Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών"

Transcript

1 Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών

2 Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

3 Περιεχόµενα ενότητας 1 Ολοκλήρωµα Lebesgue Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες Ακολουθίες µετρήσιµων συναρτήσεων Η συνάρτηση Cator--Lebesgue Προσέγγιση µετρήσιµων συναρτήσεων από απλές συναρτήσεις Οι τρεις «αρχές του Littlewood» Ολοκλήρωµα Lebesgue Απλές µετρήσιµες συναρτήσεις Μη αρνητικές συναρτήσεις Η γενική περίπτωση Ιδιότητες του ολοκληρώµατος Θεώρηµα κυριαρχηµένης σύγκλισης Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

4 1 Ολοκλήρωµα Lebesgue 1.1 Μετρήσιµες συναρτήσεις Οι συναρτήσεις για τις οποίες ϑα επιχειρήσουµε να ορίσουµε το ολοκλήρωµα Lebesgue είναι συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού κάποιο µετρήσιµο υποσύνολο A του R d και τιµές στην επεκτεταµένη ευθεία [, + ] των πραγµατικών αριθµών. Αυτό που Ϲητάµε είναι όλα τα σύνολα της µορφής f 1 ((a, b)), όπου a < b στο R, να είναι µετρήσιµα Ορισµός και βασικές ιδιότητες Ορισµός (Lebesgue µετρήσιµη συνάρτηση). Εστω A Lebesgue µετρήσιµο υποσύνολο του R d και έστω f : A R. Η f λέγεται Lebesgue µετρήσιµη, ή απλά µετρήσιµη, αν για κάθε a R το σύνολο ( ) {x A : f (x) > a} = f 1 ((a, + )) είναι µετρήσιµο. Η επόµενη Πρόταση δείχνει ότι στη ϑέση των ηµιευθειών (a, + ) του Ορισµού ϑα µπορούσαµε να πάρουµε οποιαδήποτε άλλη κλάση ηµιευθειών. Πρόταση Εστω A µετρήσιµο υποσύνολο του R d και έστω f : A R. Τα εξής είναι ισοδύναµα: (i) Η f είναι µετρήσιµη. (ii) Για κάθε a R το σύνολο {x A : f (x) a} = f 1 ([a, + )) είναι µετρήσιµο. (iii) Για κάθε a R το σύνολο {x A : f (x) < a} = f 1 ((, a)) είναι µετρήσιµο. (iv) Για κάθε a R το σύνολο {x A : f (x) a} = f 1 ((, a]) είναι µετρήσιµο. Απόδειξη. (i) (ii) Παρατηρήστε ότι ( ) {x A : f (x) a} = (ii) (iii) Παρατηρήστε ότι { x A : f (x) > a 1 }. ( ) {x A : f (x) < a} = A \ {x A : f (x) a}. (iii) (iv) Παρατηρήστε ότι ( ) {x A : f (x) a} = (iv) (i) Παρατηρήστε ότι { x A : f (x) < a + 1 }. ( ) {x A : f (x) > a} = A \ {x A : f (x) a}. Αφού αριθµήσιµες τοµές, αριθµήσιµες ενώσεις και συνολοθεωρητικές διαφορές µετρήσιµων συνόλων είναι µετρήσιµα σύνολα, η ισοδυναµία των (i)-(iv) προκύπτει άµεσα από τις παραπάνω σχέσεις. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

5 Πρόταση Εστω A µετρήσιµο υποσύνολο του R d και έστω f : A R µετρήσιµη συνάρτηση. Τότε, όλες οι αντίστροφες εικόνες διαστηµάτων µέσω της f είναι µετρήσιµα σύνολα. Το ίδιο ισχύει για τα σύνολα {x A : f (x) = a}, a R. Απόδειξη. Ο ισχυρισµός είναι απλή συνέπεια της Πρότασης Για παράδειγµα, αν J = [a, b] τότε το σύνολο ( ) f 1 (J) = {x A : a f (x) b} = {x A : f (x) a} {x A : f (x) b} είναι µετρήσιµο. Τελείως ανάλογα, για κάθε a R, το σύνολο { ( ) {x A : f (x) = a} = x A : a 1 < f (x) < a + 1 } είναι µετρήσιµο. Ορισµός (Borel µετρήσιµη συνάρτηση). Εστω A σύνολο Borel του R d και έστω f : A R. Η f λέγεται Borel µετρήσιµη αν, για κάθε a R, το σύνολο ( ) {x A : f (x) > a} = f 1 ((a, + )) είναι σύνολο Borel. Τα ακριβή ανάλογα των Προτάσεων και ισχύουν για τις Borel µετρήσιµες συναρτήσεις (διατυπώστε αντίστοιχες Προτάσεις και αποδείξτε τις). Παραδείγµατα (α) Εστω A µετρήσιµο υποσύνολο του R d και έστω f : A R συνεχής συνάρτηση. Τότε, η f είναι µετρήσιµη. Πράγµατι, για κάθε a R το σύνολο {x A : f (x) > a} είναι ανοικτό στο A, δηλαδή είναι της µορφής A U για κάποιο ανοικτό υποσύνολο U του R. Συνεπώς, είναι µετρήσιµο σύνολο ως τοµή δύο µετρήσιµων συνόλων. (ϐ) Η χαρακτηριστική συνάρτηση χ A : R d R ενός µετρήσιµου συνόλου A είναι µετρήσιµη συνάρτηση. Πράγµατι, έχουµε ( ) {x R : χ A (x) > a} = R d, αν a < 0 A, αν 0 a < 1, αν a 1 δηλαδή, µετρήσιµο σύνολο σε κάθε περίπτωση. Ειδικότερα, η συνάρτηση του Dirichlet χ Q : R R είναι µετρήσιµη συνάρτηση. (γ) Εστω A µετρήσιµο υποσύνολο του R. Κάθε µονότονη συνάρτηση f : A R είναι µετρήσιµη. Για κάθε a R το σύνολο {x A : f (x) > a} είναι η τοµή του A µε µια ηµιευθεία, άρα είναι µετρήσιµο. Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι η f είναι αύξουσα. Εστω a R. Γράφουµε T = {x A : f (x) > a} και t := if T. (i) Αν t = τότε T = A. Πράγµατι, αν x A τότε υπάρχει y T ώστε y < x. Αυτό σηµαίνει ότι y A και f (y) > a, όµως η f είναι αύξουσα και από την y < x έπεται ότι f (x) f (y) > a, δηλαδή x T. Αρα, σε αυτήν την περίπτωση το T = A είναι µετρήσιµο. (ii) Αν t R τότε διακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: t T: Αυτό σηµαίνει ότι t A και f (t) > a. Τότε, ισχύει T = A [t, + ). Πράγµατι, αν x A και x t τότε f (x) f (t) > a, άρα x T. Αντίστροφα, αν x T τότε x A και x t γιατί ο t είναι κάτω ϕράγµα του T. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

6 t T: Θα δείξουµε ότι T = A (t, + ). Πράγµατι, αν x A και x > t τότε (χαρακτηρισµός του ifimum) υπάρχει y T ώστε t < y < x και αυτό µας δίνει την f (x) f (y) > a, άρα x T. Αντίστροφα, αν x T τότε x A και x > t γιατί ο t είναι κάτω ϕράγµα του T και δεν ανήκει στο T. Σε κάθε περίπτωση το T = {x A : f (x) > a} είναι η τοµή του A µε µια ηµιευθεία. Πρόταση (πράξεις µεταξύ µετρήσιµων συναρτήσεων). Εστω A µετρήσιµο υποσύνολο του R d και έστω f, g : A R µετρήσιµες συναρτήσεις. Τότε, (i) Η f + g είναι µετρήσιµη. (ii) Για κάθε λ R, η συνάρτηση λ f είναι µετρήσιµη. (iii) Η f g είναι µετρήσιµη. (iv) Αν f (x) 0 για κάθε x A, τότε η 1/ f είναι µετρήσιµη. (v) Οι συναρτήσεις max{ f, g}, mi{ f, g} και f είναι µετρήσιµες. Απόδειξη. (i) Εστω a R. Αν f (x) + g(x) < a, τότε f (x) < a g(x). Αρα, υπάρχει ϱητός q ώστε ( ) f (x) < q < a g(x). Επεται ότι {x A : f (x) + g(x) < a} = = {x A : f (x) < q και g(x) < a q} q Q ( ) {x A : f (x) < q} {x A : g(x) < a q}, q Q δηλαδή είναι µετρήσιµο σύνολο. (ii) Εστω a R. Αν λ > 0, τότε ( ) {x A : λ f (x) > a} = {x A : f (x) > a/λ}, δηλαδή µετρήσιµο σύνολο. Αν λ < 0, τότε ( ) {x A : λ f (x) > a} = {x A : f (x) < a/λ}, δηλαδή µετρήσιµο σύνολο. Σε κάθε περίπτωση, η λ f είναι µετρήσιµη (αν λ = 0, τότε δεν έχουµε να δείξουµε τίποτα). (iii) είχνουµε πρώτα ότι η f 2 είναι µετρήσιµη. Αν a < 0, τότε ( ) {x A : f 2 (x) > a} = A, ενώ αν a 0, τότε ( ) {x A : f (x) 2 > a} = {x A : f (x) > a} {x A : f (x) < a}. Σε κάθε περίπτωση, το {x : f 2 (x) > a} είναι µετρήσιµο. Τώρα, η f g είναι µετρήσιµη, διότι ( ) f g = ( f + g)2 ( f g) 2. 4 Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

7 (iv) Αν a = 0, τότε {x A : 1/ f (x) > 0} = {x A : f (x) > 0}. Αν a > 0, τότε ( ) {x A : 1/ f (x) > a} = {x A : 0 < f (x) < 1/a}. Τέλος, αν a < 0 τότε ( ) {x A : 1/ f (x) > a} = {x A : f (x) > 0} {x A : f (x) < 1/a}. Σε κάθε περίπτωση, το σύνολο {x A : 1/ f (x) > a} είναι µετρήσιµο. (v) Για κάθε a R έχουµε ( ) {x A : max{ f, g}(x) > a} = {x A : f (x) > a} {x A : g(x) > a} και ( ) {x A : mi{ f, g}(x) < a} = {x A : f (x) < a} {x A : g(x) < a}. Αρα, οι max{ f, g} και mi{ f, g} είναι µετρήσιµες. Τέλος, η f = max{ f, f } είναι µετρήσιµη. Μετρήσιµες συναρτήσεις µε τιµές στο R Το επεκτεταµένο σύνολο των πραγµατικών αριθµών είναι το R = [, ] = R {± }. Επεκτείνουµε την διάταξη του R στο R ορίζοντας < x < + για κάθε x R και επεκτείνουµε την κλάση των διαστηµάτων του R στην κλάση των διαστηµάτων του R προσθέτοντας τα (επεκτεταµένα) διαστήµατα [, a), [, a], (a, + ], [a, + ] (όπου a R) και [, + ], [, + ), (, + ]. Οι ανοικτές περιοχές του και του + είναι τα σύνολα [, a) και (a, + ] αντίστοιχα. Οι πράξεις του R επεκτείνονται µε τον γνωστό τρόπο στο R. Μη επιτρεπτές πράξεις είναι οι (+ ) (+ ), 0 (± ), (± )/0, (± )/(± ). Οι συναρτήσεις f : A R, όπου A µη κενό υποσύνολο του R d, λέγονται επεκτεταµένες συναρτήσεις. Θα επεκτείνουµε τον ορισµό της µετρήσιµης συνάρτησης και στην περίπτωση συναρτήσεων µε τιµές στο R. Ορισµός Εστω A Lebesgue µετρήσιµο υποσύνολο του R d και έστω f : A R. Lebesgue µετρήσιµη, ή απλά µετρήσιµη, αν για κάθε a R το σύνολο Η f λέγεται ( ) {x A : f (x) > a} = f 1 ((a, + )) είναι µετρήσιµο. Ολες οι Προτάσεις που αποδείξαµε ως τώρα ισχύουν για (επεκτεταµένες) µετρήσιµες συναρτήσεις (για τις πράξεις µεταξύ συναρτήσεων περιοριζόµαστε στο υποσύνολο του πεδίου ορισµού τους στο οποίο οι πράξεις είναι επιτρεπτές). Παρατηρήστε ότι, αν η f : A R είναι µετρήσιµη, τότε τα σύνολα ( ) {x A : f (x) = + } = και ( ) {x A : f (x) = } = είναι µετρήσιµα. {x A : f (x) > } {x A : f (x) < } Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

8 Η έννοια του «σχεδόν παντού» Εστω A µετρήσιµο υποσύνολο του R d. Λέµε ότι η P(x) ισχύει σχεδόν παντού στο A αν το σύνολο Z των x A για τα οποία δεν ισχύει η P(x) έχει µέτρο µηδέν. Η επόµενη Πρόταση δείχνει ότι αν αλλάξουµε τις τιµές µιας µετρήσιµης συνάρτησης σε ένα σύνολο µέτρου µηδέν, τότε προκύπτει µετρήσιµη συνάρτηση. Πρόταση Εστω A µετρήσιµο υποσύνολο του R d και έστω f, g : A R συναρτήσεις µε f (x) = g(x) σχεδόν παντού στο A. Αν η f είναι µετρήσιµη, τότε η g είναι κι αυτή µετρήσιµη. Απόδειξη. Θέτουµε B = {x A : f (x) = g(x)} και Z = {x A : f (x) g(x)}. Αφού λ(z) = 0, το Z είναι µετρήσιµο, άρα και το B = A \ Z είναι µετρήσιµο. Εστω a R. Τότε, {x A : g(x) > a} = {x B : g(x) > a} {x Z : g(x) > a} = {x B : f (x) > a} {x Z : g(x) > a} = ( B {x A : f (x) > a} ) {x Z : g(x) > a}. Το B {x A : f (x) > a} είναι µετρήσιµο διότι το B είναι µετρήσιµο και το {x A : f (x) > a} είναι µετρήσιµο λόγω της µετρησιµότητας της f. Το {x Z : g(x) > a} είναι µετρήσιµο ως υποσύνολο συνόλου µε µέτρο 0. Αρα, το {x A : g(x) > a} είναι µετρήσιµο. Αφού το a R ήταν τυχόν, η g είναι µετρήσιµη Ακολουθίες µετρήσιµων συναρτήσεων Η επόµενη Πρόταση δείχνει ότι η µετρησιµότητα διατηρείται για το κατά σηµείο όριο µιας ακολουθίας µετρήσιµων συναρτήσεων. Πρόταση Εστω A µετρήσιµο υποσύνολο του R d και έστω ( f ) ακολουθία µετρήσιµων συναρτήσεων f : A [, + ]. Τότε, 1. Οι συναρτήσεις sup f και if f είναι µετρήσιµες. 2. Αν η ( f ) συγκλίνει κατά σηµείο, τότε η συνάρτηση f : A [, + ] µε f (x) := lim f (x) είναι µετρήσιµη. Απόδειξη. (i) Για κάθε a R έχουµε ότι το ( ) {x A : sup f (x) > a} = {x A : f (x) > a} είναι µετρήσιµο σύνολο, και το ( ) {x A : if f (x) < a} = {x A : f (x) < a} είναι µετρήσιµο σύνολο. Αρα, οι sup f και if f είναι µετρήσιµες συναρτήσεις. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

9 (ii) Θυµηθείτε ότι, για κάθε ακολουθία (a ) πραγµατικών αριθµών έχουµε ( ) ( ) ( ) lim sup a = if sup a k και lim if a = sup if a k. m N k m m N k m Η ακολουθία b m = sup k m a k είναι ϕθίνουσα και συγκλίνει στο lim sup αύξουσα και συγκλίνει στο lim if Στην περίπτωσή µας, αν ϑέσουµε a. ( ) g m (x) = sup f k (x) και h m (x) = if f k (x), k m k m τότε, από το (i), κάθε g m, h m είναι µετρήσιµη συνάρτηση, και ( ) f (x) = if g m(x) = sup h m (x). m m a, ενώ η γ m = if k m a k είναι Αρα, πάλι από το (i), η f είναι µετρήσιµη. Σηµείωση: Η απόδειξη του (ii) δίνει κάτι γενικότερο: Αν ( f ) είναι οποιαδήποτε ακολουθία µετρήσιµων συναρτήσεων f : A [, + ], τότε οι συναρτήσεις lim sup f και lim if f που ορίζονται από τις ( ) lim sup ( ) f (x) = if sup f k (x) m N k m και lim if ( ) f = sup if f k (x), m N k m είναι µετρήσιµες. Κλείνουµε αυτήν την Παράγραφο µε ένα ακόµα τυπικό παράδειγµα Πρότασης που δείχνει ότι τα σύνολα µέτρου 0 είναι αµελητέα σε σχέση µε την µετρησιµότητα. Πρόταση Εστω A µετρήσιµο υποσύνολο του R και έστω f : A [, + ]. Αν f : A [, + ] είναι µετρήσιµες συναρτήσεις και f (x) f (x) σχεδόν παντού στο A, τότε η f είναι µετρήσιµη. Απόδειξη. Εστω B = {x A : f (x) f (x)}. Αν Z = A \ B, τότε λ(z) = 0 και το B είναι µετρήσιµο. Εστω a R. Τότε, το {x B : f (x) > a} είναι µετρήσιµο από την Πρόταση (οι f : B [, + ] είναι µετρήσιµες, και f f στο B) και το {x Z : f (x) > a} είναι µετρήσιµο ως υποσύνολο του Z (το οποίο έχει µέτρο 0). Αρα, το ( ) {x A : f (x) > a} = {x B : f (x) > a} {x Z : f (x) > a} είναι µετρήσιµο. Αφού το a R ήταν τυχόν, η g είναι µετρήσιµη Η συνάρτηση Cator--Lebesgue Σκοπός µας σε αυτήν την παράγραφο είναι να δείξουµε ότι η Borel σ-άλγεβρα B του R περιέχεται γνήσια στη σ-άλγεβρα M των Lebesgue µετρήσιµων υποσυνόλων του R. Εισάγουµε την συνάρτηση Cator- Lebesgue, και, χρησιµοποιώντας την, αποδεικνύουµε την ύπαρξη µετρήσιµων συνόλων τα οποία δεν είναι σύνολα Borel. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

10 Θεωρούµε τα σύνολα C που χρησιµοποιήθηκαν για την κατασκευή του συνόλου C του Cator. Για κάθε N ορίζουµε συνάρτηση f : [0, 1] [0, 1] ως εξής. Αν J1,..., J 2 1 είναι τα διαδοχικά ανοικτά διαστήµατα που σχηµατίζουν το [0, 1] \ C, ορίζουµε f (0) = 0, f (1) = 1, f (x) = k 2 για κάθε x στο Jk, και επεκτείνουµε γραµµικά σε καθένα από τα κλειστά διαστήµατα που σχηµατίζουν το C ώστε να προκύψει συνεχής συνάρτηση. Για παράδειγµα, έχουµε C 1 = [0, 1/3] [2/3, 1]. Η f 1 είναι σταθερή και ίση µε 1/2 στο (1/3, 2/3), γραµµική στο [0, 1/3] µε f (0) = 0 και f (1/3) = 1/2, γραµµική στο [2/3, 1] µε f (2/3) = 1/2 και f (1) = 1. Στο δεύτερο ϐήµα, το [0, 1] \ C 2 αποτελείται από τρία ξένα ανοικτά διαστήµατα: στο (1/9, 2/9) η f 2 είναι σταθερή και ίση µε 1/4, στο (1/3, 2/3) η f 2 είναι σταθερή και ίση µε 1/2, στο (7/9, 8/9) η f 2 είναι σταθερή και ίση µε 3/4, ενώ σε καθένα από τα τέσσερα κλειστά διαστήµατα του C 2 την επεκτείνουµε γραµµικά σε συνεχή συνάρτηση, ορίζοντας πάλι f 2 (0) = 0 και f 2 (1) = 1. Πρόταση (συνάρτηση Cator-Lebesgue). Η ακολουθία { f } συγκλίνει οµοιόµορφα σε µια συνεχή συνάρτηση f : [0, 1] [0, 1]. Η f είναι αύξουσα και επί του [0, 1]. Η εικόνα του C µέσω της f έχει µέτρο λ( f (C)) = 1. Απόδειξη. Από την κατασκευή της η ακολουθία { f } έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: 1. Κάθε f είναι αύξουσα, συνεχής συνάρτηση µε f (0) = 0 και f (1) = Αν Jk είναι κάποιο από τα ανοικτά διαστήµατα που αφαιρούµε στο -οστό ϐήµα της κατασκευής του C, τότε η f είναι σταθερή στο Jk, και ( ) f f +1 f +2 στο J k. 3. Ισχύει ( ) f +1 f 1 2, = 1, 2, 3,.... Από την τρίτη ιδιότητα ελέγχουµε εύκολα ότι η { f } είναι ϐασική ακολουθία στον C[0, 1]: αν m > τότε ( ) f m f m 1 k= f k+1 f k m 1 k= 1 2 k όταν m,. Ο C[0, 1] είναι πλήρης ως προς την, άρα υπάρχει συνεχής συνάρτηση f : [0, 1] R ώστε f f οµοιόµορφα. Προφανώς, f f κατά σηµείο στο [0, 1]. Αφού κάθε f είναι αύξουσα συνάρτηση µε f (0) = 0 και f (1) = 1, έπεται ότι η f είναι κι αυτή αύξουσα, συνεχής συνάρτηση µε f (0) = 0 και f (1) = 1. Ειδικότερα, η f είναι επί του [0, 1]. Τέλος, f (C) = [0, 1]. Πράγµατι, από την δεύτερη ιδιότητα της { f } ϐλέπουµε ότι η f είναι σταθερή σε κάθε ανοικτό διάστηµα J του συµπληρώµατος του C, και µάλιστα αυτή η σταθερή τιµή παίρνεται και στα άκρα του J τα οποία ανήκουν στο C. Αφού η f είναι επί του [0, 1], κάθε y [0, 1] είναι ίσο µε f (x) για κάποιο x C. Από την f (C) = [0, 1] είναι ϕανερό ότι λ( f (C)) = 1. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 10

11 Σηµείωση. Παρατηρήστε ότι λ([0, 1] \ C) = 1 και f (x) = 0 για κάθε x C. Πράγµατι, αν x C τότε το x ανήκει σε κάποιο ανοικτό διάστηµα J στο οποίο η f είναι σταθερή. Συνεπώς, η f είναι παραγωγίσιµη στο x και f (x) = 0. Με άλλα λόγια, η f είναι σχεδόν παντού ίση µε µηδέν, παρόλο που η f είναι αύξουσα και απεικονίζει το [0, 1] επί του [0, 1]. Χρησιµοποιώντας την συνάρτηση Cator--Lebesgue, µπορούµε να αποδείξουµε την ύπαρξη µετρήσιµων συνόλων τα οποία δεν είναι σύνολα Borel. Θα χρειαστούµε το εξής Λήµµα. Λήµµα Εστω A σύνολο Borel στο R και έστω f : A R συνεχής συνάρτηση. Τότε, για κάθε Borel σύνολο B R, το f 1 (B) = {x A : f (x) B} είναι σύνολο Borel. Απόδειξη. Θεωρούµε την οικογένεια ( ) A = {B R : το f 1 (B) είναι σύνολο Borel}. Αν B είναι ανοικτό υποσύνολο του R, τότε το f 1 (B) είναι ανοικτό στο A, διότι η f είναι συνεχής. Αφού το A είναι σύνολο Borel, έπεται ότι το f 1 (B) είναι σύνολο Borel (εξηγήστε γιατί). Εύκολα ελέγχουµε ότι η A είναι σ-άλγεβρα οι λεπτοµέρειες αφήνονται ως άσκηση. Αφού η A είναι σ-άλγεβρα και περιέχει τα ανοικτά σύνολα, συµπεραίνουµε ότι η Borel σ-άλγεβρα B περιέχεται στην A. Από τον ορισµό της A έπεται ότι η αντίστροφη εικόνα f 1 (B) κάθε Borel συνόλου B R είναι σύνολο Borel. Πρόταση Υπάρχει Lebesgue µετρήσιµο υποσύνολο του συνόλου του Cator, το οποίο δεν είναι σύνολο Borel. Απόδειξη. Θεωρούµε την συνάρτηση g : [0, 1] [0, 2] µε g(x) = f (x) + x, όπου f η συνάρτηση Cator--Lebesgue. Η g είναι γνησίως αύξουσα, συνεχής και επί (το ίδιο και η g 1 ). Το σύνολο g(c) είναι µετρήσιµο και λ(g(c)) = 1. Πράγµατι, το g(c) είναι κλειστό ως συνεχής εικόνα του συµπαγούς συνόλου C, άρα είναι µετρήσιµο. Επίσης, η g απεικονίζει κάθε ανοικτό διάστηµα J του [0, 1] \ C στο { f (J)} + J, δηλαδή σε διάστηµα ίσου µήκους. Αρα λ(g([0, 1] \ C)) = λ(j) = 1. Επεται ότι λ(g(c)) = 1. Αφού το g(c) έχει ϑετικό µέτρο, υπάρχει µη µετρήσιµο υποσύνολο M του g(c). Τότε, το K = g 1 (M) είναι Lebesgue µετρήσιµο διότι είναι υποσύνολο του C το οποίο έχει µηδενικό µέτρο. Οµως, το K δεν είναι σύνολο Borel: αν ήταν, από το Λήµµα το M = (g 1 ) 1 (K) ϑα ήταν σύνολο Borel ως αντίστροφη εικόνα συνόλου Borel µέσω συνεχούς συνάρτησης. Συνεπώς, το M ϑα ήταν Lebesgue µετρήσιµο Προσέγγιση µετρήσιµων συναρτήσεων από απλές συναρτήσεις Ορισµός (απλή µετρήσιµη συνάρτηση). Μια συνάρτηση ϕ : R d R λέγεται απλή µετρήσιµη αν είναι πεπερασµένος γραµµικός συνδυασµός χαρακτηριστικών συναρτήσεων µετρήσιµων συνόλων. ηλαδή, η ϕ είναι απλή συνάρτηση αν ( ) ϕ = a i χ Ai i=1 για κάποιον N, κάποιους πραγµατικούς αριθµούς a 1,..., a και κάποια µετρήσιµα σύνολα A 1,..., A. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 11

12 Παρατηρήστε ότι δεν απαιτούµε από τα σύνολα A i να είναι ξένα, ούτε από τους αριθµούς a i να είναι διακεκριµένοι. εν είναι όµως δύσκολο να διαπιστώσετε ότι µια συνάρτηση ϕ είναι απλή αν και µόνο αν παίρνει πεπερασµένες το πλήθος διακεκριµένες πραγµατικές τιµές (µία από αυτές µπορεί να ισούται µε 0). Πράγµατι, το σύνολο των τιµών της συνάρτησης ϕ στην ( ) περιέχεται στο ( ) a i : I {1,..., } {0} i I (εξηγήστε γιατί). Αν λοιπόν {t 1,..., t m } είναι το σύνολο τιµών της ϕ και αν ορίσουµε ( ) i = {ϕ = t i } = {x R d : ϕ(x) = t i }, τότε τα σύνολα i είναι ξένα και µετρήσιµα, η ένωσή τους µας δίνει το R d, και ( ) ϕ = m t i χ i. i=1 Η αναπαράσταση ( ) της ϕ είναι µονοσήµαντα ορισµένη (από την ϕ) και λέγεται κανονική αναπαράσταση της ϕ. Το ϐασικό αποτέλεσµα αυτής της παραγράφου δείχνει ότι κάθε µη αρνητική µετρήσιµη συνάρτηση είναι κατά σηµείο όριο µιας αύξουσας ακολουθίας απλών µετρήσιµων συναρτήσεων. Θεώρηµα Εστω A µετρήσιµο σύνολο και έστω f : A [0, ] µη αρνητική µετρήσιµη συνάρτηση. Υπάρχει αύξουσα ακολουθία (ϕ ) µη αρνητικών απλών µετρήσιµων συναρτήσεων 0 ϕ 1 ϕ 2 f ώστε ( ) ϕ (x) f (x) για κάθε x A. Η σύγκλιση είναι οµοιόµορφη σε κάθε υποσύνολο του A στο οποίο η f είναι ϕραγµένη. Απόδειξη. Για κάθε = 1, 2,... ορίζουµε C = {x A : f (x) 2 } και ( ) B,k = { x A : k 2 f (x) < k + 1 } 2, k = 0, 1,..., Χωρίζουµε δηλαδή το [0, 2 ] σε 2 2 διαστήµατα µήκους 2 και ϑεωρούµε τις αντίστροφες εικόνες τους µέσω της f. Αφού η f είναι µετρήσιµη, τα σύνολα C και B,k είναι µετρήσιµα. Τώρα, ορίζουµε µια απλή µετρήσιµη συνάρτηση ϕ ως εξής: ( ) ϕ = 2 χ C + Εύκολα ελέγχουµε ότι κάθε ϕ ικανοποιεί τα εξής: k=0 k 2 χ B,k. (i) 0 ϕ f και η ϕ µηδενίζεται έξω από το A. (ii) 0 f ϕ 2 στο σύνολο A \ C = {x A : f (x) < 2 }. (iii) ϕ (x) = 2 αν f (x) =. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 12

13 Από τα (ii) και (iii) συµπεραίνουµε ότι ϕ (x) f (x) για κάθε x A. Πράγµατι, αν f (x) = τότε ( ) ϕ (x) = 2 = f (x). Αν f (x) <, τότε υπάρχει 0 N ώστε f (x) < για κάθε 0. Τότε, 0 f (x) ϕ (x) < 2 για κάθε 0, άρα ϕ (x) f (x). Παρόµοιος συλλογισµός δείχνει ότι ϕ f οµοιόµορφα σε κάθε σύνολο της µορφής {x A : f (x) M}, M > 0. Μένει να δείξουµε ότι η (ϕ ) είναι αύξουσα. Η ϐασική παρατήρηση είναι ότι B,k = {x A : k/2 f (x) < (k + 1)/2 } { 2k 2k + 1 } { = x A : f (x) < x A : 2k f (x) < 2k + 2 } 2 +1 = B +1,2k B +1,2k+1. Αν x B +1,2k, τότε ϕ (x) = k/2 = (2k)/2 +1 = ϕ +1 (x), ενώ αν x B +1,2k+1, τότε ϕ (x) = k/2 < (2k + 1)/2 +1 = ϕ +1 (x). Τέλος, αν x C έχουµε ϕ (x) = 2 ϕ +1 (x) (εξηγήστε την τελευταία ανισότητα: ϑα χρειαστεί να χωρίσετε το C στα B +1,2 +1, B +1, ,..., B +1,2 2(+1) 1 και C +1). Σε κάθε περίπτωση ϕ (x) ϕ +1 (x), δηλαδή ϕ ϕ +1. Εστω f : A [, + ] µετρήσιµη συνάρτηση. Εφαρµόζοντας το Θεώρηµα για τις f + και f χωριστά, παίρνουµε το εξής. Πόρισµα Εστω f : A [, + ] µετρήσιµη συνάρτηση. µετρήσιµων συναρτήσεων ϕ : A R µε ( ) 0 ϕ 1 ϕ 2 f Υπάρχει ακολουθία (ϕ ) απλών και ϕ (x) f (x) για κάθε x A. Η σύγκλιση είναι οµοιόµορφη σε κάθε υποσύνολο του A στο οποίο η f είναι ϕραγµένη. Απόδειξη. Υπάρχουν αύξουσες ακολουθίες (ψ ) και (ζ ) µη αρνητικών απλών µετρήσιµων συναρτήσεων ώστε ψ (x) f + (x) και ζ (x) f (x) για κάθε x A. Τότε, αν ορίσουµε ϕ = ψ ζ, έχουµε ϕ (x) f + (x) f (x) = f (x) για κάθε x A. Οι f + και f είναι ϕραγµένες σε κάθε υποσύνολο B του A στο οποίο η f είναι ϕραγµένη. Συνεπώς, ψ f + και ζ f οµοιόµορφα στο B, απ όπου έπεται ότι ϕ f οµοιόµορφα στο B. Παρατηρήστε επίσης ότι: αν C = { f < 0} τότε ψ 0 στο C και ζ 0 στο A \ C για κάθε N. Συνεπώς, ( ) ϕ = ψ ζ = max{ψ, ζ } max{ f +, f } = f. Από την σχέση αυτή και από το γεγονός ότι οι (ψ ) και (ζ ) είναι αύξουσες ακολουθίες συναρτήσεων, έπεται επίσης ότι ( ) ϕ = max{ψ, ζ } max{ψ +1, ζ +1 } = ϕ +1. Από τις ( ) και ( ) έπεται η ( ). Παρατηρήστε ότι στην κατασκευή που κάναµε για την απόδειξη του Θεωρήµατος , χρησιµοποιούµε το γεγονός ότι η f είναι µετρήσιµη µόνο για να εξασφαλίσουµε ότι τα C, B,k είναι µετρήσιµα σύνολα, δηλαδή για να συµπεράνουµε ότι οι απλές συναρτήσεις ϕ είναι µετρήσιµες. Η σύγκλιση των ϕ στην f ισχύει τελείως γενικά. Συνδυάζοντας το Θεώρηµα µε την Πρόταση παίρνουµε τον εξής χαρακτηρισµό των µετρήσιµων συναρτήσεων. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 13

14 Θεώρηµα Εστω A µετρήσιµο σύνολο και έστω f : A [, + ]. Η f είναι µετρήσιµη αν και µόνο αν είναι κατά σηµείο όριο µίας ακολουθίας απλών µετρήσιµων συναρτήσεων Οι τρεις «αρχές του Littlewood» Οι τρεις «αρχές του Littlewood» διατυπώνονται µε κάπως «έντονο τρόπο» ως εξής: 1. Κάθε σύνολο είναι σχεδόν ίσο µε µια πεπερασµένη ένωση διαστηµάτων. 2. Κάθε συνάρτηση είναι σχεδόν συνεχής. 3. Κάθε ακολουθία συναρτήσεων που συγκλίνει κατά σηµείο, συγκλίνει σχεδόν οµοιόµορφα. Φυσικά, πρέπει να δώσει κανείς την ακριβή διατύπωση αυτών των ισχυρισµών (αλλιώς, είναι προφανώς λανθασµένοι). Τα σύνολα και οι συναρτήσεις στα οποία αναφερόµαστε πρέπει να είναι µετρήσιµα και το τι εννοούµε λέγοντας «σχεδόν» πρέπει να γίνει σαφές. Η χρησιµότητα όµως αυτών των προτάσεων είναι µεγάλη. Θεώρηµα (µετρήσιµα σύνολα). Εστω A µετρήσιµο υποσύνολο του R d µε λ(a) < +. Για κάθε ε > 0 υπάρχουν διαστήµατα I 1,..., I k ώστε το σύνολο = I 1 I k να ικανοποιεί την λ( A) < ε. Απόδειξη. Εστω ε > 0. Από τον ορισµό του (εξωτερικού) µέτρου, υπάρχει ακολουθία (I ) διαστηµάτων ώστε A I και ( ) λ(i ) < λ(a) + ε 2. Αφού η σειρά των λ(i ) συγκλίνει, υπάρχει k N ώστε ( ) λ(i ) < ε 2. =k+1 Ορίζουµε = I 1 I k. Παρατηρήστε ότι λ( \ A) λ I \ A = λ λ(i ) λ(a) < ε 2 και ( ) A \ = A \ (I 1 I k ) άρα ( ) λ(a \ ) λ Επεται ότι =k+1 I =k+1 I λ(a) =k+1 I, λ(i ) < ε 2. ( ) λ(a ) = λ(a \ ) + λ( \ A) < ε 2 + ε 2 = ε, δηλαδή το Ϲητούµενο. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 14

15 Θεώρηµα (ϑεώρηµα gorov). Εστω A µετρήσιµο υποσύνολο του R d µε λ(a) < + και έστω ( f k ) ακολουθία µετρήσιµων συναρτήσεων f k : A R η οποία συγκλίνει κατά σηµείο στην µετρήσιµη συνάρτηση f : A R σχεδόν παντού στο A. Τότε, για κάθε ε > 0 υπάρχει κλειστό σύνολο F ε A ώστε λ(a \ F ε ) < ε και f k f οµοιόµορφα στο F ε. Απόδειξη. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι f k f παντού στο A (εξηγήστε γιατί). Για κάθε, m N ορίζουµε το σύνολο ( ) A,m = {x A : f k (x) f (x) < 1 } για κάθε k m = Σταθεροποιούµε N. Παρατηρήστε ότι { f k f < 1/}. k=m ( ) A,m+1 = { f k f < 1/} k=m+1 { f k f < 1/} = A,m k=m δηλαδή, η ακολουθία (A,m ) m=1 είναι αύξουσα. Παρατηρήστε επίσης ότι, για κάθε x A υπάρχει m N ώστε f k (x) f (x) < 1/ για κάθε k m, διότι f k (x) f (x). Συνεπώς, υπάρχει m N ώστε x A,m. Αυτό αποδεικνύει ότι ( ) A = A,m. Συνεπώς, λ(a,m ) λ(a). Αρα, µπορούµε να ϐρούµε m N ώστε m=1 ( ) λ(a) < λ(a,m ) + ε Ορίζουµε ( ) U ε = A,m. Τότε, f f οµοιόµορφα στο U ε. Αυτό αιτιολογείται ως εξής: έστω δ > 0. Μπορούµε να ϐρούµε N ώστε 1/ < δ. Τότε, για κάθε k m και για κάθε x U ε έχουµε x A,m, άρα ( ) f k (x) f (x) < 1 < δ. ηλαδή, ( f k f ) Uε < δ για κάθε k m. Επίσης, από την ( ) ϐλέπουµε ότι ( ) λ(a \ U ε ) = λ \ A,m ) (A λ(a \ A,m ) < ε 2 +2 = ε 2. Το U ε είναι µετρήσιµο, όχι απαραίτητα κλειστό, σύνολο. F ε U ε ώστε λ(u ε \ F ε ) < ε 2. Τότε, Μπορούµε όµως να ϐρούµε κλειστό σύνολο ( ) λ(a \ F ε ) = λ(a \ U ε ) + λ(u ε \ F ε ) < ε 2 + ε 2 = ε, και από το γεγονός ότι f k f οµοιόµορφα στο U ε είναι ϕανερό ότι f k f οµοιόµορφα στο F ε. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 15

16 Παρατήρηση Η υπόθεση ότι λ( A) < + είναι απαραίτητη. Αν ϑεωρήσουµε την ακολουθία συναρτήσεων f k : R R µε f k = χ [k, ), τότε f k (x) 0 για κάθε x R, όµως, για κάθε µετρήσιµο C R µε λ(c) < + ισχύει f k R\C = 1. Αυτό σηµαίνει ότι δεν µπορούµε να έχουµε οµοιόµορφη σύγκλιση της ( f k ) στη µηδενική συνάρτηση σε κάποιο σύνολο F ε για το οποίο λ(r \ F ε ) < ε. Εξηγήστε τις λεπτοµέρειες. Θεώρηµα (ϑεώρηµα Luzi). Εστω A µετρήσιµο υποσύνολο του R d µε λ(a) < + και έστω f : A R µετρήσιµη συνάρτηση. Τότε, για κάθε ε > 0 υπάρχει κλειστό σύνολο F ε A ώστε λ(a \ F ε ) < ε και η f Fε να είναι συνεχής συνάρτηση. Απόδειξη. είχνουµε πρώτα τον ισχυρισµό του Θεωρήµατος στην περίπτωση που η f είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση f = χ κάποιου µετρήσιµου υποσυνόλου του A. Εστω ε > 0. Μπορούµε να ϐρούµε F κλειστό υποσύνολο του A και G ανοικτό στο A ώστε V G και λ(g \ F) < ε/2. Θεωρούµε τον περιορισµό της f στο F 1 = V (A \ G). Τα V, A \ G είναι κλειστά στο A και έχουµε f 1 στο V και f 0 στο A \ G. Μπορούµε τότε να ελέγξουµε ότι η f F1 είναι συνεχής (εξηγήστε το, για παράδειγµα, µε την αρχή της µεταφοράς). Κατόπιν, µπορούµε να ϐρούµε κλειστό F F 1 µε λ(f 1 \ F) < ε/2. Τότε, λ(a \ F) < ε και η f F είναι συνεχής. Απο τις χαρακτηριστικές συναρτήσεις υποσυνόλων του A µπορούµε τώρα να περάσουµε σε συναρτήσεις της µορφής ( ) ϕ = m λ i χ i, i=1 όπου λ i R και i µετρήσιµα υποσύνολα του A (εξηγήστε τις λεπτοµέρειες). Εστω τώρα f : A R µετρήσιµη συνάρτηση. Από το Θεώρηµα (και το Πόρισµα ) υπάρχει ακολουθία (ϕ ) συναρτήσεων της µορφής ( ) ώστε ϕ f στο A. Για κάθε N µπορούµε να ϐρούµε A A µε λ(a \ A ) < ε 2 +3 ώστε η ϕ A να είναι συνεχής. Επίσης, από το ϑεώρηµα του gorov µπορούµε να ϐρούµε B A µε λ(a \ B) < ε/4 ώστε ϕ f οµοιόµορφα στο B. Ορίζουµε ( ) U ε = B Τότε, ( ) λ(a \ U ε ) λ(a \ B) + A. λ(a \ A ) < ε 4 + ε 2 +3 = ε 2. Επίσης, όλες οι ϕ Uε είναι συνεχείς (διότι U ε A για κάθε ) και ϕ Uε f Uε οµοιόµορφα (διότι U ε B). Επεται ότι η f Uε είναι συνεχής. Το U ε είναι µετρήσιµο, όχι απαραίτητα κλειστό, σύνολο. F ε U ε ώστε λ(u ε \ F ε ) < ε 2. Τότε, Μπορούµε όµως να ϐρούµε κλειστό σύνολο ( ) λ(a \ F ε ) = λ(a \ U ε ) + λ(u ε \ F ε ) < ε 2 + ε 2 = ε, και από το γεγονός ότι η f Uε είναι συνεχής είναι ϕανερό ότι η f Fε είναι συνεχής. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 16

17 1.2 Ολοκλήρωµα Lebesgue Σε αυτήν την παράγραφο ϑα ορίσουµε το ολοκλήρωµα Lebesgue. Οι ιδιότητες που ϑα ϑέλαµε να ικανοποιεί είναι οι εξής: (i) Αν το A είναι µετρήσιµο, τότε A χ A dλ = λ(a), όπου χ A είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση του A. (ii) Το ολοκλήρωµα είναι γραµµικό: αν f, g είναι ολοκληρώσιµες συναρτήσεις (ορισµένες στο ίδιο σύνολο) και t, s R, τότε ( ) (t f + sg) dλ = t f dλ + s g dλ. (iii) Το ολοκλήρωµα είναι «ϑετικό»: αν η f είναι ολοκληρώσιµη και f 0, τότε f dλ 0. Αφού απαιτούµε και την γραµµικότητα, η ϑετικότητα είναι ισοδύναµη µε την µονοτονία: αν οι f, g είναι ολοκληρώσιµες (ορισµένες στο ίδιο σύνολο) και f g, τότε f dλ g dλ. (iv) Το ολοκλήρωµα ορίζεται για µια ευρεία κλάση συναρτήσεων. Οι ϕραγµένες Riema ολοκληρώσιµες συναρτήσεις είναι Lebesgue ολοκληρώσιµες, και τα δύο ολοκληρώµατα συµπίπτουν. Ο ορισµός του ολοκληρώµατος Lebesgue δίνεται σε τρία ϐήµατα. Τελείως σχηµατικά, η διαδικασία που ϑα ακολουθήσουµε είναι η εξής: 1. Στην ορίζουµε το ολοκλήρωµα για κάποιες απλές µετρήσιµες συναρτήσεις, τους γραµµικούς συνδυασµούς χαρακτηριστικών συναρτήσεων µετρήσιµων συνόλων µε πεπερασµένο µέτρο. Ο ορισµός είναι προφανής από τις ιδιότητες (i) και (ii) που απαιτούµε για το ολοκλήρωµα. 2. Στην δίνουµε τον ορισµό του f dλ για κάθε µετρήσιµη f 0. Η απαίτηση της µονοτονίας και το γεγονός ότι κάθε µετρήσιµη µη αρνητική συνάρτηση είναι το όριο µιας αύξουσας ακολουθίας απλών µετρήσιµων συναρτήσεων υποδεικνύουν ότι το f dλ ϑα µπορούσε να οριστεί ως το supremum των ολοκληρωµάτων ϕ dλ πάνω από όλες τις απλές, µη αρνητικές, ολοκληρώσιµες ϕ f. 3. Στην δίνουµε τον γενικό ορισµό: f dλ = f + dλ f dλ, αν το δεξιό µέλος έχει νόηµα. Ο ορισµός αυτός επιβάλλεται από την απαίτηση της γραµµικότητας. Στην πορεία, ϑα αποδείξουµε τις ϐασικές ιδιότητες του ολοκληρώµατος Lebesgue. Ιδιαίτερα µας ενδιαφέρουν οι καλές ιδιότητες του ολοκληρώµατος Lebesgue σε σχέση µε τις συγκλίνουσες ακολουθίες ολοκληρώσιµων συναρτήσεων (ϑεώρηµα µονότονης σύγκλισης και ϑεώρηµα κυριαρχηµένης σύγκλισης). Το ολοκλήρωµα Lebesgue ορίζεται καλά για κάθε ϕραγµένη µετρήσιµη συνάρτηση που είναι ορισµένη σε κλειστό διάστηµα. Ειδικότερα, οι Riema ολοκληρώσιµες συναρτήσεις f : [a, b] R είναι ολοκληρώσιµες κατά Lebesgue. Στο επόµενο Κεφάλαιο συγκρίνουµε τα δύο ολοκληρώµατα. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 17

18 1.2.1 Απλές µετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός Εστω ϕ : R d R απλή µετρήσιµη συνάρτηση. Λέµε ότι η ϕ είναι Lebesgue ολοκληρώσιµη αν το σύνολο ( ) {ϕ 0} = {x R : ϕ(x) 0} έχει πεπερασµένο µέτρο. Αυτό σηµαίνει ότι η κανονική αναπαράσταση της ϕ είναι ( ) ϕ = a i χ Ai, i=0 όπου a 0 = 0 και A 0 = {ϕ = 0}, οι a i είναι διακεκριµένοι, τα A i είναι ξένα και µετρήσιµα, και λ(a i ) < + αν i 0 (αναγκαστικά, λ(a 0 ) = ). Το ολοκλήρωµα της ϕ ορίζεται από την ( ) ϕ dλ = a i λ(a i ). Αν υιοθετήσουµε την σύµβαση 0 = 0, µπορούµε να γράψουµε ( ) ϕ dλ = i=1 a i λ(a i ) = a λ({ϕ = a}). i=0 Λήµµα Εστω ϕ ολοκληρώσιµη απλή συνάρτηση και έστω ϕ = b i χ i τυχούσα αναπαράσταση της ϕ ώστε τα i να είναι ξένα και µετρήσιµα. Τότε, ( ) ϕ dλ = a R b i λ( i ). i=1 i=1 Απόδειξη. Για κάθε a R ϑέτουµε J a = {i : b i = a}. Τότε, ( ) {ϕ = a} = i J a i και ( ) a λ({ϕ = a}) = b i λ( i ). i J a Αρα, ( ) ϕ dλ = a λ({ϕ = a}) = b i λ( i ) = b i λ( i ) = i J a i λ J a a R a R b i λ( i ). i=1 ηλαδή, ισχύει η ( ). Χρησιµοποιώντας το Λήµµα µπορούµε να δείξουµε ότι το ολοκλήρωµα είναι γραµµικό και µονότονο (στην κλάση των απλών ολοκληρώσιµων συναρτήσεων). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 18

19 Πρόταση Εστω ϕ και ψ απλές ολοκληρώσιµες συναρτήσεις. (i) Αν t, s R, τότε (tϕ + sψ) dλ = t ϕ dλ + s ψ dλ. (ii) Αν ϕ ψ, τότε ϕ dλ ψ dλ. Απόδειξη. (i) Θεωρούµε τις κανονικές µορφές ( ) ϕ = a i χ Ai και ψ = i=0 k b j χ Bj, j=0 των ϕ και ψ (οι a i είναι διακεκριµένοι, τα A i ξένα µετρήσιµα µε ένωση το R d, a 0 = 0 και λ(a i ) < αν i 0 αντίστοιχες ιδιότητες έχουν τα b j, B j ). Παρατηρούµε ότι, από την A i = k B j = R d έπεται ότι i=0 j=0 ( ) R d = k (A i B j ). i=0 j=0 Τα A i B j είναι ξένα, µετρήσιµα, και έχουν πεπερασµένο µέτρο (µε την εξαίρεση του A 0 B 0 ). Επίσης, ( ) ϕ = και k a i χ Ai B j, ψ = i=0 j=0 k b j χ Ai B j i=0 j=0 ( ) tϕ + sψ = k (ta i + sb j ) χ Ai B j. i=0 j=0 Από το Λήµµα (1.2.2) παίρνουµε (tϕ + sψ) dλ = = t = t = t i=0 i=0 i=0 k (ta i + sb j )λ(a i B j ) j=0 k a i λ(a i B j ) + s j=0 a i k λ(a i B j ) + s j=0 a i λ(a i ) + s i=0 = t ϕ dλ + s i=0 k j=0 k b j λ(b j ) j=0 ψ dλ. k b j λ(a i B j ) j=0 b j λ(a i B j ) (ii) Αν ϕ ψ, τότε η ϕ ψ είναι απλή ολοκληρώσιµη συνάρτηση µε µη αρνητικές τιµές. Από το (i), ( ) ϕ dλ ψ dλ = (ϕ ψ) dλ 0. i=0 Η τελευταία ανισότητα είναι προφανής από την ( ), αφού ϕ ψ 0. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 19

20 Πόρισµα Εστω a 1,..., a R και 1,..., όχι αναγκαστικά ξένα µετρήσιµα υποσύνολα του R d µε λ( i ) <, i = 1,...,. Τότε, ( ) i=1 a i χ i dλ = a i λ( i ). i=1 Απόδειξη. Κάθε χ i είναι απλή και ολοκληρώσιµη, διότι λ( i ) <. Το συµπέρασµα προκύπτει άµεσα από τη γραµµικότητα του ολοκληρώµατος για απλές ολοκληρώσιµες συναρτήσεις. Ορισµός Εστω ϕ απλή ολοκληρώσιµη συνάρτηση. Για κάθε µετρήσιµο υποσύνολο του R d ορίζουµε ( ) ϕ dλ := ϕ χ dλ. Η ϕ χ είναι απλή και ολοκληρώσιµη: αν ϕ = a i χ Ai, τότε ϕ χ = a i χ Ai χ = a i χ Ai και τα σύνολα A i έχουν πεπερασµένο µέτρο, διότι τα σύνολα A i έχουν πεπερασµένο µέτρο. Συνεπώς, το ολοκλήρωµα στο δεξιό µέλος της ( ) ορίζεται καλά. Στην περίπτωση που = [a, b], ϑα χρησιµοποιούµε και τον συµβολισµό ( ) b a ϕ dλ := [a,b] ϕ dλ. b Γενικά, ϑα αποφεύγουµε τον συµβολισµό ϕ(x)dx για το ολοκλήρωµα Lebesgue (ώστε να µην υπάρχει a κίνδυνος σύγχυσης µε το ολοκλήρωµα Riema). Παρατήρηση Κλείνουµε αυτήν την παράγραφο µε µια απλή παρατήρηση. Η συνάρτηση του Dirichlet χ Q : [a, b] R είναι απλή και ολοκληρώσιµη (το Q είναι µετρήσιµο). Εχουµε ( ) b a χ Q dλ = 0 για κάθε κλειστό διάστηµα [a, b]. Θυµηθείτε ότι η χ Q δεν είναι Riema ολοκληρώσιµη στο [a, b] Μη αρνητικές συναρτήσεις Ορισµός Εστω f : R d [0, ] µετρήσιµη συνάρτηση. Ορίζουµε το ολοκλήρωµα Lebesgue της f ως εξής: { } ( ) f dλ = sup ϕ dλ 0 ϕ f, ϕ απλή ολοκληρώσιµη. Η ποσότητα αυτή είναι καλά ορισµένη (η µηδενική συνάρτηση είναι απλή ολοκληρώσιµη και 0 f ), µη αρνητική και µπορεί να πάρει την τιµή +. Θα λέµε ότι η f είναι Lebesgue ολοκληρώσιµη αν f dλ < +. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 20

21 Παρατηρήσεις (α) Το πρώτο πράγµα που πρέπει να εξασφαλίσουµε είναι ότι ο νέος ορισµός του ολοκληρώµατος συµφωνεί µε τον ορισµό του ολοκληρώµατος της στην περίπτωση των µη αρνητικών απλών ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. ηλαδή ότι, αν η ϕ 0 είναι απλή ολοκληρώσιµη, τότε { } ( ) ϕ dλ = sup ψ dλ 0 ψ ϕ, ψ απλή ολοκληρώσιµη. Αυτό είναι άµεσο, από τη µονοτονία του ολοκληρώµατος απλών συναρτήσεων - Πρόταση (1.2.3) - και από την 0 ϕ ϕ. Παρατηρήστε ότι, µε τον νέο ορισµό, έχουµε τώρα ορίσει το ϕ για κάθε µη αρνητική απλή µετρήσιµη συνάρτηση (δεν απαιτούµε την λ({ϕ 0}) < ). Ειδικότερα, αν A είναι οποιοδήποτε µετρήσιµο σύνολο, τότε χ A dλ = λ(a). Αυτό έπεται από τον ορισµό στην περίπτωση που λ(a) <, ενώ αν λ(a) = έχουµε χ A χ A [,] d άρα ( ) χ A dλ sup χ A [,] d dλ = sup λ(a [, ] d ) = λ(a) =. (ϐ) Από τον ορισµό έπονται άµεσα οι εξής ιδιότητες: 1. Αν 0 f g τότε f dλ g dλ. 2. Αν t > 0 και f 0 τότε (t f ) dλ = t f dλ. (γ) Εστω f : R d [0, ] µετρήσιµη συνάρτηση και έστω µετρήσιµο σύνολο. Ορίζουµε ( ) f dλ = f χ dλ. Αν f : [0, ], επεκτείνουµε την f σε µια συνάρτηση f : R d [0, ] ϑέτοντας f (x) = 0 αν x, και ορίζουµε ( ) f dλ = f dλ. Παρατηρήστε ότι η f είναι µετρήσιµη και f dλ = f dλ = f dλ. (δ) Μερικές ακόµα χρήσιµες ιδιότητες προκύπτουν εύκολα από τον ορισµό ( ): (iii) Αν λ() = 0 και f 0, τότε f dλ = 0. Πράγµατι, αν η ϕ είναι απλή ολοκληρώσιµη και 0 ϕ f χ, τότε ϕ χ = a i χ i όπου λ( i ) = 0, άρα i=1 ( ) ϕ dλ = ϕ χ dλ = 0. (iv) Αν F και f 0, τότε f dλ F f dλ. Αρκεί να παρατηρήσουµε ότι f χ f χ F. (v) Αν 0 f M στο, τότε f dλ Mλ(). Αρκεί να παρατηρήσουµε ότι f χ M χ. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 21

22 Η ανισότητα της επόµενης Πρότασης είναι απλή αλλά, όπως ϑα δούµε στη συνέχεια, εξαιρετικά σηµαντική. Θεώρηµα (ανισότητα του Markov). Εστω f : R d [0, ] µετρήσιµη συνάρτηση. Για κάθε a > 0, ( ) f dλ f dλ a λ({x : f (x) a}). { f a} Απόδειξη. Παρατηρούµε ότι f a στο { f a}. Αρα, ( ) f dλ dλ { f a} { f a} a dλ = a λ({ f a}). Πόρισµα Εστω f : R d [0, ] ολοκληρώσιµη συνάρτηση. Τότε, η f παίρνει πεπερασµένη τιµή σχεδόν παντού: λ({ f = + }) = 0. Απόδειξη. Γράφουµε ( ) { f = + } = { f }. Από την ανισότητα του Markov έχουµε ( ) 0 λ({ f = + }) λ( ) 1 f dλ 0 όταν. Αρα, ( ) λ({ f = + }) = 0. Το πρώτο ϑεµελιώδες ϑεώρηµα για το ολοκλήρωµα Lebesgue είναι το θεώρηµα µονότονης σύγκλισης. Μεταξύ άλλων, ϑα µας εξασφαλίσει τη γραµµικότητα του ολοκληρώµατος Lebesgue για µη αρνητικές συναρτήσεις. Για την απόδειξή του ϑα χρειαστούµε ένα Λήµµα. Λήµµα Εστω ϕ απλή ολοκληρώσιµη συνάρτηση. Αν ( ) είναι µια αύξουσα ακολουθία µετρήσιµων συνόλων και =, τότε ( ) ϕ = lim ϕ. Απόδειξη. Μπορούµε να γράψουµε ϕ = m a i χ Ai, όπου a i > 0 και τα A i είναι ξένα µετρήσιµα σύνολα µε πεπερασµένο µέτρο. Τότε, ( ) i=1 ϕ dλ = ϕ χ dλ = m a i λ(a i ). Αφού, έχουµε λ(a i ) λ(a i ) για κάθε i = 1,..., m. i=1 Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 22

23 Αρα, ϕ dλ = m a i λ(a i ) = i=1 = lim k i=1 k i=1 a i λ(a i ) = lim a i lim λ(a i ) ϕ dλ. Θεώρηµα (Θεώρηµα Μονότονης Σύγκλισης). Εστω ( f ) αύξουσα ακολουθία µη αρνητικών µετρήσιµων συναρτήσεων. Τότε, ( ) ( ) lim f dλ = lim f dλ. Απόδειξη. Αφού η ( f ) είναι αύξουσα, η συνάρτηση ( ) f (x) = lim f (x) = sup f (x) ορίζεται καλά, είναι µη αρνητική και µετρήσιµη. Επίσης, ( ) f dλ f +1 dλ f dλ για κάθε N, άρα το lim f dλ υπάρχει και ( ) lim f dλ f dλ. Για να δείξουµε την αντίστροφη ανισότητα, αρκεί να δείξουµε το εξής: Για κάθε ε > 0 και για κάθε απλή ολοκληρώσιµη συνάρτηση ϕ µε 0 ϕ f, ( ) lim f dλ (1 ε) ϕ dλ. Στην περίπτωση που f dλ <, παίρνοντας supremum ως προς ϕ συµπεραίνουµε ότι lim f dλ (1 ε) f dλ για κάθε 0 < ε < 1, απ όπου έπεται το Ϲητούµενο. Στην περίπτωση που f dλ =, παίρνοντας πάλι supremum ως προς ϕ, συµπεραίνουµε ότι lim f dλ = + = f dλ. Εστω ϕ απλή ολοκληρώσιµη συνάρτηση µε 0 ϕ f. Θεωρούµε την ακολουθία µετρήσιµων συνόλων = { f (1 ε)ϕ}. Αφού η ( f ) είναι αύξουσα, έχουµε +1 για κάθε. ηλαδή, η ( ) είναι αύξουσα. Παρατηρούµε ότι αν f (x) > 0, τότε f (x) f (x) > (1 ε)ϕ(x), άρα x. Αν πάλι f (x) = 0, τότε ϕ(x) = 0, άρα x για κάθε. Εποµένως, R d. Από τη µονοτονία του ολοκληρώµατος, ( ) f dλ f dλ (1 ε)ϕ dλ = (1 ε) ϕ dλ για κάθε N, οπότε εφαρµόζοντας το Λήµµα παίρνουµε ( ) lim f dλ (1 ε) lim ϕ dλ = (1 ε) ϕ dλ. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 23

24 Ετσι, ολοκληρώνεται η απόδειξη. Χρησιµοποιώντας το ϑεώρηµα µονότονης σύγκλισης, µπορούµε να δώσουµε µια πληρέστερη διατύπωση του Θεωρήµατος για την προσέγγιση µιας µετρήσιµης συνάρτησης από απλές. Θεώρηµα Εστω f µη αρνητική µετρήσιµη συνάρτηση. Υπάρχει αύξουσα ακολουθία (ψ ) µη αρνητικών απλών ολοκληρώσιµων συναρτήσεων ψ f µε τις εξής ιδιότητες: f = lim ψ και f dλ = lim ψ dλ. Απόδειξη. Από το Θεώρηµα υπάρχει αύξουσα ακολουθία (ϕ ) µη αρνητικών απλών µετρήσιµων συναρτήσεων µε ϕ f. Ορίζουµε ψ = ϕ χ [,] d. Κάθε ψ είναι ολοκληρώσιµη, γιατί λ({ψ 0}) λ([, ] d ) <. Αφού χ [,] d 1, εύκολα ελέγχουµε ότι ψ f. Από το ϑεώρηµα µονότονης σύγκλισης, ψ dλ f dλ. Εχοντας στην διάθεσή µας το προηγούµενο ϑεώρηµα, και χρησιµοποιώντας την προσθετικότητα του ολοκληρώµατος για απλές συναρτήσεις, µπορούµε να αποδείξουµε την προσθετικότητα του ολοκληρώµατος για µη αρνητικές µετρήσιµες συναρτήσεις. Θεώρηµα Εστω f και g µη αρνητικές µετρήσιµες συναρτήσεις. Τότε, ( ) ( f + g) dλ = f dλ + g dλ. Ειδικότερα, αν και F είναι ξένα µετρήσιµα σύνολα, τότε ( ) f dλ = f dλ + F F f dλ. Απόδειξη. Σύµφωνα µε το Θεώρηµα , υπάρχουν αύξουσες ακολουθίες (ϕ ) και (ψ ) µη αρνητικών, απλών ολοκληρώσιµων συναρτήσεων µε ϕ f και ψ g. Τότε, ϕ +ψ f +g και, από το ϑεώρηµα µονότονης σύγκλισης, ( f + g) dλ = lim = lim ( (ϕ + ψ ) dλ = lim ϕ dλ + lim ψ dλ = ϕ dλ + f dλ + ) ψ dλ Για την δεύτερη ισότητα χρησιµοποιήσαµε την προσθετικότητα του ολοκληρώµατος για απλές συναρτήσεις. Το δεύτερο συµπέρασµα του Θεωρήµατος προκύπτει από το πρώτο αν ϑεωρήσουµε τις f χ και f χ F : αφού τα και F είναι ξένα, έχουµε f χ + f χ F = f χ F. g dλ. Η επόµενη Πρόταση ουσιαστικά δείχνει ότι αν δύο ολοκληρώσιµες συναρτήσεις συµπίπτουν σχεδόν παντού, τότε τα ολοκληρώµατά τους είναι ίσα (το ολοκλήρωµα δεν µεταβάλλεται αν αλλάξουµε τις τιµές µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης σε ένα σύνολο µέτρου 0). Πρόταση Εστω f µη αρνητική µετρήσιµη συνάρτηση. Τότε, f dλ = 0 αν και µόνο αν f = 0 σχεδόν παντού. Απόδειξη. Αν f = 0 σχεδόν παντού, τότε λ({ f > 0}) = 0. Χρησιµοποιώντας την Παρατήρηση (γ) ϐλέπουµε ότι ( ) f dλ = f dλ + f dλ = = 0. { f =0} { f >0} Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 24

25 Ας υποθέσουµε τώρα ότι f dλ = 0. Για κάθε ορίζουµε = { f 1/}. Από την ανισότητα του Markov, ( ) λ( ) = λ({ f 1/}) f dλ = 0, δηλαδή λ( ) = 0. Αφού { f > 0}, συµπεραίνουµε ότι ( ) λ({ f > 0}) = lim λ( ) = 0. ηλαδή, f = 0 σχεδόν παντού. Το Θεώρηµα Beppo Levi που ακολουθεί είναι ουσιαστικά αναδιατύπωση του Θεωρήµατος Μονότονης Σύγκλισης: το ολοκλήρωµα Lebesgue για µη αρνητικές µετρήσιµες συναρτήσεις είναι αριθµήσιµα προσθετικό. Θεώρηµα (Beppo Levi). Εστω ( f ) ακολουθία µη αρνητικών µετρήσιµων συναρτήσεων. Τότε, ( ) f dλ = Απόδειξη. Οι f είναι µη αρνητικές, εποµένως η f := της αύξουσας ακολουθίας s N = N x). f dλ. f ορίζεται καλά και είναι το κατά σηµείο όριο f (υπάρχει ϐέβαια το ενδεχόµενο να έχουµε f (x) = για κάποια Από την (πεπερασµένη) προσθετικότητα του ολοκληρώµατος για µη αρνητικές µετρήσιµες συναρτήσεις, έχουµε ( ) s N dλ = N f dλ = N f dλ f dλ. Από την άλλη πλευρά, το ϑεώρηµα µονότονης σύγκλισης µας εξασφαλίζει ότι ( ) δηλαδή το Ϲητούµενο. s N dλ f dλ = f dλ, Πόρισµα Εστω f µη αρνητική µετρήσιµη συνάρτηση και έστω ( ) ακολουθία ξένων µετρήσιµων συνόλων. Τότε, ( ) f dλ = f dλ. Απόδειξη. Θεωρούµε τις f = f χ, = 1, 2,.... Αφού τα είναι ξένα, έχουµε f = f χ. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 25

26 Ορισµός Εστω A µια σ-άλγεβρα υποσυνόλων του R. Μια συνολοσυνάρτηση Φ : A [0, + ] λέγεται µέτρο στην A αν ικανοποιεί τα εξής: Φ( ) = 0. ( ) Αν ( ) είναι µια ακολουθία ξένων συνόλων στην A, τότε Φ = Φ( ). Το µέτρο Lebesgue λ στην σ-άλγεβρα M των Lebesgue µετρήσιµων υποσυνόλων του R είναι ένα παράδειγµα µέτρου. Σύµφωνα µε αυτόν τον γενικό ορισµό, τα αποτελέσµατά µας για το ολοκλήρωµα Lebesgue µη αρνητικών µετρήσιµων συναρτήσεων δείχνουν το εξής: Θεώρηµα Εστω f µη αρνητική µετρήσιµη συνάρτηση. Ορίζουµε συνολοσυνάρτηση Φ f : M [0, + ] ως εξής: αν M, ϑέτουµε ( ) Φ f () = f dλ. Τότε, η Φ f είναι µέτρο. Σηµείωση. Παρατηρήστε ότι το µέτρο Lebesgue λ αντιστοιχεί στην συνολοσυνάρτηση Φ που ορίζεται από την σταθερή συνάρτηση f 1. Το ϑεώρηµα µονότονης σύγκλισης µας λέει ότι αν µια ακολουθία µη αρνητικών µετρήσιµων συναρτήσεων f αυξάνει κατά σηµείο στην f, τότε µπορούµε να «εναλλάξουµε τα όρια»: το ολοκλήρωµα του ορίου είναι το όριο των ολοκληρωµάτων. Το Λήµµα του Fatou που ακολουθεί µας δίνει αντίστοιχη πληροφορία στην περίπτωση που έχουµε κατά σηµείο σύγκλιση αλλά δεν έχουµε την υπόθεση της µονοτονίας για την ακολουθία ( f ). Θεώρηµα (Λήµµα του Fatou). Εστω ( f ) ακολουθία µη αρνητικών µετρήσιµων συναρτήσεων. Τότε, ( ) ( lim if f ) dλ lim if f dλ. Απόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία συναρτήσεων (g ), όπου g = if{ f k : k }. Κάθε g είναι µη αρνητική και µετρήσιµη, η (g ) είναι αύξουσα, και ( ) g lim if f. Από το ϑεώρηµα µονότονης σύγκλισης, ( ) ( ) lim if f dλ = lim g dλ. Παρατηρούµε ότι g f k για κάθε k, οπότε η µονοτονία του ολοκληρώµατος µας δίνει ( ) g dλ b := if f k dλ. Η ακολουθία (b ) είναι ϕθίνουσα και συγκλίνει στο lim if f dλ. Αρα, ( ) ( ) lim if f dλ = lim g dλ lim b = lim if k f dλ. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 26

27 Πόρισµα Εστω ( f ) ακολουθία µη αρνητικών µετρήσιµων συναρτήσεων. Αν f f σ.π. και το lim f dλ υπάρχει, τότε ( ) f dλ lim f dλ Η γενική περίπτωση Ορισµός (α) Εστω f : R d [, + ] µετρήσιµη συνάρτηση. Τότε, οι συναρτήσεις f + = max{ f, 0} και f = mi{ f, 0} είναι µετρήσιµες και µη αρνητικές. Επίσης, ικανοποιούν τις ( ) f = f + f και f = f + + f. Τα ολοκληρώµατα f + dλ και f dλ ορίζονται καλά και αν τουλάχιστον µία από τις f + και f είναι ολοκληρώσιµη, τότε το ολοκλήρωµα της f ορίζεται από την ( ) f dλ = f + dλ f dλ (µπορεί ϐέβαια να παίρνει την τιµή + ή ). Αν οι f +, f είναι και οι δύο ολοκληρώσιµες, τότε το ολοκλήρωµα της f είναι πραγµατικός αριθµός και λέµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη. (ϐ) Αν η f : R d [, ] είναι µετρήσιµη και είναι ένα µετρήσιµο υποσύνολο του R d, τότε λέµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη στο αν ( ) f + dλ = f + χ dλ < και f dλ = f χ dλ <, και ορίζουµε ( ) f dλ = f + dλ f dλ = f χ dλ. (γ) Αν η f : [, + ] είναι µετρήσιµη, τότε επεκτείνουµε την f στον R d ϑέτοντας f 0 στο c, συνεπώς, ( ) f dλ = f χ dλ = f dλ. Παρατηρήσεις (α) Αν f 0 τότε f = f + και f 0, συνεπώς ο ορισµός που δώσαµε συµφωνεί µε αυτόν της Παραγράφου 2.2. (ϐ) Από τον ορισµό είναι ϕανερό ότι η f είναι Lebesgue ολοκληρώσιµη αν και µόνο αν ( ) f dλ = f + dλ + f dλ < +, δηλαδή αν και µόνο αν η f είναι Lebesgue ολοκληρώσιµη (ϑυµηθείτε ότι αυτό δεν ισχύει για το ολοκλή- ϱωµα Riema). Σε αυτήν την περίπτωση, ( ) f dλ f dλ. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 27

28 (γ) Αν η f είναι ολοκληρώσιµη, τότε ( ) λ({ f + = + }) = λ({ f = + }) = 0, άρα ( ) λ({x : f (x) = + } {x : f (x) = }) = 0. ηλαδή, η f είναι πεπερασµένη σχεδόν παντού. (δ) Αν λ() = 0, τότε f dλ = 0, διότι f + dλ = 0 και f dλ = 0. (ε) Αν οι f και g είναι µετρήσιµες, η g είναι ολοκληρώσιµη, και f g σχεδόν παντού, τότε η f είναι ολοκληρώσιµη και f dλ g dλ. (στ) Αν f = f 1 f 2, όπου f 1, f 2 µη αρνητικές ολοκληρώσιµες συναρτήσεις, τότε ( ) f dλ = f 1 dλ f 2 dλ. Πράγµατι, από την f + f = f 1 f 2 παίρνουµε f + + f 2 = f + f 1, άρα ( ) f + dλ + f 2 dλ = f dλ + f 1 dλ, δηλαδή ( ) f + dλ f dλ = f 1 dλ f 2 dλ, το οποίο αποδεικνύει το Ϲητούµενο. (Ϲ) Αν λ() < και η f : R είναι ϕραγµένη και µετρήσιµη, τότε η f είναι ολοκληρώσιµη. Οπως ϑα δούµε στο επόµενο Κεφάλαιο, κάθε ϕραγµένη Riema ολοκληρώσιµη συνάρτηση f : [a, b] R είναι Lebesgue ολοκληρώσιµη στο [a, b]. Θα δούµε επίσης ότι τα δύο ολοκληρώµατα (Riema και Lebesgue) συµπίπτουν Ιδιότητες του ολοκληρώµατος Θεώρηµα (γραµµικότητα). Εστω f, g : [, + ] ολοκληρώσιµες συναρτήσεις. Τότε, η f + g ορίζεται καλά σχεδόν παντού και ( ) ( f + g) dλ = f dλ + g dλ. Επίσης, αν t R τότε η t f είναι ολοκληρώσιµη, και ( ) (t f ) dλ = t f dλ. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 28

29 Απόδειξη. Αφού οι f, g είναι ολοκληρώσιµες, παίρνουν πεπερασµένη τιµή σχεδόν παντού, άρα η f + g ορίζεται σχεδόν παντού. Επίσης, ( ) ( f + g) + f + + g + και ( f + g) f + g, άρα ( ) δηλαδή η f + g είναι ολοκληρώσιµη. ( f + g) + dλ < + και ( f + g) dλ < +, Γράφουµε f + g = ( f + + g + ) ( f + g ). Τότε, από την Παρατήρηση (στ) παίρνουµε ( f + g) dλ = ( f + + g + ) dλ ( f + g ) dλ = f + dλ + g + dλ f dλ g dλ = f dλ + g dλ. Για τον δεύτερο ισχυρισµό παρατηρούµε ότι: αν t > 0, τότε (t f ) + = t f + και (t f ) = t f, άρα η t f είναι ολοκληρώσιµη και ( ) (t f ) dλ = (t f ) + dλ (t f ) dλ = t f + dλ t f dλ = t f dλ. Αν t < 0, τότε (t f ) + = t f και (t f ) = t f +, άρα η t f είναι ολοκληρώσιµη και ( ) (t f ) dλ = (t f ) + dλ (t f ) dλ = t f dλ + t f + dλ = t f dλ. Αν t = 0, δεν έχουµε τίποτα να δείξουµε. Πόρισµα Εστω µετρήσιµο σύνολο. Το σύνολο των ολοκληρώσιµων συναρτήσεων f : [, + ] είναι γραµµικός χώρος. Θεώρηµα (µονοτονία). Αν οι f, g είναι ολοκληρώσιµες και f g σχεδόν παντού, τότε f dλ g dλ. Ειδικότερα, αν f = g σχεδόν παντού, τότε f dλ = g dλ. Απόδειξη. Από την f g έπεται ότι f + g + και f g σχεδόν παντού. Αρα, ( ) f + dλ f dλ g + dλ g dλ, το οποίο αποδεικνύει το Ϲητούµενο. Θεώρηµα (προσθετικότητα). Εστω f ολοκληρώσιµη συνάρτηση. Αν τα A, B είναι µετρήσιµα και A B =, τότε ( ) f dλ = f dλ + f dλ. A B A B Απόδειξη. Γράφουµε ( ) f dλ = f χ A B dλ = f ( χ A + χ B ) dλ A B = f χ A dλ + f χ B dλ = f dλ + f dλ. A B Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 29

30 1.2.5 Θεώρηµα κυριαρχηµένης σύγκλισης Το ϐασικό ϑεώρηµα σύγκλισης για ακολουθίες γενικών (όχι αναγκαστικά µη αρνητικών) ολοκληρώσιµων συναρτήσεων είναι το ϑεώρηµα κυριαρχηµένης σύγκλισης. Θεώρηµα (Θεώρηµα Κυριαρχηµένης Σύγκλισης). Εστω f : [, + ] ακολουθία µετρήσιµων συναρτήσεων. Υποθέτουµε ότι f f σχεδόν παντού και ότι υπάρχει g : [0, + ] ολοκληρώσιµη, ώστε: για κάθε N, f g σχεδόν παντού. Τότε, οι f και η f είναι ολοκληρώσιµες, και ( ) lim f dλ = f dλ. Απόδειξη. Αφού f g και η g είναι ολοκληρώσιµη, κάθε f είναι ολοκληρώσιµη, από την παρατήρηση (ε). Η f είναι µετρήσιµη ως όριο (σχεδόν παντού) µετρήσιµων συναρτήσεων, και ( ) f g = f g. Αρα, η f είναι ολοκληρώσιµη. Για να δείξουµε την σύγκλιση της ακολουθίας των ολοκληρωµάτων, ϑα εφαρµόσουµε το Λήµµα του Fatou για τις ακολουθίες µη αρνητικών µετρήσιµων συναρτήσεων (g + f ) και (g f ) (παρατηρήστε ότι f g = g f g). Αφού g + f g + f και g f g f, παίρνουµε ( ) g dλ + f dλ = (g + f ) dλ lim if (g + f ) dλ = g dλ + lim if f dλ και ( ) Αρα, g dλ ( ) lim sup το οποίο µας δίνει το συµπέρασµα. f dλ = = f dλ (g f ) dλ lim if (g f ) dλ g dλ lim sup f dλ. f dλ lim if f dλ, Πόρισµα (ϑεώρηµα ϕραγµένης σύγκλισης). Εστω µετρήσιµο σύνολο µε λ() < + και έστω ( f ) ακολουθία µετρήσιµων συναρτήσεων στο. Υποθέτουµε ότι f f και ότι υπάρχει M > 0 ώστε f M στο για κάθε N. Τότε, ( ) lim f dλ = f dλ. Απόδειξη. Αφού λ() < +, η σταθερή συνάρτηση g M είναι ολοκληρώσιµη στο. Εποµένως, µπορούµε να εφαρµόσουµε το ϑεώρηµα κυριαρχηµένης σύγκλισης. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 30

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Μετρήσιµες συναρτήσεις Οι συναρτήσεις για τις οποίες ϑα επιχειρήσουµε να ορίσουµε το ολοκλήρωµα Lebesgue είναι συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού κάποιο µετρήσιµο υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Κεφάλαιο 1 Μέτρο Lebesgue 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Θα ϑέλαµε να ορίσουµε το «µήκος» κάθε υποσυνόλου A του R, δηλαδή να αντιστοιχίσουµε σε κάθε A R έναν µη αρνητικό αριθµό λ(a) (ή το + ). Είναι λογικό

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Μαρία Μαστροθεοδώρου και Αγγελική Χαντζηθάνου Περίληψη Το κεντρικό αποτέλεσµα της εργασίας είναι ότι µια συνάρτηση f είναι απόλυτα συνεχής στο [, b] αν και µόνο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Αρμονική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα 1 Το ολοκλήρωμα Lebesgue. 1 1.1 Σύνολα μηδενικού μέτρου..................................... 1 1.2 Η συλλογή C

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Κεφάλαιο 6 Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα 6. Οικογένειες καλών πυρήνων και προσεγγίσεων της µονάδας Σε αυτήν την παράγραφο ϑα ασχοληθούµε µε µέσες τιµές µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης f οι οποίες

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνθήκες αριθµησιµότητας Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Μετρικοποιησιµότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

12 Το αόριστο ολοκλήρωµα

12 Το αόριστο ολοκλήρωµα Το αόριστο ολοκλήρωµα. Αντιπαράγωγοι Εστω ότι η y = f ( ορίζεται στο διάστηµα I, οποιουδήποτε τύπου. Αν µια δεύτερη συνάρτηση y = F(, που ορίζεται στο ίδιο διάστηµα I, έχει την ιδιότητα F ( = f (, για

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης του Π.Α.Τ.: y = f ( x, y), y( x ) (Θεώρημα Picard) ' Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Ακραία σηµεία - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Ακραία σηµεία - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ακραία σηµεία - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

n a n = 2. Θεωρούµε τα σύνολα a n = n2 n n 2 + n 1. n a n = a > 0, δείξτε ότι a n > 0 τελικά.

n a n = 2. Θεωρούµε τα σύνολα a n = n2 n n 2 + n 1. n a n = a > 0, δείξτε ότι a n > 0 τελικά. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α) Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Alexandrov

1 Το ϑεώρηµα του Alexandrov Το ϑεώρηµα του Alexandrov Γιώργος Γιανναράκης και αυιδούλα ηµοπούλου Περίληψη Το 1939, ο Alexandr Alexandrov απέδειξε το ακόλουθο ϑεώρηµα : Εστω C R d ανοιχτό και κυρτό, f : C R µια κυρτή συνάρτηση. Τότε,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ι και Εφαρµογές

Ανάλυση Ι και Εφαρµογές Ανάλυση Ι και Εφαρµογές Σηµειώσεις από τις παραδόσεις Α. Γιαννόπουλος Τµήµα Φυσικής Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 206 Περιεχόµενα Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών. Φυσικοί, ακέραιοι και ϱητοί αριθµοί.......................

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

G n. n=1. n=1. n=1 G n) = m (E). n=1 G n = k=1

G n. n=1. n=1. n=1 G n) = m (E). n=1 G n = k=1 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Επαναληπτικές Εξετάσεις στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωση Θέμα. Εστω R Lebesgue μετρήσιμο σύνολο. (αʹ) Να αποδειχθεί ότι για κάθε ε

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ Περιεχόμενα 1. Το εξωτερικό μέτρο Lebesgue 2 2. Mετρήσιμα σύνολα 4 3. Η κανονικότητα του μέτρου Lebesgue

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΔΕΚΑΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Τώρα θα μας απασχολήσουν τρία ερωτήματα σε σχέση με την κατά σημείο σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων. Και για τα τρία ερωτήματα θα υποθέσουμε ότι f f στο

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις Αόστολος Γιαννόουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκαιδευτικό υλικό, όως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.»

«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.» 1 Η σχέση της διάταξης στο IR ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Η εργασία αυτή γράφτηκε µε αφορµή την κυκλικότητα που παρατηρείται στο σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι

Διαβάστε περισσότερα

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard.

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard. Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, ipschitz, Picard. Νίκος Σταµάτης nstam84@gmail.com 7 Φεβρουαρίου 212 Περίληψη Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουµε µια αναλυτική απόδειξη του ϑεωρήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Πρ. Η f : [0, ] R είναι συνεχής στο [0, ]. Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Bolzao- Weierstraß δείξτε ότι η f είναι φραγμένη στο [0, ]. Μην επικαλεστείτε κάποιο άλλο θεώρημα.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 2: Το Θεώρημα Καραθεοδωρή και τα μέτρα Borel Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες που γεµίζουν τον χώρο

Καµπύλες που γεµίζουν τον χώρο Καµπύλες που γεµίζουν τον χώρο ήµητρα ιαµαντοπούλου και ήµητρα Πιλίτσου Περίληψη Περιγράφουµε δύο κλασσικές συνεχείς, 1-1 και επί συναρτήσεις f : [0, 1] [0, 1] : την καµπύλη του Peano και την καµπύλη του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις ( )

Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις ( ) Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις (205 6) Πρόχειρες Σηµειώσεις Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών 205-6 Περιεχόµενα Μετρικοί χώροι 2 Σύγκλιση ακολουθιών και συνέχεια συναρτήσεων 9 3 Τοπολογία µετρικών χώρων

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

R f. P = {a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b} m k = inf{f(x) : x k x x k+1 } και M k = sup{f(x) : x k x x k+1 }

R f. P = {a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b} m k = inf{f(x) : x k x x k+1 } και M k = sup{f(x) : x k x x k+1 } Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2014 ii Πρώτη έκδοση, πιθανόν με τυπογραφικά λάθη. Περιεχόμενα Εισαγωγή 1 1 σ-άλγεβρες 5 1.1 Άλγεβρες και σ-άλγεβρες.........................

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα