Fizika za studente na Departmanu za matematiku i informatiku na PMF-u u Novom Sadu

Transcript

1 d Fedo Skuban Fizika za studente na Depatmanu za matematiku i infomatiku na PMF-u u Novom Sadu Depatman za fiziku, PMF Novi Sad Fizičke veličine. SI sistem jedinica 4 Osnovni pojmovi kinematike 0 Bzina 3 Ubzanje 6 Pavolinijsko ketanje 0 Slobodno padanje 4 Vetikalni hitac 6 Hoizontalni hitac 8 Kosi hitac 3 Kivolinijsko ketanje. Kužno ketanje 34 Ugaona bzina 36 Ugaono ubzanje 37 Ravnomeno kužno ketanje 4 Jednako-ubzano kužno ketanje 43 Dinamika. Sila 46 Njutnovi zakoni ketanja. I Njutnov zakon 48 II Njutnov zakon 53 III Njutnov zakon 55 Gavitaciona sila. Njutnov zakon univezalne gavitacije 58 Mehanika Sadžaj Težina tela 59 Sila nomalne eakcije podloge 60 Sila tenja 6 Sila elastičnosti 65 Sile kod kužnog ketanja 70 Rad i enegija 74 Enegija 77 Kinetička enegija 78 Potencijalna enegija 80 Gavitaciona potencijalna enegija 8 Konzevativna i nekonzevativna polja 86 Konzevativne i nekonzevativne sile 87 Potencijalna enegija defomisane opuge 88 Zakon odžanja enegije 9 Snaga 94 Impuls sile i količina ketanja 95 Zakon odžanja količine ketanja 98 Sudai 0 Elastičan i neelastičan suda 03

2 Oscilacije i talasi 04 Oscilovanje tela obešenog o elastičnu opugu 98 Matematičko klatno 0 Talasno ketanje. Postianje talasa u elastičnoj sedini. 03 Jednačina pogesivnog talasa 08 Bzina šienja talasa 0 Enegija talasa Osnovne osobine talasnog ketanja 3 Sadžaj Statika fluida 8 Pitisak 9 Hidostatički pitisak Potisak. Ahimedov zakon. 4 Osobine gasova. Atmosfeski pitisak. 6 Dinamika fluida 8 Jednačina kontinuiteta 9 Benulijeva jednačina 3 Toičelijeva teoema 33 3 Fizičke veličine. SI sistem jedinica. Poteba da se bojem izažavaju osobine ili opisuju piodne pojave nametnula je potebu uvođenja fizičkih veličina i jedinica fizičkih veličina. Fizičkim veličinama se kvantitativno opisuju osobine tela, stanja i pocesa (pojava). Skalane veličine su potpuno odeđene svojom bojnom vednošću, dok su vektoske veličine definisane joši pavcem i smeom godine je na međunaodnom nivou dogovoeno da se koisti jedinstveni sistem fizičkih jedinica u svetu,tzv.si sistem (međunaodni sistem jedinica), koji sadži 7 osnovnih veličina i njihovih jedinica, dok su sve ostale jedinice (jedinice ostalih fizičkih veličina) izvedene od osnovnih (iako imaju duge nazive, mogu se nedvosmisleno izaziti peko nekih od pomenutih sedam osnovnih jedinica). 4

3 Osnovne fizičke veličine: Fizičke veličine. SI sistem jedinica. naziv veličine najčešća oznaka veličine jedinica oznaka jedinice masa m kilogam kg dužina l, s, meta m veme t sekund s tempeatua T kelvin K jačina elektične stuje I ampe A jačina svetlosti J kandela cd količina supstance n mol mol 5 Fizičke veličine. SI sistem jedinica. m je dužina puta koju u vakuumu peđe svetlost za / deo sekunde. kgjemasa etalona u obliku cilinda visine 39 mm i pečnika 39 mm od legue 90% Pt - 0% I, koji se čuva u Međunaodnom biou za težine i mee u Sevu, Fancuska. sjeveme tajanja oscilacija elektomagnetnog talasa koji se emituje pi pelasku elektona između dva hipefina nivoa uatomucs. K je temodinamička tempeatua koja je jednaka /73.6 delu temodinamičke tempeatue tojne tačke vode. Aje jačina vemenski stalne elektične stuje koja, polazeći koz dva pava, paalelna povodnika beskonačne dužine i zanemaljivog popečnog peseka, koja se nalaze u vakuumu na astojanju od m, pouzokuje između njih elektodinamičku (pivlačnu ili odbojnu) silu od 0 7 N po metu dužine. 6

4 Fizičke veličine. SI sistem jedinica. cdjesvetlosna jačina koju u odeđenom pavcu emituje izvo svetlosti u vidu monohomatskog začenja fekvencije Hz i čija je izačena snaga u tom pavcu /683 deo W po steadijanu. molje količina mateije sistema koji sadži toliko elementanih jedinki koliko ima atoma u 0.0 kg izotopa ugljenika C (Avogadov boj). 7 Fizičke veličine Izvedene fizičke veličine - skup fizičkih veličina koje su funkcije osnovnih ili osnovnih i već izvedenih veličina, a dobijaju se na osnovu fomule ili elacije. Pimei: bzina vdx/dt [m/s] ubzanje adv/dt [m/s ], sila Fm a [Nkgm/s ], pitisak pf/s [PaN/m ] gadijent bzine dv/dz [s /s] koeficijent dinamičke viskoznosti ηf/(s (dv/dz)) [PasNs/m kg/sm] Mogu biti i bezdimenzione: apsolutni indeks pelamanja Poasonov boj nc/v μ(δd/d)/(δl/l) Izuzetak su jedinice za: ugao u avni [ad] postoni ugao [s] 8

5 Fizičke veličine Jedinice fizičkih veličina se vlo često ne koiste u svom osnovnom obliku, već višestuko umanjene ili uvećane. Milimeta, nanosekunda ili mikofaad su jedinice koje sadže pefikse mili-, nano- i miko- i pedstavljaju umnoške osnovne jedinice (meta, sekunda, Faad) zasnovane na azličitim eksponentima boja 0. ed veličine pefiks oznaka 0 piko- p 0 9 nano- n 0 6 miko- μ 0 3 mili- m 0 centi- c 0 deci- d ed veličine pefiks oznaka 0 deka- da 0 hekto- h 0 3 kilo- k 0 6 mega- M 0 9 giga- G 0 tea- T 9 KINEMATIKA Osnovni pojmovi kinematike Mehaničko ketanje tela je pomena položaja tog tela u odnosu na bilo koje dugo telo. Da bi se odedio položaj tela koje se keće (ili miuje) u odnosu na neko dugo telo, koiste se tzv. efeentni sistemi, najčešće Dekatov pavougli koodinatni sistem (x-, y-iz-osa). Refeentni sistemi su vezani za posmatača događaja. Mogu ili miovati ili se ketati (avnomeno ili ubzano). Refeentni sistemi koji miuju ili se avnomeno keću su tzv. inecijalni efeentni sistemi, a oni koji se ubzano keću nazivaju se neinecijalni efentni sistemi. 0

6 Osnovni pojmovi kinematike Mateijalna tačka je telo zanemaljivih dimenzija, ali konačne mase. U kinematici nas manje inteesuju dimenzije poketnih tela, a više samo njihovo ketanje i veličine koje ga kaakteišu. Vekto položaja je vekto koji spaja koodinatni početak ( posmatača pojave ketanja nekog tela) i datu tačku u koodinatnom sistemu u kojoj se nalazi telo, a usmeen je ka datoj tački. Linija koju mateijalna tačka opisuje tokom ketanja (skup uzastopnih položaja) pedstavlja njenu putanju. Ili, to je skup tačaka koz koje telo polazi tokom svog ketanja. Osnovni pojmovi kinematike Deo putanje Δs koji telo peđe zaveme između dve tačke (np. M i M ) je peđeni put. To je astojanje između kajnjeg i početnog položaja tela meeno duž putanje. Δ Δs s s Vekto pomeaja je vekto koji spaja početni i kajnji položaj tačke u ketanju (najkaće astojanje između početnog i kajnjeg položaja). v Δ ( t + ) ( t) Svako složeno ketanje se može pedstaviti kao kombinacija tanslacije i otacije. Tanslacija svaka pava (ili avan) koja spaja tačkeutelukojesetanslatono keće ostaje sama sebi paalelna. Rotacija svetačke tela koje otia keću sepokoncentičnim kugovima čiji centi su na istoj pavoj osa otacije. Δs

7 Vste ketanja. Bzina. Bzinom ketanja tela se, u opštem smislu, kaakteiše peđeni put u jedinici vemena. Sednja putna bzina je skalana veličina količnik ukupnog peđenog puta Δs koje telo peđezanekoveme i vemena ketanja. Jedinica je [m/s]. v s Δs Sednja vektoska bzina je vektoska veličina količnik vektoa pomeaja Δ (spaja početni i kajnji položaj) i vemena u toku kojeg je pomeaj napavljen. v sv Δ ( t + ) ( t) Δs 3 Tenutna bzina Tenutna bzina tela (bzina poketne mateijalne tačke) u datom tenutku t je sednja vektoska bzina u beskonačno malom intevalu vemena. Vekto tenutne bzine ima pavac tangente na putanju. Intenzitet tenutne bzine se, na osnovu činjenice da je dužina pomeaja jednaka peđenom putu Δs u slučaju da 0, definiše kao: Δ v, 0 Δ d v lim 0 dt Δ Δs ds v v lim lim 0 0 dt 4

8 Tenutna bzina Pime objašnjenja tenutne bzine (pavolinijsko neavnomeno ketanje): a) na gafičkoj zavisnosti položaja tela (x-koodinata; udaljenost) u funkciji vemena (t) zapaža se neavnomenost ketanja; Δx je udaljenost između početnog (x ) i kajnjeg položaja (x ) tela, koju telo peđe za inteval vemena ; intenzitet sednje bzine u toku ovog intevala vemena je količnik Δx / odgovaa nagibu pave koja spaja x i x ; b) vemenski inteval se smanjuje na, a astojanje postaje Δx ; intenzitet sednje bzine u toku ovog kaćeg intevala vemena je količnik Δx / nagib pave od x do x je dukčiji; c) u ganičnom slučaju, kada vemenski inteval teži beskonačno maloj vednosti, u tački na mestu x 3 koodinatne x-ose i u tenutku t 3 od početka meenja vemena, intenzitet tenutne bzine ima neku konačnu vednost dx/dt (ili, ako se put označava sa s, ds/dt), kojoj odgovaa nagib tangente na kivu xf(t) utački sa koodinatama (t 3,x 3 ). Δx Δs ds v lim lim 0 0 dt 5 Ubzanje Ubzanje je veličina koja kaakteiše pomenu vektoa bzine (u bilo kom pogledu, po intenzitetu i/ili pavcu) u jedinici vemena. Sednje ubzanje je vektoska veličina količnik pomene bzine Δv i vemenskog intevala u toku kojeg je ta pomena načinjena. Δv v( t + ) v( t) a s Tenutno ubzanje je ganična vednost sednjeg ubzanja kada vemenski inteval 0. Jedinica za ubzanje je [m/s ]. Vekto ubzanja (sednjeg ili tenutnog) ima pavac vektoa pomene bzine Δv. Intenzitet tenutnog ubzanja se definiše kao: Δv Δv dv a a lim lim 0 dt dv d d d a dt dt dt t 0 d * Čita se: dugi izvod vektoa pomeaja po vemenu. * Δv a, 0 Δv dv a lim Δ t 0 dt d a dt 6

9 Ubzanje Pime objašnjenja tenutnog ubzanja (pavolinijsko neavnomeno ketanje): a) na gafičkoj zavisnosti intenziteta bzine tela (v) u funkciji vemena (t) zapaža se neavnomenost u pomeni bzine; Δv je ukupna pomena intenziteta bzine tela u toku intevala vemena ; intenzitet sednjeg ubzanja u toku ovog intevala vemena je količnik Δv / odgovaa nagibu pave koja spaja v i v ; b) vemenski inteval se smanjuje na, a pomena bzine postaje Δv ; intenzitet sednjeg ubzanjautokuovogkaćeg intevala vemena je količnik Δv / nagib pave od v do v je dukčiji; c) u ganičnom slučaju, kada vemenski inteval teži beskonačno maloj vednosti, u tački na kivoj vf(t) sa koodinatama (t 3,v 3 ), dakle u tenutku t 3 od početka meenja vemena, intenzitet tenutnog ubzanja ima neku konačnu vednost dv/dt, kojoj odgovaa nagib tangente na kivu vf(t) udatojtački. Δv Δv dv a lim lim 0 0 dt 7 Ubzanje Ubzanje može biti pozitivno (vekto bzine i vekto ubzanja imaju isti sme) ili negativno (tzv. uspoenje vekto bzine i vekto ubzanja imaju supotne smeove). a) bzina se ne menja po intenzitetu; b) bzina avnomeno aste (ubzanje ima konstantnu vednost); c) bzina avnomeno opada (ubzanje ima konstantnu vednost, ali je supotno usmeeno smeu ketanja); Ubzanje postoji i kada nema pomene intenziteta vektoa bzine. Dovoljno je da vekto bzine v menja pavac upostou. 8

10 Ketanje Ketanje se, pema obliku putanje, može podeliti na: pavolinijsko, i kivolinijsko. Pema bzini, ketanje može biti: avnomeno, jednoliko (bzina ne menja intenzitet ni pavac), i ubzano, pomenljivo (bzina menja intenzitet i/ili pavac). Pavolinijsko ketanje može biti avnomeno (bzina ne menja intenzitet) ili pomenljivo (intenzitet bzine se menja) Kivolinijsko ketanje je uvek pomenljivo, je bzina menja svoj pavac u postou u toku ketanja tela. 9 Pavolinijsko (jednodimenzionalno) ketanje avnomeno ketanje Ketanje kod kojeg je putanja pava linija je pavolinijsko. Vektoi bzine i ubzanja (ako je a 0) se poklapaju sa pavcem ketanja, a intenziteti tenutnih ovih veličina su (s obziom da je dužina vektoa pomeaja Δ jednaka peđenom putu s): ds v dt dv d s a dt dt Najjednostavniji oblik pavolinijskog ketanja je avnomeno (jednoliko, unifomno) pavolinijsko ketanje bzina se ne menja ni po intenzitetu ni po pavcu utokuvemena( v const. ).Njenintenzitet je avan količniku peđenog puta s ivemenat: a 0 s v const. t 0

11 Pavolinijsko ketanje avnomeno ketanje Gafici intenziteta bzine v ipeđenog puta s u funkciji vemena: Zakon položaja je funkcija pomene položaja tela (mateijalne tačke) sa vemenom, x f (t). Uslučaju pavolinijskog avnomenog ketanja zakon položaja glasi *: x x + vt 0 ili posto (ako uzmemo da je početni položaj (početna kodinata) tela x 0 0): x vt * Kod pavolinijskog ketanja koodinatnu osu (ecimo x-osu) na kojoj se pati položaj tela usmeavamo duž pavca ketanja. Pavolinijsko ketanje jednako-ubzano ketanje Ketanje po pavoj liniji pi kojem je ubzanje konstantno ( a const. ) je jednako-ubzano pavolinijsko ketanje. Ubzanje može biti pozitivno ili negativno (uspoenje; intenzitet bzine se smanjuje u toku vemena). Zakon bzine je, u opštem slučaju, funkcija koja pokazuje zavisnost bzine od vemena, v f (t). U slučaju pavolinijskog ketanja to je vemenska zavisnost intenziteta bzine v f (t). Za slučaj da je početna bzina (bzina u tenutku t0 s) v 0 0, zakon bzine glasi: v v + at 0 Zakon položaja uslučaju pavolinijskog jednako-ubzanog ketanja glasi: at x x0 + v0t + za x0 0 at x v0t +

12 Pavolinijsko ketanje jednako-ubzano ketanje Veza između kajnje (v) i početne bzine (v 0 ) i peđenog puta x je: Sednja bzina kod jednako-ubzanog pavolinijskog ketanja je: a const. v v + ax 0 v 0 + v v s v v + at 0 at x x0 + v0t + 3 Pimei pavolinijskog jednako-ubzanog ketanja. Slobodno padanje Slobodno padanje tela je pavolinijsko (jednodimenzionalno) i jednako-ubzano ketanje tela u polju sile Zemljine teže bez početne bzine (v 0 0). Intenzitet ubzanja tela pibližno iznosi a g 9.8 m/s i pod izvesnim uslovima se može smatati konstantnom veličinom (u blizini povšine Zemlje, uz zanemaivanje sile otpoa vazduha,...). Sme ubzanja je ka povšini Zemlje (tačnije ka centu Zemlje). Intenzitet bzine v, položaj tela na vetikalnoj, y-osi duž koje se posmata ketanje tela i peđeni put (ačunajući od mesta gde se telo pušta da slobodno pada, a to je visina h): gt gt v gt y h s 4

13 Slobodno padanje Kada nema dugih uticaja, već deluje samo sila Zemljine teže na ubzanje tela, tada sva tela padaju jednako ako su istovemeno puštena da padaju, istovemeno i stižu do povšine. Dugim ečima, sva tela pilikom slobodnog padanja imaju jednako ubzanje (g). U opštem slučaju, telo može slobodno padati i pod uticajem gavitacione sile dugih astonomskih objekata (na dugim planetama, satelitima, ), ali dugim ubzanjem u odnosu na ubzanje g koje tela imaju na Zemlji usled delovanja sile Zemljine teže. 5. Vetikalni hitac Vetikalni hitac je jednodimenzionalno (pavolinijsko) i jednako-ubzano ketanje tela u polju sile Zemljine teže sa nekom početnom bzinom (v 0 0) telo jebačeno u vetikalnom pavcu (naviše ili naniže nekom početnom bzinom). Intenzitet ubzanja tela je takođe g 9.8m/s,asme ubzanja je ka povšini Zemlje (tačnije ka centu Zemlje). Sme bzine, međutim, može biti i supotan od smea ubzanja kada se telo baca naviše (vetikalni hitac naviše), bzina je u početku usmeena u pozitivnom smeu y-ose duž koje se posmata položaj bačenog tela telo uspoava dok ne dostigne maksimalnu visinu (bzina tela u tom tenutku jednaka je nuli), a zatim slobodno pada. Kod vetikalnog hica naniže, bzina tela i ubzanje uvek imaju isti sme i bzina se nepekidno povećava. 6

14 Vetikalni hitac Zakon bzine vf(t) i zakon položaja yf(t) pi vetikalnom hicu sa visine h: Hitac naniže v v + gt 0 gt y h v0t Hitac naviše v v gt 0 gt y h + v0t U momentu pada na zemlju je koodinata tela y0; u najvišoj tački putanje je intenzitet bzine v0. 7 Dvodimenzionalno (kivolinijsko) ketanje u polju sile Zemljine teže Hoizontalni hitac Hoizontalni hitac je dvodimenzionalno (kivolinijsko) i složeno ketanje tela u polju sile Zemljine teže sa nekom početnom bzinom (v 0 0) telojebačeno (lansiano, ispaljeno) u hoizontalnom pavcu sa neke visine. U slučaju dvodimenzionalnog ketanja (po kivolinijskoj putanji), bzina tela se u svakom momentu može azložiti na dve komponente duž x- i duž y-ose koodinatnog sistema vezanog za posmatača (obično je to Zemljina povšina). 8

15 Hoizontalni hitac Ketanje duž x-ose je avnomeno bzina je konstantna. Ketanje duž y-ose je jednako-ubzano bzina aste. (slobodno padanje ubzanje je g; znak ima samo fizički značaj bzina v y duž y-ose je usmeena supotno od pozitivnog smea y-ose). vx v 0 v gt y x v t 0 gt y h * h je visina sa koje je bačeno telo po putanji hoizontalnog hica. 9 Hoizontalni hitac Putanjatelakojesekeće u hoizontalnom hicu je paabola. Zakon (jednačina) putanje, (zavisnost y-koodinate položaja tela koje se keće po putanji hoizontalnog hica od x-koodinate): U svakom momentu intenzitet bzine tela v može se naći na osnovu poznavanja komponenti bzine duž odgovaajućih osa: gx y h v 0 v + v x v y U momentu pada na zemlju, y-koodinata tela je y0 (ukoliko tako postavimo koodinatni sistem) domet x D,bzinav D, ugao putanje α D. 30

16 Kosi hitac Kosi hitac je dvodimenzionalno (kivolinijsko) i složeno ketanje tela upolju sile Zemljine teže sa nekom početnom bzinom (v 0 0) telojebačeno pod nekim uglom u odnosu na hoizontalni pavac. Ketanje se može opisati kao supepozicija dva ketanja duž x- idužy-koodinatne ose. Duž x-ose ketanje je avnomeno bzina je konstantna. Duž y-ose ketanje je jednako-pomenljivo ako je ugao izbacivanja pozitivan, bzina duž y-ose pvo opada (vetikalni hitac naviše), a nakon dostizanja maksimalne visine, bzina menja sme i aste po intenzitetu (kao kod slobodnog padanja); u slučaju negativnog ugla, bzina duž y-ose stalno aste (vetikalni hitac naniže). 3 Putanja tela u kosom hicu je paabola. Vemenska pomena komponenti bzina i koodinata tela: Kosi hitac v x v 0 x v x v 0 cosα v y v 0 y gt v y v sin α gt 0 x v t 0x x v t cosα 0 y y 0 + v 0 y gt t gt y y0 + v0t sin α Zakon (jednačina) putanje yf(x) ima oblik: * y 0 je visina sa koje je bačeno telo po putanji kosog hica. y y0 + x tgα v 0 g cos x α 3

17 Kosi hitac U najvišoj tački putanje je v y 0 (vv x ) maksimalna visina y max. Pod uslovom da je y 0 0: y max v0 sin g α U momentu pada na zemlju je y0 domet x D, bzina v D, ugao putanje α D : x D v0 sin α g Domet zavisi od početne bzine tela (v 0 )i od ugla α pod kojim je ispaljen pojektil po putanji kosog hica. * Petpostavlja se da je otpo vazduha zanemaljiv. 33 Kivolinijsko ketanje. Kinematika otacionog ketanja. Kužno ketanje. Svako kivolinijsko ketanje se može pedstaviti kao ketanje po kužnici, pi čemu se polupečnik kužnice menja u toku ketanja. Položaj mateijalne tačke pi ketanju po kužnici je dat adijus-vektoom. Svako kivolinijsko ketanje je i ubzano ketanje, je se bzina menja baem po pavcu. 34

18 Kužno ketanje. Položaj mateijalne tačke pi ketanju po kužnici dat je adijus-vektoom, koji polazi od centa kužne putanje, a zavšava na mestu mateijalne tačke. Ugaoni pomeaj Δθ je ugao između početnog (θ 0 ) i kajnjeg (θ) položaja adijus-vektoa. Uglovi se izažavaju u adijanima (ad). θ [ad] s Δs Δθ θ Δθ θ θ 0 t t 0 θ 0 * Ugao od ad je onaj za koji je odgovaajuća dužina luka na kužnici jednaka njenom polupečniku (s), θs/ ad. 35 Ugaona bzina ω Sednja ugaona bzina ω s je količnik ugaonog pomeaja i vemena u toku kojeg je taj ugao opisan. Jedinica je [ad/s]. Tenutna ugaona bzina ω je jednaka sednjoj ugaonoj bzini kada vemenski inteval 0. Ugaona bzina je pozitivna, ako se θ povećava, a negativna, ako se θ smanjuje. Tenutna ugaona bzina je vekto čiji se pavac poklapa sa pavcem ose otacije nomalan je na avan otacije. Sme vektoa je, pema dogovou, odeđen pavilom desnog zavtnja. Δθ ωs Δθ dθ ω lim 0 dt 36

19 Ugaono ubzanje α Ugaono ubzanje je posledica ubzanog ketanja mateijalne tačke po kužnici (povećanje ili smanjenje intenziteta peifene bzine v), odnosno pomene intenziteta ugaone bzine ω. Sednje ugaono ubzanje α s je količnik pomene ugaone bzine i vemenskog intevala u toku kojeg je došlo do te pomene. Jedinica je [ad/s ] ili samo [s ]. Δω Δω dω α lim 0 dt Tenutno ugaono ubzanje α je sednje ugaono ubzanje za ganičan slučaj kada 0. Tenutno ugaono ubzanje α je vekto čiji se pavac poklapa sa pavcem ose otacije, dakle nomalan je na avan kužnice i kolineaan sa vektoom ugaone bzine ω. Sme vektoa ugaonog ubzanja zavisi da li se ugaona bzina povećava (isti sme sa vektoom ugaone bzine) ili smanjuje (supotan sme). Ni sednja ugaona bzina ω s,nisednje ugaono ubzanje α s nisu vektoske veličine, je se ugaoni pomeaji Δθ ne mogu sabiati kao vektoi da bi se na kaju dobio ukupan ugao otacije vektoa položaja. 37 α s d θ α dt Veza između lineanih i ugaonih veličina Veza između intenziteta peifene bzine v ketanja mateijalne tačke (tela) po kužnici i intenziteta ugaone bzine ω adijus vektoa te mateijalne tačke: Δθ Δs / Δs v ω v ω Vekto peifene bzine leži u avni kužnice, kao i adijus-vekto, a vekto ugaone bzine ω v je tada nomalan na avan kužnice. Pema pavilu vektoskog poizvoda, veza između ugaonebzineadijusvektoaipeifenebzinedateje izazom: v ω 38

20 Veza između lineanih i ugaonih veličina Slično tome, veza između intenziteta ubzanja a mateijalne tačke koja se keće po kužnici (dakle, peifena bzina v se menja po intenzitetu) iintenziteta ugaonog ubzanja α adijus vektoa dobija se na sledećinačin: Δv Δω Δω aτ α a τ α Pošto je ubzanje a τ ovde posledica pomene intenziteta peifene bzine, vekto ove veličine ( a ) ima pavac tangente na kužnu putanju (kao i vekto peifene τ bzine) iz tog azloga nosi naziv tangencijalno ubzanje. Sme zavisi od toga da li se peifena bzina povećava ili smanjuje u toku vemena. dv aτ v dt Oznaka a τ ističe da ovo ubzanje teba azlikovati od tzv. nomalnog (centipetalnog ubzanja) koje je posledica pomene pavca peifene bzine. o * v o je jedinični vekto peifene bzine. 39 Nomalno i tangencijalno ubzanje kod kužnog ketanja U opštem slučaju, vekto ubzanja tela koje se keće po kužnoj putanji ima dve komponente: tangencijalno ubzanje a τ, koje ima pavac tangente na putanju, i nomalno (centipetalno) ubzanje a n, koje je nomalno na tangentu u posmatanoj tački. Kod avnomenog kivolinijskog ketanja (intenzitet peifene bzine se ne menja, već samo pavac) vekto ubzanja imapavacnomalannatangentu putanje, tj. usmeen je ka centu kivine putanje i adi se o nomalnom (centipetalnom) ubzanju. 40

21 Ravnomeno (unifomno) kužno ketanje Peifena bzina v ima stalan intenzitet, vconst. Ugaona bzina ω takođe ima konstantni intenzitet, ωconst. Δs v Δθ ω pun kug θ π ad π ω πν T ν T Ravnomeno kužno ketanje je peiodično, a peiod otacije T je veme potebno da adijusvekto opiše pun kug od π ad. Fekvencija ili učestanost obtanja ν (ili f) obnuto je sazmena peiodu obtanja T. 4 Ravnomeno kužno ketanje Zbog nepekidne pomene pavca vektoa peifene bzine v, postoji nomalno ubzanje intenziteta a n, usmeeno uvek ka centu otacije, supotno od adijus vektoa. Na osnovu sličnosti touglova i definicije nomalnog ubzanja a n ipeifene bzine v,sledi: Δv Δ v Δv an * Δ v v Δv Δ v ω Δv v Δ * Vekto Δv je posledica pomene pavca vektoa peifene bzine. Intenzitet nomalnog ubzanja: a n v ω Vekto nomalnog ubzanja: a n v 0 4

22 Jednako-ubzano kužno ketanje Ako se menja i intenzitet bzine, a ne samo pavac, pomena bzine tela koje se keće po kužnici ima dve komponente, a takođe iubzanje koje je opisuje: Δv Δv n + Δv a a + a n τ τ Pomena bzine u pavcu nomale (bzina pomene pavca) definiše nomalno ubzanje, a u pavcu tangente (bzina pomene intenziteta) - tangencijalno ubzanje. * Vekto Δv (posledica pomene pavca vektoa peifene bzine) je ovde zamenjen oznakom Δv. n 43 Jednako-ubzano kužno ketanje Najpostiji oblik neavnomenog kužnog ketanja je jednako-ubzano (ili jednako-uspoeno) ketanje u toku kojeg se, poed pavca, iintenzitet peifene bzine (pa tako i ugaone bzine) menjaju pavilno u toku vemena. Dugim ečima, tangencijalno ubzanje a τ ima konstantni intenzitet. Tangencijalno ubzanje a τ je vekto kolineaan tangenti na kužnicu. dv d( ω ) dω aτ dt dt dt a a + a a n τ a an + τ a τ α dv aτ v dt o * v o je jedinični vekto peifene bzine. 4 ( ω ) + ( α) ω + α a Ketanje po kivoj liniji je, paktično, stalno ketanje po kužnim putanjama, čiji se polupečnici stalno menjaju, a takođe ibzina i ubzanja tela koje se keće. 44

23 Jednako-ubzano kužno ketanje Pi jednako-ubzanom kužnom ketanju mogu se definisati izazi analogni onim kod jednako-ubzanog pavolinijskog ketanja. ω ω0 ± α t v v ± at 0 αt θ θ0 + ω0 t ± at x x0 + v0 t ± ω ω ± α θ 0 v v ± a x 0 45

24 Dinamika. Sila Dinamika je deo mehanike koji se bavi vezom između ketanja tela i sila koje deluju na njih, tj. uzocima pomenestanjaketanjatela(pi čemu je i miovanje neko stanje ketanja). Do pomene stanja ketanja (bzine) nekog tela može doći samo pi inteakciji, uzajamnom delovanju tela sa dugim telima, odnosno pi delovanju sile na telo. Silomsemožeuticatinesamonapomenuintenziteta bzine ketanja tela već i pavca vektoa bzine sila je vektoska veličina. Silom se može uticati i na pomenu oblika tela. Sila je kvantitativna mea inteakcije (međusobnog delovanja) tela, tj. izažava intenzitet inteakcije (jedinica je Njutn, [N]). 46 Sila Sile mogu biti: kontaktne, kada pi inteakciji postoji dodi između tela, i bezkontaktne, kada se inteakcija ostvauje na daljinu, tj. putem fizičkog polja (edosled pema intenzitetu: jaka nukleana sila između subatomnih čestica; elektomagnetna sila između naelektisanja; slaba nukleana sila pojavljuje se u pocesima adioaktivnog aspada; gavitaciona sila između mateijalnih objekata). 47

25 Pime : Njutnovi zakoni ketanja I Njutnov zakon Slika pikazuje azličit uticaj sile tenja na ketanje istog tela (koje se keće u početku istom bzinom) po azličitim podlogama postoji, dakle, inteakcija između kotljajućeg tela i podloge. Podloga, peko sile tenja, utiče napomenu stanja ketanja. Uslučajudajepodlogaglatka (da nema sile tenja) telo bi nastavilo ketanje nesmanjenom bzinom. * Isak Njutn, engleski fiziča i matematiča (64-77). 48 Njutnovi zakoni ketanja I Njutnov zakon I Njutnov zakon - zakon inecije Svako telo zadžava stanje miovanja ili avnomenog pavolinijskog ketanja sve dok dugo telo svojim delovanjem to stanje ne pomeni, tj. dok ne inteaguje sa dugim telom. Ili: Bzina tela ostaje konstantna po intenzitetu i pavcu sve dok neka ezultantna sila, azličita od nule, ne deluje na njega. Rezultantna sila jevektoskasuma svih spoljašnjih sila koje deluju na neko telo. Spoljašnje sile potičuodokolinetela. Unutašnje sile potiču od samog objekta i ne mogu pomeniti bzinu tela (osim kada se adi o otaciji tela). 49

26 Masa i inetnost. Količina ketanja. Piodna tendencija tela da ostane u stanju miovanja ili avnomenog ketanja po pavoj liniji u odsustvu spoljašnje sile je inetnost ijednaje od osnovnih osobina tela. Masa tela je kvantitativna mea inetnosti. Što je veća masa tela, to je teže pomeniti stanje njegovog ketanja. To je osobina tela nezavisna od uticaja okoline i od metode meenja. Jedinica za masu je [kg]. Inecija je pojam koji se odnosi na miovanje ili ketanje tela bez obzia na njihovu masu, a inetnost je opianje pomeni stanja ketanja. Bzina je osnovna kinematička veličina koja kaakteiše telo u ketanju. Pi pomeni bzine dolazi do izažaja inetnost tela, pa se masa, kao njena mea, i bzina javljaju zajedno u novoj, kompleksnijoj veličini koja bolje opisuje ketanje. Tojekoličina ketanja k vekto, koji se dobija kao poizvod mase i bzine tela (jedinica za količinu ketanja je [kgm/s]): k m v 50 Matematički izaz I Njutnovog zakona SuštinaINjutnovogzakonajeutomeštogovoineotomeštasedešavasatelom kada nema spoljašnjih sila već šta se dešava kada one pestaju da deluju. Nakon pestanka delovanja spoljašnjih sila, tj. kada ezultanta spoljašnjih sila postane jednaka nuli, a kada se vši posmatanje ponašanja tela u inecijalnom efeentnom sistemu, telo koje miuje ostaje u stanju miovanja, a telo koje se keće nastavlja ketanje sa konstantnom bzinom i to po pavoj liniji (nepomenjena količina ketanja). Ukoliko je : F 0 a 0 v const. mv const. Dakle, kada nema sila koje bi delovale na telo, nema ni njegovog ubzanja, ili obnuto telo koje se keće ubzano moa biti pod uticajem neke sile. Ovaj Njutnov zakon upavo definiše silu kao uzok pomene stanja ketanja. 5

27 Matematički izaz I Njutnovog zakona Ovaj zakon važi samo u tzv. inecijalnim efeentnim sistemima, koji ili miuju ili se avnomeno keću po pavoj liniji. * Refeentni sistem je koodinatni sistem u kojem se ili u odnosu na koji se posmata ketanje nekog tela. ** Postoje neinecijalni efeentni sistemi koji se keću ubzano itelačije se ketanje posmata u takvim sistemima tpe delovanje dodatnih (fiktivnih) tzv. inecijalnih sila, koji su posledica neavnomenog ketanja efeentnog sistema. Iz I Njutnovog zakona koji definiše silu kao uzok pomene stanja ketanja poizilazi II Njutnov zakon koji bliže definiše uticaj sile na stanje ketanja. Pime: Kada se deluje silom F na telo mase m (np. gua se blok po glatkoj povšini u hoizontalnom pavcu), ono se keće ubzanjem a. Kada se deluje silom dvostukog intenziteta, ekspeiment pokazuje dvostuko intenzivnije ubzanje; tostuko jača sila daje telu tostuko veće ubzanje F a. Obnuto, kada se masa tela dvostuko poveća (m), ubzanje je upola manje; delovanje iste sile na tostuko masivnije telo (3m), uzokuje tostuko manje ubzanje a / m. 5 II Njutnov zakon - osnovni zakon dinamike F a Akonatelomasem deluje spoljašnja sila, ubzanje koje pi tome telo dobija diektno je sazmeno (ezultantnoj) sili koja na njega deluje, a obnuto sazmeno masi tela. F a F ma m Ova jednačina je vektoskog oblika, a njoj ekvivalentan je sistem jednačina napisan za komponente sile i ubzanja duž svake koodinatne ose: x max Fy may F F ma NAPOMENA: Poizvod ma nije sila. Sve sile koje deluju na telo vektoski se sabiaju i daju ezultantnu silu (leva stana jednačine) koja je jednaka tom poizvodu. z z 53

28 II Njutnov zakon - osnovni zakon dinamike Bzina pomene količine ketanja tela popocionalna je sili koja na njega deluje i vši se u pavcu sile. d dv F ( mv) m ma dt dt Sila nije uzok ketanja tela, već je uzok pomeni stanja ketanja, koja se mei ubzanjem ona menja količinu ketanja tela. Masa u ovim izazima je inecijalna masa i pedstavlja meu odupianja tela pomeni stanja ketanja ona je kvantitativna mea inetnosti tela. 54 Pime: III Njutnov zakon - zakon akcije i eakcije Udaac čekića oeksečini da ekse ulazi u zid, ali isto tako ekse deluje na čekić koji uspoava svoje ketanje do zaustavljanja. Dakle, udaac čekića izaziva eakciju kod eksea istog intenziteta i pavca, ali u supotnom smeu. Njutn je zapazio da izolovana sila ne može postojati sile uvek postoje u paovima. Ako jedno telo deluje na dugo nekom silom, onda i dugo telo deluje na pvo silom istog intenziteta i pavca, a supotnog smea. F F m a ma 55

29 III Njutnov zakon - zakon akcije i eakcije Svako delovanje (akcija) stvaa uvek supotno po smeu i jednako po intenzitetu potivdelovanje (eakciju), tj. delovanja dva tela jedno na dugo su jednaka i supotnog smea. Svaka sila se može označiti kao sila akcije ili kao sila eakcije na delovanje one duge, sile akcije. Sile akcije i eakcije deluju na azličita tela i uvek su iste piode (kontaktne sile*, elektične, gavitacione, itd.). * Kontaktne sile su, stogo gledano, elektomagnetne piode. 56 Neki tipovi sila u mehanici Gavitaciona sila Sila potiska Sila nomalne eakcije podloge Sila zatezanja Elastična sila opuge Sila tenja 57

30 Gavitaciona sila. Njutnov zakon univezalne gavitacije. Gavitaciona sila je jedna od osnovnih inteakcija u piodi (najslabija) sila uzajamnog pivlačenja između bilo koja dva tela u svemiu. Zakon univezalne gavitacije: Bilo koje dve mateijalne tačke u piodi uzajamno se pivlače gavitacionom silom: pavac te sile polazi koz mateijalne tačke, intenzitet je sazmean masama mateijalnih tačaka, a obnuto sazmean kvadatu astojanja između njih. F m m m m γ F γ o γ Nm kg γ - gavitaciona konstanta o -jedinični vekto usmeen od m ka m 58 Težina tela Težina Q nekog objekta na ili iznad povšine Zemlje (ili iznad nekog dugog svemiskog tela) je sila kojom telo deluje na hoizontalnu podlogu na koju je postavljeno, odnosno sila kojom telo zateže konopac okojijeokačeno da visi. Težina tela je posledica i mea gavitacione sile kojom Zemlja (ili dato svemisko telo) delujena objekat. m M Q γ Z R Z na povšini Zemlje R Z +h na visini h iznad povšine Zemlje g je ubzanje gavitacione sile Zemlje. Izaz za težinu na osnovu II Njutnovog zakona dinamike (gde su sila i ubzanje sazmeni) ima oblik: Q mg Sila težine nije nezavisna osobina tela, kao što je to masa tela. Težina je mea gavitacionog pivlačenja između tela i Zemlje (ili nekog dugog svemiskog objekta). Težina je osobina sistema objekata (uovomslučaju tela i Zemlje). VAŽNO: Sila Zemljine teže (gavitaciono pivlačenje od stane Zemlje) deluje na telo, a težina tela deluje na podlogu (ili na neko dugo telo). 59

31 Sila nomalne eakcije podloge - nomalna sila F N U mnogim situacijama telo je u kontaktu sa nekom podlogom (povšinom), a sila eakcije povšine na silu težine kojom telo pitiska podlogu je upavo nomalna sila F N. Tačnije, komponenta sile eakcije podloge koja je nomalna na povšinu pedstavlja nomalnu silu F N. Pime: telo na stmoj avni (slučaj ketanja bez pisutne sile tenja između tela i stme avni): 60 Sila tenja Kada se neko telo keće po nekoj povšini ili koz tzv. viskoznu sedinu (vazduh, voda, ), javlja se otpo tom ketanju zbog inteakcije tela sa okuženjem tenje. Tenje je posledica delovanja međumolekulanih sila između dodinih povšina tela i podloge na kojoj se telo nalazi (spoljašnje tenje), ili između sastavnih delova unuta nekog sistema, kao što su fluidi (unutašnje tenje). Sila tenja deluje na dodinoj povšini između tela i usmeena je nasupot smeu (pedstojećeg) ketanja tela u odnosu na povšinu. U opštem slučaju, postoji sila statičkog tenja (tenje miovanja), i sila kinetičkog tenja (ona se još deli na tenje klizanja itenjekotljanja). Sila tenja kotljanja je znatno slabija od sile tenja klizanja. 6

32 Sila statičkog tenja (tenje miovanja) Sila tenja miovanja jednaka je po intenzitetu i pavcu, asupotna po smeu (u odnosu na moguće ketanje) ezultantnoj spoljašnjoj sili koja deluje na telo u pavcu paalelnom podlozi (supotna pedstojećem ketanju). Sila statičkog tenja F s može imati intenzitet od 0 do neke maksimalne vednosti, max nakon koje telo počinje da se keće ( F s ), a sila statičkog tenja ustupa mesto sili kinetičkog tenja, koja je po intenzitetu nešto slabija. 0 F F s max s F max s μ Maksimalna vednost sile statičkog tenja je sazmena sili nomalne eakcije podloge F N na kojoj se telo nalazi. μ s koeficijent statičkog tenja (zavisi od piode dodinih povšina). F N nomalna sila, kojom podloga deluje na povšinu tela sa kojim je u kontaktu i zaklapa pav ugao sa povšinom. s F N 6 max F s Sila kinetičkog tenja (tenje klizanja) Sila kinetičkog tenja deluje u pavcu tangente na dodinu povšinu izmeđutelai podloge po kojoj se keće i uvek je usmeena nasupot elativnoj bzini tela u odnosu na podlogu. Pod odeđenim uslovima, pibližno važi sledeće: nezavisna je od veličine dodine povšine između tela i podloge; nezavisna je od bzine ketanja (klizanja), ukoliko je bzina mala; popocionalna je veličini nomalne sile F N : F k μ k F N Po intenzitetu je nešto manja od maksimalne sile statičkog tenja. max F k < F s μk < μ s μ k koeficijent kinetičkogtenja(zavisiodpiode dodinih povšina). F N nomalna sila*, kojom podloga deluje na povšinu tela sa kojim je u kontaktu i zaklapa pav ugao sa povšinom. * Na gafiku je nomalna sila F N obeležena sa N. 63

33 Sila kinetičkog tenja (tenje klizanja) U oblasti statičkog tenja sa poastom vučne sile F povećava se i sila statičkog tenja sve do neke maksimalne max vednosti F s, nakon čega telo počinje svoje ketanje, a na njega deluje sada sila kinetičkog tenja (nešto manja po max vednosti od F s ) oblast kinetičkog tenja. 64 Sila elastičnosti. Elastičnost čvstih tela. Svako telo pod uticajem spoljašnjih dejstava, osim položaja, menja i svoj oblik. Sila elastičnosti tela deluje unuta njih i teži da vati defomisanim telima pvobitni oblik. Elastične sile u telima su posledica delovanja međuatomskih sila pod uticajem spoljašnjih sila menjaju se međusobna astojanja i položaji atoma, a međuatomske sile se tome supotstavljaju. Teoijski, postoje savšeno elastična i savšeno plastična tela. Bez obzia na pimenjenu silu, savšeno elastična tela uvek popimaju pvobitni oblik nakon pestanka njenog dejstva. Savšeno plastična tela, bez obzia na pimenjenu silu, uvek zadže defomisan oblik nakon pestanka njenog delovanja. 65

34 Sila elastičnosti. Elastičnost čvstih tela. Ukoliko su sile koje defomišu telo elativno male, postoji diektna sazmenost između sile (napona sile) i veličine defomacije koju ona izaziva. Konstanta sazmenosti (modul elastičnosti) zavisi od piode mateijala koji je defomisan i oblika defomisanja. Modul elastičnosti izažava elastične osobine tela, odnosno mateijala od kojih su napavljena. modul elastičnosti napon sile defomacija Napon sile je količnik sile i povšine na koju ta sila deluje: F σ S U zavisnosti od načina delovanja sile i izazvane defomacije postoje ti osnovna oblika elastične defomacije i odgovaajućakoeficijentaelastičnosti: defomacija istezanja, defomacija smicanja, zapeminska defomacija. 66 Elastična defomacija istezanja Istezanje (ili sabijanje) nastaje pi nomalnom delovanju sile (pod pavim uglom) na povšinu. Veza između napona sile (F/S) iveličine elativne defomacije izduženja (Δl/l) izažena je peko Hukovog zakona za elastičnu defomaciju izduženja: F S Δl E l E Jangov modul elastičnosti pedstavlja meu otpoa koji puža telo pomeni svoje dužine pod uticajem spoljašnje nomalne sile. Diektna popocionalnost (Hukov zakon) važi samo u izvesnim ganicama intenziteta sile (napona sile) ganica popocionalnosti. Jače pimenjene sile izazivaju elastične defomacije koje nisu diektno sazmene sili. Nakon ganice elastičnosti, pimenjene sile izazivaju tajne pomene oblika tela plastične defomacije. 67

35 Zapeminska elastična defomacija U fizici mateijala se može zapaziti da se defomacija na pedmetu dešava ne samo kod jedne njegove dimenzije, već ceo pedmet tpi pomene u dimenzijama. Iz tog azloga se elastične osobine mateijala od kojeg je načinjen neki pedmet izažavaju peko zapeminskog koeficijenta (modula) elastičnosti B. Zapeminski koeficijent elastičnost B je koeficijent popocionalnosti koji povezuje pomenu (povećanje) pitiska Δp koji se vši sa svih stana na pedmet i elativnu pomenu (smanjenje) zapemine izazvanu datom pomenom pitiska. Osim čvstih tela, i tečnosti su okaakteisane zapeminskim modulom elastičnosti. ΔF S ΔV Δp B V Znak je zbog smanjenja zapemine. 68 Elastična defomacija smicanja Smicanje je oblik defomacije koji nastaje pi tangencijalnom delovanju sile na povšinu tela Tangencijalna sila izaziva pomeanje (smicanje) slojeva (atomskih avni) u čvstom telu jednih u odnosu na duge za neki mali iznos, a ukupan efekat delovanja sile je odstupanje gonje ivice pedmeta za Δx u odnosu na pvobitni položaj. Relativna defomacija se izažava peko ugla α (tgα α), koji pedstavlja odnos apsolutnog pomeanja gonje ivice pedmeta Δx i dimenzija defomisanog pedmeta: Δx α l Hukov zakon elastične defomacije smicanja: G modul smicanja F S Δx G l 69

36 Sile kod kužnog ketanja - centipetalna sila Pilikom ketanja po kužnici, tela se keću ubzano - njihova bzina se svakako menja po pavcu,amožeipointenzitetu. Pi avnomenom ketanju po kužnici, telo tpi samo nomalno ubzanje a n posledica pomene pavca bzine. Pema II Njutnovom zakonu, akosetela ubzavaju, znači dananjihdelujeneka sila F koja je uzočnik pomene stanja ketanja (koje se opisuje vektoom količineketanja k ),tj.kojajeuzokpomenutog ubzanja. a n v ω 70 Sile kod kužnog ketanja - centipetalna sila Sila koja uzokuje nomalno (centipetalno) ubzanje i zakivljuje putanju tela naziva se centipetalna sila F c (gavitaciona kod planeta, sila zatezanja kanapa, ). Centipetalna sila je uvek usmeena ka centu kužne putanje tela. mv F c mv F c o 7

37 Sile kod kužnog ketanja - centifugalna sila Telakojasekeću po zakivljenoj putanji osećaju, poed delovanja centipetalne sile (ealna sila, koja ima i svoju silu eakcije, koja deluje na neko dugo telo) i dejstvo fiktivne sile, koja je istog intenziteta i pavca, a supotnog smea to je centifugalna sila F cf. Centifugalna sila je posledica ubzanog ketanja efeentnog sistema (koji je vezan za telo), tačnije posledica centipetalnog ubzanja tela usmeenog ka centu kužne putanje i otpoa koji puža telo (svojom inetnošću) ovom ubzanom ketanju. Centifugalna sila je fiktivna zato što nema svoju silu eakcije. mv F cf o mv F cf Centifugalna sila je avnotežna sila centipetalnoj i omogućava da telo ostane na zakivljenoj putanji tokom svog ketanja. 7 Sile kod kužnog ketanja tangencijalna sila Pi neavnomenom ketanju po kužnici, osim centipetalne sile F cp koja zakivljuje putanju tela i uzokuje centipetalno ubzanje a n (tj. pomenu pavca bzine), moa postojati i tangencijalna sila F τ koja uzokuje pomenu intenziteta peifene bzine (tj. tangencijalno ubzanje a τ ). F F + F cp a a + a n τ τ Vektoski zbi centipetalne i tangencijalne sile daje ukupnu silu F koja deluje na telo koje se neavnomeno keće po kužnoj putanji. 73

38 Rad i enegija Ako na telo duž puta njegovog pomeanja deluje sila konstantnog intenziteta, pavca i smea, ukupan ad te sile pilikom pomeanja tela je poizvod peđenog puta tela i komponente sile paalelne sa putem (tzv. aktivna komponenta sile). Ako se pavac sile ne poklapa sa pavcem pomeanja tela, već zaklapa ugao θ sa njim, samo komponenta sile F koja ima pavac pomeanja tela (F x ) može všiti ad. F F sin θ y (komponenta koja ne vši ad) A F Δx F const. F F cosθ x (aktivna komponenta) 74 Rad i enegija Rad je skalana veličina, skalani poizvod vektoa sile F i vektoa peđenog puta Δx koji telo pi tome pelazi. Jedinica za ad je džul ([J][Nm]). A F Δx F Δx cosθ ( F, x θ Δ ) Akonatelodelujesilapodoštim (tupim) uglom u odnosu na pavac duž kog se keće telo, ad sile je pozitivan (negativan). Ako sila deluje pod pavim uglom u odnosu na pavac ketanja, ili ako telo miuje, ad sile je jednak nuli. 75

39 Rad i enegija Ako sila nije konstantna po intenzitetu, već se menja duž puta pomeanja, ad se izažava u difeencijalnom obliku, a njegova ukupna vednost se nalazi peko integalnog ačuna (sabianjem dopinosa ukupnom adu na beskonačno malim delovima puta) to je povšina ispod kive zavisnosti Ff(x). da ( F cosθ) dx A da x x F cosθdx elementani ad duž puta dx Ako se osim intenziteta menja i sme sile tokom pomeanja tela duž puta Δx, neophodno je poznavati i sme sile kao funkciju pomeaja Ff(α(x)), što komplikuje integaciju, tj. nalaženje izvšenog ada. 76 Enegija Fizička veličina koja kaakteiše sposobnost tela, ili sistema tela da izvše ad naziva se enegijom. Iz toga poizilazi činjenica: ad je poces kojim se vši penošenje enegije među telima za veme uzajamne inteakcije (delovanja sile). ΔE E f E A Razlika između kajnjeg i početnog stanja tela u pogledu sadžaja enegije (ΔE) jednaka je adu A izvšenom pilikom pomene tog stanja. Pozitivan ad je penošenje enegije na telo (povećanje njene enegije), a negativan ad je penos enegije sa tela (smanjenje enegije koju telo poseduje). Enegija je veličina koja kaakteiše stanje tela, dok je ad veličina koja kaakteiše pomenu tog stanja. Enegija je skalana veličina. Jedinica za enegiju je džul ([J]). Kaže se da telo poseduje enegiju, a ad je poces penosa ili petvaanja jednog oblika enegije u dugi. i 77

40 Kinetička enegija Pime: pomeanje tela po hoizontalnoj avni bez tenja pod uticajem neke ezultantne sile F koja izaziva pomenu stanja ketanja (količine ketanja ΔkmΔv), tj. pomenu intenziteta bzine od neke vednosti v do vednosti v. A x x F dx dv dv dx dv F ma m m mv dt dx dt dx A x x dv mv dx m dx v v v v mv v dv m mv Kinetička enegija tanslatonog ketanja: mv E k Kinetička enegija tela pi njegovom tanslatonom ketanju sazmena je masi m tela i kvadatu njegove bzine v.tojeskalana veličina. Rad A izvšen nad telom u pimeu menja stanje ketanja tela (k) menjabzinu ketanja od v do v, a time i enegiju koju telo poseduje (kinetičku, u ovom slučaju). 78 Kinetička enegija Teoema o adu i enegiji: Kada spoljašnja sila F vši ad A nad nekim telom, pi čemu se menja samo intenzitet bzine ketanja tela, njegova kinetička enegija E k se menja, a ta pomena je upavo jednaka adu. Rad A sile F na pomeanju nekog tela je azlika između početne i kajnje kinetičke enegije E k tela. A E k E k mv mv Teoema o adu i enegiji ukazuje na to da će se intenzitet bzine tela povećati ako je izvšen ad nad telom od stane spoljašnjih sila pozitivan, je je u tom slučaju kajnja kinetička enegija tela veća od početne. Nasupot tome, intenzitet bzine tela se smanjuje, ako je izvšeni ad nad telom negativan. A ΔE k 79

41 Potencijalna enegija Potencijalna enegija je dugi oblik mehaničke enegije koji može posedovati telo, ali samo ako je ono sastavni deo nekog sistema tela. Pod sistemom tela se podazumeva skup od dva ili više tela koja mogu međusobno inteagovati, delovati jedno na dugo nekom silom. Ako dva tela u sistemu međusobno inteaguju putem sile, tada ad koji izvši sila pi delovanju jednog tela na dugo uzokuje petvaanje kinetičke (ili nekih dugih oblika) enegije koju poseduju tela u duge oblike enegije. Ako se menja međusobni aspoed tela u posmatanom sistemu menja se i njihova potencijalna enegija. Potencijalna enegija je, dakle, pojam vezan za sistem tela zato što zavisi od fizičkog položaja jednog tela u odnosu na dugo. 80 Potencijalna enegija U opštem slučaju: Potencijalna enegija pedstavlja sposobnost tela da izvši ad zahvaljujući položaju u kome se nalazi. To je ad koji telo akumulia dospevajući u neku tačku polja sila, koje potiču od dugog/ih tela sistema. Potencijalna enegija je skalana veličina. Postoje i sistemi tela u kojima je jedno telo znatno masivnije od dugih, tako da se može smatati da miuje (tj. njegova kinetička enegija se zanemauje), a da se ukupna kinetička sistema odnosi na peostala tela u sistemu. Np. ako u sistemu planeta Zemlja lopta lopta pada na povšinu, tada se smata da jedino lopta poseduje kinetičku enegiju. 8

42 Gavitaciona potencijalna enegija Pime: U sistemu Zemlja lopta izvši se ad nad loptom pi njenom pomeanju sa visine y a u odnosu na povšinu Zemlje na veću visinu y b. Pošto je lopta miovala i pe i nakon izvšenog ada nad njom, ne dolazi do pomene njene kinetičke enegije, već se adi o pomeni nekog dugog oblika enegije usled pomene položaja. Kada se lopta pusti na visini y b,onaslobodno pada ka povšini Zemlje (ka položaju y a ) pod uticajem gavitacione sile pivlačenja od stane Zemlje. y b y a Dakle, u položaju na visini y b lopta poseduje mogućnost (potencijal) da pomeni svoje stanje ketanja, tj. da pomeni svoju kinetičku enegiju. Pi padanju, lopta menja bzinu ketanja (stanje ketanja), tj. njena potencijalna enegija koju je posedovala na visini y b, postepeno se tansfomiše u kinetičku enegiju. 8 Gavitaciona potencijalna enegija Pilikom slobodnog padanja sa visine y b, jedina sila koja deluje na loptu je gavitaciona sila (jednaka sili težine), i to u pavcu ketanja ka mestu na visini y a. Pi tome se, usled pomene položaja u gavitacionom polju Zemlje, pomenila (smanjila) ipotencijalna enegija lopte, dok se njena kinetička enegija povećala (bzina lopte aste). Rad A koji je izvšila gavitaciona sila Zemlje (njen intenzitet iznosi Fmg) na pivlačenju (pemeštanju) lopte za astojanje hy b y a jednak je smanjenju potencijalne enegije za iznos ΔE p mgh. Rad gavitacione sile pi slobodnom padanju lopte je pozitivan povećava njenu kinetičku enegiju (gavitaciona sila deluje u smeu pomeanja). F mg A ( mg cos0 )( y y y b y a h y b y a A mgh b a ) A ( E pa E pb ) ΔE p Isti ad se izvši i kada se telo težine Qmg podigne sa mestanavisiniy a na visinu y b, čime se poveća njegova gavitaciona potencijalna enegija za iznos ΔE p mgh. 83

43 Gavitaciona potencijalna enegija Gavitaciona potencijalna enegija enegija koju poseduje telo mase m kada se nalazi u gavitacionom polju dugog tela. To je enegija sistema tela (ecimo Zemlja-telo ). Pošto je gavitaciona sila najslabija od osnovnih inteakcija u piodi, i gavitaciona potencijalna enegija nekog tela ima značaj samo ako se ono nalazi u jakom gavitacionom polju polju nekog masivnog nebeskog tela, kao što je Zemlja. U opštem slučaju: Gavitaciona potencijalna enegija koju poseduje neko telo u gavitacionom polju Zemlje je ad (E p A) koji na telu mase m izvši Zemljino gavitaciono polje pivlačeći ga iz beskonačnosti u neku tačku na astojanju od centa Zemlje. 84 Gavitaciona potencijalna enegija Uobičajeno je, međutim, da se vednost gavitacione potencijalne enegije koju tela poseduju u Zemljinom gavitacionom polju ačuna u odnosu na neki efeentni (nulti) nivo položaj u kome se (pema sopstvenom izbou) smatadajepotencijalna enegija tela jednaka nuli. E p mgh Vednost gavitacione potencijalne enegije u nekom položaju tela u polju gavitacije, dakle, zavisi od izboa efeentnog (nultog) nivoa. Sa duge stane, ad gavitacione sile (sile Zemljine teže) ne zavisi od izboa efeentnog (nultog) nivoa potencijalne enegije. 85

44 Konzevativna i nekonzevativna polja Izvšen ad na pomeanju tela u gavitacionom polju ne zavisi od oblika putanje, već samo od početne i kajnje tačke položaja tela u tom polju, tj. od njihove visinske azlike (vetikalnog astojanja). y b A mg( y ) b ya y a Sva polja sila u kojima izvšen ad sile zavisi samo od početnog i kajnjeg položaja tela (a ne i od oblika putanje) su konzevativna (potencijalna) polja. Sila je konzevativna (potencijalna), ako njen ad na pomeanju tela zavisi samo od početnog i kajnjeg položaja tela, a ne i od oblika putanje duž koje se vši pomeanje. 86 Konzevativne i nekonzevativne sile Rad konzevativnih sila na pomeanju tela po zatvoenoj putanji jednak je nuli,jesepočetni i kajnji položaj tela poklapaju. U konzevativne sile spadaju: gavitaciona sila, elektična sila, ali i elastična sila. Svakoj konzevativnoj sili se može pidužiti neki oblik potencijalne enegije. U ealnim situacijama, na tela simultano deluju i konzevativne sile (kao što je sila gavitacije) i nekonzevativne sile (kinetička sila tenja, otpo vazduha, ), čiji se ad delimično petvaa u duge oblike. Nekonzevativne sile uzokuju pomenu mehaničke enegije sistema. 87

45 Potencijalna enegija elastične defomacije Defomisana opuga sposobna je da izvši ad na ačun elastičnih sila F e koje teže da je vate u pvobitno stanje, a koje su posledica spoljašnjih sila F i koje su dovele do defomacije. Pema Hukovom zakonu, veličina izduženja (sabijanja) opuge x je sazmena spoljašnjoj sili F i koja je izazvala defomaciju. kx F i Supotno spoljašnjoj sili F i usmeena je elastična (estituciona) sila F e koja se javlja u defomisanoj opuzi i ona je uvek supotnog smea od smea poasta defomacije x. F ( x) F kx e i k je koeficijent elastičnosti opuge, zavisi od mateijala i oblika Potencijalna enegija defomisane opuge U defomisanom stanju opuga poseduje izvesnu potencijalnu enegiju sposobna je da pod uticajem elastičnih sila izvši neki ad pilikom vaćanja u nedefomisani oblik. x A Fe dx k x dx k a A ( E E ) p p 0 a ΔE p 0 a a k a 0 k Pi všenju ada, elastična sila smanjuje potencijalnu enegiju defomisane opuge za iznos ΔE p ka / i menja se stanje ketanja opuge (povećava kinetička enegija) vši se petvaanje enegije iz jednog u dugi oblik. Rad je, u ovom slučaju, pozitivan, je elastična sila deluje u smeu pomeanja tela, a kinetička enegija tela okačenog na opugu aste. 89

46 Potencijalna enegija defomisane opuge Nakon polaska koz avnotežni položaj (x0), sistem opuga-telo nastavlja ketanje, a elastična sila ga uspoava. Smanjenje kinetičke enegija odgovaa povećanju elastične potencijalne enegije opuge. Rad je, u ovom slučaju, negativan, je elastična sila ima supotan sme od smea ketanja tela. U opštem slučaju, potencijalna enegija defomisane opuge je: E p k x 90 Zakon odžanja enegije Zakon odžanja mehaničke enegije Ukupna mehanička enegija E (kinetička i potencijalna) zatvoenog (izolovanog) sistema tela, između kojih deluju samo konzevativne sile, ostaje nepomenjena (konstantna). U zatvoenom sistemu u kojem ne deluju nekonzevativne sile (np. kinetička sila tenja, otpo vazduha, itd.), zbi kinetičke i potencijalne enegije, tj. ukupna mehanička enegija je konstantna, tj. ne menja se u toku vemena. E E k + E p const. 9

47 Zakon odžanja enegije Pime: slobodno padanje tela sa visine h. E E mv E E E k p k mgh x m + mg( h x) gx + mg( h x) mgh mv m gh mgh E + E E + E E k E const. p k p + p Pomena mehaničke enegije u ovom slučaju jednaka je nuli: Δ( E k + E ) 0 p 9 Zakon odžanja enegije zatvoen i otvoen sistem Enegija može pelaziti iz jednog u dugi oblik i penositi se sa jednog na dugo telo, ali ukupna enegija u zatvoenom sistemu tela u kome deluju samo konzevativne sile ostaje konstantna. E E k + E p const. U opštem slučaju, za otvoen sistem tela u kome, osim međusobnih sila inteakcije, deluju i spoljašnje nekonzevativne sile, ad spoljašnjih nekonzevativnih sila A nk bio bi jednak pomeni ukupne mehaničke enegije. A nk ΔE Δ( E + E ) 0 k p Enegija se ne može stvoiti niti nestati, već samo pomeniti oblik iz jednog u dugi. 93

48 Snaga Sednja snaga (bzina všenja ada) je količnik ada A i vemenskog intevala za koji je ad izvšen pilikom pomeanja tela duž puta Δx pod uticajem sile F. Jedinica za snagu je vat ([W][J/s]). A Tenutna snaga je sednja snaga u beskonačno malom intevalu vemena: P s ΔA P lim 0 F Δx P F s v s da P d t Ako sila nije konstanta, analizia se u katkom intevalu vemena dt, zakojisila deluje na putu dx. Snaga je skalana veličina, skalani poizvod vektoa sile i vektoa bzine pomeanja i u opštem slučaju važi: dx P F P F v P F v cos ( F, v) dt 94 Impuls sile i količina ketanja Pime: Bejzbol loptica se udaa palicom, pi čemu intenzitet sile F (a možda ni pavac) nije konstantan za veme kontakta (). Katkotajna () inteakcija ima za posledicu pomenu stanja ketanja loptice (ali i palice) pomenu količine ketanja Δk. Na osnovu II Njutnovog zakona, poizvod tenutne sile F i elementanog vemenskog intevala dt u toku kojeg sila deluje na telo jednak je pomeni količine ketanja dk u tom intevalu vemena dt: dv dk F ma m Fdt dk dt dt 95

49 Impuls sile i količina ketanja Ukupna pomena količine ketanja tela Δk koja je izazvana delovanjem pomenljive sile F u toku konačnog intevala vemena dobija se integacijom: t Δk Fdt Ista pomena količine ketanja loptice se postiže i delovanjem neke posečne sile F u toku celokupnog intevala vemena : t Δk F Za slučaj konstantne sile: t v F const. Δk Fdt F t 96 Impuls sile i količina ketanja Impuls sile p je integal poizvoda sile F i vemena dt u kojem ta sila deluje i jednak je ukupnoj pomeni količine ketanja tela Δk u toku intevala vemena t t. t p Fdt Δk t Teoema o impulsu i količini ketanja: Kada na telo deluje ezultantna sila u toku konačnog vemenskog intevala, impuls p F ove ezultantne sile je jednak ukupnoj pomeni količine ketanja Δk koju ta sila uzokuje u toku vemena. p Δk 97

50 98 Zakon odžanja količine ketanja - zatvoen sistem Ukupna količina ketanja zatvoenog sistema (u kome nema delovanja spoljašnje ezultantne sile) ne menja se tokom vemena, tj. ostaje konstantna. const. 0 ) ( d d m v m v f f m v m v t f f n i m i v i k const. Zatvoen sistem nema delovanja spoljašnjih sila između tela, već samo međusobnih sila inteakcije f. 0 Δk U opštem slučaju (kada u sistemu ima n tela): 99 Zakon odžanja količine ketanja - otvoen sistem Pomena ukupne količine ketanja otvoenog sistema tela jednaka je impulsu spoljašnje ezultantne sile. ( ) ( ) ) ( d d F F F F f f m v m v t f f Impuls ezultujuće sile p. Otvoen sistem osim delovanja međusobnih sila inteakcije f, na tela deluju i spoljašnje sile. p t F k R v Δ Δ Δk p F F t F t F k t k F F k t R n i i n i i R n i i n i i Δ Δ Δ d ) ( const. d d U opštem slučaju (kada u sistemu ima n tela), vemenska pomena ukupne količine ketanja je:

51 Pimei zakona odžanja količine ketanja (zatvoen sistem) mv 0 m v m v + 0 m v v m m v m m ( + ) v m + m v v m 00 Sudai Suda je katkotajna uzajamna inteakcija između tela bez uticaja spoljašnjih sila, u kojoj se više ili manje ispoljavaju elastične osobine tela. Uzajamna inteakcija se ne moa ostvaivati kontaktnim silama. Nakon sudaa, bzine tela se menjaju, u opštem slučaju, i po intenzitetu i po pavcu, a deo enegije se može petvoiti u toplotu. Sudai dvaju tela mogu biti jednodimenzionalni (kada se tela i pe i nakon sudaa keću po istoj pavoj liniji) i dvodimenzionalni. Poseban slučaj pedstavlja centalni suda kod kojeg se tela pe sudaa keću po pavcu koji polazi koz cente (težišta) tela. 0

52 Sudai Elastičan suda suda je slučaj sudaa u kome se ukupna kinetička enegija tela pe i posle sudaa ne menja. Neelastičan suda je onaj u kome deo kinetičke enegije tela u toku sudaa pelazi u duge oblike enegije (potencijalnu, toplotnu, ). -u savšeno neelastičnom sudau tela nakon sudaa ostaju zajedno; - u ostalim slučajevima, kada se deo kinetičke enegije tansfomiše u duge oblike (defomacija tela koja učestvuju u sudau, toplota, ),atelaneostajuspojena,eč je samo o neelastičnom sudau u šiem smislu eči. 0 Elastičan jednodimenzionalni suda Zakon odžanja količine ketanja Zakon odžanja kinetičke enegije m v + m v m v + m v m v + m v m v + m v Neelastičan jednodimenzionalni suda Defomacije koje nastaju na telima u sudau su tajne. Zakon odžanja kinetičke enegije u neelastičnom sudau ne važi, jesedeote enegije petvaa u neki dugi vid. Važi samo zakon odžanja količine ketanja. m v + m v m m ) v ( + 03

53 Oscilacije i talasi Svako ketanje koje se po odeđenom pavilu ponavlja u toku vemena je peiodično ili oscilatono ketanje. Ukoliko su sila koja teži da vati oscilatoni sistem u avnotežno stanje, pa pema tome i ubzanje koje sistem ima, diektno sazmeni astojanju od njega i usmeeni ka njemu, tada se adi o jednostavnom hamonijskom ketanju. Pime: telo vezano za učvšćenu opugu može da se keće u vetikalnoj ili u hoizontalnoj avni (po glatkoj povšini, bez tenja) 04 Oscilacije Osnovne osobine hamonijskog oscilovanja: Peiod oscilovanja T je veme za koje telo izvši jednu oscilaciju. Fekvencija oscilovanja ν (ili f) je boj oscilacija u jedinici vemena. Elongacija x je poizvoljno astojanje od avnotežnog položaja. Amplituda A je maksimalna elongacija. Kod hamonijskih oscilacija pomenljiva veličina (elongacija) se menja po sinusnom ili kosinusnom zakonu u funkciji vemena. 05

54 Oscilacije Osnovne osobine hamonijskog oscilovanja: Kužna fekvencija ω je povezana sa fekvencijom f (ili ν) i peiodom T. π f ω πf T T Pi ketanju mateijalne tačke po kužnici avnomenom peifenom bzinom v i njen adijus vekto (vekto položaja) se obće avnomenom ugaonom bzinom ω. y-koodinata položaja mateijalne tačke koja se avnomeno keće pokužnici menja se po sinusnom (kosinusnom) zakonu, odnosno pojekcija adijus-vektoa na y-koodinatnu osu menja svoj intenzitet po sinusnom (kosinusnom) zakonu u funkciji vemena. T je veme potebno mateijalnoj tački da obiđe pun kug. 06 Pimei hamonijskih oscilacija Oscilovanje tela obešenog o elastičnu opugu Sila koja vaća telo i opugu ka avnotežnom položaju je elastična sila defomisane opuge i (pema Hukovom zakonu za elastične defomacije istezanja) sazmena je veličini defomacije). Znak " " znači supotan sme sile F od vektoa položaja x tela vezanog za opugu. F k x k koeficijent elastičnosti opuge Iz II Njutnovog zakona sledi jednačina ketanja: Smena: k ω 0 m d x F ma m dt d x m + kx 0 dt Rešenje ove difeencijalne jednačine ima oblik: x Asin( ω0t + α) 07

55 Oscilovanje tela obešenog o elastičnu opugu Elongacija x je sinusna (ili kosinusna) funkcija vemena: x Asin( ω0t + α) Peiod oscilovanja T zavisi od osobina opuge (koeficijent elastičnosti k) i od mase m tela okačenog na nju: ω 0 kužna fekvencija oscilatonog ketanja α početna faza, opisuje početni položaj sistema (ω 0 t+α) faza oscilovanja A amplituda (maksimalna elongacija) π T ω 0 T π m k 08 Enegija tela koje osciluje na elastičnoj opuzi Enegija tela koje osciluje na elastičnoj opuzi je zbi kinetičke enegije tela i potencijalne enegije elastične defomacije opuge. S obziom da važi: x Asin( ω t + α) 0 dx v Aω dt 0 cos( ω t + α) 0 k m ω 0 E ma ω E mv + E ka Zbi kinetičke i elastične potencijalne enegije pi hamonijskom oscilovanju, ukoliko nema gubitaka, je konstantan. 0 kx const. 09

56 Matematičko klatno Matematičko klatno je mateijalna tačka koja se u polju Zemljine teže keće na stalnom astojanju od date tačke (tačke oslonca). Qt sin θ Q x l mg x Qt l d s Q t ma m dt " "znači supotan sme sile Q t od vektoa položaja x. Jednačina ketanja: d s m dt mgx + l 0 x hoizontalno astojanje od avnotežnog položaja s lučno astojanje od avnoteže (peđeni put) 0 Matematičko klatno d s m dt mgx + l 0 d x dt g Za male uglove ϕ, x s. Smena: ω 0 + ω0x 0 l Rešenje jednačine je da je elongacija x sinusna (ili kosinusna) funkcija vemena t oblika: x Asin( ω0t + α) Peiod oscilovanja T, za slučaj malih amplituda oscilovanja, zavisi od dužine klatna l i ubzanja sile Zemljine teže g: T π ω 0 T π l g

57 Talasno ketanje - Postianje talasa u elastičnoj sedini Mehanički talas (talasno ketanje) je šienje oscilatonog poemećaja u elastičnoj mateijalnoj sedini. Pi postianju talasa, ne pemeštaju se delići sedine. Oni osciluju oko avnotežnih položaja, a penosi se enegija talasa. Za postojanje mehaničkog talasa neophodno je postojanje: izvoa talasnog poemećaja, mateijalne sedine koz koju se poemećaj penosi, i nekog fizičkog mehanizma peko kojeg elementi mateijalne sedine utiču jedan na dugi. Postianje talasa u elastičnoj sedini Kod tansvezalnih talasa delići elastične sedine osciluju nomalno na pavac postianja talasa. Javljaju se samo u sedinama gde postoje elastične sile smicanja - čvsta tela. 3

58 Postianje talasa u elastičnoj sedini Kod longitudinalnih talasa delići sedine osciluju duž pavca postianja talasa (zgušnjavanje i azeđivanje sedine). 4 Postianje talasa u elastičnoj sedini Sinusoidalni talas postoji kada svaka tačka elastične sedine u kojoj se postie talas vši hamonijske oscilacije oko avnotežnog položaja sa elongacijom: y y i sin( ωt + φ ) i0 i Rastojanje između dva najbliža delića koji osciluju u istoj fazi (ili im se faze azlikuju za π) jetalasna dužina λ. Talasni poemećaj pelazi put od jedne talasne dužine dok delići sedine izvše jednu oscilaciju (za veme T), pa je bzina postianja talasa (fazna bzina): λ c T λν 5

59 Postianje talasa u elastičnoj sedini Povšina koja spaja tačke do kojih je stigao talasni poemećaj je talasni font. U homogenoj i izotopnoj sedini talasni font ima oblik sfee. Ako je talasni font avan, eč je o avnom talasu. Na velikoj udaljenosti od izvoa talasa i sfeni talas ima avan talasni font. 6 Jednačina pogesivnog talasa Pogesivni talas je talas koji se u celoj elastičnoj sedini postie bez pomene pavca ili smea. Postianjem talasa u nekoj elastičnoj sedini ustanjeoscilovanjase dovode sve tačke te sedine i njihova elongacija se opisuje sinusnom (ili kosinusnom) funkcijom za hamonijsko ketanje. Zbog kašnjenja u oscilovanju udaljenijih delića sedine u odnosu na izvo talasa, definiše se jednačina koja opisuje vemensku i postonu zavisnost elongacije delićaelastične sedine jednačina pogesivnog talasa: y y0 sin( ωt φ) Ovo je tzv. talasna funkcija, koja opisuje elongaciju poizvoljnog delića mateijalne sedine, na astojanju x od izvoa talasa u poizvoljnom tenutku t. Početna faza talasa: π φ x λ 7

60 Jednačina pogesivnog talasa Slika ukazuje na položaj, fazu u kojoj se nalaze azličiti delići mateijalne sedine koji su pobuđeni na oscilovanje i to u datom tenutku vemena: Razlika u fazi za dve tačke elastične sedine: Delići osciluju u fazi: Δφ k π ili Δx x x k λ Delići osciluju u supotnim fazama: π Δφ φ φ ( x x ) λ astojanje između tačaka elastične sedine koje su u fazi: Δφ ( k ) π ili Δx x x λ (k ) astojanje između tačaka elastične sedine koje su u supotnim fazama 8 Bzina šienja talasa Bzina postianja mehaničkih talasa zavisi od elastičnih osobina mateijalne sedine koz koju se postie. Za tasvezalni talas koji se postie koz zategnutu žicu (F sila zatezanja žice; μm/l linijska masa žice), bzina talasa je: c F μ U opštem slučaju, za tasvezalni talas kojisepostiekozčvsti mateijal (G modul smicanja mateijala; ρ - gustina mateijala), bzina talasa je: c G ρ 9

61 Bzina šienja talasa Za longitudinalni talas koji se postie koz čvsto telo (E Jangov modul elastičnosti; ρ gustina tela), bzina talasa je: c E ρ Za longitudinalni talas koji se postie koz tečnost (B zapeminski koeficijent elastičnosti; ρ gustina tečnosti), bzina talasa je: c B ρ Za longitudinalni talas koji se postie koz gas (κ adijabatska konstanta; p pitisak gasa; ρ gustina gasa), bzina talasa je: c κ c p V c κ p ρ 0 Osnovne osobine talasnog ketanja.. Odbijanje talasa. Ravan talas na ganici dve sedine u kojima su bzine postianja talasa azličite delimično se odbija, a delimično pelama. Odbijanje (efleksija) talasa se objašnjava pomoću Hajgensovog pincipa: Svaka tačka na ganici dve elastične sedine do koje je stigao talasni font može se smatati novim izvoom talasa. Novi talasni font (odbijenog talasa) čini zajednička tangenta na sfene talasne fontove koji potičuodtačaka na ganici dve sedine. Upadni ugao jednak je uglu odbijanja. Pavci upadnog i odbojnog talasa i nomale na ganičnu povšinu leže u istoj avni.

62 . Pelamanje talasa Pelamanje (efakcija) talasa se dešava na ganici dve sedine u kojima se talas postie azličitim bzinama talas menja pavac postianja. Pema Hajgensovom pincipu, talasni font pelomljenog talasa menja pavac ketanja. Novi talasni font (pelomljenog talasa) čini zajednička tangenta na sfene talasne fontove koji potičuodtačaka na ganici dve sedine. Ako se pelamaju složeni talasi koji sadže komponente azličite fekvencije, dolazido dispezije - svaka komponenta se pelama pod azličitim uglom. 3. Difakcija talasa Difakcija talasa je pojava šienja talasa iza pepeka sa pukotinom, odnosno savijanja talasa na pepekama. Talasi skeću sa pvobitnog pavca u istoj elastičnoj sedini. Dimenzije pukotine teba da su istog eda veličine kao i talasna dužina. Pema Hajgensovom pincipu, svaka tačka pukotine je novi izvo talasa. 3

63 4. Intefeencija talasa Intefeencija talasa je pojava slaganja (supepozicije) talasa koji se postiu u istoj mateijalnoj sedini. Intefeencija se javlja samo ako postoji stalna fazna azlika između talasa koji intefeiaju (koheentni talasi). Intefeencija je konstuktivna, ako se amplitude sabiaju (talasi u fazi), a destuktivna ako se poništavaju (talasi u supotnim fazama) Intefeencija talasa Posmatamo intefeenciju talasa u poizvoljno odabanoj datoj tački mateijalne sedine difaktovanih sa dve pukotine imaju iste amplitude, fekvencije i talasne dužine, a azličite faze u toj tački. Elongacije delića mateijalne sedine u datoj tački postoa (y i y ) koje su izazvane talasima iz dva azličita izvoa talasa: kλ Δx λ (k ) konstuktivna intefeencija destuktivna intefeencija U datoj tački ezultantno oscilovanje čestice elastične sedine ima amplitudu koja zavisi ne samo od amplitude talasa koji intefeiaju, već iodfazne azlike Δφ, odnosno od azlike u peđenim putevima Δx talasa od pojedinih izvoa. 5

64 Mehanika fluida Fluidi: tečnosti ("stalna" zapemina i pomenljiv oblik) i gasovi (pomenljivi i zapemina i oblik). Statika fluida poučava avnotežu u fluidima; dinamika fluida poučava ketanje fluida. Sva mateija ima izvesnu distibuciju (aspoed) atoma i molekula. U zavisnosti od jačine (elektičnih) sila između atoma i molekula, oni mogu biti jače ili slabije međusobno povezani. Na niskim tempeatuama sastavni delovi mateije su elativno jako povezani i vše oscilatono ketanje oko avnotežnih položaja čvsta tela. U zavisnosti od stepena ueđenosti, čvsta mateija može biti kistalna (todimenzionalna ueđenost) ili amofna (odsustvo todimenzionalne ueđenosti). 6 Mehanika fluida Utečnostima i gasovima slabije međumolekulske sile omogućavaju elativno slobodno i slučajno ketanje molekula. Slabije međumolekulske sile u poeđenju sa čvstim telima uzokuju pomenljivost oblika (i zapemine). Delovanje sile na tečnosti uzokuje pomenu oblika, a samoumalojmeii zapemine (stišljivost). U većini idealnih slučajeva smata se da je i zapemina stalna, nepomenljiva (tj. njena pomena je zanemaljiva). Delovanje sile na gasove uzokuje pomenu i oblika i zapemine. 7

65 Statika fluida. Pitisak. Sila koja deluje od stane fluida (tečnosti i gasova) na telo koje se nalazi u njima deluje na sve povšine pod pavim uglom nikako tangencijalno niti u posebnoj napadnoj tački i teži da sa svih stana sabije telo. Pomeanje fluida izazivaju sile koje deluju na njihovu povšinu (zbog toga što nemaju stalan oblik), a ne u posebnoj napadnoj tački. Zato je uvedena fizička veličina pitisak (skalana veličina) koja pedstavlja odnos nomalne sile F i povšine S na koju deluje sila. Jedinica za pitisak je Paskal ([Pa][N/m ]). F p S Efekat delovanja sile na fluide zavisi od povšine na koju ona deluje. 8 Hidostatički pitisak U tečnostima (fluidima uopšte) postoji pitisak koji je posledica delovanja gavitacione sile na sve čestice (molekule) tečnosti. Svaki delić tečnosti svojom težinom vši pitisak na deliće ispod njega. Ovaj pitisak aste sa dubinom. Kada je fluid (na slici tečnost) u statičkoj avnoteži, nijedan deo fluida nije u poketu. Sile koje deluju na izdvojeni deo fluida u hoizontalnom pavcu međusobno se poništavaju, a takođe i sile koje deluju u vetikalnom pavcu (da nije tako fluid bi se ketao sa mesta višeg ka mestu nižeg pitiska). Ravnoteža sila duž vetikalnog pavca (sila odozgo i odozdo na izdvojenu zapeminu fluida i njegova težina Q): i F 0 i p S p S ρshg 0 p p + ρgh p S p S Q 0 * * S popečni pesek izdvojenog fluida; h visina stuba fluida. 9

66 Hidostatički pitisak Pitisak koji deluje odozdo na izdvojeni deo fluida veći je od pitiska koji deluje odozgo za veličinu ρgh to je težina stuba fluida po jedinici povšine na koju deluje: p Q S mg S ρvg ρshg S S ρgh To je hidostatički pitisak stuba tečnosti gustine ρ i visine h: p ρgh 30 Hidostatički pitisak Pitisak u fluidu gustine ρ (hidostatički) zavisi samo od dubine h, a ne i od ukupne količine ili težine fluida (tečnosti) u sudu na istoj dubini pitisak je isti. Ako se iznad slobodne povšine tečnosti nalazi atmosfea, tada je ukupan pitisak na dubini h jednak zbiu atmosfeskog p 0 i hidostatičkog ρgh: p uk p 0 + ρgh 3

67 Pitisak Pitisak u fluidu (tečnosti ili gasu) potiče odtežine same tečnosti i/ili od delovanja spoljašnje sile. Ako postoji povećanje pitiska usled delovanja spoljašnje sile, to se penosi na sve delove fluida, upavo zbog činjenice da je pitisak isti na istom nivou (dubini) u fluidu. Jednakost izvšenih adova na potiskivanju fluida na levoj i desnoj stani zatvoenog suda sa fluidom: A F x ps x A F x ps x A A Paskalov zakon: Pitisak koji se spolja vši na neku tečnost (ili, u opštem slučaju, na fluid) penosi se koz nju nesmanjenim intenzitetom na sve stane podjednako. Usled toga, moguće jemenjatiintenzitet, pavac i sme delovanja sile pomoću tečnosti u zatvoenom sudu. S x S x p p 3 Pitisak Hidaulična pesa - ilustacija pimene Paskalovog zakona i pime pomene pavca i intenziteta delovanja sile. S F F S 33

68 Potisak. Ahimedov zakon. Na sva tela potopljena u tečnost (fluid uopšte) deluje sila supotnog smea od gavitacione, koja teži da istisne telo iz tečnosti sila potiska. Sila potiska je posledica činjenice da hidostatički pitisak astesadubinom,tj.njen uzok je azlika u hidostatičkim pitiscima koji na uonjeno telo deluju na njegovoj gonjoj i donjoj stani. F F F p S p S F p p F ρghs p p + ρg( h + x) ( p ρgx)] S [ 0 0 Fp ρgv m f g x - dubina na mestu gonje povšine Sila potiska je jednaka težini istisnute tečnosti (fluida). Tela jednake zapemine tpe delovanje jednakih sila potiska. 34 Potisak. Ahimedov zakon. Ahimedov zakon: Svako telo potpuno ili delimično uonjeno u tečnost (fluid) pividno gubi od svoje težine toliko koliko teži istisnuta tečnost. Efektivna težina tela (gustine ρ t ) potopljenog u tečnost (fluid, gustine ρ f ): ρ t > ρ f Q > F p telo tone Qef Q Fp ( ρt ρ f ) gv ρ t ρ f Q F p telo lebdi ρ t < ρ f Q < F p telo pliva 35