλο θα είναι ακριβώς ίδια με την προηγούμενη. Η φιλοσοφία αυτή του gradient που δεν ψάχνει γειτονικές λύσεις, αλλά σε μια κατεύθυνση που ορίζει ως βέλτιστη, καθιστά την όλη διαδικασία πιο γρήγορη. Να αναφέρουμε ότι στη βιβλιογραφία, ο gradient χρησιμοποιείται δεχόμενος ότι οι αποθηκευτικοί χώροι μπορούν να πάρουν και μη ακέραιες τιμές χωρητικότητας ακόμη και αν το σύστημα είναι διακριτό (Gershwin and Schor 2000). Για αυτό το λόγο χρησιμοποιούνται μέθοδοι εκτίμησης της απόδοσης που δέχονται και μη ακέραιες τιμές. Όταν ο αλγόριθμος καταλήξει σε μια λύση αυτή στρογγυλοποιείται με μια διαδικασία που περιγράφεται από τους ερευνητές ώστε η τελική λύση να έχει φυσική σημασία. Στην παρούσα εργασία αναπτύξαμε μια μέθοδο που αποτελεί παραλλαγή του Gradient για τη βελτιστοποίηση γραμμών παραγωγής με σταθμούς εργασίας που μπορεί να έχουν πολλές παράλληλες μηχανές. Επίσης η μέθοδος τροποποιήθηκε έτσι ώστε να μπορεί να λειτουργήσει με μια εκτιμητική συνάρτηση που απαιτεί να είναι όλες οι χωρητικότητες ακέραιες. Ο αλγόριθμος θα παρουσιαστεί αναλυτικά στο επόμενο κεφάλαιο Η μέθοδος Simulated Annealing Η Simulated Annealing (προσομοιωμένη ανόπτηση) είναι μια μέθοδος κατάλληλη για συνδυαστικά προβλήματα ελαχιστοποίησης. Η μέθοδος ξεκινάει με μια αρχική τυχαία λύση και τη βελτιώνει επιλέγοντας τυχαία νέες λύσεις και υπολογίζοντας το αντίστοιχο διαφορικό κόστους. Αν το κόστος μειώνεται τότε η νέα 39

40 λύση επιλέγεται και η διαδικασία συνεχίζεται ώσπου να ικανοποιηθεί κάποιο κριτήριο τερματισμού. Το πρόβλημα όμως είναι ότι μια τέτοια μεθοδολογία μπορεί να παγιδευτεί σε τοπικά μέγιστα, τα οποία δίνουν λύσεις αρκετά μακριά από την ολική βέλτιστη. Αυτό αντιμετωπίζεται στη Simulated Annealing με ανηφορικά (uphill) βήματα. Έτσι δεν επιλέγονται μόνο οι λύσεις όπου το κόστος μειώνεται, αλλά και κάποιες από αυτές όπου αυτό αυξάνεται, είναι δηλαδή χειρότερες από την αρχική. Η μέθοδος περιγράφηκε ανεξάρτητα από τους Kirkpatrick, Gelatt and Vecchi (1983) και από τον Černý (1985). Το όνομα simulated annealing είναι επηρεασμένο από τη διαδικασία της ανόπτησης στη μεταλλουργία, που περιλαμβάνει τη θέρμανση και ελεγχόμενη ψύξη ενός υλικού ώστε να αυξηθεί το μέγεθος των κρυστάλλων του και να μειωθούν τα ελαττώματά του. Σε αντιστοιχία με τη φυσική αυτή διαδικασία, σε κάθε αλγόριθμο που βασίζεται στο simulated annealing ορίζεται μια καθολική μεταβλητή Τ που ονομάζεται θερμοκρασία και η οποία μειώνεται σταδιακά κατά τη διάρκεια της διαδικασίας. Αρχικά παράγεται τυχαία ένας αριθμός λύσεων που προέρχεται από την αρχική και υπολογίζεται η απόδοσή τους. Έπειτα επιλέγονται όλες οι λύσεις που δίνουν καλύτερη απόδοση από την αρχική, αλλά και κάποιες από αυτές που δίνουν χειρότερη. Το πόσες από αυτές τις λύσεις θα γίνουν δεκτές είναι τυχαίο και εξαρτάται από την τυχαία κατανομή του Boltzmann και τη θερμοκρασία Τ. Η υλοποίηση γίνεται έτσι ώστε όσο η θερμοκρασία μικραίνει τόσο λιγότερες από τις χειρότερες λύσεις θα γίνουν δεκτές. Όταν το Τ μηδενιστεί δε θα γίνεται δεκτή καμία τέτοια λύση. Με βάση τις αποδεκτές λύσεις, ο αλγόριθμος συνεχίζει μειώνοντας σταδιακά το Τ μέχρι να ικανοποιηθούν κάποιες συνθήκες τερματισμού (Papadopoulos, Smith and Spinellis 2000). Στον πίνακα 3.1 που ακολουθεί φαίνεται η αντιστοιχία μεταξύ της ανόπτησης στο φυσικό κόσμο και της ανόπτησης όπως χρησιμοποιείται στη βελτιστοποίηση γραμμών παραγωγής 40

41 Πίνακας 3.1: αντιστοιχία ανόπτησης στο φυσικό κόσμο και στη βελτιστοποίηση γραμμών παραγωγής (πηγή: Spinellis D., Papadopoulos, C., Smith M.J., 2000) Διάταξη ατόμων Φυσικός κόσμος Τυχαίες μετακινήσεις ατόμων Ενέργεια E Διαφορά ενέργειας ΔE Κατανομή πιθανότητας καταστάσεων ενέργειας Θερμοκρασία Βελτιστοποίηση γραμμών παραγωγής Διάταξη γραμμής Αποθηκευτικός χώρος, Εξυπηρετητής, ρυθμός εξυπηρέτησης, Μετακινήσεις Απόδοση R Διαφορά διάταξης απόδοσης ΔR Αλλαγές σύμφωνα με το κριτήριο Metropolis, exp([(-δe)/ T]) > rand (0 1), υλοποιώντας την κατανομή πιθανοτήτων Boltzmann Μεταβλητή καθορισμού αποδοχής τερματισμού διάταξης Στο κεφάλαιο 5 της εργασίας θα συγκρίνουμε τα αποτελέσματα που προκύπτουν από την προτεινόμενη υλοποίηση τόσο με αυτά που προκύπτουν από τη simulated annealing, όσο και με αυτά ενός γενετικού αλγόριθμου όπως αυτούς που θα παρουσιάσουμε στην επόμενη παράγραφο Γενετικοί αλγόριθμοι (Genetic Algorithms) Οι Γενετικοί αλγόριθμοι βασίζονται στη μοντελοποίηση του προβλήματος ως έναν πληθυσμό οργανισμών. Κάθε πιθανή εφικτή λύση του προβλήματος αποτελεί έναν οργανισμό. Κάθε οργανισμός αποτελείται από αλληλουχίες οι οποίες αναπαριστούν μέρη της δοθείσας λύσης. Μέσω των γενετικών μηχανισμών δημιουργούνται νέοι οργανισμοί με βάση το συνδυασμό των αλληλουχιών των ήδη υπαρχόντων. Επιπροσθέτως, τυχαίες μεταλλάξεις μπορεί να αλλάξουν τους υπάρχοντες συνδυασμούς αλληλουχιών. Ο αλγόριθμος αξιολογεί όλους τους υπάρχοντες οργανισμούς ενός πληθυσμού και δημιουργεί νέους, συνδυάζοντας τους παλιούς ανάλογα με την καταλληλότητά τους. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι η διακύμανση του πληθυσμού να φτάσει μια προκαθορισμένη ελάχιστη τιμή. Για το πρόβλημα της κατανομής των αποθηκευτικών χώρων σε μια γραμμή παραγωγής, πρέπει να οριστούν τα μέλη του πληθυσμού έτσι ώστε να προκύπτουν εφικτές λύσεις. Αν έχουμε Κ μηχανές, N χώρο να κατανέμουμε και συμβολίζουμε την κάθε λύση ως [N, N,, N ] όπως κάναμε ως τώρα θα έχουμε πρόβλημα. 41

42 Πράγματι αν συνδυάσουμε δύο λύσεις και δεν υπάρχει κάποιος τρόπος να εξασφαλίσουμε ότι η νέα λύση θα έχει συνολικό αποθηκευτικό χώρο N. Ένας άλλος τρόπος συμβολισμού που έχει προταθεί (Papadopoulos and Spinellis, 2000) είναι να συμβολίζεται η κάθε λύση ως ένα διάνυσμα R= [R, R,, R ]. Η λύση δηλαδή εδώ αποτελείται από τόσα στοιχεία όσος είναι ο συνολικός αποθηκευτικός χώρος που έχουμε στη διάθεσή μας. Κάθε στοιχείο R μπορεί να παίρνει τιμές από 1 έως Κ-1 και η τιμή αυτή αποτελεί δείκτη για το σε ποιον αποθηκευτικό χώρο βρίσκεται η συγκεκριμένη αποθηκευτική μονάδα. Η παράσταση αυτή μπορεί να μετασχηματιστεί εύκολα στη [N, N,, N ]. Πράγματι, το N για παράδειγμα θα είναι ίσο με το πλήθος των στοιχείων R που έχουν τιμή 1. Όμως με το νέο συμβολισμό μπορούμε να εφαρμόσουμε τις αρχές των γενετικών μεθόδων, χωρίς να δημιουργούμε ανέφικτες λύσεις. Ο αλγόριθμος εκκινεί με έναν αρχικό τυχαίο πληθυσμό και μέσα από ενώσεις οργανισμών και μεταλλάξεις δημιουργούνται νέες λύσεις. Η διαδικασία συνεχίζεται μέχρι να ικανοποιηθεί κάποια συνθήκη τερματισμού, οπότε καταλήγει δίνοντας τη βέλτιστη λύση που έχει βρεθεί. Η συνθήκη τερματισμού μπορεί να είναι είτε κάποιο χρονικό όριο ή η επίτευξη ενός βαθμού καταλληλότητας του πληθυσμού που δημιουργήθηκε. Σε μια γενική μορφή, ο ψευδοκώδικας του γενετικού αλγορίθμου έχει ως εξής: 1. Ορισμός του αρχικού πληθυσμού. 2. Αξιολόγηση της καταλληλότητας κάθε οργανισμού στον πληθυσμό. 3. Επανάληψη τον παρακάτω βημάτων μέχρι τον τερματισμό: (χρονικό όριο ή επίτευξη ικανοποιητικής καταλληλότητας). i. Επιλογή των καταλληλότερων οργανισμών για αναπαραγωγή. ii. Δημιουργία νέων γενεών μέσω διασταύρωσης ή/και μετάλλαξης (γενετικές διαδικασίες) και λήψη των απογόνων. iii. Αξιολόγηση των μεμονωμένων καταλληλοτήτων των απόγονων. iv. Αντικατάσταση του χειρότερου ταξινομημένου μέρους του πληθυσμού με τους απογόνους. Πειράματα έχουν δείξει (Papadopoulos and Spinellis, 2000) ότι η γενετική διαδικασία είναι πιο γρήγορη σε μεγάλες γραμμές παραγωγής σε σχέση με τον simulated annealing. Όμως ο simulated annealing δίνει γενικά πιο ακριβή 42

43 αποτελέσματα, δηλαδή λύσεις πιο κοντά στη βέλτιστη. Η παρατήρηση αυτή επιβεβαιώνεται όπως θα δούμε παρακάτω και από τις μετρήσεις που έγιναν για τις ανάγκες της παρούσας εργασίας Η μέθοδος LIBA Η μέθοδος LIBA προτάθηκε από τον Selvi (2002) και είναι μια ευρεστική διαδικασία για την επίλυση του BAP. Η μέθοδος βασίζεται στο χωρισμό της γραμμής παραγωγής σε δύο υπογραμμές γύρω από κάθε αποθηκευτικό χώρο. Ο στόχος είναι να ελαχιστοποιηθεί η διαφορά της απόδοσης μεταξύ των δύο υπογραμμών. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι η συνολική απόδοση του συστήματος δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από τη μικρότερη από τις αποδόσεις των δύο υπογραμμών. Προς τον σκοπό αυτό μεταφέρονται διαδοχικά αποθηκευτικοί χώροι από την γρηγορότερη υπογραμμή στην πιο αργή. Ο αλγόριθμος ξεκινά με τον χωρισμό της γραμμής παραγωγής στον κεντρικό αποθηκευτικό χώρο. Έπειτα αναγνωρίζονται υποψήφιοι δότες και δέκτες αποθηκευτικών χώρων. Ο δότης θα προέρχεται όπως είπαμε από την πιο αποδοτική υπογραμμή. Για να αναγνωριστεί ο δότης, η υπογραμμή χωρίζεται εκ νέου στο μέσο της και η διαδικασία συνεχίζεται ώσπου να καταλήξουμε σε δύο υπογραμμές με έναν μόνο αποθηκευτικό χώρο. Ο αποθηκευτικός χώρος της πιο γρήγορης από τις δύο υπογραμμές επιλέγεται ως δότης. Ο δέκτης επιλέγεται και αυτός με ανάλογο τρόπο. Έπειτα, μεταφέρονται διαδοχικά μονάδες αποθηκευτικού χώρου από τον δότη στο δέκτη μέχρι να διαπιστώσουμε ότι η συνολική απόδοση δεν βελτιώνεται. Ο Selvi (2002) πρότεινε και έναν τρόπο για να ορίζεται η αρχική λύση. Αν έχουμε μια γραμμή με K μηχανές οι οποίες έχουν ρυθμό επεξεργασίας (i=1,2,,k) τότε είναι λογικό ότι στις μηχανές με πιο αργό ρυθμό συμφέρει να τοποθετήσουμε περισσότερους αποθηκευτικούς χώρους. Αρχικά ορίζεται μια κρίσιμη συνάρτηση με βάση τον παρακάτω τύπο: (i=1,2,,k-1) Έπειτα, υπολογίζεται η σχετική κρίσιμη συνάρτηση με βάση τον τύπο: 43

44 (i=1,2,,k-1) Αν έχουμε μονάδες χώρου συνολικά και η χωρητικότητα κάθε αποθηκευτικού χώρου συμβολίζεται με, τότε αρχικά κατανέμονται σε κάθε αποθηκευτικό χώρο i, μονάδες. Αν τα δεν είναι ακέραια κρατείται μόνο το ακέραιο μέρος τους. Οι αποθηκευτικοί χώροι που περισσεύουν προστίθενται διαδοχικά στα που είχαν το μεγαλύτερο δεκαδικό μέρος. Αν κάποια είχαν ίσα δεκαδικά μέρη τότε προτεραιότητα έχουν αυτά με το μεγαλύτερο ακέραιο μέρος. Αν ήταν ακριβώς ίσα, τότε προτεραιότητα έχουν αυτά που βρίσκονται κοντύτερα στο μέσο της γραμμής παραγωγής. Η παραπάνω μέθοδος για τον υπολογισμό της αρχικής λύσης χρησιμοποιήθηκε και στον αλγόριθμο της παρούσας εργασίας, τροποποιημένη όμως ώστε να περιλαμβάνει και τον αριθμό των παράλληλων μηχανών που έχουμε σε κάθε σταθμό εργασίας. Η επιλογή έγινε διότι όντως δίνει μια πολύ καλή αρχική λύση που βοηθάει στην απόδοση του αλγορίθμου, ενώ επιβαρύνει ελάχιστα υπολογιστικά το πρόγραμμα Ευρετική μέθοδος (Heuristic method) των Sabunsuoglu, Erel και Gocgun Οι Sabunsuoglu, Erel and Gocgun (2006) ανέπτυξαν μια ευρετική μέθοδο για την επίλυση του BAP, η οποία μοιάζει με τη LIBA στο γεγονός ότι και σε αυτήν χωρίζεται η γραμμή σε υπογραμμές. Η βασική ιδέα του αλγορίθμου είναι να αναγνωρίζονται οι περιοχές όπου υπάρχει δυσχέρεια στη γραμμή (bottlenecks), όπως και αυτές όπου οι αποθηκευτικοί χώροι υποχρησιμοποιούνται. Έπειτα, μεταφέρονται μονάδες αποθηκευτικού χώρου από τις δεύτερες στις πρώτες έτσι ώστε η απόδοση του συστήματος να βελτιωθεί. Τα bottlenecks ορίζονται με βάση τους επιμέρους ρυθμούς επεξεργασίας του κάθε σταθμού εργασίας. Αυτή η ιδέα χρησιμοποιήθηκε από τους Papadopoulos and Vidalis (2001) για τον καθορισμό της αρχικής κατανομής των ενδιάμεσων αποθηκευτικών χώρων. Αν έχουμε Ν μηχανές και συμβολίζουμε ως το ρυθμό επεξεργασίας της κάθε μίας (i=1,2,,ν) τότε βρίσκουμε το μέσο =. 44

45 Οι σταθμοί για τους οποίους ισχύει θεωρούνται σταθμοί δυσχέρειας και ορίζονται ως πιθανοί δότες. Από τους σταθμούς δυσχέρειας αρχικά επιλέγεται αυτός με το μικρότερο και σε αυτό το σημείο διαιρούμε τη γραμμή σε δύο υπογραμμές. Η πρώτη υπογραμμή αποτελείται από τον πρώτο σταθμό εργασίας μέχρι και τον σταθμό της δυσχέρειας (σχήμα 3.1 (α)), ενώ η δεύτερη αποτελείται από τον σταθμό της δυσχέρειας ως και τον τελευταίο σταθμό εργασίας (σχήμα 3.1 (β)). Σημειώστε ότι ο σταθμός δυσχέρειας συμπεριλαμβάνεται και στις δύο υπογραμμές. Η απόδοση αυτών των δύο υπογραμμών μπορεί να υπολογιστεί με προσομοίωση ή με τη χρήση κάποιας εκτιμητικής μεθόδου. Η θέση του ενδιάμεσου αποθηκευτικού χώρου της δυσχέρειας που βρίσκεται στην υπογραμμή με τη μικρότερη απόδοση χαρακτηρίζεται ως δέκτης. Δηλαδή αν για παράδειγμα είναι η απόδοση της υπογραμμής αριστερά του σταθμού δυσχέρειας και αυτής δεξιά του και ισχύει τότε ως δέκτης θα οριστεί ο αποθηκευτικός χώρος αμέσως μετά από το σταθμό δυσχέρειας (ο στο σχήμα). Σχήμα 3.1: Μια σχηματική απεικόνιση της διαδικασία διαίρεσης υπογραμμών (πηγή: Sabunsuoglu, Erel and Gocgun 2006) Για να καθοριστούν οι πιθανοί δωρητές υπολογίζεται για κάθε αποθηκευτικό χώρο ένα κρίσιμο μέτρο με βάση τον τύπο F(, )=1/(, ). Η θέση με τη 45

46 μικρότερη κρίσιμη τιμή χαρακτηρίζεται ως δωρητής (αφού πρώτα έχουμε αποκλείσει τις δύο θέσεις των ενδιάμεσων αποθηκευτικών χώρων της δυσχέρειας, καθώς η μία είναι ο δέκτης και η άλλη τίθεται ως ο τελευταίος δωρητής). Εάν οι κριτικές τιμές οποιωνδήποτε δύο θέσεων είναι ίσες, αυτή που βρίσκεται πιο μακριά από την τρέχουσα δυσχέρεια επιλέγεται ως πρώτος δωρητής. Αφού επιλεχθεί ο δωρητής και ο δέκτης μεταφέρουμε διαδοχικά θέσεις αποθηκευτικού χώρου από τον πρώτο στον δεύτερο. Αυτό γίνεται μέχρι να δούμε ότι η απόδοση του συστήματος δε βελτιώνεται με τη μεταφορά. Η διαδικασία συνεχίζεται με τους υπόλοιπους πιθανούς δωρητές και δέκτες ώσπου να εξαντληθούν όλοι. Παρακάτω βλέπουμε ένα διάγραμμα ροής της μεθόδου: Σχήμα 3.2: Διάγραμμα ροής του ευρετικού αλγορίθμου (πηγή: Sabunsuoglu, Erel and Gocgun 2006) Οι Sabunsuoglu, Erel και Gocgun (2006) εξετάσανε τη μέθοδο σε σειριακές γραμμές παραγωγής με αναξιόπιστους σταθμούς εργασίας (μηχανές). Ο συνάδελφος Θωμάς Πιτσιόρλας στα πλαίσια της διπλωματικής του εργασίας τροποποίησε τη μέθοδο ώστε να λειτουργεί για τη βελτιστοποίηση γραμμών παραγωγής με σταθμούς εργασίας που μπορεί να έχουν πολλές παράλληλες μηχανές. Στη μέθοδό του ο αριθμός των παράλληλων μηχανών σε κάθε σταθμό, λαμβάνεται υπ όψιν στον υπολογισμό τόσο του όσο και του κρίσιμου μέτρου F. 46

47 Στην παρούσα εργασία χρησιμοποιούμε τα αποτελέσματα της συγκεκριμένης μεθόδου, καθώς τα συγκρίνουμε με αυτά που δίνει η μέθοδος που προτείνουμε. Ακόμη, δημιουργήσαμε έναν υβριδικό αλγόριθμο που συνδυάζει την gradient με την ευρετική μέθοδο. Πιο συγκεκριμένα ο gradient τρέχει και δίνει μια λύση η οποία δίνεται ως αρχική στην ευρετική. Τα αποτελέσματα της συγκεκριμένης υβριδικής υλοποίησης είναι όπως θα δούμε πολύ καλά. Περισσότερες πληροφορίες για το πώς ακριβώς λειτουργεί ο αλγόριθμος, μπορούν να βρεθούν στη δημοσίευση των Sabunsuoglu, Erel και Gocgun (2006) Η μέθοδος Nested Partitions Η μέθοδος Nested Partitions (NP) προτάθηκε πρόσφατα από τους Shi and Olafsson (2000) για την επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης. Η μέθοδος διαμερίζει το σύνολο των πιθανών λύσεων σε επιμέρους περιοχές και παίρνει τυχαία κάποιον αριθμό δειγμάτων από κάθε μία. Μέσα από την αξιολόγηση των δειγμάτων αυτών επιλέγεται η καλύτερη περιοχή η οποία ονομάζεται υποσχόμενη περιοχή, καθώς μέσα σε αυτήν αναμένεται να βρίσκεται η βέλτιστη λύση. Η υποσχόμενη περιοχή διαμερίζεται περαιτέρω και η διαδικασία συνεχίζεται ως ότου να αναγνωριστεί η βέλτιστη λύση. Επειδή όπως είπαμε τα δείγματα συλλέγονται τυχαία, υπάρχει η πιθανότητα να χαρακτηριστεί μια περιοχή εσφαλμένα ως βέλτιστη. Για το λόγο αυτό υπάρχει πρόβλεψη στον αλγόριθμο να γίνονται βήματα προς τα πίσω (backtracking) ώστε να ελέγχονται εκ νέου ευρύτερες περιοχές. Για παράδειγμα έστω ότι έχουμε πέντε μηχανές με τέσσερις ενδιάμεσους αποθηκευτικούς χώρους και συνολικό αποθηκευτικό χώρο ίσο με 12. Αν κάθε λύση συμβολίζεται ως [θ,θ,θ,θ ] τότε μπορούμε αρχικά να ξεχωρίσουμε 13 διαφορετικές περιοχές με βάση τις τιμές που θα παίρνει το θ. Το πλήθος των λύσεων της κάθε περιοχής θα εξαρτάται προφανώς από αυτήν την τιμή. Για παράδειγμα η τελευταία περιοχή έχει μόνο μια πιθανή λύση την [12,0,0,0]. Αν ο αλγόριθμος επιλέξει ως υποσχόμενη περιοχή την [4, θ,θ,θ ] τότε αυτή μπορεί να διαμεριστεί εκ νέου με βάση την τιμή του θ και η διαδικασία να συνεχιστεί. Οι διαμερισμοί που γίνονται στο παράδειγμα παρουσιάζονται σχηματικά στο σχήμα

48 Σχήμα 3.3: Διαμερισμός των λύσεων σε μια γραμμή παραγωγής με 4 αποθηκευτικούς χώρους και 12 μονάδες αποθηκευτικού χώρου (πηγή: Shi and Men 2003) Η μέθοδος NP μπορεί να διαιρεθεί σε τέσσερα κύρια βήματα. Κάθε ένα από αυτά τα βήματα μπορεί να εφαρμοστεί στη γενική του μορφή, αλλά μπορεί επίσης να συνδυαστεί με ευρεστικές μεθόδους και να προσαρμοστεί για να εκμεταλλευθεί την ειδική δομή του προβλήματος βελτιστοποίησης (Shi, Men, 2003). Τα τέσσερα βήματα αναφέρονται περιληπτικά παρακάτω: 1. Τμηματοποίηση (Partitioning): τμηματοποιείται η τρέχουσα πιο "υποσχόμενη" περιοχή σε αρκετές υποπεριοχές και συναθροίζεται η περιβάλλουσα περιοχή σε μια. 2. Τυχαία Δειγματοληψία (Random Sampling): παίρνουμε δείγματα από όλες τις υποπεριοχές και από την περιβάλλουσα περιοχή. 3. Υπολογισμός Δείκτη Υπόσχεσης (Calculation of Promising Index): χρησιμοποιούμε τα δείγματα που πήραμε για να υπολογίσουμε το δείκτη υπόσχεσης κάθε υποπεριοχής και στη συνέχεια υπολογίζουμε την επόμενη πιο "υποσχόμενη" περιοχή. Ο δείκτης υπόσχεσης ουσιαστικά είναι η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης που δηλώνει την απόδοση του συστήματος. 4. Περαιτέρω Τμηματοποίηση ή Οπισθοδρόμηση (Further Partition or Backtracking): αν κάποια από τις υποπεριοχές της τρέχουσας περιοχής έχει τον καλύτερο δείκτη υπόσχεσης, αυτή η υποπεριοχή γίνεται η πιο "υποσχόμενη" περιοχή στην επόμενη επανάληψη. Αν η περιβάλλουσα περιοχή έχει τον καλύτερη δείκτη, ένα υποσύνολο της γίνεται η πιο "υποσχόμενη" περιοχή. 48

49 Στην παρούσα εργασία χρησιμοποιούμε αποτελέσματα μιας υλοποίησης του NP που δημιούργησε ο συνάδερφος Χρήστος Παπακρίβος στα πλαίσια της διπλωματικής του εργασίας. Επίσης συνδυάζουμε τη μέθοδο της NP με την gradient, χρησιμοποιώντας την πρώτη ώστε να δώσει μια καλή αρχική λύση για να την βελτιώσει περεταίρω η δεύτερη Υβριδικές μέθοδοι Παραπάνω είδαμε πολλές μεθοδολογίες που αναφέρονται στην επίλυση του δυϊκού BAP. Πολλές φορές οι ερευνητές χρησιμοποιούν περισσότερες από μία μεθοδολογίες σε συνδυασμό για την επίλυση του προβλήματος. Στις περισσότερες περιπτώσεις, χρησιμοποιείται μια μέθοδος ολικής αναζήτησης (global search method) μαζί με μία μέθοδο τοπικής αναζήτησης (local search method). Η πρώτη μέθοδος καταλήγει στην περιοχή όπου θα βρίσκεται η βέλτιστη λύση και η δεύτερη χρησιμοποιείται για να ψάξει σε αυτήν την περιοχή. Για παράδειγμα οι Shi and Men 2003 πρότειναν έναν υβριδικό αλγόριθμο που συνδυάζει τη Nested Partitions (NP) με την Tabu Search (TS). Η μέθοδός τους ονομάστηκε υβριδικός NP/TS αλγόριθμος. Όπως αναφέραμε στην προηγούμενη παράγραφο ο NP επιλέγει τυχαία κάποια δείγματα και τα αξιολογεί ώστε να αναγνωρίσει την περιοχή στην οποία είναι πιο πιθανό να βρίσκεται η βέλτιστη λύση. Έπειτα οι ερευνητές χρησιμοποιούν τον TS ώστε να ψάξει μέσα σε αυτήν την περιοχή και να βρει την ακριβή βέλτιστη λύση. Η επιλογή του TS δεν έγινε τυχαία, καθώς η φιλοσοφία του είναι η αναζήτηση στις γειτονικές λύσεις, αρχίζοντάς από την αρχική, που στην περίπτωσή μας είναι αυτή που θα δώσει ο NP. Επίσης ο TS μπορεί να παραμετροποιηθεί έτσι ώστε κατά τη διαδικασία της αναζήτησης να μην ξεφύγει από τα όρια της περιοχής που οριοθετήθηκε με τον NP. Όπως αναφέραμε και παραπάνω, υβριδικούς αλγόριθμους χρησιμοποιήσαμε και στα πλαίσια της παρούσας εργασίας, καθώς συνδυάσαμε τον gradient με δύο άλλες μεθόδους. 49

50 4. ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΓΡΑΜΜΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Στο παρόν κεφάλαιο θα παρουσιάσουμε την προτεινόμενη μεθοδολογία που υλοποιήθηκε για τις ανάγκες της εργασίας. Η μέθοδος βασίζεται στον αλγόριθμο gradient όπως αυτός προτάθηκε από τους Gershwin and Schor (2000). Η δική μας υλοποίηση αποτελεί τροποποίηση ώστε να λειτουργεί σε διακριτές και αξιόπιστες γραμμές παραγωγής όπου κάθε σταθμός εργασίας μπορεί να αποτελείται από πολλές παράλληλες μηχανές. Επίσης τροποποιήσαμε τη διαδικασία ώστε να μπορεί να λειτουργεί με μια μέθοδο αξιολόγησης που δεν δέχεται μη ακέραιες τιμές χωρητικότητας αποθηκευτικών χώρων. Μια γενική περιγραφή του gradient έγινε στην παράγραφο Παρακάτω θα περιγράψουμε σε βάθος τα βήματα που ακολουθούνται στη διαδικασία. Θα ξεκινήσουμε με μία σύντομη βιβλιογραφική επισκόπηση, εστιάζοντας στις σημαντικότερες έρευνες που χρησιμοποίησαν gradient διαδικασίες για τη βελτιστοποίηση γραμμών παραγωγής. Έπειτα, παρουσιάζονται τα μαθηματικά σύμβολα που χρησιμοποιούνται και στην παράγραφο 4.3 περιγράφονται διεξοδικά τα βήματα του αλγόριθμου. Στην επόμενη παράγραφο σχολιάζονται μερικά βασικά θέματα υλοποίησης, όπως ο ορισμός της αρχικής λύσης και η εκτιμητική συνάρτηση που χρησιμοποιείται στα πλαίσια της διαδικασίας. Τέλος, στην παράγραφο 4.5. εξηγείται πως ο αλγόριθμος χρησιμοποιήθηκε τόσο για σειριακές γραμμές παραγωγής, όσο και για γραμμές παραγωγής με σταθμούς εργασίας που αποτελούνται από πολλές παράλληλες μηχανές 4.1. Βιβλιογραφική επισκόπηση Οι Ho et al (1979) μελέτησαν την επίδραση που έχει η πρόσθεση ενός επιπλέον αποθηκευτικού χώρου σε ένα συγκεκριμένο σημείο της γραμμής παραγωγής. Η μέθοδός τους βασίζεται στην προσομοίωση και προβλέπει την αύξηση του ρυθμού παραγωγής της γραμμής όταν η χωρητικότητα ενός συγκεκριμένου αποθηκευτικού χώρου αυξηθεί κατά μία μονάδα. Η προσέγγιση αυτή είναι από της πρώτες που χρησιμοποιούν μια gradient διαδικασία για την επίλυση του BAP σε γραμμές παραγωγής. Παρόλο που η προτεινόμενη μεθοδολογία είναι εύχρηστη, 50

51 απαιτεί χρονοβόρες προσομοιώσεις για την εύρεση της βέλτιστης κατανομής των αποθηκευτικών χώρων σε ολόκληρη τη γραμμή παραγωγής. Οι Altiok και Stidham (1983) πρότειναν έναν αλγόριθμο για την εύρεση της βέλτιστης κατανομής των αποθηκευτικών χώρων, έτσι ώστε το μέσο κέρδος μακροπρόθεσμα να μεγιστοποιείται. Η μέθοδος που υιοθέτησαν είναι μια αναζήτηση σε κυκλικές συντεταγμένες, στην οποία δε χρησιμοποίησαν πλήρως την έννοια της gradient για την εύρεση μιας βελτιωμένης κατεύθυνσης. Με τη χρήση της gradient διαδικασίας η μέθοδός τους μπορεί να γίνει πολύ πιο αποτελεσματική. Οι Seong, Chang και Hong (1994a) χρησιμοποίησαν μια μέθοδο gradient για να επιλύσουν το πρόβλημα της μεγιστοποίησης του ρυθμού παραγωγής για μια γραμμή μεταφοράς στην οποία οι χρόνοι βλαβών, επιδιόρθωσης και επεξεργασίας ακολουθούν εκθετική κατανομή. Οι ίδιοι ερευνητές ασχολήθηκαν και με το πρόβλημα της μεγιστοποίησης του κέρδους για συγκεκριμένο συνολικό αποθηκευτικό χώρο σε μια γραμμή παραγωγής συνεχούς ροής. Οι Dogan and Altiok (1995) προτείνουν μια μέθοδο για τη βέλτιστη κατανομή των ρυθμών επιδιόρθωσης (repair rates allocation). Ο αλγόριθμός τους απαιτεί τον υπολογισμό ενός διανύσματος gradient της απόδοσης του συστήματος σε σχέση με τους ρυθμούς επιδιόρθωσης. Η μέθοδος μοντελοποιείται ως μια διαδικασία εύρεσης της βέλτιστης κατανομής των ρυθμών επιδιόρθωσης, με περιορισμό το άθροισμα των επιμέρους ρυθμών που είναι συγκεκριμένο. Οι Gershwin and Goldis (1995) χρησιμοποίησαν μία gradient μεθοδολογία για την επίλυση του προβλήματος της ελαχιστοποίησης του συνολικού αποθηκευτικού χώρου (Primal BAP). Μοντελοποίησαν το πρόβλημα ως μια διαδικασία ακέραιου γραμμικού προγραμματισμού και πρότειναν τρείς αλγόριθμους για την επίλυσή του. Η μέθοδος τους εγγυάται την εύρεση της βέλτιστης λύσης ή μίας κοντά σε αυτήν. Οι Gershwin and Schor (2000) ασχολήθηκαν τόσο με το dual όσο και με το primal BAP. Χρησιμοποιούν μια gradient διαδικασία για την επίλυση του dual προβλήματος και έπειτα η λύση του dual αξιοποιείται για την επίλυση του primal. Τα αποτελέσματά τους δείχνουν ότι ο αλγόριθμός τους συγκλίνει ταχύτερα από αυτόν των Gershwin and Goldis (1995). Επίσης, στο άρθρο τους δίνονται δεδομένα που δείχνουν ότι η απόδοση μιας γραμμής παραγωγής σε σχέση με την κατανομή των αποθηκευτικών χώρων είναι κοίλη συνάρτηση, γεγονός που καθιστά της χρήση της μεθόδου gradient εφικτή. 51

52 4.2. Μαθηματικοί συμβολισμοί Θεωρούμε μια γραμμή παραγωγής με Κ σταθμούς εργασίας και Κ-1 ενδιάμεσους αποθηκευτικούς χώρους στους οποίους μπορούμε να κατανέμουμε N μονάδες αποθηκευτικού χώρου. Η χωρητικότητα που δίνεται στον αποθηκευτικό χώρο Β σε κάθε λύση συμβολίζεται ως N. Έτσι μια πιθανή λύση συμβολίζεται ως ένα διάνυσμα Ν = [N, N,, N ]. Η απόδοση που προκύπτει από κάθε πιθανή λύση συμβολίζεται ως P(N, N,, N ) ή P(N) και μπορεί να υπολογιστεί από την εκτιμητική συνάρτηση. Όπως θα δούμε παρακάτω σε πολλά βήματα της διαδικασίας προκύπτουν μη ακέραιες λύσεις, δηλαδή λύσεις όπου οι χωρητικότητες των αποθηκευτικών χώρων είναι μη ακέραιοι αριθμοί. Τις λύσεις αυτές τις στρογγυλοποιούμε με μια συγκεκριμένη διαδικασία ώστε να μπορούν να αξιολογηθούν από την εκτιμητική συνάρτηση. Αν N είναι μια μη ακέραια λύση, τότε η λύση που προκύπτει από την στρογγυλοποίηση της N συμβολίζεται ως RND[Ν]. Η απόδοση της στρογγυλοποιημένης κατανομής συμβολίζεται ως P(RND[Ν]). Η μέθοδος στρογγυλοποίησης αναλύεται στην παράγραφο Τέλος να αναφέρουμε ότι ο ρυθμός επεξεργασίας των μηχανών κάθε σταθμού εργασίας i συμβολίζεται ως (θεωρούμε ότι όλες οι παράλληλες μηχανές ενός σταθμού εργασίας έχουν ίδιους ρυθμούς επεξεργασίας). Ο αριθμός των παράλληλων μηχανών σε κάθε σταθμό εργασίας i συμβολίζεται ως. Οι παράμετροι και είναι σταθεροί για μια δεδομένη γραμμή και δεν απασχολούν τόσο τη διαδικασία του gradient, αλλά χρειάζονται ως παράμετροι εισόδου για την εκτιμητική συνάρτηση Τα βήματα του αλγόριθμου βελτιστοποίησης Στην παράγραφο αυτή θα παρουσιάσουμε τα βήματα του αλγορίθμου που υλοποιήθηκε. Κάθε βήμα θα αναλυθεί όσο το δυνατό πιο διεξοδικά, ώστε να γίνει κατανοητό στον αναγνώστη. Επίσης, παρατίθενται και ένα διάγραμμα ροής καθώς και ψευδοκώδικας, ώστε να φανεί πως τα ξεχωριστά βήματα συνδέονται μεταξύ τους. 52

53 Υπολογισμός του Gradient G Αν η παρούσα λύση είναι [N, N,, N ] σκοπός μας είναι να βρούμε την κατεύθυνση στην οποία η απόδοσή της αυξάνεται περισσότερο. Αυτό το πετυχαίνουμε εφαρμόζοντας μία μέθοδο παραγώγισης της αρχικής λύσης. Έτσι υπολογίζουμε το διάνυσμα το διάνυσμα g= [g, g,, g ], όπου: g = (N, N,, N ). Το g ορίζει την κατεύθυνση όπου το P αυξάνει περισσότερο. Αναλυτικά κάθε στοιχείο του g υπολογίζεται από τον τύπο: g P N,,N ΔΝ,,N P N,,N,,N ΔΝ Το ΔΝ είναι μια τιμή όπου προσθέτουμε στη χωρητικότητα κάθε αποθηκευτικού χώρου. Στην περίπτωσή μας παίρνουμε ΔΝ=1 ώστε να δώσουμε στην εκτιμητική ακέραιες χωρητικότητες αποθηκευτικών χώρων. Οπότε ο τύπος (4.1) γίνεται: g P N,,N 1,,N P N,,N,,N Υπολογισμός του περιορισμένου Gradient p Πλέον έχουμε υπολογίσει την κατεύθυνση προς την οποία η απόδοση του συστήματος αυξάνεται περισσότερο. Το πρόβλημα είναι ότι αν ψάξουμε σε αυτή την κατεύθυνση θα δημιουργηθούν λύσεις που είναι μη εφικτές, δηλαδή λύσεις που έχουν N μεγαλύτερο από το δεδομένο. Πράγματι, αν παρατηρήσουμε τον τύπο (4.1) όλα τα g προκύπτουν μεγαλύτερα από το 0. Οπότε αν κινηθούμε στην κατεύθυνση αυτή κάθε αποθηκευτικός χώρος της τρέχουσας λύσης θα αυξηθεί. Έτσι όλα τα σημεία στην κατεύθυνση που υπολογίστηκε είναι ανέφικτα. Το πρόβλημα αντιμετωπίζεται με τον υπολογισμό του διανύσματος p το οποίο είναι αυτό που βρίσκεται πιο κοντά στο g, αλλά μπορούμε να κινηθούμε σε αυτό χωρίς να δημιουργήσουμε ανέφικτες λύσεις. Κατασκευάζουμε το p παίρνοντας την προβολή του g στο υπερεπίπεδο όπου ισχύει = 0. Αυτό είναι σαν να προβάλλουμε το g στην περιοχή των εφικτών λύσεων. Για να υπολογίσουμε το p αρχικά υπολογίσουμε το μέσο gm ως: 53

54 K gm 1 K 1 g Έπειτα τα στοιχεία του p υπολογίζονται με βάση τον τύπο: p g gm 4.2 Με αυτόν τον τρόπο εξασφαλίζεται ότι = 0 και η κατεύθυνση p θα μας δώσει εφικτές λύσεις. Αν σε κάποιο σημείο j της τρέχουσας λύσης έχουμε N = 0 και από τον υπολογισμό προκύψει p 0 τότε θα έχουμε πρόβλημα καθώς είναι αδύνατο να κινηθούμε προς αυτή την κατεύθυνση αφού η τιμή του N θα είναι αρνητική. Σε αυτή την περίπτωση είμαστε αναγκασμένοι να υπολογίσουμε μια νέα κατεύθυνση. Αυτό που κάνουμε είναι να μηδενίσουμε το p και να επαναϋπολογίσουμε τα υπόλοιπα στοιχεία του p χωρίς να λάβουμε υπ όψιν το. Δηλαδή υπολογίζουμε το gm ως τον μέσο όρο όλων των υπολοίπων στοιχείων του g και έπειτα υπολογίζουμε τα καινούρια βάζοντας στον 4.2 το νέο gm. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται μέχρι να βρεθεί κάποια εφικτή κατεύθυνση Γραμμική αναζήτηση Αφού πλέον έχει οριστεί η κατεύθυνση στην οποία θα ψάξουμε είμαστε έτοιμοι να εκτελέσουμε τη γραμμική αναζήτηση σε αυτήν. Ο τρόπος με τον οποίο κινούμαστε στη γραμμή είναι το να δημιουργούμε λύσεις του τύπου = +αp. Όπως είπαμε το άθροισμα των είναι μηδέν, γεγονός που εξασφαλίζει ότι κάθε λύση θα έχει συνολική χωρητικότητα ίση με την αρχική. Όμως επειδή υπάρχουν και αρνητικά όταν το α μεγαλώσει θα έχουμε την περίπτωση όπου η δημιουργούμενη λύση θα έχει αποθηκευτικούς χώρους με αρνητική χωρητικότητα. Οπότε πρέπει να βρεθεί το μέγιστο α ( ) όπου δε θα συμβαίνει κάτι τέτοιο. Για να βρεθεί το ακολουθείται η παρακάτω διαδικασία: σημαία=0, =-δα όσο σημαία=0 κάνε: 54

55 = +δα για (i=1 ως K) αν ( <0) σημαία=1 = -δα Όπου το δα είναι μια μικρή τιμή. Στις μετρήσεις μας παίρνουμε καλές τιμές για το με δα=0,1. Άρα η γραμμή στην οποία μπορούμε να κινηθούμε και να ψάξουμε έχει ως όρια τα σημεία και = + p. To επόμενο θέμα είναι ο καθορισμός του βήματος β με το οποίο θα ψάξουμε στη γραμμή. Το β ορίζεται με βάση τον τύπο: β= ελάχιστο( ) (4.3) Δηλαδή το β προκύπτει από τη διαίρεση του s με την απόλυτη τιμή του μεγαλύτερου (σε απόλυτη τιμή) από τα στοιχεία του p. Το s είναι μια παράμετρος που ορίζεται από τον χρήστη. Όσο πιο μικρό είναι το s τόσο μεγαλύτερη ακρίβεια θα έχει ο αλγόριθμος. Όμως πολύ μικρά s, εκτός του ότι θα οδηγήσουν σε καθυστέρηση, μπορεί και να δημιουργήσουν σε ανικανότητα διάκρισης δύο διαδοχικών σημείων. Ο Schor (1995) προτείνει ότι το s θα πρέπει να παίρνει τιμές από 0,25 ως 1. Στην παρούσα υλοποίηση δοκιμάσαμε και μικρότερες τιμές του s κάνοντας τις απαραίτητες μετατροπές στον κώδικα ώστε να αποφευχθεί το ενδεχόμενο να κολλήσει. Η καλύτερη τιμή που βρέθηκε από τα πειράματα είναι για s=0,0475. Η γραμμική αναζήτηση γίνεται με την αξιολόγηση των σημείων = +2 p, l=1,2,, ώσπου μία από τις δύο παρακάτω συνθήκες να ικανοποιηθούν: Συνθήκη 1: P( = +2 p) > P( = +2 p) και >2 Συνθήκη 2: >2 Έστω ότι συμβολίσουμε την παράσταση +2 p ως. Αν συμβεί η συνθήκη 1, τότε αυτό σημαίνει ότι το παρόν σημείο είναι χειρότερο σε απόδοση από το προηγούμενο οπότε η λύση πρέπει να βρίσκεται κάπου μεταξύ του τρέχοντος σημείου και του προ-προηγούμενου, δηλαδή μεταξύ και. Ο λόγος που γίνεται αυτή η 55

56 διαπίστωση είναι ότι η απόδοση μιας γραμμής παραγωγής είναι μια κοίλη συνάρτηση (concave), πράγμα που εξασφαλίζει ότι η βέλτιστη λύση στην υπό εξέταση κατεύθυνση θα βρίσκεται στα παραπάνω όρια. Περισσότερες λεπτομέρειες και δεδομένα που δείχνουν ότι η απόδοση είναι κοίλη συνάρτηση μπορούν να βρεθούν στους Gershwin and Schor (2000). Αν συμβεί η συνθήκη 2 τότε σημαίνει ότι η λύση βρίσκεται στο τέλος της γραμμής, μεταξύ των και + p. Το πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε στην παραπάνω διαδικασία είναι ότι τα σημεία που πρέπει να αξιολογήσουμε δεν αποτελούν λύσεις διακριτού συστήματος. Πράγματι, μια λύση της μορφής = +2 p δεν είναι δυνατό να εξασφαλιστεί ότι θα έχει ακέραιες τιμές. Οι Gershwin και Schor (2000) προτείνουν τη χρήση ενός εκτιμητικού αλγόριθμου ο οποίος να μπορεί να χειριστεί τις μη ακέραιες τιμές. Έτσι άρουν τον περιορισμό ακεραιότητας στα ενδιάμεσα βήματα και όταν προκύψει η τελική λύση την στρογγυλοποιούν με μια συγκεκριμένη διαδικασία, ώστε να έχει φυσική σημασία για διακριτά συστήματα. Στην παρούσα υλοποίηση, θέλαμε να μπορεί ο αλγόριθμος να συνεργαστεί με μια εκτιμητική μέθοδο που δέχεται μόνο ακέραιες λύσεις. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιούμε τη μέθοδο στρογγυλοποίησης των Gershwin και Schor σε κάθε βήμα της διαδικασίας πριν καλέσουμε την εκτιμητική συνάρτηση. Κάτι τέτοιο ενδέχεται να αυξήσει το σφάλμα, όμως τα αποτελέσματα που παίρνουμε είναι αρκετά καλά. Οπότε αυτό που υπολογίζουμε σαν απόδοση σε κάθε σημείο είναι το P(RND[ +2 p]), όπου RND[ +2 p] το διάνυσμα που προέκυψε μετά την στρογγυλοποίηση του +2 p Δυαδική αναζήτηση Είδαμε παραπάνω ότι με τη γραμμική αναζήτηση καθορίστηκαν τα όρια μιας μικρής περιοχής όπου βρίσκεται η λύση. Έπειτα διενεργείται δυαδική αναζήτηση ώστε να βρεθεί η ακριβής λύση. Το αριστερό άκρο της γραμμής που ορίστηκε στην προηγούμενη παράγραφο ορίζεται ως L και το δεξί ως R. Έπειτα υπολογίζεται το διάνυσμα M που αποτελεί το μέσο των υπολοίπων δύο με βάση τον τύπο: Μ L R 2 Τα τρία διανύσματα στρογγυλοποιούνται και υπολογίζεται η απόδοση της κάθε λύσης. H δυαδική αναζήτηση γίνεται με βάση την παρακάτω διαδικασία 56

57 όσο P(RND[L]) P(RND[R] κάνε: Αν P(RND[L])< P(RND[R]) τότε RND[L] RND[Μ]. Αλλιώς αν P(RND[L])> P(RND[R]) τότε RND[R] RND[Μ] Όπως βλέπουμε η διαδικασία καταλήγει ότι τα L και R εξισωθούν στην τελική λύση Συνθήκες τερματισμού Τα παραπάνω βήματα που περιγράφηκαν στα κεφάλαια ως εκτελούνται γραμμικά ώσπου να βρεθεί η τελική λύση από τη δυαδική αναζήτηση. Η λύση αυτή δίνεται ως αρχική λύση και η όλη διαδικασία συνεχίζεται με τον υπολογισμό νέου διανύσματος Gradient. Το κριτήριο με το οποίο τερματίζεται ο αλγόριθμος είναι όταν ένα βήμα δώσει χειρότερη η ίδια λύση σε σχέση με την τρέχουσα, δηλαδή όταν ισχύσει P( ) P( +βp). Ένα σύνηθες κριτήριο τερματισμού είναι όταν προκύψει ένα p που να έχει όλα τα στοιχεία του ίσα με μηδέν. Προφανώς ένα τέτοιο p θα δώσει ως επόμενη λύση την ίδια με την αρχική. Επειδή όμως στα βήματα της διαδικασίας που παρουσιάστηκε στρογγυλοποιούμε, υπάρχει η πιθανότητα να έχουμε ένα p 0, το οποίο όμως να δώσει ως επόμενη λύση την ίδια με την τρέχουσα. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιούμε δύο διαφορετικά κριτήρια τερματισμού: Κριτήριο 1: P( ) P( +βp) Κριτήριο 2: +βp Με τον παραπάνω τρόπο αποφεύγουμε και τον τερματισμό σε περίπτωση που θα παραχθεί μια νέα λύση, η οποία θα δώσει ακριβώς την ίδια απόδοση με την προηγούμενη. Όταν ικανοποιηθεί έστω ένα από τα παραπάνω κριτήρια η διαδικασία τερματίζεται Διάγραμμα ροής και ψευδοκώδικας Στο σχήμα 4.1 παρουσιάζεται το διάγραμμα ροής με βάση το οποίο λειτουργεί ο αλγόριθμος. Σε κάθε διαδικασία γράφουμε και την παράγραφο στην οποία έχει αναλυθεί. 57

58 Σχήμα 4.1: Διάγραμμα ροής του αλγόριθμου gradient (αρχική πηγή: Gershwin and Schor, 2000 το σχήμα τροποποιήθηκε) Παρακάτω δίνουμε και τα βήματα σε μορφή ψευδοκώδικα: 1. Αρχικοποίησε τις παραμέτρους και λάβε την αρχική λύση 2. Υπολόγισε το g για το χρησιμοποιώντας την εξίσωση

59 3. Υπολόγισε το p για το χρησιμοποιώντας την εξίσωση Υπολόγισε το α με βάση τη διαδικασία που παρουσιάστηκε στην παράγραφο 4.3 και το β με τον τύπο Ψάξε στην κατεύθυνση που ορίζει το p με βήμα β και αναγνώρισε το τμήμα όπου βρίσκεται η βέλτιστη λύση, όπως περιγράφεται στην παράγραφο Διεξήγαγε στο τμήμα που ορίστηκε δυαδική αναζήτηση όπως περιγράφεται στην παράγραφο 4.4 και βρες τη βέλτιστη λύση έ. 7. Έλεγξε τα δύο κριτήρια τερματισμού που ορίστηκαν στην παράγραφο 4.5. Αν ικανοποιείται έστω και ένα πήγαινε στο βήμα Θέσε = έ και πήγαινε στο βήμα Δώσε το έ ως βέλτιστη λύση του συστήματος και το P( έ ) ως τη βέλτιστη απόδοση. Τερμάτισε Μέθοδος στρογγυλοποίησης Όπως αναφέραμε, χρειαζόμαστε μία μέθοδο ώστε να στρογγυλοποιούμε τις χωρητικότητες των αποθηκευτικών χώρων, όταν αυτές προκύπτουν στα ενδιάμεσα βήματα μη ακέραιες. Η μέθοδος αυτή θα πρέπει να στρογγυλοποιεί την τρέχουσα λύση χωρίς να αλλάζει το N. Ο τρόπος με τον οποίο βρίσκονται οι ενδιάμεσες λύσεις, εξασφαλίζει ότι παρόλο που θα έχουν μη ακέραιες τιμές, το άθροισμά τους θα παραμένει N. Η διαδικασία που ακολουθείται είναι η εξής: Αρχικά βρίσκουμε τον αποθηκευτικό χώρο που έχει το μεγαλύτερο μη ακέραιο μέρος και το στρογγυλοποιούμε προς τα πάνω. Έπειτα ελέγχουμε αν το άθροισμα των αποθηκευτικών χώρων είναι μεγαλύτερο από το N. Σε αυτή την περίπτωση βρίσκουμε το N με το ελάχιστο ακέραιο μέρος και το στρογγυλοποιούμε προς τα κάτω. Αν το άθροισμα των αποθηκευτικών χώρων είναι μικρότερο από το N βρίσκουμε το N με το μέγιστο ακέραιο μέρος και το στρογγυλοποιούμε προς τα πάνω. Η διαδικασία συνεχίζεται μέχρι όλες οι χωρητικότητες να αποθηκευτούν. Αρχικά κατασκευάζουμε μία ένα προς ένα συνάρτηση R(i)=l όπου l=1,2,,k- 1. H συνάρτηση αυτή δίνει έναν βαθμό σε κάθε N ανάλογα με το δεκαδικό του μέρος. Για παράδειγμα αν το N έχει το μεγαλύτερο δεκαδικό μέρος, τότε R(5)=K-1. Αν το N έχει το ελάχιστο δεκαδικό μέρος τότε R(2)=1. Έπειτα ακολουθούνται τα 59

60 παρακάτω βήματα ώσπου να βρεθεί ο RND[Ν]={RND[N ], RND[N ],, RND[N ]} που αποτελεί την στρογγυλοποίηση της λύσης Ν. 1. RND[Ν]= Ν. 2. Βρες το i για το οποίο R(i)=K-1 και στρογγυλοποίησε το RND[N προς τα πάνω. Όρισε ως Α=Κ-2 και Β=1. 3. Όρισε ως ΑΠΟΣΤΑΣΗ= RND[N -N όπου RND[N = RND N N = N 4. Αν ΑΠΟΣΤΑΣΗ 0 βρες το i τέτοιο ώστε R(i)=Β και στρογγυλοποίησε το RND[N προς τα κάτω. Θέσε Β=Β+1 5. Αν ΑΠΟΣΤΑΣΗ 0 βρες το i τέτοιο ώστε R(i)=Α και στρογγυλοποίησε το RND[N προς τα πάνω. Θέσε Α=Α-1 6. Αν Β>Α τερμάτισε 7. Πήγαινε στο βήμα 2 και Περεταίρω επεξεργασία Οι Gershwin and Schor (2000), αναφέρουν και μια μέθοδο για την περεταίρω βελτίωση της λύσης στην οποία έχει καταλήξει ο αλγόριθμος. Η μέθοδος αυτή δεν είναι κομμάτι του Gradient και θεωρείται προαιρετικό βήμα ώστε να βελτιωθεί ακόμη περισσότερο η τελική λύση. Έστω ότι είναι η λύση στην οποία έχει καταλήξει ο αλγόριθμος. Αρχίζουμε με την εύρεση των αποθηκευτικών χώρων που έχουν το μεγαλύτερο και το μικρότερο gradient g. Από τον αποθηκευτικό χώρο του που έχει του μικρότερο g αφαιρούμε μια αποθηκευτική μονάδα και την προσθέτουμε σε αυτόν με το μεγαλύτερο g. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται μέχρι να δούμε ότι δεν έχουμε παραπάνω βελτίωση, δηλαδή όταν η μεταφορά της αποθηκευτικής μονάδας δεν αυξάνει την απόδοση του συστήματος. Κάτι που πρέπει να προσεχτεί, είναι ότι πρέπει να βρίσκουμε το μικρότερο g για το οποίο ισχύει Ν > 0. Αν έχουμε μηδέν αποθηκευτικές μονάδες στο συγκεκριμένο χώρο, δεν είναι δυνατόν να πάρουμε κάποια από αυτόν. Η διαδικασία αυτή όντως οδηγεί πολλές φορές σε καλύτερα αποτελέσματα χωρίς να επιβαρύνει ουσιαστικά τον υπολογιστικό χρόνο. Για το λόγο αυτό τη χρησιμοποιήσαμε σε πολλά από τα πειράματα που εκτελέσαμε και κυρίως σε αυτά όπου είχαμε μεγάλες γραμμές να βελτιστοποιήσουμε. 60

61 4.4. Θέματα υλοποίησης Ορισμός της αρχικής λύσης Η αρχική λύση είναι μια παράμετρος που μπορεί να δίνεται τυχαία ή να ορίζεται μέσα από κάποια διαδικασία. Αν έχουμε τυχαία αρχική λύση, αυτήν μπορεί είτε να τη δίνει ο χρήστης χειροκίνητα ή να δημιουργείται μέσα από μια στοχαστική διαδικασία (η οποία θα εξασφαλίζει ότι θα παράγονται εφικτές λύσεις). Όμως μια τέτοια διαδικασία μπορεί να δώσει μία ακραία αρχική λύση πολύ μακριά από την πραγματική βέλτιστη. Το να έχουμε μια καλή αρχική λύση είναι πολύ σημαντικό διότι σε αυτή την περίπτωση ο αλγόριθμος καταλήγει πιο γρήγορα και δίνει καλύτερο αποτέλεσμα. Μια άλλη προσέγγιση είναι να δίνουμε μια ομοιόμορφη λύση. Σε αυτή την περίπτωση μοιράζονται ίσες μονάδες αποθηκευτικού χώρου σε κάθε buffer. Αν ο αριθμός των αποθηκευτικών χώρων δεν διαιρεί ακριβώς το N τότε οι επιπλέον μονάδες μοιράζονται στους αποθηκευτικούς χώρους που είναι πιο κοντά στο κέντρο της γραμμής. Για παράδειγμα αν έχουμε 5 μηχανές και 4 αποθηκευτικούς χώρους με N =8 τότε η ομοιόμορφη αρχική λύση θα είναι =[2,2,2,2]. Αν στην ίδια γραμμή είχαμε N =10 τότε η ομοιόμορφη αρχική λύση θα ήταν =[2,3,3,2]. Αυτή η προσέγγιση δίνει πολύ καλή αρχική λύση στην περίπτωση που η γραμμή είναι εντελώς συμμετρική, δηλαδή αν όλοι οι σταθμοί εργασίας έχουν τα ίδια ακριβώς χαρακτηριστικά. Αν οι σταθμοί εργασίας της γραμμής δεν έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά, για παράδειγμα έχουν χρόνους επεξεργασίας που ποικίλουν, τότε η ομοιόμορφη λύση ενδέχεται να μην είναι αρκετά καλή. Μια ακόμη καλύτερη προσέγγιση είναι αυτή που πρότεινε ο Selvi (2002) και την παρουσιάσαμε στην παράγραφο Τη μέθοδο αυτή τη χρησιμοποιήσαμε και στη δική μας υλοποίηση τροποποιώντας την ώστε να δουλεύει και σε γραμμές με σταθμούς εργασίας που έχουν παράλληλες μηχανές. Η λογική είναι ότι στους σταθμούς εργασίας όπου έχουμε μεγαλύτερο ρυθμό επεξεργασίας r και περισσότερες παράλληλες μηχανές S, θα δοθούν λιγότερες αποθηκευτικές μονάδες. Αρχικά υπολογίζεται μια κρίσιμη συνάρτηση cr με βάση τον παρακάτω τύπο: (i=1,2,,k-1) 61

62 Έπειτα, υπολογίζεται η σχετική κρίσιμη συνάρτηση RC με βάση τον τύπο: (i=1,2,,k-1) Στην αρχική λύση δίνεται χωρητικότητα σε κάθε αποθηκευτικό χώρο με βάση τον τύπο. Αν τα δεν είναι ακέραια κρατείται μόνο το ακέραιο μέρος τους. Οι αποθηκευτικοί χώροι που περισσεύουν προστίθενται διαδοχικά στα που είχαν το μεγαλύτερο δεκαδικό μέρος. Αν κάποια είχαν ίσα δεκαδικά μέρη τότε προτεραιότητα έχουν αυτά με το μεγαλύτερο ακέραιο μέρος. Αν ήταν ακριβώς ίσα, τότε προτεραιότητα έχουν αυτά που βρίσκονται κοντύτερα στο μέσο της γραμμής παραγωγής. Για παράδειγμα έστω ότι έχουμε 5 σταθμούς εργασίας και Ν =14, ενώ οι ρυθμοί των μηχανών και ο αριθμός των παράλληλων μηχανών κάθε σταθμού δίνεται από τα διανύσματα r=[1,1,1,1,0.35] και S=[1,2,1,1,1] αντίστοιχα. Η κρίσιμη συνάρτηση θα δώσει το διάνυσμα cr=[ , , 0.5, ] και έπειτα θα προκύψει το RC=[ , , , ]. Αν πολλαπλασιάσουμε το RC με προκύπτει η αρχική μορφή της αρχικής λύσης Ν=[2.4466, , , ] και κρατώντας μόνο τα ακέραια μέρη έχουμε Ν=[2,2,3,5]. Βλέπουμε ότι το Ν έχει συνολικό χώρο ίσο με 12 οπότε έχουμε ακόμη δύο αποθηκευτικές μονάδες να συμπληρώσουμε. Πρώτα θα αυξήσουμε την τιμή του Ν κατά μία μονάδα καθώς αυτό είχε το μεγαλύτερο δεκαδικό μέρος. Οι πρώτοι δύο αποθηκευτικοί χώροι είχαν ακριβώς το ίδιο δεκαδικό μέρος. Όμως τον εναπομείναντα αποθηκευτικό χώρο θα τον πάρει ο Ν καθώς αυτός είναι πιο κοντά στο κέντρο. Έτσι η αρχική λύση θα προκύψει Ν=[2,3,4,5]. Τα πειράματά μας έδειξαν ότι η διαδικασία αυτή δίνει καλύτερη αρχική λύση από την ομοιόμορφη στην περίπτωση όπου οι σταθμοί εργασίας είναι διαφορετικοί μεταξύ τους. Αν όλοι οι σταθμοί είναι ταυτόσημοι, η διαδικασία θα δώσει την ομοιόμορφη λύση. Για αυτούς τους λόγους και επειδή οι υπολογισμοί επιβαρύνουν ελάχιστα τον υπολογιστικό χρόνο, χρησιμοποιήσαμε την παραπάνω διαδικασία σε μεγάλο βαθμό για τον καθορισμό της αρχικής λύσης Εκτιμητική συνάρτηση Σε πολλά βήματα της διαδικασίας πρέπει να υπολογίσουμε την απόδοση P(N) μιας συγκεκριμένης κατανομής Ν. Ο υπολογισμός γίνεται από μια εκτιμητική 62

63 συνάρτηση. Όπως αναφέραμε σε προηγούμενο κεφάλαιο, για να λυθεί το πρόβλημα της βελτιστοποίησης είναι απαραίτητο να υπάρχει μια μέθοδος αξιολόγησης της απόδοσης του συστήματος. Στην υλοποίησή μας χρησιμοποιήσαμε την εκτιμητική μέθοδο που πρότειναν οι Diamantidis, Heavey and Papadopoulos (2005). H μέθοδος αυτή βασίζεται στη μέθοδο της αποσύνθεσης, που παρουσιάστηκε στην παράγραφο 2.3 και αποτελεί επέκτασή της, ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί σε γραμμή παραγωγής όπου ο κάθε σταθμός εργασίας μπορεί να έχει παραπάνω από μία παράλληλες μηχανές. Στη διαδικασία θεωρείται ότι η γραμμή είναι αξιόπιστη και οι παράλληλες μηχανές κάθε σταθμού εργασίας είναι ταυτόσημες. Επίσης, οι χρόνοι επεξεργασίας των μηχανών θεωρείται ότι ακολουθούν εκθετική κατανομή, όπου η μέση τιμή μπορεί να διαφέρει για διαφορετικούς σταθμούς εργασίας. Η μέθοδος έχει δοκιμαστεί εκτενώς και τα αποτελέσματα της κρίνονται πολύ καλά ακόμη και σε μεγάλες γραμμές παραγωγής. Στη μέθοδό μας χρησιμοποιούμε την εκτιμητική ως ένα μαύρο κουτί που της δίνουμε τα στοιχεία της γραμμής που θέλουμε να αξιολογήσουμε και μας επιστρέφει την απόδοσή της. Τα στοιχεία που δίνουμε είναι: Ένα διάνυσμα r που περιέχει τους ρυθμούς επεξεργασίας των μηχανών κάθε σταθμού εργασίας. Ένα διάνυσμα S που περιέχει τους αριθμούς των παράλληλων μηχανών σε κάθε κέντρο εργασίας. Ένα διάνυσμα Ν που αποτελεί τη λύση της οποίας την απόδοση θέλουμε να αξιολογήσουμε. Επειδή η μέθοδος βασίζεται στην μαρκοβιανή ανάλυση των δομικών στοιχείων που δίνει η αποσύνθεση δεν είναι δυνατών να υπολογίσει την απόδοση λύσεων, όπου δεν είναι όλες οι χωρητικότητες ακέραιες. Για το λόγο αυτό, όπως είπαμε στρογγυλοποιούμε κάθε μη ακέραια λύση πριν χρησιμοποιήσουμε την εκτιμητική συνάρτηση. Περισσότερες πληροφορίες πάνω στη μέθοδο μπορούν να βρεθούν στη δημοσίευση των Diamantidis, Papadopoulos and Heavey (2005). 63

64 4.5. Σειριακές γραμμές παραγωγής και γραμμές παραγωγής με σταθμούς εργασίας που αποτελούνται από πολλές παράλληλες μηχανές Η υλοποίηση του Gradient που κατασκευάσαμε λειτουργεί σε γραμμές παραγωγής με σταθμούς εργασίας που αποτελούνται από πολλές παράλληλες μηχανές. Αυτό συμβαίνει διότι η εκτιμητική που χρησιμοποιούμε χειρίζεται τέτοιου είδους προβλήματα. Αν ορίσουμε ότι σε κάθε σταθμό εργασίας έχουμε μία μόνο μηχανή τότε το πρόβλημα εκφυλίζεται στην απλή σειριακή γραμμή παραγωγής. Στα πειράματα που εκτελέσαμε είδαμε τη συμπεριφορά της μεθόδου και στα δύο είδη γραμμών. Να αναφέρουμε εδώ ότι ο τρόπος που λειτουργεί ο Gradient είναι ανεξάρτητος του είδους της γραμμής παραγωγής. Ο αλγόριθμος ξεκινά με μία αρχική λύση και τα βήματα που κάνει επηρεάζονται μόνο από τις αποδόσεις συγκεκριμένων λύσεων που υπολογίζει. Οπότε αν έχουμε μια εκτιμητική που να χειρίζεται πιο περίπλοκες γραμμές παραγωγής, όπως για παράδειγμα γραμμές συναρμολόγησης και αποσυναρμολόγησης ή μη αξιόπιστες, ο αλγόριθμος θα μπορούσε να λειτουργήσει για τις γραμμές αυτές χωρίς να χρειάζεται να κάνουμε μεγάλες αλλαγές. Ακόμη αν έχουμε κάποια εκτιμητική μέθοδο που χειρίζεται μη διακριτά συστήματα, μπορούμε να τον χρησιμοποιήσουμε δίχως να είμαστε αναγκασμένοι να στρογγυλοποιούμε σε κάθε βήμα, γεγονός που επιφέρει επιπτώσεις στην ακρίβεια. 64

65 5. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται τα αποτελέσματα που προέκυψαν από ποικίλα πειράματα που διεξήχθησαν. Ο πηγαίος κώδικας που αναπτύχθηκε σε γλώσσα προγραμματισμού C++ για την υλοποίηση του αλγορίθμου και χρησιμοποιήθηκε στα πειράματα, δίνεται στο συνοδευτικό cd της παρούσας εργασίας. Στην παράγραφο 5.1 εξηγείται ο τρόπος με τον οποίο έγινε ο σχεδιασμός των πειραμάτων και στην 5.2 δίνονται τα αριθμητικά αποτελέσματα σε πίνακες Σύνολο πειραμάτων Ο αλγόριθμος που παρουσιάστηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο υλοποιήθηκε σε γλώσσα προγραμματισμού C++, ώστε να μπορούν να διεξαχθούν πειράματα και να ληφθούν δεδομένα για τη συμπεριφορά του. Τα πειράματα τα χωρίζουμε σε τέσσερεις ομάδες με βάση το μέγεθος και το είδος της γραμμής παραγωγής. Οι ομάδες αυτές είναι οι παρακάτω: i. Μικρές γραμμές παραγωγής, που έχουν το πολύ 12 σταθμούς εργασίας και όλοι είναι ταυτόσημοι. Στην κατηγορία αυτή γίνεται σύγκριση με τα αποτελέσματα που έδωσε η απαρίθμηση, η οποία όπως εξηγήσαμε δίνει με βεβαιότητα την ακριβή βέλτιστη λύση ii. Μεσαίες γραμμές παραγωγής, που έχουν από 13 ως 20 σταθμούς εργασίας και όλοι είναι ταυτόσημοι. Στις γραμμές αυτές δεν ήταν δυνατόν να ληφθούν αποτελέσματα απαρίθμησης, οπότε η σύγκριση γίνεται με άλλους αλγόριθμους, πιο συγκεκριμένα genetic και simulated annealing. iii. Μικρές και μεσαίες γραμμές παραγωγής, από 7 ως 30 σταθμούς εργασίας, όπου δεν είναι όλοι οι σταθμοί ίδιοι. Εδώ έχουμε για πρώτη φορά πειραματισμό σε γραμμές όπου οι σταθμοί εργασίας έχουν παραπάνω από μία παράλληλες μηχανές και οι ρυθμοί επεξεργασίας ποικίλουν. Πάλι η σύγκριση γίνεται με τα αποτελέσματα των genetic και simulated annealing. iv. Μεγάλες γραμμές παραγωγής που αποτελούνται από 50 ως και 200 σταθμούς εργασίας. Η σύγκριση εδώ γίνεται με simulated annealing για τις γραμμές 50 ως 80 σταθμών και με genetic για τις γραμμές των 100 και 200 σταθμών. Ο 65

66 πειραματισμός έγινε σε μεγάλες γραμμές όπου είχαμε ύπαρξη παραπάνω από μίας παράλληλης μηχανής σε κάθε σταθμό εργασίας. Τα αποτελέσματα αξιολογούνται με βάση την απόδοση που δίνει η κάθε μέθοδος, αλλά και τον χρόνο που απαιτείται για να συγκλίνει. Εκτός από τον πειραματισμό με τον gradient αποκλειστικά, έγινε και συνδυασμός του αλγόριθμου με δύο άλλες διαδικασίες. Έτσι δημιουργήσαμε δύο υβριδικές μεθόδους όπου ο gradient συνεργάζεται με δυο άλλες διαδικασίες: Μέθοδος NP/Gradient: Στη μέθοδο αυτή έχουμε έναν συνδυασμό του αλγορίθμου nested partitions με τον gradient. Η μεθοδολογία NP προτάθηκε από τους Shi and Olafsson (2000) και παρουσιάστηκε εν συντομία στην παράγραφο Ο gradient χρησιμοποιήθηκε σε συνδυασμό με μια υλοποίηση του NP που δημιουργήθηκε από το συνάδελφο Χρήστο Παπακρίβο στα πλαίσια της διπλωματικής του εργασίας. Ο NP όπως είδαμε διαμερίζει τον χώρο των πιθανών λύσεων σε περιοχές και ψάχνει σε κάθε περιοχή με τυχαίο τρόπο βρίσκοντας την καλύτερη λύση. Η λύση αυτή δίνεται ως αρχική λύση για τη λειτουργία του gradient. Δυστυχώς στην υλοποίηση του NP υπήρξαν υπολογιστικοί περιορισμοί και έτσι η υβριδική μέθοδος χρησιμοποιήθηκε μόνο σε σχετικά μικρές γραμμές παραγωγής (μέχρι και 20 σταθμούς εργασίας). Μέθοδος Gradient/Heuristic: Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούμε τον gradient σε συνδυασμό με μια ευρετική μέθοδο η οποία προτάθηκε από τους Sabuncuoglu, Erel and Gocgun (2006) και υλοποιήθηκε από το συνάδελφο Θωμά Πιτσιόρλα στα πλαίσια της διπλωματικής του εργασίας. Το βασικό πλαίσιο της μεθόδου παρουσιάστηκε στην παράγραφο Στην υβριδική μέθοδο ο gradient καταλήγει αρχικά σε μια λύση, η οποία έπειτα δίνεται ως αρχική λύση στην ευρετική διαδικασία. Η λογική είναι ότι ο gradient έχει πολύ ταχεία απόκριση και τις περισσότερες φορές καταλήγει πολύ γρήγορα. Όμως όπως θα δούμε δεν έχει πάντα τόσο καλή διακριτική ικανότητα και όταν φτάσει σε μια λύση πολύ κοντά στη βέλτιστη αδυνατεί πολλές φορές να τη βελτιώσει. Έτσι η λύση αυτή δίνεται στον ευρετικό αλγόριθμο, ο οποίος από τη φύση του (μεταφορά αποθηκευτικών χώρων μεταξύ δύο συγκεκριμένων buffers) έχει πιο καλή διακριτική ικανότητα. Όπως θα δούμε τα αποτελέσματα της μεθόδου είναι ιδιαίτερα ενθαρρυντικά. Τα πειράματα έγιναν σε επεξεργαστή Athlon-AMD 64 και υπολογιστή με 1GB RAΜ. Σε κάθε πείραμα λήφθηκε η βέλτιστη λύση (κατανομή) που δίνει η κάθε διαδικασία, η απόδοσή της και ο χρόνος που απαιτήθηκε για τον υπολογισμό. 66

67 5.2. Αποτελέσματα Στην παρούσα παράγραφο δίνονται τα αποτελέσματα από τα πειράματα που διεξήχθησαν. Σε κάθε περίπτωση δίνονται τα στοιχεία της γραμμής παραγωγής, δηλαδή ο αριθμός κέντρων εργασίας Κ, οι μονάδες αποθηκευτικού χώρου που είναι διαθέσιμες Ν, οι ρυθμοί επεξεργασίας των μηχανών r και ο αριθμός των παράλληλων μηχανών σε κάθε κέντρο S. Έπειτα δίνεται η λύση που έδωσε η κάθε μέθοδος και η απόδοσή της, όπως και ο χρόνος που απαιτήθηκε για τον υπολογισμό. Τέλος, παρουσιάζονται κάποια άλλα μέτρα, όπως σφάλματα μεταξύ λύσεων ή σφάλματα μεταξύ χρόνων. Μαζί με τα αποτελέσματα γίνεται και ένας σύντομος σχολιασμός και στο τέλος κάθε ενότητας δίνονται κάποια διαγράμματα. Τα γενικότερα συμπεράσματα θα αναλυθούν στο επόμενο κεφάλαιο. Όμως πριν παραθέσουμε τα αριθμητικά αποτελέσματα κρίνεται σκόπιμο να αναφέρουμε αναλυτικότερα τί περιέχουν οι πίνακες των πειραμάτων που πραγματοποιήθηκαν, ώστε η ανάγνωσή τους να γίνει πιο εύκολη για τον αναγνώστη. Οι πίνακες περιέχουν τις παρακάτω γραμμές: Station: Γίνεται απαρίθμηση των σταθμών του πειράματος. Servers: Απεικονίζεται ο αριθμός των παράλληλων μηχανών σε κάθε θέση σταθμού εργασίας. Η γραμμή αυτή υπάρχει μόνο σε πειράματα όπου είχαμε παράλληλες μηχανές στους σταθμούς εργασίας. Αν για παράδειγμα όλα τα S είναι ίσα με 1 (σειριακή γραμμή παραγωγής) ή 2, τότε αυτό αναφέρεται στον τίτλο του πίνακα και η γραμμή Servers παραλείπεται για λόγους χώρου. Service Rate: Απεικονίζονται οι ρυθμοί επεξεργασίας σε κάθε θέση σταθμού εργασίας. Η γραμμή αυτή υπάρχει μόνο σε πειράματα που έχουμε σταθμούς εργασίας όπου οι ρυθμοί επεξεργασίας ποικίλουν. Αν για παράδειγμα όλα τα rates είναι ίσα με 1, τότε αυτό αναφέρεται στον τίτλο του πίνακα και η γραμμή Service Rates παραλείπεται για λόγους χώρου. : Απεικονίζονται οι θέσεις των ενδιάμεσων αποθηκευτικών χώρων. Complete Enumeration, Genetic, Simulated Annealing: Είναι οι λύσεις των κυρίων μεθόδων σύγκρισης με βάση τις οποίες γίνονται οι συγκρίσεις των μεθόδων που αναπτύχθηκαν. Στις μικρές γραμμές όπου μπορούσε να τρέξει η απαρίθμηση έχουμε σύγκριση μόνο με αυτήν, καθώς είναι και η πιο αξιόπιστη 67

68 μέθοδος. Στα υπόλοιπα πειράματα έχουμε σύγκριση με μία από τις άλλες μεθόδους ή και τις δύο. Gradient, Heuristic, Gradient/Heuristic, NP, NP/Gradient: Οι λύσεις των αλγορίθμων που αναπτύξαμε και θέλουμε να αξιολογήσουμε. Αρχική λύση: Δίνεται η αρχική λύση, η οποία ορίστηκε με την τροποποιημένη μέθοδο του Selvi (2002), που παρουσιάστηκε αναλυτικά στην παράγραφο Επίσης, οι πίνακες περιέχουν τις παρακάτω στήλες: Κατανομή των αποθηκευτικών χώρων: Εκτός από τις αρχικές τιμές κάθε προβλήματος (Station, Ν, Servers και Service Rate) δίνονται οι λύσεις όλων των μεθόδων που εξετάζονται και η αρχική λύση. : Είναι η συνολική χωρητικότητα των αποθηκευτικών χώρων. Αυτή δίνεται ώστε να πιστοποιηθεί πως όλες οι μέθοδοι έδωσαν μια εφικτή λύση με βάση τα δεδομένα του προβλήματος. : Παρουσιάζεται η βέλτιστη απόδοση στην οποία καταλήγει η κάθε μέθοδος καθώς και η απόδοση της αρχικής λύσης. time(sec): Ο χρόνος που απαιτήθηκε για τον υπολογισμό της βέλτιστης απόδοσης κάθε μεθόδου σε δευτερόλεπτα. Σφάλμα σε σχέση με Απαρίθμηση (%), Simulated Annealing (%), Genetic (%): Είναι το σφάλμα της μεθόδου που αναπτύξαμε και θέλουμε να αξιολογήσουμε (Gradient, Heuristic, Gradient/Heuristic, NP, NP/Gradient) ως προς την κύρια μέθοδο σύγκρισης κάθε φορά (Complete Enumeration, Genetic, Simulated Annealing). Ορίζεται από το κλάσμα: Popt κύρια μέθοδος σύγκρισης Popt αξιολογούμενη μέθοδος Χ100 Popt κύρια μέθοδος σύγκρισης Για παράδειγμα αν έχουμε το σφάλμα της λύσης που δίνει ο gradient ως προς αυτήν που δίνει η απαρίθμηση τότε ο τύπος γίνεται: Popt complete enumeration Popt gradient Χ100 Popt complete enumeration Το σφάλμα ως προς την απαρίθμηση είναι πάντα μεγαλύτερο ή ίσο με το μηδέν, καθώς η απαρίθμηση καταλήγει με βεβαιότητα στη βέλτιστη απόδοση. Όμως όταν υπολογίζουμε το σφάλμα ως προς μια άλλη μέθοδο (πχ genetic), τότε ενδέχεται η αξιολογούμενη μέθοδος να καταλήξει σε καλύτερη λύση. Στην 68

69 περίπτωση αυτή το σφάλμα θα είναι αρνητικό, που δείχνει ότι η αξιολογούμενη μέθοδος έδωσε καλύτερο αποτέλεσμα από τη μέθοδο σύγκρισης. Βελτίωση του Gradient/Heuristic σε σχέση με σκέτο Gradient (%): Είναι η βελτίωση (%) της μεθόδου gradient/heuristic που αναπτύξαμε και θέλουμε να αξιολογήσουμε ως προς την μέθοδο σύγκρισης gradient. Ορίζεται από το κλάσμα: Popt gradient/heuristic Popt gradient Χ100 Popt gradient Αν η βελτίωση προκύψει θετική σημαίνει ότι όντως η υβριδική μέθοδος έδωσε καλύτερη λύση από τον gradient όταν αυτός έδρασε αυτόνομα. Στη συγκεκριμένη στήλη η βελτίωση είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός, καθώς η heuristic παίρνει ως αρχική τη λύση του gradient και τη βελτιώνει περαιτέρω. Βελτίωση του Gradient/Heuristic σε σχέση με σκέτο Heuristic (%): Είναι η βελτίωση (%) της μεθόδου gradient/heuristic που αναπτύξαμε και θέλουμε να αξιολογήσουμε ως προς την μέθοδο σύγκρισης heuristic. Ορίζεται από το κλάσμα: Popt gradient/heuristic Popt heuristic Χ100 Popt heuristic Όπως θα δούμε στα αποτελέσματα, η συγκεκριμένη βελτίωση ενδέχεται να προκύψει αρνητική καθώς η υβριδική μέθοδος είναι πιθανό να δώσει χειρότερη λύση από τον ευρετικό αλγόριθμο. Βελτίωση του NP/Gradient με σκέτο NP (%): Είναι η βελτίωση (%) της μεθόδου ΝP/gradient που αναπτύξαμε και θέλουμε να αξιολογήσουμε ως προς την μέθοδο σύγκρισης NP. Ορίζεται από το κλάσμα: Popt NP/Gradient Popt NP Χ100 Popt NP Στη συγκεκριμένη στήλη η βελτίωση είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός, καθώς o gradient παίρνει ως αρχική τη λύση την τελική του NP και τη βελτιώνει περαιτέρω. Βελτίωση σε σχέση με την Αρχική λύση(%): Είναι η βελτίωση (%) της μεθόδου που αναπτύξαμε και θέλουμε να αξιολογήσουμε (Gradient, Heuristic, Gradient/Heuristic) ως προς την αρχική λύση. Ορίζεται από το κλάσμα: 69

70 Popt αξιολογούµενη µέθοδος Popt αρχική λύση Χ100 Popt αρχική λύση Η τιμή που προκύπτει είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός και δείχνει κατά πόσο η εξεταζόμενη μέθοδος βελτίωσε την αρχική λύση με την οποία ξεκίνησε. Σφάλμα Χρόνου σε σχέση με Απαρίθμηση (%), με το Simulated Annealing (%), με το Genetic (%): Είναι το χρονικό σφάλμα της μεθόδου που αναπτύξαμε και θέλουμε να αξιολογήσουμε (Gradient, Heuristic, Gradient/Heuristic, NP, NP/Gradient) ως προς την κύρια μέθοδο σύγκρισης κάθε φορά (Complete Enumeration, Genetic, Simulated Annealing). Ορίζεται από το κλάσμα: t αξιολογούµενη µέθοδος t μέθοδος σύγκρισης Χ100 t μέθοδος σύγκρισης Για παράδειγμα αν θέλουμε να δούμε το σφάλμα χρόνου του gradient ως προς τη μέθοδο genetic ο τύπος προκύπτει: t gradient t genetic Χ100 t genetic Αν το σφάλμα προκύψει αρνητικό σημαίνει ότι είχαμε βελτίωση στο χρόνο, δηλαδή η μέθοδος συνέκλινε ταχύτερα από αυτήν με την οποία τη συγκρίνουμε. Στην αντίθετη περίπτωση, η αξιολογούμενη μέθοδος θα είναι πιο αργή από τη μέθοδο σύγκρισης Αποτελέσματα για μικρές γραμμές (5 έως 12 σταθμοί εργασίας). Σύγκριση με απαρίθμηση Τα αποτελέσματα στις μικρές γραμμές μας ενδιαφέρουν ώστε να αποκτήσουμε μια αρχική εικόνα για τη συμπεριφορά των μεθόδων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουμε σύγκριση με τη μέθοδο της απαρίθμησης, οπότε μπορούμε να γνωρίζουμε με βεβαιότητα την πραγματική βέλτιστη λύση. 70

71 Κ=5, =6, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.1: αποτελέσματα για {Κ=5, =6, =1 και =1 για κάθε i} Βλέπουμε ότι στην περίπτωση αυτή όλοι οι αλγόριθμοι βρίσκουν τη βέλτιστη λύση η οποία συμπίπτει και με την αρχική, όπως αυτή προκύπτει από τη μέθοδο με την οποία τη δίνουμε. Αυτό συμβαίνει λόγο του μικρού μεγέθους του προβλήματος, αλλά και της συμμετρίας της γραμμής (όλοι οι σταθμοί εργασίας ταυτόσημοι). Οι χρόνοι είναι ελάχιστοι σε ένα τόσο μικρό πρόβλημα. Να σημειώσουμε ότι οι χρόνοι της απαρίθμησης δίνονται από την υλοποίησή της σε ακέραια δευτερόλεπτα. Οπότε το μηδέν σε αυτήν την περίπτωση σημαίνει ότι η μέθοδος χρειάστηκε λιγότερο από ένα δευτερόλεπτο. 71

72 Κ=6, =7, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.2: αποτελέσματα για { Κ=6, =7, =1 και =1 για κάθε i} Εδώ βλέπουμε ότι η αρχική λύση είναι πολύ κοντά στη βέλτιστη αλλά δε συμπίπτει με αυτήν. Όλοι οι αλγόριθμοι που δοκιμάσαμε βρίσκουν τη βέλτιστη λύση επιτυχώς. Οι χρόνοι παραμένουν αμελητέοι. 72

73 Κ=6, =11, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.3: αποτελέσματα για {Κ=6, =11, =1 και =1 για κάθε i } Στην περίπτωση αυτή και πάλι η αρχική λύση συμπίπτει με την βέλτιστη. Ο NP όμως δεν καταλήγει στη βέλτιστη λύση και έχει ένα σφάλμα ίσο με 0, Μάλιστα η NP/Gradient δεν κατορθώνει να βελτιώσει τη λύση της ΝP. Αυτό συμβαίνει διότι η διακριτική ικανότητα του gradient δεν είναι μεγάλη και πολλές φορές όπως θα δούμε δε μπορεί να βελτιώσει μια λύση που είναι κοντά στη βέλτιστη. Όσο για το χρόνο γίνεται ήδη εμφανές ότι όλες οι μέθοδοι είναι πολύ πιο γρήγορες από την απαρίθμηση, πράγμα που ήταν και το αναμενόμενο. 73

74 Κ=6, =12, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.4: αποτελέσματα για {Κ=6, =12, =1 και =1 για κάθε i } Πάλι έχουμε επιτυχία στην εύρεση της βέλτιστης λύσης. Το πιο ενδιαφέρον είναι να παρατηρήσουμε τις βελτιώσεις στο χρόνο που προκύπτουν. Βλέπουμε ότι όσο το πρόβλημα μεγαλώνει, ο NP αρχίζει να φαίνεται πιο αργός από τις υπόλοιπες μεθόδους. 74

75 Κ=6, =13, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.5: αποτελέσματα για {Κ=6, =13, =1 και =1 για κάθε i } 75

76 Κ=7, =8, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.6: αποτελέσματα για {Κ=7, =8, =1 και =1 για κάθε i } 76

77 Κ=8, =9, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.7: αποτελέσματα για {Κ=8, =9, =1 και =1 για κάθε i } Εδώ βλέπουμε ότι τόσο ο Gradient όσο και ο NP απέτυχαν να βρουν τη βέλτιστη λύση, ενώ ο heuristic τα κατάφερε τόσο μόνος του όσο και σε συνεργασία με τον gradient. Το σφάλμα είναι μικρό, αλλά είναι ενδεικτικό του ότι ο ευρετικός αλγόριθμος υπερτερεί σε ακρίβεια σε τέτοιου είδους προβλήματα. 77

78 Κ=8, =10, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.8: αποτελέσματα για {Κ=8, =10, =1 και =1 για κάθε i } Βλέπουμε ότι όσο το πρόβλημα μεγαλώνει τόσο φαίνεται η διαφορά του χρόνου υπολογισμού των μεθόδων σε σχέση με την απαρίθμηση. Επίσης φαίνεται ότι ο NP είναι αρκετά πιο αργός από τους άλλους δύο αλγόριθμους. 78

79 Κ=8, =15, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.9: αποτελέσματα για {Κ=8, =15, =1 και =1 για κάθε i } Εδώ βλέπουμε ότι ο gradient είναι ο μόνος που δεν κατάφερε να εντοπίσει τη βέλτιστη λύση. Μάλιστα στη συγκεκριμένη περίπτωση άργησε πιο πολύ από την Heuristic. 79

80 Κ=8, =11, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.10: αποτελέσματα για {Κ=8, =11, =1 και =1 για κάθε i } 80

81 Κ=9, =10, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.11: αποτελέσματα για {Κ=9, =10, =1 και =1 για κάθε i } Στο συγκεκριμένο πείραμα ο NP δεν μπόρεσε να δώσει τη βέλτιστη λύση, ούτε μόνος του ούτε σε συνεργασία με τον gradient. 81

82 Κ=10, =11, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.12: αποτελέσματα για {Κ=10 =11, =1 και =1 για κάθε i } Πάλι παρατηρούμε ότι ο gradient δεν κατάφερε να βελτιώσει την αρχική λύση και παρουσιάζει σφάλμα 0,211%. 82

83 Κ=11, =12, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.13: αποτελέσματα για {Κ=11 =12, =1 και =1 για κάθε i } Βλέπουμε ότι ο NP έχει αρχίσει να χρειάζεται πολύ χρόνο για να καταλήξει σε αποτέλεσμα. Επίσης παρόλο που η χρόνοι είναι μικροί, ο gradient παρουσιάζεται ταχύτερος από τον ευρετικό. 83

84 Κ=12, =13, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.14: αποτελέσματα για {Κ=12, =13, =1 και =1 για κάθε i } Πάλι ο gradient δεν μπόρεσε να βελτιώσει την αρχική λύση, που επιβεβαιώνει ότι σε τέτοια μικρά και συμμετρικά προβλήματα (όλοι οι σταθμοί εργασίας ταυτόσημοι) δυσκολεύεται να βελτιώσει μια καλή αρχική λύση. 84

85 Γενικά από τον πειραματισμό σε μικρές γραμμές βλέπουμε ότι οι αλγόριθμοι δείχνουν να λειτουργούν καλά. Ο ευρετικός δείχνει να είναι ο πιο ακριβής από όλους καθώς κατόρθωσε σε όλες τις περιπτώσεις να βρει τη βέλτιστη λύση. Αυτό φαίνεται και από το διάγραμμα στο σχήμα 5.1 όπου το σφάλμα το heuristic είναι σε κάθε περίπτωση μηδέν όπως και του συνδυασμού gradient με heuristic. Αντίθετα τα σφάλματα των gradient και NP δεν είναι πάντα μηδενικά, όμως σε καμιά περίπτωση δεν ξεπερνούν το 0,25%. Ακόμη, παρατηρούμε ό gradient δε βελτίωσε σε καμιά περίπτωση τη λύση του NP. Αυτό έχει να κάνει με την κακή διακριτική ικανότητα του gradient, ο οποίος όπως αναφέραμε δυσκολεύεται να βελτιώσει μια ήδη καλή λύση. 0,25 Σφάλμα ως προς την απαρίθμηση % 0,2 0,15 0,1 0,05 0 K=5, Nολ=6 K=6, Nολ=7 K=6, Nολ=11 K=6, Nολ=12 K=6, Nολ=13 K=7, Nολ=8 K=8, Nολ=9 K=8, Nολ=10 K=8, Nολ=11 K=8, Nολ=15 K=9, Nολ=10 K=10, Nολ=11 K=11, Nολ=12 K=12, Nολ=13 Gradient Heuristic Gradient/Heuristic NP NP/Gradient Πείραμα Σχήμα 5.1: Απεικόνιση του σφάλματος (%) της βέλτιστης λύσης των αλγορίθμων σε σχέση με τη λύση της απαρίθμησης, σε μικρές γραμμές παραγωγής Στο θέμα της ταχύτητας, ο NP δείχνει να είναι η πιο αργή από τις μεθόδους όπως φαίνεται και στο σχήμα 5.2. Ο υβριδικός NP/Gradient έχει χρόνο υπολογισμού ελαφρώς μεγαλύτερο από τον NP. Αυτό είναι φυσικό, καθώς απαιτείται ο χρόνος υπολογισμού του NP για να βρεθεί η αρχική λύση, την οποία ο gradient επεξεργάζεται με μεγάλη ταχύτητα. Οι μέθοδοι gradient και heuristic είναι πολύ γρήγορες και σε αυτά τα μικρά προβλήματα καταλήγουν εξαιρετικά σύντομα. Στο σχήμα 5.3 έχουμε μια σύγκριση αποκλειστικά των gradient και heuristic ώστε να 85

86 φαίνεται καλύτερα η διαφορά στην ταχύτητά τους. Παρατηρούμε πως ο gradient εμφανίζεται ελαφρώς ταχύτερος από τον ευρετικό αλγόριθμο όσο η γραμμή μεγαλώνει. Ο υβριδικός gradient/heuristic παρουσιάζεται λίγο πιο αργός από τις υπόλοιπες δύο μεθόδους. Πάντως σε αυτές τις μικρές γραμμές δεν υπήρξε καμιά περίπτωση όπου οι χρόνοι υπολογισμού του gradient του heuristic ή του συνδυασμού των δύο να ξεπέρασαν τα 0,45 sec. Χρόνος (sec) K=5, Nολ=6 K=6, Nολ=7 K=6, Nολ=11 K=6, Nολ=12 K=6, Nολ=13 K=7, Nολ=8 K=8, Nολ=9 K=8, Nολ=10 K=8, Nολ=11 K=8, Nολ=15 K=9, Nολ=10 K=10, Nολ=11 K=11, Nολ=12 K=12, Nολ=13 Gradient Heuristic Gradient/Heuristic NP NP/Gradient Πείραμα Σχήμα 5.2: Απεικόνιση του χρόνου σύγκλισης των αλγορίθμων, σε γραμμές παραγωγής μικρού μεγέθους. 86

87 Χρόνος (sec) 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 K=5, Nολ=6 K=6, Nολ=7 K=6, Nολ=11 K=6, Nολ=12 K=6, Nολ=13 K=7, Nολ=8 K=8, Nολ=9 K=8, Nολ=10 K=8, Nολ=11 K=8, Nολ=15 K=9, Nολ=10 K=10, Nολ=11 K=11, Nολ=12 K=12, Nολ=13 Gradient Heuristic Gradient/Heuristic Πείραμα Σχήμα 5.3: Απεικόνιση του χρόνου σύγκλισης των αλγορίθμων gradient, heuristic και gradient/heuristic, σε γραμμές παραγωγής μικρού μεγέθους Αποτελέσματα για μεσαίου μεγέθους γραμμές (13 έως 20 σταθμοί εργασίας) όπου έχουμε παντού r και S ίσα με 1. Σύγκριση με Simulated Annealing και Genetic. Στην παρούσα ενότητα δίνονται τα αποτελέσματα των πειραμάτων για μεσαίου μήκους γραμμές που αποτελούνται από 13 έως 20 σταθμούς εργασίας. Επειδή το μέγεθος των προβλημάτων δεν επιτρέπει τη διεξαγωγή της απαρίθμησης, η σύγκριση γίνεται με αλγόριθμους genetic και simulated annealing. Οι συγκεκριμένες μέθοδοι δεν εγγυώνται ότι θα βρουν τη βέλτιστη λύση, οπότε κάποια από τις μεθόδους που εξετάζουμε ενδέχεται να τις βελτιώσει περεταίρω. Γενικά όταν έχουμε αρνητικό σφάλμα απόδοσης σε σύγκριση πχ με την genetic, αυτό σημαίνει ότι η μέθοδος έδωσε καλύτερο αποτέλεσμα από τη genetic. 87

88 Κ=13, =26, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.15: αποτελέσματα για {Κ=13, =26, =1 και =1 για κάθε i } Βλέπουμε ότι την καλύτερη απόδοση τη δίνει ο υβριδικός NP/Gradient, παρόλο που ο NP από μόνος του παρουσιάζει σχετικά μεγάλο σφάλμα. Μάλιστα η απόδοση του NP/Gradient ξεπερνάει αυτήν που δίνει ο genetic. Όμως παρατηρούμε ότι ο NP έκανε και τον περισσότερο χρόνο. Ο Gradient από μόνος του παρουσιάζει σφάλμα κάτω από 0,5% ενώ έχει τη μεγαλύτερη ταχύτητα. 88

89 Κ=14, =28, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.16: αποτελέσματα για {Κ=14, =28, =1 και =1 για κάθε i } Εδώ βλέπουμε ότι ο gradient έχει σφάλμα σε σχέση με τον SA που ξεπερνάει το 0,5%. Επίσης, βλέπουμε ότι ο NP δεν δίνει καλό αποτέλεσμα και ο gradient το βελτιώνει σε μικρό βαθμό. Τέλος, παρατηρούμε ότι ο ευρετικός αλγόριθμος δίνει καλύτερο αποτέλεσμα από τον genetic και πολύ κοντά στην SA, σε πολύ μικρότερο χρόνο από αυτήν. 89

90 Κ=15, =30, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.17: αποτελέσματα για {Κ=15, =30, =1 και =1 για κάθε i } Πάλι ο Gradient δε βελτιώνει την αρχική λύση, αλλά βελτιώνει αισθητά τη λύση του NP. Παρατηρούμε ότι ο NP έχει αρχίσει να γίνεται αισθητά πιο αργός από τις υπόλοιπες μεθόδους όσο η γραμμή μεγαλώνει. Ο ευρετικός αλγόριθμος δίνει και πάλι καλύτερο αποτέλεσμα από τον genetic και πολύ κοντά στην SA. 90

91 Κ=16, =32, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.18: αποτελέσματα για {Κ=16, =32, =1 και =1 για κάθε i } Εδώ βλέπουμε ότι ο gradient βελτιώνει την αρχική λύση. Αυτό οδηγεί και στο γεγονός ότι ο συνδυασμός gradient με heuristic δίνει καλύτερο αποτέλεσμα σε σχέση με τον heuristic και η απόδοση της λύσης ξεπερνάει αυτήν του genetic και είναι ίση με αυτήν της SA 91

92 Κ=17, =34, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.19: αποτελέσματα για {Κ=17, =34, =1 και =1 για κάθε i } Παρατηρούμε ότι ο Gradient δε βελτιώνει την αρχική λύση. Βελτιώνει όμως αισθητά τη λύση του NP μειώνοντας το σφάλμα του σε σχέση με genetic από 5% σε 1%. Ο heuristic κάνει σχεδόν δεκαπλάσιο χρόνο από τον gradient, δίνει όμως καλύτερο αποτέλεσμα. 92

93 Κ=18, =36, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.20: αποτελέσματα για {Κ=18, =36, =1 και =1 για κάθε i } Ο gradient έχει σφάλμα σε σχέση με τον SA περίπου 0,66%, όμως βελτιώνει ελαφρώς τη λύση του genetic. Ο ευρετικός εξακολουθεί να δίνει την καλύτερη λύση. 93

94 Κ=19, =38, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.21: αποτελέσματα για {Κ=19, =38, =1 και =1 για κάθε i } Εδώ ο gradient βελτίωσε την αρχική λύση κ έδωσε αρκετά καλύτερο αποτέλεσμα από τον genetic. Ο συνδυασμός gradient με heuristic δίνει αποτέλεσμα σχεδόν ισάξιο με αυτό την SA σε πολύ λιγότερο χρόνο από αυτήν. 94

95 Κ=20, =40, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.22: αποτελέσματα για {Κ=20, =40, =1 και =1 για κάθε i } Εδώ ο gradient παρουσιάζει σφάλμα λίγο μικρότερο από 0,7% σε σχέση με την SA. Το σφάλμα του NP είναι πολύ μεγάλο, κοντά στο 10% (σε σχέση με την SA) και παρόλο που ο gradient τον βελτιώνει δεν καταφέρνει να το ρίξει κάτω από 7,8%. 95

96 Γενικά παρατηρούμε ότι σε αυτές τις γραμμές και πάλι ο gradient δυσκολεύεται πολλές φορές να βελτιώσει την αρχική λύση. Αυτό οφείλεται κυρίως στη συμμετρία των προβλημάτων, η οποία μας επιτρέπει να δώσουμε πολύ καλή αρχική λύση με σφάλμα που δεν ξεπερνά το 0.7%. Ο heuristic δίνει πολύ καλά αποτελέσματα, είτε μόνος του είτε μαζί με τον gradient, τα οποία ξεπερνάν πολλές φορές αυτά του genetic. Ο NP δεν μπορεί να δώσει καλά αποτελέσματα όσο το πρόβλημα μεγαλώνει. Στο διάγραμμα του σχήματος 5.4 παρουσιάζονται τα επί τοις εκατό σφάλματα των λύσεων των μεθόδων σε σχέση με τη λύση της simulated annealing. Βλέπουμε ότι τα σφάλματα των gradient, heuristic και του υβριδικού συνδυασμού τους είναι όλα μικρότερα του 1%, με τον gradient να υστερεί ελαφρώς των υπολοίπων δύο. Ο NP δίνει μεγάλα σφάλματα και στους 20 σταθμούς εργασίας το σφάλμα αγγίζει το 10%. Ο gradient βελτιώνει τη λύση του NP σε κάθε περίπτωση, αλλά πάλι τα σφάλματα είναι αρκετά μεγάλα. Σφάλμα(%) σε σχέση με SA Gradient Heuristic Gradient/Heuristic NP NP/Gradient Πείραμα Σχήμα 5.4: Απεικόνιση του σφάλματος (%) της βέλτιστης λύσης των αλγορίθμων σε σχέση με της simulated annealing, σε γραμμές παραγωγής μεσαίου μεγέθους Από το αντίστοιχο διάγραμμα που παρουσιάζει τα σφάλματα ως προς τη μέθοδο genetic (σχήμα 5.5) μπορούν να εξαχθούν παρόμοια συμπεράσματα. Παρατηρούμε ότι εδώ έχουμε και αρνητικά σφάλματα, που δείχνει ότι οι αλγόριθμοι βρίσκουν σε πολλές περιπτώσεις καλύτερη λύση από αυτήν της genetic. 96

97 10 Σφάλμα (%) σε σχέση με Genetic Gradient Heuristic Gradient/Heuristic NP NP/Gradient Πείραμα Σχήμα 5.5: Απεικόνιση του σφάλματος (%) της βέλτιστης λύσης των αλγορίθμων σε σχέση με της genetic, σε γραμμές παραγωγής μεσαίου μεγέθους Στο θέμα του χρόνου, ο gradient είναι με διαφορά ο ταχύτερος από τους αλγόριθμους. Καλή ταχύτητα παρουσιάζει και ο ευρετικός που μπορεί να είναι πιο αργός από τον gradient αλλά καταλήγει πολύ γρήγορα στα συγκεκριμένα προβλήματα. Ο NP απαιτεί πολύ χρόνο υπολογισμού, που ξεπερνάει και αυτόν της annealing. Στο σχήμα 5.6 φαίνεται ξεκάθαρα ότι ο NP είναι μακράν η πιο αργή μέθοδος και έπειτα ακολουθεί η SA, ενώ στο σχήμα 5.7 φαίνεται πως και ο genetic είναι αρκετά πιο αργός από τους gradient και heuristic. Τέλος, στο σχήμα 5.8 γίνεται μια σύγκριση της ταχύτητας των gradient και heuristic. Βλέπουμε ότι όντως ο gradient είναι πιο ταχύς και μόνο σε μια περίπτωση ο χρόνος υπολογισμού ξεπέρασε το ένα δευτερόλεπτο. Ακόμη, παρατηρούμε πως ο υβριδικός gradient/heuristic εξακολουθεί να είναι ελάχιστα πιο αργός από τον heuristic όταν αυτός λειτουργεί αυτόνομα. 97

98 Xρόνος (sec) Gradient Heuristic Gradient/Heuristic NP NP/Gradient Genetic SA Πείραμα Σχήμα 5.6: Απεικόνιση του χρόνου σύγκλισης των αλγορίθμων σε γραμμές παραγωγής μεσαίου μεγέθους. Χρόνος (sec) Gradient Heuristic Gradient/Heuristic Genetic Πείραμα Σχήμα 5.7: Απεικόνιση του χρόνου σύγκλισης των αλγορίθμων gradient, heuristic, gradient/heuristic και genetic σε γραμμές παραγωγής μεσαίου μεγέθους. 98

99 Χρόνος (sec) Gradient Heuristic Gradient/Heuristic Πείραμα Σχήμα 5.8: Απεικόνιση του χρόνου σύγκλισης των αλγορίθμων gradient, heuristic, gradient/heuristic και genetic σε γραμμές παραγωγής μεσαίου μεγέθους. Όσον αφορά τις genetic και annealing, βλέπουμε ότι η πρώτη είναι ταχύτερη, αλλά η δεύτερη δίνει πιο καλά αποτελέσματα. Αυτό συμφωνεί με τη διαπίστωση των Papadopoulos και Spinellis (2000) Αποτελέσματα για μικρού και μεσαίου μεγέθους γραμμές (7 έως 30 σταθμοί εργασίας) όπου δεν είναι όλοι οι σταθμοί ταυτόσημοι Παρακάτω θα παρουσιάσουμε αποτελέσματα πειραμάτων για γραμμές που αποτελούνται από διαφορετικούς σταθμούς εργασίας, τόσο ως προς τους ρυθμούς επεξεργασίας, όσο και ως προς τον αριθμό των παράλληλων μηχανών σε κάθε σταθμό. Οι περιπτώσεις αυτές παρουσιάζουν εξαιρετικό ενδιαφέρον, καθώς εδώ δεν είμαστε σε θέση να δώσουμε πάντα τόσο καλή αρχική λύση όπως πριν, οπότε αναμένεται να γίνει περισσότερο εμφανές το κατά πόσο οι μέθοδοι όντως βελτιώνουν την αρχική κατανομή. 99

100 Κ=7, =14 Πίνακας 5.23: αποτελέσματα για {Κ=7, =14 και διαφορετικούς σταθμούς εργασίας} Παρατηρούμε ότι ο gradient βελτιώνει αισθητά την αρχική λύση και δίνει καλύτερη απόδοση από τον genetic. Ο Heuristic δίνει απόδοση ίση με την SA τόσο μόνος του όσο και σε συνδυασμό με τον gradient. Ο NP έχει σφάλμα 0,46% σε σχέση με την SA. Σε συνδυασμό όμως με τον gradient δίνει απόδοση ίση με την SA. 100

101 Κ=10, =20 Πίνακας 5.24: αποτελέσματα για {Κ=10, =20 και διαφορετικούς σταθμούς εργασίας} Βλέπουμε ότι και ο gradient και ο ευρετικός καταφέρνουν μέσα σε ελάχιστο χρόνο να δώσουν απόδοση ίση με την SA και την genetic. Μάλιστα ο συνδυασμός των δύο μεθόδων βελτιώνει έστω και πολύ λίγο την ολική απόδοση. Ο NP επίσης δίνει την ίδια απόδοση με τον συνδυασμό gradient με ευρετικό, αλλά χρειάζεται περισσότερο χρόνο. 101

102 Κ=15, =30 Πίνακας 5.25: αποτελέσματα για {Κ=15, =30 και διαφορετικούς σταθμούς εργασίας} Παρατηρούμε ότι και πάλι ο gradient δίνει το ίδιο αποτέλεσμα με την SA σε πολύ μικρό χρόνο. Ο ευρετικός βρίσκει πολύ καλή λύση και σε συνδυασμό με τον gradient βελτιώνεται ελαφρώς. Ο NP καταλήγει και αυτός σε πολύ καλή λύση αλλά κάνει χρόνο σχεδόν δεκαπλάσιο από αυτόν της SA. 102

103 Κ=20, =40 Πίνακας 5.26: αποτελέσματα για {Κ=20, =40 και διαφορετικούς σταθμούς εργασίας} Και σε αυτή την περίπτωση ο gradient και o ευρετικός λειτουργούν πολύ καλά και δίνουν λύση ελαφρώς καλύτερη από τις genetic και annealing σε πολύ λίγο χρόνο. Ο NP παρουσιάζει στη συγκεκριμένη περίπτωση μεγάλο σφάλμα περίπου 6%. Σε συνεργασία με τον gradient το σφάλμα βελτιώνεται, αλλά παραμένει υψηλό. 103

104 Κ=30, =60 Πίνακας 5.27: αποτελέσματα για {Κ=30, =60 και διαφορετικούς σταθμούς εργασίας} Η περίπτωση αυτή ξεπερνάει τα όρια το NP ο οποίος δεν μπορεί να τρέξει με 30 σταθμούς εργασίας και Ν =60. Επίσης, εδώ συγκρίνουμε μόνο με το αποτέλεσμα του genetic. Βλέπουμε ότι ο gradient δίνει καλύτερη λύση και από τον genetic και από τον heuristic σε λιγότερο χρόνο. Επιπροσθέτως, ο συνδυασμός του gradient με τον ευρετικό δίνει ακόμη καλύτερη απόδοση με βελτίωση περίπου 1,162% σε σχέση με τη λύση του genetic. 104

105 Στα συγκεκριμένα προβλήματα είδαμε ότι και ο gradient και ο ευρετικός είχαν πολύ καλή απόδοση. Η αρχική λύση δεν ήταν πλέον τόσο καλή και ο gradient τη βελτίωσε σε κάθε περίπτωση. Ο NP έδωσε πολύ καλές λύσεις σε κάποιες περιπτώσεις αλλά παρουσίασε και μεγάλα σφάλματα σε άλλες. Επίσης, διαπιστώνουμε ότι ο NP έχει όρια καθώς δεν κατάφερε να τρέξει σε πείραμα με 30 σταθμούς εργασίας. Στο διάγραμμα του σχήματος 5.9 βλέπουμε ότι τα σφάλματα των αλγορίθμων σε σχέση με τη λύση της simulated annealing είναι σχεδόν μηδενικά, εκτός από την περίπτωση των 20 σταθμών εργασίας όπου ο NP και ο NP/gradient παρουσιάζουν πολύ μεγάλο σφάλμα. Όσον αφορά τη σύγκριση με τον genetic, βλέπουμε ότι οι προτεινόμενες μέθοδοι παρουσιάζουν σε πολλές περιπτώσεις καλύτερη απόδοση από αυτόν (σχήμα 5.10) 7 6 Σφάλμα (%) σε σχέση με SA Gradient Heuristic Gradient/Heuristic NP NP/Gradient 0 1 K=7, Nολ=14K=10, Nολ=20K=15, Nολ=30K=20, Nολ=40 Πείραμα Σχήμα 5.9: Απεικόνιση του σφάλματος απόδοσης των αλγορίθμων σε σχέση με SA, σε γραμμές παραγωγής μεσαίου μεγέθους με διαφορετικούς σταθμούς εργασίας 105

106 Σφάλμα (%) σε σχέση με Genetic K=7, Nολ=14 K=10, Nολ=20 K=15, Nολ=30 K=20, Nολ=40 K=30, Nολ=60 Πείραμα Gradient Heuristic Gradient/Heuristic NP NP/Gradient Σχήμα 5.10: Απεικόνιση του σφάλματος απόδοσης των αλγορίθμων σε σχέση με genetic, σε γραμμές παραγωγής μεσαίου μεγέθους με διαφορετικούς σταθμούς εργασίας Ο gradient παραμένει ο ταχύτερος από τους αλγορίθμους και όσο μεγαλώνει το πρόβλημα η διαφορά γίνεται περισσότερο αισθητή. Ο NP παρουσιάζεται και πάλι ως ο πιο αργός και ακολουθεί η SA (σχήμα 5.11). Πάντως στο πρόβλημα των 30 σταθμών φαίνεται πως και ο genetic χρειάστηκε πάρα πολύ χρόνο για να τρέξει (στο συγκεκριμένο πρόβλημα δεν υπήρχε διαθέσιμο αποτέλεσμα από SA). Χρόνος (sec) K=7, Nολ=14 K=10, Nολ=20 K=15, Nολ=30 K=20, Nολ=40 K=30, Nολ=60 Πείραμα Gradient Heuristic Gradient/Heuristic NP NP/Gradient Genetic SA Σχήμα 5.11: Απεικόνιση του χρόνου σύγκλισης των αλγορίθμων σε γραμμές παραγωγής μεσαίου μεγέθους με διαφορετικούς σταθμούς εργασίας Βλέπουμε πως η διαφορά στην ταχύτητα του gradient με τον heuristic γίνεται ιδιαίτερα εμφανής στο πείραμα με τους 30 σταθμούς εργασίας (σχήμα 5.12). Ο gradient/heuristic εξακολουθεί να είναι πιο αργός από τον heuristic. 106

107 Χρόνος (sec) K=7, Nολ=14 K=10, Nολ=20 K=15, Nολ=30 K=20, Nολ=40 K=30, Nολ=60 Πείραμα Gradient Heuristic Gradient/Heuristic Σχήμα 5.12: Απεικόνιση του χρόνου σύγκλισης των αλγορίθμων gradient, heuristic και gradient/heuristic σε γραμμές παραγωγής μεσαίου μεγέθους με διαφορετικούς σταθμούς εργασίας Αποτελέσματα για μεγάλου μεγέθους γραμμές (50 έως 200 σταθμοί εργασίας) Τέλος, θα παρουσιάσουμε τα αποτελέσματα των πειραμάτων για μεγάλου μήκους γραμμές από 50 ως 200 σταθμούς εργασίας. Τα αποτελέσματα αυτά είναι ιδιαίτερα σημαντικά καθώς εδώ δοκιμάζονται οι αλγόριθμοι σε μεγάλα μεγέθη γραμμών, όπου ο αριθμός των πιθανών λύσεων είναι τεράστιος. Όσο το πρόβλημα μεγαλώνει τόσο πιο σημαντική γίνεται η ταχύτητα της μεθόδου καθώς όπως θα δούμε ενδέχεται να χρειαστούν και ημέρες ολόκληρες για να ολοκληρωθούν οι υπολογισμοί. Τα αποτελέσματα συγκρίνονται με αυτά τις simulated annealing για τις γραμμές από 50 έως 80 σταθμών εργασίας και με αυτά της genetic για τις μεγαλύτερες (100 και 200 σταθμών). Να αναφέρουμε εδώ ότι σε τόσο μεγάλες γραμμές ο NP δεν ήταν δυνατόν να τρέξει. Στα πειράματά μας θεωρήσαμε κυρίως γραμμές όπου υπάρχουν και παράλληλες μηχανές σε πολλούς από τους σταθμούς εργασίας. Επειδή θα ήταν πολύ απαιτητικό σε χώρο να παρουσιάζουμε ολόκληρες τις λύσεις που δίνουν οι μέθοδοι, όπως κάναμε ως τώρα, τις δίνουμε συντομευμένες. Για κάθε λύση δίνουμε ποιοι είναι οι αποθηκευτικοί χώροι που έχουν μια συγκεκριμένη τιμή. Για παράδειγμα μπορεί να λέμε 1 για i=1,3,6,7 107

108 K=50, =98, = 1, όπου i=1,2,,50, =1, όπου i=1,2,,25, =2, όπου i=26,27,,50 Πίνακας 5.28: αποτελέσματα για {K=50, =98, = 1, όπου i=1,2,,50, =1, όπου i=1,2,,25, =2, όπου i=26,27,,50} Βλέπουμε ότι ο gradient δίνει πολύ καλή λύση αντίθετα με τον Heuristic που παρουσιάζει μεγάλο σφάλμα. Επίσης βλέπουμε ότι η διαφορά στον χρόνο του gradient σε σχέση με τις υπόλοιπες μεθόδους είναι τεράστια. Ο συνδυασμός gradient/heuristic δίνει λύση που έχει ακριβώς την ίδια απόδοση με αυτήν της simulated annealing. Ακόμη, παρατηρούμε ότι ο συνδυασμός βελτιώνει εκτός από την απόδοση και τον χρόνο του heuristic, ο οποίος από τα 1105 sec πέφτει στα

109 K=50, =98, = 1, όπου i=1,2,,50, =2, όπου i=1,2,,25, =1, όπου i=26,27,,50 Πίνακας 5.29: αποτελέσματα για { K=50, =98, = 1, όπου i=1,2,,50, =2, όπου i=1,2,,25, =1, όπου i=26,27,,50} Πάλι ο gradient έχει σφάλμα μικρότερο από 0,05% σε σχέση με την SA, ενώ ο Heuristic δεν τα καταφέρνει και τόσο καλό. Ο συνδυασμός δίνει απόδοση ίση με τις SA και μειώνει και πάλι (έστω και σε μικρότερο ποσοστό από ότι πριν) τον χρόνο της σκέτης Heuristic. 109

110 K=50, =98, = 1, όπου i=1,2,,50, =2, όπου i=1,2,,50 Πίνακας 5.30: αποτελέσματα για { K=50, =98, = 1, όπου i=1,2,,50, =2, όπου i=1,2,,50} Εδώ το πρόβλημα είναι συμμετρικό (όλοι οι σταθμοί εργασίας ταυτόσημοι) και η αρχική λύση είναι καλύτερη από πριν. Ο gradient τη βελτιώνει αλλά έχει λίγο μεγαλύτερο σφάλμα από πριν σε σχέση με την SA από πριν (0,173%). O Heuristic τα καταφέρνει πολύ καλά και βρίσκει ίδια απόδοση με την SA. Ενδιαφέρον είναι ότι ο συνδυασμός gradient/heuristic δίνει ελάχιστα μικρότερη απόδοση από αυτήν του heuristic και μάλιστα σε περισσότερο χρόνο. Ο gradient παραμένει με μεγάλη διαφορά η ταχύτερη μέθοδος. Πάντως βλέπουμε ότι και ο Heuristic είναι πολύ ταχύτερος από την SA. 110

111 K=50, =100, = 1, όπου i=1,2,,50, =2, όπου i=1,2,,50 Πίνακας 5.31: αποτελέσματα για { K=50, =100, = 1, όπου i=1,2,,50, =2, όπου i=1,2,,50} Εδώ και πάλι το πρόβλημα είναι συμμετρικό και ο gradient δεν μπορεί να βελτιώσει την αρχική λύση, η οποία όμως έχει πολύ μικρό σφάλμα σε σχέση με SA (0,36%). Ο Heuristic δίνει καλύτερη απόδοση με πολύ μικρό σφάλμα σε σχέση με το αποτέλεσμα της SA. Ο συνδυασμός gradient/heuristic δίνει ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα με την Heuristic, πράγμα που είναι λογικό καθώς ο gradient δε βελτίωσε την αρχική λύση. Ο συνδυασμός χρειάζεται ελαφρώς περισσότερο χρόνο από όσον απαιτείται για την heuristic όταν αυτή δρα αυτόνομα. 111

112 K=60, =118, = 1, όπου i=1,2,,60, =1, όπου i=1,2,,30, =2, όπου i=31,27,,60 Πίνακας 5.32: αποτελέσματα για { K=60, =118, = 1, όπου i=1,2,,60, =1, όπου i=1,2,,30, =2, όπου i=31,27,,60} Εδώ οι αλγόριθμοι δεν κατάφεραν να δώσουν καλή λύση και ο gradient έχει σφάλμα περίπου 5% ενώ ο heuristic περίπου 6.8%. O συνδυασμός gradient/heuristic βελτιώνει ελάχιστα (κατά 0,004%) τη λύση του heuristic με πολύ μεγάλο χρόνο υπολογισμού. Βλέπουμε ότι παρόλο που το πρόβλημα μεγάλωσε ο gradient κατέληξε μέσα σε περίπου ένα λεπτό. 112

113 K=60, =118, = 1, όπου i=1,2,,60, =2, όπου i=1,2,,30, =1, όπου i=31,27,,60 Πίνακας 5.33: αποτελέσματα για {Κ=60, =118, = 1, όπου i=1,2,,60, =2, όπου i=1,2,,30, =1, όπου i=31,27,,60} Στην περίπτωση αυτή ο gradient δίνει πολύ καλή λύση με σφάλμα μικρότερο το 1% σε σχέση με την SA. Αντίθετα ο Heuristic έχει και πάλι σφάλμα μεγαλύτερο του 6%. Ο συνδυασμός gradient/heuristic βελτιώνει ακόμη πιο πολύ τη λύση με αρκετά καλή ταχύτητα. 113

114 K=60, =118, = 1, όπου i=1,2,,60, =2, όπου i=1,2,,60 Πίνακας 5.34: αποτελέσματα για {Κ=60, =118, = 1, όπου i=1,2,,60, =2, όπου i=1,2,,60} Ο gradient βελτιώνει πολύ γρήγορα την ήδη πολύ καλή (λόγω συμμετρίας) αρχική λύση. Ο Heuristic δίνει εξαιρετικά καλό αποτέλεσμα που βελτιώνει έστω και ελάχιστα αυτό της SA. Ο gradient/heuristic δίνει λίγο μικρότερη απόδοση από αυτήν του σκέτου heuristic ενώ βελτιώνει λίγο την ταχύτητα. 114

115 K=60, =122, = 1, όπου i=1,2,,60, =2, όπου i=1,2,,60 Πίνακας 5.35: αποτελέσματα για {Κ=60, =122, = 1, όπου i=1,2,,60, =2, όπου i=1,2,,60} Στη συγκεκριμένη γραμμή ο gradient δεν κατόρθωσε να βελτιώσει την αρχική λύση και έχει σφάλμα 0,509%. Ο heuristic δίνει αρκετά καλύτερη λύση με σφάλμα 0,115% σε σχέση με την SA. 115

116 K=70, =138, = 1, όπου i=1,2,,70, =2, όπου i=1,2,,35, =1, όπου i=36,37,,70 Πίνακας 5.36: αποτελέσματα για {Κ=70, =138, = 1, όπου i=1,2,,70, =2, όπου i=1,2,,35, =1, όπου i=36,37,,70} Ο gradient κατορθώνει μέσα σε πολύ λίγο χρόνο (περίπου ένα λεπτό) να δώσει μια πολύ καλή λύση με σφάλμα μόλις 0,1% σε σχέση με την SA. Αντίθετα ο heuristic παρουσιάζει μεγάλο σφάλμα που ξεπερνάει το 6,8%. Ο συνδυασμός gradient/heuristic δίνει ακόμη καλύτερη λύση που προσεγγίζει αυτήν της SA, ενώ βελτιώνει κατά πολύ τον χρόνο της heuristic. 116

117 K=70, =138, = 1, όπου i=1,2,,70, =2, όπου i=1,2,,70 Πίνακας 5.37: αποτελέσματα για {Κ=70, =138, = 1, όπου i=1,2,,70, =2, όπου i=1,2,,70} Ο gradient βρίσκει μια πολύ καλή λύση με πολύ μικρό σφάλμα. Ο heuristic όμως δίνει πολύ καλή λύση που ξεπερνάει ελάχιστα και αυτήν της SA. Ο συνδυασμός gradient/heuristic δίνει ελάχιστα χειρότερη λύση σε σχέση με την heuristic, βελτιώνεται όμως αρκετά ο χρόνος του υπολογισμού. 117

118 K=80, =158, = 1, όπου i=1,2,,80, =1, όπου i=1,2,,40, =2, όπου i=41,42,,80 Πίνακας 5.38: αποτελέσματα για {Κ=80, =158, = 1, όπου i=1,2,,80, =1, όπου i=1,2,,40, =2, όπου i=41,42,,80} Εδώ και οι δύο μέθοδοι αποτυγχάνουν να δώσουν καλή λύση και έχουν και οι δύο σφάλμα μεγαλύτερο από 5% με τον gradient να υπερτερεί ελαφρώς. Ο συνδυασμός gradient/heuristic χρειάστηκε πάρα πολύ χρόνο (υπερδιπλάσιο της SA) για να τρέξει και βελτίωσε ελάχιστα τη λύση του gradient (0,001771%). 118

119 K=80, =158, = 1, όπου i=1,2,,80, =2, όπου i=1,2,,80 Πίνακας 5.39: αποτελέσματα για {Κ=80, =158, = 1, όπου i=1,2,,80, =2, όπου i=1,2,,80} Ο gradient βελτιώνει πάλι την πολύ καλή (λόγω συμμετρίας) αρχική λύση. Ο Heuristic δίνει πολύ καλό αποτέλεσμα με ελάχιστο σφάλμα σε σχέση με την SA. Ο gradient/heuristic δίνει λίγο μικρότερη απόδοση από αυτήν του σκέτου heuristic, βελτιώνει όμως αρκετά τον χρόνο υπολογισμού. 119