Fizika. Mehanika Sadržaj. dr Fedor Skuban. I godina studija na Tehnološkom fakultetu u Novom Sadu. Departman za fiziku, PMF Novi Sad

Transcript

1 d Fedo Skuban Fizika I godina studija na Tehnološkom fakultetu u Novom Sadu Depatman za fiziku, PMF Novi Sad Elementi vektoskog ačuna 4 Fizičke veličine. SI sistem jedinica 8 Osnovni pojmovi kinematike 4 Bzina 7 Ubzanje 9 Pavolinijsko ketanje Slobodno padanje 5 Vetikalni hitac 7 Hoizontalni hitac 9 Kosi hitac 3 Kinematika otacionog ketanja. Kužno ketanje 35 Ugaona bzina 36 Ugaono ubzanje 37 Kivolinijsko ketanje. Kužno ketanje. 40 Ravnomeno kužno ketanje 4 Jednako-ubzano kužno ketanje 44 Dinamika. Sila, masa i količina ketanja 47 Njutnovi zakoni ketanja. I Njutnov zakon 49 II Njutnov zakon 5 III Njutnov zakon 5 Neki tipovi sila u mehanici 53 Mehanika Sadžaj Gavitaciona sila. Njutnov zakon univezalne gavitacije 54 Težina tela 57 Sila nomalne eakcije podloge 59 Sila tenja 6 Sila elastičnosti 65 Sile kod kužnog ketanja 70 Rad i enegija 74 Enegija 77 Kinetička enegija 78 Potencijalna enegija 80 Gavitaciona potencijalna enegija 8 Konzevativna i nekonzevativna polja 86 Konzevativne i nekonzevativne sile 87 Potencijalna enegija opuge 88 Zakon odžanja enegije 9 Snaga 94 Impuls sile i količina ketanja 95 Zakon odžanja količine ketanja 97 Sudai 00 Elastičan suda 0 Neelastičan suda 03

2 Dinamika otacionog ketanja kutog tela 05 Moment sile 08 Moment inecije Moment inecije i Štajneova teoema 4 Osnovna jednačina dinamike otacionog ketanja 5 Kinetička enegija i ad kod otacionog ketanja 7 Moment količine ketanja. 8 Zakon odžanja momenta količine ketanja. Statika čvstog tela 4 Uslovi avnoteže čvstog tela 5 Vste avnoteže. Stabilnost. 7 Oscilacije i talasi 8 Oscilacije 9 Oscilovanje tela obešenog o elastičnu opugu 30 Matematičko klatno 33 Fizičko klatno 35 Pigušene hamonijske oscilacije 36 Pinudne hamonijske oscilacije 39 Talasno ketanje. Postianje talasa u elastičnoj sedini. 4 Sadžaj Jednačina pogesivnog talasa 46 Bzina šienja talasa 48 Enegija talasa 50 Osnovne osobine talasnog ketanja 5 Stojeći talasi 56 Zvuk 60 Jačina zvuka 6 Dopleov efekat 64 Mehanika fluida. Statika fluida. 68 Pitisak 69 Hidostatički pitisak 7 Potisak. Ahimedov zakon. 74 Povšinski napon 76 Osobine gasova. Atmosfeski pitisak. 78 Dinamika fluida 80 Jednačina kontinuiteta 8 Benulijeva jednačina 83 Toičelijeva teoema 85 Viskoznost 86 3 Elementi vektoskog ačuna sabianje i oduzimanje vektoa; azlaganje na komponente Sabianje Oduzimanje Ax Acosθ Ay Asin θ A A + A x y 4

3 5 Pojekcije vektoa na pavac 6 Skalani i vektoski poizvod vektoa Skalani poizvod dva vektoa je skala. Vektoski poizvod dva vektoa je vekto koji je nomalan na avan koju oni čine,asmemujeodeđen pavilom desnog zavtnja. Intenzitet je bojno jednak povšini paalelogama konstuisanog iznad vektoa a i b. ), ( cos ), ( cos b a b a b a b a b a ), ( sin ), ( sin b a b a b a c b a b a b a o

4 Tigonometijske funkcije Tigonometijske funkcije koje su najčešće koišćene su sinus, kosinus i tangens i povezuju dužine stanica pavouglog tougla sa odgovaajućim uglovima. Pitagoina teoema povezuje dužine stanica pavouglog tougla. x + y 7 Fizičke veličine. SI sistem jedinica. Poteba da se bojem izažavaju osobine ili opisuju piodne pojave nametnula je potebu uvođenja fizičkih veličina i jedinica fizičkih veličina. Fizičkim veličinama se kvantitativno opisuju osobine tela, stanja i pocesa. Skalane veličine su potpuno odeđene svojom bojnom vednošću, dok su vektoske veličine definisane joši pavcem i smeom godine je na međunaodnom nivou dogovoeno da se koisti jedinstveni sistem fizičkih jedinica u svetu, tzv. SI sistem (međunaodni sistem jedinica), koji sadži 7 osnovnih veličina i njihovih jedinica, dok su sve ostale jedinice (jedinice ostalih fizičkih veličina) izvedene od osnovnih (iako imaju duge nazive, mogu se nedvosmisleno izaziti peko nekih od pomenutih sedam osnovnih jedinica). 8

5 Osnovne fizičke veličine: Fizičke veličine. SI sistem jedinica. naziv veličine najčešća oznaka veličine jedinica oznaka jedinice masa m kilogam kg dužina l, s, meta m veme t sekund s tempeatua T kelvin K jačina elektične stuje I ampe A jačina svetlosti J kandela cd količina supstance n mol mol 9 Fizičke veličine. SI sistem jedinica. m je dužina puta koju u vakuumu peđe svetlost za / deo sekunde. kgjemasa etalona u obliku cilinda visine 39 mm i pečnika 39 mm od legue 90% Pt - 0% I, koji se čuva u Međunaodnom biou za težine i mee u Sevu, Fancuska. sjeveme tajanja oscilacija elektona između dva hipefina nivoa u atomu Cs. K je temodinamička tempeatua koja je jednaka /73.6 delu temodinamičke tempeatue tojne tačke vode. Aje jačina vemenski stalne elektične stuje koja, polazeći koz dva pava, paalelna povodnika beskonačne dužine i zanemaljivog popečnog peseka, koja se nalaze u vakuumu na astojanju od m, pouzokuje između njih elektodinamičku (pivlačnu ili odbojnu) silu od 0 7 N po metu dužine. 0

6 Fizičke veličine. SI sistem jedinica. cdjesvetlosna jačina koju u odeđenom pavcu emituje izvo svetlosti u vidu monohomatskog začenja fekvencije Hz i čija je izačena snaga u tom pavcu /683 deo W po steadijanu. molje količina mateije sistema koji sadži toliko elementanih jedinki koliko ima atoma u 0.0 kg izotopa ugljenika C (Avogadov boj). Fizičke veličine Izvedene fizičke veličine - skup fizičkih veličina koje su funkcije osnovnih ili osnovnih i već izvedenih veličina, a dobijaju se na osnovu fomule ili elacije. Pimei: bzina vdx/ [m/s] ubzanje adv/ [m/s ], sila Fm a [Nkgm/s ], pitisak pf/s [PaN/m ] gadijent bzine dv/dz [s /s] koeficijent dinamičke viskoznosti ηf/(s (dv/dz)) [PasNs/m kg/sm] Mogu biti i bezdimenzione: apsolutni indeks pelamanja Poasonov boj nc/v μ(δd/d)/(δl/l) Izuzetak su jedinice za: ugao u avni [ad] postoni ugao [s]

7 Fizičke veličine Jedinice fizičkih veličinasevločesto ne koiste u svom osnovnom obliku, već višestuko umanjene ili uvećane. Milimeta, nanosekunda ili mikofaad su jedinice koje sadže pefikse mili-, nano- i miko- i pedstavljaju umnoške osnovne jedinice (meta, sekunda, Faad) zasnovane na azličitim eksponentima boja 0. ed veličine pefiks oznaka 0 piko- p 0 9 nano- n 0 6 miko- μ 0 3 mili- m 0 centi- c 0 deci- d ed veličine pefiks oznaka 0 deka- da 0 hekto- h 0 3 kilo- k 0 6 mega- M 0 9 giga- G 0 tea- T 3 KINEMATIKA Osnovni pojmovi kinematike Mehaničko ketanje tela je pomena položaja tog tela u odnosu na bilo koje dugo telo. Za odeđivanje položaja koiste se efeentni sistemi, najčešće Dekatov pavougli koodinatni sistem. Refeentni sistemi su vezani za posmatača događaja. Mogu se ketati (avnomeno ili ubzano) ili miovati. Refeentni sistemi koji miuju ili se avnomeno keću su tzv. inecijalni efeentni sistemi, a oni koji se ubzano keću nazivaju se neinecijalni efentni sistemi. 4

8 Osnovni pojmovi kinematike Vekto položaja je vekto koji spaja koodinatni početak i datu tačku, a usmeen je ka datoj tački. Mateijalna tačka je telo zanemaljivih dimenzija, ali konačne mase. U kinematici nas nanje inteesuju dimenzije poketnih tela, a više samo njihovo ketanje i veličine koje ga kaakteišu. Linija koju mateijalna tačka opisuje tokom ketanja (skup uzastopnih položaja) pedstavlja njenu putanju. Ili, to je skup tačaka koz koje polazi tokom svog ketanja. 5 Osnovni pojmovi kinematike Deo putanje Δs koji telo peđe za veme Δt između dvetačke (np. M im )jepeđeni put. To je astojanje između kajnjeg i početnog položaja tela meeno duž putanje. Δ Vekto pomeaja Δ s s s je vekto koji spaja početni i kajnji položaj tačke u ketanju. v Δ ( t + Δt) ( t) Svakoketanjesemožesmatatikao kombinacija tanslacije i otacije. Tanslacija svaka pava ili avan ostaje sama sebi paalelna. Rotacija - sve tačke se keću po koncentičnim kugovima čiji centi su na istoj pavoj - osa otacije. Δs 6

9 Vste ketanja. Bzina. Bzinom se, u opštem smislu, kaakteiše peđeni put u jedinici vemena. Sednja putna bzina je količnik ukupnog peđenog puta Δs za neko veme Δt i vemena ketanja Δt. Δs v s Δt Jedinica je [m/s]. Sednja vektoska bzina je količnik vektoa pomeaja i vemena u toku kojeg je pomeaj napavljen. v sv Δ ( t + Δt) ( t) Δt Δt Δs 7 Tenutna bzina Tenutna bzina (bzina poketne tačke u datom tenutku t) je sednja vektoska bzina u beskonačno malom intevalu vemena. Vekto tenutne bzine ima pavac tangente na putanju. Δ v, Δt 0 Δt Δ d v lim Δt 0 Δt Intenzitet tenutne bzine se, na osnovu činjenice da je dužina pomeaja jednaka peđenom putu Δs u slučaju da Δt 0, definiše kao: Δ Δs ds v v lim lim Δt 0 Δt Δt 0 Δt 8

10 9 Ubzanje Ubzanje je veličina koja kaakteiše pomenu bzine u jedinici vemena. Sednje ubzanje je količnik pomene bzine i vemenskog intevala u toku kojeg je ta pomena načinjena. Tenutno ubzanje je ganična vednost sednjeg ubzanja kada vemenski inteval Δt 0. Jedinica za ubzanje je [m/s ]. Vekto tenutnog ubzanja ima pavac vektoa pomene bzine. Intenzitet tenutnog ubzanja se definiše kao: t t v t t v a t t v v t v a s s Δ + Δ Δ Δ ) ( ) ( t v t v a t t v a t d d lim 0, 0 Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δv d d t a Δ Δ Δ Δ Δ Δ * 0 0 d d d d d d d d d d lim lim t t t t v a t v t v t v a a t t * Čita se: dugi izvod vektoa pomeaja po vemenu. 0 Ubzanje Ubzanje može biti pozitivno (vekto bzine i vekto ubzanja imaju isti sme) ili negativno (tzv. uspoenje vekto bzine i vekto ubzanja imaju supotne smeove). Ubzanje postoji i kada nema pomene intenziteta vektoa bzine. Dovoljno je da vekto bzine v menja pavac upostou.

11 Jednodimenzionalno (pavolinijsko) ketanje avnomeno ketanje Ketanje kod kojeg je putanja pava linija je pavolinijsko. Vektoi bzine i ubzanja (ako je a 0) se poklapaju sa pavcem ketanja, a intenziteti tenutnih ovih veličina su: ds dv d s v a Pavolinijsko ketanje može biti avnomeno ili pomenljivo (najjednostavniji slučaj: jednako-ubzano). Ravnomeno (unifomno) pavolinijsko ketanje je ono u kome se bzina ne menja ni po intenzitetu ni po pavcu utokuvemena.njenintenzitet je avan količniku peđenog puta i vemena. a 0 s v const. t Pavolinijsko ketanje avnomeno ketanje Zakon položaja je funkcija pomene položaja tela (mateijalne tačke) sa vemenom, xf(t). Uslučaju pavolinijskog avnomenog ketanja zakon položaja glasi *: x x + vt 0 ili posto (ako uzmemo da je početni položaj (kodinata) tela x 0 0): x vt * Kod pavolinijskog ketanja koodinatnu osu (ecimo x-osu) na kojoj se pati položaj tela usmeavamo duž pavca ketanja.

12 Pavolinijsko ketanje jednako-ubzano ketanje Ketanje po pavoj liniji pi kojem je ubzanje konstantno ( a const. ) je jednako-ubzano pavolinijsko ketanje. Ubzanje može biti pozitivno ili negativno (uspoenje; intenzitet bzine se smanjuje u toku vemena). Zakon bzine je funkcija koja pokazuje zavisnost bzine od vemena, vf(t). Za slučaj da je početna bzina (bzina u tenutku t0 s) v 0 0, zakon bzine glasi: v v + at 0 Zakon položaja uslučaju pavolinijskog jednako-ubzanog ketanja glasi: at x x0 + v0t + za x0 0 at x v0t + 3 Pavolinijsko ketanje jednako-ubzano ketanje Veza između kajnje i početne bzine i peđenog puta x je: v v + ax 0 Sednja bzina kod jednako-ubzanog pavolinijskog ketanja je: a const. v 0 + v v s v v + at 0 at x x0 + v0t + 4

13 Pimei pavolinijskog jednako-ubzanog ketanja Slobodno padanje Slobodno padanje je pavolinijsko (jednodimenzionalno) i jednako-ubzano ketanje tela u polju sile Zemljine teže bez početne bzine (v 0 0). Intenzitet ubzanja tela pibližno iznosi a g 9.8m/s i pod izvesnim uslovima se može smatati konstantnom veličinom (u blizini povšine Zemlje, uz zanemaivanje sile otpoa vazduha,...). Sme ubzanja je ka povšini Zemlje (tačnije ka centu Zemlje). Intenzitet bzine, položaj tela na vetikalnoj y- osiipeđeni put (ačunajući odmestagdesetelo pušta da slobodno pada): gt gt v gt y h s 5 Slobodno padanje Kada nema dugih uticaja, već deluje samo sila Zemljine teže na ubzanje tela, tada sva tela padaju jednako ako su istovemeno puštena da padaju, istovemeno i stižu do povšine. Bzina pi udau o zemlju pi slobodnom padu sa visine h: v gh 6

14 Vetikalni hitac Vetikalni hitac je jednodimenzionalno (pavolinijsko) i jednako-ubzano ketanje tela u polju sile Zemljine teže sa nekom početnom bzinom (v 0 0) telo je bačeno u vetikalnom pavcu (naviše ili naniže nekom početnom bzinom). Intenzitet ubzanja tela je takođe g 9.8m/s, a sme ubzanja je ka povšini Zemlje (tačnije ka centu Zemlje). Sme bzine, međutim, može biti i supotan od smea ubzanja kada se telo baca naviše (vetikalni hitac naviše), bzina je u početku usmeena u pozitivnom smeu y-ose duž koje se posmata položaj bačenog tela telo uspoava dok ne dostigne maksimalnu visinu, a zatim slobodno pada. Kod vetikalnog hica naniže, bzina tela i ubzanje uvek imaju isti sme. 7 v v + gt 0 Vetikalni hitac Zakon bzine, zakon položaja i peđeni put Hitac naniže gt y h v0t gt s v0t + Hitac naviše v v gt 0 gt y h + v0t U momentu pada na zemlju je y0; u najvišoj tački putanje je intenzitet bzine v0. gt s v0t Maksimalna visina koju dostiže telo u vetikalnom hicu naviše: v0 H h + g 8

15 Dvodimenzionalno (kivolinijsko) ketanje u polju sile Zemljine teže Hoizontalni hitac Hoizontalni hitac je dvodimenzionalno (kivolinijsko) i složeno ketanje tela u polju sile Zemljine teže sa nekom početnom bzinom (v 0 0) telo je bačeno u hoizontalnom pavcu sa neke visine. U slučaju dvodimenzionalnog ketanja (po kivolinijskoj putanji), bzina tela se u svakom momentu može azložiti na dve komponente duž x- i duž y-ose koodinatnog sistema vezanog za posmatača (obično je to Zemljina povšina). 9 Hoizontalni hitac Ketanje duž x-ose je avnomeno bzina je konstantna. Ketanje duž y-ose je jednako-ubzano bzina aste (slobodno padanje; ubzanje je g). v v v x 0 y gt x v t 0 gt y h * h je visina sa koje je bačeno telo po putanji hoizontalnog hica. 30

16 Hoizontalni hitac Putanja je paabola. Zakon (jednačina) putanje, (zavisnost y-koodinate položaja tela koje se keće po putanji hoizontalnog hica od x-koodinate): gx y h v 0 U momentu pada na zemlju je y0 domet x D, bzina v D, ugao putanje α D. v + v x v y h x D v0 g 3 Kosi hitac Kosi hitac je dvodimenzionalno (kivolinijsko) i složeno ketanje tela upolju sile Zemljine teže sa nekom početnom bzinom (v 0 0) telojebačeno pod nekim uglom u odnosu na hoizontalni pavac. Ketanje se može opisati kao supepozicija dva ketanja duž x-iy-koodinatne ose. Duž x-ose ketanje je avnomeno bzina je konstantna. Duž y-ose ketanje je jednako-pomenljivo ako je ugao izbacivanja pozitivan (vetikalni hitac naviše), bzina duž y-ose pvo opada, a nakon dostizanja maksimalne visine, bzina menja sme i aste po intenzitetu; u slučaju negativnog ugla, bzina duž y- ose stalno aste, kao kod slobodnog padanja. 3

17 Putanja je paabola. Vemenska pomena komponenti bzina i koodinata tela: Kosi hitac v x v 0 x v x v 0 cosα v y v 0 y gt v y v sin α gt 0 x v t 0x x v t cosα 0 y y 0 + v 0 y gt t gt y y0 + v0t sin α Zakon (jednačina) putanje yf(x) ima oblik: * y 0 je visina sa koje je bačeno telo po putanji kosog hica. y y0 + x tgα v 0 g cos x α 33 Kosi hitac U najvišoj tački putanje je v y 0 (vv x ) maksimalna visina y max. Pod uslovom da je y 0 0: y max v0 sin g α U momentu pada na zemlju je y0 domet x D, bzina v D, ugao putanje α D : x D v0 sin α g Domet zavisi od početne bzine tela (v 0 )i od ugla α pod kojim je ispaljen pojektil po putanji kosog hica. * Petpostavlja se da je otpo vazduha zanemaljiv. 34

18 Kinematika otacionog ketanja. Kužno ketanje. Položaj mateijalne tačke pi ketanju po kužnici dat je adijus-vektoom, koji polazi od centa kužne putanje, a zavšava na mestu mateijalne tačke. Ugaoni pomeaj Δθ je ugao između početnog (θ 0 ) i kajnjeg (θ) položaja adijus-vektoa. Uglovi se izažavaju u adijanima (ad). Ugaoni pomeaj Δθ je vekto čiji pavac se poklapa sa pavcem ose otacije, a sme je odeđen pavilom desnog zavtnja. θ [ad] s Δs Δθ θ Δθ θ θ 0 Δt t t 0 θ 0 * Ugao od ad je onaj za koji je odgovaajuća dužina luka na kužnici jednaka njenom polupečniku (s), θs/ ad. 35 Ugaona bzina ω Sednja ugaona bzina ω s je količnik ugaonog pomeaja i vemena u toku kojeg je taj ugao opisan. Jedinica je [ad/s]. Tenutna ugaona bzina ω je jednaka sednjoj ugaonoj bzini kada vemenski inteval Δt 0. Ugaona bzina je pozitivna, ako se θ povećava, a negativna, ako se θ smanjuje. Ugaona bzina je vekto čiji se pavac poklapa sa pavcem ose otacije nomalan je na avan otacije. Sme vektoa je odeđen pavilom desnog zavtnja. Δθ ωs Δt Δθ dθ ω lim Δt 0 Δt 36

19 Ugaono ubzanje α Ugaono ubzanje je posledica ubzanog ketanja mateijalne tačke po kužnici (povećanje ili smanjenje intenziteta peifene bzine v), odnosno pomene intenziteta ugaone bzine ω. Sednje ugaono ubzanje α s je količnik pomene ugaone bzine i vemenskog intevala u toku kojeg je došlo do te pomene. Jedinica je [ad/s ] ili samo [s ]. α s Δω Δt Δω dω α lim Δt 0 Δt d θ α Tenutno ugaono ubzanje α je sednje ugaono ubzanje za ganičan slučaj kada Δt 0. Ugaono ubzanje α je vekto čiji se pavac poklapa sa pavcem ose otacije, dakle nomalan je na avan kužnice i kolineaan sa vektoom ugaone bzine ω. 37 Veza između lineanih i ugaonih veličina Veza između intenziteta peifene bzine v ketanja mateijalne tačke (tela) po kužnici i intenziteta ugaone bzine ω adijus vektoa te mateijalne tačke: ω Δs / Δs t Δt Δt Δθ Δ v v ω v v ω Vekto peifene bzine leži u avni kužnice, kao i adijus-vekto, a vekto ugaone bzine ω v je nomalan na avan kužnice. 38

20 Veza između lineanih i ugaonih veličina Slično tome, veza između intenziteta ubzanja a mateijalne tačke koja se keće po kužnici (dakle, peifena bzina v se menja po intenzitetu) i intenziteta ugaonog ubzanja α dobija se na sledeći način: Δv Δω Δω aτ α Δt Δt Δt a τ α Pošto je ubzanje ovde posledica pomene intenziteta peifene bzine, vektoove veličine ( a τ ) ima pavac tangente na kužnu putanju (kao i peifena bzina) iztog azloga nosi naziv tangencijalno ubzanje. Oznaka a τ ističe da ovo ubzanje teba azlikovati od tzv. nomalnog (centipetalnog ubzanja) koje je posledica pomene pavca peifene bzine. dv aτ v o * v o je jedinični vekto peifene bzine. 39 Kivolinijsko ketanje. Kužno ketanje. Svako kivolinijsko ketanje se može pedstaviti kao ketanje po kužnici, pičemu se polupečnik kužnice menja u toku ketanja. Položaj mateijalne tačke pi ketanju po kužnici je dat adijus-vektoom. Svako kivolinijsko ketanje je i ubzano ketanje, je se bzina menja baem po pavcu. 40

21 Nomalno i tangencijalno ubzanje kod kužnog ketanja U opštem slučaju, vekto ubzanja ima dve komponente: nomalno (centipetalno) ubzanje, koje je nomalno na tangentu u posmatanoj tački, i tangencijalno ubzanje, koje ima pavac tangente na putanju. Kod avnomenog kivolinijskog ketanja (intenzitet bzine se ne menja, već samo pavac) vekto ubzanja ima pavac nomalan na tangentu putanje, tj. usmeen je ka centu kivine putanje i adi se o nomalnom (centipetalnom) ubzanju. 4 Ravnomeno (unifomno) kužno ketanje Peifena bzina v ima stalan intenzitet, vconst. Ugaona bzina ω takođe ima konstantni intenzitet, ωconst. v s t θ ω t pun kug θ π ad π ω πν T ν T Ravnomeno kužno ketanje je peiodično, a peiod otacije T je veme potebno da adijusvekto opiše pun kug od π ad. Fekvencija ili učestanost obtanja ν (ili f) obnuto je sazmena peiodu obtanja T. 4

22 Ravnomeno kužno ketanje Zbog nepekidne pomene pavca bzine v, postoji nomalno ubzanje intenziteta a n, usmeeno uvek ka centu otacije, supotno od adijus vektoa. Na osnovu sličnosti touglova i definicije nomalnog ubzanja a n ipeifene bzine v,sledi: Δv Δ v Δv a Δt v Δv Δ Δ v Δt Δv Δt v Δ Δt Intenzitet nomalnog ubzanja: v n v ω a n ω a n 0 v Vekto nomalnog ubzanja: 43 Jednako-ubzano kužno ketanje Ako se menja i intenzitet bzine, a ne samo pavac, pomena bzine ima dve komponente, a takođe iubzanje koje je opisuje: Δv Δv n + Δv a a + a n τ τ Pomena bzine u pavcu nomale (bzina pomene pavca) definiše nomalno ubzanje, a u pavcu tangente (bzina pomene intenziteta) - tangencijalno ubzanje. 44

23 Jednako-ubzano kužno ketanje Najpostiji oblik neavnomenog kužnog ketanja je jednako-ubzano (ili jednako-uspoeno) ketanje u toku kojeg se, poed pavca, iintenzitet peifene bzine (pa tako i ugaone bzine) menjaju pavilno u toku vemena. Dugim ečima, tangencijalno ubzanje a τ ima konstantni intenzitet. Tangencijalno ubzanje a τ je vekto kolineaan tangenti na kužnicu. dv d( ω ) dω aτ a a n + aτ a an + a τ a τ α dv aτ v o * v o je jedinični vekto peifene bzine. v a + ( α) Ketanje po kivoj liniji je, paktično, stalno ketanje po kužnim putanjama, čiji se polupečnici stalno menjaju, a takođe ibzina i ubzanja tela koje se keće. 45 Jednako-ubzano kužno ketanje Pi jednako-ubzanom kužnom ketanju mogu se definisati izazi analogni onim kod jednako-ubzanog pavolinijskog ketanja. ω ω0 ± α t v v ± at 0 αt θ θ0 + ω0 t ± at x x0 + v0 t ± ω ω ± α θ 0 v v ± a x 0 46

24 Dinamika. Sila, masa i količina ketanja. Dinamika je deo mehanike koji se bavi uzocima pomene ketanja tela. Inetnost je piodna tendencija tela da ostane u stanju miovanja ili avnomenog ketanja popavoj linijiiji i jd jedna je od osnovnih osobina tela. Masa tela je kvantitativna mea inetnosti. Inecija se odnosi na miovanje ili ketanje tela bez obzia na njihovu masu, a inetnost je opianje pomeni stanja ketanja. Bzina je osnovna kinematička veličina koja kaakteiše telo u ketanju. Pi pomeni bzine dolazi do izažaja inecija tela, pa se masa, kao njena mea, i bzina javljaju zajedno u novoj, kompleksnijoj veličini koja bolje opisuje ketanje. To je količina ketanja k skalani poizvod mase i bzine tela (jedinica za količinu ketanja je [kgm/s]): k m v 47 Sila, masa i količina ketanja. Do pomene stanja ketanja (bzine) može doći samopiinteakciji tela sa dugim telima. Sila (jedinica je Njutn, [N]) je kvantitativna mea inteakcije (međusobnog delovanja) tela tj izažava intenzitet inteakcije (međusobnog delovanja) tela, tj. izažava intenzitet inteakcije. Sile mogu biti kontaktne, kadapi inteakciji postoji dodi između tela, i bezkontaktne, kadaseinteakcija ostvauje na daljinu, tj. putem fizičkog polja (gavitaciona, elektična, magnetna, jaka ili slaba nukleana sila). 48

25 Njutnovi zakoni ketanja I Njutnov zakon Slika pikazuje azličit uticaj sile tenja na ketanje istog tela po azličitim podlogama postoji, dakle, inteakcija između kotljajućeg tela i podloge podloga utiče na pomenu stanja ketanja. I Njutnov zakon - zakon inecije Svako telo zadžava stanje miovanja ili avnomenog pavolinijskog ketanja sve dok dugo telo svojim delovanjem to stanje ne pomeni, tj. dok ne inteaguje sa dugim telom. * Isak Njutn, engleski fiziča i matematiča (64-77). 49 Matematički izaz I Njutnovog zakona Ukoliko je : F 0 a 0 v const. mv const. U odsustvu spoljašnjih sila, a kada se vši posmatanje u inecijalnom efeentnom sistemu, telo koje miuje ostaje u stanju miovanja, a telo koje se keće nastavlja ketanje sa konstantnom bzinom i to po pavoj liniji (nepomenjena količina ketanja). Ovaj zakon važi samo u tzv. inecijalnim efeentnim sistemima, koji ili miuju ili se avnomeno keću po pavoj liniji. * Inecijalni efeentni sistem je koodinatni sistem u kojem se ili u odnosu na koji se posmata ketanje nekog tela. ** Postoje neinecijalni efeentni sistemi koji se keću ubzano itelačije se ketanje posmata u takvim sistemima tpe delovanje dodatnih (fiktivnih) tzv. inecijalnih sila, koji su posledica neavnomenog ketanja efeentnog sistema. 50

26 II Njutnov zakon - osnovni zakon dinamike Akonatelomasem deluje spoljašnja sila F, ubzanje a koje pi tome telo dobija diektno je sazmeno (ezultantnoj) sili koja na njega deluje, a obnuto sazmeno masi. F a F ma F ma m Bzina pomene količine ketanja tela popocionalna je sili koja na njega deluje i vši se u pavcu sile. d d v Sila nije uzok ketanja tela, već je uzok F ( mv) m ma pomeni stanja ketanja, koja se mei ubzanjem ona menja količinu ketanja tela. Masa u ovim izazima je inecijalna masa i pedstavlja meu odupianja tela pomeni stanja ketanja ona je kvantitativna mea inetnosti tela. 5 III Njutnov zakon - zakon akcije i eakcije F m a F F ma Ako jedno telo deluje na dugo nekom silom, onda i dugo telo deluje na pvo silom istog intenziteta i pavca, a supotnog smea. Svako delovanje (akcija) stvaa uvek supotno po smeu i jednako po intenzitetu potivdelovanje (eakciju), tj. delovanja dva tela jedno na dugo su jednaka i supotnog smea. 5

27 Neki tipovi sila u mehanici Gavitaciona sila Silapotiska Sila nomalne eakcije podloge Sila zatezanja Elastična sila opuge Sila tenja 53 Gavitaciona sila. Njutnov zakon univezalne gavitacije. Kepleovi zakoni. I Kepleov zakon: planete se keću oko Sunca po eliptičnim putanjama u čijoj zajedničkoj žiži je Sunce. II Kepleov zakon: adijus-vekto bilo koje planete za isto veme pebiše istu povšinu sektoska bzina planete je konstantna. ΔS const. Δt III Kepleov zakon: odnos kvadata peioda obilaska planeta oko Sunca i tećeg stepena sednjeg astojanja (ili duže poluose) od Sunca je konstantna veličina. * Johanes Keple (57-630), * Isak Njutn (64-77) T a 3 const. 54

28 Njutnov zakon gavitacije (686.) Na osnovu ezultata astonomskih posmatanja J. Keplea, Njutn je petpostavio postojanje pivlačne sile između Sunca i planeta koja zakivljuje njihovu putanju i koja je usmeena pema izvou delovanja sile (Suncu). Njutn je takođe petpostavio (adi jednostavnosti) da se planete keću po pibližno kužnim putanjama, polupečnika R. Ubzanje koje ima planeta usled sile koja zakivljuje njenu putanju je nomalno (centipetalno) ubzanje a n. Rπ 3 4π T T k R v v k R F ma n v 4π m R k m R m M Sm k γ R R Sila koja odžava planete na njihovoj putanji zavisi od mase Sunca M S i od mase planete m. 55 Njutnov zakon gavitacije (686.) Svoje zaključke o sili pivlačenja između Sunca i planeta Njutn je uopštio na sva mateijalna tela, tj. ona koja imaju osobinu mase. Zakon univezalne gavitacije: Bilo koje dve mateijalne tačke međusobno se pivlače gavitacionom silom: pavac te sile polazi koz mateijalne tačke, intenzitet je sazmean masama mateijalnih tačaka, a obnuto sazmean kvadatu astojanja između njih. F m m m m γ F γ o γ Nm kg γ - gavitaciona konstanta o -jedinični vekto usmeen od m ka m 56

29 Težina tela Težina Q nekog objekta na ili iznad povšine Zemlje (ili iznad nekog dugog svemiskog tela) je sila kojom telo deluje na hoizontalnu podlogu na koju je postavljeno, odnosno sila kojom telo zateže konopac o koji je okačeno da visi. Težina tela je mea gavitacione sile kojom Zemlja (ili dato svemisko tl) telo) deluje na objekat. m M Q γ Z Izaz za težinu na osnovu II Njutnovog zakona dinamike (gde su sila i ubzanje sazmeni) ima oblik: R Z - na povšini Zemlje R Z +h -na visini iiihh iznad Q mg povšine Zemlje 57 Težina tela U slučaju da se zanemai otacija Zemlje i njena nehomogenost i odstupanje od pavilnog sfenog oblika, težina Q objekta mase m na povšini Zemlje (ili blizu povšine, R Z ) jednaka je gavitacionoj sili: Iz II Njutnovog zakona m M Z Q γ R Z Q mg M g γ R Z Z Ubzanje g sile Zemljine teže na njenoj povšini. Ono opada sa povećanjem astojanja j od centa Zemlje. VAŽNO: Sila Zemljine teže (gavitaciono pivlačenje od stane Zemlje) deluje na telo, a težina tela deluje na podlogu (ili na neko dugo telo). 58

30 Sila nomalne eakcije podloge - nomalna sila F N U mnogim situacijama telo je u kontaktu sa nekom podlogom (povšinom), a sila eakcije povšine na silu težine kojom telo pitiska podlogu je upavo nomalna sila F N. Tačnije, komponenta sile eakcije podloge koja je nomalna na povšinu pedstavlja nomalnu silu F N. 59 Sila nomalne eakcije podloge - nomalna sila F N Telo na stmoj avni (slučaj ketanja bez pisutne sile tenja između tela i stme avni). Za poučavanje ketanja tela po stmoj avni pavi se dijagam sila u kome se sile i njihove komponente pedstavljaju u x-y koodinatnom sistemu. 60

31 Sila tenja Tenje je posledica delovanja međumolekulanih sila između dodinih povšina tela i podloge na kojoj se telo nalazi (spoljašnje tenje), ili između sastavnih delova unuta nekog sistema (unutašnje tenje). Sila tenja deluje na dodinoj povšini između tela i usmeena je nasupot smeu ketanja tl tela uodnosu na povšinu. U opštem slučaju, postoji statička sila tenja (tenje miovanja), i kinetička sila tenja (ona se još deli na tenje klizanja i tenje kotljanja). Sila tenja kotljanja je znatno slabija od sile tenja klizanja. 6 Statička sila tenja (tenje miovanja) Sila tenja miovanja jednaka je po intenzitetu i pavcu, asupotna po smeu (u odnosu na moguće ketanje) ezultantnoj spoljašnjoj sili koja deluje na telo u pavcu paalelnom podlozi. Statička sila tenja F s može imati vednosti od 0 do neke maksimalne max vednosti F. F s F F s max s μ Maksimalna vednost statičke sile tenja je sazmena sili nomalne eakcije podloge F N na kojoj se telo nalazi. μ s koeficijent statičkog tenja (zavisi od piode dodinihdi ihpovšina) F N nomalna sila, kojom podloga deluje na povšinu tela sa kojim je u kontaktu i zaklapa pav ugao sa povšinom s F N max F s 6

32 Kinetička sila tenja (tenje klizanja) Kinetička sila tenja deluje u pavcu tangente na dodinu povšinu između tela i podloge po kojoj se keće i uvek je usmeena nasupot elativnoj bzini tela. Pod odeđenim uslovima, pibližno važi sledeće: nezavisna je od veličine dodine povšine između tela i podloge; nezavisna je od bzine ketanja (klizanja), ukoliko je bzina mala; popocionalna je veličini nomalne sile F N. Po intenzitetu je nešto manja od maksimalne sile statičkog tenja. F k μk F μ N k koeficijent kinetičkog tenja (zavisi od piode dodinih povšina). F N nomalna sila *, kojom podloga deluje na povšinu tela sa kojim je u kontaktu i zaklapa pav ugao sa povšinom. * Na gafiku je nomalna sila F N obeležena sa N. 63 Kinetička sila tenja (tenje klizanja) U oblasti statičkog tenja sa poastom vučne sile F povećava se i statička sila tenja sve do neke maksimalne vednosti f s,max, nakon čega telo počinje svoje ketanje, a na njega deluje sada kinetička sila tenja (nešto manja po vednosti od f s,max ) oblast kinetičkog tenja. 64

33 Sila elastičnosti. Elastičnost čvstih tela Svako telo pod uticajem spoljašnjih dejstava, osim položaja, menja i svoj oblik. Sila elastičnosti tela deluje unuta njih i teži da vati defomisanim telima pvobitni oblik. Elastične sile u telima su posledica međuatomskih sila pod uticajem spoljašnjih sila menjaju se međusobna astojanja i položaji atoma, a međuatomske sile se tome supotstavljaju. Teoijski, postoje savšeno elastična i savšeno plastična tela. Elastična defomacija se ispoljava u dva osnovna oblika: kao defomacija istezanja i defomacija smicanja. Elastična defomacija istezanja Istezanje (ili sabijanje) nastaje pi nomalnom delovanju sile na povšinu. Napon je količnik sile i povšine na koju ta sila deluje: F σ S 65 Elastična defomacija istezanja Hukov zakon elastične defomacije istezanja povezuje napon sile i elativnu defomaciju izduženja: E - Jangov modul elastičnosti F S Δl E l U izvesnim ganicama važi: F k Δl Ganica do koje važi Hukov zakon je ganica popocionalnosti, aganica do koje telo još uvek ne ostaje tajno defomisano je ganica elastičnosti. 66

34 Zapeminska elastična defomacija U fizici mateijala se može zapaziti da se defomacija na pedmetu dešava ne samo kod jedne njegove dimenzije, već ceo pedmet tpi dimenzionalne pomene. Iz tog azloga se elastične osobine mateijala od kojeg je načinjen neki pedmet izažavaju peko koeficijenta stišljivosti K ili peko zapeminskog koeficijenta (modula) elastičnosti B. Zapeminski koeficijent elastičnost B je koeficijent popocionalnosti koji povezuje pomenu (povećanje) pitiska Δp kojisevšisasvihstanana pedmet i elativnu pomenu (smanjenje) j zapemine izazvanu datom pomenom pitiska. ΔF S ΔV Δp B V Znak je zbog smanjenja zapemine. Recipočna vednost zapeminskog modula elastičnosti je stišljivost K. K B 67 Elastična defomacija smicanja Smicanje je oblik defomacije koji nastaje pi tangencijalnom delovanju sile na povšinu tela. 68

35 Elastična defomacija smicanja Tangencijalna sila izaziva pomeanje (smicanje) slojeva (atomskih avni) u čvstom telu jednih u odnosu na duge za neki mali iznos, a ukupan efekat delovanja sile je odstupanje gonje ivice pedmeta za Δx u odnosu na pvobitni položaj. Relativna defomacija se izažava peko ugla α (tgα α), koji pedstavlja odnos apsolutnog pomeanja gonje ivice pedmeta i dimenzija defomisanog pedmeta: Δx α l Hukov zakon elastične defomacije smicanja: G - modul smicanja F S Δx G l 69 Sile kod kužnog ketanja - centipetalna sila Pilikom ketanja po kužnici, tela se keću ubzano - njihova bzina se svakako menja po pavcu,amožeipointenzitetu. Pi avnomenom ketanju po kužnici, tela kaakteiše samo nomalno ubzanje a n - posledica pomene pavca bzine. Pema II Njutnovom zakonu, ako se tela ubzavaju, znači dananjihdelujeneka sila F koja je uzočnik pomene stanja ketanja (koje se opisuje vektoom količine ketanja k ), tj. koja je uzok pome- nutog ubzanja. a n v ω 70

36 Sile kod kužnog ketanja - centipetalna sila Sila koja uzokuje nomalno (centipetalno) ubzanje i zakivljuje putanju tela naziva se centipetalna sila F c (gavitaciona kod planeta, sila zatezanja kanapa, ). Centipetalna sila je uvek usmeena ka centu kužne putanje tela. F c mv F c mv o 7 Sile kod kužnog ketanja - centifugalna sila Pema III Njutnovom zakonu (akcije i eakcije), tela koja se keću po zakivljenoj putanji osećaju, poed delovanja centipetalne, i dejstvo sile eakcije na nju, koja je istog intenziteta i pavca, a supotnog smea - to je centifugalna sila F cf. mv F cf mv F cf o Centifugalna sila je avnotežna sila centipetalnoj i omogućavadatelo ostane na zakivljenoj putanji tokom svog ketanja. 7

37 Sile kod kužnog ketanja tangencijalna sila Pi neavnomenom ketanju po kužnici, osim centipetalne sile F cp koja zakivljuje putanju tela i uzokuje centipetalno ubzanje a n (tj. pomenu pavca bzine), moa postojati i tangencijalna sila F τ koja uzokuje pomenu intenziteta peifene bzine (tj. tangencijalno ubzanje a τ ). F F + F cp a a + a n τ τ Vektoski zbi centipetalne i tangencijalne sile daje ukupnu silu F koja deluje na telo koje se neavnomeno keće po kužnoj putanji. 73 Rad i enegija Ako na telo duž puta njegovog pomeanja deluje sila konstantnog intenziteta, pavca i smea, ukupan ad te sile pilikom pomeanja tela je poizvod peđenog puta tela i komponente sile paalelne sa putem (tzv. aktivna komponenta sile). Ako se pavac sile ne poklapa sa pavcem po- meanja tela, već zaklapa ugao θ sa njim, samo komponenta sile F koja ima pavac pomeanja tela (F x ) može všiti ad. F F sin θ y (komponenta koja ne vši ad) A F Δx F const. F F cosθ x (aktivna komponenta) 74

38 Rad i enegija Rad je skalana veličina, skalani poizvod vektoa sile F i vektoa peđenog puta Δx koji telo pi tome pelazi. Jedinica za ad je džul ([J][Nm]). A F Δ x F Δ x cos θ θ ( F, Δx) Ako na telo deluje sila pod oštim (tupim) uglom u odnosu na pavac duž kog se keće telo, ad sile je pozitivan (negativan). Ako sila deluje pod pavim uglom u odnosu na pavac ketanja, ili ako telo miuje, ad sile je jednak nuli. 75 Rad i enegija Ako sila nije konstantna po intenzitetu, već se menja duž puta pomeanja, ad se izažava u difeencijalnom obliku, a njegova ukupna vednost se nalazi peko integalnog ačuna (sabianjem dopinosa ukupnom adu na beskonačno malim delovima puta) to je povšina ispod kive zavisnosti Ff(x). da ( F cosθ) dx A da x x F cosθdx elementani ad duž puta dx Ako se osim intenziteta menja i sme sile tokom pomeanja tela duž puta Δx, neophodno je poznavati i sme sile kao funkciju pomeaja Ff(α(x)), što komplikuje integaciju, tj. nalaženje izvšenog ada. 76

39 Enegija Fizička veličina koja kaakteiše sposobnost tela, ili sistema tela da izvše ad naziva se enegijom. Iz toga poizilazi činjenica: ad je poces kojim se vši penošenjeenegijemeđu gj telima. ΔE E f E i A Razlika između kajnjeg i početnog stanja tela u pogledu sadžaja enegije (ΔE) jednaka je adu A izvšenom pilikom pomene tog stanja. Enegija je veličina kj koja kaakteišekt stanje tl tela, dkj dok je ad veličina koja kaakteiše pomenu tog stanja. Jedinica za enegiju je džul ([J]). Kaže se da telo poseduje enegiju, a ad je poces penosa ili petvaanja jednog oblika enegije u dugi. 77 Kinetička enegija Pime: pomeanje tela po hoizontalnoj avni bez tenja pod uticajem neke ezultantne sile F koja izaziva pomenu stanja ketanja (količine ketanja ΔkmΔv), tj. pomenu intenziteta bzine od neke vednosti v do vednosti v. A x x F dx d v d v d x d v F ma m m mv dx dx A x x dv mv dx m dx v v v v mv v dv m mv Kinetička enegija gj tanslatonog ketanja: mv E k Kinetička enegija tela pi njegovom tanslatonom ketanju sazmena je masi m tela i kvadatu njegove bzine v. 78

40 Teoema o adu i enegiji: Kinetička enegija Kada spoljašnja sila F vši ad A nad nekim telom, pi čemu se menja samo intenzitet bzine ketanja tela, njegova kinetička enegija E k se menja, a ta pomena je upavo jednaka adu. Rad A sile F na pomeanju nekog tela je azlika između početne i kajnje kinetičke enegije E k tela. A E k E k mv mv A ΔE k Teoema o adu i enegiji ukazuje na to da će se intenzitet bzine tela povećati ako je izvšen ad nad telom od stane spoljašnjih sila pozitivan, je je u tom slučaju kajnja kinetička enegija tela veća od početne. Nasupot tome, intenzitet bzine tela se smanjuje, ako je izvšeni ad nad telom negativan. 79 Potencijalna enegija Potencijalna enegija je dugi oblik enegije koji može posedovati telo, ali samo ako je ono sastavni deo nekog sistema tela. Pod sistemom tela se podazumeva skup od dva ili više tela koja mogu međusobno inteagovati, delovati jedno na dugo nekom silom. Ako dva tela u sistemu međusobno inteaguju putem sile, tada ad koji izvši sila pi delovanju jednog tela na dugo uzokuje petvaanje kinetičke (ili nekih dugih oblika) enegije koju poseduju tela u duge oblike enegije. Ako semenja međusobni aspoed tela u posmatanom sistemu menja se i njihova potencijalna enegija. Potencijalna enegija je, dakle, pojam vezan za sistem tela zato što zavisi od fizičkog položaja jednog tela u odnosu na dugo. 80

41 Potencijalna enegija U opštem slučaju: Potencijalna enegija pedstavlja sposobnost tela da izvši ad zahvaljujući položaju u kome se nalazi. To je ad koji telo akumulia dospevajući u neku tačku polja sila To je ad koji telo akumulia dospevajući u neku tačku polja sila. Postoje i sistemi u kojima je jedno telo znatno masivnije od dugih, tako da se može smatati da miuje (tj. njegova kinetička enegija se zanemauje), a da se ukupna kinetička sistema odnosi na peostala tela u sistemu. Np. ako u sistemu planeta Zemlja lopta lopta pada na povšinu, tada se smata da jedino lopta poseduje kinetičku enegiju. 8 Gavitaciona potencijalna enegija PRIMER: U sistemu Zemlja lopta izvši se ad nad loptom pi njenom pomeanju sa visine y a u odnosu na povšinu Zemlje na veću visinu y b. Pošto je lopta miovala i pe i nakon izvšenog ada nad njom, ne dolazi do pomene njene kinetičke enegije, već se adi o pomeni nekog dugog oblika enegije usled pomene položaja. Kada se lopta pusti na visini y b, ona slobodno pada ka povšini Zemlje (ka položaju y a ) pod uticajem gavitacione sile pivlačenja od stane Zemlje. Dakle, u položaju na visini y b lopta poseduje mogućnost (potencijal) da pomeni svoje stanje ketanja, tj. da pomeni svoju kinetičkuenegiju. ij y b y a 8

42 Gavitaciona potencijalna enegija Pilikom slobodnog padanja sa visine y b, jedina sila koja deluje na loptu je gavitaciona sila (jednaka sili težine), i to u pavcu ketanja ka mestu na visini y a. Pi tome se, usled pomene položaja u gavitacionom polju Zemlje, pomenila (smanjila) ipotencijalna enegija lopte, dok se kinetička enegija povećala (bzina lopte aste). Rad A koji je izvšila gavitaciona sila Zemlje (njen intenzitet iznosi Fmg) na pivlačenju (pemeštanju) lopte za astojanje hy b y a jednak je smanjenju potencijalne enegije za iznos ΔE p mgh. F mg A ( mg cos0 )( y y h y y A mgh b a ) A E E ΔE b a ( pa pb ) p y b y a Isti ad se izvši i kada se telo težine Qmg podigne sa mestanavisiniy a na visinu y b, čime se poveća njegova gavitaciona potencijalna enegija za iznos ΔE p mgh. 83 Gavitaciona potencijalna enegija Gavitaciona potencijalna enegija enegija koju poseduje telo mase m kada se nalazi u gavitacionom polju dugog tela. Pošto je gavitaciona sila najslabija od osnovnih inteakcija u piodi, i gavitaciona i potencijalna enegija nekog tl tela ima značajč samo ako se ono nalazi u jakom gavitacionom polju polju nekog masivnog nebeskog tela, kao što je Zemlja. U opštem slučaju: Gavitaciona potencijalna enegija koju poseduje neko telo u gavitacionom polju Zemlje je ad (E p A) kojinatelumasem izvši Zemljino gavitaciono polje pivlačeći gaizbeskonačnosti uneku tačku na astojanju od centa Zemlje. 84

43 Gavitaciona potencijalna enegija Uobičajeno je, međutim, da se vednost gavitacione potencijalne enegije koju tela poseduju u Zemljinom gavitacionom polju ačuna u odnosu na neki efeentni (nulti) nivo položaj u kome se (pema sopstvenom izbou) smata da je potencijalna enegija tela jednaka nuli. E p mgh Vednost gavitacione potencijalne enegije u nekom položaju tela u polju gavitacije, dakle, zavisi od izboa efeentnog (nultog) nivoa. Sa duge stane, ad gavitacione sile (sile Zemljine teže) ne zavisi od izboa efeentnog (nultog) nivoa potencijalne enegije. 85 Konzevativna i nekonzevativna polja Izvšen ad na pomeanju tela u gavitacionom polju ne zavisi od oblika putanje, već samo od početne i kajnje tačke položaja tela u tom polju, tj. od njihove visinske azlike (vetikalnog astojanja). y b A mg( y ) b ya y a Sva polja sila u kojima izvšen ad sile zavisi samo od početnog i kajnjeg položaja tela (a ne i od oblika putanje) su konzevativna (potencijalna) polja. Sila je konzevativna (potencijalna), ako njen ad na pomeanju tela zavisi samo od početnog i kajnjeg položaja tela u polju sila, a ne i od oblika putanje duž koje se vši pomeanje 86

44 Konzevativne i nekonzevativne sile Rad konzevativnih sila na pomeanju tela po zatvoenoj putanji jednak je nuli,jesepočetni i kajnji položaj tela poklapaju. U ealnim situacijama, na tela simultano deluju i konzevativne sile (kao sila gavitacije) i nekonzevativne sile (kinetička sila tenja, otpo vazduha, ), čiji se ad delimično petvaa u duge oblike. Nekonzevativne sile uzokuju pomenu mehaničke enegije sistema. 87 Potencijalna enegija defomisane opuge Potencijalna enegija elastične defomacije Defomisana opuga sposobna je da izvši ad na ačun elastičnih sila F e koje teže da je vate u pvobitno stanje, a koje su posledica spoljašnjih sila F i koje su dovele do defomacije. Pema Hukovom zakonu, veličina izduženja (sabijanja) opuge x je sazmena spoljašnjoj sili F i koja je izazvala defomaciju. kx F i Supotno spoljašnjoj sili F i usmeena je elastična (estituciona) sila F e koja se javlja u defomisa- noj opuzi i ona je uvek supotnog smea od smea poasta defomacije x. F ( x) F kx e i k je koeficijent elastičnosti opuge, zavisi od mateijala i oblika. 88

45 0 Potencijalna enegija defomisane opuge U defomisanom stanju opuga poseduje izvesnu potencijalnu enegiju sposobna je da pod uticajem elastičnih sila izvši neki ad pilikom vaćanja u nedefomisani oblik. 0 x A Fe dx k x dx k a A ( E E ) p p a ΔE p 0 a a k a 0 k Pi všenju ada, elastična sila smanjuje potencijalnu enegiju defomisane opuge za iznos ΔE p ka / i menja se stanje ketanja opuge (povećava kinetička enegija) vši se petvaanje enegije iz jednog u dugi oblik. Rad je, u ovom slučaju, pozitivan, je sila deluje u smeu pomeanja tela. 89 Potencijalna enegija defomisane opuge Nakon polaska koz avnotežni položaj (x0), sistem opuga-telo nastavlja ketanje, a elastična sila ga uspoava. Smanjenje kinetičke enegija odgovaa povećanju elastične potencijalne enegije opuge. Rad je, u ovom slučaju, negativan, je elastična sila ima supotan sme od smea ketanja tela. U opštem slučaju, potencijalna enegija defomisane opuge je: x E p k 90

46 Zakon odžanja enegije Zakon odžanja mehaničke enegije Ukupna mehanička enegija E (kinetička i potencijalna) zatvoenog (izolovanog) sistema tela, između kojih deluju samo konzevativne sile, ostajenepomenjena tj j (konstantna). t U zatvoenom sistemu u kojem ne deluju nekonzevativne sile (np. sila tenja, otpo vazduha, itd.), zbi kinetičke i potencijalne enegije, tj. ukupna mehanička enegija je konstantna, tj. ne menja se u toku vemena. E E k + E p const. 9 Zakon odžanja enegije Pime: slobodno padanje tela sa visine h. E E p mv E E E k mgh x m + mg ( h x ) gx + mg ( h x ) mgh mv m gh mgh E + E E + E E k E const. k p k p + p Pomena mehaničke enegije u ovom slučaju jednaka je nuli: Δ( E k + E ) 0 p 9

47 Zakon odžanja enegije zatvoen i otvoen sistem Enegija može pelaziti iz jednog u dugi oblik i penositi se sa jednog na dugo telo, ali ukupna enegija u zatvoenom sistemu tela u kome ne deluju nekonzevativne sile ostaje konstantna. E E k + E p const. U opštem slučaju, za otvoen sistem tela u kome, osim međusobnih sila inteakcije, deluju i spoljašnje nekonzevativne sile, ad spoljašnjih nekonzevativnih sila A nk bio bi jednak pomeni ukupne mehaničke enegije. A nk ΔE Δ( E + E ) 0 k p Enegija se ne može stvoiti niti nestati, već samo pomeniti oblik iz jednog u dugi. 93 Snaga Sednja snaga (bzina všenja ada) je količnik ada A i vemenskog intevala Δt za koji je ad izvšen pilikom pomeanja tela duž puta Δx pod uticajem sile F. Jedinica za snagu je vat ([W][J/s]). A P s Δt Tenutna snaga je sednja snaga u beskonačno malom intevalu vemena: ΔA P lim Δt Δt 0 F Δx P F Δt s v s da P Ako sila nije konstanta, analizia se u katkom intevalu vemena, za koji sila deluje na putu dx. Snaga je skalana veličina, skalani poizvod vektoa sile i vektoa bzine pomeanja i u opštem slučaju važi: dx P F P F v 94

48 Impuls sile i količina ketanja Na osnovu II Njutnovog zakona, poizvod tenutne sile F i vemenskog intevala u toku kojeg sila deluje na telo jednak je pomeni količine ketanja dk u tom intevalu vemena. dv dk F ma m F dk Ukupna pomena količine ketanja Δk izazvana delovanjem pomenljive sile F u toku konačnogintevala vemena Δt: t Δk t F FΔt Za slučaj konstantne sile: t v F const. Δk F F Δt t 95 Impuls sile i količina ketanja Impuls sile p je integal poizvoda sile F i vemena u kojem ta sila deluje i jednak je ukupnoj pomeni količine ketanja tela Δk u toku intevala vemena Δtt t. Teoema o impulsu i količini ketanja: Kada na telo deluje ezultantna sila F u toku konačnog vemenskog inte- vala Δt, impuls p ove ezultantne sile je jednak ukupnoj pomeni količine ketanja Δk koju ta sila uzokuje u toku vemena Δt. p Δk t p F Δk t 96

49 Zakon odžanja količine ketanja - zatvoen sistem Zatvoen sistem - nema delovanja spoljašnjih sila, već samo međusobnih sila inteakcije f. f f d ( mv + mv) f + f m v + m v const. 0 n k m v const. i i i Δk 0 Ukupna količina ketanja zatvoenog sistema ne menja se tokom vemena, tj. ostaje konstantna. 97 Zakon odžanja količine ketanja - otvoen sistem Otvoen sistem - osim delovanja međusobnih sila inteakcije f, na tela deluju i spoljašnje sile F. f f d ( mv + mv) d n i k i n i i ( f + f ) + ( F + F ) F F const. Impuls ezultujuće sile p. R F + F Δ n i ki ( t) Δk n i v Δk k F Δ R t p F F Δt Pomena ukupne količine ketanja Δk otvoenog sistema jednaka je impulsu spoljašnje ezultantne sile F R Δt p i R 98

50 Pimei zakona odžanja količine ketanja mv 0 m v + mv 0 m v m v m v ( m + m) v m + m v v m 99 Sudai Suda je katkotajna uzajamna inteakcija između tela bez uticaja spoljašnjih sila, u kojoj se više ili manje ispoljavaju elastične osobine tela. Nakon sudaa, bzine tela se menjaju, u opštem slučaju, ipointenzitetu i po pavcu, a deo enegije se može petvoiti u toplotu. Sudai dvaju tela mogu biti jednodimenzionalni (kadasetelaipei nakon sudaa keću po istoj pavoj liniji) i dvodimenzionalni. Poseban slučaj pedstavlja centalni suda kod kojeg se tela pe sudaa keću po pavcu koji polazi koz cente (težišta) tela. 00

51 Sudai Elastičan suda suda je slučaj sudaa u kome se ukupna kinetička enegija tela pe i posle sudaa ne menja. Neelastičan suda je onaj u kome deo kinetičke enegije tela u toku sudaa pelazi u duge oblike enegije (potencijalnu, toplotnu, ). -u savšeno neelastičnom sudau tela nakon sudaa ostaju zajedno; - u ostalim slučajevima, kada se deo kinetičke enegije tansfomiše u duge oblike (defomacija tela koja učestvuju u sudau sudau, toplota, ),a telaneostaju spojena, eč je samo o neelastičnom sudau u šiem smislu eči. 0 Elastičan suda Zakon odžanja količine ketanja Zakon odžanja kinetičke enegije m v + m v m v + m v m v + m v m v + m v 0

52 Neelastičan suda Defomacije koje nastaju na telima u sudau su tajne. Zakon odžanja kinetičke enegije u neelastičnom sudau ne važi, jese deo te enegije petvaa u neki dugi vid. ( + m v + m v m m ) v 03 Neelastičan suda Pime savšeno neelastičnog sudaa: Balističko klatno Zakon odžanja količine ketanja m ) v A ( m + m v B Deo kinetičke enegije pojektila je potošen na defomaciju masivnog (dvenog) bloka. 04

53 Dinamika otacionog ketanja kutog tela. Delovanje sila i momenata sila na kuto telo Čvsto (kuto) telo je sistem čvsto povezanih mateijalnih tačaka (masa Δm, Δm,, Δm i,, Δm n ) koje imaju svaka svoju težinu (ΔQ, ΔQ,, ΔQ i,, ΔQ n ), čiji zbi pedstavlja ukupnu težinu tela Q. Napadna tačka ezultante svih ovih sila težine koje deluju na pojedinačne mateijalne tačke je težište tela. Bez obzia na položaj tela, ona ostaje na istom mestu, kao da je sva masa skoncentisana u jednoj tački, tzv. centu mase tela C. Težište (tačka cg ) 05 Delovanje sila i momenata sila na kuto telo. Centa mase je tačka koja epezentuje posečan položaj ukupne mase tela. Centa mase je tačka kaakteistična za čvsto telo izloženo delovanju spoljašnje sile, koja se keće na isti način kao što se bi se ketala i mateijalna tačka (mase jednake masi datog tela) pod dejstvom te iste ezultantne spoljašnje sile. U homogenom gavitacionom polju se težište i centa mase poklapaju. U pimeu, napadna tačka ezultantne sile na slikama (a) i (b) se ne poklapa sa centom mase tela (spojena šipkom zanemaljive mase) pod uticajem sile započinju otaciono ketanje. Kada je napadna tačka sile u centu mase, kao na slici (c) sistem tela ne otia, već se keće tanslatono. 06

54 Delovanje sila i momenata sila na kuto telo Svako ketanje kutog (čvstog) tela može se pedstaviti kao kombinacija tanslatonog i otacionog o og ketanja. Kod tanslatonog ketanja pave koje spajaju tačke u telu u toku ketanja ostaju same sebi paalelne. Kod otacionog ketanja tačke u telu se keću po koncentičnim kužnicama azličitih polupečnika. Na složeno ketanje kutog tela deluju sile i momenti sila. 07 Moment sile U pimeu na slici na vata koja mogu otiati oko vetikalne ose deluje se silom F istog intenziteta iuistoj napadnoj tački. Razlika je u pavcima delovanja sile u odnosu na vekto položaja (adijus vekto) ) napadne tačke sile. Najlakše je zaotiati vata kada adijus vekto napadne tačke sile i vekto sile zaklapaju pav ugao, a otacije vata nema kada se pavci ova dva vektoa poklapaju. 08

55 Moment sile Moment M sile F je vektoski poizvod adijus vektoa napadne tačke sile i vektoa sile F. Jedinica za moment sile je [Nm]. M F sin θ θ (, F) M Ft F d M F Samo tangencijalna komponenta sile (F t ) uzokuje otaciono ketanje kutog tela. 09 Moment sile Tangencijalna komponenta sile F t koja stvaa moment sile M odgovoan za otaciju kutog tela, ujedno daje tangencijalno ubzanje a t telu, čime se ugaona bzina ω stalno povećava. Dugim ečima, kuto telo ima neko ugaono ubzanje α. Za ugaono ubzanje α kutog tela odgovoni su momenti sila. Na veličinu ugaonog ubzanja α, međutim, utiču ne samo momenti sila, već i masa tela, tačnije aspoed masa u kutom uo telu euuu odnosu osu na osu otacije. Tako je u dinamici otacionog ketanja definisan tzv. moment inecije I, veličina koja opisuje uticaj aspoeda masa u kutom telu na otaciju, tj. na ugaono ubzanje. 0