2 DINAMIKA Uvod sile masu zakonima dejstva sile rezultujuće sile 2.1 Njutnovi zakoni apsolutnosti prostora apsolutnosti vremena

Transcript

1 ..1 Njutnovi akoni 5 DINAMIKA Uvod U svakodnevnom životu uočavamo tela koja menjaju svoju binu-odnosno ubavaju. Pi tome smo siguno u neposednom okuženju uočili tela koja dopinose ovim pomenama. Dakle, uočavamo neku vstu poveanosti imeđu ubanja tela i njegove inteakcije sa okuženjem. Pod pojam okuženja spadaju i fiička polja, koja takođe mogu uticati na pomenu bine tela. Osnovni poblem koji teba ešiti je sledeći: (1) na osnovu ponatih kaakteistika tela (masa, oblik, apemina, naelektisanje) i () ponavanja položaja i osobina tela u okuženju (3) odediti način ketanja tela. Postoje dva načina pomoću kojih dolaimo do ešenja: (1) pincipom minimuma dejstva (teoijski višeg nivoa) i () pomoću Njutnovih akona dinamike. Isak Njutn (Isaak Newton ) je ešenje ovog poblema iložio u svom delu Philosophiae natualis pincipia mathematica (napisano 1686, idato 1687). Sledeći Njutna pi ešavanju poblema ketanja: (1) uvodimo pojam sile kao osnovnog uoka pomene ketanja tela, () definišemo masu i pokaujemo kako piduživanjem mase telu možemo aumeti činjenicu da aličita tela u istom okuženju imaju aličita ubanja, (3) nalaimo način da iačunamo silu, koja deluje na telo, na osnovu osobina tela i njegove okoline. Na taj način, mi tagamo a akonima dejstva sile. (4) Pokaujemo na koji način se dejstvo više sila na telo može kombinovati u cilju dobijanja eultujuće sile. Relacije imeđu ovih veličina čine deo fiike koji je ponat pod naivom dinamika..1 Njutnovi akoni Njutnovi akoni su dati kao postulati (logička tvđenja) i kao takvi niti se dokauju niti se ivode, ali se u paksi poveavaju. Pimenljivi su na ketanja mateijalnih objekata čija je bina daleko manja od bine postianja svetlosti, a masa daleko veća od mase atoma. Na tim ketanjima se asniva Njutnova mehanika ili klasična mehanika. Klasična mehanika počiva na dva pincipa: (1) apsolutnosti postoa (aličiti sistemi efeence imaju isti posto) i () apsolutnosti vemena (u svim sistemima efence veme potiče na isti način). Pimenljiva je na šiok spekta fenomena i pedviđa eultate koji se u veliko mei slažu sa ekspeimentalnim eultatima. Ukoliko je bina ketanja tela upoediva sa binom postianja svetlosti umesto Njutnove mehanike koistimo Ajnštajnovu specijalnu teoiju elativnosti. Za pobleme na nivou atomske stuktue (na pime ketanje elektona u atomu) umesto Njutnove mehanike koistimo akone kvantne mehanike. Danas se Njutnova mehanika smata specijalnim slučajem goe dve navedene sveobuhvatnije teoije..1.1 I Njutnov akon Telo koje je oslobođeno svih dejstava, ili je iloženo višestukom dejstavu čija je eultanta jednaka nuli, keće se po pavoj liniji sa binom konstantnog inteiteta uključujući i vednost nula. Ketanje po pavoj liniji binom konstantnog inteiteta i miovanje spadaju u piodne oblike ketanja tela. I Njutnov akon je u biti iska o sistemima efeence. On definiše vstu sistema efeence u kojima je pimenljiv. Sa ovog aspekta I Njutnov akon iažava sledeće: Ako je eultujuća sila, koja deluje na telo, jednaka nuli moguće je ponaći sisteme efeence u kojima to telo nema ubanje. I Njutnov akon se često naiva i akon inecije, a sistemi efeence u kojima je pimenljiv naivaju se inecijalni sistemi efeence (ISR). U piodi ne postoji idealan ISR, a najpibližniji njemu je heliocentični sistem efeence. Centa ovog sistema je Sunce, a ti međusobno nomalne ose polae od Sunca i idu

2 6 DINAMIKA ka ti elativno nepoketne vede. Svaki sistem efeence koji se keće avnomeno pavolinijski u odnosu na heliocentični sistem efeence možemo smatati ISR. Osnovni uok pomene piodnog ketanja tela je dejstvo sile. Sila je vektoska veličina što nači da je odeđena sa ti paameta: intenitetom, pavcem i smeom i podleže akonoma vektoskog sabianja. Oblik sile ne avisi od iabanog ISR. Kako oblik ketanja jednog tela avisi od sile koja deluje na njega, odabanog sistema efeence u kojem se ketanje posmata i početnih uslova u kojima se telo nalailo aključujemo da ukoliko ketanje jednog tela posmatamo i aličitih ISR oblik ketanja će biti isti u svim ISR ako su isti početni uslovi. Ova osobina je ponata pod imenom osobina ekvivalentnosti svih ISR. Pilikom pomene ketanja telo se opie uoku koji iaiva tu pomenu, odnosno teži da adži pethodno stanje ketanja. I tog aloga kažemo da telo poseduje osobinu inetnosti. Mea a inetnost tela je masa tela. Fiički osećaj mase imamo samo pilikom pokušaja saopštavanja ubanja nekom telu..1. II Njutnov akon II Njutnov akon nam daje kvantitativnu i kvalitativnu veu imeđu uoka pomene ketanja sile i posledice pomene vektoa količine ketanja (fiičke veličine kojom meimo stanje ketanja). Matematička fomulacija II Njutnov akona je sledećeg oblika: dp d( mv) ex = = F e, (.1) dt dt gde F ex e onačava eultujuću ekstenu (spoljašnju ) silu. Na osnovu (.1) aključujemo da je elementana pomena vektoa količine ketanja uvek u pavcu i smeu dejstva eultujuće ekstene sile: dp = ex F e dt. (.) Imajući u vidu goe navedeno ivodimo sledeće aključke: 1) polaeći i stanja miovanja telo se keće u pavcu i smeu dejstva eultujuće ekstene sile i ) ukoliko je telo imalo početnu binu elementana pomena količine ketanja tela je u pavcu i smeu dejstva eultujuće ekstene sile (vidi sliku.1). v p dp F ex e p + dp Slika.1 Odeđivanje elementane pomene vektoa količine ketanja. U opštem slučaju, polaeći (.1), vekto ubanja tela nije po pavcu dejstva eultujuće ekstene sile: dm d dm F ex v e = v + m = v + ma. (.3) dt dt dt Međutim, kada ešavamo pobleme klasične mehanike masu tela možemo smatati konstantnom veličinom (sem kod eaktivnih ketanja) te je stoga:

3 .1 Njutnovi akoni 7 d F ex v e = m = ma. dt (.3a) Polaeći od definicije vektoa bine pi vektoskom opisivanju ketanja matematička fomilacija II Njutnovog akona može biti i sledećeg oblika: F ex e d = m. (.4) d t Pojektujući II Njutnov akon na ose Dekatovog koodinantnog sistema dobijamo osnovne dinamičke jednačine klasične mehanike: F ex ex = m d x d t, F ey = m d y d t, F e = m d d t, (.4a) ex ex ex ex ex gde su F ex, F eyx, F e pojekcije eultujuće spoljašnje sile na poitivne pavce x, y i ose, espektivno. Jednačine (.4a) su lineane difeencijalne j-ne II eda i pedstavljaju kvantitativnu stanu II Njutnovog akona. Kako je (.4) lineana difeencijalna jednačina II eda možemo pimeniti pincip supepoicije: n ex F e = F i= 1 ex i. (.5) Deleći (.5) sa masom tela dobijamo da ubanje tela možemo pedstaviti sumom ubanja koje telo dobija dejstvom svake od sila ponaosob: n a =. (.6) ai i= 1 Možemo pimetiti da II Njutnov akon uključuje i fomalni iska I Njutnovog akona kao specijalan slučaj. Naime, u slučaju da je eultujuća spoljašnja sila jednaka nuli na osnovu (.1c) dobijamo: dv dt = 0 v = const, uključujući i vednost nule. Ovo ne nači da I Njutnov akon sledi i II nego samo ukauje na jedinstvo ova dva akona o dejstvu sile. Konačno, kako u II Njutnovom akonu ne figuišu početni uslovi (.4) pedstavlja fundamentalnu, opštu jednačinu ketanja II Njutnov akon i eveibilnost vemena Rešavanjem (.4), ponavajući odgovaajuće početne uslove, odeđujemo vekto položaja tela (t), odnosno možemo odediti kako će se telo ketati u budućnosti. Da li možemo sanati, najući silu i početne uslove, kako se telo ketalo u pošlosti? Odgovo na ovo pitanje dobićemo ako pomenimo tok ketanja vemena, odnosno ako u odgovaajuće jednačine umesto paameta t stavimo t. Pimenjujući datu smenu na (.4) dobijamo ia a vekto sile u pošlosti: ( d d F t) = m = m = F( t). (.7) d t d t ( ) Dakle, sila će uvek na isti način delovati bilo da se telo ketalo u pošlosti ili se ketanje odvija sada ili u budućnosti. Piaštaj bine tela pi negativnom toku vemena je: d v = F( t) dt = F( t) d( t) = F( t) dt, (.8) m m m

4 8 DINAMIKA odakle integacijom dobijamo da je: v( t) = v( t), (.9) odnosno da pomenom toka vemena vekto bine menja sme, što nači da se menja sme ketanja tela. Ako se adi o opisivanju ketanja pojedinačnog tela ne možemo nati da li se ketanje odvija u poitivnom ili u negativnom smeu toku vemena. Za sistem tela to je moguće odediti je je sme ketanja uvek u smeu povećanja entopije sistema. Pomena vektoa položaja pi negativnom toku vemena inosi: d = v( t) d( t) = ( v( t) )( dt) = v( t) dt. (.10) Integacijom (.10) dobijamo ( t) = ( t). (.11) Na osnovu (.7) i (.11) aključujemo da ponavanjem sile možemo odediti poiciju tela kako u bilo tenutku u budućnosti tako i u bilo kom tenutku u pošlosti..1.. Invaijantnost II Njutnovog akona-galilejev pincip elativnosti Posmataćemo ketanje tela mase m i dva ISR, od kojih je jedan nepoketan (sistem S ) a dugi (sistem S ) se keće binom konstantnog inte iteta V p = const. u odnosu na njega, u poitivnom smeu y ose (vidi sl..). Petpostavimo da se u tenu tku t = 0 S i S poklapaju, S S m i k 0 j k = k i = i 0 j = j V = V j p p y, y x x Slika. Posmatanje ketanja tela i dva ISR, poketnog S i nepoketnog S odnosno 0 0. U poivoljnom tenutku vemena S je pešao put: 00 = V t = V t = V j t, (.1) p p p što sledi i pincipa apsolutnosti vemena u klasičnoj mehanici. Imeđu vektoa položaja može se uspostaviti elacija: = + 00 = + V p j t. (.13) Difeencianjem po vemenu (.13) dobijamo elaciju među binama u S i S : v = v + V p, (.14)

5 .1 Njutnovi akoni 9 gde v pedstavlja apsolutnu, v elativnu binu ketanja (bina ketanja tela u odnosu na S ), a V p penosnu binu. Difeencianjem po vemenu (.14) dobijamo elaciju imeđu ubanja tela u S i S : a = a, (.15) na osnovu koje aključujemo da je ubanje u odnosu na ISR invaijantno (nepomenljivo). Množenjem (.15) sa masom tela m dobijamo da je i sila invaijantna u odnosu na ISR: F = F. (.16) Na osnovu ivedenih elacija aključujemo da osnovni mehanički akoni koji odeđuju pomenu stanja ketanja u ISR su isti Galilej Neinecijalni sistemi efeence i inecijalne sile Analiiamo slučaj gde sistem S, sa sl.., pedstavlja neinecijalni sistem efeence (NSR), odnosno keće se ubano u odnosu na sistem S, duž poitivnog smea y ose, ubanjem: a p = a p j. (.17) Petpostavimo da su u tenutku t = t = 0 ispunjeni sledeći uslovi: 0 0, V 0 = V 0 j, (.18) gde je V 0 početna bina S u odnosu na S. U poivoljnom tenutku vemena S je pešao put: = ( V0 t + a p t ) j. (.19) 00 Imeđu vektoa položaja može se uspostaviti elacija: = + 00 = + ( V0 t + a p t ) j. (.0) Difeencianjem po vemenu (.0) dobijamo elaciju među binama tela u S i S : v = v + ( V 0 + a p t) j, (.1) gde je V p = ( V 0 + a p t) j penosna bina. Difeencianjem po vemenu (.1) dobijamo elaciju imeđu ubanja S i S : a = a + a, (.) gde a pedstavlja apsolutno ubanje (ubanje tela u odnosu na S ), a elativno ubanje (ubanje tela u odnosu na S ), a a p penosno ubanje. Na osnovu (.) aključujemo da ubanje nije invaijantno u odnosu na NSR. Množenjem j-ne (.) sa masom tela dobijamo elaciju među silama u S i S : ex ex F e = F e + m a p, (.3) na osnovu koje aključujemo da sila nije invaijantna u odnosu na NSR. Uvođenjem nove fiičke veličine - inecijalne sile, koja je oblika: F inc = m a p, (.4) definišemo II Nutnov akon u NSR: p

6 30 DINAMIKA ex ex F e = F e + F inc. (.5) II Nutnov akon je pimenljiv na neinecijalne sisteme efeence samo kada se ume u obi neinecijalna sila..1.3 III Njutnov akon III Njutnov akon nam daje infomaciju u pogledu inteakcije tela u piodi. Sudani pocesi su jedan od vidova inteakcije tela. Ekspeimentalno je pokaano da su pomene količine ketanje dva tela pi sudanom pocesu istog inteiteta i pavca, a supotnog smea: Δ p = p. (5.6) 1 Δ Nalaženjem pomene vektoa količina ketanja u jedinici vemena u ganičnom slučaju Δt 0 dobijamo elaciju među silama koje su delovale a veme sudanog pocesa: F 1 = F1, (5.7) gde su F 1 i F 1 sile kojim tokom sudanog pocesa dugo telo deluje na pvo i pvo na dugo, espektivno. J-na (5.7) pedstavlja matematičku fomulaciju III Njutnovog akona: sile kojom tela, pilikom inteakcije, deluju jedna na duga su iste po intenitetu i pavcu delovanja a supotnog su smea. III Njutnov akon je važeći kako a mateijalne tačke tako i a kuta tela. Odnos ubanja koja tela dobiju na osnovu II Njutnovog akona je: a m 1 =. (.8) a m1 U slučaju da je masa pvog tela daleko veća od mase dugog tela (pime je udaac teniske loptice u id ili bilijaske kugle u matinelu) ubanje pvog tela je benačajno. Sile koje ne iaivaju načajnije ubanje tela na koje deluje Nutn je navao eakcionom silama. Postavlja se pitanje da li je III Njutnov akon važeći a bilo koji tip inteakcije među telima u piodi. Odgovo na pitanje je potvdan u slučaju kada se inteakcija odigava neposednim kontaktom tela. Ako tela inteaguju na astojanju III Njutnov akon je važeći samo ukoliko tela miuju ili se keću binama koje su daleko manje od bine postianja svetlosti. Jedan od pimea kada III Njutnov akon ne važi pikaan je na sl. 3a. + F m 1 q 1 v1 B F el 1 Na slici.3 pikaana su dva naelektisanja, supotna po naku, koja se keću po pavcima koji su otogonalni. Svako poketno naelektisanje u svojoj okolini obauje magnetsko polje koje ima osobinu da je jednako nuli po pavcu ketanja tog naelektisanja. Dakle, a datu situaciju na slici magnetsko polje koje obauje naelektisanje + q 1 na mestu gde se nalai F el 1 v naelektisanje q jednako je nuli. Naelektisanje q stvaa magnetsko polje indukcije B na mestu gde se q nalai naelektisanje + q 1 i usled toga deluje na njega Slika.3 Pime ne važenja III Njutnovog akona magnetskom (Loencovom) silom F m. Poed 1 magnetskih sila el naelektisanje međusobno deluju i elektostatičim (Kulonovskim) silama F 1 i F el 1, koje su neavisne od bine ketanja čestica i u ovom slučaju su pivlačnog kaaktea. Reultujuća sila kojom naelektisanje q deluje naelektisanje + q 1 inosi: e el m F 1 = F 1 + F 1, (.9) a eultujuča sila kojom naelektisanje + q 1 deluje na naelektisanje q je:

7 . Neki tipovi sila u mehanici 31 e F el 1 F 1 (.30) Na osnovu (.9) i (.30) aključujemo da ne važi III Njutnov akon i aloga što je: e F e 1 F 1 (.31) Ukoliko su bine ketanja naelektisanja daleko manje od bine postianje svetlosti tada je: m el e el F 1 << F 1 F 1 F 1. (.3) Imajući u vidu (.9), (.30) i (.3) aključujemo da važi III Njutnov akon pošto je: e F e 1 F 1 (.33). Neki tipovi sila u mehanici..1 Gavitaciona sila Gavitaciona sila deluje među svim telima u univeumu. Ona je uvek pivlačnog kaaktea i što su tela veće mase ona je iaženija. Planete vše peiodično ketanje oko Sunca pod uticajem gavitacione sile. Na nivou miko čestica njen intenitet se može anemaiti u odnosu na elektomagnetsku i nukleanu silu. Inteitet gavitacione sile kojom Zemlja deluje na tela koja se nalae u njoj, na njenoj povšini i inad nje, pod uslovom da Zemlju smatamo kuglom homogene gustine, data je sledećim iaima: γ M M m F g R R F g gde je M m γ, R = M m γ, R 3 R 3 = 6378 m R 10, (.34) polupečnik Zemlje, 4 M = 5,98 10 kg masa Zemlje, m masa tela koje se našlo u gavitacionom polju Zemlje i γ gavitaciona konstanta čija je vednost R neavisna od piode tela, Slika.4 Raspodela inteiteta gavitacione sile 11 u avisnosti od astojanja od centa Zemlje. γ = 6, Nm kg. Gonji ia u j-ni (.34) može se pimeniti i na inteakciju bilo koja dva tela u slučaju kada ih možemo smatati mateijalnim tačkama. To je moguće u sledeća dva slučaja: 1) u slučaju kada je astojanje imeđu njih daleko veće od njihovih dimenija i ) kada su tela oblika kugle homogene gustine (celokupnu masu tela smeštamo u centa sfee). Ubanje koje telo dobija kada se nađe u gavitacionom polju Zemlje-gavitaciono ubanje je: a F g g m = g = F g M γ m = γ M R 3, R. (.35), R

8 3 DINAMIKA Za tela inad povšine Zemlje možemo naći kako se gavitaciono ubanje menja sa pomenom nadmoske visine h = R : M M g ( 1 1 h) = γ = γ = g 0, (.36) ( R+ h) R ( 1+ h R) ( 1+ h R) gde je g 0 = g( h = 0) vednost gavitacionog ubanja na nultoj nadmoskoj visini. Ono bi imalo istu vednost ma gde se našli na povšini Zemlje ukoliko bi Zemlju smatali idealnom kuglom i an i njenu otaciju. Za ketanja tela na nadmoskim visinama eda veličine desetina metaa možemo smatati da gavitaciono ubanje ima konstantnu vednost g = g 0. U tom slučaju intenitet gavitacione sile takođe ima konstantnu vednost F g = mg... Nomalna sila (sila eakcije podloge) Kada telo pitiska neku povšinu tada na njega ta povšina deluje silom koja je po pavcu nomalna na datu povšinu. Ta sila se naiva nomalnom silom i obeležava se sa N. Na telo koje miuje na hoiontalnoj podloi (sl..5a) intenitet nomalne sile jednak je intenitetu gavitacione sile koja deluje na telo, a a telo koje se nalai na stmoj avni (sl..5b) intenitet nomalne sile jednak je vednosti pojekcije gavitacione sile na pavac nomalan na povšinu. N N..3 Težina Težina tela je eultantna sila kojom telo deluje na meni instument i u opštem slučaju se alikuje od gavitacione sile. Šta je to što dovodi do alike imeđu ove dve fiičke veličine? Na pvom mestu Zemlja je usled otacije oko sopstvene ose neinecijani sistem efeence i težina tela avisi od uslova u kojima se nalai meni instument u odnosu na Zemlju. Posmatajmo telo, mase m, koje se nalai na menom instumentu koji miuje u odnosu na povšinu Zemlje (sl..6). Ugaona bina otacije Zemlje je ω = π T ( T 4 h ), a položaj tela u odnosu na ekvatoijalnu avan (geogafska šiina) odeđen je aimutalnim uglom ϕ. Nomalno ubanje tela usled otacije Zemlje inosi: gde je Sl..5a F g R an = ω cosϕ, (.37) R cosϕ polupečnik otacije tela. Intenitet inecijalne sile je: ω F tst F g ϕ F inc = m an. (.38) Sila N je sila kojom meni instument deluje na telo i njen intenitet je po III Njutnovom akonu jednak inteitetu sile kojom telo deluje na vagu, odnosno težini tela Q : Q = N. (.39) Na telo deluju još gavitaciona sila F g i sila statičkog tenja (o silama tenja biće eči nešto kasnije). F tst α F g N = F Sl..5b N F cosα N τ n g F inc Sl..6 Meenje težine uimanjem u obi otaciju Zemlje = g

9 . Neki tipovi sila u mehanici 33 Pojektujmo sada II Njutnov akon na pavce nomale- n i tangente-τ uimajući u obi da telo miuje na povšini Zemlje. I j-na (.39) i (.40a) dobijamo ia a težinu tela: n : 0 = F g N F inc cosϕ (.40a) τ : 0 = F incsinϕ F tst. (.40b) ( ) Q = m g ω cos ϕ, (.41) R i koga aključujemo da težina tela aste kako idemo od ekvatoa ka polu. Sada možemo uvesti pojam efektivne vednosti gavitacionog ubanje Zemlje: g = g ω cos ϕ, (.4) ef gde je g vednost gavitacionog ubanja na polu, odnosno u tački gde ne postoji otacija. Ralika imeđu dve ekstemne vednosti ubanja na polu i ekvatou inosi oko 3% i i tog aloga pi ešavanju poblema ne uimamo u obi pomenu gavitacionog ubanja sa geogafskom šiinim pi ešavanju poblema...4 Sila ateanja Kada je konopac (uže, kabl ili sličan objekat) vean a telo i ategnut u njemu se javlja sila ateanja, koju obeležavamo sa T, kojom deluje to uže na dato telo. Pavac dejstva sile ateanja je duž pavca konopca, napadna tačka je na mestu veivanja, a sme joj je od tela. Masa konopca se najčešće anemauje u odnosu na masu tela a koja je vean. To ima a posledicu da su inteniteti atenih sila koje deluju na dva tela koja se nalae na supotnim stanama konopca jednaki (sl..7a). Ovo tvđenje se lako dokauje pimenom II Njutnovog akona na ketanje konopca. Isti je slučaj i kada je konopac pebačen peko kotua anemaljive mase u čijem ležištu nema tenja (sl..7b). Konopac se često smata i neistegljivim što ima a posledicu da sva tela koja su veana a njega imaju isti intenitet ubanja. R T T T 1 T Sl..7a Zatene sile su su istog inteiteta i pavca, a supotnog smea dejstva. Sl..7b Zatene sile su su T = T 1. istog inteiteta..5 Sile tenja Sile tenje su pisutne u našem svakodnevnom životu. Ukoliko deluje samo sila tenja svaki kotljajući točak ili otiajuća osovina će se siguno austaviti. U automobilu oko 0% goiva se toši na savlađivanje sila tenja u motou. S duge stane, u odsustvu sile tenja ne bismo mogli hodati ili voiti bicikl. Takođe, eksei i šafovi bi bili beskoisni. Pioda sila tenja je veoma složena. Usled složene molekulane stuktue i neponavanja suštine ispitivanje sila tenja svodi se na ekspeimentalno odeđivanje. Javlja se u ti slučaja: 1) imeđu kutih dodiujućih tela kada se ona nalae u stanju apočinjana ili već ostvaenog elativnog ketanja, ) imeđu delova istog fluida (gasa ili tečnosti) ako je ostvaena elativnost njihovog ketanja i 3) ako je ostvaeno elativno ketanje imeđu čvstog tela i fluida. Sile tenja mogu biti: 1) spoljašnje i ) unutašnje. Spoljašnje sile tenja dele se na sile pi a) suvom i b) vlažnom tenju. I jedna i duga podgupa sila se javljaju kako pi klianju tako i pi kotljanju. Unutašnje sile tenja javljaju se pi vlažnom tenju i dele se na a) sile viskonog tenja i b) otpone sile sedine.

10 34 DINAMIKA Poabavimo se sada spoljašnjim suvim tenjem pi klianju, koje se javlja imađu čvstih dodiujućih tela kada se ona nalae u stanju apočinjana ili već ostvaenog elativnog ketanja. Intenitet sile tenja koja se javlja imeđu tela, u tom slučaju, avisi od: 1) mateijala od koga su tela napavljena, ) kvaliteta obade povšine tela, 3) njihove elativne bine, 4) inteniteta nomalne sile na dodinu povšinu i 5) veličine dodine povšine. Sila tenja se javlja uvek u tangentnoj avni dodia dva tela. One podležu III Njutnovom akonu i nekad potpomažu ketanje jednog tela (sl..8a), a nekad odmažu (sl..8b). F t 1 1 v1 F t1 v1 > v F t 1 v1 1 F t1 v v Sl..8a Sila tenja potpomaže ketanje tela, a odmaže ketanje tela 1. Posmatajmo telo mase m podloi. Gavitaciona sila (vidi sl..9) koje miuje na, koja deluje na njega, uavnotežena je nomalnom silom eakcije podloge N. Ako na telo dejstvujemo silom F, pokušavajući da ga pomeimo na levu stanu, kao odgovo na naše dejstvo imeđu tela i podloge javlja se sila tenja, čije je dejstvo u smeu supotnom sili F, a intenitet joj je samopodešavajući pema inteitetu sile F. Naime, ako povećavamo intenitet sile F, aste i intenitet sile tenja. F g Sl..8b Sila tenja odmaže ketanje i tela 1 i tela. Sl..9 Dejstvo sile tenja Kako telo i dalje miuje silu tenja, koja deluje na telo, naivamo silom statičkog tenja F tst. Pi odeđenoj vednosti inteniteta sile F, otpočeće ubano ketanje tela na levu stanu. Silu tenja, koja sada deluje na telo, naivamo silom dinamičkog tenja F td i ona je po intenitetu manja od maksimalne vednosti sile statičkog tenja koja se ostvauje neposedno ped početak ketanja tela.ukoliko želimo da se telo keće binom konstantnog inteiteta moamo smanjiti intenitet pimenjene sile F. Ukoliko silom F dejstvujemo s desna na levo dobijamo analogan slučaj pethodnome samo što sila tenja deluje na supotnu stanu-s leva na desno. U osnovi, sile tenja se javljaju imeđu atoma na povšini tela koja pijanjaju jedno a dugo. Ako u uslovima visokog vakuuma dve dobo ispoliane i očišćene povšine spojimo, one ne mogu kliati jedna peko duge. Tada, imeđu njih dolai do hladnog avaivanja. Međutim, pod uobičajenim uslovima, takav pisan kontakt atom-atom nije moguć. Čak i visoko poliane metalne povšine su daleko od toga da budu avne na atomskom nivou. Kada se dve povšine spoje samo najviše tačke povšina se dodiuju. Slikovito ečeno to je situacija kao kada bi smo obnuli Švajcaske Alpe i postavili ih na Austijske Alpe. Stvana mikoskopska povšina kontakta je daleko manja, eda veličine 10 4 puta, od makoskopske koju mi uočavamo. Mogućnost hladnog avaivanja poed ovoga onemogućavaju slojevi oksida i dugih nečistoća koji se javljaju na svakodnevnim povšinama. Pvi iai a intenitet sile tenja potiču od Kulona. Po njemu intenitet sile tenja je popocionalan sili eakcije podloge - eultantnoj sili kojom podloga deluje na telo i koja je nomalna na dodinu povšinu, F t ~ N. Pi dejstvu sile statičkog tenja njen intenitet je samopodešavajući pema eultantnoj sili koja deluje po pavcu paalelnim sa podlogom i uvek manji ili jednak maksimalnoj vednosti njenog inteiteta: N F g F t F

11 . Neki tipovi sila u mehanici 35 F tst = F tst max = μ N, (.43a) gde se koeficijent popocionalnosti μ st naiva koeficijent statičkog tenja. Pi ketanju tela na njega dejstvuje sila dinamičkog tenja inteniteta: F td st = μ N, (.43b) a koeficijent popocionalnosti μ d naiva se koeficijent dinamičkog tenja. Koeficijenti μ st i μ su bedimenionalni i odeđuju se ekspeimentalno. Koeficijent d dinamičkog tenja pi apočinjanju ketanja ima manju vednost od koeficijenta statičkog tenja. Ovo važi sve do neke kitične bine vk (vidi sl..10) kada pemašuje vednost koeficijenta statičkog tenja. Dakle, koeficijent dinamičkog tenja avisi od bine ketanja tela. F t d F 0 -vk vk v F 0 Slika.10 Raspodela inteniteta sile tenja u avisnosti od bine ketanja tela. Levi deo aspodele odgovaa dejstvu sile s desna na levo, a desni s leva na desno. F 0 je vednost sile pi kojoj otpočinje ketanje što odgovaa maksimalnoj vednosti sile statičkog tenja. Međutim, ako su povšine veoma kvalitetno obađene možemo smatati da je koeficijent dinamičkog tenja neavisan od bine ketanja i da je jednak koeficijentu statičkog tenja μ μ = μ, što je pikaano na sl..10a. d = st F t F 0 F 0 v Slika.10a Raspodela inteniteta sile tenja u avisnosti od bine ketanja tela u slučaju kvalitetno obađenih dodinih povšina

12 36 DINAMIKA..6 Otpona sila sedine i teminalna (ganična) bina U fluide spadaju tečnosti i gasovi, odnosno sve ono što može da teče. Kada postoji elativno ketanje imeđu fluida i tela (bilo da se telo keće u odnosu na fluid ili fluid teče peko tela), telo je iloženo dejstvu otpone sile sedine F ot koja se supotstavlja elativnom ketanju i deluje u pavcu elativnog ketanja fluida pema telu. Usedsedićemo se na slučaj kada je fluid vaduh i kada čvsto telo nije uano (kao što je napime slučaj sa kopljem). Smataćemo da je elativna bina dovoljno velika da vaduh postaje tubulentan (postaje vtložan) ia tela. U tom slučaju vea imeđu inteniteta otpone sile sedine F ot i inteniteta elativne bine v uspostavlja se peko ekspeimentalo odeđenog koeficijenta otpoa C na sledeći način: F ot 1 = CρS v, (.44) gde je ρ gustina vaduha, a S efektivna povšina popečnog peseka tela (povšina popečnog peseka tela ueta nomalno na binu v ). Koeficijent otpoa (tipične vednosti su imeđu 0,4 i1,0 ) i nije u stvai konstanta ako se v načajno menja. Tako komplikovan slučaj ćemo, ovde, ignoisati. Na osnovu (.44) aključujemo da na telo koje slobodno pada deluje otpona sile sedine koja se postepeno povećava kako bina tela aste. U slučaju da telo pada dovoljno dugo u jednom tenutku može se po intenitetu ijednačiti sa alikom inteniteta gavitacione sile i sile potiska koje deluje na telo. Tada je eultujuća sila jednaka nuli i telo nastavlja da se keće binom konstantnog inteiteta (teminalnom binom ) koju dobijamo i elacije: vt 1 t mg ρ gv = CρS v, (.45) gde je ρ Vg intenitet sile potiska koja deluje na telo, m masa, a V apemina tela. Rešavajući j-nu (.45) po dobijamo: vt ( ρ ρ ) Vg CρS v t = t, (.46) gde je ρ t gustina tela. Kako je u većini slučajeva ρ t >> ρ možemo se služiti iaom: v t = mg CρS. (.46a) U tabeli -1 date su vednosti teminalne bine a neka tela i 95% astojanja koja teba da peđu, be početne bine i pi slobodnom padu, da bi je dostigla. Tabela -1 Neke teminalne bine u vaduhu Telo Teminalna bina ( m s ) 95% peđenog puta ( m ) 16-lb metak skijaš loptica a bejbol teniska loptica košakaška lopta ping-pong loptica kišna kap (adijusa 1,5 mm) padobanac

13 . Neki tipovi sila u mehanici 37 Za lagana ketanja sfenih tela u fluidu, pi čemu se u okolnim slojevima fluida ne javlja tubulentno ketanje, otpona sila sedine data je iaom: F ot = 6πη v, (.47) gde je η koeficijent viskonosti fluida, a polupečnik tela. Teminalna bina u ovom slučaju ketanja, pi slobodnom padu, dobija se kada se otpona sile sedine ijednači sa alikom gavitacione sile i sile potiska : ( ρ ρ) Vg 6πη = 4( ρ ρ) 18η vt = g. (.48) t Ia a otponu silu u (.47) naiva se Štoksov akon. Štoksov akon je pimenljiv pod uslovom veoma male vednosti Rejnoldsovog boja a opstujavanje fluida vt R = ρ = 4ρ( ρ ρ ) g 3 9η < e t 0, 1 η..7 Centipetalna sila Ako se telo keće po kužnici ili kužnom luku polupečnika, binom konstantnog inteiteta v, ono je ubano ka centu kužne putanje, i kaže se da se da vši unifomno kužno ketanje. Intenitet ovog centipetalnog ubanja je konstantan i dat je iaom: t =. (.48) acp v Da bi telo imalo ovakav vid ubanja na njega moa delovati sila po pavcu koji spaja telo i centa kužne putanje, usmeena ka centu, koju naivamo centipetalna sila. Intenitet ove sile je konstantan i dat je pojekcijom II Njutnovog akona na definisani pavac dejstva sile: F = m acp = m. (.49) cp v Centipetalna sila nije novi tip sile. Ona može biti: atena sila (slučaj ketanja matematičkog klatna), gavitaciona sila (kužno ketanje Meseca oko Zemlje) ili sila tenja (koja se javlja imeđu automobilskih guma i puta pi sketanju automobila po kužnoj putanji).