ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο (6-1) Figure 6-1: Απλή διατµητική ροή (6-2) dt V

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο 6. ΡΟΗ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ (SIMPLE SHEAR FLOW) Η µόνιµη απλή διάτµηση είναι πολύ σηµαντική ροή επειδή είναι η πιό εύκολη ροή που µπορεί να αναπαραχθεί στο εργαστήριο. Ως εκ τούτου, τις περισσότερες φορές οι πειραµατικές ρεολογικές µετρήσεις που δηµοσιεύονται στην βιβλιογραφία βασίζονται σ αυτή τη ροή. 6.. ΜΟΝΙΜΗ ΑΠΛΗ ΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΡΟΗ (STEADY SIMPLE SHEAR FLOW) Η µόνιµη απλή διατµητική ροή ήδη έχει συζητηθεί στα προηγούµενα κεφάλαια. Αναφερόµενοι στο Σχήµα 6-, µπορούµε να δούµε ότι η ροή µπορεί να αναπαραχθεί από την ευθύγραµµη (rectilinear) κίνηση µίας επίπεδης πλάκας σε σχέση µε µία άλλη, όπου οι δύο πλάκες είναι παράλληλες και η απόσταση µεταξύ τους, h, είναι σταθερή µε το χρόνο. Αυτή η ροή µπορεί να καθορισθεί πλήρως από την διατµητική παραµόρφωση ή διάτµηση, γ, σαν συνάρτηση του χρόνου, όπου γ ορίζεται ως: Ο ρυθµός διάτµησης είναι: γ x / h (6-) Figure 6-: Απλή διατµητική ροή d( x) dγ dt V γ& = = = (6-) dt h t όπου V είναι η ταχύτητα της επάνω πλάκας. Για απλή διατµητική ροή, οι µόνες µη µηδενικές συνιστώσες του τανυστή τάσης είναι αυτές που εµαφανίζονται στην εξίσωση 6-3:

2 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ6 σ σ σ = ij σ σ (6-3) σ 33 Επειδή ο τανυστής τάσης είναι συµµετρικός, και εάν χρησιµοποιήσουµε το σύµβολο σ, για το µέγεθος της διατµητικής τάσης, µπορούµε να γράψουµε ότι: σ σ = σ (6-4) Το µεγεθος των κάθετων τάσεων δεν έχουν ρεολογική σηµασία για ένα ασυµπίεστο ρευστό, επειδή εάν όλες είναι έχουν το ίδιο µέγεθος δεν µπορούν να προκαλέσουν παραµόρφωση. Οµως, οι διαφορές (differences) µεταξύ αυτών των συνιστωσών µπορούν να προκαλέσουν παραµόρφωση και ως εκ τούτου έχουν ρεολογική σηµασία. Η πρωτεύουσα ή πρώτη και η δευτερεύουσα ή δεύτερη διαφορά κάθετων τάσεων ορίζονται ως: N N σ σ σ σ 33 (6-5) Μόνιµη απλή διάτµηση (steady simple shear) είναι µία απλή ροή διάτµησης που λαµβάνει χώρα µε ένα σταθερό ρυθµό διάτµησης για αρκετό χρονικό διάστηµα έτσι ώστε όλες οι τάσεις να έχουν προσεγγίσει µόνιµες τιµές. Σ αυτή την περίπτωση, οι τάσεις είναι συναρτήσεις του ρυθµού διάτµησης, γ& : σ & γ ); N ( & γ ); N ( &). Για ένα Νευτώνειο υγρό (Newtonian fluid), η ( γ διατµητική τάση είναι ανάλογη του ρυθµού διάτµησης (shear rate), σ = η & γ και N = N =. Για πολυµερικά υγρά σε πολύ µικρούς ρυθµούς διάτµησης η διατµητική τάση γίνεται ανάλογη του ρυθµού διάτµησης και η πρωτεύουσα διαφορά κάθετων τάσεων γίνεται ανάλογη του τετραγώνου του ρυθµού διάτµησης. Αυτή είναι συµπεριφορά που προβλέπεται από την καταστατική εξίσωση του Lodge (rubberlike liquid model) που συζητήθηκε στο προηγούµενο κεφάλαιο. Οι επόµενες συναρτήσεις υλικού (material functions) για απλή µόνιµη διατµητική ροή µπορούν να ορισθούν: Το ιξώδες (vviscosity) η σ / & γ Ο συντελεστής πρωτεύουσας διαφοράς κάθετων τάσεων (first normal stress coefficient) Ψ N /γ& Ο συντελεστής δευτερεύουσας διαφοράς κάθετων τάσεων (second normal stress coefficient).

3 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ6 3 Ψ N /γ& Αυτές οι τρεις συναρτήσεις γενικά εξαρτώνται από το ρυθµό διάτµησης και µπορούν να µετρηθούν σε απλή διατµητική ροή. 6.. ΙΞΩ ΟΕΜΕΤΡΙΚΕΣ ΡΟΕΣ (VISCOMETRIC FLOWS) Η µόνιµη απλή διάτµηση είναι µία οµοιόµορφη παραµόρφωση (uniform deformation), π.χ. το κάθε στοιχείο του ρευστού υπόκειται στην ακριβώς ίδια παραµόρφωση και οι τάσεις είναι ανεξάρτητες της θέσης στο χώρο (independent of position in space). Υπάρχουν επίσης ανοµοιόµορφες ροές (nonuniform flows) για τις οποίες οι τρείς συναρτήσεις υλικού (material functions) που ορίσθηκαν πριν, κοντρολλάρουν την ρεολογική συµπεριφορά του υλικού. Τέτοιες ροές λέγονται ιξωδοµετρικές ροές ("viscometric flows"). Ιξωδοµετρική ροή ορίζεται η ροή η οποία από την πλευρά ενός στοιχείου του ρευστού είναι µη διακριτή από την µόνιµη απλή διάτµηση. Για µια ιξωδοµετρική ροή, η γνώση των τριών συναρτήσεων υλικού είναι αρκετή για τον πλήρη καθορισµό της ροής π.χ. τον καθορισµό της κατανοµής ταχύτητας και των όλων τάσεων. Γι αυτό το λόγο αυτές οι τρείς συναρτήσεις λέγονται ιξωδοεµετρικές συναρτήσεις (viscometric functions). Η µόνιµη απλή διάτµηση είναι η απλούστερη πιθανή ιξωδοµετρική συνάρτηση. Οι ιξωδοµετρικές ροές είναι πολύ σηµαντικές επειδή µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την µέτρηση των ιξωδοµετρικών συναρτήσεων. Μερικά παραδείγµατα ιξωδοµετρικών ροών παρατίθενται παρακάτω (επίσης βλέπε Σχήµα 6- για περισσότερες λεπτοµέρειες).. Μόνιµη ροή σε αγωγό (steady tube flow - Poiseuille flow) Αυτή η ροή πολύ συχνά χρησιµοποιείται για την µέτρηση του ιξώδους των πλαστικών. Συµβαίνει όταν ένα τήγµα µεταφέρεται µε ένα αγωγό ή κάποιο άλλο κυλινδρικό κανάλι. Το ρεόµετρο τριχοειδούς σωλήνα χρησιµοποιείται γι αυτό το σκοπό π.χ. µέτρηση του ιξώδους. Το µέγεθος της διατµητικής τάσης και ρυθµού διάτµησης κυµαίνονται από το µηδέν στον άξονα σε µέγιστες τιµές στο τοίχωµα.

4 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ6 4 Σχήµα 6-: Μερικές ιξωδοελαστικές ροές (viscometric flows)

5 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ6 5. Μόνιµη ροή δια µέσου σχισµής (steady slit flow) Μερικές φορές λέγεται επίπεδη ροή Poiseuille (plane Poiseuille flow), και µποροεί να χρησιµοποιηθεί για την µέτρηση ιξώδους. Η διατµητική τάση και ο ρυθµός διάτµησης κυµαίνονται από το µηδέν στον άξονα συµµετρίας σε µέγιστες τιµές στο τοίχωµα. 3. Ροή δια µέσου οµόκεντρου δακτύλιου (annular pressure flow) Αυτή η ροή λαµβάνει χώρα στην αξονική κατεύθυνση στο χώρο µεταξύ δύο οµόκεντρων κυλίνδρων σαν αποτέλεσµα µιας κλίσης πίεσης. Εάν ο λόγος των δύο διαµέτρων είναι κοντά στο, η κατανοµή ταχύτητας προσεγγίζει αυτή της ροής δια µέσου σχισµής. 4. Μόνιµη ροή Couette µεταξύ οµόκεντρων κυλίνδρων (steady concentric cylinder Couette flow) Αυτή είναι µια ροή οπισθέλκουσας ("drag flow") που προκαλείται από την περιστροφή είτε του εσωτερικού ή εξωτερικού κυλίνδρου σε µια συσκευή οµόκεντρων κυλίνδρων. Χρησιµοποιείται στη µέτρηση ιξώδους Νευτώνειων υγρών. Εάν ο λόγος των δύο διαµέτρων είναι κοντά στο, ο ρυθµός διάτµησης είναι σταθερός στο χώρο µεταξύ των κυλίνδρων και η ροή προσεγγίσει την µόνιµη απλή διάτµηση. 5. Μόνιµη ροή µεταξύ παράλληλων δίσκων (steady parallel disk flow) Αυτή είναι µία περιστροφική ροή ("torsional" flow) που προκαλείται όταν ένα ρευστό που περιέχεται στην περιοχή µεταξύ δύο παράλληλων οµόκεντρων δίσκων υπόκειται σε διάτµηση από την περιστροφή του ενός δίσκου. 6. Μόνιµη ροή µεταξύ κώνου και δίσκου (steady cone and plate flow) Αυτή η ροή είναι προσεγγιστικά ιξωδοµετρική, αλλά είναι σηµαντική επειδή εάν η γωνία του κώνου είναι πολύ µικρή, η διατµητική τάση και ο ρυθµός διάτµησης είναι προσεγγιστικά οµοιόµορφοι. Σε αυτή τη ροή, και οι τρείς ιξωδοµετρικές συναρτήσεις υλικού (viscometric functions) µπορούν να µετρηθούν. 7. Μόνιµη ροή µεταξύ ολισθαίνοντων κυλίνδρων (steady sliding cylinder flow) Αυτή είναι µια οπισθέλκουσα ροή που λαµβάνει χώρα, όταν ο ένας από τους δύο οµόκεντρους κυλίνδρους µετατοπίζεται στην κατεύθυνση του άξονα του. Εάν ο λόγος των δύο διαµέτρων είναι πολύ κοντά στο, ο ρυθµός διάτµησης είναι σχεδόν οµοιόµορφος και η ροή προσεγγίζει την µόνιµη απλή διάτµηση. 8. Μόνιµη ελικοειδής ροή (steady helical flow)

6 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ6 6 Αυτός είναι ένα συνδιασµός των ροών 4 και 7. Το ρευστό µέσα στον δακτύλιο (annular space between two concentric cylinders) υπόκειται σε διάτµηση από την περιστροφή του ενός κυλίνδρου και την παράλληλη µετατόπιση του ενός εκ των δύο κυλίνδρων µε σταθερή ταχύτητα. 9. Συνδιασµένη ροή οπισθέλκουσας και διαφοράς πίεσης (combined drag and pressure flows) Εάν συνδιάσουµε απλή διατµητική ροή µε ροή σε σχισµή λόγω διαφοράς πίεσης (pressure flow in a slit), υπάρχουν δύο δυνάµεις που προκαλούν τη ροή. Οπισθέλκουσα ροή (drag flow) από την κίνηση του ενός τοιχώµατος, ενώ ροή λόγω της διαφοράς πίεσης (pressure flow) από την κλίση πίεσης. Οι διάφοροι συνδιασµοί των δύο αυτών δυνάµεων µπορεί να προκαλέσει διάφορες κατανοµές ταχύτητας που απεικονίζονται στο Σχήµα 6-3. Σχήµα 6-3: Συνδιασµένη ροή οπισθέλκουσας και ροής λόγω διαφοράς της πίεσης ΤΟ ΙΞΩ ΕΣ ΤΩΝ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ (THE VISCOSITY OF POLYMERS) Οι εξής συντελεστές (factors) επηρεάζουν το ιξώδες των πολυµερών:. Συνθήκες ροής a. Ρυθµός διάτµησης b. Θερµοκρασία c. Πίεση. Η σύσταση του πολυµερούς (resin composition) a. Η χηµική δοµή (Chemical structure) του πολυµερούς b. Η κατανοµή µοριακού βάρους c. Η παρουσία µακρών διακλαδώσεων (long chain branches) d. Η φύση και συγκέντρωση πρόσθετων (additives) και πληρωτικών υλικών (fillers).

7 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ Εξάρτηση του ιξώδους από τον ρυθµό διάτµησης (dependence of viscosity on shear rate) Το ιξώδες των θερµοπλαστικών υλικών ελαττώνεται όπως ο ρυθµός διάτµησης αυξάνει. Τυπική συµπεριφορά απεικονείζεται στο Σχήµα 6-4 για ένα πολυεθυλένιο. Η σταθερή τιµή του ιξώδους σε µικρούς ρυθµούς λέγεται ιξώδες µηδενικού ρυθµού διάτµησης (zero-shear viscosity), η. Το ιξώδες απεικονίζεται σε λογαριθµική κλίµακα, log(η ) versus log(γ& ), κάτι που κάνει εύκολη την παρατήρηση (a) της προσεγγισιτικής συµπεριφοράς σε µικρούς ρυθµούς (b) της εκθετικής συµπεριφοράς σε µεγάλους ρυθµούς (power-law). Τα Σχήµατα 6-4 και 6-5 απεικονίζουν πειραµατικές µετρήσεις για διάφορα πολυεθυλένια. Η εξίσωση power law ισχύει µόνο για µεγάλους ρυθµούς διάτµησης και γράφεται ως: η = Kγ n & σ = and n K & γ (6-6) Typical Viscosity data for a PE Viscosity, η (kpa*s). η. Shear rate, s - Σχήµα 6-4: Τυπικά πειραµατικά αποτελέσµατα για ένα πολυεθυλένιο ιάφορες άλλες γενικευµένες εκφράσεις (generalized power law equations) έχουν προταθεί στην βιβλιογραφία που προσεγγίζουν το ιξώδες µηδενικού ρυθµού, όπως τα µοντέλα Cross, Carreau και πολλά άλλα.

8 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ6 8 LLDPE's o C Viscosity, kpa*s. M w, 87, 66, 5, lines: cone'n'plate closed symbols: sliding plate open symbols: capillary Shear rate, s - Frequency, rad/s Σχήµα 6-5: Τυπικά πειραµατικά αποτελέσµατα για διάφορα πολυεθυλένια (LLDPE) που έχουν διαφορετικά µοριακά βάρη (Kazatchkov, PhD 998). Η εξάρτηση του ιξώδους µηδενικού ρυθµού (zero-shear viscosity) από το µοριακό βάρος έχει συζητηθεί στο προηγούµενο κεφάλαιο. Οι ακόλουθες εξισώσεις ισχύουν για γραµµικά πολυµερή: η M η M 3.4 for for M M M > M Το Σχήµα 6-6 δείχνει αυτή την συµπεριφορά για διάφορα γραµµικά πολυµερή: C C

9 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ6 9 Σχήµα 6-6: Η εξάρτηση του ιξώδους µηδενικού ρυθµού από το µοριακό βάρος διάφορων γραµµικών πολυµερών.

10 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ Η επίδραση της θερµοκρασίας στο ιξώδες (effect of temperature on viscosity) Το ιξώδες και γενικά οι ρεολογικές ιδιότητες εξαρτώνται από την θερµοκρασία. Αυτό σηµαίνει ότι για να έχουµε µία πλήρη εικόνα της ρεολογικής συµπεριφοράς, πειράµατα πρέπει να γίνουν σε πολλές διαφορετικές θερµοκρασίαες. Συχνά έχει βρεθεί ότι ρεολογικά αποτελέσµατα σε διαφορετικές θερµοκρασίες µπορούν να γίνουν µέρος µίας «µάστερ» καµπύλης (single master curve) µε την εφαρµογή της αρχής επαλληλίας χρόνου-θερµοκρασίας ("time-temperature superposition"). Αυτό απλοποιεί την περιγραφή της επίδρασης της θερµοκρασίας. Επιπλέον, αυτό κάνει δυνατό τον προσδιορισµό της συµπεριφοράς ενός υλικού σε ένα ευρύ πλάτος συχνότητας ή χρόνου, πολύ πιο πλατιά απ ότι θα µπορούσε να µετρηθεί σε µία µόνο θερµοκρασία. Υλικά των οποίων η συµπεριφορά µπορεί να παρουσιαστεί µε ένα τέτοιο τρόπο, λέγονται θερµο-ρεολογικά απλά υλικά (thermorheologically simple) [Dealy and Wissbrun, 99]. Για περισσότερες λεπτοµέρειες βλέπε κεφάλαιο 4, παράγραφος 4.8. Η εφαρµογή της αρχής επαλληλίας χρόνου-θερµοκρασίας δίνει τον συντελεστή µετατόπισης (shift factor), a T, ο οποίος καθορίζεται εµπειρικά. Ετσι, εάν απεικονίσουµε µία ρεολογική ιδιότητα µε τον χρόνο, ο συντελεστής a T µπορεί να υπολογισθεί από την οριζόντια µατατόπιση που χρειάζεται να φέρουµε τις πειραµατικές µετρήσεις της θερµοκρασίας, Τ, µαζί στην ίδια καµπύλη µε αυτές που αντιστοιχούν στην θερµοκρασία αναφοράς, T. Για παράδειγµα, οι καµπύλες ροής (διατµητική τάση µε ρυθµό διάτµησης) µπορούν να απεικονισθούν σαν διατµητική τάση µε γ& a T. Υποσηµαίνεται ότι δεν χρειάζεται ο συνετελεστής µετατόπισης για ποσότητες που δεν περιέχουν µονάδες χρόνου. Αυτό υπονοεί ότι ένα σχήµα µίας ποσότητας σαν συνάρτηση µίας άλλης, µε τις δύο να µην περιέχουν µονάδες χρόνου, θα πρέπει να είναι ανεξάρτητο της θερµοκρασίας. Ο συντελεστής µετατόπισης είναι συνάρτηση της θερµοκρασίας, και η εξίσωση WLF έχει βρεθεί να είναι πολύ χρήσιµη [Ferry, 98]: log( a T ( T T ) ( T T ) C ) = (6-7) C όπου C και C είναι σταθερές που υπολογίζονται στην θερµοκρασία T για το κάθε υλικό. Αυτή η εξίσωση ισχύει για θερµοκρασίες πολύ κοντά στην θερµοκρασία υαλώδους µετάπτωσης,, T g. Σε θερµοκρασίες τουλάχιστον K πάνω από το T g, µία εµπειρική εξίσωση ισχύει, η εξίσωση Arrhenius equation που γράφεται ως:

11 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ6 E a log( a = T ) (6-8) R T Tref όπου E a είναι η ενέργεια ενεργοποίησης της ροής (flow activation energy), R είναι η σταθερά αερίων, και T ref είναι η θερµοκρασία αναφοράς. Επειδή το πολυεθυλένιο συνήθως κατεργάζεται σε θερµοκρασίες πολύ πιο πάνω από την T g, αυτή η εξίσωσση χρησιµοποιείται πολύ συχνά. Το Σχήµα 6-8 απεικονίζει πειραµατικές µετρήσεις ιξώδους για ένα τυπικό πολυπροπυλένιο σε τρεις διαφορετικές θερµοκρασίες. Αυτά οι µετρήσεις µετατοπίστηκαν σύµφωνα µε την αρχή επαλληλίας χρόνου-θερµοκρασίας για να πάρουµε µία «µάστερ» καµπύλη στη θερµοκρασία αναφοράς των o C. Οι συντελεστές µετατόπισης συγκαταριθµούνται στο Σχήµα 6-8. Μπορούν να χρησιµοποιηθούν για να υπολογίσουµε την ενέργεια ενεργοποίησης (energy of activation). Polypropylene Viscosity / α T, Pa*s Capillaries, D =.76 mm: T = o C T = 3 o C, α T =.45 T = 6 o C, α T =.7 Sliding plate: Gap =.45 mm, T = o C. Shear rate * α T, s - Σχήµα 6-7: Η «µάστερ» καµπύλη ιξώδους του πολυπροπυλενίου Profax στην θερµοκρασία αναφοράς των o C. Οι τρεις συντελεστές µετατόπισης µπορούν να απεικονισθούν για να υπολογίσουµε το E/R της εξίσωσης 6-8 (Kazatchkov, Master Thesis, 998)

12 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ Η επίδραση της πίεσης στο ιξώδες (effect of pressure on viscosity) Μεγάλες διαφορές πίεσης συνήθως χρησιµοποιούνται στις διεργασίες πολυµερικών τηγµάτων. Η συµπεστικότητα αυτών των υλικών στην µορφή τηγµάτων είναι σχετικά µεγάλη. Ετσι η επίδραση της πίεσης στο ιξώδες δεν µπορεί να αγνοηθεί. Ο Kazatchkov (995) βρήκε ότι οι φαινοµενικές καµπύλες ροής από ρεόµετρο τριχοειδούς σωλήνα δεν επιθέτονται (superposed) σε µία απλή καµπύλη για διαφορτικά L/D (λόγος µήκους προς διάµετρο του τριχοειδούς σωλήνα die). Ειδικά, οι καµπύλες για τα µεγαλύτερα L/D είναι µετατοπισµένες σε µεγαλύτερες τιµές της διατµητικής τάσης. Αυτό υπονοεί ότι το ιξώδες είναι συνάρτηση της πίεσης. Η εξάρτηση του ιξώδους από την πίεση συνήθως αντιπροσωπεύεται από µία εκθετική συνάρτηση (προσέγγιση πρώτης τάξης - first order approximation) η οποία µπορεί να γραφεί σαν, η = η exp(αp) (6-9) όπου η είναι το ιξώδες σε πίεση περιβάλλοντος (ambient pressure), α είναι ο συντελεστής εξάρτησης του ιξώδους από την πίεση (pressure coefficient of viscosity) και P είναι η απόλυτη πίεση. Το Σχήµα 6-8 δείχνει πειραµατικές µετρήσεις για ένα πολυπροπυλένιο από ένα ρεόµετρο τριχοειδούς σωλήνα (capillary rheometer) χρησιµοποιώντας τριχοειδείς σωλήνες (capillaries) που έχουν διαφορετικούς λόγους L/D. Με άλλα λόγια, οι διατµητικές τάσεις που είναι ανάλογοι των ιξώδων µετρήθηκαν σε διαφορετικά επίπεδα πίεσης. Μπορούµε να δούµε ότι η ολική επιθέτιση (superposition) δεν είναι ικανοποιητική. Αντίθετα, η τάση των δεδοµένων είναι σύµφωνν µε την εξίσωση 6-9. Τα δεδοµένα του Σχήµατος 6-8 µπορούν να διορθωθούν για την επίδραση της πίεσης σύνφωνα µε την εξίσωση 6-9. Στην συνέχεια τα διορθωµένα δεδοµένα απεικονίζονται πάλι, αυτή τη φορά στο Σχήµα 6-9. Η επιθέτιση είναι ικανοποιητική. Ο συνετελεστής α που υπολογίσθηκε από αυτή την διαδικασία ήταν 5.9x -9 Pa -. Η τιµή αυτή είναι τυπική για πολυµερικά τήγµατα. Πολυµερή των οποίων το ιξώδες εξαρτάται σηµαντικά από την θερµοκρασία, συνήθως επιδεικνύουν και σηµαντική εξάρτηση από την πίεση.

13 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ6 3 Wall shear stress, MPa.3.. Polypropylene, T = 6 o C D=.58 mm: D=.76 mm: D=.7 mm: L/D= 4 L/D= L/D= L/D= L/D= 4 L/D= 7 L/D= L/D= 4 L/D= 7. Apparent shear rate, s - Σχήµα 6-8: Η επίδραση της πίεσης στο ιξώδες του πολυπροπυλενίου Profax (Kazatchkov, Master Thesis, 998).4 Polypropylene, T = o C Pressure-corrected wall shear stress, MPa.3.. D=.58 mm: D=.76 mm: D=.7 mm: L/D= 4 L/D= L/D= L/D= L/D= 4 L/D= 7 L/D= L/D= 4 L/D= 7 correction = 5.9* -9 Pa. Apparent shear rate, s - Figure 6-9. Η διατµητική τάση διορθωµένη για την πίεση σαν συνάρτηση του ρυθµού διάτµησης (pressure corrected wall shear stress versus shear rate) για τo πολυπροπυλένιο Profax. (Kazatchkov, Master Thesis, 998).

14 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΕΣ ΙΑΤΜΗΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ (TRANSIENT SHEAR FLOWS) Κλιµακωτή διατµητική παραµόρφωση (step shear strain) Σε ένα ιδανικό πείραµα κλιµακωτής διατµητικής παραµόρφωσης (ideal step strain experiment), ένα δείγµα παραµορφώνεται στιγµιαία, όπου η ιστορία διάτµησης περιγράφεται από µία κλιµακωτή/βαθµωτή συνάρτηση. Στη συνέχεια η διατµητική τάση µετρείται σαν συνάρτηση του χρόνου και έτσι το µη-γραµµικό µέτρο διατµητικής χαλάρωσης µπορεί να υπολογισθεί ως: G ( t, γ ) = σ ( t, γ ) / γ (6-) Θυµηθείτε ότι το µη-γραµµικό µέτρο χαλάρωσης εξαρτάται από το µέγεθος της διάτµησης. Στην πραγµατικότητα ένα τέτοιο πείραµα είναι δύσκολο να πραγµατοποιηθεί λόγω του πεπερασµένου χρόνου, ο οποίος χρειάζεται για ένα ρεόµετρο να πραγµατοποιήσει την ιδανική στιγµιαία παραµόρφωση (idealised instanteneous deformation). Το Σχήµα 6- απεικονίζει την ιδανική και συνήθως πειραµατική ιστορία παραµόρφωσης για µία κλιµακωτή συνάρτηση διάτµησης. Strain TIME Σχήµα 6-: Ιδανική και πειραµατική ιστορία διατµητικής παραµόρφωσης για µία κλιµακωτή συνάρτηση διάτµησης. Παρ όλες τις δυσκολίες, τέτοια πειράµατα χρησιµοποιούνται πολλές φορές για τον υπολογισµό του µη-γραµµικού µέτρου χαλάρωσης (nonlinear relaxation modulus). Το Σχήµα 6- παρουσιάζει πειραµατικές µετρήσεις (κλιµακωτές διατµήσεις) για ένα συµπυκνωµένο διάλυµα πολυστυρενίου. Για διατµήσεις µέχρι.57, το µέτρο χαλάρωσης βρέθηκε να είναι ανεξάρτητο της διάτµησης. Με την αύξηση της παραµόρφωσης, οι καµπύλες αποκλίνουν από την γραµµική συµπεριφορά όλο και πιο πολύ. Σε µεγάλες παραµορφώσεις, το

15 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ6 5 σχήµα της καµπύλης γίνεται όλο και πιο πολύπλοκο µε δύο σηµεία καµπής (inflection points). Αυτό υποννοεί την εµφάνιση ενός νέου µηχανισµού χαλάρωσης που λαµβάνει χώρα µόνο στην µη-γραµµική περιοχή. Αυτή η συµπεριφορά έχει προβλεφθεί από την θεωρία Doi-Edwards. Σύµφωνα µε την θεωρία, ο νέος µηχανισµός χαλάρωσης που προκαλεί την αλλαγή στο σχήµα της καµπύλης είναι η ανάκληση του µορίου µέσα στο σωλήνα του (retraction within the tube) ή µε άλλα λόγια χαλάρωση του µήκους καµπύλης (contour length relaxation). Ο χαρακτηριστικός χρόνος γι αυτό τον µηχανισµό είναι ο µεγαλύτερος χρόνος χαλάρωσης (longest Rouse relaxation time, λ R ), ο οποίος είναι µεταξύ του χρόνου ισορροπίας (equilibration time) λ e, και του χρόνου διάχυσης (diffusion time), λ d. Η θεωρία προβλέπει ότι όταν ο χρόνος είναι µεγαλύτερος από τον χρόνο ανάκλησης (retraction time) λ R, η µη-γραµµική χαλάρωση τάσης (nonlinear stress relaxation) είναι διαχωρίσιµη/παραγοντοποιήσιµη (separable/factorable). Ετσι µπορεί να τεθεί σαν γινόµενο του γραµµικού µέτρου χαλάρωσης και της συνάρτησης απόσβεσης (damping function), ως: G( t, γ ) = h( γ ) G( t) (6-) Σχήµα 6-: Το µη-γραµµικό µέτρο χαλάρωσης και η επιθέτιση/επαλληλία για τον καθορισµό της συνάρτησης απόσβεσης (damping function). Για να εξετάσουµε αυτό, µπορούµε να απεικονίσουµε το G ( t, γ ) / h( γ ) σαν συνάρτηση του χρόνου. Αυτό δείχνεται στο Σχήµα 6-. Αυτή η ποσότητα πρέπει να είναι το γραµµικό

16 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ6 6 µέτρο χαλάρωσης, G(t), το οποίο είναι ανεξάρτητο της παραµόρφωσης, γ. Αυτό πράγµατι ισχύει για χρόνους µεγαλύτερους από το λ k, ο οποίος έχει βρεθεί ότι είναι ανεξάρτητος του γ και προσεγγιστικά ανάλογος του M. Οι τιµές της συνάρτησης απόσβεσης που υπολογίσθηκαν από την κάθετη µετατόπιση απεικονίζονται στο Σχήµα 6-3, µαζί µε την πρόβλεψη της θεωρίας Doi-Edwards. Υπάρχει ποιοτική συµφωνία, όχι όµως ποσοτική. Σχήµα 6-: Το µη-γραµµικό µέτρο χαλάρωσης µετά από κάθετη µετατόπιση για τον καθορισµό της συνάρτησης απόσβεσης. Σχήµα 6-3: Η συνάρτηση απόσβεσης που προέκυψε από την κάθετη µετατόπιση του µη γραµµικού µέτρου χαλάρωσης και η πρόβλεψη της θεωρίας Doi-Edwards theory.

17 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ Πειράµατα µε πολλαπλές παραµορφώσεις/διατµήσεις (multiple strain tests) Πειράµατα µε πολλαπλές παραµορφώσεις έχουν χρησιµοποιηθεί για να εκτιµήσουµε τις δυνατότητες καταστατικών εξισώσεων. Για παράδειγµα, η ανταπόκριση σε διπλή κλιµακωτή διάτµηση (double step strain) όπως φαίνεται στο Σχήµα 6-4 στην γραµµική περιοχή µπορεί να γραφεί για t> ως: Strain γ γ -t TIME Σχήµα 6-4: ιπλή κλιµακωτή διάτµηση (double step strain), γ στο t=-t, και γ στο t=. σ ( t ) = G( t t γ (6-) ) γ G( t) Οµως στην µη-γραµµική περιοχή µία ρεολογική καταστατική εξίσωση χρειάζεται για να γράψουµε µία τέτοια µαθηµατική σχέση. Χρησιµοποιώντας το µοντέλο Wagner αυτή η έκφραση µπορεί να γραφεί ως: σ ( t) = ( γ γ ) h( γ γ ) G( t t γ h( γ )[ G( t) G( t t ) )] (6-3) Ενα άλλο πείραµα είναι αυτό της διπλής κλιµακωτής διάτµησης (double step strain), µε τις δύο διατµήσεις σε αντίθετη κατεύθυνση, όπως φαίνεται στο Σχήµα 6-5. Το µοντέλο Doi- Edwards µπορεί να προβλέψει σωστά την ανταπόκριση στη τάση (stress response) σε τέτοιου είδους παραµορφώσεις. Οµως, γι αυτό το τεστ το µοντέλο Wagner δεν µπορεί, εκτός και άν κάποιος χρησιµοποιήσει την υπόθεση µη-αναστρεψιµότητας ( irreversibility assumption ).

18 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ6 8 Strain γ -γ -t TIME Σχήµα 6-5: ιπλή κλιµακωτή διάτµηση, γ στο t=-t, και -γ στο t=. Σύµφωνα µ αυτή την υπόθεση σε παραµορφώσεις που µειώνονται (decreasing deformations) όπως στην κλιµακωτη διάτµηση γ, η συνάρτηση απόσβεσης, h(i,i ) πρέπει να αντικατασταθεί από την H(I,I ), όπου: t" = t { h[ I ( t", t'), I ( t", ')]} H ( I, I ) = min t (6-4) t" = t ' Αυτή είναι σύµφωνη µε την φυσική εικόνα ενός δικτύου διακλαδώσεων (entanglement network), στην οποία οι διακλαδώσεις (entanglements) χάνονται δια έσου µηχανισµών χαλάρωσης και δια µέσου επιβαλλόµενης παραµόρφωσης (strain-induced disentanglement), ενώ ξανασχηµατίζονται µόνο µε την κίνηση Brown των µακροµορίων και όχι δια µέσου επιβαλλόµενης παραµόρφωσης Απαρχή/εκκίνηση ροής (start-up flow) Σ αυτό το τέστ ένα δείγµα υπόκειται σε διάτµηση κάτω από σταθερό ρυθµό διάττµησης, γ&, αρχίζοντας από την χρονική στιγµή t=. Οι σχετικές συναρτήσεις υλικού (material functions) είναι: Συνάρτηση ανάπτυξης τάσης (stress growth function): σ σ ( t, & γ ) (6-5) Συντελεστής ανάπτυξης διατµητικής τάσης (shear stress growth coefficient): η ( t, & γ ) σ / & γ (6-6) Συνάρτηση ανάπτυξης της πρωτεύουσας διαφοράς κάθετων τάσεων (first normal stress growth function):

19 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ6 9 N ( t, & γ ) σ ( t, & γ ) σ ( t, &) γ (6-7) Συντελεστής ανάπτυξης της πρωτεύουσας διαφοράς κάθετων τάσεων (first normal stress growth coefficient): Ψ ( t, & γ ) N / & γ (6-8) Συνάρτηση ανάπτυξης της δευτερεύουσας διαφοράς κάθετων τάσεων (second normal stress growth function): N ( t, & γ ) σ ( t, & γ ) σ 33( t, &) γ (6-9) Συντελεστής ανάπτυξης της δευτερεύουσας διαφοράς κάθετων τάσεων (second normal stress growth coefficient): Ψ ( t, & γ ) N / & γ (6-) Στο όριο πολύ µικρών ρυθµών διάτµησης, ο συντελεστής η ( t, & γ ) γίνεται ίσος µε την συνάρτηση της γραµµικής ιξωδοελαστικότητας: lim[ η ( t, & γ )] = η ( t) & γ (6-) Σε αρκετά µεγάλους χρόνους, οι τάσεις παίρνουν σταθερές τιµές, οι οποίες είναι γνωστές σαν ιξωδοµετρικές συναρτήσεις: lim t [ η ( t, & γ )] = η ( & γ ) (6-) lim[ N ( t, & γ )] = N( & γ ) t lim[ N ( t, & γ )] = N ( & γ ) t (6-3) (6-4) Τα σχήµατα 6-6 και 6-7 απεικονίζουν καµπύλες η ( t, & γ ) και Ψ ( t, γ& ) για ένα τυπικό LLDPE και ένα διάλυµα πολυστυρενίου αντίστοιχα. Οπως ο ρυθµός διάτµησης αυξάνει, οι καµπύλες η αρχ ιζουν να αποκλίνουν από αυτήν της γραµµικής ιξωδοελαστικότητας σε όλο και µικρότερους χρόνους. Επίσης επιδεικνύουν µία υπέρβαση (overshoot) µε την µέγιστη τιµή σε χρόνο που µειώνεται µε την αύξηση του ρυθµού διάτµησης.

20 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ6 η, kpa*s 5 s - s - from linear spectrum s - s - 5 s -.5 s - s - s - s - LLDPE o C.. t, s Σχήµα 6-6: Ο συντελεστής ανάπτυξης της διατµητικής τάσης (shear stress growth coefficient) για ένα τυπικό τήγµα LLDPE. Σχήµα 6-7: Ο συντελεστής ανάπτυξης της πρωτεύουσας διαφοράς κάθετων τάσεων (first normal stress growth coefficient) για ένα διάλυµα πολυστυρενίου.

21 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ Τερµατισµός µόνιµης διατµητικής ροής (cessation of steady shear flow) Σ αυτό το τέστ, ένα δείγµα υπόκειται σε ένα σταθερό ρυθµό διάτµησης, γ&, µέχρις ότου όλες οι τάσεις πάρουν σταθερές τιµές. Τότε στη χρονική στιγµή t= η ροή τερµατίζεται και οι τάσεις µετρούνται σαν συναρτήσεις του χρόνου. Οι σχετικές συναρτήσεις υλικού είναι: Συνάρτηση εξασθένισης/χαλάρωσης διατµητικής τάσης (shear stress decay function): σ ( t, & γ ) σ (6-5) Συντελεστής χαλάρωσης διατµητικής τάσης (shear stress decay coefficient): η ( t, & γ ) σ / & γ (6-6) Συνάρτηση χαλάρωσης της πρωτεύουσας διαφοράς τάσεων (first normal stress decay function): N ( t, & γ ) σ ( t, & γ ) σ ( t, &) γ (6-7) Συντελεστής χαλάρωσης της πρωτεύουσας διαφοράς τάσεων (first normal stress decay coefficient): Ψ & & ( t, γ ) N / γ (6-8) Συνάρτηση χαλάρωσης της δευτερεύουσας διαφοράς τάσεων (second normal stress decay function): N ( t, & γ ) σ ( t, & γ ) σ 33( t, &) γ (6-9) Συντελεστής χαλάρωσης της δευτερεύουσας διαφοράς τάσεων (second normal stress decay coefficient): Ψ & & ( t, γ ) N / γ (6-3) Οι αρχικές τιµές αυτών των συναρτήσεων είναι ίσες µε τις αντίστοιχες των ιξωδοµετρικών συναρτήσεων. Στο όριο πολύ µικρών ρυθµών διάτµησης, ο συντελεστής η ( t, & γ ) γίνεται ίσος µε την αντίστοιχη συνάρτηση της γραµµικής ιξωδοελαστικότητας η (t). Το Σχήµα 6-8 απεικονίζει τον συντελεστή η ( t, & γ ) για ένα διάλυµα πολυβουταδιενίου. Οπως ο ρυθµός διάτµησης αυξάνει, η χαλάρωση των τάσεων γίνεται όλο και πιο γρήγορη. Το Σχήµα 6-9 απεικονίζει τον συντελεστή Ψ ( t, γ& ) για ένα διάλυµα πολυ-ισο-βουτυλενίου. Οι τάσεις πάλι χαλαρώνουν πιο γρήγορα όσο ο ρυθµός διάτµησης αυξάνεται.

22 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ6 PB o C η (t,γ) / η(γ).. s -. s -.5 s -.. Time, s Σχήµα 6-8: Ο συντελεστής χαλάρωσης της διατµητικής τάσης για ένα τήγµα πολυβουταδενίου Σχήµα 6-9: Ο συντελεστής χαλάρωσης της πρωτεύουσας διαφοράς κάθετων τάσεων για ένα τυπικό διάλυµα πολυ-ισοβουτυλενίου.

23 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ ιατµητική ταλάντωση µεγάλου πλάτους (large-amplitude oscillatory shear) Τα πειράµατα διατµητικής ταλάντωσης µεγάλου πλάτους/εύρους είναι ευκολότερα απ ότι πειράµατα όπως κλιµακωτή διάτµηση, εκκίνηση ροής ή έρπιση (creep) επειδή δεν απαιτούν ξαφνική αλλαγή στην µετατόπιση (displacement), ταχύτητα ή φορτίο (load). Τέτοια πειράµατα είναι εφικτά µε το ρεόµετρο ολισθαίνουσας πλάκας (sliding plate rheometer), ή άλλους τύπους ρεοµέτρων µε µηχανικά µέρη που έχουν µεγάλη αδράνεια µάζας (mass inertia). Επιπλέον, τέτοια πειράµατα επιτρέπουν την ανεξάρτητη αλλαγή των δύο παραµέτρων, του πλάτους παραµόρφωσης (deformation amplitude) και της συχνότητας (frequency). Αυτό επιτρέπει την εξέταση ανταπόκρισης του υλικού σε πολλές διαφορετικές κλίµακες χρόνου (time scales). Στην διατµητική ταλάντωση µεγάλου πλάτους/εύρους ένα πολυµερικό δείγµα υπόκειται σε µία ηµιτονοειδή παραµόρφωση (sinusoidal deformation) µε εύρος µεγαλύτερο απ αυτό που χρησιµοποιείται στην γραµµική ιξωδοελαστικότητα.π.χ. το εύρος διάτµησης µπορεί να είναι µεγαλύτερο του 4%. Η διάτµηση περιγράφεται από την ίδια συνάρτηση όπως στα πειράµατα γραµµικής διατµητικής ταλάντωσης, που είναι: γ ( t) = γ o sin( ω t) (6-3) Οµως, η ανταπόκριση του υλικού δεν είναι ανεξάρτητη του εύρους ταλάντωσης. Επίσης, η διατµητική τάση δεν είναι ηµιτονοειδής αλλά είναι ένα άθροισµα των περιττών/µονών αρµονικών ταλαντώσεων της βασικής συχνότητας π.χ.: () t = σ sin( nωt δ ) σ (6-3) n= n odd n όπου σ n είναι το εύρος της n-ης αρµονικής ταλάντωσης και δ n είναι η απώλεια γωνίας αυτής της αρµονικής ταλάντωσης. Ετσι η ανταπόκριση της ταλάντωσης είναι πολυσύνθετη. Σε όρους µη γραµµικών µέτρων αποθήκευσης (storage) και απώλειας (loss), η εξίσωση 6-3 µπορεί να γραφεί ως: () t = γ [ ( ) ( ) Gn γ, ω sin nωt Gn ( γ, ω ) cos( nωt) ] σ (6-33) n= n odd n όπου G n και n G είναι τα αντίστοιχα µέτρα αποθήκευσης και απώλειας (storage and loss moduli) της n-ης αρµονικής ταλάντωσης.

24 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ6 4 Για να κατανοήσουµε καλύτερα την φυσική σηµασία αυτών των υψηλότερων αρµονικών ταλαντώσεων (higher harmonics), η εξής σύγκριση είναι σχετική. Εµείς οι άνθρωποι επικοινωνούµε µεταξύ µας µε την φωνή µας και την ακοή µας. Επίσης µπορούµε να διακρίνουµε την χαρακτηριστική φωνή κάποιου ανθρώπου από άλλον. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η ανθρώπινη φωνή δεν προέρχεται από ένα ακουστικό κύµα µίας απλής συχνότητας (σε τέτοια περίπτωση η φωνή θα ακουγόταν σαν ήχος από ροµπότ/υπολογιστή των 6s), αλλά από ένα πολύπλοκο συνδιασµό πολλών δαφορετικών συχνοτήτων µε διαφορετικά εύρη. Χρησιµοποιώντας αυτή την αναλογία, µπορεί κάποιος να υποθέσει ότι η ανταπόκριση ενός τήγµατος σε πειράµατα LAOS είναι η χαρακτηριστική φωνή του. Με ταξινόµιση των πολυσύνθετων πειραµατικών δεδοµένων LAOS, µπορούµε να δηµιουργήσουµε µία τρισδιάστατη εικόνα αυτής της «φωνής». Μερικά τυπικά αποτελέσµατα παρουσιάζονται παρακάτω σ αυτό το κεφάλαιο. Η πιο γνωστή µέθοδος για την ανάλυση πειραµάτων LAOS είναι ο µετασχηµατισµός Fourier (Fourier transforms). Ο σκοπός είναι να αναλύσουµε την διατµητική τάση στις συνιστώσες της για να πάρουµε: () το αριθµό των αρµονικών ταλαντώσεων (number of harmonics); () το εύρος τους (their amplitude) και (3) την συχνότητα τους (frequency). Γι αυτό το σκοπό, ένας διακριτός µετασχηµατισµός Fourier µε -σηµεία χρησιµοποιείται (- point discrete Fourier transform (DFT)). Επειδή οι µέθοδοι DFT και FFT δίνουν ίδια αποτελέσµατα, η µέθοδος DFT προτιµείται ( βλέπε Ramirez, 985 για πιο πολλές λεπτοµέρειες της χρήσης αυτών των µεθόδων). Το Σχήµα 6- απεικονίζει τυπικά αποτελέσµατα για ένα τήγµα LLDPE. Στα δύο πρώτα σχήµατα η ανταπόκριση της διατµητικής τάσης είναι ηµιτονοειδής (sinusoidal response). Αυτό υποννοεί ότι η ανταπόκριση είναι γραµµική ιξωδοελαστική. Αυξάνοντας το γ σε 5 και προκαλεί παραµορφώσεις στο ηµιτονοειδές κύµα, µε απώλεια της συµµετρίας. Οµως είναι πολύ δύσκολο από ένα τέτοιο σχήµα να δούµε την απόκλιση από την γραµµική ιξωδοελάστικότητα. Ενας καλύτερος τρόπος είναι να απεικονίσουµε την διατµητική τάση σαν συνάρτηση του ρυθµού διάτµησης (γνωστό σαν διάγραµµα Lissajous). Τα πειραµατικά αποτελέσµατα του Σχήµατος 6- απεικονίζονται πάλι στο Σχήµα 6-, αυτή τη φορά σαν διατµητική ταση µε τον ρυθµό διάτµησης. Βλέποντας τα σχήµατα στο Σχήµα 6-, µπορούµε εύκολα να

25 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ6 5 κατανοήσουµε την µετάβαση από την γραµµική στην µη-γραµµική ιξωδοελαστικότητα. Τα δυο πρώτα σχήµατα είναι ελλείψεις και έτσι ανήκουν στη γραµµική περιοχή. Ολα τα άλλα παρεκλίνουν από την ιδανική έλλειψη, γίνονται πιο στενά (narrower) µε την αύξηση του εύρους διάτµησης. Μία άλλη χρήσιµη ιδιότητα πού µπορεί κάποιος να εξάγει από τα πειράµατα LAOS είναι η απώλεια έργου ανά µονάδα όγκου και κύκλο (work per unit volume per cycle): ( ) W = πσ (6-34) L γ sin δ που δείχνει ότι η απώλεια έργου οφείλεται στο εύρος και την απώλεια γωνίας της πρώτης αρµονικής ταλάντωσης. Αυτή η ιδιότητα χαρακτηρίζει την απώλεια ενέργειας (energy dissipation per cycle per unit volume), και οφείλεται στην τριβή (viscous dissipation) πού είναι µέρος της ιξωδοελαστικής συµπεριφοράς [Dealy and Wissbrun, 99].

26 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ6 6 5 Blend 9, o C γ =, ω = rad/s 3 γ =, ω = rad/s Shear stress, kpa 5-5 Shear stress, kpa Time, s Time, s 4 3 γ = 5, ω = rad/s 8 6 γ = 5, ω = rad/s Shear stress, kpa - - Shear stress, kpa Time, s Time, s 6 4 γ =, ω = rad/s 5 γ =, ω = rad/s Shear stress, kpa - Shear stress, kpa Time, s Time, s Σχήµα 6-. Πειραµατικές µετρήσεις LAOS για ένα τήγµα LLDPE στούς C σε εύρη διάτµησης, 5 και, και συχνότητες και rad/s.

27 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ6 7 5 Blend 9, o C γ =, ω = rad/s 3 Blend 9, o C γ =, ω = rad/s Shear stress, kpa 5-5 Shear stress, kpa Shear stress, kpa Shear rate, s - Blend 9, o C γ = 5, ω = rad/s Shear rate, s - Shear stress, kpa Shear rate, s - Blend 9, o C γ = 5, ω = rad/s Shear rate, s Blend 9, o C γ =, ω = rad/s 5 Blend 9, o C γ =, ω = rad/s Shear stress, kpa - Shear stress, kpa Shear rate, s Shear rate, s - Σχήµα 6-. ιαγράµµατα Lissajous για ένα τήγµα LLDPE στούς C σε εύρη διάτµησης, 5 και, και συχνότητες και rad/s.

28 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ ΙΑΓΡΑΜΜΑ PIPKIN (PIPKIN DIAGRAM) Θα παρουσάαζε πολύ ενδιαφέρον να κατασκευάζαµε ένα διάγραµµα που να αναπαριστά τις διάφορες περιοχές συµπεριφοράς που προκύπτουν από τους διάφορους συνδιασµούς εύρους και συχνότητας (combinations of amplitude and frequency). Ο Pipkin [53] βρήκε ότι µία καλή βάση για ένα τέτοιο διάγραµµα είναι ένα σχήµα του εύρους του ρυθµού διάτµησης, ωγ o, µε την συχνότητα, ω. Αυτό απεικονίζεται στο Σχήµα 6-. Figure 6-: Το διάγραµµα Pipkin που δείχνει τις διάφορες περιοχές παραµόρφωσης. Σε πολύ µικρές συχνότητες, η παραµόρφωση είναι παρόµοια µε την µόνιµη διάτµηση. Ετσι υπάρχει µία ζώνη στα αριστερά του διαγράµµατος που η συµπεριφορά κοντρολάρεται από τις ιξωδοµετρικές συναρτήσεις. Εαν ο ρυθµός είναι πολύ µικρός, τότε Νευτώνεια συµπεριφορά επιδεικνύεται από το υλικό (κάτω αριστερά στο διάγραµµα). Στο αρχικό διάγραµµα του Pipkin το λ & γ o απεικονιζόταν σαν συνάρτηση του λω, όπου λ είναι ένα χαρακτηριστικός χρόνος χαλάρωσης του υλικού. Μ αυτόν τον τρόπο το διάγραµµα παρουσιάζεται σε αδιάστατες µεταβλητές (dimensionless variables). Αυτές έχουν την εξής σηµασία. λω = Deborah number

29 ΡΟΕΣ ΑΠΛΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Κ6 9 Αυτό το group είναι ένα µία ένδειξη του κατά πόσον οι ελαστικές επιδράσεις ή οι επιδράσεις µνήµης παίζουν κάποιο ρόλο στην ανταπόκριση του υλικού. λ & γ o = Weissenberg number Αυτό το group είναι ένα µέτρο της ανισοτροπίας του υλικού π.χ. ένα µέτρο του κατά πόσον το υλικό επιδεικνύει µη-γραµµική συµπεριφορά στην συγκεκριµένη ροή. Τα πειράµατα LAOS είναι µεταξύ αυτών όπου οι τιµές των δύο group µπορούν να αλλάξουν ανεξάρτητα. Τα θιξοτροπικά πειράµατα ("thixotropic loops") έχουν επίσης αυτή την ιδιότητα. Οµως επειδή δεν υπάρχει ένας χρόνος χαλάρωσης για τα διάφορα τήγµατα, οι συγκρίσεις είναι δύσκολες. Οπως η συχνότητα αυξάνει, η τάση αρχίζει να χάνει (begin to lag) σε σχέση µε την διάτµηση (strain) και το υλικό επιδεικνύει ιξωδοελαστικότητα. Το όριο γραµµικής µηγραµµικής ιξωδοελαστικότητας επιδεικνύεται από µία γραµµµή όπου το εύρος διάτµησης είναι σταθερό. Οπως η συχνότητα αυξάνει ακόµα περισσότερο, η συµπεριφορά γίνεται όλο και πιο ελαστική και σε κάποιο σηµείο η ροή γίνεται µη σκεδαστική (nondissipative) ΑΛΛΕΣ ΡΟΕΣ (OTHER FLOWS) Αλλες ροές που έχουν χρησιµοποιηθεί για τον χαρακτηρισµό της µη-γραµµικής ιξωδοελαστιόττηας υλικών είναι: - ιακοπτόµενη διάτµηση (interrupted shear) - Μείωση του ρυθµού ροής (reduction in shear rate) - Μη-γραµµική έρπιση (non-linear creep) - Ανάκτιση σε έρπιση (creep recovery) - Ανάκτηση κατά την διάρκεια εκκίνησης ροής (recoil during startup flow) - Ανάκτηση διάτµησης µετά από µόνιµη απλή διάτµιση (recoverable shear following steady simple shear) - Εκθετική διάτµιση (exponential shear). Το πρόβληµα είναι η κατανόηση και η εξήγηση των πειραµατικών αποτελεσµάτων από τέτοια πειράµατα (βλέπε Dealy and Wissbrun, 99, για περισσότερες λεπτοµέρειες).