Αλγόριθµος Βελτιστοποίησης τύπου Nested Partitions για τη Σχεδίαση Βιοµηχανικών Συστηµάτων. Συγκριτική Μελέτη µε άλλους Αλγορίθµους

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗ» ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Αλγόριθµος Βελτιστοποίησης τύπου Nested Partitions για τη Σχεδίαση Βιοµηχανικών Συστηµάτων. Συγκριτική Μελέτη µε άλλους Αλγορίθµους ιπλωµατική Εργασία του Παπακρίβου Χρήστου (ΑΕΜ: 212) Επιβλέποντες Καθηγητές: ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΥΣΟΛΕΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2009

2 Αφιερώνεται στη σύζυγο και το γιο µου, για την αµέριστη κατανόηση που έδειξαν και την ηθική συµπαράσταση που µου προσέφεραν κατά τη διάρκεια εκπόνησης της παρούσας διπλωµατικής εργασίας.

3 Ευχαριστίες Αισθάνοµαι την ανάγκη να εκφράσω τις ειλικρινείς µου ευχαριστίες σε όλους, όσους µε παρότρυναν, συµβούλεψαν και βοήθησαν στην δηµιουργία αυτής της εργασίας. Κατ αρχάς θα ήθελα να ευχαριστήσω θερµά τον επιβλέποντα Καθηγητή κ. Παπαδόπουλο Χρυσολέοντα, τόσο για την γνωστική βοήθεια, όσο και για την καθοδήγηση και υποστήριξη την οποία προσέφερε καθ όλη την διάρκεια εκπόνησης αυτής της διπλωµατικής εργασίας. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω τον Λέκτορα κ. ιαµαντίδη Αλέξανδρο για τη συνεργασία και τις συµβουλές του που βοήθησαν στην ολοκλήρωση της εργασίας αυτής. Ευχαριστώ πολύ την οικογένεια µου που µου συµπαραστάθηκαν και µε παρότρυναν συνεχώς σε όλη τη διάρκεια των σπουδών και πολύ περισσότερο κατά το χρονικό διάστηµα εκπόνησης της παρούσας διπλωµατικής εργασίας. Επίσης, θα επιθυµούσα να ευχαριστήσω το συνάδελφο κ. Παπαδόπουλο Σάββα, για τη σηµαντική βοήθεια και καθοδήγηση του κατά την υλοποίηση του τεχνικού µέρους της συγκεκριµένης εργασίας. Επίσης, τους συναδέλφους κ. Πιτσιόρλα Θωµά και κ. αγκάκη Γεώργιο, για την άψογη συνεργασία τους κατά την προσπάθεια ολοκλήρωσης της εργασίας.

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κίνητρο, Συνεισφορά και Περίγραµµα Εργασίας... 6 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ... 9 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Εισαγωγή Εισαγωγή στα Βιοµηχανικά συστήµατα Κατηγοριοποίηση Βιοµηχανικών Συστηµάτων Σειριακές Γραµµές Παραγωγής Μη σειριακές γραµµές παραγωγής Γραµµές παραγωγής µε σταθµούς εργασίας που αποτελούνται από πολλές παράλληλες µηχανές επεξεργασίας Γραµµές Παραγωγής διακριτού και συνεχούς τύπου προϊόντων Αξιόπιστες και µη αξιόπιστες γραµµές παραγωγής Συγχρονισµένες και µη συγχρονισµένες γραµµές παραγωγής Ευέλικτα βιοµηχανικά συστήµατα και job shops Μέτρα απόδοσης βιοµηχανικού συστήµατος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Εισαγωγή Μέθοδοι εκτίµησης και βελτιστοποίησης γραµµών παραγωγής Μαρκοβιανή Ανάλυση Μέθοδος της Αποσύνθεσης (Decomposition method) Η Μέθοδος της Συνάθροισης (Aggregation Method) Μέθοδος της Προσοµοίωσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - ΜΕΘΟ ΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Εισαγωγή Ορισµός και Τυποποίηση Προβλήµατος Μέθοδος Απαρίθµησης (Enumeration Method) Αναλυτικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Γενετικοί αλγόριθµοι (Genetic Algorithms) Μέθοδος Simulated Annealing Μέθοδος Tabu Search Μέθοδος Nested Partitions Μέθοδος Gradient Μέθοδος LIBA Ευρεστική Μέθοδος Υβριδικές µέθοδοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 - ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΓΡΑΜΜΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Εισαγωγή Αλγόριθµος Nested Partitions Αλγόριθµος Gradient Εκτιµητική Συνάρτηση Υβριδικός Αλγόριθµος NP/Gradient... 73

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 - ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Εισαγωγή Πειραµατικός Σχεδιασµός Αποτελέσµατα Αποτελέσµατα δοκιµών σε µικρές γραµµές παραγωγής Αποτελέσµατα δοκιµών σε µεσαίου µεγέθους γραµµές παραγωγής µε =1 και = Αποτελέσµατα δοκιµών σε µεσαίου µεγέθους γραµµές παραγωγής όπου δεν είναι όλοι οι σταθµοί ταυτόσηµοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 - ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΕΡΕΥΝΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

6 Κίνητρο, Συνεισφορά και Περίγραµµα Εργασίας Η ανάλυση των βιοµηχανικών συστηµάτων παραγωγής παίζει αναµφισβήτητα πολύ σηµαντικό ρόλο, τόσο στην εξέλιξή τους όσο και στη σωστή εκµετάλλευσή τους από τον άνθρωπο µε αντικειµενικό στόχο την ταυτόχρονη µεγιστοποίηση του κέρδους και ελαχιστοποίηση του κόστους των επιχειρήσεων που τα χρησιµοποιούν, επενδύοντας σηµαντικά κεφάλαια. Η ολοένα και αυξανόµενη ανάγκη για µαζική παραγωγή ποιοτικών προϊόντων, ως άµεση συνέπεια της παγκόσµιας αύξησης του πληθυσµού, καθιστά επιτακτική την ανάγκη της µελέτης και ανάλυσης βιοµηχανικών συστηµάτων παραγωγής. Τα βιοµηχανικά συστήµατα παραγωγής, ως ένας τοµέας του ευρύτερου χώρου της µηχανικής, υπόκειται σε µεγάλο βαθµό σε αβεβαιότητα λόγω του ότι οι εµπλεκόµενες παράµετροι που το προσδιορίζουν είναι συνήθως στοχαστικές. Ένα από τα ζητήµατα που σχετίζονται µε την ανάλυση και σχεδίαση των βιοµηχανικών συστηµάτων παραγωγής είναι η κατανοµή ενδιάµεσων αποθηκευτικών χώρων µε συγκεκριµένη χωρητικότητα αποθήκευσης, µεταξύ των σταθµών εργασίας προϊόντων. Το ζήτηµα της κατανοµής αποθηκευτικών χώρων αποτελεί ένα σηµαντικό πρόβληµα βελτιστοποίησης που αντιµετωπίζεται κατά τη σχεδίαση, ανάπτυξη και λειτουργία ενός βιοµηχανικού συστήµατος. Το πρόβληµα αυτό αποτελεί ένα πολύ σύνθετο στόχο που επηρεάζει σηµαντικά τις τυχαίες διακυµάνσεις των µέσων ποσοστών παραγωγής των σταθµών εργασίας στις γραµµές παραγωγής βιοµηχανικών συστηµάτων. Η πολυπλοκότητα του προβλήµατος αυτού και η αδυναµία της επιστήµης να δώσει ακριβείς λύσεις στα προβλήµατα αυτά, είχε οδηγήσει στο παρελθόν στην εφαρµογή τεχνικών οι οποίες βασίζονταν κυρίως στην κοινή πρακτική, στη διαίσθηση και στην εµπειρία των άµεσα εµπλεκοµένων. Αρκετές φορές σηµαντικά εργαλεία όπως οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές, χρησιµοποιούνταν µόνο για την υλοποίηση τέτοιου είδους διαισθητικών και πρακτικών τεχνικών. Τις τελευταίες δεκαετίες παρατηρήθηκε µια ιδιαίτερη ενασχόληση της επιστηµονικής κοινότητας µε τα προβλήµατα που σχετίζονται µε τα βιοµηχανικά συστήµατα και συγκεκριµένα µε το πρόβληµα κατανοµής αποθηκευτικού χώρου, γεγονός που είχε ως άµεση συνέπεια τη δηµιουργία θεωριών, τεχνικών και 6

7 αλγορίθµων, οι οποίοι συνέβαλαν στην επίλυση των προβληµάτων που προκύπτουν κατά τη λειτουργία των βιοµηχανικών συστηµάτων. Η εργασία αυτή ασχολείται µε την ανάπτυξη ενός αλγορίθµου που συµβάλει στην επίλυση του προβλήµατος κατανοµής αποθηκευτικού χώρου, σε βιοµηχανικά συστήµατα στα οποία η ροή των προϊόντων είναι γραµµική. Πιο συγκεκριµένα, η εργασία αυτή αποτελείται από τα έξι κεφάλαια: Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζεται µια εισαγωγή στα βιοµηχανικά συστήµατα στην οποία περιγράφονται οι κατηγορίες των βιοµηχανικών συστηµάτων που συναντώνται στην πράξη και σε αναλύσεις στη διεθνή βιβλιογραφία. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι µέθοδοι ανάλυσης των βιοµηχανικών συστηµάτων που χρησιµοποιούνται στη σχεδίαση, ανάλυση και βελτιστοποίησή τους. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται αναλυτικά το πρόβληµα κατανοµής αποθηκευτικού χώρου σε σειριακές γραµµές παραγωγής και διάφοροι µέθοδοι βελτιστοποίησης που έχουν αναφερθεί στη διεθνή βιβλιογραφία. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζεται ένας αλγόριθµος για τον προσδιορισµό της βέλτιστης κατανοµής αποθηκευτικών χώρων σε σειριακές, διακριτές και αξιόπιστες γραµµές παραγωγής, στις οποίες κάθε σταθµός εργασίας µπορεί να αποτελείται από παράλληλες µηχανές. Στο πέµπτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα των δοκιµών που διεξήχθησαν µε τον προτεινόµενο αλγόριθµο και µια συγκριτική µελέτη αυτών µε αποτελέσµατα άλλων αλγορίθµων. Στο έκτο και τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας παρουσιάζονται τα συµπεράσµατα που προέκυψαν από την εργασία. Ο αλγόριθµος που αναπτύχθηκε για τον προσδιορισµό της βέλτιστης κατανοµής αποθηκευτικών χώρων σε σειριακές γραµµές παραγωγής, αποτελεί µια παραλλαγή του αλγορίθµου Nested Partitions σε συνδυασµό µε µια τροποποίηση του αλγορίθµου Gradient. Η συνεισφορά της παρούσας εργασίας έγκειται στην υλοποίηση και τροποποίηση του αλγορίθµου ώστε να λειτουργεί αυτόνοµα και σε συνδυασµό µε άλλους αλγορίθµους τοπικής εύρεσης. Επειδή ο αλγόριθµος χρησιµοποιεί τυχαία 7

8 δειγµατοληψία, δοκιµάσθηκε µε πολλούς διαφορετικούς αριθµούς δειγµάτων και έτσι διαπιστώθηκαν τα όρια του αλγορίθµου. Πραγµατοποιήθηκε πειραµατισµός σε σειριακές γραµµές παραγωγής µικρού και µεσαίου µεγέθους (έως 12 και έως 20 σταθµούς εργασίας αντίστοιχα), µε παράλληλες µηχανές στους σταθµούς εργασίας και ακολούθησε συγκριτική µελέτη των αποτελεσµάτων του µε αυτά άλλων αλγορίθµων. Από την εξέταση των αριθµητικών αποτελεσµάτων των δοκιµών που πραγµατοποιήθηκαν, προκύπτει ότι ο αλγόριθµος υπολογίζει µε αρκετή ακρίβεια (η µέγιστη απόκλιση που παρατηρήθηκε ήταν 0,2%) την απόδοση γραµµών παραγωγής µικρού µεγέθους, ενώ στις µεσαίου µεγέθους γραµµές παραγωγής η ακρίβεια υπολογισµού δεν είναι καλή (η µέγιστη απόκλιση που παρατηρήθηκε ήταν 9,7%) και ο χρόνος σύγκλισης του αλγορίθµου είναι υπερβολικός. 8

9 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 3.1: Αντιστοιχία ανόπτησης στο φυσικό κόσµο και στη βελτιστοποίηση γραµµών παραγωγής 49 Πίνακας 5.1: Αποτελέσµατα για {Κ=5, =6, =1 και =1 για κάθε i 84 Πίνακας 5.2: Αποτελέσµατα για {Κ=6, =7, =1 και =1 για κάθε i}.. 85 Πίνακας 5.3: Αποτελέσµατα για {Κ=6, =11, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.4: Αποτελέσµατα για {Κ=6, =12, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.5: Αποτελέσµατα για {Κ=6, =13, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.6: Αποτελέσµατα για {Κ=7, =8, =1 και =1 για κάθε i }. 89 Πίνακας 5.7: Αποτελέσµατα για {Κ=8, =9, =1 και =1 για κάθε i }. 90 Πίνακας 5.8: Αποτελέσµατα για {Κ=8, =10, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.9: Αποτελέσµατα για {Κ=8, =11, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.10: Αποτελέσµατα για {Κ=8, =15, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.11: Αποτελέσµατα για {Κ=9, =10, =1 και =1 για κάθε i } Πίνακας 5.12: Αποτελέσµατα για {Κ=10 =11, =1 και =1 για κάθε i }.. 95 Πίνακας 5.13: Αποτελέσµατα για {Κ=11 =12, =1 και =1 για κάθε i }.. 96 Πίνακας 5.14: Αποτελέσµατα για {Κ=12, =13, =1 και =1 για κάθε i }. 97 Πίνακας 5.15: Αποτελέσµατα για {Κ=13, =26, =1 και =1 για κάθε i }. 101 Πίνακας 5.16: Αποτελέσµατα για {Κ=14, =28, =1 και =1 για κάθε i }. 102 Πίνακας 5.17: Αποτελέσµατα για {Κ=15, =30, =1 και =1 για κάθε i }. 103 Πίνακας 5.18: Αποτελέσµατα για {Κ=16, =32, =1 και =1 για κάθε i }. 104 Πίνακας 5.19: Αποτελέσµατα για {Κ=17, =34, =1 και =1 για κάθε i }. 105 Πίνακας 5.20: Αποτελέσµατα για {Κ=18, =36, =1 και =1 για κάθε i }. 106 Πίνακας 5.21: Αποτελέσµατα για {Κ=19, =38, =1 και =1 για κάθε i }. 107 Πίνακας 5.22: Αποτελέσµατα για {Κ=20, =40, =1 και =1 για κάθε i }. 108 Πίνακας 5.23: Αποτελέσµατα για {Κ=7, =14 και διαφορετικούς σταθµούς εργασίας} 112 Πίνακας 5.24: Αποτελέσµατα για {Κ=10, =20 και διαφορετικούς σταθµούς εργασίας} 113 9

10 Πίνακας 5.25: Αποτελέσµατα για {Κ=15, =30 και διαφορετικούς σταθµούς εργασίας} 114 Πίνακας 5.26: Αποτελέσµατα για {Κ=20, =40 και διαφορετικούς σταθµούς εργασίας}

11 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήµα 1.1: Σειριακή γραµµή παραγωγής µε Ν σταθµούς εργασίας και Ν-1 ενδιάµεσους αποθηκευτικούς χώρους Σχήµα 1.2: Γραµµή συναρµολόγησης µε 7 σταθµούς εργασίας και 6 ενδιάµεσους αποθηκευτικούς χώρους 19 Σχήµα 1.3: Γραµµή αποσυναρµολόγησης µε 4 σταθµούς εργασίας και 3 ενδιάµεσους αποθηκευτικούς χώρους 20 Σχήµα 1.4: Σύστηµα συγχώνευσης εργασιών µε 3 µηχανές και 2 αποθηκευτικούς χώρους. 21 Σχήµα 1.5: Σύστηµα συγχώνευσης µε 3 µηχανές και 1 αποθηκευτικό χώρο Σχήµα 1.6: Γραµµή διάσπασης µε 4 µηχανές και 3 αποθηκευτικούς χώρους. 24 Σχήµα 1.7: Γραµµή παραγωγής µε βρόγχο επανεπεξεργασίας. 25 Σχήµα 1.8: Γραµµή παραγωγής µε σταθµούς εργασίας που αποτελούνται από παράλληλες µηχανές εξυπηρέτησης Σχήµα 2.1: Αλληλεξάρτηση εκτιµητικών και γενετικών µεθόδων Σχήµα 2.2: οµικό Στοιχείο της Μεθόδου της Αποσύνθεσης (decomposition block) Σχήµα 2.3: Σειριακή γραµµή παραγωγής µε 4 µηχανές και 3 αποθηκευτικούς χώρους. 34 Σχήµα 2.4: Η µέθοδος της αποσύνθεσης για τη γραµµή παραγωγής του σχήµατος Σχήµα 2.5: Η µέθοδος της συνάθροισης για τη γραµµή παραγωγής του σχήµατος Σχήµα 2.6: Γραµµή παραγωγής 4 µηχανές και 3 αποθηκευτικούς χώρους Σχήµα 3.1: ιάγραµµα ροής µεθόδου απαρίθµησης. 44 Σχήµα 3.2: ιάγραµµα ροής γενετικού αλγορίθµου.. 46 Σχήµα 3.3: ιάγραµµα ροής αλγορίθµου Tabu Search. 51 Σχήµα 3.4: Σχηµατική απεικόνιση της διαδικασίας διαίρεσης υπογραµµών σύµφωνα µε την ευρεστική µέθοδο 58 Σχήµα 3.5: ιάγραµµα ροής ευρεστικής µεθόδου

12 Σχήµα 4.1: Τµηµατοποίηση του Buffer Allocation Problem µε Κ=4 και Ν=12 62 Σχήµα 4.2: ιάγραµµα ροής του αλγόριθµου Gradient. 71 Σχήµα 4.3: ιάγραµµα ροής του προτεινόµενου αλγόριθµου NP. 77 Σχήµα 5.1: Απεικόνιση του σφάλµατος της βέλτιστης λύσης των αλγορίθµων σε σχέση µε της Απαρίθµησης, σε γραµµές παραγωγής µικρού µήκους. 98 Σχήµα 5.2: Απεικόνιση του χρόνου σύγκλισης των αλγορίθµων, σε γραµµές παραγωγής µικρού µεγέθους 99 Σχήµα 5.3: Απεικόνιση του χρόνου σύγκλισης των αλγορίθµων, σε γραµµές παραγωγής µε 6 µηχανές και κυµαινόµενη χωρητικότητα αποθηκευτικών χώρων 100 Σχήµα 5.4: Απεικόνιση του χρόνου σύγκλισης των αλγορίθµων, σε γραµµές παραγωγής µε 8 µηχανές και κυµαινόµενη χωρητικότητα αποθηκευτικών χώρων 100 Σχήµα 5.5: Απεικόνιση του σφάλµατος της βέλτιστης λύσης των αλγορίθµων σε σχέση µε της Simulated Annealing, σε γραµµές παραγωγής µεσαίου µεγέθους 109 Σχήµα 5.6: Απεικόνιση του σφάλµατος της βέλτιστης λύσης των αλγορίθµων σε σχέση µε της Genetic, σε γραµµές παραγωγής µεσαίου µεγέθους 110 Σχήµα 5.7: Απεικόνιση του χρόνου σύγκλισης των αλγορίθµων σε γραµµές παραγωγής µεσαίου µεγέθους 111 Σχήµα 5.8: Απεικόνιση του σφάλµατος απόδοσης των αλγορίθµων σε σχέση µε SA, σε γραµµές παραγωγής µεσαίου µεγέθους µε διαφορετικούς σταθµούς εργασίας 117 Σχήµα 5.9: Απεικόνιση του σφάλµατος απόδοσης των αλγορίθµων σε σχέση µε GA, σε γραµµές παραγωγής µεσαίου µεγέθους µε διαφορετικούς σταθµούς εργασίας 117 Σχήµα 5.10: Απεικόνιση του χρόνου σύγκλισης των αλγορίθµων σε γραµµές παραγωγής µεσαίου µεγέθους µε διαφορετικούς σταθµούς εργασίας

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 1.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται µια εισαγωγή γενικά στα βιοµηχανικά συστήµατα, στην ορολογία που χρησιµοποιείται, καθώς επίσης και στις κυριότερες κατηγορίες βιοµηχανικών συστηµάτων που υπάρχουν και έχουν µελετηθεί στη διεθνή βιβλιογραφία. Σκοπός του κεφαλαίου είναι να δώσει τις βασικές έννοιες του αντικειµένου των βιοµηχανικών συστηµάτων στον αναγνώστη, ώστε να γίνει πιο εύκολη η ανάγνωση και κατανόηση των κεφαλαίων που ακολουθούν. Πιο συγκεκριµένα, στην ενότητα 1.2 παρουσιάζονται τα βασικά στοιχεία από τα οποία αποτελείται ένα βιοµηχανικό σύστηµα και γίνεται µια αναφορά στα κύρια προβλήµατα που έχουν µελετηθεί από διάφορους ερευνητές και σχετίζονται µε τα βιοµηχανικά συστήµατα. Στην ενότητα 1.3 παρουσιάζεται µια κατηγοριοποίηση των βιοµηχανικών συστηµάτων που έχουν µελετηθεί στη διεθνή βιβλιογραφία, σύµφωνα µε διάφορα κριτήρια µε τα οποία αυτά εξετάζονται. Τέλος, στην ενότητα 1.4 αναφέρονται τα κυριότερα µέτρα απόδοσης βιοµηχανικών συστηµάτων που χρησιµοποιούνται και έχουν µελετηθεί στη διεθνή βιβλιογραφία 1.2 Εισαγωγή στα Βιοµηχανικά συστήµατα Με τον αγγλικό όρο Manufacturing εννοούµε τη διαδικασία µετατροπής µιας πρώτης ύλης σε ένα χρήσιµο αγαθό-προϊόν. Οτιδήποτε πραγµατοποιείται σε κάποιες ή για κάποιες διαδικασίες ενός εργοστασίου, ονοµάζεται βιοµηχανική κατασκευή. Με τον όρο βιοµηχανικά συστήµατα (manufacturing systems) εννοούµε συστήµατα µαζικής παραγωγής διαφόρων προϊόντων, που συνήθως αποτελούνται από ένα σύνολο σταθµών εργασίας (µηχανών) των πρώτων υλών. Οι σταθµοί εργασίας µπορεί να είναι τοποθετηµένοι σειριακά ή όχι, ανάλογα µε τη σχεδίαση του συστήµατος. Στα συστήµατα αυτά, η µονάδα προϊόντος ακολουθεί µια συγκεκριµένη πορεία επεξεργασίας, κινούµενη από τον ένα σταθµό εργασίας στον άλλο, ενώ οι σταθµοί εργασίας εκτελούν τις ίδιες εργασίες κάθε φορά και για κάθε προϊόν. Στα ιδεατά βιοµηχανικά συστήµατα όπου οι µηχανές δεν σταµατούν να λειτουργούν, η κατάσταση είναι πολύ απλή, αφού αρκεί η εξασφάλιση της οµαλής 13

14 ροής των προϊόντων προς επεξεργασία, η διατήρηση της ισορροπίας της απόδοσης των µηχανών και των αποθηκευτικών χώρων µεταξύ των µηχανών, ώστε να επιτυγχάνεται η επιθυµητή απόδοση του συστήµατος. Στην πραγµατικότητα όµως, ένα σηµαντικό πρόβληµα που παρουσιάζεται στα βιοµηχανικά συστήµατα, είναι το γεγονός ότι η εµφάνιση ενός προβλήµατος σε κάποιο σηµείο του βιοµηχανικού συστήµατος µπορεί να έχει σηµαντική αρνητική επίδραση σε άλλα επόµενα σηµεία του συστήµατος (Jingshan Li, Semyon M. Meerkov, 2008). Παραδείγµατος χάριν, ας υποθέσουµε ότι η ολοκλήρωση ενός προϊόντος απαιτεί την επεξεργασία του από τρεις διαδοχικούς σταθµούς εργασίας (µηχανές). Αν η ενδιάµεση µηχανή παρουσιάσει πρόβληµα και τεθεί εκτός λειτουργίας (down, failed) για κάποιο λόγο, τότε αυτόµατα η προηγούµενη από αυτήν µηχανή δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί γιατί µπλοκάρεται (blocked) η µετάδοση, του προϊόντος που έχει επεξεργαστεί, προς την επόµενη της µηχανή. Επίσης, η επόµενη µηχανή από αυτή που είναι εκτός λειτουργίας, στερείται προϊόντων προς επεξεργασία δηλαδή µένει άδεια (starved), αφού τα προϊόντα δεν φτάνουν σε αυτή, ασχέτως εάν αυτή λειτουργεί κανονικά. Έτσι θα πρέπει να προχωρήσουµε στην επιδιόρθωση της µηχανής που παρουσίασε πρόβληµα, ώστε να µπορέσει να συνεχιστεί η κανονική ροή επεξεργασίας των προϊόντων. Εποµένως διαπιστώνουµε ότι η βλάβη κάποιας µηχανής του συστήµατος επηρεάζει άµεσα τις γειτονικές της µηχανές, µε συνέπεια η δυσλειτουργία αυτή να µεταδίδεται από ένα σηµείο του συστήµατος σε άλλο και να έχει ως τελικό αποτέλεσµα τη δυσλειτουργία του όλου βιοµηχανικού συστήµατος. Αυτού του είδους τα προβλήµατα οδηγούν σε δυσλειτουργία της ροής των προϊόντων στο σύστηµα, επειδή η ποσότητα του προϊόντος που είναι αποθηκευµένη µεταξύ δύο γειτονικών µηχανών είναι περιορισµένη. Ένας τρόπος επίλυσης ή τουλάχιστον περιορισµού των φαινοµένων µπλοκαρίσµατος και στέρησης, αποτελεί η αύξηση του ενδιάµεσου αποθηκευτικού χώρου (buffer) µεταξύ των διαδοχικών µηχανών. Θεωρητικά, σε συστήµατα αξιόπιστων µηχανών, µε τη χρήση άπειρων αποθηκευτικών χώρων µόνο το φαινόµενο της στέρησης προϊόντος (starvation) είναι πιθανό, ενώ το φαινόµενο του µπλοκαρίσµατος δεν υφίσταται. Το γεγονός όµως ότι οι αποθηκευτικοί χώροι συνήθως κοστίζουν ακριβά και δεν είναι πάντα και παντού εύκολη η εφαρµογή τους, καθώς επίσης το ότι η βέλτιστη κατανοµή αυτών των αποθηκευτικών χώρων δεν είναι πάντα προφανής, αποτελούν δύο πολύ σηµαντικούς παράγοντες που πρέπει να λάβουµε υπόψη µας κατά την επίλυση του προβλήµατος. 14

15 Όσον αφορά τον παράγοντα κόστος αποθηκευτικού χώρου δεν υπάρχουν πολλά περιθώρια επιλογής. Σχετικά µε τον δεύτερο όµως παράγοντα, την κατανοµή του αποθηκευτικού χώρου ανάµεσα στις γειτονικές µηχανές, πρέπει να πραγµατοποιείται κατά τέτοιο τρόπο ώστε ταυτόχρονα να επιτυγχάνεται και µεγιστοποίηση της απόδοσης του συστήµατος. Κατά τη διαδικασία λοιπόν της σχεδίασης ενός βιοµηχανικού συστήµατος, είναι απαραίτητη η βέλτιστη κατανοµή των σταθµών εργασίας (Server Allocation Problem (SAP)) και των ενδιάµεσων αποθηκευτικών χώρων (Buffer Allocation Problem (BAP)), καθώς επίσης και η βέλτιστη κατανοµή των εργαζοµένων (Worker Allocation Problem (WAP)), ώστε να επιτευχθεί η µεγιστοποίηση της απόδοσης του συστήµατος. Γίνεται κατανοητό λοιπόν ότι πρέπει να θεωρούµε το βιοµηχανικό σύστηµα ως ένα σύνολο και να µην επικεντρωνόµαστε σε ένα µέρος αυτού που µπορεί να παρουσιάζει πρόβληµα, όταν απαιτείται να λάβουµε κάποιες αποφάσεις σχετικά µε το σχεδιασµό και τον έλεγχο του. Όσον αφορά την απόδοση του συστήµατος, η µέθοδος που χρησιµοποιείται για την πρόβλεψη της σε ένα προσχεδιασµένο βιοµηχανικό σύστηµα, είναι αυτή της προσοµοίωσης. Η προσοµοίωση µπορεί να παρέχει τη δυνατότητα της σε βάθος γνώσης της επίδρασης διαφόρων παραγόντων και αποφάσεων στη διαδικασία και µελέτη διαφόρων σεναρίων, όµως συνήθως είναι ιδιαίτερα χρονοβόρα µέθοδος και κυρίως όταν πρέπει να εξετασθούν συστήµατα µε πολλούς σταθµούς εργασίας. Για το λόγο αυτό τις τελευταίες δεκαετίες έχουν αναπτυχθεί διάφορες αναλυτικές µέθοδοι που αφορούν τα βιοµηχανικά συστήµατα και επιτρέπουν µε πολύ γρήγορο τρόπο την πραγµατοποίηση προσεγγιστικών αναλύσεων της απόδοσης ενός προσχεδιασµένου βιοµηχανικού συστήµατος. Με τη χρήση αυτών των µεθόδων έχουµε τη δυνατότητα να εντοπίσουµε εύκολα και γρήγορα τις πιο "ελκυστικές" λύσεις και στη συνέχεια µε τη χρήση προσοµοίωσης να εντοπίσουµε τη βέλτιστη λύση ανάµεσα στις "ελκυστικές" λύσεις, επιτυγχάνοντας µε αυτό τον τρόπο µεγαλύτερη ακρίβεια στον υπολογισµό της απόδοσης του συστήµατος µας. 1.3 Κατηγοριοποίηση Βιοµηχανικών Συστηµάτων Αναφερόµενοι στα βιοµηχανικά συστήµατα, είπαµε ότι αποτελούν συστήµατα µαζικής παραγωγής διαφόρων προϊόντων και αποτελούνται από ένα σύνολο σταθµών εργασίας των οποίων η διάταξη µπορεί να διαφέρει από σύστηµα σε σύστηµα 15

16 ανάλογα µε τις ανάγκες. Στη συνέχεια της ενότητας θα γίνει µια προσπάθεια κατηγοριοποίησης των βιοµηχανικών συστηµάτων, σύµφωνα µε διάφορα κριτήρια που συναντώνται στη διεθνή βιβλιογραφία. Τα βιοµηχανικά συστήµατα διακρίνονται σε δύο βασικές κατηγορίες: Συστήµατα µε προκαθορισµένη συνεχή ροή ((flow lines ή production lines) Συστήµατα για µικρές παρτίδες - σύνθετες ροές (job shops) Το βασικό χαρακτηριστικό των γραµµών παραγωγής είναι ότι όλα τα παραγόµενα προϊόντα πρέπει να περάσουν από όλες τις µηχανές για επεξεργασία και µε την ίδια σειρά. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα οι γραµµές παραγωγής να µην παράγουν µεγάλη ποικιλία διαφορετικών προϊόντων. Βέβαια, το πλεονέκτηµα των γραµµών παραγωγής είναι ότι όλα τα προϊόντα επισκέπτονται τις µηχανές για επεξεργασία µε την ίδια σειρά, γεγονός που βοηθά σηµαντικά στον ευκολότερο έλεγχο της ροής των προϊόντων και συνεπώς αυτό έχει ως αποτέλεσµα τη δυνατότητα παραγωγής µεγάλου όγκου προϊόντων. Τα job shops αποτελούνται από διαφορετικού τύπου µηχανές, οι οποίες µπορούν να παράγουν διαφορετικά προϊόντα η κάθε µια. Το βασικό χαρακτηριστικό τους είναι ότι κάθε προϊόν µπορεί να επισκεφθεί τις µηχανές για επεξεργασία µε διαφορετική σειρά. Έτσι, αν µια συγκεκριµένη χρονική στιγµή µια µηχανή παράγει ένα προϊόν, τότε για να µπορέσει να επεξεργαστεί η ίδια µηχανή κάποιο προϊόν άλλου τύπου, θα πρέπει να περάσει κάποιο χρονικό διάστηµα ώστε να προετοιµαστεί η µηχανή για την επεξεργασία του νέου τύπου προϊόντος. Το γεγονός αυτό έχει ως αποτέλεσµα τα job shops να έχουν δυνατότητα παραγωγής µικρού όγκου προϊόντων, σε σχέση µε τις γραµµές παραγωγής, αλλά τους δίνει το σηµαντικό πλεονέκτηµα της παραγωγής µεγάλης ποικιλίας προϊόντων διαφορετικού τύπου. Οι γραµµές παραγωγής ανάλογα µε τα κριτήρια µε τα οποία εξετάζονται στη διεθνή βιβλιογραφία, διακρίνονται στις παρακάτω κατηγορίες: 1. Ανάλογα µε τη διάταξη και την τοπολογία των µηχανών, διακρίνονται σε: Σειριακές γραµµές παραγωγής (Serial Production Lines) Μη σειριακές γραµµές παραγωγής (Non-Serial Production Lines) 16

17 Γραµµές παραγωγής µε σταθµούς εργασίας που αποτελούνται από πολλές παράλληλες µηχανές επεξεργασίας 2. Ανάλογα µε τον τύπο των παραγόµενων προϊόντων, διακρίνονται σε: Γραµµές παραγωγής διακριτού τύπου προϊόντων (π.χ. βίδες κτλ.) Γραµµές παραγωγής συνεχούς τύπου προϊόντων (π.χ. υγρά, καύσιµα κτλ.) 3. Ανάλογα µε την αξιοπιστία των µηχανών, διακρίνονται σε: Αξιόπιστες γραµµές παραγωγής (Reliable Production Lines) Μη αξιόπιστες γραµµές παραγωγής (Unreliable Production Lines) 4. Ανάλογα µε τη συγχρονισµένη ή όχι κίνηση των προϊόντων από τη µια µηχανή στην άλλη, διακρίνονται σε: Συγχρονισµένες γραµµές παραγωγής (Synchronous production lines) Μη συγχρονισµένες γραµµές παραγωγής (Asynchronous production lines) 5. Ανάλογα µε τη διαφορετικότητα στην επεξεργασία και τον όγκο των παραγόµενων προϊόντων, διακρίνονται σε: Ευέλικτα Βιοµηχανικά Συστήµατα (Flexible Manufacturing Systems) Job shops Στις υποενότητες που ακολουθούν θα γίνει µια προσπάθεια παρουσίασης και ανάλυσης των βασικότερων κατηγοριών βιοµηχανικών συστηµάτων που συναντώνται στη διεθνή βιβλιογραφία Σειριακές Γραµµές Παραγωγής Σειριακές γραµµές παραγωγής ονοµάζονται τα βιοµηχανικά συστήµατα που αποτελούνται από ένα σύνολο σταθµών εργασίας που βρίσκονται σε σειρά και επεξεργάζονται διαδοχικά ο ένας µετά τον άλλο το προϊόν, µέχρι την τελική µορφή του. Στο σχήµα 1.1 απεικονίζεται µια σειριακή γραµµή παραγωγής. Τα τετράγωνα αναπαριστούν τους σταθµούς εργασίας ή µηχανές Μi, i =1,,N ενώ οι κύκλοι αναπαριστούν τους αποθηκευτικούς χώρους (buffers) Βj, j =1, N-1 περιορισµένης χωρητικότητας Cj µεταξύ δυο γειτονικών µηχανών Mj και Mj+1. Η ροή των υλικών καθορίζεται από την κατεύθυνση των βελών όπως φαίνεται στο σχήµα

18 M 1 B 1 M 2 M N-1 B N-1 M N Σχήµα 1.1: Σειριακή γραµµή παραγωγής µε Ν σταθµούς εργασίας και Ν-1 ενδιάµεσους αποθηκευτικούς χώρους. Η λειτουργία των συστηµάτων αυτών έχει ως εξής: µια µηχανή παραλαµβάνει ένα προϊόν προς επεξεργασία από τον αµέσως προηγούµενο αποθηκευτικό χώρο. Σε περίπτωση που ο αποθηκευτικός χώρος είναι κενός, τότε η συγκεκριµένη µηχανή δεν έχει κάποιο προϊόν προς επεξεργασία και µένει άδεια (starved). Όταν µια µηχανή τελειώνει µε την επεξεργασία ενός προϊόντος τότε το τοποθετεί στον αποθηκευτικό χώρο που βρίσκεται µετά από αυτήν (εκτός αν η µηχανή αυτή είναι η τελευταία οπότε το προϊόν εγκαταλείπει το σύστηµα). Σε περίπτωση που ο αποθηκευτικός χώρος είναι γεµάτος, τότε η συγκεκριµένη µηχανή δεν µπορεί να τοποθετήσει το προϊόν εκεί, οπότε δεν µπορεί να απελευθερωθεί από αυτό για να επεξεργασθεί ένα νέο προϊόν και έτσι µπλοκάρεται (blocked) Μη σειριακές γραµµές παραγωγής Οι µη σειριακές γραµµές παραγωγής διακρίνονται περαιτέρω στις παρακάτω υποκατηγορίες: Γραµµές / Συστήµατα Συναρµολόγησης (Assembly Lines/Systems) Γραµµές Αποσυναρµολόγησης (Disassembly Lines) Γραµµές Συγχώνευσης (Merge Lines) Γραµµές ιάσπασης (Split Lines) Αυτό που παρατηρείται στις µη σειριακές γραµµές παραγωγής είναι ότι η ροή των προϊόντων δεν είναι γραµµική. Τα µοντέλα και οι τεχνικές που χρησιµοποιούνται για την βελτιστοποίηση των συστηµάτων αυτών µπορούν να χρησιµοποιηθούν στην ειδική περίπτωση όπου η ροή των προϊόντων είναι γραµµική όπως στο σχήµα

19 Συστήµατα Συναρµολόγησης (Assembly Lines/Systems) Η συνηθέστερη περίπτωση εµφάνισης µη σειριακών γραµµών παραγωγής είναι η περίπτωση που το βιοµηχανικό σύστηµα περιλαµβάνει διαδικασίες συναρµολόγησης προϊόντων. Το σύστηµα συναρµολόγησης είναι η διαδικασία κατασκευής στην οποία διάφορα µέρη προστίθενται στο προϊόν µε διαδοχικό τρόπο, ώστε να παραχθεί το τελικό προϊόν. Τυπικά παραδείγµατα τέτοιων συστηµάτων είναι οι αυτοκινητοβιοµηχανίες, όπου µεγάλος αριθµός διαφορετικών εξαρτηµάτων συναρµολογούνται έτσι ώστε να σχηµατιστεί το τελικό προϊόν. Στο σχήµα 1.2 απεικονίζεται ένα τυπικό παράδειγµα γραµµής συναρµολόγησης µε 7 µηχανές. Μ 1 Β 1,5 Μ 5 Β 5,7 Μ 2 Β 2,5 Μ 7 Μ 3 Β 3,6 Μ 6 Β 6,7 Μ 4 Β 4,6 Σχήµα 1.2: Γραµµή συναρµολόγησης µε 7 σταθµούς εργασίας και 6 ενδιάµεσους αποθηκευτικούς χώρους. Με M i, i=1,,7 απεικονίζονται οι µηχανές, ενώ µε Β i,j, i=1,2,3,4,5,6, j=5,6,7 συµβολίζουµε τον αποθηκευτικό χώρο που βρίσκεται ανάµεσα στις µηχανές Μ i και Μ j. Στο σχήµα 1.2 οι µηχανές M 5, Μ 6, Μ 7 λειτουργούν ως µηχανές συναρµολόγησης, πράγµα που σηµαίνει ότι η µηχανή Μ 5 πρέπει να πάρει µια µονάδα προϊόντος από τον αποθηκευτικό χώρο Β 1,5 και µια µονάδα προϊόντος από τον αποθηκευτικό χώρο B 2,5 και στη συνέχεια να συνδυάσει αυτά τα δυο προϊόντα µε τρόπο ώστε να παραχθεί ένα συναρµολογηµένο προϊόν. Η µηχανή 6 λειτουργεί µε 19

20 εντελώς παρόµοιο τρόπο. Τα προϊόντα που έχουν παραχθεί από τις µηχανές 5 και 6 στην συνέχεια συναρµολογούνται από την µηχανή 7. Κάθε εργασία συναρµολόγησης εκτελείται µόνο αν τα απαιτούµενα προϊόντα είναι διαθέσιµα. Συνεπώς αυτό σηµαίνει ότι αν για οποιοδήποτε λόγο στον αποθηκευτικό χώρο Β 3,6 υπάρχουν µονάδες προϊόντος ενώ στον αποθηκευτικό χώρο Β 4,6 δεν υπάρχει καµία µονάδα προϊόντος, τότε η µηχανή Μ 6 δεν µπορεί να λειτουργήσει, καθώς θα πρέπει να περιµένει την εµφάνιση προϊόντος και στον αποθηκευτικό χώρο Β 3, Συστήµατα Αποσυναρµολόγησης (Disassembly Lines/Systems) Η αποσυναρµολόγηση είναι η µεθοδική εξαγωγή χρήσιµων εξαρτηµάτων και υλικών από απορριφθέντα προϊόντα, µέσα από µια σειρά διαδικασιών. Τα συστήµατα αποσυναρµολόγησης έχουν κερδίσει το ενδιαφέρον στη διεθνή βιβλιογραφία τα τελευταία χρόνια λόγω του ρόλου τους στην αποκατάσταση-ανακύκλωση προϊόντων (McGovern, Gupta, 2005). Τα συστήµατα που χρησιµοποιούνται είναι παρόµοια µε αυτά της συναρµολόγησης. Η απεικόνιση ενός συστήµατος αποσυναρµολόγησης µε 4 µηχανές φαίνεται στο σχήµα 1.3. Β 2,3 Μ 3 Μ 1 Β 1 Μ 2 Β 2,4 Μ 4 Σχήµα 1.3: Γραµµή αποσυναρµολόγησης µε 4 σταθµούς εργασίας και 3 ενδιάµεσους αποθηκευτικούς χώρους. Στο παραπάνω σύστηµα η µηχανή Μ 2 λειτουργεί ως µηχανή αποσυναρµολόγησης και στέλνει µια µονάδα προϊόντος στη µηχανή Μ 3 και µια µονάδα προϊόντος στη µηχανή Μ 4. Το πρόβληµα που αντιµετωπίζεται εδώ είναι στην περίπτωση που κάποιος από τους δυο αποθηκευτικούς χώρους B 2,3 η Β 2,4 είναι γεµάτος, οπότε η µηχανή Μ 2 δεν µπορεί να λειτουργήσει. 20

21 Υπάρχει επίσης η περίπτωση να έχουµε στο ίδιο σύστηµα µηχανές συναρµολόγησης και µηχανές αποσυναρµολόγησης Γραµµές συγχώνευσης (Merge Lines) Τα συστήµατα µε γραµµές συγχώνευσης απορρέουν από τα συστήµατα παραγωγής όπου n διαφορετικά εξαρτήµατα ή τµήµατα παραδίδονται από n παράλληλες γραµµές παραγωγής. Σε κάποιο σηµείο, αυτά τα εξαρτήµατα συναρµολογούνται για να σχηµατίσουν ένα τελικό προϊόν, παίρνοντας ακριβώς ένα εξάρτηµα από κάθε µία από τις n απλές γραµµές. Έτσι, ένα σύστηµα συγχώνευσης αποτελεί ουσιαστικά δύο επιπέδων σύστηµα παραγωγής όπου υπάρχει ένας αριθµός παράλληλων σταθµών στο πρώτο στάδιο, οι οποίοι ακολουθούνται από ένα σταθµό στο δεύτερο στάδιο. Ο σταθµός εργασίας του δευτέρου σταδίου απλά συµπληρώνει σύνολα n εξαρτηµάτων (Golapan, Dinesh Kumar, 1994). Η απεικόνιση ενός συστήµατος συγχώνευσης µε 3 µηχανές εµφανίζεται στο σχήµα 1.4. Το συγκεκριµένο σύστηµα χρησιµοποιήθηκε από τον Helber (1999) για την ανάλυση µεγάλων γραµµών παραγωγής µε εργασίες συγχώνευσης και βρόγχους επανεπεξεργασίας. M 1 B 1,3 B 2,3 M 3 M 2 Σχήµα 1.4: Σύστηµα συγχώνευσης εργασιών µε 3 µηχανές και 2 αποθηκευτικούς χώρους. Στο συγκεκριµένο σύστηµα, η µηχανή Μ 3 έχει δυο άµεσους προγόνους, τις µηχανές Μ 1 και Μ 2. Όταν η µηχανή Μ 3 είναι έτοιµη να επεξεργαστεί κάποιο προϊόν, θα πρέπει αναγκαστικά να το παραλάβει από τον αποθηκευτικό χώρο B 1,3 ή από τον αποθηκευτικό χώρο B 2,3. Η µηχανή Μ 3 θα παραµείνει άδεια (starved) µόνο στην περίπτωση που και oι δυο αυτοί αποθηκευτικοί χώροι είναι άδειοι. 21

22 Σε αυτού του είδους τα συστήµατα, υποθέτουµε ότι τα προϊόντα που βρίσκονται στους αποθηκευτικούς χώρους από τους οποίους τα παραλαµβάνουν οι σταθµοί εργασίας είναι ταυτόσηµα. Η µηχανή συγχώνευσης (merging machine) Μ 3 επιλέγει τα προϊόντα από τους δύο αποθηκευτικούς χώρους B 1,3 και B 2,3, σύµφωνα µε κάποιο κανόνα προτεραιότητας που ορίζεται για την παραλαβή των προϊόντων. Έτσι λοιπόν, στο σχήµα 1.4 ο αποθηκευτικός χώρος B 1,3 έχει προτεραιότητα σε σχέση µε τον B 2,3 και για το λόγο αυτό πάντα παραλαµβάνεται το προϊόν από αυτόν, εκτός και αν αυτός είναι άδειος οπότε τότε παραλαµβάνεται από τον B 2,3. Η αναπαράσταση της προτεραιότητας του αποθηκευτικού χώρου γίνεται µε τη σύνδεση του µε το υπόλοιπο τµήµα του συστήµατος, ενώ αντίθετα ο άλλος αποθηκευτικός χώρος αναπαρίσταται στο σχήµα σαν να µην είναι συνδεδεµένος µε το υπόλοιπο σύστηµα. εν πρέπει να συγχέουµε τα συστήµατα συγχώνευσης µε τα συστήµατα συναρµολόγησης, κάτι που µπορεί να γίνει εύκολα αφού τα δύο συστήµατα µοιάζουν αρκετά. Στα συστήµατα συναρµολόγησης όµως, η µηχανή Μ 3 δεν θα είχε τη δυνατότητα επιλογής αποθηκευτικού χώρου όπως συµβαίνει στην περίπτωση των συστηµάτων συγχώνευσης, αλλά θα ήταν υποχρεωµένη να παραλάβει και από τους δύο αποθηκευτικούς χώρους προϊόντα διαφορετικού τύπου, για να τα συναρµολογήσει σε ένα νέο προϊόν. Επειδή η χρήση του παραπάνω συστήµατος για την ανάλυση µεγάλων γραµµών µε εργασίες συγχώνευσης και βρόγχους επανεπεξεργασίας δεν αποδείχθηκε ιδιαίτερα αποτελεσµατική (διότι παρουσιάζονταν κατά τον προσδιορισµό της απόδοσης µεγάλες αποκλίσεις από τη πραγµατική απόδοση τέτοιων συστηµάτων), ένα νέο σύστηµα που µοντελοποιεί τις εργασίες συγχώνευσης εξετάστηκε από τους Helber και Merthens (1999) και Diamantidis, Papadopoulos and Vidalis (2004). Η χρήση του νέου αυτού συστήµατος αποδείχθηκε σαφώς πιο αποτελεσµατική από τη χρήση του συστήµατος του σχήµατος 1.4, προσδιορίζοντας µε µεγαλύτερη ακρίβεια την απόδοση γραµµών µε εργασίες συγχώνευσης και βρόγχους επανεπεξεργασίας. Το νέο αυτό σύστηµα παρουσιάζεται στο σχήµα 1.5. Μ 1 Β (1,2),3 Μ 3 Μ 2 Σχήµα 1.5: Σύστηµα συγχώνευσης µε 3 µηχανές και 1 αποθηκευτικό χώρο. 22

23 Το νέο αυτό σύστηµα έχει αρκετές διαφορές από το πρωταρχικό σύστηµα. Η πρώτη και βασική διαφορά είναι ότι πριν τη µηχανή συγχώνευσης Μ 3 δεν υπάρχουν δυο αποθηκευτικοί χώροι όπως στο σχήµα 1.4. Υπάρχει µόνο ένας αποθηκευτικός χώρος ο Β (1,2),3 στο οποίο εναποθέτουν τα παραγόµενα προϊόντα οι µηχανές Μ 1 και Μ 2. Οι µηχανές Μ 1 και Μ 2 λειτουργούν παράλληλα, παράγοντας ταυτόσηµα προϊόντα και δεν δίνεται προτεραιότητα σε καµιά από τις δυο, όπως συνέβαινε στο σύστηµα του σχήµατος 1.4. Με τον τρόπο αυτό, η µηχανή Μ 3 επεξεργάζεται τα προϊόντα ανεξάρτητα από ποια µηχανή προέρχονται. Ο µοναδικός κανόνας που ισχύει στο σύστηµα αυτό, είναι ότι όταν ο αποθηκευτικός χώρος Β (1,2),3 γεµίσει τότε η µηχανή Μ 1 έχει προτεραιότητα σε σχέση µε τη µηχανή Μ 2 και θα είναι αυτή η επόµενη µηχανή που θα αποθέσει προϊόν στον αποθηκευτικό χώρο Β (1,2), Γραµµές ιάσπασης (Split Lines) Τα συστήµατα παραγωγής µε γραµµές διάσπασης, περιλαµβάνουν µια εγκατάσταση διάσπασης µε ένα σταθµό εργασίας στο πρώτο στάδιο και ακολουθεί ένας αριθµός σταθµών εργασίας στο δεύτερο στάδιο. Οι παράλληλοι σταθµοί στο δεύτερο στάδιο µπορεί να εκτελούν την ίδια διαδικασία ή διαφορετικές (Golapan, M., Dinesh Kumar, U., 1993). Η διαδικασία σε συστήµατα διάσπασης χαρακτηρίζεται από την παραλαβή ενός κύριου προϊόντος και τη διαδοχική αποσυναρµολόγηση του σε ξεχωριστά εξαρτήµατα-τµήµατα. Τέτοιου είδους συστήµατα χρησιµοποιούνται ευρέως σε συστήµατα υπολογιστών, επικοινωνιών και παραγωγής, καθώς επίσης και σε διαδικασίες ανακύκλωσης διαφόρων προϊόντων. Επίσης, τέτοια συστήµατα προκύπτουν όταν εµφανίζονται προβλήµατα ποιότητας κατά την παραγωγική διαδικασία (δηλαδή κάποια προϊόντα σε κάποιο στάδιο της παραγωγής δεν πληρούν τις προδιαγραφές ποιότητας που έχουν τεθεί από τη διοίκηση του εργοστασίου). Για τα προϊόντα αυτά λοιπόν ακολουθούνται δύο επιλογές: είτε ακολουθούν µια ειδική µεταχείριση (επανεπεξεργασία) ώστε να θεωρηθούν παραδεκτά ή µερικές φορές απορρίπτονται απευθείας από το σύστηµα χωρίς επανεπεξεργασία. Τέτοιου είδους γραµµές παραγωγής µοντελοποιούνται χρησιµοποιώντας συστήµατα µε εργασίες διάσπασης. Η απεικόνιση ενός τέτοιου συστήµατος παρουσιάζεται στο σχήµα

24 Β 2,3 Μ 3 Μ 1 Β 1,2 Μ 2 Β 2,4 Μ 4 Σχήµα 1.6: Γραµµή διάσπασης µε 4 µηχανές και 3 αποθηκευτικούς χώρους. Αναλυτικότερα, στο σύστηµα του σχήµατος 1.6 υπάρχει η µηχανή Μ 2 η οποία έχει δυο δυνατές επιλογές τοποθέτησης του προϊόντος που έχει ήδη επεξεργαστεί σε κάποιο αποθηκευτικό χώρο (Β 2,3 ή Β 2,4 ), ανάλογα µε το σε ποια από τις δύο ακόλουθες µηχανές (Μ 3 ή Μ 4 ) θα συνεχίσει την επεξεργασία του. Έτσι λοιπόν αν ένα προϊόν σε µια χρονική στιγµή t από τη µηχανή Μ 2 σταλεί στη µηχανή Μ 3, τότε την ίδια χρονική στιγµή t η µηχανή Μ 4 δεν θα λάβει κανένα προϊόν. Με την µέθοδο της διάσπασης (split) µοντελοποιούµε φαινόµενα στα οποία η πορεία των προϊόντων στο σύστηµα εξαρτάται από την ποιότητά τους, ανάλογα µε το αν είναι "καλή" ή "ελαττωµατική". Έτσι για παράδειγµα θα µπορούσαµε να θεωρήσουµε ότι όλα τα "καλά" προϊόντα που παράγονται από τη µηχανή Μ 2 θα αποθηκεύονται στον Β 2,3, ενώ όλα τα "ελαττωµατικά" προϊόντα θα αποθηκεύονται στον Β 2,4. Θα πρέπει να τονίσουµε ώστε να γίνει απόλυτα σαφές, την ουσιαστική διαφορά που υπάρχει µεταξύ των εννοιών της αποσυναρµολόγησης (disassembly) και της διάσπασης (split). Στις εργασίες αποσυναρµολόγησης, όπως είναι αυτή που εκτελεί η µηχανή Μ 2 του σχήµατος 1.3, δεν υφίσταται η επιλογή ανάµεσα στους διαφορετικούς αποθηκευτικούς χώρους που υπάρχουν µετά από αυτήν και κάθε ένας από αυτούς τους αποθηκευτικούς χώρους παραλαµβάνει υποχρεωτικά µια µονάδα προϊόντος από την µηχανή Μ 2. Αντίθετα σε εργασίες διάσπασης, υπάρχει η επιλογή για αποθήκευση του προϊόντος σε έναν από τους δύο αποθηκευτικούς χώρους, ανάλογα µε την πορεία που µπορεί να ακολουθήσει το προϊόν µετά την επεξεργασία του από τη µηχανή Μ 2. Για να γίνει πιο κατανοητή η διαφορά των δύο συστηµάτων, ας υποθέσουµε ότι ο αποθηκευτικός χώρος Β 2,3 είναι αυτός στον οποίο αποθηκεύονται τα "καλά" προϊόντα, ενώ στον αποθηκευτικό χώρο B 2,4 αποθηκεύονται τα "ελαττωµατικά" προϊόντα. Όταν η µηχανή Μ 2 ολοκληρώσει την επεξεργασία ενός "καλού" προϊόντος, τότε αυτό θα αποθηκευτεί στον αποθηκευτικό χώρο Β 2,3. Σε περίπτωση που αυτός είναι γεµάτος, ασχέτως εάν ο B 2,4 είναι άδειος, το 24

25 προϊόν θα παραµείνει στη µηχανή Μ 2 µε αποτέλεσµα το µπλοκάρισµα της λειτουργίας του συστήµατος. Τα συστήµατα διάσπασης (split) και συγχώνευσης (merge) χρησιµοποιούνται για την µοντελοποίηση και ανάλυση συστηµάτων γραµµών παραγωγής µε βρόγχους επανεπεξεργασίας, όπως αυτό του σχήµατος 1.7. Μ 1 Β 1 Μ 2 Β 2 Μ 3 Β 3 Μ 4 Β 4 Μ 5 Σχήµα 1.7: Γραµµή παραγωγής µε βρόγχο επανεπεξεργασίας. Σε συστήµατα όπως αυτό του σχήµατος 1.7, κάποιο ποσοστό των προϊόντων που παράγει η µηχανή Μ4 είναι ελαττωµατικά. Αυτά τα προϊόντα στέλνονται ξανά στη µηχανή Μ2 για επανεπεξεργασία. Τα υπόλοιπα προϊόντα συνεχίζουν κανονικά την πορεία επεξεργασίας τους. Η ανάλυση και βελτιστοποίηση τέτοιων γραµµών παραγωγής, πραγµατοποιείται µε τη χρήση συστηµάτων διάσπασης και συγχώνευσης Γραµµές παραγωγής µε σταθµούς εργασίας που αποτελούνται από πολλές παράλληλες µηχανές επεξεργασίας Είναι πολύ σύνηθες το φαινόµενο σε βιοµηχανικά συστήµατα, ένας σταθµός εργασίας να αποτελείται από περισσότερες από µία µηχανές. Τα συστήµατα αυτά αποτελούν µια ξεχωριστή κατηγορία. Ένα τέτοιου είδους σύστηµα απεικονίζεται στο σχήµα 1.8. Το σύστηµα αυτό αποτελείται από σταθµούς εργασίας W i, i=1,,m και κάθε σταθµός εργασίας W i αποτελείται από S i, i=1,,m παράλληλες µηχανές επεξεργασίας. Οι κύκλοι αναπαριστούν τους αποθηκευτικούς χώρους Β j, j =1, M-1, µεταξύ δυο γειτονικών σταθµών εργασίας W j και W j+1 και έχουν περιορισµένη χωρητικότητα C j. Είναι δυνατόν όλες οι S i παράλληλες µηχανές κάθε σταθµού εργασίας W i να έχουν τον ίδιο χρόνο επεξεργασίας, αλλά υπάρχει και η περίπτωση κάθε µια από τις S i παράλληλες µηχανές να έχει διαφορετικό χρόνο επεξεργασίας. 25

26 µ 1 µ 2 µ Μ-1 µ Μ µ 1 µ 2 µ Μ-1 µ Μ.... B 1 B 2 B Μ B Μ µ 1 µ 2 µ Μ-1 µ Μ W 1 S 1 µηχανές W2 S2 µηχανές W Μ-1 S Μ-1 µηχανές W Μ S Μ µηχανές Σχήµα 1.8: Γραµµή παραγωγής µε σταθµούς εργασίας που αποτελούνται από παράλληλες µηχανές εξυπηρέτησης Γραµµές Παραγωγής διακριτού και συνεχούς τύπου προϊόντων Η κατηγορία αυτή των γραµµών παραγωγής εξαρτάται από το είδους του τύπου των προϊόντων που επεξεργάζονται από αυτές. Έτσι, αν τα προϊόντα είναι διακριτού τύπου, δηλαδή καρέκλες, βίδες, ποτήρια, κλπ., τότε η γραµµή παραγωγής ονοµάζεται διακριτού τύπου προϊόντων, ενώ αν τα προϊόντα είναι συνεχούς τύπου, όπως για παράδειγµα υγρά καύσιµα, ελαιολιπαντικά, χυτά, κλπ., τότε η γραµµή παραγωγής ονοµάζεται συνεχούς τύπου προϊόντων Αξιόπιστες και µη αξιόπιστες γραµµές παραγωγής Η κατηγοριοποίηση αυτή αναφέρεται στο είδος των µηχανών που περιλαµβάνουν οι γραµµές παραγωγής. Αν οι µηχανές µπορεί να παθαίνουν βλάβες δηλαδή είναι µη αξιόπιστες µηχανές, πράγµα που ισχύει στην πραγµατικότητα, τότε και οι γραµµές αποκαλούνται µη αξιόπιστες, ενώ όταν οι µηχανές δεν παθαίνουν βλάβες οι γραµµές αποκαλούνται αξιόπιστες. Στις µη αξιόπιστες γραµµές παραγωγής, η εµφάνιση των βλαβών µπορεί να είναι σταθερή ή να ακολουθεί µια συγκεκριµένη κατανοµή (π.χ. εκθετική, 26

27 γεωµετρική κ.α.). Η εµφάνιση βλαβών µπορεί να εξαρτάται είτε από τον χρόνο (time dependent failures) που σηµαίνει ότι οι βλάβες παρουσιάζονται ανά συγκεκριµένα χρονικά διαστήµατα, είτε από την συνεχή λειτουργία της µηχανής (operation dependent failures), δηλαδή οι βλάβες εµφανίζονται ανεξαρτήτως του χρόνου και µόνο όταν οι µηχανές βρίσκονται σε λειτουργία Συγχρονισµένες και µη συγχρονισµένες γραµµές παραγωγής Η κατηγοριοποίηση αυτή ουσιαστικά αναφέρεται στη ροή των προϊόντων µέσα στη γραµµή παραγωγής. ηλαδή αν οι µηχανές επεξεργασίας των προϊόντων έχουν σταθερούς και ταυτόσηµους χρόνους επεξεργασίας των προϊόντων, καθώς επίσης είναι πλήρως αξιόπιστες, τότε η ροή των προϊόντων στη γραµµή παραγωγής θα ήταν πλήρως συγχρονισµένη. Αυτό σηµαίνει ότι ένα προϊόν µε το που θα ολοκλήρωνε την επεξεργασία του σε κάποια µηχανή, θα συνέχιζε κατευθείαν στην επόµενη χωρίς καθυστέρηση και χωρίς την ανάγκη αποθήκευσης του σε κάποιο ενδιάµεσο αποθηκευτικό χώρο. Τέτοιου είδους γραµµές παραγωγής ονοµάζονται συγχρονισµένες. Όπως όµως είναι κατανοητό, στην πραγµατικότητα δεν είναι εφικτό για διάφορους λόγους να υπάρχουν πλήρως συγχρονισµένες γραµµές παραγωγής. Τέλος, γραµµές παραγωγής στις οποίες η κίνηση των προϊόντων δεν είναι συγχρονισµένη ονοµάζονται ασύγχρονες γραµµές παραγωγής Ευέλικτα βιοµηχανικά συστήµατα και job shops Ευέλικτο βιοµηχανικό σύστηµα (Flexible Manufacturing System - FMS) ονοµάζεται το σύστηµα στο οποίο υπάρχει κάποιο ποσοστό ευελιξίας που επιτρέπει στο σύστηµα να αντιδρά σε περιπτώσεις αλλαγών, προβλέψιµες ή όχι. Η ευελιξία γενικά διακρίνεται σε δύο κατηγορίες που περιλαµβάνουν όµως πολλές υποκατηγορίες. Η πρώτη κατηγορία, ευελιξία µηχανής (machine flexibility) περιλαµβάνει την ικανότητα του συστήµατος να αλλάζει ώστε να µπορεί να παράγει νέους τύπους προϊόντων, καθώς επίσης και την ικανότητα να αλλάζει τη σειρά των διαδικασιών επεξεργασίας ενός προϊόντος. Η δεύτερη κατηγορία, ευελιξία δροµολόγησης (routing flexibility) αναφέρεται στην ικανότητα του συστήµατος να χρησιµοποιεί πολλαπλές µηχανές για την 27

28 επεξεργασία κάποιας διαδικασίας σε ένα προϊόν, όπως επίσης και στην ικανότητα του να αφοµοιώνει µεγάλης κλίµακας αλλαγές (αλλαγές ποσοτήτων προϊόντων προς παραγωγή, όγκου προϊόντων κλπ.). Τα περισσότερα ευέλικτα συστήµατα περικλείουν τρία κύρια συστήµατα, τις µηχανές παραγωγής που συνήθως είναι αυτοµατοποιηµένες, ένα σύστηµα διαχείρισης υλικών που καθορίζει τη ροή των υλικών στις µηχανές παραγωγής που είναι συνδεδεµένες µε αυτό και ένα κεντρικό ηλεκτρονικό υπολογιστή που ελέγχει τις µετακινήσεις υλικών και την λειτουργία των µηχανών. Το κύριο χαρακτηριστικό των ευέλικτων συστηµάτων είναι η ύπαρξη του ηλεκτρονικού υπολογιστή που ελέγχει τα πάντα µέσα στο σύστηµα και το γεγονός ότι οι µηχανές µπορούν να εκτελέσουν πιο πολύπλοκες διαδικασίες, µε αποτέλεσµα την παραγωγή περισσότερων διαφορετικών προϊόντων σε σχετικά µικρό όµως όγκο. Τέλος, τα σηµαντικότερο πλεονέκτηµα των ευέλικτων συστηµάτων είναι η µεγάλη ευελιξία στη διαχείριση πόρων όπως ο χρόνος και η προσπάθεια, για παραγωγή ενός νέου προϊόντος. Τα job shops είναι σχετικά µικρά βιοµηχανικά συστήµατα που πραγµατεύονται εξειδικευµένες βιοµηχανικές διαδικασίες. Ένα job shop συνήθως αποτελείται από αρκετές µηχανές διαφορετικού τύπου που εκτελούν συγκεκριµένες εργασίες. Συνήθως οι µηχανές που εκτελούν τις ίδιες εργασίες βρίσκονται στον ίδιο χώρο. Το κύριο χαρακτηριστικό τους που τα διακρίνει από τις γραµµές παραγωγής, είναι ότι κάθε προϊόν σε ένα job shop µπορεί να ακολουθήσει διαφορετική πορεία κατά την επεξεργασία του από τις διάφορες µηχανές του συστήµατος, καθώς επίσης και το ότι µπορεί να επισκεφθεί την ίδια µηχανή επεξεργασίας περισσότερες από µία φορές. Το πλεονέκτηµα τους σε σχέση µε τις γραµµές παραγωγής είναι ότι µπορούν να παράγουν µεγάλη ποικιλία διαφορετικών προϊόντων, ενώ µειονεκτούν όσον αφορά τη συνολική ποσότητα παραγωγής προϊόντων. 1.4 Μέτρα απόδοσης βιοµηχανικού συστήµατος Παραδοσιακά, η µέτρηση της απόδοσης ορίζεται ως η διαδικασία ποσοτικοποίησης της αποτελεσµατικότητας και της αποδοτικότητας της µετρούµενης διαδικασίας ή συστήµατος. Για την αξιολόγηση οποιουδήποτε από τα παραπάνω βιοµηχανικά συστήµατα που αναφέραµε, χρησιµοποιούνται διάφορα µέτρα απόδοσης που εξαρτώνται από τους επιθυµητούς στόχους του συστήµατος. Συχνά 28

29 χρησιµοποιούνται περισσότερα από ένα. Τα συνηθέστερα µέτρα απόδοσης που χρησιµοποιούνται στα βιοµηχανικά συστήµατα, σύµφωνα µε τη διεθνή βιβλιογραφία είναι τα εξής: Ρυθµός παραγωγής ή Απόδοση (Production Rate): είναι ο αριθµός των προϊόντων που παράγονται από το βιοµηχανικό σύστηµα ανά µονάδα χρόνου. Αριθµός των ηµιακατέργαστων προϊόντων (Work In Progress - WIP): είναι ο συνολικός αριθµός των προϊόντων που βρίσκονται στο βιοµηχανικό σύστηµα. Μέσος χρόνος παραµονής στο σύστηµα (Flow Time): είναι ο µέσος χρόνος που χρειάζεται ένα προϊόν από τη στιγµή που θα εισέλθει στο βιοµηχανικό σύστηµα µέχρι την στιγµή που θα εξέλθει από το σύστηµα. 29

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 2.1 Εισαγωγή Η εκτίµηση της απόδοσης ενός βιοµηχανικού συστήµατος, όπως αναφέραµε και στο προηγούµενο κεφάλαιο, αποτελεί ένα από τα σηµαντικότερα θέµατα µε τα οποία έχουν ασχοληθεί µελετητές στη διεθνή βιβλιογραφία. Η εκτίµηση της απόδοσης παρέχει την απαραίτητη πληροφόρηση σχετικά µε την αποτελεσµατικότητα και την αποδοτικότητα ενός συστήµατος στους υπεύθυνους λήψης αποφάσεων, τόσο για τον σχεδιασµό των συστηµάτων κατά τον βέλτιστο τρόπο όσο και για τη σωστή διαχείριση τους. Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούµε στις κυριότερες µεθόδους εκτίµησης και βελτιστοποίησης που χρησιµοποιούνται στην ανάλυση βιοµηχανικών συστηµάτων. Συγκεκριµένα, στην ενότητα 2.2 γίνεται µια σύντοµη παρουσίαση των κυριότερων µεθόδων που έχουν µελετηθεί. Στην ενότητα 2.3 παρουσιάζεται η µέθοδος της Μαρκοβιανής ανάλυσης για την εκτίµηση των µέτρων απόδοσης ενός βιοµηχανικού συστήµατος. Στην ενότητα 2.4 παρουσιάζεται η µέθοδος της αποσύνθεσης ως εκτιµητική µέθοδος απόδοσης γραµµών παραγωγής και στην ενότητα 2.5 παρουσιάζεται η µέθοδος της συνάθροισης. Τέλος, στην ενότητα 2.6 παρουσιάζεται η συνηθέστερα χρησιµοποιούµενη µέθοδος της προσοµοίωσης. 2.2 Μέθοδοι εκτίµησης και βελτιστοποίησης γραµµών παραγωγής Καθώς η βέλτιστη σχεδίαση ενός βιοµηχανικού συστήµατος και η εκτίµηση της απόδοσης του αποτελεί ένα πολύ σηµαντικό ζήτηµα για τον πολύ ανταγωνιστικό τοµέα της βιοµηχανίας, ήταν και θα είναι αναγκαία η µελέτη και εύρεση διαφόρων µεθόδων που βοηθούν στις διαδικασίες αυτές. Τα τελευταία χρόνια έχουν αναπτυχθεί διάφορες µέθοδοι ανάλυσης, σχεδίασης και βελτιστοποίησης βιοµηχανικών συστηµάτων. Τις µεθόδους αυτές µπορούµε να τις διακρίνουµε σε δύο κατηγορίες, τις εκτιµητικές µεθόδους και τις γενετικές µεθόδους ή µεθόδους βελτιστοποίησης. Οι εκτιµητικές µέθοδοι έχουν ως σκοπό την εκτίµηση των διαφόρων µέτρων απόδοσης ενός βιοµηχανικού συστήµατος, χρησιµοποιώντας είτε αναλυτικές µεθόδους, είτε τη µέθοδο της προσοµοίωσης. ύο από τις κυριότερες αναλυτικές 30

31 µεθόδους που έχουν εφαρµοστεί κυρίως σε σειριακές γραµµές παραγωγής, είναι η Μαρκοβιανή Ανάλυση (Hillier and Boling, 1967 και Heavey, Papadopoulos and Browne, 1993) και η Μέθοδος της Αποσύνθεσης (Gershwin, 1987 και Dallery, David and Xie, 1988). Η χρήση της µεθόδου της αποσύνθεσης έχει επεκταθεί και σε γραµµές µε µη-γραµµική ροή προϊόντων, όπως είναι οι γραµµές συναρµολόγησης/αποσυναρµολόγησης (Di Mascolo et al, 1991 και Gershwin, 1991), αλλά και σε γραµµές συγχώνευσης/διάσπασης (Helber, 1999 και Helber and Jusic, 2002). Άλλες εκτιµητικές µέθοδοι είναι η Μέθοδος της Συνάθροισης, τα ίκτυα Petri διάφορες προσεγγιστικές µέθοδοι. Οι γενετικές µέθοδοι χρησιµοποιούνται για την εύρεση των κατάλληλων τιµών διαφόρων παραµέτρων που αριστοποιούν τα χρησιµοποιούµενα µέτρα απόδοσης. Τέτοιου είδους µέθοδοι αποτελούν διάφορες στοχαστικές µέθοδοι αναζήτησης, οι γενετικοί αλγόριθµοι, η προσοµοιωτική ανόπτυση (simulated annealing), οι αλγόριθµοι Tabu-Search, Hooke-Jeeves κλπ.. Σηµαντική είναι η σχέση αλληλεξάρτησης που υπάρχει µεταξύ των δύο αυτών κατηγοριών µεθόδων (Papadopoulos et al., 1993), όπως φαίνεται και στο σχήµα 2.1. ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΕΝΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Σχήµα 2.1: Αλληλεξάρτηση εκτιµητικών και γενετικών µεθόδων. 2.3 Μαρκοβιανή Ανάλυση Η Μαρκοβιανή ανάλυση αποτελεί µια στατιστική τεχνική που χρησιµοποιείται για την πρόβλεψη της µελλοντικής συµπεριφοράς διαφόρων µεταβλητών ενός συστήµατος, των οποίων η τρέχουσα κατάσταση ή συµπεριφορά δεν εξαρτάται από κάποια προηγούµενη κατάσταση τους ή συµπεριφορά, δηλαδή είναι τυχαία. Εφαρµόζεται κυρίως για ανάλυση της αξιοπιστίας και της διαθεσιµότητας κάποιου συστήµατος σε σχέση µε το χρόνο. Η Μαρκοβιανή διαδικασία αποτελεί ένα στοχαστικό δυναµικό σύστηµα στο οποίο ισχύει η Μαρκοβιανή ιδιότητα, δηλαδή η συµπεριφορά του συστήµατος στο µέλλον (χρονική στιγµή t+1) εξαρτάται µόνο από την παρούσα κατάσταση (χρονική 31

32 στιγµή t) και όχι από την κατάσταση στην οποία βρισκόταν το σύστηµα στο παρελθόν (χρονική στιγµή t-1). Επειδή τα βιοµηχανικά συστήµατα είναι δυναµικά, δηλαδή η συµπεριφορά τους µεταβάλλεται σε σχέση µε το χρόνο, είναι δυνατή η εφαρµογή της Μαρκοβιανής ανάλυσης. Οι προϋποθέσεις που πρέπει να ισχύουν για να εφαρµοστεί η συγκεκριµένη µέθοδος είναι: Ο χρόνος µπορεί να είναι διακριτού ή συνεχούς τύπου Ο χώρος των δυνατών καταστάσεων µπορεί να είναι διακριτού, συνεχούς τύπου ή συνδυασµός και των δυο Οι µεταβλητές του συστήµατος µπορεί να είναι τυχαίες ή σταθερές. Η Μαρκοβιανή ανάλυση έχει το πλεονέκτηµα ότι δίνει πολύ ακριβή αποτελέσµατα. Το µειονέκτηµα της όµως είναι ότι δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί σε µεγάλα συστήµατα (πολλές µηχανές και αποθηκευτικοί χώροι), καθώς ο χώρος των πιθανών καταστάσεων στις οποίες µπορεί να βρεθεί το σύστηµα γίνεται πολύ µεγάλος, αυξάνοντας έτσι τον αριθµό των εξισώσεων σε τέτοιο επίπεδο που δεν µπορούν να επιλυθούν. Για να γίνει κατανοητό το πρόβληµα της Μαρκοβιανής ανάλυσης σχετικά µε το µέγεθος του συστήµατος, δίνεται το ακόλουθο παράδειγµα: Έστω ότι έχουµε µια σειριακή γραµµή παραγωγής µε Κ µηχανές και Κ-1 ενδιάµεσους αποθηκευτικούς χώρους. Κάθε µηχανή µπορεί να βρεθεί σε δύο πιθανές καταστάσεις (χαλασµένη ή σε λειτουργία) και ότι κάθε αποθηκευτικός χώρος µπορεί να βρεθεί σε C i +1 καταστάσεις µε n i =0,,C i, όπου C i είναι η χωρητικότητα του i- οστού αποθηκευτικού χώρου και n i η τρέχουσα ποσότητα προϊόντος που περιέχει κάθε χρονική στιγµή. Τότε το σύνολο των πιθανών καταστάσεων στις οποίες µπορεί να βρεθεί το σύστηµα, υπολογίζεται από το γινόµενο του αριθµού των πιθανών διακριτών καταστάσεων που µπορεί να βρεθεί η κάθε µηχανή µε τον αριθµό των δυνατών τιµών που µπορεί να πάρει η χωρητικότητα κάθε αποθηκευτικού χώρου και δίνεται από τον τύπο: M = 2 k 1 k i= 0 Έτσι λοιπόν, αν υποθέσουµε ότι έχουµε µια γραµµή παραγωγής µε 20 µηχανές και 19 ενδιάµεσους αποθηκευτικούς χώρους µε χωρητικότητα 10 µονάδες ( C i + 1) 32

33 προϊόντος ο καθένας, τότε το συγκεκριµένο σύστηµα έχει περισσότερες από 6.41x10 25 πιθανές καταστάσεις στις οποίες µπορεί να βρεθεί. Συνεπώς, τέτοιου εύρους συστήµατα γραµµικών εξισώσεων που προκύπτουν από την Μαρκοβιανή ανάλυση, κάνουν απαγορευτική τη χρήση της µεθόδου σε συστήµατα µε µεγάλες γραµµές παραγωγής. 2.4 Μέθοδος της Αποσύνθεσης (Decomposition method) Η µέθοδος της αποσύνθεσης είναι µια προσεγγιστική µέθοδος για την εκτίµηση των µέτρων απόδοσης ενός συστήµατος µε µεγάλη γραµµή παραγωγής. Η µέθοδος αναπτύχθηκε από τον Gershwin (1987), για υπολογισµό των µέτρων απόδοσης µιας σειριακής γραµµής παραγωγής διακριτού τύπου προϊόντων, ενώ αργότερα βελτιώθηκε από τους Dallery, David και Xie (1988) και στη συνέχεια επεκτάθηκε από πολλούς άλλους ερευνητές και σε µη σειριακές γραµµές παραγωγής, τόσο διακριτού όσο και συνεχούς τύπου προϊόντων. Η µέθοδος αποσυνθέτει µια γραµµή παραγωγής, όπως είναι αυτή του σχήµατος 1.1, σε περισσότερα υποσυστήµατα (υπογραµµές), µε κάθε υποσύστηµα να αποτελείται από δύο µηχανές µε ένα ενδιάµεσο αποθηκευτικό χώρο. Το υποσύστηµα αυτό αποκαλείται οµικό Στοιχείο της Μεθόδου της Αποσύνθεσης ( ΣΜΑ - decomposition block) και παρουσιάζεται στο σχήµα 2.2. Μ 1 Β 1 Μ 2 Σχήµα 2.2: οµικό Στοιχείο της Μεθόδου της Αποσύνθεσης (decomposition block). Σε κάθε ένα από αυτά τα υποσυστήµατα, είναι πολύ εύκολο να γίνει η εκτίµηση των µέτρων απόδοσης µε χρήση Μαρκοβιανής ανάλυσης, παρέχοντας µεγάλη ακρίβεια αποτελεσµάτων. Έτσι, αν υποθέσουµε ότι στο παραπάνω υποσύστηµα ο ενδιάµεσος αποθηκευτικός χώρος έχει χωρητικότητα C µονάδων προϊόντος και κάθε µια από τις δυο µηχανές µπορεί να βρεθεί σε δυο καταστάσεις (χαλασµένη σε λειτουργία), ο συνολικός αριθµός των δυνατών καταστάσεων δίνεται από τη σχέση: 33

34 i 1 2 = 2 = M i = 1 ( C + 1) = 4( C + 1) Συνεπώς, επειδή όσο µεγάλη και αν είναι η χωρητικότητα του αποθηκευτικού χώρου, ο αριθµός των δυνατών καταστάσεων είναι σχετικά µικρός και µπορούν εύκολα να εκτιµηθούν τα µέτρα απόδοσης του υποσυστήµατος. Έτσι, µέσω των υπολογισµών της απόδοσης κάθε δοµικού στοιχείου, υπολογίζουµε την απόδοση όλης της γραµµής παραγωγής. Για να γίνει περισσότερο κατανοητή η διαδικασία αποσύνθεσης, ας δούµε το παράδειγµα µιας σειριακής γραµµής παραγωγής αποτελούµενη από 4 µη αξιόπιστες µηχανές και 3 ενδιάµεσους αποθηκευτικούς χώρους, όπως φαίνεται στο σχήµα 2.3. Ο ρυθµός επεξεργασίας κάθε µηχανής συµβολίζεται µε µ i, i=1,2,4, η πιθανότητα εµφάνισης βλάβης συµβολίζεται µε p ι, ενώ η πιθανότητα επιδιόρθωσης των βλαβών συµβολίζεται µε r i, i=1,2,,4. Μ 1 Β 1 Μ 2 Β 2 Μ 3 Β 3 Μ 4 Σχήµα 2.3: Σειριακή γραµµή παραγωγής µε 4 µηχανές και 3 αποθηκευτικούς χώρους. Εφαρµόζοντας τη µέθοδο της αποσύνθεσης στην "πραγµατική" γραµµή που συµβολίζεται µε L, παίρνουµε τα ΣΜΑ που συµβολίζονται µε L(1), L(2) και L(3), όπως φαίνεται στο σχήµα 2.4. Σχήµα 2.4: Η µέθοδος της αποσύνθεσης για τη γραµµή παραγωγής του σχήµατος

35 Αυτό που µπορούµε να παρατηρήσουµε είναι ότι σε κάθε δοµικό στοιχείο αντιστοιχεί ένας αποθηκευτικός χώρος B i, ο οποίος έχει την ίδια χωρητικότητα µε τους αντίστοιχους της αρχικής γραµµής. Επίσης, σε κάθε δοµικό στοιχείο της µεθόδου της αποσύνθεσης υπάρχουν δύο "εικονικές" µηχανές M u (i) και M d (i), i=1,2,3. Κάθε µηχανή M u (i) που ονοµάζεται upstream µηχανή αναπαριστά το κοµµάτι της γραµµής παραγωγής L που βρίσκεται πριν από τον αποθηκευτικό χώρο B i, ενώ κάθε µηχανή M d (i) που ονοµάζεται downstream µηχανή αναπαριστά το κοµµάτι της γραµµής παραγωγής L που βρίσκεται µετά από τον αποθηκευτικό χώρο B i. Για κάθε M u (i) και M d (i) µηχανή ισχύει ότι ο ρυθµός επεξεργασίας τους συµβολίζεται µε µ u (i), µ d (i) αντίστοιχα, η πιθανότητα εµφάνισης βλαβών συµβολίζεται µε p u (i) και p d (i), ενώ η πιθανότητα επιδιόρθωσης των βλαβών συµβολίζεται µε r u (i) και r d (i) αντίστοιχα. Στόχος της µεθόδου της αποσύνθεσης είναι να υπολογιστούν οι παραπάνω παράµετροι για κάθε εικονική µηχανή, έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι εξής συνθήκες: 1. Ο ρυθµός ροής των προϊόντων προς και από τον αποθηκευτικό χώρο B i του δοµικού στοιχείου της µεθόδου της αποσύνθεσης L(i) να είναι ίδιος µε το ρυθµό ροής του προϊόντος προς και από τον αντίστοιχο αποθηκευτικό χώρο B i της "πραγµατικής" γραµµής L. 2. Η πιθανότητα να είναι γεµάτος ή άδειος ο αποθηκευτικός χώρος B i του δοµικού στοιχείου της µεθόδου της αποσύνθεσης L(i), να είναι ίδια µε την αντίστοιχη πιθανότητα του αποθηκευτικού χώρου B i της "πραγµατικής" γραµµής L. 3. Η πιθανότητα επαναφοράς της ροής των προϊόντων από και προς τον αποθηκευτικό χώρο B i του δοµικού στοιχείου της µεθόδου της αποσύνθεσης L(i), ύστερα από κάποια χρονική περίοδο κατά την οποία υπήρχε διακοπή της ροής, να είναι ίση µε την πιθανότητα του αντίστοιχου γεγονότος για τον αποθηκευτικό χώρο B i της "πραγµατικής" γραµµής L. 4. Ο µέσος αριθµός προϊόντων στον αποθηκευτικό χώρο B i του δοµικού στοιχείου της µεθόδου της αποσύνθεσης L(i), να είναι ίσος µε τον µέσο αριθµό προϊόντων στον αποθηκευτικό χώρο B i της "πραγµατικής" γραµµής L. 35

36 Ο υπολογισµός των παραµέτρων των "εικονικών" µηχανών γίνεται µε τις παρακάτω εξισώσεις: Εξισώσεις ροής (Flow rate idle time equations): χρησιµοποιούνται για τον υπολογισµό του ρυθµού εξυπηρέτησης µ u (i) και µ d (i) όλων των "εικονικών" µηχανών M u (i) και M d (i), αντίστοιχα. Εξισώσεις διατήρησης της ροής (Conservation of flow equations): εκφράζουν την αρχή της διατήρησης της ροής των προϊόντων µεταξύ των αποθηκευτικών χώρων B i, λόγω του ότι δεν υπάρχει καταστροφή ή δηµιουργία νέου υλικού. Εξισώσεις διακοπής της ροής (Interruption of flow equations): χρησιµοποιούνται για τον υπολογισµό των πιθανοτήτων εµφάνισης βλαβών p u (i) και p d (i) όλων των "εικονικών" µηχανών M u (i) και M d (i) αντίστοιχα. Εξισώσεις επαναφοράς της ροής (Resumption of flow equations): χρησιµοποιούνται για τον υπολογισµό των πιθανοτήτων επιδιόρθωσης r u (i) και r d (i) όλων των "εικονικών" µηχανών M u (i) και M d (i) αντίστοιχα. Στην περίπτωση που οι ρυθµοί επεξεργασίας µ i είναι σταθεροί και ίσοι για όλες τις µηχανές της "πραγµατικής" γραµµής παραγωγής L, τότε οι παράµετροι µ u (i) και µ d (i) των δοµικών στοιχείων της µεθόδου της αποσύνθεσης L(i) είναι ίσες µε τις παραµέτρους των αντίστοιχων µηχανών της "πραγµατικής" γραµµής παραγωγής, οπότε αρκεί να υπολογιστούν οι υπόλοιπες παράµετροι. Η ανάπτυξη της µεθόδου της αποσύνθεσης από τον Gerswin, ουσιαστικά αναφέρεται στη δηµιουργία των τεσσάρων παραπάνω εξισώσεων. Η βελτίωση της µεθόδου όπως αναφέραµε έγινε από τους Dallery, David και Xie (1988), οι οποίοι παρουσίασαν έναν αλγόριθµο ταυτόχρονης επίλυσης των παραπάνω εξισώσεων για περιπτώσεις σειριακών γραµµών παραγωγής. Στη συνέχεια και βάσει αυτού του αλγορίθµου, διάφοροι µελετητές παρουσίασαν αλγορίθµους εφαρµογής της µεθόδου της αποσύνθεσης σε µη σειριακές γραµµές παραγωγής. Πρέπει να τονίσουµε ότι η σύγκλιση της µεθόδου της αποσύνθεσης δεν έχει αποδειχθεί έως και σήµερα, αν και τα αποτελέσµατα της για την εκτίµηση της απόδοσης συστήµατος είναι πάρα πολύ καλά. Ωστόσο, η εκτεταµένη εφαρµογή της µεθόδου έχει δείξει ότι συγκλίνει σχεδόν πάντα. 36

37 2.5 Η Μέθοδος της Συνάθροισης (Aggregation Method) Η µέθοδος της συνάθροισης (De Koster, 1987, Terracol and David, 1987) είναι άλλη µια µέθοδος προσδιορισµού των µέτρων απόδοσης µιας γραµµής παραγωγής. Μπορούµε να πούµε ότι η µέθοδος λειτουργεί µε ακριβώς αντίστροφη λογική από αυτή της Αποσύνθεσης. Η µέθοδος της συνάθροισης παρουσιάστηκε από τον De Koster (1989) και βασίζεται στη διαδοχική συνάθροιση όλων των µηχανών µιας γραµµής παραγωγής, έως ότου στο τελικό σύστηµα να υπάρχουν µόνο δύο µηχανές και ένας ενδιάµεσος αποθηκευτικός χώρος, πράγµα που κάνει πολύ εύκολη την εκτίµηση απόδοσης µε χρήση της Μαρκοβιανής ανάλυσης. Η διαδικασία αυτή, για µια γραµµή παραγωγής όπως αυτή του σχήµατος 2.3 παρουσιάζεται στο σχήµα 2.5. Σχήµα 2.5: Η µέθοδος της συνάθροισης για τη γραµµή παραγωγής του σχήµατος 2.3. (Πηγή: Belmansour, A-T., Nourelfath, M., (2008), An Aggregation Method for Performance Evaluation of a Tandem Homogenous Production Line with Machines Having Multiple Failure Modes, Inderuniversity Research Centre on Enterprise Networks, Logistics and Transportation (CIRRELT)). Το πρόβληµα που παρουσιάζεται συχνά, είναι ότι πολλές φορές δεν είναι προφανές ποια πρέπει να είναι η σειρά µε την οποία θα πρέπει να γίνει η συνάθροιση 37

38 των µηχανών. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε µια γραµµή παραγωγής µε 3 µηχανές και 2 ενδιάµεσους αποθηκευτικούς χώρους, όπως φαίνεται στο σχήµα 2.6. Σχήµα 2.6: Γραµµή παραγωγής 4 µηχανές και 3 αποθηκευτικούς χώρους. Υπάρχουν δύο επιλογές εφαρµογής της µεθόδου της συνάθροισης. Η πρώτη είναι να συναθροίσουµε τις δύο πρώτες µηχανές Μ 1 και Μ 2 σε µια νέα µηχανή που τη συµβολίζουµε µε Μ agg(1,2) και στη συνέχεια µε Μαρκοβιανή ανάλυση να υπολογίσουµε την απόδοση του συστήµατος των δύο µηχανών και ενός ενδιάµεσου αποθηκευτικό χώρου, που προέκυψε. Η δεύτερη επιλογή είναι να συναθροίσουµε τις µηχανές Μ 2 και Μ 3 σε µια µηχανή Μ agg(2,3), µε αποτέλεσµα η αρχική γραµµή παραγωγής να µετασχηµατίζεται και πάλι σε µια γραµµή παραγωγής µε δυο µηχανές και ένα ενδιάµεσο αποθηκευτικό χώρο. Ένα σηµαντικό ζήτηµα που εµφανίζεται και αποτελεί πρόβληµα της µεθόδου, είναι το γεγονός ότι οι αποδόσεις των δύο συστηµάτων που προκύπτουν από τις δύο επιλογές συνάθροισης δεν είναι υποχρεωτικά ίσες, µε αποτέλεσµα τις διαφορετικές εκτιµήσεις απόδοσης της αρχικής γραµµής παραγωγής ανάλογα µε την επιλογή συνάθροισης. Προς αντιµετώπιση του παραπάνω προβλήµατος, αναπτύχθηκε από τους Lim et al (1990) µια νέα τροποποιηµένη µέθοδος συνάθροισης. Σύµφωνα µε αυτή τη µέθοδο, η συνάθροιση σε πρώτο στάδιο ξεκινά από την πρώτη µηχανή και καταλήγει στην τελευταία (forward pass), ενώ σε δεύτερο στάδιο ακολουθείται η αντίστροφη πορεία, από την τελευταία προς την πρώτη µηχανή (backward pass). Η διαδικασία αυτή επαναλαµβάνεται µέχρι οι εκτιµήσεις απόδοσης της γραµµής που προκύπτουν από τα δύο στάδια να είναι ίσες. Τότε η κοινή αυτή εκτίµηση θα είναι και η τελική εκτίµηση απόδοση της γραµµής παραγωγής. 2.6 Μέθοδος της Προσοµοίωσης Προσοµοίωση είναι η διαδικασία της κατασκευής και εφαρµογής ενός µοντέλου, το οποίο µιµείται κάθε σηµαντικό βήµα που συµβαίνει σε µια διαδικασία 38

39 και κάθε σηµαντική αλληλεπίδραση ανάµεσα σε παράγοντες της διαδικασίας (Pidd, 1992). Αρκετές φορές η προσοµοίωση είναι η µοναδική µέθοδος που χρησιµοποιείται για τον προσδιορισµό των µέτρων απόδοσης µια γραµµής παραγωγής, διότι η υπό εξέταση γραµµή παραγωγής είναι αρκετά πολύπλοκη έτσι ώστε ή να µην υπάρχουν άλλες αναλυτικές µέθοδοι, ή αν υπάρχουν να µην δίνουν ιδιαίτερα καλά αποτελέσµατα. Η ανάπτυξη ενός µοντέλου προσοµοίωσης κάποιου συστήµατος απαιτεί την αυστηρή περιγραφή των διαφόρων στοιχείων-παραγόντων του συστήµατος (χρόνοι επεξεργασίας µηχανών, χρόνοι εµφάνισης βλαβών και επισκευής των µηχανών, χωρητικότητες αποθηκευτικών χώρων, κλπ.) και της αλληλεπίδρασης αυτών. Κατόπιν, το µοντέλο που δηµιουργείται µεταφράζεται σε πρόγραµµα ηλεκτρονικού υπολογιστή, όπου εκτελείται σε ελάχιστο χρόνο προσοµοιώνοντας τη λειτουργία του συστήµατος για µεγάλα χρονικά διαστήµατα. Τα αποτελέσµατα που εξάγονται από την προσοµοίωση απαιτούν στατιστική επεξεργασία, ώστε να προκύψουν αξιόπιστα συµπεράσµατα για τη λειτουργία του συστήµατος. Το σηµαντικό πλεονέκτηµα που παρέχει η χρήση της µεθόδου της προσοµοίωσης, είναι η δυνατότητα πολλών επαναλήψεων των πειραµατισµών, αλλά αυτό αντισταθµίζεται από το µειονέκτηµα του υψηλού οικονοµικού κόστος ανάπτυξης ενός προγράµµατος προσοµοίωσης, ακόµη και αν χρησιµοποιείται κάποιο σύγχρονο πακέτο προσοµοίωσης. Ακόµη ένα µειονέκτηµα της προσοµοίωσης αποτελεί η χρονοβόρα και δύσκολη διαδικασία της µετάβασης από το πραγµατικό σύστηµα στο µοντέλο προσοµοίωσης, δηλαδή η περιγραφή του συστήµατος και η µοντελοποίηση του, ειδικά για µεγάλα και περίπλοκα συστήµατα. Τα µειονεκτήµατα της προσοµοίωσης έχουν οδηγήσει στην προσπάθεια µελέτης και ανάπτυξης αναλυτικών µεθόδων, όπως αυτές που είδαµε στις προηγούµενες ενότητες του κεφαλαίου, που είναι πολύ γρηγορότερες και παρέχουν τα ίδια σχεδόν αποτελέσµατα και οι οποίες µπορούν να αντικαταστήσουν την προσοµοίωση. Η διαφορά των δύο µεθόδων είναι ότι οι αναλυτικές µέθοδοι οδηγούν σε ένα σύνολο εξισώσεων που η δηµιουργία και η ανάπτυξη τους µπορεί να είναι πολύπλοκη και χρονοβόρα διαδικασία. Η επίλυση όµως αυτών των εξισώσεων είναι σαφώς λιγότερο χρονοβόρα, αφού για να εξάγουµε το ίδιο ασφαλή αποτελέσµατα µε τη µέθοδο της προσοµοίωσης απαιτούνται πολλές επαναλήψεις της προσοµοίωσης. 39

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - ΜΕΘΟ ΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 3.1 Εισαγωγή Εκτός από την έρευνα στη διεθνή βιβλιογραφία σχετικά µε την ανάπτυξη µεθόδων εκτίµησης της απόδοσης συστηµάτων, υπάρχει και ένα άλλο σηµαντικό θέµα που έχει απασχολήσει πολύ τους ερευνητές. Το θέµα αυτό είναι η βέλτιστη σχεδίαση βιοµηχανικών συστηµάτων παραγωγής και ουσιαστικά αναφέρεται σε τριών ειδών προβλήµατα βελτιστοποίησης που σχετίζονται µε τέτοιου είδους συστήµατα: 1. Βέλτιστη κατανοµή αποθηκευτικού χώρου (Buffer Allocation Problem): δεδοµένου ενός συνολικού αριθµού N µονάδων αποθηκευτικού χώρου, το πρόβληµα είναι να βρεθεί η βέλτιστη κατανοµή του χώρου αυτού ανάµεσα στους σταθµούς εργασίας, µε τρόπο ώστε να επιτευχθεί µεγιστοποίηση της απόδοσης του συστήµατος. 2. Βέλτιστη κατανοµή των εξυπηρετητών (Server Allocation Problem): δεδοµένου ενός συνολικού αριθµού S εξυπηρετητών, το πρόβληµα είναι να βρεθεί η βέλτιστη κατανοµή των εξυπηρετητών στους σταθµούς εργασίας, µε τρόπο ώστε να επιτευχθεί µεγιστοποίηση της απόδοσης του συστήµατος. 3. Βέλτιστη κατανοµή του χρόνου επεξεργασίας (Workload Allocation Problem): δεδοµένου ενός συνολικού χρόνου επεξεργασίας W, το πρόβληµα είναι να βρεθεί η βέλτιστη κατανοµή του στις µηχανές επεξεργασίας, µε τρόπο ώστε να επιτευχθεί µεγιστοποίηση της απόδοσης του συστήµατος. Στην παρούσα εργασία θα ασχοληθούµε µόνο µε το πρώτο πρόβληµα, την βέλτιστη κατανοµή αποθηκευτικού χώρου (BAP), σε συστήµατα µε σειριακές γραµµές παραγωγής και γραµµές παραγωγής µε σταθµούς εργασίας που αποτελούνται από πολλές παράλληλες µηχανές επεξεργασίας διακριτού τύπου προϊόντων. Στη συνέχεια του κεφαλαίου και συγκεκριµένα στην ενότητα 3.2 δίνεται ο ορισµός του προβλήµατος και η µαθηµατική τυποποίηση του. Έπειτα, 40

41 παρουσιάζονται διάφορες µέθοδοι βελτιστοποίησης που έχουν αναφερθεί στη διεθνή βιβλιογραφία, ξεκινώντας από τη µέθοδο της απαρίθµησης που παρουσιάζεται στην ενότητα 3.3. Στην ενότητα 3.4 παρουσιάζονται κάποιες από τις πιο γνωστές και ευρέως χρησιµοποιούµενες αναλυτικές µεθόδους βελτιστοποίησης. 3.2 Ορισµός και Τυποποίηση Προβλήµατος Όπως έχουµε ήδη αναφέρει στο πρώτο κεφάλαιο, σε µια γραµµή παραγωγής, είτε αυτή είναι σειριακή είτε έχει παράλληλες µηχανές, η ροή των προϊόντων µπορεί να διακοπεί από βλάβες που συµβαίνουν στις µηχανές ή από τους διαφορετικούς χρόνους επεξεργασίας των µηχανών. Οι αποθηκευτικοί χώροι εισάγονται µεταξύ των µηχανών για να ελαχιστοποιήσουν τη διάδοση της διακοπής λειτουργίας µιας µηχανής σε µια άλλη µηχανή της γραµµής παραγωγής και συνεπώς την αύξηση του µέσου ποσοστού παραγωγής (µέση απόδοση) της γραµµής. Ο συνυπολογισµός των αποθηκευτικών χώρων όµως, απαιτεί την πρόσθετη επένδυση κεφαλαίου και χώρου εγκατάστασης, πράγµα που αυξάνει σοβαρά το κόστος. Επίσης, µε την προσθήκη αποθηκευτικών χώρων αυξάνεται και το απόθεµα σε επεξεργασία (in-process inventory). Όταν όµως η συνολική χωρητικότητα των αποθηκευτικών χώρων είναι πολύ µεγάλη, το απόθεµα σε επεξεργασία και οι δαπάνες που αναλαµβάνονται θα αντισταθµίσουν το όφελος της αυξανόµενης παραγωγικότητας. Αντίθετα, όταν η χωρητικότητα είναι πολύ µικρή, οι µηχανές θα είναι υποχρησιµοποιούµενες ή η ζήτηση δεν θα µπορεί να ικανοποιηθεί (Gershwin, Schor, 2000). Για τους λόγους αυτούς, είναι αναγκαίο να καθοριστεί επακριβώς η χωρητικότητα των αποθηκευτικών χώρων, ώστε να επιτυγχάνεται η επιθυµητή απόδοση του συστήµατος. Το πρόβληµα που έχουµε να επιλύσουµε έχει δύο εκδοχές: Πρωταρχικό (Primal): να ελαχιστοποιήσουµε τη συνολική χωρητικότητα αποθηκευτικών χώρων που απαιτείται στη γραµµή παραγωγής, για να µπορεί αυτή να φτάσει ή να υπερβεί µια δεδοµένη απόδοση. Αυτή η διατύπωση είναι κατάλληλη όταν, είτε η συνολική χωρητικότητα αποθηκευτικών χώρων είναι ακριβή, είτε το απόθεµα σε επεξεργασία είναι φθηνό, είτε υπάρχει η απαίτηση για συγκεκριµένο µέσο ποσοστό παραγωγής. 41

42 υϊκό (Dual): να µεγιστοποιηθεί το επιτεύξιµο ποσοστό παραγωγής µε µία δεδοµένη συνολική χωρητικότητα αποθηκευτικών χώρων. Αυτό είναι κατάλληλο σε περιπτώσεις όπου η συνολική χωρητικότητα των αποθηκευτικών χώρων καθορίζεται, όπου ο αριθµός των αποθηκευτικών χώρων καθορίζεται επακριβώς και όπου το πρόβληµα είναι το πώς να διαταχθούν οι µηχανές έτσι ώστε να έχουµε το µέγιστο όφελος από τους αποθηκευτικούς χώρους. Η τυποποίηση του προβλήµατος είναι ως εξής: Έστω ότι η γραµµή παραγωγής έχει Κ µηχανές και Κ-1 αποθηκευτικούς χώρους. Το N i είναι η χωρητικότητα των αποθηκευτικών χώρων B i, που ουσιαστικά αποτελεί τη µεταβλητή απόφασης και P είναι το ποσοστό παραγωγής (απόδοση) της γραµµής παραγωγής. Παρόλο που η απόδοση της γραµµής παραγωγής εξαρτάται από πολλούς παράγοντες (π.χ. ταχύτητες επεξεργασίας των µηχανών, βλάβες µηχανών και χρόνοι επιδιόρθωσης αυτών, κλπ.), εµείς διαφοροποιούµε µόνο τις χωρητικότητες των αποθηκευτικών χώρων B i, οπότε έχουµε P = P(N 1,..,N k-1 ). Σε όλα τα προβλήµατα αυτού του είδους, η χωρητικότητα των αποθηκευτικών χώρων έχει κατώτατα όρια. Έτσι, για διακριτού τύπου γραµµές παραγωγής είναι κατάλληλος ο περιορισµός N i > N MIN, όπου N MIN = 4 (αυτό ισχύει επειδή οι λειτουργικοί τύποι των ρυθµών παραγωγής και των µέσων επιπέδων αποθηκευτικού χώρου είναι διαφορετικά για N i < 4 και N i 4. Έτσι λοιπόν, στο πρωταρχικό πρόβληµα αναζητούµε µια λύση της µορφής (N 1, N 2,.., N k-1 ) που να ελαχιστοποιεί τη συνολική χωρητικότητα των αποθηκευτικών χώρων N TOTAL έτσι ώστε η απόδοση παραγωγής να είναι µεγαλύτερη ή ίση µε κάποια καθορισµένη τιµή P *. Η µαθηµατική διατύπωση του πρωταρχικού προβλήµατος είναι: Το πρόβληµα αυτό είναι δύσκολο επειδή ο περιορισµός P P * δεν µπορεί να εκφραστεί εύκολα. Συνεπώς, ακόµη και αν γνωρίζουµε µια λύση (N 1, N 2,.., N k-1 ) 42

43 που ικανοποιεί τη σχέση P(N 1,..,N k-1 ) = P *, είναι δύσκολο να κατασκευάσουµε µια άλλη λύση (N 1, N 2,.., N k-1 ) που να είναι του ίδιου επιπέδου. Αντίστοιχα, στο δυϊκό πρόβληµα αναζητούµε µια λύση της µορφής (N 1, N 2,.., N k-1 ) που να µεγιστοποιεί το ρυθµό παραγωγής (απόδοση) P, έτσι ώστε η συνολική χωρητικότητα των αποθηκευτικών χώρων να ισούται µε µια καθορισµένη τιµή N TOTAL. Η µαθηµατική διατύπωση του δυϊκού προβλήµατος είναι: Τα δεδοµένο εισόδου του προβλήµατος είναι το N TOTAL και τα αποτελέσµατα είναι το βέλτιστο P MAX και η κατανοµή των αποθηκευτικών χώρων (N 1, N 2,.., N k-1 ). Αυτό που πρέπει να τονίσουµε, είναι ότι τα δύο προβλήµατα που παρουσιάσθηκαν δεν είναι ανεξάρτητα. Για την επίλυση του πρωταρχικού προβλήµατος απαιτείται η επίλυση του δυϊκού προβλήµατος. Στην παρούσα εργασία πάντως, θα ασχοληθούµε µόνο µε το δυϊκό πρόβληµα και θα παρουσιάσουµε διάφορους αλγορίθµους επίλυσης του. 3.3 Μέθοδος Απαρίθµησης (Enumeration Method) Μια βασική µέθοδος επίλυσης του προβλήµατος αποτελεί η µέθοδος της απαρίθµησης. Σύµφωνα µε αυτή, απαριθµούνται όλες οι πιθανές λύσεις και για κάθε µία υπολογίζεται η απόδοση του συστήµατος, µε σκοπό να επιλεγεί ως τελική λύση αυτή που µεγιστοποιεί την απόδοση. 43

44 Σχήµα 3.1: ιάγραµµα ροής µεθόδου απαρίθµησης. (Πηγή: Mirzapour Al-e-Hashem, S.M.J., Aryanezhad, M.B., (2009)). Η µεθοδολογία αυτή απαιτεί µικρές και απλές γραµµές παραγωγής, διότι όσο η γραµµή παραγωγής µεγαλώνει (αύξηση συνολικού αριθµού µηχανών και ενδιάµεσων αποθηκευτικών χώρων) το σύνολο των πιθανών λύσεων αυξάνεται εκθετικά. Αν υποθέσουµε ότι έχουµε µια γραµµή παραγωγής µε Κ σταθµούς εργασίας, Κ-1 αποθηκευτικούς χώρους και συνολικό αποθηκευτικό χώρο που πρέπει να κατανείµουµε ίσο µε Ν ολ τότε το σύνολο των εφικτών λύσεων υπολογίζεται από τον τύπο Συνεπώς, όταν τα Κ και Ν ολ είναι µεγάλα, είναι αδύνατον να γίνει αναζήτηση της λύσης στο σύνολο των εφικτών λύσεων µε τη µέθοδο της απαρίθµησης. Για παράδειγµα, αν έχουµε µια γραµµή παραγωγής µε 10 µηχανές (Κ=10) και η συνολική χωρητικότητα των αποθηκευτικών χώρων είναι 20 (Ν ολ =20), τότε ο αριθµός των πιθανών λύσεων είναι , αριθµός πάρα πολύ µεγάλος για να εφαρµοσθεί η µέθοδος της απαρίθµησης. Η µέθοδος της απαρίθµησης, επειδή για µικρές γραµµές δίνει ακριβή αποτελέσµατα, µπορεί να χρησιµοποιηθεί για έλεγχο άλλων µεθόδων. Έτσι όταν αναπτύσσεται µια νέα µέθοδος, εφαρµόζεται σε γραµµές για τις οποίες υπάρχουν αποτελέσµατα από την εφαρµογή της µεθόδου της απαρίθµησης και συγκρίνοντας τα αποτελέσµατα των λύσεων τους µε αυτά της απαρίθµησης, ουσιαστικά ελέγχουµε αν λειτουργεί σωστά η νέα µέθοδος. 44

45 3.4 Αναλυτικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Η αδυναµία εφαρµογής της µεθόδου της απαρίθµησης σε µεγάλες γραµµές παραγωγής, οδήγησε στην ανάπτυξη διάφορων µεθόδων βελτιστοποίησης βιοµηχανικών συστηµάτων και ειδικότερα επίλυσης του προβλήµατος κατανοµής αποθηκευτικών χώρων σε γραµµές παραγωγής. Έχουν προταθεί διάφορες µέθοδοι στη διεθνή βιβλιογραφία, µερικές από τις οποίες θα παρουσιάσουµε στις επόµενες ενότητες. Θα πρέπει να τονίσουµε εδώ ότι οι µέθοδοι αυτοί, δεν βρίσκουν πάντα τη βέλτιστη λύση αλλά κάποια λύση κοντά σε αυτή, δηλαδή µια λύση σύµφωνα µε την οποία η απόδοση του συστήµατος θα είναι πολύ κοντά στην πραγµατική απόδοση Γενετικοί αλγόριθµοι (Genetic Algorithms) Ένας γενετικός αλγόριθµος (Genetic Algorithm - GA) είναι µια τεχνική αναζήτησης που χρησιµοποιείται σε υπολογισµούς, για να βρει ακριβείς ή κατά προσέγγιση λύσεις σε προβλήµατα βελτιστοποίησης και αναζήτησης. Οι γενετικοί αλγόριθµοι ανήκουν στην κατηγορία των ευρεστικών µεθόδων πλήρους αναζήτησης (global search heuristics). Αποτελούν µια ιδιαίτερη κατηγορία εξελικτικών αλγορίθµων (Evolutionary Algorithms - EA), οι οποίοι χρησιµοποιούν τεχνικές που εµπνέονται από την εξελικτική βιολογία, όπως είναι η κληρονοµικότητα, η µεταλλαγή, η επιλογή και η διασταύρωση-επανασυνδυασµός. Η µεθοδολογία που χρησιµοποιείται στους γενετικούς αλγορίθµους, βασίζεται σε γενετικούς µηχανισµούς ενός πληθυσµού υποψήφιων εφικτών λύσεων που αποκαλούνται οργανισµοί του προβλήµατος, µε σκοπό να βρεθούν καλύτερες λύσεις και τελικά η βέλτιστη. Η διαδικασία συνήθως ξεκινά από ένα πληθυσµό τυχαίων οργανισµών, όπου υπολογίζεται η καταλληλότητα του καθενός. Στη συνέχεια επιλέγονται στοχαστικά πολλοί οργανισµοί από τον πληθυσµό, σύµφωνα µε την καταλληλότητα τους και µεταλλάσσονται για να δηµιουργήσουν ένα νέο πληθυσµό, ο οποίος θα χρησιµοποιηθεί ως σπόρος στη νέα επανάληψη του αλγορίθµου. Ο αλγόριθµος τερµατίζει όταν είτε έχει παραχθεί ένας µέγιστος αριθµός πληθυσµών, είτε έχει επιτευχθεί ένα επιθυµητό επίπεδο καταλληλότητας των οργανισµών του πληθυσµού. Στην γενική µορφή του ο ψευδοκώδικας του γενετικού αλγορίθµου έχει ως εξής: 45

46 1. Επιλέξτε τον αρχικό πληθυσµό. 2. Αξιολογήστε την καταλληλότητα κάθε οργανισµού στον πληθυσµό. 3. Επαναλάβετε µέχρι τον τερµατισµό: (χρονικό όριο ή επίτευξη ικανοποιητικής καταλληλότητας). 1. Επιλέξτε τους καταλληλότερους οργανισµούς για αναπαραγωγή. 2. ηµιουργήστε νέα γενιά µέσω διασταύρωσης ή/και µετάλλαξης (γενετικές διαδικασίες) και πάρτε τους απογόνους. 3. Αξιολογήστε τις µεµονωµένες καταλληλότητες των απόγονων. 4. Αντικαταστήστε το χειρότερο ταξινοµηµένο µέρος του πληθυσµού µε τον απόγονο. Το διάγραµµα ροής του γενετικού αλγορίθµου παρουσιάζεται στο σχήµα 3.2. Σχήµα 3.2: ιάγραµµα ροής γενετικού αλγορίθµου. (Πηγή: Al-Momani, Κ., Abu Qudeiri, J., 2009). 46

47 Ο δείκτης Ι στο διάγραµµα ροής αναφέρεται σε έναν οργανισµό κάποιου πληθυσµού µεγέθους Ν και η µεταβλητή GEN είναι ο τρέχων αριθµός γενιάς. Όπως φαίνεται στο σχήµα 3.2, ο αρχικός πληθυσµός επιλέγεται τυχαία. Μετά από την αξιολόγηση καταλληλότητας για κάθε οργανισµό στον πληθυσµό, οι διαδικασίες GA διενεργούνται για να παράγουν την επόµενη γενιά. Ένα σηµαντικό χαρακτηριστικό της υλοποίησης του γενετικού αλγορίθµου είναι η αναπαράσταση της λύσης. Μια καλή αναπαράσταση θα πρέπει να εξασφαλίζει ότι η εφαρµογή της διασταύρωσης (όπου ένας νέος οργανισµός προκύπτει από µέρη δύο άλλων οργανισµών) θα πρέπει να έχει ως αποτέλεσµα µια νέα έγκυρη αναπαράσταση. Με την αναπαράσταση που χρησιµοποιούσαµε ως τώρα για κάθε λύση, δηλαδή της µορφής (Ν 1, Ν 2,..., Ν k-1 ), µε Ν 1 +Ν Ν k-1 = Ν ολ, δεν εξασφαλίζουµε ότι η νέα λύση που θα προκύψει από τη διασταύρωση δύο λύσεων N a και N b θα έχει συνολικό αποθηκευτικό χώρο Ν ολ. Για το λόγο αυτό, µπορεί να χρησιµοποιηθεί η αναπαράσταση της λύσης ως ένα διάνυσµα R= (R 1, R 2,..., R N), όπου αποτελείται από τόσα στοιχεία όσος είναι και ο συνολικός αποθηκευτικός χώρος (Spinellis and Papadopoulos, 2000). Το κάθε στοιχείο R i µπορεί να πάρει τιµές από 1 έως Κ-1 και η τιµή αυτή αποτελεί δείκτη του αποθηκευτικού χώρου στον οποίο βρίσκεται η συγκεκριµένη αποθηκευτική µονάδα. Η παράσταση αυτή µπορεί να αντιστοιχηθεί στην προηγούµενη µε τον τύπο: Από πειράµατα που πραγµατοποιήθηκαν (Spinellis and Papadopoulos, 2000), έχει εξαχθεί το συµπέρασµα ότι ο γενετικός αλγόριθµος είναι πολύ γρήγορος σε µεγάλες γραµµές παραγωγής, αν και δεν δίνει τόσο ακριβή αποτελέσµατα Μέθοδος Simulated Annealing Η µέθοδος Simulated annealing (SA) που ερµηνεύεται ως "προσοµοιωµένη ανόπτηση", ανήκει στην κατηγορία των πιθανολογικών ευρεστικών µεθόδων για την επίλυση προβληµάτων βελτιστοποίησης εφαρµοσµένων µαθηµατικών, δηλαδή αυτών που προσπαθούν να εντοπίσουν µια καλή προσέγγιση στο ολικό ελάχιστο µιας 47

48 δεδοµένης συνάρτησης, σε ένα µεγάλο διάστηµα αναζήτησης. Χρησιµοποιείται συχνά όταν το διάστηµα αναζήτησης είναι πεπερασµένο (π.χ. όλοι οι δρόµοι που επισκέπτονται ένα δεδοµένο σύνολο πόλεων). Η µέθοδος περιγράφηκε ανεξάρτητα από τους Kirkpatrick, Gelatt και Vecchi το 1983 και από τον Černý το Η Simulated Annealing είναι µια µέθοδος κατάλληλη για συνδυαστικά προβλήµατα ελαχιστοποίησης. Η µέθοδος ξεκινάει µε µια αρχική τυχαία λύση και τη βελτιώνει επιλέγοντας τυχαία νέες λύσεις και υπολογίζοντας το αντίστοιχο διαφορικό κόστους. Αν το κόστος µειώνεται, τότε επιλέγεται η νέα λύση και η διαδικασία συνεχίζεται ώσπου να ικανοποιηθεί κάποια συνθήκη τερµατισµού (Spinellis, Papadopoulos, Smith, 2000). Το πρόβληµα που αντιµετωπίζει αυτή η µέθοδος είναι ότι µπορεί να "παγιδευτεί" σε τοπικά µέγιστα που δίνουν λύσεις αρκετά διαφορετικές από την ολική βέλτιστη. Ο τρόπος για να αντιµετωπισθεί αυτό το πρόβληµα προέρχεται από το µοντέλο της διαδικασίας της ανόπτησης που χρησιµοποιείται στη µεταλλουργία. Η διαδικασία αυτή περιλαµβάνει τη θέρµανση και την ελεγχόµενη ψύξη του µετάλλου µε σκοπό να αυξηθεί το µέγεθος των κρυστάλλων του και κατά συνέπεια να µειωθούν τα ελαττώµατα που αυτό παρουσιάζει. Σε αντιστοιχία µε τη φυσική αυτή διαδικασία, σε κάθε αλγόριθµο που βασίζεται στη µέθοδο Simulated Annealing ορίζεται µια καθολική µεταβλητή Τ που ονοµάζεται θερµοκρασία και η οποία µειώνεται σταδιακά κατά τη διάρκεια της διαδικασίας. Ο ψευδοκώδικας της µεθόδου Simulated Annealing έχει ως εξής: Επιλέξτε µια αρχική διάταξη γραµµής C 0 και µια αρχική θερµοκρασία T 0. Επαναλάβετε έως ότου δεν µπορεί να βρεθεί καµία καλύτερη διάταξη. Επαναλάβετε για ένα αριθµό βηµάτων βελτιστοποίησης για τις δοθείσες θερµοκρασίες. ιαµορφώστε µια νέα γραµµή C n µετακινώντας ένα τυχαίο αριθµό µονάδων αποθηκευτικού χώρου από έναν τυχαίο αποθηκευτικό χώρο σε κάποιον άλλο. Υπολογίστε τη διαφορά ενέργειας Delta E µεταξύ της τρέχουσας γραµµής C και τις νέας Cn. Εάν η νέα γραµµή C n είναι πιο κατάλληλη (Delta E < 0) ή ικανοποιεί το κριτήριο Metropolis R < exp(-delta E/T) για ένα τυχαίο αριθµό R, 0 < R < 1 και µια ανοπτηµένη θερµοκρασία T 48

49 τότε κάντε τη νέα γραµµή C n νέα γραµµή C. Χαµηλώστε την ανοπτηµένη θερµοκρασία Τ ακολουθώντας το πρόγραµµα ψύξης. Στον πίνακα 3.1 που ακολουθεί φαίνεται η αντιστοιχία µεταξύ της ανόπτησης στο φυσικό κόσµο και της ανόπτησης όπως χρησιµοποιείται στη βελτιστοποίηση γραµµών παραγωγής Πίνακας 3.1: Αντιστοιχία ανόπτησης στο φυσικό κόσµο και στη βελτιστοποίηση γραµµών παραγωγής. (Πηγή: Spinellis D., Papadopoulos, C., Smith M.J., (2000)) ιάταξη ατόµων Φυσικός κόσµος Τυχαίες µετακινήσεις ατόµων Ενέργεια E ιαφορά ενέργειας E Κατανοµή πιθανότητας καταστάσεων ενέργειας Θερµοκρασία Βελτιστοποίηση γραµµών παραγωγής ιάταξη γραµµής Αποθηκευτικός χώρος, Εξυπηρετητής, ρυθµός εξυπηρέτησης, Μετακινήσεις Απόδοση R ιαφορά διάταξης απόδοσης R Αλλαγές σύµφωνα µε το κριτήριο Metropolis, exp([(- E)/ T]) > rand (0 1), υλοποιώντας την κατανοµή πιθανοτήτων Boltzmann Μεταβλητή καθορισµού αποδοχής τερµατισµού διάταξης Μέθοδος Tabu Search Η µέθοδος Tabu Search (TS) είναι µια µαθηµατική µέθοδος βελτιστοποίησης, η οποία ανήκει στην κατηγορία των τεχνικών τοπικής αναζήτησης (local search). Η µέθοδος παρουσιάστηκε από τον Fred Glover (1986) για επίλυση συνδυαστικών προβληµάτων βελτιστοποίησης, µε εφαρµογή σε πολλούς τοµείς, από τη θεωρία γράφων έως και προβλήµατα ακέραιου γραµµικού προγραµµατισµού. Αποτελεί µια προσαρµοστική διαδικασία µε την ικανότητα να χρησιµοποιεί πολλές άλλες 49

50 µεθόδους, όπως αλγορίθµους γραµµικού προγραµµατισµού και ειδικούς ευρεστικούς αλγορίθµους, γεγονός που οδηγεί στην αντιµετώπιση του περιορισµού παρουσίασης τοπικών βέλτιστων (Glover, 1989). Η µέθοδος TS ενισχύει την απόδοση µιας µεθόδου τοπικής αναζήτησης µε τη χρησιµοποίηση δοµών µνήµης: µόλις καθοριστεί µια πιθανή λύση, χαρακτηρίζεται ως "taboo" ("tabu" που είναι µια διαφορετική ορθογραφία της ίδιας λέξης) έτσι ώστε ο αλγόριθµος να µην επισκέπτεται επανειληµµένα τη συγκεκριµένη λύση. Η TS ξενικά µε µια αρχική εφικτή λύση. Η αναζήτηση προχωρά επαναληπτικά από τη µια εφικτή λύση στην άλλη µε κινήσεις µέσα στα πλαίσια µιας περιοχής (neighborhood), µε τη βοήθεια προσαρµόσιµης µνήµης (Shi, Men, 2003). Η κίνηση είναι ένας µετασχηµατισµός που µπορεί να παράγει νέες εφικτές λύσεις από την τρέχουσα, µέσα στην ίδια περιοχή. Η κίνηση επιλέγεται έτσι, ώστε να παρέχει την καλύτερη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης (δηλαδή της απόδοσης), από όλες τις λύσεις της περιοχής εκτός από την τρέχουσα λύση. Ως αποτέλεσµα, µια κίνηση προς την καλύτερη λύση της περιοχής ίσως παράγει χειρότερη λύση από την τρέχουσα, πράγµα το οποίο διαφοροποιεί την TS από άλλες "greedy" µεθόδους τοπικής βελτίωσης. Για την αποφυγή του προβλήµατος µια κίνηση να οδηγήσει σε µια προηγούµενη λύση, η TS χρησιµοποιεί κάποια δοµή µνήµης. Η συνηθέστερη δοµή είναι η λίστα (tabu list), η οποία περιλαµβάνει τις κινήσεις που έχουν πραγµατοποιηθεί στο παρελθόν για να καταλήξουµε σε µια λύση, µε σκοπό να µην πραγµατοποιηθούν οι ίδιες και καταλήξουµε πάλι στην ίδια λύση. Στην αρχή, ο στόχος µας είναι να γίνει µια ευρεία εξέταση του διαστήµατος λύσεων, αλλά καθώς αναγνωρίζονται υποψήφιες περιοχές-γειτονιές η αναζήτηση περιορίζεται για να δώσει τελικά το τοπικό βέλτιστο. Τα βασικά στοιχεία της TS καθορίζονται ως εξής: Τρέχουσα Λύση: x current είναι ένα σύνολο λύσεων από το οποίο παράγονται οι νέες δοκιµαστικές τιµές. Κινήσεις: η διαδικασία της παραγωγής δοκιµαστικών λύσεων από την x current. Υποψήφιες Κινήσεις: είναι ένα σύνολο δοκιµαστικών λύσεων x trial, που παράγονται από την περιοχή της x current. Λίστα Tabu: µια λίστα των "απαγορευµένων" κινήσεων που υπερέβησαν τις συνθήκες που επιβλήθηκαν στις κινήσεις γενικά. 50

51 Κριτήριο Φιλοδοξίας: ένα κριτήριο που αγνοεί την κατάσταση µιας κίνησης. Αυτό που χρησιµοποιείται συχνά είναι να αγνοείται η κατάσταση µιας κίνησης, όταν αυτή παράγει µια λύση καλύτερη από την µέχρι στιγµής βέλτιστη λύση x best. Κριτήριο Τερµατισµού: είναι οι όροι που τερµατίζουν τη διαδικασία αναζήτησης. Συνήθως η διαδικασία σταµατά όταν ο αριθµός των επαναλήψεων φθάνει σε κάποιο ανώτατο όριο που έχουµε ορίσει ή όταν δεν υπάρχει πλέον βελτίωση στις τελευταίες επαναλήψεις. Στο σχήµα 3.3 παρουσιάζεται το διάγραµµα ροής του αλγορίθµου TS, ενώ παρακάτω περιγράφονται τα βήµατα του αλγορίθµου: Σχήµα 3.3: ιάγραµµα ροής αλγορίθµου Tabu Search. (Πηγή: Z. Al-Hamouz, N. Al-Musabi, H. Al-Duwaish, 2009). 51

52 Βήµα 1: Παράγουµε τυχαίες αρχικές λύσεις, x initial. Ορίζουµε x best =x initial =x current. Βήµα 2: Παράγουµε τυχαία δοκιµαστικές λύσεις µέσα στη περιοχή της τρέχουσας λύσης. Βήµα 3: Υπολογίζουµε την τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης για τις δοκιµαστικές λύσεις και τις συγκρίνουµε µε την τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης της βέλτιστης λύσης. Αν παίρνουµε καλύτερη λύση, τότε θέτουµε x best = x trial. Βήµα 4: Ελέγχεται η κατάσταση Tabu της x trial. Αν δεν υπάρχει στην λίστα Tabu, τότε την προσθέτουµε στη λίστα και θέτουµε x current = x trial και µεταβαίνουµε στο βήµα 7. Αν η x trial είναι στην λίστα, µεταβαίνουµε στο βήµα 5. Βήµα 5: Ελέγχουµε το κριτήριο φιλοδοξίας. Αν ικανοποιείται τότε η κατάσταση tabu αντικαθίσταται, το κριτήριο φιλοδοξίας ανανεώνεται, θέτουµε x current = x trial και µεταβαίνουµε στο βήµα 7. Αλλιώς µεταβαίνουµε στο βήµα 6. Βήµα 6: Ελέγχουµε όλες τις δοκιµαστικές λύσεις επιστρέφοντας στο βήµα 4. Εάν όλες οι δοκιµαστικές λύσεις έχουν καθορισθεί πηγαίνουµε στο βήµα 7. Βήµα 7: Ελέγχουµε το κριτήριο τερµατισµού. Αν ικανοποιείται σταµατάµε, αλλιώς µεταβαίνουµε στο βήµα 2 για επόµενη επανάληψη. Η Tabu Search αποτελεί µια καλή µέθοδο επίλυσης συνδυαστικών προβληµάτων βελτιστοποίησης και επιπλέον µπορεί να συνδυαστεί µε εναλλακτικές µεθόδους αναζήτησης, όπως είναι οι γενετικοί αλγόριθµοι και ο αλγόριθµος Simulated Annealing, παρέχοντας καλύτερα αποτελέσµατα Μέθοδος Nested Partitions Η µέθοδος Nested Partitions (NP) είναι µια metaheuristic µέθοδος, κατάλληλη για επίλυση διακριτών προβληµάτων βελτιστοποίησης, αν και είναι εφαρµόσιµη και σε προβλήµατα βελτιστοποίησης συνεχούς τύπου. Η µέθοδος προτάθηκε από τους Shi και Olafsson (2000) και συνδυάζει πλήρη (global) και τοπική (local) αναζήτηση. Είναι µια µέθοδος που βασίζεται στην έννοια της προσαρµοστικής δειγµατοληψίας. Η µέθοδος οδηγεί την προσπάθεια δειγµατοληψίας προς µια µικρότερη περιοχή αναζήτησης, έως ότου η περιοχή αναζήτησης να είναι αδιαίρετη. Πιο συγκεκριµένα, η συνολική περιοχή της εφικτής λύσης τµηµατοποιείται σε 52

53 υποπεριοχές, τις οποίες δειγµατοληπτεί για να καθορισθεί η πιθανότητα κάθε υποπεριοχής να περιέχει τη βέλτιστη λύση. Στη συνέχεια επικεντρώνεται η υπολογιστική προσπάθεια στην πιο "υποσχόµενη" περιοχή, δηλαδή αυτή µε τη µεγαλύτερη πιθανότητα, έτσι ώστε να συνεχιστεί σε αυτήν η τµηµατοποίηση. Οι περιοχές που δεν ανήκουν στην "υποσχόµενη" υποπεριοχή, συναθροίζονται σε µια περιβάλλουσα υποπεριοχή που δειγµατοληπτείται επίσης. Ο αλγόριθµος κινείται πίσω (backtracking) σε µια µεγαλύτερη υποπεριοχή εάν η περιβάλλουσα υποπεριοχή φαίνεται να είναι πιο ελπιδοφόρος. Αυτό γίνεται επαναληπτικά, ώστε κάθε υποπεριοχή (partition) να ενθυλακώνεται (nested) µέσα στην προηγούµενη υπό εξέταση περιοχή (τελευταία). Η µέθοδος NP µπορεί να διαιρεθεί σε τέσσερα κύρια βήµατα. Κάθε ένα από αυτά τα βήµατα µπορεί να εφαρµοστεί στη γενική του µορφή, αλλά µπορεί επίσης να συνδυαστεί µε ευρεστικές µεθόδους και να προσαρµοστεί για να εκµεταλλευθεί την ειδική δοµή του προβλήµατος βελτιστοποίησης (Shi, Men, 2003). Τα τέσσερα βήµατα αναφέρονται περιληπτικά παρακάτω: 1. Τµηµατοποίηση (Partitioning): τµηµατοποιείται η τρέχουσα πιο "υποσχόµενη" περιοχή σε αρκετές υποπεριοχές και συναθροίζεται η περιβάλλουσα περιοχή σε µια. 2. Τυχαία ειγµατοληψία (Random Sampling): παίρνουµε δείγµατα από όλες τις υποπεριοχές και από την περιβάλλουσα περιοχή. 3. Υπολογισµός είκτη Υπόσχεσης (Calculation of Promising Index): χρησιµοποιούµε τα δείγµατα που πήραµε για να υπολογίσουµε το δείκτη υπόσχεσης κάθε υποπεριοχής και στη συνέχεια υπολογίζουµε την επόµενη πιο "υποσχόµενη" περιοχή. Ο δείκτης υπόσχεσης ουσιαστικά είναι η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης που δηλώνει την απόδοση του συστήµατος. 4. Περαιτέρω Τµηµατοποίηση ή Οπισθοδρόµηση (Further Partition or Backtracking): αν κάποια από τις υποπεριοχές της τρέχουσας περιοχής έχει τον καλύτερο δείκτη υπόσχεσης, αυτή η υποπεριοχή γίνεται η πιο "υποσχόµενη" περιοχή στην επόµενη επανάληψη. Αν η περιβάλλουσα περιοχή έχει τον καλύτερη δείκτη, ένα υποσύνολο της γίνεται η πιο "υποσχόµενη" περιοχή. 53

54 Ένα σηµαντικό πλεονέκτηµα της µεθόδου είναι η ευελιξία που παρέχει στη χρήση ειδικών δοµών στις φάσεις της global και local αναζήτησης. Συνδυάζει τη global αναζήτηση µέσω της ολικής δειγµατοληψίας της εφικτής λύσης και την local αναζήτηση µέσω της εκτίµησης του δείκτη υπόσχεσης. Η µέθοδος είναι ευέλικτη αφού µπορεί να συνδυαστεί µε πολλές άλλες µεθόδους (Tabu Search, Genetic Algorithm, κ.α. ), στα βήµατα της τµηµατοποίησης, δειγµατοληψίας και υπολογισµού του δείκτη υπόσχεσης (Shi, Pi, Chen, 2007). Το µειονέκτηµα που παρουσιάζει όµως, είναι ότι µπορεί να χρησιµοποιηθεί σε προβλήµατα µε καθορισµένη περιοχή εφικτών λύσεων. Στη συνέχεια της παρούσας εργασίας θα αναπτύξουµε µια µέθοδο για τη βελτιστοποίηση γραµµών παραγωγής µε σταθµούς εργασίας που µπορεί να έχουν παράλληλες µηχανές, η οποία είναι παραλλαγή της µεθόδου Nested Partitions και εκεί θα αναφερθούµε πιο αναλυτικά στην υλοποίηση της συγκεκριµένης µεθόδου Μέθοδος Gradient Η µέθοδος Gradient (κλίση) έχει χρησιµοποιηθεί από διάφορους ερευνητές για την επίλυση του προβλήµατος κατανοµής αποθηκευτικού χώρου (Seong; Chang and Hong, 1994a,b, Gershwin and Goldis, 1995, Gershwin and Schor 2000). Ο σκοπός της µεθόδου είναι να βρεθεί η κατεύθυνση όπου η απόδοση του συστήµατος αυξάνει περισσότερο. Αφού βρεθεί αυτή η κατεύθυνση πραγµατοποιείται αναζήτηση για να βρεθεί η βέλτιστη λύση. Ο αλγόριθµος ξεκινά µε µία αρχική λύση [, ], η οποία δίνεται από τον χρήστη και µπορεί να είναι είτε τυχαία ή να ακολουθεί κάποια λογική (για παράδειγµα οµοιόµορφη λύση). Έπειτα υπολογίζεται το διάνυσµα g= [, ], όπου = (, ). To g ονοµάζεται διάνυσµα gradient και δείχνει την κατεύθυνση προς την οποία η απόδοση P του συστήµατος αυξάνεται περισσότερο. Το πρόβληµα είναι ότι αν κινηθούµε στην κατεύθυνση που ορίζει το g θα προκύψουν µη εφικτές λύσεις, δηλαδή λύσεις όπου ο συνολικός αποθηκευτικός χώρος θα είναι µεγαλύτερος του δεδοµένου. Για αυτό το λόγο υπολογίζεται ένα νέο διάνυσµα p το οποίο είναι αυτό που βρίσκεται κοντύτερα στο g, χωρίς να αναιρεί τον περιορισµό του συνολικού αποθηκευτικού χώρου. 54

55 Εφόσον η κατεύθυνση έχει βρεθεί, ακολουθεί µια γραµµική αναζήτηση σε αυτήν. Η αναζήτηση γίνεται µε ένα βήµα b που µπορεί να καθοριστεί από τον χρήστη. Όταν αναγνωριστεί η περιοχή της γραµµής όπου υπάρχει η βέλτιστη λύση, γίνεται δυαδική αναζήτηση ώστε να βρεθεί η ακριβής λύση. Η λύση αυτή δίνεται ως αρχική λύση και η διαδικασία ξαναρχίζει από την αρχή. Ο τερµατισµός του αλγορίθµου γίνεται όταν δούµε ότι η λύση δεν µπορεί να βελτιωθεί περαιτέρω, όταν δηλαδή η λύση που θα προκύψει από µια επανάληψη θα είναι ακριβώς ίδια µε την προηγούµενη. Η φιλοσοφία του αλγορίθµου Gradient που δεν αναζητά γειτονικές λύσεις, αλλά ψάχνει σε µια κατεύθυνση που ορίζει ως βέλτιστη, καθιστά την όλη διαδικασία πολύ γρήγορη. Πρέπει να αναφέρουµε ότι στη διεθνή βιβλιογραφία, ο Gradient χρησιµοποιείται µε δεδοµένο το γεγονός ότι οι αποθηκευτικοί χώροι µπορούν να πάρουν και µη ακέραιες τιµές χωρητικότητας, ακόµη και αν το σύστηµα είναι διακριτό (Gershwin and Schor 2000). Για το λόγο αυτό χρησιµοποιούν µεθόδους εκτίµησης της απόδοσης που δέχονται και µη ακέραιες τιµές. Όταν ο αλγόριθµος καταλήξει σε κάποια λύση, αυτή µε µια διαδικασία που περιγράφεται από τους ερευνητές στρογγυλοποιείται ώστε η τελική λύση να έχει φυσική σηµασία. Στην συνέχεια της παρούσας εργασίας θα αναπτύξουµε µια υβριδική µέθοδο που χρησιµοποιεί µια παραλλαγή του αλγορίθµου Gradient, για τη βελτιστοποίηση γραµµών παραγωγής µε σταθµούς εργασίας που µπορεί να έχουν πολλές παράλληλες µηχανές Μέθοδος LIBA Η µέθοδος LIBA είναι µια ευρεστική διαδικασία που χρησιµοποιείται για την επίλυση του προβλήµατος κατανοµής αποθηκευτικών χώρων. Προτάθηκε από τον Selvi (2002) και βασίζεται στη διάσπαση της γραµµής παραγωγής σε δύο υπογραµµές γύρω από κάθε ένα αποθηκευτικό χώρο της γραµµής. Ο στόχος της µεθόδου είναι να ελαχιστοποιηθεί η διαφορά των τιµών της απόδοσης µεταξύ των δύο υπογραµµών που δηµιουργούνται από τη διάσπαση της γραµµής γύρω από κάθε αποθηκευτικό χώρο. Η µέθοδος στηρίζεται στο γεγονός ότι η συνολική απόδοση του συστήµατος δεν µπορεί να είναι µεγαλύτερη από τη µικρότερη απόδοση των δύο υπογραµµών. Για την επίτευξη του σκοπού αυτού πραγµατοποιείται διαδοχική µεταφορά αποθηκευτικού χώρου από την γρηγορότερη υπογραµµή στην πιο αργή. 55

56 Αναλυτικότερα, η µέθοδος ξεκινά µε τη διάσπαση της γραµµής παραγωγής στον κεντρικό αποθηκευτικό χώρο. Στην συνέχεια αναγνωρίζονται οι υποψήφιοι δότες και δέκτες αποθηκευτικών χώρων. Υποψήφιοι δέκτες είναι αυτοί οι αποθηκευτικοί χώροι που βρίσκονται στην υπογραµµή µε τη µεγαλύτερη απόδοση. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται έως ότου να καταλήξουµε σε δύο υπογραµµές που θα αποτελούνται µόνο από δύο µηχανές και έναν ενδιάµεσο αποθηκευτικό χώρο. Τότε ο αποθηκευτικός χώρος της υπογραµµής µε τη µεγαλύτερη απόδοση, επιλέγεται ως δότης. Για την επιλογή του δέκτη, ακολουθείται αντίστοιχη διαδικασία, δηλαδή εύρεση της τελικής υπογραµµής µε τη µικρότερη απόδοση. Αφού έχουµε αναγνωρίσει δότη και δέκτη, προχωράµε στη διαδοχική µεταφορά αποθηκευτικού χώρου από τον έναν στον άλλο αντίστοιχα, έως ότου διαπιστώσουµε ότι η συνολική απόδοση δεν βελτιώνεται πλέον. Στην ίδια µελέτη, ο Selvi (2002) προτείνει µια διαδικασία καθορισµού µιας αρχικής λύσης, ως εξής: Αρχικά, για µια γραµµή παραγωγής µε Κ µηχανές, ορίζεται µια κρίσιµη συνάρτηση (cr i ) για κάθε αποθηκευτικό χώρο B i, (i=1,2,,k-1), σύµφωνα µε τον ακόλουθο τύπο όπου ρ i είναι ο ρυθµός παραγωγής της µηχανής i και στη συνέχεια υπολογίζεται η σχετική κρίσιµη συνάρτηση RC i, (i=1,2,,k-1), βάσει του τύπου Παραδείγµατος χάριν, για τον αποθηκευτικό χώρο B i οι αρχικές µονάδες αποθήκευσης IB i υπολογίζονται από το γινόµενο RC i *B, όπου Β είναι η συνολική χωρητικότητα των αποθηκευτικών χώρων. Εάν τα IB i δεν είναι ακέραια, το ακέραιο µέρος τους ορίζεται ως χωρητικότητα του κάθε αποθηκευτικού χώρου, ενώ το υπόλοιπο µέρος (δεκαδικό) προστίθεται στους αποθηκευτικούς χώρους µε τις µεγαλύτερες IB i τιµές, κατά φθίνουσα σειρά. Αν τα δεκαδικά µέρη είναι ίσα, ο αποθηκευτικός χώρος µε το µεγαλύτερο ακέραιο µέρος στην τιµή IB i παίρνει τις µονάδες αποθήκευσης. Στην περίπτωση που τα IB i είναι ακριβώς ίσα, οι µονάδες αποθήκευσης προστίθενται στον αποθηκευτικό χώρο που είναι πιο κοντά στο κέντρο της γραµµής. 56

57 3.4.7 Ευρεστική Μέθοδος Η µέθοδος βασίζεται σε ένα ευρεστικό () αλγόριθµο, όπως αυτός προτάθηκε από τους Sabunsuoglu, Erel και Gocgun (2006). Ο προτεινόµενος αλγόριθµος αναπτύχθηκε για την επίλυση του προβλήµατος κατανοµής αποθηκευτικών χώρων σε σειριακές γραµµές παραγωγής µε αναξιόπιστους σταθµούς εργασίας. Ο αλγόριθµος βασίζεται στην ιδέα της µεταφοράς ενδιάµεσων αποθηκευτικών χώρων από υποχρησιµοποιούµενες θέσεις ενδιάµεσων αποθηκευτικών χώρων σε πλήρως χρησιµοποιηµένες θέσεις, έτσι ώστε η ρυθµαπόδοση να βελτιώνεται. Μοιάζει µε τη µέθοδο LIBA, αφού και εδώ έχουµε χωρισµό της γραµµής παραγωγής σε υπογραµµές. Κατ αρχήν, αναγνωρίζονται οι περιοχές της γραµµής που παρουσιάζουν δυσχέρεια (bottleneck) και οι αποθηκευτικοί χώροι που υποχρησιµοποιούνται. Οι δυσχέρειες ορίζονται βάσει των επιµέρους ρυθµών επεξεργασίας των σταθµών εργασίας. Αυτή η ιδέα χρησιµοποιήθηκε από τους Papadopoulos και Vidalis (2001) για τον καθορισµό της αρχικής κατανοµής των ενδιάµεσων αποθηκευτικών χώρων. Σύµφωνα µε αυτή, αν έχουµε Ν µηχανές και συµβολίζουµε ως το ρυθµό επεξεργασίας της κάθε µίας (i=1,2,,ν), τότε βρίσκουµε το µέσο =. Οι σταθµοί για τους οποίους ισχύει θεωρούνται σταθµοί δυσχέρειας και συνεπώς ορίζονται ως πιθανοί δότες. Ο προτεινόµενος αλγόριθµος αποτελείται από τέσσερα κύρια στάδια: 1. Προσδιορισµός των δεκτών. 2. Προσδιορισµός των δοτών. 3. Μεταφορά των ενδιάµεσων αποθηκευτικών χώρων από τους δότες στους δέκτες. 4. Περαιτέρω βελτίωση, µε την εξέταση των θέσεων των ενδιάµεσων αποθηκευτικών χώρων που έχουν δυνατότητα να είναι δέκτες. Προκειµένου να προσδιοριστεί ένας αποθηκευτικός χώρος ως δέκτης, από όλους τους σταθµούς δυσχέρειας αρχικά επιλέγεται αυτός µε το µικρότερο και σε αυτό το σηµείο διαιρούµε τη γραµµή σε δύο υπογραµµές, όπως φαίνεται και στο σχήµα 3.4. Η πρώτη υπογραµµή αποτελείται από τον πρώτο (αριστερό) σταθµό 57

58 εργασίας µέχρι και τον σταθµό της δυσχέρειας (σχήµα 3.4 (α)), ενώ η δεύτερη αποτελείται από τον σταθµό της δυσχέρειας στον τελευταίο (δεξιά) σταθµό εργασίας (σχήµα 3.4 (β)). Πρέπει να σηµειώσουµε ότι ο σταθµός δυσχέρειας συµπεριλαµβάνεται και στις δύο υπογραµµές. Η απόδοση αυτών των δύο υπογραµµών µπορεί να υπολογιστεί µε προσοµοίωση ή µε τη χρήση κάποιας εκτιµητικής µεθόδου. Η θέση του ενδιάµεσου αποθηκευτικού χώρου της δυσχέρειας που βρίσκεται στην υπογραµµή µε τη µικρότερη απόδοση χαρακτηρίζεται ως δέκτης. ηλαδή αν για παράδειγµα είναι η απόδοση της υπογραµµής αριστερά του σταθµού δυσχέρειας και αυτής δεξιά του και ισχύει τότε ως δέκτης θα οριστεί ο αποθηκευτικός χώρος αµέσως µετά από το σταθµό δυσχέρειας. Έτσι, για το παράδειγµα του σχήµατος 3.4, ο αποθηκευτικός χώρος θα οριστεί ως δέκτης. Σχήµα 3.4: Σχηµατική απεικόνιση της διαδικασίας διαίρεσης υπογραµµών σύµφωνα µε την ευρεστική µέθοδο. (Sabunsuoglu, Erel και Gocgun (2006)) 58

59 Για τον υπολογισµό των πιθανών δοτών χρησιµοποιείται ένα κρίσιµο µέτρο που προτάθηκε από τον Selvi (2002) και δίνεται από τον τύπο F(, )=1/(, ). Το κρίσιµο αυτό µέτρο υπολογίζεται για κάθε αποθηκευτικό χώρο B i και η θέση µε τη µικρότερη κρίσιµη τιµή χαρακτηρίζεται ως δότης, αφού πρώτα έχουµε αποκλείσει τις δύο θέσεις των ενδιάµεσων αποθηκευτικών χώρων της δυσχέρειας, καθώς η µία είναι ο δέκτης και η άλλη τίθεται ως ο τελευταίος δότης. Εάν υπάρχει η περίπτωση ισότητας των κρίσιµων τιµών δύο οποιωνδήποτε θέσεων, τότε αυτή που βρίσκεται πιο µακριά από την τρέχουσα δυσχέρεια επιλέγεται ως πρώτος δότης. Χαρακτηριστικές θέσεις ενδιάµεσων αποθηκευτικών χώρων γύρω από τους σταθµούς δυσχερειών, έχουν την υψηλότερη πιθανότητα για να γίνουν δέκτες, ενώ η παραµονή σε υποχρησιµοποιούµενες θέσεις θεωρούνται ως πιθανοί δότες. Αφού επιλεχθεί ο δότης και ο δέκτης, µεταφέρουµε διαδοχικά θέσεις αποθηκευτικού χώρου από τον πρώτο στον δεύτερο. Αυτό γίνεται µέχρι να δούµε ότι η απόδοση του συστήµατος δε βελτιώνεται πλέον µε τη µεταφορά. Η διαδικασία συνεχίζεται µε τους υπόλοιπους πιθανούς δότες και δέκτες ώσπου να εξαντληθούν όλοι. Στο σχήµα 3.5 παρουσιάζεται το διάγραµµα ροής της µεθόδου. Σχήµα 3.5: ιάγραµµα ροής ευρεστικής µεθόδου. (Πηγή: Sabuncuoglu, Erel, Gocgun, 2006) 59

60 Ο ευρεστικός αλγόριθµος των Sabunsuoglu, Erel και Gocgun (2006) που παρουσιάσαµε, αναπτύχθηκε για σειριακές γραµµές παραγωγής. Ο αλγόριθµος τροποποιήθηκε από το συνάδελφο Πιτσιόρλα Θωµά, ώστε να λειτουργεί σε γραµµές παραγωγής µε σταθµούς εργασίας που αποτελούνται από παράλληλες µηχανές Υβριδικές µέθοδοι Στις προηγούµενες παραγράφους παρουσιάσαµε ορισµένες από τις µεθόδους που χρησιµοποιούνται στη διεθνή βιβλιογραφία για την επίλυση του προβλήµατος κατανοµής αποθηκευτικού χώρου. Είναι πολύ συχνό το φαινόµενο να συνδυάζονται διάφορες µέθοδοι, δηµιουργώντας έτσι νέες υβριδικές µεθόδους µε σκοπό την εκµετάλλευση των πλεονεκτηµάτων που η κάθε µια παρουσιάζει και πιθανώς την αποφυγή των µειονεκτηµάτων τους. Έτσι συχνά χρησιµοποιούνται τέτοιου είδους υβριδικές µέθοδοι για την επίλυση προβληµάτων που πιθανώς διάφορες µέθοδοι από µόνες τους να µην µπορούν να επιλύσουν λόγω µεγέθους του προβλήµατος, ή ακόµη απλώς οι υβριδικές µέθοδοι να βελτιώνουν τα εξαγόµενα αποτελέσµατα, παρουσιάζοντας καλύτερο ρυθµό σύγκλισης του αλγορίθµου, µε µικρότερη υπολογιστική προσπάθεια, καλύτερο χρόνο, κλπ.. Χαρακτηριστικά παραδείγµατα υβριδικών µεθόδων αποτελούν οι αλγόριθµοι NP/TS (Shi, Men, 2003) και NP/SA (Yu, Luo, 2008), οι οποίοι συνδυάζουν τον αλγόριθµο Nested Partitions που χρησιµοποιείται για ολική αναζήτηση (global search), µε τους αλγορίθµους Tabu Search και Simulated Annealing αντίστοιχα που χρησιµοποιούνται για τοπική αναζήτηση (local search). Ο υβριδικός αλγόριθµος εκµεταλλεύεται το πλεονέκτηµα του NP, σύµφωνα µε το οποίο περισσότερη υπολογιστική προσπάθεια καταναλώνεται στις πιο "υποσχόµενες" περιοχές που πιθανότερα να περιέχουν τη βέλτιστη λύση, και το πλεονέκτηµα του TS που προσπαθεί να αποφύγει την επανάληψη εύρεσης της ίδιας λύσης. Έτσι παραδείγµατος χάρη, τα αποτελέσµατα της υβριδικής αυτής µεθόδου είναι ότι µπορεί να χρησιµοποιηθεί σε προβλήµατα µεγαλύτερης κλίµακας από αυτά που η κάθε µια µέθοδος µπορούσε να ασχοληθεί και δεν επηρεάζεται από αλλαγές των παραµέτρων του υβριδικού αλγορίθµου. Επίσης, σε σύγκριση µε τους NP και TS ο υβριδικός αλγόριθµος µειώνει το χρόνο εύρεσης της βέλτιστης λύσης και παρουσιάζει καλύτερη λύση από αυτή του TS. 60

61 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 - ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΓΡΑΜΜΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 4.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό ασχολούµαστε µε σειριακές, διακριτές και αξιόπιστες γραµµές παραγωγής στις οποίες κάθε σταθµός µπορεί να αποτελείται από πολλές παράλληλες µηχανές. Παρουσιάζουµε µια µεθοδολογία για την επίλυση του Dual προβλήµατος κατανοµής αποθηκευτικών χώρων. Ο υβριδικός αλγόριθµος που αναπτύχθηκε, βασίζεται σε µια παραλλαγή του αλγορίθµου Nested Partitions (NP) για εύρεση της περιοχής που µπορεί να περιέχει την βέλτιστη λύση (global search) και στον αλγόριθµο Gradient. Με τον παραλλαγµένο αλγόριθµο του NP βρίσκουµε µια λύση στην πιο "υποσχόµενη" περιοχή του συνόλου των εφικτών λύσεων και στη συνέχεια αυτή η λύση αποτελεί την αρχική λύση που θα χρησιµοποιήσει ο Gradient για να επιστρέψει την τελική βέλτιστη λύση. Η δοµή του κεφαλαίου αποτελείται από την ενότητα 4.1 όπου παρουσιάζεται αναλυτικά ο αλγόριθµος NP. Στην ενότητα 4.2 παρουσιάζεται ο τροποποιηµένος αλγόριθµος Gradient και στην ενότητα 4.3 παρουσιάζεται αναλυτικά ο προτεινόµενος υβριδικός αλγόριθµος NP/Gradient. 4.2 Αλγόριθµος Nested Partitions Όπως αναφέρθηκε και στην ενότητα ο αλγόριθµος NP περιλαµβάνει τέσσερα βήµατα. Για να παρουσιασθεί η λεπτοµερής υλοποίηση του αλγορίθµου δίνουµε τους παρακάτω ορισµούς: Θ = Η εφικτή περιοχή (feasible region). Σ = {σ Θ σ είναι µια έγκυρη περιοχή δεδοµένης µιας ορισµένης τµηµατοποίησης}. Σ 0 = {σ Σ σ είναι στο µέγιστο βάθος. σ(k) = η πιο υποσχόµενη περιοχή στην k-οστή επανάληψη. d(σ) = βάθος της περιοχής σ Σ. s(σ) = η υπερπεριοχή του σ Σ. Τα βήµατα του αλγορίθµου αναλύονται παρακάτω: Βήµα 1 - Τµηµατοποίηση (Partition): έστω ότι το Μ σ(k) καθορίζει τον αριθµό των υποπεριοχών της περιοχής σ(k). Ο αριθµός Μ σ(k) ίσως εξαρτάται από την περιοχή σ(k) 61

62 αλλά όχι από την k επανάληψη, δηλαδή αν σ(k 1 )=σ(k 2 ) τότε Μ σ(k1) =Μ σ(k2). Χωρίζουµε την περιοχή σ(k) σε Μ σ(k) υποπεριοχές σ 1 (k), σ 2 (k),,σ Μσ(k) (k), και συναθροίζουµε την περιβάλλουσα περιοχή Θ\σ(k) σε µία περιοχή σ Μσ(k)+1 (k). Για την καλύτερη κατανόηση του βήµατος της τµηµατοποίησης, χρησιµοποιείται ένα παράδειγµα γραµµής παραγωγής µε Κ+1=5 µηχανές επεξεργασίας, Κ ενδιάµεσους αποθηκευτικούς χώρους και Ν=12 συνολική χωρητικότητα των αποθηκευτικών χώρων. Ο συνηθέστερος τρόπος τµηµατοποίησης του συνολικού διαστήµατος λύσεων είναι ο ακόλουθος. Κατ αρχήν χωρίζουµε το διάστηµα λύσεων σύµφωνα µε τον αριθµό των πιθανών µονάδων αποθήκευσης στον 1 ο αποθηκευτικό χώρο. Έτσι µπορούµε να τοποθετήσουµε 0- Ν µονάδες στην 1 η θέση. Συνεπώς, στην 1 η επανάληψη υπάρχουν Ν+1 περιοχές σ 0 (0), σ 1 (0),, σ Ν (0), µε κάθε περιοχή σ j (0) να έχει j τοποθετηµένες µονάδες στην 1 η θέση της γραµµής, όπως φαίνεται στο σχήµα 4.1. Σχήµα 4.1: Τµηµατοποίηση του Buffer Allocation Problem µε Κ=4 και Ν=12. (Πηγή: Shi, Men, 2003) Ας υποθέσουµε ότι στην k-οστή επανάληψη η πιο "υποσχόµενη" περιοχή είναι η σ(k), έτσι ώστε όλες οι τοποθετήσεις των αποθηκευτικών χώρων στη σ(k) να έχουν τον ίδιο αριθµό µονάδων αποθήκευσης µεταξύ των πρώτων p+1 σταθµών (θ * 1, θ * 2,, θ * p ). Καλούµε την περιοχή (θ * 1, θ * 2,, θ * p-1, θ * p ) χαρακτηριστική περιοχή. Έστω ότι Ν α = θ * 1 + θ * * θ p είναι ο συνολικός αριθµός των τοποθετηµένων µονάδων αποθήκευσης στις πρώτες p θέσεις. Τότε ο αριθµός των µονάδων αποθήκευσης που 62

63 µπορούν να τοποθετηθούν στις θέσεις που έχουν αποµείνει είναι Ν r =Ν Ν α. Αν υποθέσουµε ότι η τρέχουσα περιοχή είναι η σ(k)={θ θ 1 =θ * 1, θ 2 =θ * 2,, θ p =θ * p, θ p+1 + θ p θ Κ =Ν r }τότε η περιοχή σ(k) µπορεί να χωρισθεί ως εξής: Αλγόριθµος Τµηµατοποίησης Η περιοχή σ(k) έχει Ν r +1 υποπεριοχές, µε την j-οστή υποπεριοχή της ως εξής: σ j (k)={θ (θi=θi *, για 1 i p, θ p+1 =j, θ p θ Κ = Ν r -j}, όπου 0 j Ν r. Η περιβάλλουσα περιοχή της σ(k) είναι η Σ\σ(k). Βήµα 2 - Τυχαία ειγµατοληψία (Random Sampling): η διαδικασία τυχαίας δειγµατοληψίας για τη µέθοδο NP πρέπει να εγγυάται ότι κάθε σηµείο στην περιοχή έχει θετική πιθανότητα να επιλεγεί. Χρησιµοποιούµε µια µέθοδο τυχαίας δειγµατοληψίας για να πάρουµε ένα σύνολο από Κ j σηµεία δείγµατος (θ j1, θ j2,, θ jκj, όπου j=1,2,, Μ σ(k) +1), από κάθε περιοχή σ j (k), j=1,2,, Μ σ(k)+1. Στη συνέχεια υπολογίζουµε τις αντίστοιχες τιµές απόδοσης από τις συναρτήσεις f(θ j1 ), f(θ j2 ),, f(θ jκj ), για j=1,2,, Μ σ(k) +1. Έτσι παραδείγµατος χάριν, για να αποκτήσουµε ένα σηµείο δείγµατος στην περιοχή σ(k) για το BAP, παίρνουµε µια τοποθέτηση των Ν r µονάδων αποθήκευσης στις εναποµένουσες Κ-p θέσεις, και συνδυάζουµε τη συγκεκριµένη τοποθέτηση µε την χαρακτηριστική περιοχή, για να δηµιουργήσουµε µια εφικτή περιοχή. Ο ακόλουθος αλγόριθµος που προτάθηκε από τους Shi, Men (2003) παράγει ένα σηµείο δείγµατος στην περιοχή σ(k) που έχει καθορισθεί παραπάνω. Αλγόριθµος Τυχαίας ειγµατοληψίας 1. Παράγεται N-p τυχαίοι ακέραιοι αριθµοί 0 Κ j Ν r, j =1,., Κ-p. 2. Προσθέστε αυτούς τους Κ-p αριθµούς και πάρτε το άθροισµα τους S = K-p j=1 K j. 3. ιαιρέστε τους πρώτους Κ-p-1 τυχαίους αριθµούς µε το άθροισµα και πολλαπλασιάστε τους µε το Νr, δηλαδή Rj = (Κj ⅹ Νr) / S, όπου j =1,, Κ-p Στρογγυλοποιήστε κάτω ή πάνω τους αριθµούς που πήρατε από το βήµα 3 _ και πάρτε τους πρώτους Κ-p-1 αριθµούς µονάδων αποθήκευσης θ p+1, θ p+2,., θ _ K -1 τέτοιους ώστε, θ p+j R j, j=1,,κ-p-1 και θ K = N r - θ p+1 - θ p+2 -., θ K

64 5. Η κατανοµή (θ p+1, θ p+2,., θ K -1, θ K ) είναι µια εφικτή κατανοµή των Νr µονάδων αποθήκευσης στις τελευταίες Κ-p θέσεις. Το ζητούµενο σηµείο * * * * δειγµατοληψίας είναι το (θ 1, θ 2,., θ p-1, θ p, θ p+1, θ p+2,.,θ K-1, θ K ). Σε κάθε υποπεριοχή της σ(k) µπορεί να γίνει δειγµατοληψία χρησιµοποιώντας τον παραπάνω αλγόριθµο, ενώ στην περιβάλλουσα περιοχή της σ(k) µπορεί να γίνει δειγµατοληψία µε τον ίδιο ή διαφορετικό αλγόριθµο. Στη συνέχεια υπολογίζονται οι αντίστοιχες τιµές απόδοσης. Βήµα 3 - Υπολογισµός του είκτη Υπόσχεσης (Estimating the Promising Index): δεδοµένης µιας συνάρτησης δείκτη υπόσχεσης Ι: Σ R, υπολογίζουµε τον δείκτη υπόσχεσης κάθε περιοχής. Στην συγκεκριµένη περίπτωση, η συνάρτηση δείκτη υπόσχεσης ορίζεται ως η καλύτερη τιµή απόδοσης στην περιοχή, Ι(σ)=max f(θ), σ Σ. Έτσι για κάθε περιοχή σ j, j=1,2,, Μ σ(k) +1, υπολογίζουµε το δείκτη υπόσχεσης Ι(σ j ) µε τη χρήση των σηµείων του δείγµατος που λήφθηκαν στο προηγούµενο βήµα, Î(σ j )=maxf(θ ji ), όπου i {1,2,,K j } και j=1,2,,μ σ(k) +1. Εδώ πρέπει να σηµειώσουµε ότι το Î(σ j ) είναι µια τυχαία µεταβλητή. Βήµα 4 - Περαιτέρω Τµηµατοποίηση ή Οπισθοδρόµηση (Further Partition or Backtracking): προσδιορίζουµε την πιο "υποσχόµενη" περιοχή σ Ĵk, Ĵ k arg maxî(σ j ) και j {1,2,, Μ σ(k) +1}. Εάν δύο ή περισσότερες περιοχές έχουν τον ίδιο δείκτη υπόσχεσης, η ισοβάθµηση τιµής µπορεί να χειρισθεί αυθαίρετα. Εάν αυτός ο δείκτης αντιστοιχεί σε µια περιοχή που είναι µια υποπεριοχή (subregion) του σ(k), τότε αυτή θα είναι η πιο "υποσχόµενη" περιοχή στην επόµενη επανάληψη. ιαφορετικά, εάν ο δείκτης αντιστοιχεί στην περιβάλλουσα περιοχή, οπισθοδροµούµε στην υπερπεριοχή (superregion) της τρέχουσας πιο "υποσχόµενης" περιοχής. Πρέπει να σηµειώσουµε ότι αυτή η περιοχή έχει βάθος κατά ένα λιγότερο από την τρέχουσα πιο "υποσχόµενη" περιοχή. Η µέθοδος NP έχει διάφορα σηµαντικά χαρακτηριστικά γνωρίσµατα. εν απαιτεί µια αρχική λύση, αλλά παίρνει µια σφαιρική άποψη σε κάθε επανάληψη. Σε 64

65 κάθε επανάληψη ο αλγόριθµος κάνει αναζήτηση σε M σ(k) +1 περιοχές, κάθε µια από τις οποίες µπορεί να αντιµετωπιστεί ανεξάρτητα και παράλληλα. Η µέθοδος NP ξοδεύει πάντα τη µεγαλύτερη υπολογιστική προσπάθεια στην περιοχή που θεωρείται πιο "υποσχόµενη", σε οποιαδήποτε δεδοµένη επανάληψη. Αυτό καθιστά τις λύσεις της µεθόδου ανεπηρέαστες στις µικρές αποκλίσεις από την καλύτερη λύση που βρίσκεται τελικά. Γενικά η µέθοδος προτιµά τις περιοχές που έχουν πολλές καλές λύσεις και καµία κακή λύση. Ο αλγόριθµος εποµένως, σε πεπερασµένο χρόνο, µπορεί να χάσει τη βέλτιστη λύση, αλλά συνήθως επειδή περιβάλλεται από αρκετά κακές λύσεις. Ένα πιθανό µειονέκτηµα της µεθόδου NP είναι ότι µπορεί να κολλήσει για ιδιαίτερα µεγάλο χρόνο στις καλές αλλά όχι βέλτιστες λύσεις που υπάρχουν σε υποπεριοχές µε µέγιστο βάθος, δηλαδή µονοσύνολα. Με άλλα λόγια εάν η σ(k) είναι µια περιοχή-µονοσύνολο που αντιστοιχεί σε µια λύση η οποία είναι καλύτερη από τις περισσότερες αλλά όχι όλες τις άλλες λύσεις, µπορεί να κάνει πολλές επαναλήψεις προτού να οπισθοδροµήσει από τη συγκεκριµένη περιοχή. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα να καθυστερεί αρκετά για να µπορέσει να βρει τη βέλτιστη λύση. 4.3 Αλγόριθµος Gradient Στην παρούσα εργασία χρησιµοποιούµε µια παραλλαγή του αλγορίθµου Gradient, που υλοποιήθηκε από τον συνάδελφο αγκάκη Γεώργιο. Η υλοποίηση αυτή αποτελεί τροποποίηση του αλγορίθµου που προτάθηκε από τους Gershwin and Schor (2000), έτσι ώστε να λειτουργεί σε διακριτές και αξιόπιστες γραµµές παραγωγής όπου κάθε σταθµός εργασίας µπορεί να αποτελείται από πολλές παράλληλες µηχανές. Επίσης η παραλλαγή αυτή µπορεί να λειτουργεί µε µια µέθοδο αξιολόγησης που δεν δέχεται µη ακέραιες τιµές αποθηκευτικών χώρων. Για την καλύτερη κατανόηση του αλγορίθµου θεωρούµε µια γραµµή παραγωγής µε Κ µηχανές και Κ-1 ενδιάµεσους αποθηκευτικούς χώρους στους οποίους µπορούµε να κατανέµουµε µονάδες αποθηκευτικού χώρου. Η χωρητικότητα που δίνεται στον αποθηκευτικό χώρο σε κάθε λύση συµβολίζεται ως. Έτσι µια πιθανή λύση συµβολίζεται ως ένα διάνυσµα = [, ]. Η απόδοση που προκύπτει από κάθε πιθανή λύση συµβολίζεται ως P(, ) και µπορεί να υπολογιστεί από την εκτιµητική συνάρτηση. 65

66 Τα βήµατα του αλγορίθµου αναλύονται ως εξής: Βήµα 1 - Υπολογισµός του Gradient g: αν η παρούσα λύση είναι η [, ], σκοπός µας είναι να βρούµε την κατεύθυνση στην οποία η απόδοσή αυξάνεται περισσότερο. Αυτό το πετυχαίνουµε εφαρµόζοντας µία µέθοδο παραγώγισης της αρχικής λύσης. Έτσι υπολογίζουµε το διάνυσµα g= [, ], όπου: = (, ). Το g ορίζει την κατεύθυνση όπου το P αυξάνει περισσότερο. Αναλυτικά κάθε στοιχείο του g υπολογίζεται από τον τύπο: Το Ν είναι µια τιµή που προσθέτουµε στη χωρητικότητα κάθε αποθηκευτικού χώρου. Στην περίπτωσή µας παίρνουµε Ν=1 ώστε να δώσουµε στην εκτιµητική ακέραιες τιµές χωρητικότητας αποθηκευτικών χώρων. Οπότε ο παραπάνω τύπος γίνεται: Βήµα 2 - Υπολογισµός του περιορισµένου Gradient p: έχοντας υπολογίσει την κατεύθυνση προς την οποία η απόδοση του συστήµατος αυξάνεται περισσότερο, το πρόβληµα που αντιµετωπίζουµε είναι ότι µε αναζήτηση σε αυτή θα δηµιουργηθούν λύσεις που δεν είναι εφικτές, δηλαδή λύσεις µε µεγαλύτερο από το δεδοµένο. Το πρόβληµα αυτό αντιµετωπίζεται µε τον υπολογισµό του διανύσµατος p το οποίο είναι αυτό που βρίσκεται πιο κοντά στο g, αλλά µπορούµε να κινηθούµε σε αυτό χωρίς να δηµιουργήσουµε µη εφικτές λύσεις. Κατασκευάζουµε το p παίρνοντας την προβολή του g στο υπερεπίπεδο όπου ισχύει = 0. Αυτό είναι σαν να προβάλλουµε το g στην περιοχή των εφικτών λύσεων. Για να υπολογίσουµε το p αρχικά υπολογίσουµε το µέσο gm ως: Έπειτα τα στοιχεία του p υπολογίζονται µε βάση τον τύπο: 66

67 Με αυτόν τον τρόπο εξασφαλίζεται ότι = 0 και η κατεύθυνση p θα µας δώσει εφικτές λύσεις. Αν σε κάποιο σηµείο j της τρέχουσας λύσης έχουµε = 0 και από τον υπολογισµό προκύψει, τότε θα έχουµε πρόβληµα καθώς είναι αδύνατο να κινηθούµε προς αυτή την κατεύθυνση επειδή η τιµή του θα είναι αρνητική. Σε αυτή την περίπτωση είµαστε αναγκασµένοι να υπολογίσουµε µια νέα κατεύθυνση. Αυτό που κάνουµε είναι να µηδενίσουµε το και να επαναϋπολογίσουµε τα υπόλοιπα στοιχεία του p χωρίς να λάβουµε υπόψη µας το. ηλαδή υπολογίζουµε το gm ως τον µέσο όρο όλων των υπολοίπων στοιχείων του g και έπειτα υπολογίζουµε τα καινούρια βάζοντας στον τύπο 4.2 το νέο gm. Η διαδικασία αυτή επαναλαµβάνεται µέχρι να βρεθεί κάποια εφικτή κατεύθυνση. Βήµα 3 Γραµµική αναζήτηση: έχοντας πλέον ορίσει την κατεύθυνση, εκτελούµε γραµµική αναζήτηση σε αυτήν. Ο τρόπος µε τον οποίο κινούµαστε στη γραµµή είναι µε το να δηµιουργούµε λύσεις του τύπου = +αp. Όπως είπαµε το άθροισµα των είναι µηδέν, γεγονός που εξασφαλίζει ότι κάθε λύση θα έχει συνολική χωρητικότητα ίση µε την αρχική. Όµως επειδή υπάρχουν και αρνητικά, όταν το α µεγαλώσει θα έχουµε την περίπτωση όπου η δηµιουργούµενη λύση θα έχει αποθηκευτικούς χώρους µε αρνητική χωρητικότητα. Οπότε πρέπει να βρεθεί το µέγιστο α ( ) όπου δε θα συµβαίνει κάτι τέτοιο. Για να βρεθεί το ακολουθείται η παρακάτω διαδικασία: σηµαία=0, =-δα όσο σηµαία=0 κάνε: = +δα για (i=1 ως K) αν ( + <0) = -δα σηµαία=1 Το δα είναι µια µικρή τιµή. Στις µετρήσεις µας παίρνουµε καλές τιµές για το µε δα=0,1. 67

68 Άρα η γραµµή στην οποία µπορούµε να κινηθούµε και να ψάξουµε, έχει ως όρια τα σηµεία και = + p. To επόµενο θέµα είναι ο καθορισµός του βήµατος β, µε το οποίο θα ψάξουµε στη γραµµή. Το β ορίζεται µε βάση τον τύπο: β= ελάχιστο( ) (4.3) ηλαδή το β προκύπτει από τη διαίρεση του s µε την απόλυτη τιµή του µεγαλύτερου (σε απόλυτη τιµή) από τα στοιχεία του p. Το s είναι µια παράµετρος που ορίζεται από τον χρήστη. Όσο πιο µικρό είναι το s τόσο µεγαλύτερη ακρίβεια θα έχει ο αλγόριθµος. Όµως πολύ µικρά s εκτός του ότι θα οδηγήσουν σε καθυστέρηση, µπορεί και να οδηγήσουν σε ανικανότητα διάκρισης δύο διαδοχικών σηµείων. Ο Schor (1995) προτείνει ότι το s θα πρέπει να παίρνει τιµές από 0,25 ως 1. Στην παρούσα υλοποίηση δοκιµάστηκαν και µικρότερες τιµές του s, κάνοντας τις απαραίτητες µετατροπές στον κώδικα ώστε να αποφευχθεί το ενδεχόµενο να µην τρέχει το πρόγραµµα. Η γραµµική αναζήτηση γίνεται µε την αξιολόγηση των σηµείων = + p, j=1,2,, ώσπου µία από τις δύο παρακάτω συνθήκες να ικανοποιηθούν: Συνθήκη 1: P( = + p) > P( = + p) και > Συνθήκη 2: > Έστω ότι συµβολίζουµε την παράσταση + p ως. Αν ικανοποιείται η συνθήκη 1, τότε αυτό σηµαίνει ότι το παρόν σηµείο είναι χειρότερο σε απόδοση από το προηγούµενο, οπότε η λύση πρέπει να βρίσκεται κάπου µεταξύ του τρέχοντος σηµείου και του προ-προηγούµενου, δηλαδή µεταξύ και. Αν ικανοποιείται η συνθήκη 2 τότε σηµαίνει ότι η λύση βρίσκεται στο τέλος της γραµµής, µεταξύ των και + p. Το πρόβληµα που αντιµετωπίζουµε στην παραπάνω διαδικασία είναι ότι τα σηµεία που πρέπει να αξιολογήσουµε δεν αποτελούν λύσεις διακριτού συστήµατος. Πράγµατι, µια λύση της µορφής = + p δεν είναι δυνατό να εξασφαλιστεί ότι θα έχει ακέραιες τιµές. Οι Gershwin και Schor (2000) προτείνουν τη χρήση ενός εκτιµητικού αλγορίθµου που να µπορεί να χειριστεί τις µη ακέραιες τιµές. Έτσι άρουν τον περιορισµό ακεραιότητας στα ενδιάµεσα βήµατα και όταν προκύψει η τελική 68

69 λύση την στρογγυλοποιούν µε µια συγκεκριµένη διαδικασία, ώστε να έχει φυσική σηµασία για διακριτά συστήµατα. Στην παρούσα υλοποίηση, θέλουµε να µπορεί ο αλγόριθµος να συνεργαστεί µε µια εκτιµητική µέθοδο που δέχεται µόνο ακέραιες λύσεις. Για το λόγο αυτό χρησιµοποιούµε τη µέθοδο στρογγυλοποίησης των Gershwin και Schor σε κάθε βήµα της διαδικασίας πριν καλέσουµε την εκτιµητική συνάρτηση. Κάτι τέτοιο ενδέχεται να αυξήσει το σφάλµα, όµως τα αποτελέσµατα που παίρνουµε είναι αρκετά καλά. Οπότε αυτό που υπολογίζουµε σαν απόδοση σε κάθε σηµείο είναι το P(RND[ + p]), όπου RND[ + p] είναι το διάνυσµα που προκύπτει µετά τη στρογγυλοποίηση του + p. Η µέθοδος της στρογγυλοποίησης παρουσιάζεται παρακάτω. Βήµα 4 υαδική αναζήτηση: µε τη γραµµική αναζήτηση στο βήµα 3, καθορίστηκαν τα όρια µιας µικρής περιοχής όπου βρίσκεται η λύση. Στη συνέχεια πραγµατοποιείται δυαδική αναζήτηση ώστε να βρεθεί η ακριβής λύση. Το αριστερό άκρο της γραµµής που ορίστηκε στο προηγούµενο βήµα, ορίζεται ως L και το δεξί ως R. Έπειτα υπολογίζεται το διάνυσµα M που αποτελεί το µέσο των υπολοίπων δύο µε βάση τον τύπο: Τα τρία διανύσµατα στρογγυλοποιούνται και υπολογίζεται η απόδοση της κάθε λύσης. H δυαδική αναζήτηση γίνεται µε βάση την παρακάτω διαδικασία όσο P(RND[L]) P(RND[R] κάνε: Αν P(RND[L])< P(RND[R]) τότε RND[L] RND[Μ]. Αλλιώς αν P(RND[L])> P(RND[R]) τότε RND[R] RND[Μ] Όπως βλέπουµε η διαδικασία καταλήγει όταν τα L και R εξισωθούν στην τελική λύση. Με την εκτέλεση των παραπάνω βηµάτων του αλγορίθµου παίρνουµε µια τελική λύση Η λύση αυτή δίνεται ως αρχική λύση και η όλη διαδικασία συνεχίζεται µε τον υπολογισµό νέου διανύσµατος Gradient. Το κριτήριο τερµατισµού 69

70 του αλγορίθµου είναι όταν ένα βήµα δώσει χειρότερη ή ίδια λύση σε σχέση µε την τρέχουσα, δηλαδή όταν ισχύει P( ) P( +βp). Ένα σύνηθες κριτήριο τερµατισµού είναι όταν προκύψει ένα p που να έχει όλα τα στοιχεία ίσα µε µηδέν. Προφανώς ένα τέτοιο p θα δώσει ως επόµενη λύση την ίδια µε την αρχική. Επειδή όµως στα βήµατα του αλγορίθµου που παρουσιάστηκε στρογγυλοποιούµε, υπάρχει η πιθανότητα να έχουµε ένα p 0, το οποίο όµως να δώσει ως επόµενη λύση την ίδια µε την τρέχουσα. Για το λόγο αυτό χρησιµοποιούµε δύο διαφορετικά κριτήρια τερµατισµού: Κριτήριο 1: P( ) P( +βp) Κριτήριο 2: +βp Με τον παραπάνω τρόπο αποφεύγουµε τον τερµατισµό στην περίπτωση που θα παραχθεί µια νέα λύση που θα δώσει ακριβώς την ίδια απόδοση µε την προηγούµενη. Όταν ικανοποιηθεί έστω ένα από τα παραπάνω κριτήρια η διαδικασία τερµατίζεται. Ο τροποποιηµένος αλγόριθµος Gradient παρουσιάζεται σε µορφή ψευδοκώδικα παρακάτω: 1. Αρχικοποίησε τις παραµέτρους και λάβε την αρχική λύση 2. Υπολόγισε το g για το χρησιµοποιώντας την εξίσωση Υπολόγισε το p για το χρησιµοποιώντας την εξίσωση Υπολόγισε το και το β από τον τύπο Κάνε γραµµική αναζήτησε στην κατεύθυνση που ορίζει το p µε βήµα β και αναγνώρισε το τµήµα όπου βρίσκεται η βέλτιστη λύση. 6. ιεξήγαγε στο τµήµα που ορίστηκε δυαδική αναζήτηση και βρες τη βέλτιστη λύση. 7. Έλεγξε τα δύο κριτήρια τερµατισµού. Αν ικανοποιείται έστω και ένα πήγαινε στο βήµα Θέσε = και πήγαινε στο βήµα ώσε το ως βέλτιστη λύση του συστήµατος και το P( ) ως τη βέλτιστη απόδοση. Τερµάτισε. 70

71 Το διάγραµµα ροής του τροποποιηµένου αλγορίθµου Gradient παρουσιάζεται στο σχήµα 4.2. Σχήµα 4.2: ιάγραµµα ροής του αλγόριθµου Gradient. 71

72 4.4 Εκτιµητική Συνάρτηση Σε πολλά βήµατα της διαδικασίας πρέπει να υπολογίσουµε την απόδοση P(N) µιας συγκεκριµένης κατανοµής Ν. Ο υπολογισµός γίνεται από µια εκτιµητική συνάρτηση. Όπως αναφέραµε σε προηγούµενο κεφάλαιο, για να λυθεί το πρόβληµα της βελτιστοποίησης είναι απαραίτητο να υπάρχει µια µέθοδος αξιολόγησης της απόδοσης του συστήµατος. Στην υλοποίησή µας χρησιµοποιήσαµε την εκτιµητική µέθοδο που πρότειναν οι Diamantidis, Papadopoulos and Heavey (2005). H µέθοδος αυτή βασίζεται στη µέθοδο της αποσύνθεσης που παρουσιάστηκε στην παράγραφο 2.4 και αποτελεί επέκτασή της, ώστε να µπορεί να εφαρµοστεί σε γραµµές παραγωγής όπου ο κάθε σταθµός εργασίας µπορεί να έχει παραπάνω από µία παράλληλες µηχανές. Στη διαδικασία θεωρείται ότι η γραµµή είναι αξιόπιστη και οι παράλληλες µηχανές κάθε σταθµού εργασίας είναι ταυτόσηµες. Η µέθοδος έχει δοκιµαστεί εκτενώς και τα αποτελέσµατα της κρίνονται πολύ καλά ακόµη και σε µεγάλες γραµµές παραγωγής. Στην υλοποίηση µας χρησιµοποιούµε την εκτιµητική ως ένα µαύρο κουτί που της δίνουµε τα στοιχεία της γραµµής που θέλουµε να αξιολογήσουµε και µας επιστρέφει την απόδοσή της. Τα στοιχεία που δίνουµε είναι: Ένα διάνυσµα r που περιέχει τους ρυθµούς επεξεργασίας των µηχανών κάθε σταθµού εργασίας. Ένα διάνυσµα S που περιέχει τους αριθµούς των παράλληλων µηχανών σε κάθε κέντρο εργασίας. Ένα διάνυσµα Ν που αποτελεί τη λύση, της οποίας την απόδοση θέλουµε να αξιολογήσουµε. Επειδή η µέθοδος βασίζεται στην µαρκοβιανή ανάλυση των δοµικών στοιχείων που δίνει η αποσύνθεση, δεν είναι δυνατόν να υπολογίσει την απόδοση κατανοµών αποθηκευτικών χώρων, των οποίων οι χωρητικότητες δεν είναι όλες ακέραιες. Για το λόγο αυτό λοιπόν, στρογγυλοποιούµε κάθε µη ακέραια λύση πριν από τη χρήση της εκτιµητικής συνάρτησης. Περισσότερες πληροφορίες πάνω στη µέθοδο µπορούν να βρεθούν στο άρθρο των Diamantidis, Papadopoulos and Heavey (2005). 72

73 4.5 Υβριδικός Αλγόριθµος NP/Gradient Στην παρούσα ενότητα θα παρουσιάσουµε την προτεινόµενη µεθοδολογία που υλοποιήθηκε για την επίλυση του προβλήµατος κατανοµής αποθηκευτικών χώρων. Η µέθοδος βασίζεται σε µια παραλλαγή του αλγορίθµου NP και στον τροποποιηµένο αλγόριθµο Gradient που παρουσιάστηκε στην προηγούµενη ενότητα. Ο αλγόριθµος έγκειται στην εύρεση µιας αρχικής λύσης από την παραλλαγή του NP και τη χρησιµοποίηση αυτής της λύσης ως αρχικής από τον τροποποιηµένο Gradient, προς εύρεση της τελικής βέλτιστης λύσης. Ουσιαστικά, παρουσιάζουµε την παραλλαγή του αλγορίθµου NP, αφού ο τροποποιηµένος αλγόριθµος Gradient και η εκτιµητική συνάρτηση, χρησιµοποιούνται στον υβριδικό αλγόριθµο αυτούσιες, όπως παρουσιάστηκαν στις προηγούµενες ενότητες. Η µέθοδος λειτουργεί σε διακριτές και αξιόπιστες γραµµές παραγωγής, όπου κάθε σταθµός εργασίας µπορεί να αποτελείται από πολλές παράλληλες µηχανές. Πριν την παρουσίαση της µεθόδου θα δώσουµε κάποιους ορισµούς για την καλύτερη κατανόηση του αλγορίθµου: Κ-1: το σύνολο των αποθηκευτικών χώρων (µεταξύ Κ µηχανών). Ν ολ : η συνολική χωρητικότητα αποθηκευτικού χώρου (Buffer Size) της γραµµής παραγωγής. i: η θέση του αποθηκευτικού χώρου (Buffer) στη γραµµή, i=1,,κ-1. B i : η χωρητικότητα του Buffer στη θέση i της γραµµής παραγωγής. Promising_Region: η πιο "υποσχόµενη" περιοχή. Buffer_Size_Left: η χωρητικότητα αποθηκευτικού χώρου που δεν έχει κατανεµηθεί ακόµη. Έχοντας αναφέρει τους απαραίτητους ορισµούς, µπορούµε τώρα να παρουσιάσουµε τον ψευδοκώδικα του αλγορίθµου και να τον περιγράψουµε αναλυτικά παρακάτω. Ο ψευδοκώδικας του υβριδικού αλγορίθµου NP/Gradient είναι ο εξής: 1. Θέσε Promising_Region = Ø, i = 0, Buffer_Size_Left = Ν ολ. 2. Χώρισε την Promising_Region σε Buffer_Size_Left + 1 περιοχές. 73

74 3. Υπολόγισε δείγµατα για καθεµιά περιοχή και σύγκρινε τη µέγιστη ρυθµαπόδοση της καθεµιάς µε τις άλλες. 4. Θέσε B i =j, όπου j ο δείκτης της περιοχής µε τη µεγαλύτερη ρυθµαπόδοση, του βήµατος 3 και θέσε ως νέα Promising_Region την περιοχή στην οποία θ k = Β k, k = 0,,i. 5. Μείωσε το Buffer_Size_Left κατά j και αύξησε το i κατά 1. Αν το νέο i ισούται µε Κ-1, τότε πήγαινε στο βήµα 6, αλλιώς πήγαινε στο βήµα Θέσε B i = Buffer_Size_Left. Η τελική κατανοµή του Buffer Size στους Buffers συνίσταται στην ακολουθία B i, i = 0,,Κ-1 Αναλυτικότερα, τα βήµατα του αλγορίθµου περιλαµβάνουν τα εξής: Βήµα 0 - Αρχικοποίηση: Θέτουµε Promising_Region=Ø, i=0, Buffer_Size_Left = Ν ολ. Στην πρώτη επανάληψη, επειδή δεν γνωρίζουµε σε ποια περιοχή είναι οι καλές λύσεις και συνεπώς δεν µπορούµε να ορίσουµε κάποια περιοχή ως πιο "υποσχόµενη", χρησιµοποιούµε ολόκληρη την εφικτή περιοχή των λύσεων ως την πιο "υποσχόµενη" περιοχή. Επίσης, επειδή δεν έχουµε κατανείµει ακόµη καθόλου µέρους της συνολικής χωρητικότητας αποθηκευτικού χώρου σε Buffers, το Buffer_Size_Left ισούται µε το συνολικό Buffer Size, δηλαδή είναι ίσο µε Ν ολ. Βήµα 1 - Τµηµατοποίηση: χρησιµοποιούµε την τεχνική τµηµατοποίησης που περιγράψαµε στην ενότητα 4.1 και εµφανίζεται στο σχήµα 4.1. Σύµφωνα λοιπόν µε αυτή, στην αρχή τµηµατοποιούµε ολόκληρη την εφικτή περιοχή σύµφωνα µε τον αριθµό των πιθανών µονάδων αποθηκευτικού χώρου που µπορούν να τοποθετηθούν στην πρώτη θέση Buffer και είναι ίσος µε 0 Ν ολ µονάδες αποθήκευσης. Συνεπώς, στην πρώτη επανάληψη η εφικτή περιοχή θα τµηµατοποιηθεί σε Ν ολ +1 υποπεριοχές. Οι λύσεις που περιέχονται σε κάθε µία από αυτές τις υποπεριοχές, θα έχουν τον ίδιο αριθµό Buffers στην πρώτη θέση. Έτσι λοιπόν αν για το παράδειγµα του σχήµατος 4.1, υποθέσουµε ότι στη δεύτερη επανάληψη, η περιοχή (1, θ 2, θ 3, θ 4 ) θεωρείται ως η Promising_Region, τότε αυτή θα τµηµατοποιηθεί στη συνέχεια στις 12 υποπεριοχές (1, 0, θ 3, θ 4 ), (1, 1, θ 3, θ 4 ), (1, 2, θ 3, θ 4 ),, (1, 11, θ 3, θ 4 ). Οι περιοχές αυτές έχουν όλες τον ίδιο αριθµό αποθηκευτικών µονάδων στην πρώτη θέση (B 1 =1) και ο αριθµός των υποπεριοχών αυτών ισούται µε Buffer_Size_Left + 1, δηλαδή 11+1=12. Η διαδικασία τµηµατοποίησης συνεχίζεται και αν υποθέσουµε ότι µετά από k 74

75 επαναλήψεις η περιοχή σ(k) αποτελεί την Promising_Region, η οποία περιλαµβάνει όλες τις λύσεις που έχουν τον ίδιο αριθµό τοποθετηµένων Buffers στις πρώτες θέσεις που έχουν καλυφθεί µέχρι την k επανάληψη, τότε αυτή τµηµατοποιείται περαιτέρω σε αριθµό υποπεριοχών που είναι ίσος µε το πλήθος των Buffers που δεν έχουν καταναµηθεί ακόµη, δηλαδή Buffer_Size_Left + 1. Η τµηµατοποίηση σταµατά όταν φτάσουµε σε περιοχή-µονοσύνολο, δηλαδή περιοχή στην οποία έχουν κατανεµηθεί µονάδες αποθηκευτικού χώρου σε όλες τις θέσεις Buffers εκτός της τελευταίας θέσης. Τότε σε αυτή τοποθετούνται µονάδες αποθηκευτικού χώρου ίσες µε Buffer_Size_Left. Βήµα 2 Τυχαία ειγµατοληψία: έχοντας τµηµατοποιήσει την Promising_Region σε υποπεριοχές, χρησιµοποιούµε µια µέθοδο τυχαίας δειγµατοληψίας για να πάρουµε ένα σύνολο από σηµεία δείγµατος. Το ζήτηµα που τίθεται εδώ είναι πόσο µεγάλος πρέπει να είναι ο αριθµός των σηµείων του δείγµατος για να µπορεί να θεωρηθεί αντιπροσωπευτικός. Σύµφωνα µε τους Shi, Olafsson and Chen (1999) και τους Shi, Olafsson (2000), ο αριθµός των σηµείων του δείγµατος καθορίζεται αυθαίρετα και µπορεί να εξαρτάται τόσο από την τρέχουσα Promising_Region, όσο και από τον αριθµό των επαναλήψεων του αλγορίθµου. Συγκεκριµένα οι Shi, Men (2003), όπως αναφέραµε στην ενότητα 4.1 παίρνουν ένα πολύ µικρό αριθµό δείγµατος από κάθε περιοχή. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα τις πολλές οπισθοδροµήσεις του αλγορίθµου και συνεπώς το µεγαλύτερο χρόνο σύγκλισης του. Στην υλοποίηση µας, για τον καθορισµό του αριθµού των απαραίτητων δειγµάτων χρησιµοποιούµε την εξής διαδικασία: 1. Υπολογίζουµε τον αριθµό των εφικτών λύσεων από τον τύπο. 2. Υπολογίζουµε τον αριθµό των λύσεων που υπάρχουν σε κάθε περιοχή. 3. Από τον αριθµό των λύσεων αυτών καθορίζεται το µέγεθος του δείγµατος που θα πάρουµε από κάθε περιοχή. Ο αριθµός των σηµείων του δείγµατος που παίρνουµε δίνεται από το πηλίκο (Σύνολο Λύσεων)/Ν ολ όταν Ν ολ >Κ-1 και (Σύνολο Λύσεων)/(Κ-1) σε αντίθετη περίπτωση (δηλαδή Ν ολ <Κ-1). Εδώ πρέπει να τονίσουµε ότι επειδή µπορεί ο αριθµός των σηµείων του δείγµατος να είναι πολύ επίσης µεγάλος ώστε να µην τρέχει ο αλγόριθµος, 75

76 ορίζουµε αυθαίρετα ότι ο µέγιστος αριθµός σηµείων δείγµατος είναι 1000, έτσι ώστε να µην κολλάει ο αλγόριθµος και να επιταχύνεται η σύγκλιση του αλγόριθµου σε κάποια λύση. Βήµα 3 - Υπολογισµός του είκτη Υπόσχεσης: Στην συνέχεια και αφού έχουµε πάρει τα δείγµατα όλων των περιοχών, υπολογίζουµε για κάθε περιοχή τις αντίστοιχες τιµές απόδοσης. Συγκρίνουµε τη µεγαλύτερη απόδοση του δείγµατος κάθε περιοχής µε τις αντίστοιχες των άλλων περιοχών και καθορίζουµε ως επόµενη Promising_Region, την περιοχή µε την µεγαλύτερη απόδοση. Τονίζεται ότι η νέα Promising_Region είναι πάντα µια υποπεριοχή της προηγούµενης και οι µέχρι τότε τοποθετήσεις µονάδες αποθηκευτικού χώρου στις θέσεις Buffers θεωρούνται δεδοµένες. Έτσι τα βήµατα του αλγορίθµου επαναλαµβάνονται στη νέα Promising_Region, µε αυξηµένο πλέον το δείκτη της θέσης Buffer κατά ένα και µειωµένο το Buffer_Size_Left κατά το ποσό των µονάδων που τοποθετήθηκαν στην προηγούµενη θέση Buffer. Η διαφορά της υλοποίησης µας από τον αλγόριθµο NP, είναι ότι ο αλγόριθµος δεν οπισθοδροµεί σε µια υπερπεριοχή της Promising_Region. Αυτό συµβαίνει προς αποφυγή του προβλήµατος που αναφέρθηκε στην ενότητα 4.1, δηλαδή του να βρίσκεται ο αλγόριθµος σε ένα ατέρµονα βρόγχο τµηµατοποίησης-οπισθοδρόµησης, λόγω του πολύ µικρού αριθµού δειγµάτων κάθε περιοχής σε σχέση µε τις λύσεις που υπάρχουν σε αυτές. Ακόµη και όταν δεν οδηγείται σε βρόγχο και καταλήγει τελικά σε κάποια λύση το χρονικό διάστηµα που απαιτείται για τη σύγκλιση του αλγορίθµου είναι υπολογιστικά ασύµφορο. Εµείς παίρνουµε πιο µεγάλα και συνεπώς πιο αντιπροσωπευτικά δείγµατα από κάθε περιοχή, αφού ο αριθµός των σηµείων του δείγµατος εξαρτάται κάθε φορά από το σύνολο των υποψήφιων λύσεων που υπάρχουν στην περιοχή. Στο σηµείο αυτό πρέπει να τονίσουµε, ότι επειδή ο αλγόριθµος βασίζεται στη δειγµατοληψία των περιοχών που περιέχουν τις εφικτές λύσεις, κάθε φορά που τρέχει µας δίνει µια λύση που µπορεί να µην είναι πάντα ίδια. Αυτό στα προβλήµατα µικρού µεγέθους δεν είναι πάντα ορατό, αφού οι πιθανές λύσεις δεν είναι πολλές. Στα µεγάλα όµως προβλήµατα είναι εµφανές και για να είναι πιο αντιπροσωπευτική αυτή η λύση θα πρέπει να γίνονται πολλές επαναλήψεις του αλγορίθµου. Κάτι ανάλογο 76

77 πραγµατοποιούµε και εµείς στο επόµενο κεφάλαιο, όπου διεξάγονται δοκιµές του αλγορίθµου. Αφού o προτεινόµενος αλγόριθµος NP καταλήξει σε κάποια λύση, αυτή χρησιµοποιείται ως αρχική λύση από τον αλγόριθµο Gradient. Όπως έχουµε ήδη αναφέρει, χρησιµοποιείται ο τροποποιηµένος αλγόριθµος Gradient της προηγούµενης ενότητας, χωρίς κάποια ιδιαίτερη τροποποίηση. Το διάγραµµα ροής του προτεινόµενου αλγορίθµου NP που χρησιµοποιείται στον υβριδικό αλγόριθµο παρουσιάζεται στο σχήµα 4.3. Σχήµα 4.3: ιάγραµµα ροής του προτεινόµενου αλγόριθµου NP. 77

78 Με τον προτεινόµενο αλγόριθµο NP, αλλά και τον υβριδικό NP/Gradient θα κάνουµε διάφορες δοκιµές σε µικρού και µεσαίου µεγέθους γραµµές παραγωγής στο επόµενο κεφάλαιο, για να µπορέσουµε να δούµε τη συµπεριφορά τους και να διαπιστώσουµε την εγκυρότητα τους. Τα αποτελέσµατα των δοκιµών αυτών θα συγκριθούν µε αυτά γνωστών αλγορίθµων, όπως αυτοί που αναφέρθηκαν στο προηγούµενο κεφάλαιο. 78

79 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 - ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 5.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από διάφορες δοκιµές που διεξήχθησαν. Ο αλγόριθµος της υβριδικής µεθόδου NP/Gradient που παρουσιάσθηκε στο προηγούµενο κεφάλαιο, κωδικοποιήθηκε στη γλώσσα προγραµµατισµού C++ και χρησιµοποιήθηκε σε δοκιµές για την εύρεση της απόδοσης µεγάλου πλήθους σειριακών γραµµών παραγωγής και γραµµών παραγωγής µε παράλληλες µηχανές σε κάθε σταθµό εργασίας, ώστε να διαπιστώσουµε την αποτελεσµατικότητα του. Η δοµή του κεφαλαίου αποτελείται από την ενότητα 5.2 όπου παρουσιάζεται η µέθοδος που ακολουθήθηκε κατά τον πειραµατικό σχεδιασµό και την ενότητα 5.3 όπου παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα των δοκιµών σε µικρές γραµµές παραγωγής, αλλά και σε γραµµές παραγωγής µεσαίου µεγέθους. 5.2 Πειραµατικός Σχεδιασµός Οι δοκιµές που πραγµατοποιήθηκαν χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, ανάλογα µε το µέγεθος της γραµµής παραγωγής. Η πρώτη κατηγορία αφορά µικρές γραµµές που αποτελούνται από 5 έως και 12 σταθµούς εργασίας. Σε αυτή την κατηγορία δοκιµών, τα αποτελεσµάτων του προτεινόµενου αλγορίθµου συγκρίνονται µε αυτά της µεθόδου της απαρίθµησης, η οποία όπως έχουµε αναφέρει δίνει ακριβή αποτελέσµατα. Η δεύτερη κατηγορία δοκιµών αφορά µεσαίου µεγέθους γραµµές παραγωγής που αποτελούνται από 13 έως και 20 σταθµούς εργασίας. Στην κατηγορία αυτή ελέγχθηκαν γραµµές παραγωγής που αποτελούνται από µηχανές µε ίδιους αλλά και διαφορετικούς µέσους ρυθµούς επεξεργασίας, οι οποίοι πάντα ακολουθούν την εκθετική κατανοµή. Εδώ δεν ήταν δυνατόν να ληφθούν αποτελέσµατα µε τη µέθοδο της απαρίθµησης. λόγω του µεγέθους των δοκιµών που αυξάνει την πολυπλοκότητα της µεθόδου. Έτσι, τα αποτελέσµατα του προτεινόµενου αλγορίθµου συγκρίνονται µε άλλους γνωστούς αλγορίθµους, όπως είναι οι Genetic και Simulated Annealing, αλλά και µε τον Gradient και τον. Όλα τα αποτελέσµατα αξιολογούνται βάσει της 79

80 απόδοσης που δίνει η κάθε µέθοδος και του χρόνου που απαιτείται για να συγκλίνουν οι µέθοδοι σε κάποια λύση. Οι δοκιµές πραγµατοποιήθηκαν σε ηλεκτρονικό υπολογιστή µε µνήµη 1GB RAΜ και επεξεργαστή Athlon-AMD 64. Σε κάθε δοκιµή λήφθηκε η βέλτιστη λύση (κατανοµή) που δίνει η κάθε µέθοδος, οι απόδοσή τους, καθώς και ο χρόνος που απαιτήθηκε για την εύρεση της λύσης. Για τον προτεινόµενο αλγόριθµο NP, πραγµατοποιούνται δέκα επαναλήψεις και από αυτές λαµβάνεται η καλύτερη λύση ως αναφορά την απόδοση της γραµµής παραγωγής. 5.3 Αποτελέσµατα Κατά την παρουσίαση των αποτελεσµάτων των δοκιµών, δίνονται τα στοιχεία της γραµµής παραγωγής, όπως είναι ο αριθµός σταθµών εργασίας Κ, οι συνολικές µονάδες αποθηκευτικού χώρου που είναι διαθέσιµες Ν ολ, οι ρυθµοί επεξεργασίας των µηχανών r i και ο αριθµός των παράλληλων µηχανών σε κάθε κέντρο S i. Παρουσιάζεται η λύση που έδωσε η κάθε µέθοδος και η απόδοσή της, αλλά και ο χρόνος που απαιτήθηκε για την εύρεση της. Να σηµειώσουµε εδώ ότι, πριν τον πρώτο σταθµό εργασίας θεωρείται για λόγους ρεαλιστικότητας ότι υπάρχει αποθηκευτικός χώρος στον οποίο είναι αποθηκευµένα τα προϊόντα πριν ξεκινήσουν τη ροή επεξεργασίας τους µέσα στη γραµµή παραγωγής. Αυτός ο αποθηκευτικός χώρος όµως δεν λαµβάνεται υπόψη στη γραµµή παραγωγής και επειδή η χωρητικότητα του είναι πάντα µηδέν δεν παρουσιάζεται στα αποτελέσµατα. Τέλος, παρουσιάζονται κάποια άλλα µέτρα σύγκρισης, όπως σφάλµατα µεταξύ λύσεων ή σφάλµατα µεταξύ χρόνων σύγκλισης. Για την καλύτερη κατανόηση των αριθµητικών αποτελεσµάτων που εµφανίζονται στους πίνακες των δοκιµών που πραγµατοποιήθηκαν, αναφέρουµε τα στοιχεία που παρουσιάζονται στους πίνακες. Αναλυτικότερα, στις γραµµές του πίνακα εµφανίζονται τα εξής στοιχεία: Station: Απαριθµούνται οι σταθµοί εργασίας της γραµµής. : Απεικονίζονται οι θέσεις των ενδιάµεσων αποθηκευτικών χώρων. Servers: Απεικονίζονται οι παράλληλες µηχανές σε κάθε σταθµό εργασίας. Σε δοκιµές όπου δεν υπάρχουν παράλληλες µηχανές στους σταθµούς 80

81 εργασίας, δηλαδή έχουµε =1 και =1 για κάθε i, η συγκεκριµένη γραµµή παραλείπεται. Service Rate: Απεικονίζονται οι ρυθµοί επεξεργασίας µηχανών κάθε σταθµού εργασίας. Όπως και για τους Servers, sε δοκιµές όπου δεν υπάρχουν παράλληλες µηχανές στους σταθµούς εργασίας, δηλαδή έχουµε =1 και =1 για κάθε i, η συγκεκριµένη γραµµή παραλείπεται. Complete Enumeration, Genetic, Simulated Annealing: Είναι οι αλγόριθµοι µε τους οποίους συγκρίνονται οι αλγόριθµοι που αναπτύχθηκαν. Στις µικρές γραµµές έχουµε σύγκριση µόνο µε τη µέθοδο της Απαρίθµησης, καθώς αυτή αποτελεί την πιο αξιόπιστη µέθοδο. Στις υπόλοιπες δοκιµές, έχουµε σύγκριση µε µία από τις άλλες µεθόδους ή και τις δύο. Gradient,, Gradient/, NP, NP/Gradient: Οι αλγόριθµοι που αξιολογούνται. Αρχική λύση (LIBA): ίνεται η αρχική λύση, η οποία ορίστηκε µε την τροποποιηµένη µέθοδο του Selvi (2002) και χρησιµοποιείται από τους αλγορίθµους Gradient και. Επίσης στους πίνακες αποτελεσµάτων εµφανίζονται οι παρακάτω στήλες: Κατανοµή των αποθηκευτικών χώρων: Οι λύσεις των αλγορίθµων που εξετάζονται. : Η συνολική χωρητικότητα των αποθηκευτικών χώρων. : Η βέλτιστη απόδοση στην οποία καταλήγει κάθε αλγόριθµος. time(sec): Ο χρόνος (σε δευτερόλεπτα) που απαιτήθηκε για τον υπολογισµό της βέλτιστης απόδοσης κάθε αλγορίθµου. Σφάλµα σε σχέση µε Απαρίθµηση, Simulated Annealing, Genetic : Είναι το σφάλµα του αλγορίθµου που εξετάζεται και αξιολογείται (δηλαδή των Gradient,, Gradient/, NP, NP/Gradient) ως προς τους αλγορίθµους σύγκρισης (Complete Enumeration, Genetic, Simulated Annealing). Ορίζεται από το κλάσµα: 81

82 Το σφάλµα ως προς την απαρίθµηση είναι πάντα µεγαλύτερο ή ίσο µε το µηδέν, καθώς η απαρίθµηση καταλήγει µε βεβαιότητα στη βέλτιστη απόδοση. Όµως όταν υπολογίζουµε το σφάλµα ως προς µια άλλη µέθοδος (πχ genetic), τότε ενδέχεται η αξιολογούµενη µέθοδος να καταλήξει σε καλύτερη λύση και συνεπώς τότε το σφάλµα θα είναι αρνητικό. Βελτίωση του Gradient/ σε σχέση µε Gradient : Είναι η βελτίωση του υβριδικού αλγορίθµου Gradient/ που αξιολογείται ως προς τον αλγόριθµο σύγκρισης Gradient. Ορίζεται από το κλάσµα: Αν η βελτίωση προκύψει θετική σηµαίνει ότι η υβριδική µέθοδος έδωσε καλύτερη λύση από αυτή που έδωσε ο Gradient µόνος του. Βελτίωση του Gradient/Heurestic σε σχέση µε : Είναι η βελτίωση του υβριδικού αλγορίθµου Gradient/ που αξιολογείται ως προς τον αλγόριθµο σύγκρισης. Ορίζεται από το κλάσµα: Βελτίωση του NP/Gradient σε σχέση µε NP : Είναι η βελτίωση του υβριδικού αλγορίθµου ΝP/Gradient που αξιολογείται ως προς τον αλγόριθµο σύγκρισης NP. Ορίζεται από το κλάσµα: Στη συγκεκριµένη στήλη η βελτίωση είναι πάντα µεγαλύτερη ή ίση του µηδενός, καθώς o gradient παίρνει ως αρχική τη λύση την τελική του NP και τη βελτιώνει περαιτέρω. Βελτίωση σε σχέση µε την Αρχική λύση: Είναι η βελτίωση του αλγορίθµου που αξιολογείται (Gradient,, Gradient/) ως προς την αρχική λύση. 82

83 Σφάλµα Χρόνου σε σχέση µε Απαρίθµηση, µε Simulated Annealing, µε Genetic : Είναι το χρονικό σφάλµα του αλγορίθµου που εξετάζεται (Gradient,, Gradient/, NP, NP/Gradient) ως προς τους αλγορίθµους σύγκρισης (Complete Enumeration, Genetic, Simulated Annealing). Ορίζεται από το κλάσµα: Αν το σφάλµα προκύψει αρνητικό, σηµαίνει ότι είχαµε βελτίωση στο χρόνο, δηλαδή ο εξεταζόµενος αλγόριθµος σύγκλινε ταχύτερα από αυτόν µε τον οποίο τον συγκρίναµε. Όλα τα αποτελέσµατα των δοκιµών παρουσιάζονται σε τρεις υποενότητες. Στην υποενότητα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα των δοκιµών που πραγµατοποιήθηκαν σε µικρές γραµµές παραγωγής. Αυτά µας ενδιαφέρουν ιδιαίτερα, διότι µπορούµε να αποκτήσουµε µια καλή αρχική εντύπωση για τη συµπεριφορά όλων των αλγορίθµων, αφού όπως είπαµε συγκρίνονται µε τα αποτελέσµατα της απαρίθµησης. Στην υποενότητα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα δοκιµών που πραγµατοποιήθηκαν σε µεσαίου µεγέθους γραµµές παραγωγής, όπου οι σταθµοί εργασίας αποτελούνται από µία µηχανή (S i =1), µε τον ίδιο ρυθµό επεξεργασίας (r i =1). Στην υποενότητα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα δοκιµών που πραγµατοποιήθηκαν σε µεσαίου µεγέθους γραµµές παραγωγής που αποτελούνται από διαφορετικούς σταθµούς εργασίας, τόσο ως προς τον αριθµό των παράλληλων µηχανών σε κάθε σταθµό, όσο και ως προς τους ρυθµούς επεξεργασίας των µηχανών. Τα αποτελέσµατα των δοκιµών µεσαίου µεγέθους παρατίθενται συγκρινόµενα µε αυτά των αλγορίθµων Genetic, Simulated Annealing, Gradient και, καθώς επίσης και του υβριδικού Gradient/. Μαζί µε τα αποτελέσµατα, σε κάθε πίνακα παρατίθεται και ένας πολύ σύντοµος σχολιασµός, ενώ στο τέλος κάθε ενότητας παρουσιάζονται αναλυτικά τα συµπεράσµατα που προκύπτουν από τις δοκιµές κάθε κατηγορίας. 83

84 5.3.1 Αποτελέσµατα δοκιµών σε µικρές γραµµές παραγωγής Κ=5, =6, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.1: Αποτελέσµατα για {Κ=5, =6, =1 και =1 για κάθε i} Κατανοµή των αποθηκευτικών χώρων Νολ Popt time(sec) Σφάλµα σε σχέση µε Απαρίθµηση Βελτίωση Gradient + σε σχέση µε Gradient Βελτίωση Gradient + σε σχέση µε Βελτίωση NP / Gradient σε σχέση µε NP Station Ni N1 N2 N3 N4 Complete Enumeration , Gradient , , , Gradient , , NP , ,047 0 NP/Gradient , , Αρχική λύση , Βελτίωση σε σχέση µε την Αρχική λύση LIBA Βλέπουµε ότι στη δοκιµή αυτή, όλοι οι αλγόριθµοι βρίσκουν τη βέλτιστη λύση, η οποία συµπίπτει µε την αρχική λύση όπως προκύπτει από τη µέθοδο LIBA. Αυτό συµβαίνει λόγο του µικρού µεγέθους του προβλήµατος, αλλά και της συµµετρίας της γραµµής. Οι χρόνοι είναι ελάχιστοι σε ένα τόσο µικρό πρόβληµα. Να σηµειώσουµε ότι οι χρόνοι της απαρίθµησης, δίνονται από την υλοποίησή της σε ακέραια δευτερόλεπτα. Οπότε το µηδέν σε αυτήν την περίπτωση σηµαίνει ότι η µέθοδος χρειάστηκε λιγότερο από ένα δευτερόλεπτο. 84

85 Κ=6, =7, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.2: Αποτελέσµατα για {Κ=6, =7, =1 και =1 για κάθε i} Κατανοµή των αποθηκευτικών χώρων Nολ Popt time(sec) Σφάλµα σε σχέση µε Απαρίθµηση Βελτίωση Gradient + σε σχέση µε Gradient Βελτίωση Gradient + σε σχέση µε Βελτίωση NP / Gradient σε σχέση µε NP Βελτίωση σε σχέση µε την Αρχική λύση LIBA Station Ni N1 N2 N3 N4 N5 Complete Enumeration , Gradient , , , , , , Gradient , , , NP , ,125 0 NP/Gradient , , Αρχική λύση , Όλοι οι αλγόριθµοι που δοκιµάσαµε βρίσκουν τη βέλτιστη λύση επιτυχώς. Επίσης, βλέπουµε ότι η αρχική λύση είναι πολύ κοντά στη βέλτιστη αλλά δε συµπίπτει µε αυτήν. Αν και παρατηρούµε ότι ο NP είναι ο πιο αργός από όλους, εντούτοις οι χρόνοι παραµένουν αµελητέοι. 85

86 Κ=6, =11, =1 και =1 για κάθε i Κατανοµή των αποθηκευτικών χώρων Station Ni N1 N2 N3 N4 N5 Complete Enumeration Πίνακας 5.3: Αποτελέσµατα για {Κ=6, =11, =1 και =1 για κάθε i } Nολ Popt time(sec) , Σφάλµα σε σχέση µε Απαρίθµηση Βελτίωση Gradient + σε σχέση µε Gradient Βελτίωση Gradient + σε σχέση µε Βελτίωση NP / Gradient σε σχέση µε NP Βελτίωση σε σχέση µε την Αρχική λύση LIBA Σφάλµα Χρόνου σε σχέση µε Απαρίθµηση Gradient , , , , , , Gradient , , NP , ,219 0, ,05 NP/Gradient , ,235 0, ,25 Αρχική λύση , Στη δοκιµή αυτή και πάλι η αρχική λύση συµπίπτει µε την βέλτιστη. Ο NP όµως δεν καταλήγει στη βέλτιστη λύση και έχει ένα σφάλµα ίσο µε 0, Μάλιστα ο NP/Gradient δε κατορθώνει να βελτιώσει τη λύση της ΝP. Αυτό συµβαίνει διότι η διακριτική ικανότητα του Gradient δεν είναι µεγάλη και πολλές φορές όπως θα δούµε, δεν καταφέρνει να βελτιώσει µια λύση που είναι κοντά στη βέλτιστη. Όσο για το χρόνο γίνεται ήδη εµφανές ότι όλες οι µέθοδοι είναι πολύ πιο γρήγορες από την απαρίθµηση, πράγµα που ήταν και το αναµενόµενο. 86

87 Κ=6, =12, =1 και =1 για κάθε i Κατανοµή των αποθηκευτικών χώρων Station Ni N1 N2 N3 N4 N5 Complete Enumeration Πίνακας 5.4: Αποτελέσµατα για {Κ=6, =12, =1 και =1 για κάθε i } Nολ Popt time(sec) , Σφάλµα σε σχέση µε Απαρίθµηση Βελτίωση Gradient + σε σχέση µε Gradient Βελτίωση Gradient + σε σχέση µε Βελτίωση NP / Gradient σε σχέση µε NP Βελτίωση σε σχέση µε την Αρχική λύση LIBA Σφάλµα Χρόνου σε σχέση µε Απαρίθµηση Gradient , , , , , , Gradient , , ,2 NP , , , NP/Gradient , , , Αρχική λύση , Πάλι έχουµε επιτυχία στην εύρεση της βέλτιστης λύσης. Μπορούµε να διακρίνουµε ότι όσο το πρόβληµα µεγαλώνει, ο NP δείχνει να είναι πιο αργός από τις υπόλοιπες µεθόδους. Ενδιαφέρον είναι να παρατηρήσουµε τη βελτίωση στο χρόνο που παρουσιάζει ο Gradient. 87

88 Κ=6, =13, =1 και =1 για κάθε i Κατανοµή των αποθηκευτικών χώρων Station Ni N1 N2 N3 N4 N5 Complete Enumeration Πίνακας 5.5: Αποτελέσµατα για {Κ=6, =13, =1 και =1 για κάθε i } Nολ Popt time(sec) , Σφάλµα σε σχέση µε Απαρίθµηση Βελτίωση Gradient + σε σχέση µε Gradient Βελτίωση Gradient + σε σχέση µε Βελτίωση NP / Gradient σε σχέση µε NP Βελτίωση σε σχέση µε την Αρχική λύση LIBA Σφάλµα Χρόνου σε σχέση µε Απαρίθµηση Gradient , , , , , ,97 Gradient , , NP , , ,1 NP/Gradient , , , Αρχική λύση ,69146 Εδώ παρατηρούµε ότι όλοι οι αλγόριθµοι βρίσκουν τη βέλτιστη λύση επιτυχώς. 88

89 Κ=7, =8, =1 και =1 για κάθε i Κατανοµή των αποθηκευτικών χώρων Station Ni N1 N2 N3 N4 N5 N6 Complete Enumeration Πίνακας 5.6: Αποτελέσµατα για {Κ=7, =8, =1 και =1 για κάθε i } Nολ Popt time(sec) , Σφάλµα σε σχέση µε Απαρίθµηση Βελτίωση Gradient + σε σχέση µε Gradient Βελτίωση Gradient + σε σχέση µε Βελτίωση NP / Gradient σε σχέση µε NP Βελτίωση σε σχέση µε την Αρχική λύση LIBA Σφάλµα Χρόνου σε σχέση µε Απαρίθµηση Gradient , , , ,9 Gradient , , ,7 NP , , ,9 NP/Gradient , , ,9 Αρχική λύση , Εδώ επίσης, ότι όλοι οι αλγόριθµοι βρίσκουν τη βέλτιστη λύση επιτυχώς, µε τον NP να βρίσκεται στα ίδια επίπεδα χρόνου σύγκλισης. 89

90 Κ=8, =9, =1 και =1 για κάθε i Κατανοµή των αποθηκευτικών χώρων Station Ni N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 Complete Enumeration Πίνακας 5.7: Αποτελέσµατα για {Κ=8, =9, =1 και =1 για κάθε i } Nολ Popt time(sec) , Σφάλµα σε σχέση µε Απαρίθµηση Βελτίωση Gradient + σε σχέση µε Gradient Βελτίωση Gradient + σε σχέση µε Βελτίωση NP / Gradient σε σχέση µε NP Βελτίωση σε σχέση µε την Αρχική λύση LIBA Σφάλµα Χρόνου σε σχέση µε Απαρίθµηση Gradient , ,016 0, , , , , , Gradient , , , , , NP , ,984 0, , NP/Gradient , , , Αρχική λύση , Εδώ βλέπουµε ότι τόσο ο NP όσο και ο Gradient απέτυχαν να βρουν τη βέλτιστη λύση, ενώ ο τα κατάφερε τόσο µόνος του όσο και σε συνεργασία µε τον Gradient. Το σφάλµα είναι µικρό, αλλά είναι ενδεικτικό του ότι ο ευρεστικός αλγόριθµος υπερτερεί σε ακρίβεια σε τέτοιου είδους προβλήµατα. Επίσης όσον αφορά τον NP, παρατηρούµε ότι µεγαλώνει τη διαφορά του από τους άλλους στο χρόνο σύγκλισης. 90

91 Κ=8, =10, =1 και =1 για κάθε i Κατανοµή των αποθηκευτικών χώρων Station Ni N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 Complete Enumeration Πίνακας 5.8: Αποτελέσµατα για {Κ=8, =10, =1 και =1 για κάθε i } Nολ Popt time(sec) , Σφάλµα σε σχέση µε Απαρίθµηση Βελτίωση Gradient + σε σχέση µε Gradient Βελτίωση Gradient + σε σχέση µε Βελτίωση NP / Gradient σε σχέση µε NP Βελτίωση σε σχέση µε την Αρχική λύση LIBA Σφάλµα Χρόνου σε σχέση µε Απαρίθµηση Gradient , , , , , , Gradient , , , NP , , , NP/Gradient , , , Αρχική λύση , ιαπιστώνεται ότι, όσο το πρόβληµα µεγαλώνει τόσο φαίνεται η διαφορά του χρόνου υπολογισµού των µεθόδων σε σχέση µε την απαρίθµηση. Επίσης φαίνεται ότι ο NP είναι αρκετά πιο αργός από τους άλλους δύο αλγόριθµους. Τέλος, αρχίζει να γίνεται φανερό ότι ο Gradient έχει πιο γρήγορη απόκριση από τον. 91

92 Κ=8, =11, =1 και =1 για κάθε i Κατανοµή των αποθηκευτικών χώρων Station Ni N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 Complete Enumeration Πίνακας 5.9: Αποτελέσµατα για {Κ=8, =11, =1 και =1 για κάθε i } Nολ Popt time(sec) , Σφάλµα σε σχέση µε Απαρίθµηση Βελτίωση Gradient + σε σχέση µε Gradient Βελτίωση Gradient + σε σχέση µε Βελτίωση NP / Gradient σε σχέση µε NP Βελτίωση σε σχέση µε την Αρχική λύση LIBA Σφάλµα Χρόνου σε σχέση µε Απαρίθµηση Gradient , , , , , , Gradient , , , NP , , , NP/Gradient , , , Αρχική λύση , Ο NP βρίσκει τη βέλτιστη λύση, αλλά ο χρόνος υπολογισµού της συνεχώς αυξάνει. 92

93 Κ=8, =15, =1 και =1 για κάθε i Κατανοµή των αποθηκευτικών χώρων Station Ni N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 Complete Enumeration Πίνακας 5.10: Αποτελέσµατα για {Κ=8, =15, =1 και =1 για κάθε i } Nολ Popt time(sec) , Σφάλµα σε σχέση µε Απαρίθµηση Βελτίωση Gradient + σε σχέση µε Gradient Βελτίωση Gradient + σε σχέση µε Βελτίωση NP / Gradient σε σχέση µε NP Βελτίωση σε σχέση µε την Αρχική λύση LIBA Σφάλµα Χρόνου σε σχέση µε Απαρίθµηση Gradient , ,203 0, , , , , , Gradient , , , , ,57619 NP , , NP/Gradient , , , Αρχική λύση , Εδώ βλέπουµε ότι ο Gradient είναι ο µόνος που δεν κατάφερε να εντοπίσει την αρχική λύση. Μάλιστα στη συγκεκριµένη περίπτωση άργησε πιο πολύ από τον. Επίσης, ο χρόνος υπολογισµού της λύσης από τον NP έχει σχεδόν τετραπλασιασθεί. 93

94 Κ=9, =10, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.11: Αποτελέσµατα για {Κ=9, =10, =1 και =1 για κάθε i } Κατανοµή των αποθηκευτικών χώρων Nολ Popt time(sec) Station Ni N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 Complete Enumeration , Σφάλµα σε σχέση µε Απαρίθµηση Βελτίωση Gradient + σε σχέση µε Gradient Βελτίωση Gradient + σε σχέση µε Βελτίωση NP / Gradient σε σχέση µε NP Βελτίωση σε σχέση µε την Αρχική λύση LIBA Σφάλµα Χρόνου σε σχέση µε Απαρίθµηση Gradient , , , , , , Gradient , , , NP , , , NP/Gradient , ,031 0, , Αρχική λύση , Στη συγκεκριµένη δοκιµή, ο NP δεν µπόρεσε να δώσει τη βέλτιστη λύση, ούτε µόνος του ούτε σε συνεργασία µε τον Gradient. Αντίθετα οι άλλοι αλγόριθµοι βρίσκουν τη βέλτιστη λύση. 94

95 Κ=10, =11, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.12: Αποτελέσµατα για {Κ=10 =11, =1 και =1 για κάθε i } Κατανοµή των αποθηκευτικών χώρων Nολ Popt time(sec) Station Ni N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9 Complete Enumeration , Σφάλµα σε σχέση µε Απαρίθµηση Βελτίωση Gradient + σε σχέση µε Gradient Βελτίωση Gradient + σε σχέση µε Βελτίωση NP / Gradient σε σχέση µε NP Βελτίωση σε σχέση µε την Αρχική λύση LIBA Σφάλµα Χρόνου σε σχέση µε Απαρίθµηση Gradient , ,015 0, , , , , , Gradient , ,22 0 0, , , NP , , ,2125 NP/Gradient , , , Αρχική λύση , Στη δοκιµή αυτή ο NP βρίσκει τη βέλτιστη λύση, ενώ ο Gradient δεν κατάφερε να βελτιώσει την αρχική λύση και παρουσιάζει σφάλµα 0,211%. 95

96 Κ=11, =12, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.13: Αποτελέσµατα για {Κ=11 =12, =1 και =1 για κάθε i } Βλέπουµε ότι όλοι οι αλγόριθµοι καταφέρνουν να βρουν τη βέλτιστη λύση, αλλά ο NP αρχίζει να απαιτεί πολύ χρόνο για να καταλήξει σε αποτέλεσµα. Επίσης για τους Gradient και, παρόλο που η χρόνοι είναι µικροί, ο Gradient παρουσιάζεται ταχύτερος από τον. 96

97 Κ=12, =13, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.14: Αποτελέσµατα για {Κ=12, =13, =1 και =1 για κάθε i } Ο NP βρίσκει τη βέλτιστη λύση µε υπερβολικά µεγάλο χρόνο, ενώ πάλι ο Gradient δεν µπόρεσε, γεγονός που επιβεβαιώνει ότι σε τέτοια µικρά και συµµετρικά προβλήµατα (όλοι οι σταθµοί εργασίας ταυτόσηµοι) δυσκολεύεται να βελτιώσει µια καλή αρχική λύση. 97

98 Γενικά από τον πειραµατισµό σε µικρές γραµµές, όπως µπορούµε να διαπιστώσουµε και από το διάγραµµα του σχήµατος 5.1, όπου απεικονίζεται η απόκλιση της βέλτιστης λύσης των αλγορίθµων από αυτή της Απαρίθµησης, όλοι οι αλγόριθµοι δείχνουν να λειτουργούν σχετικά καλά. Ο NP και ο NP/Gradient κατορθώνουν σχεδόν σε κάθε περίπτωση να βρουν τη βέλτιστη ή µια λύση κοντά σε αυτήν (σε 3 περιπτώσεις αποτυγχάνουν). Ο Gradient σε 4 από τις 14 δοκιµές απέτυχε να βρει τη βέλτιστη λύση, ενώ ο δείχνει να είναι ο πιο ακριβής από όλους, καθώς κατόρθωσε σε όλες τις περιπτώσεις να βρει τη βέλτιστη λύση. 0,25 NP 0,2 0,15 0,1 0,05 0 Κ=5, Νολ=6 Κ=6, Νολ=7 Κ=6, Νολ=11 Κ=6, Νολ=12 Κ=6, Νολ=13 Κ=7, Νολ=8 Κ=8, Νολ=9 Κ=8, Νολ=10 ΣΦΑΛΜΑ Κ=8, Νολ=11 Κ=8, Νολ=15 Κ=9, Νολ=10 Κ=10, Νολ=11 Κ=11, Νολ=12 Κ=12, Νολ=13 NP/Gradient Gradient Gradient + ΟΚΙΜΗ Σχήµα 5.1: Απεικόνιση του σφάλµατος της βέλτιστης λύσης των αλγορίθµων σε σχέση µε της Απαρίθµησης, σε γραµµές παραγωγής µικρού µήκους. Όσον αφορά στο χρόνο σύγκλισης των αλγορίθµων σε κάποια λύση, από το διάγραµµα του σχήµατος 5.2, συµπεραίνουµε ότι οι αλγόριθµοι NP και NP/Gradient είναι οι πιο αργοί και οι διαφορά τους από τους υπολοίπους αυξάνει καθώς η γραµµή παραγωγής γίνεται µεγαλύτερη. Ο Gradient δείχνει να είναι ο πιο γρήγορος από όλους και αυτό γίνεται πιο εµφανές όσο η γραµµή µεγαλώνει. Ο φαίνεται πολύ γρήγορος και κάποιες φορές συγκλίνει πιο γρήγορα από τον Gradient. Όµως καθώς το πλήθος των σταθµών εργασίας στη γραµµή αυξάνει, καθυστερεί κατά πολύ λίγο σε σχέση µε τον Gradient. 98

99 Κ=5, Νολ=6 Κ=6, Νολ=7 Κ=6, Νολ=11 Κ=6, Νολ=12 Κ=6, Νολ=13 Κ=7, Νολ=8 Κ=8, Νολ=9 Κ=8, Νολ=10 Κ=8, Νολ=11 Κ=8, Νολ=15 Κ=9, Νολ=10 Κ=10, Νολ=11 Κ=11, Νολ=12 Κ=12, Νολ=13 ΧΡΟΝΟΣ (sec) NP NP/Gradient Gradient Gradient + ΟΚΙΜΗ Σχήµα 5.2: Απεικόνιση του χρόνου σύγκλισης των αλγορίθµων, σε γραµµές παραγωγής µικρού µεγέθους. Επίσης, στα διαγράµµατα των σχηµάτων 5.3 και 5.4, απεικονίζεται η επίδραση της αύξησης του συνολικού αποθηκευτικού χώρου διατηρώντας σταθερό τον αριθµό των σταθµών εργασίας, στο χρόνο σύγκλισης των αλγορίθµων στη βέλτιστη λύση. Από τα διαγράµµατα µπορούµε να διαπιστώσουµε ότι οι αλγόριθµοι NP και NP/Gradient επηρεάζονται περισσότερο σε σχέση µε τους υπόλοιπους αλγορίθµους. Σε µικρότερα προβλήµατα, όπως αυτά των γραµµών µε 6 σταθµούς εργασίας (σχήµα 5.3), η επίδραση της αύξησης του συνολικού αποθηκευτικού χώρου είναι µικρότερη, ενώ σε µεγαλύτερα προβλήµατα (σχήµα 5.4) η επίδραση αυτή αυξάνει. Οι αλγόριθµοι Gradient και δεν φαίνεται να επηρεάζονται ιδιαίτερα από την αύξηση της χωρητικότητας των αποθηκευτικών χώρων. Ειδικότερα, µπορούµε να παρατηρήσουµε τη µείωση του χρόνου σύγκλισης του Gradient, όταν το πρόβληµα είναι συµµετρικό, όπως για παράδειγµα στη δοκιµή για Κ=6, Ν ολ =12 (σχήµα 5.3). 99

100 Χρόνος (sec) 3,25 3 2,75 2,5 2,25 2 1,75 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0 Κ=6, Νολ=7 Κ=6, Νολ=11 Κ=6, Νολ=12 Κ=6, Νολ=13 οκιµή NP NP/Gradient Gradient Gradient + Enumeration Σχήµα 5.3: Απεικόνιση του χρόνου σύγκλισης των αλγορίθµων, σε γραµµές παραγωγής µε 6 µηχανές και κυµαινόµενη χωρητικότητα αποθηκευτικών χώρων. Χρόνος (sec) Κ=8, Νολ=9 Κ=8, Νολ=10 Κ=8, Νολ=11 Κ=8, Νολ=15 οκιµή NP NP/Gradient Gradient Gradient + Enumeration Σχήµα 5.4: Απεικόνιση του χρόνου σύγκλισης των αλγορίθµων, σε γραµµές παραγωγής µε 8 µηχανές και κυµαινόµενη χωρητικότητα αποθηκευτικών χώρων. 100

101 5.3.2 Αποτελέσµατα δοκιµών σε µεσαίου µεγέθους γραµµές παραγωγής µε =1 και =1 Κ=13, =26, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.15: Αποτελέσµατα για {Κ=13, =26, =1 και =1 για κάθε i } Βλέπουµε ότι την καλύτερη απόδοση τη δίνει ο υβριδικός NP/Gradient, παρόλο που ο NP από µόνος του παρουσιάζει σχετικά µεγάλο σφάλµα.(1,3% σε σχέση µε SA και GA). Μάλιστα η απόδοση του NP/Gradient ξεπερνάει αυτήν που δίνει ο Genetic. Όµως, παρατηρούµε ότι ο NP έκανε και τον περισσότερο χρόνο. Ο Gradient από µόνος του παρουσιάζει σφάλµα κάτω από 0,5%, ενώ έχει τη µεγαλύτερη ταχύτητα. 101

102 Κ=14, =28, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.16: Αποτελέσµατα για {Κ=14, =28, =1 και =1 για κάθε i } Στη δοκιµή αυτή βλέπουµε ότι ο NP δεν δίνει καλό αποτέλεσµα (σφάλµα 2,65% σε σχέση µε SA που δίνει το καλύτερο αποτέλεσµα) και ο Gradient τον βελτιώνει σε µικρό βαθµό. Επίσης, βλέπουµε ότι ο Gradient σε σχέση µε τον SA, έχει σφάλµα που ξεπερνάει το 0,5%. Τέλος, παρατηρούµε ότι ο ευρεστικός αλγόριθµος δίνει καλύτερο αποτέλεσµα από τον Genetic και πολύ κοντά στον SA, σε πολύ µικρότερο χρόνο. 102

103 Κ=15, =30, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.17: Αποτελέσµατα για {Κ=15, =30, =1 και =1 για κάθε i } Παρατηρούµε ότι ο χρόνος του NP είναι υπερβολικά µεγάλος και η λύση του είναι µακριά από τη βέλτιστη (3,09% σφάλµα σε σχέση µε SA), αν και βελτιώνεται λίγο από τον NP/Gradient. 103

104 Κ=16, =32, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.18: Αποτελέσµατα για {Κ=16, =32, =1 και =1 για κάθε i } Εδώ παρατηρούµε ότι το σφάλµα του NP σε σχέση µε SA µεγαλώνει (5,45%) και η βελτίωση του από τον Gradient είναι µικρή. Ο Gradient µόνος του βελτιώνει την αρχική λύση. Αυτό οδηγεί και στο γεγονός ότι ο συνδυασµός Gradient µε δίνει καλύτερο αποτέλεσµα σε σχέση µε τον απλό και η απόδοση της λύσης ξεπερνάει αυτήν του Genetic, ενώ είναι ίση µε αυτήν του SA. 104

105 Κ=17, =34, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.19: Αποτελέσµατα για {Κ=17, =34, =1 και =1 για κάθε i } Στη δοκιµή αυτή διακρίνουµε µια αισθητή βελτίωση της λύσης του NP από τον Gradient, µειώνοντας το σφάλµα του σε σχέση µε SA και Genetic από 5% σε 1% περίπου. Ο χρόνος του NP ξεπερνάει τα 1200 sec. Παρατηρούµε επίσης ότι ο Gradient δε βελτιώνει την αρχική λύση. Ο κάνει σχεδόν δεκαπλάσιο χρόνο από τον Gradient, δίνοντας όµως καλύτερο αποτέλεσµα. 105

106 Κ=18, =36, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.20: Αποτελέσµατα για {Κ=18, =36, =1 και =1 για κάθε i } Στη συγκεκριµένη δοκιµή, παρατηρούµε πάλι βελτίωση της λύσης του NP από τον Gradient, µειώνοντας το σφάλµα σε σχέση µε SA και Genetic κατά 4% περίπου. Ο Gradient έχει πάλι σφάλµα σε σχέση µε τον SA περίπου 0,66%, όµως βελτιώνει ελαφρώς τη λύση του Genetic. Ο εξακολουθεί να δίνει την καλύτερη λύση. 106

107 Κ=19, =38, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.21: Αποτελέσµατα για {Κ=19, =38, =1 και =1 για κάθε i } Εδώ το σφάλµα του NP είναι στα ίδια ποσοστά (περίπου 7% και 6% από SA και Genetic αντίστοιχα), ενώ η βελτίωση του από τον Gradient είναι γύρω στο 2% περίπου. Ο Gradient βελτίωσε την αρχική λύση και έδωσε αρκετά καλύτερο αποτέλεσµα από τον Genetic. Ο συνδυασµός Gradient µε δίνει αποτέλεσµα σχεδόν ισάξιο µε αυτό του SA, σε πολύ λιγότερο χρόνο. 107

108 Κ=20, =40, =1 και =1 για κάθε i Πίνακας 5.22: Αποτελέσµατα για {Κ=20, =40, =1 και =1 για κάθε i } Στη δοκιµή αυτή το σφάλµα του NP ξεπερνάει το 9% σε σχέση µε SA και Genetic, ενώ η βελτίωση του σφάλµατος από τον Gradient δεν καταφέρνει να το µειώσει κάτω από 7,5% περίπου. Ο Gradient παρουσιάζει σφάλµα λίγο µικρότερο από 0,7% σε σχέση µε την SA. 108

109 Από τους πίνακες των αποτελεσµάτων, αλλά και από το διάγραµµα του σχήµατος 5.4, µπορούµε να συµπεράνουµε ότι, σε αυτού του µεγέθους τις γραµµές παραγωγής, ο NP δεν µπορεί να δώσει καλά αποτελέσµατα και η απόδοση του µειώνεται καθώς το πρόβληµα µεγαλώνει, φτάνοντας το σφάλµα του στο 9,18% στη δοκιµή για Κ=20, Ν ολ =40. Η βελτίωση που υπάρχει µε τον NP/Gradient σε ορισµένες περιπτώσεις είναι καλή (για Κ=16, Ν ολ =32, Κ=17, Ν ολ =34 και Κ=18, Ν ολ =36), ενώ στις υπόλοιπες είναι αρκετά µικρή και δεν µπορεί να µειώσει σε µεγάλο βαθµό το σφάλµα. Τονίζεται ότι η απόδοση που δίνουν οι αλγόριθµοι, σε αυτές τις δοκιµές συγκρίνεται µε αυτή του αλγορίθµου Simulated Annealing, αφού αυτός παρουσιάζει τη µεγαλύτερη απόδοση από όλους. Στο σχήµα 5.8 µπορούµε να δούµε και την απόκλιση της βέλτιστης λύσης των αλγορίθµων σε σχέση µε αυτή του αλγορίθµου Genetic. Επίσης, ο Gradient δυσκολεύεται πολλές φορές να βελτιώσει την αρχική λύση. Αυτό οφείλεται κυρίως στη συµµετρία των προβληµάτων που εξετάσθηκαν, η οποία µας επιτρέπει να δώσουµε πολύ καλή αρχική λύση. Το σφάλµα του Gradient δεν ξεπερνά το 0.7%. Ο δίνει πολύ καλά αποτελέσµατα είτε µόνος του είτε σε συνδυασµό µε τον Gradient, αφού το σφάλµα του δεν ξεπερνά το 0,18%. Επίσης σε όλες τις δοκιµές εκτός από τη δοκιµή για Κ=13, Ν ολ =26, τα αποτελέσµατα του ξεπερνούν αυτά του Genetic. ΣΦΑΛΜΑ ΣΕ ΣΧΕΣΗ ΜΕ SA NP NP/Gradient Gradient Gradient + Κ=13, Νολ=26 Κ=14, Νολ=28 Κ=15, Νολ=30 Κ=16, Νολ=32 Κ=17, Νολ=34 Κ=18, Νολ=36 Κ=19, Νολ=38 Κ=20, Νολ=40 ΟΚΙΜΗ Σχήµα 5.5: Απεικόνιση του σφάλµατος της βέλτιστης λύσης των αλγορίθµων σε σχέση µε της Simulated Annealing, σε γραµµές παραγωγής µεσαίου µεγέθους. 109

110 ΣΦΑΛΜΑ ΣΕ ΣΧΕΣΗ ΜΕ GA NP NP/Gradient Gradient Gradient + -2 Κ=13, Νολ=26 Κ=14, Νολ=28 Κ=15, Νολ=30 Κ=16, Νολ=32 Κ=17, Νολ=34 ΟΚΙΜΗ Κ=18, Νολ=36 Κ=19, Νολ=38 Κ=20, Νολ=40 Σχήµα 5.6: Απεικόνιση του σφάλµατος της βέλτιστης λύσης των αλγορίθµων σε σχέση µε της Genetic, σε γραµµές παραγωγής µεσαίου µεγέθους. Στο θέµα του χρόνου, όπως µπορούµε να παρατηρήσουµε και στο διάγραµµα του σχήµατος 5.5, ο NP απαιτεί τον µεγαλύτερο χρόνο σύγκλισης από όλους τους αλγορίθµους, µε πολύ µεγάλη διαφορά µάλιστα από τον Simulated Annealing που είναι ο πιο αργός από τους υπόλοιπους. Ο Gradient είναι µε διαφορά ο ταχύτερος από τους αλγορίθµους. Καλή ταχύτητα παρουσιάζει και ο που µπορεί να είναι αργότερος από τον Gradient, αλλά στις συγκεκριµένες δοκιµές που πραγµατοποιήθηκαν καταλήγει πολύ γρήγορα σε λύση. Όσον αφορά τους αλγορίθµους Genetic και Annealing, βλέπουµε ότι ο πρώτος είναι ταχύτερος, αλλά ο δεύτερος δίνει πιο καλά αποτελέσµατα. Αυτό συµφωνεί µε τη διαπίστωση των Spinellis και Papadopoulos (2000). 110

111 ΧΡΟΝΟΣ (sec) NP NP/Gradient Gradient Gradient + GA SA Κ=13, Νολ=26 Κ=14, Νολ=28 Κ=15, Νολ=30 Κ=16, Νολ=32 Κ=17, Νολ=34 Κ=18, Νολ=36 Κ=19, Νολ=38 Κ=20, Νολ=40 ΟΚΙΜΗ Σχήµα 5.7: Απεικόνιση του χρόνου σύγκλισης των αλγορίθµων σε γραµµές παραγωγής µεσαίου µεγέθους. 111

112 5.3.3 Αποτελέσµατα δοκιµών σε µεσαίου µεγέθους γραµµές παραγωγής όπου δεν είναι όλοι οι σταθµοί ταυτόσηµοι Κ=7, =14 Πίνακας 5.23: Αποτελέσµατα για {Κ=7, =14 και διαφορετικούς σταθµούς εργασίας} Εδώ βλέπουµε ότι ο NP παρουσιάζει σφάλµα 0,46% σε σχέση µε τον SA, ενώ σε συνδυασµό µε τον Gradient δίνει απόδοση ίση µε αυτόν. Ο Gradient βελτιώνει αισθητά την αρχική λύση και δίνει καλύτερη απόδοση από τον Genetic. Ο δίνει απόδοση ίση µε τον SA τόσο µόνος του όσο και σε συνδυασµό µε τον Gradient. 112

113 Κ=10, =20 Πίνακας 5.24: Αποτελέσµατα για {Κ=10, =20 και διαφορετικούς σταθµούς εργασίας} Στη δοκιµή αυτή ο NP δίνει την ίδια απόδοση µε τον συνδυασµό Gradient µε, η οποία είναι κατά πολύ λίγο βελτιωµένη από αυτή των SA και Genetic, αλλά απαιτεί αρκετό χρόνο. Οι Gradient και καταφέρνουν µέσα σε ελάχιστο χρόνο να δώσουν απόδοση ίση µε τους SA και Genetic. 113

114 Κ=15, =30 Πίνακας 5.25: Αποτελέσµατα για {Κ=15, =30 και διαφορετικούς σταθµούς εργασίας} Βλέπουµε και πάλι, ότι ο NP βρίσκει δίνει πολύ καλή λύση, αλλά κάνει χρόνο υπερδεκαπλάσιο από αυτόν του SA. Ο Gradient δίνει το ίδιο αποτέλεσµα µε τον SA σε πολύ µικρό χρόνο. Ο βρίσκει πολύ καλή λύση και σε συνδυασµό µε τον Gradient βελτιώνεται ελαφρώς. 114

115 Κ=20, =40 Πίνακας 5.26: Αποτελέσµατα για {Κ=20, =40 και διαφορετικούς σταθµούς εργασίας} Στη συγκεκριµένη δοκιµή, ο NP παρουσιάζει πολύ µεγάλο σφάλµα (περίπου 6%), ενώ η βελτίωση του από τον Gradient είναι µικρή (1,2%). Και σε αυτή την περίπτωση ο Gradient και o λειτουργούν πολύ καλά και δίνουν λύση ελαφρώς καλύτερη από τους SA και Genetic, σε πολύ λίγο χρόνο. Σε συνεργασία µε τον Gradient το σφάλµα βελτιώνεται, αλλά παραµένει υψηλό. 115