ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Στο ομοπαραλληλικό επίπεδο δίνεται το σύστημα συντεταγμένων S { A, A, A }.

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΠΘ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 0-3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Στο ομοπαραλληλικό επίπεδο δίνεται το σύστημα συντεταγμένων S { A, A, A }. 0 ' Θεωρούμε τα σημεία A, A, A που ορίζονται με τις σχέσεις: AA AA AA, AA AA, AA A A αντίστοιχα (α) Να αποδειχτεί, ότι το σύνολο S { A, A, A} είναι ομοπαραλληλικό σύστημα 0 συντεταγμένων. (β) Να βρεθούν οι τύποι μετασχηματισμού των συντεταγμένων σημείου X του επιπέδου από το S στο S αντίστροφα. (γ) Να οριστούν οι συντεταγμένες του σημείου Τ=(, 4) ως προς το S. (δ) Nα εξεταστεί αν υπάρχουν σημεία που έχουν τις ίδιες συντεταγμένες ως προς τα δύο συστήματα.. Δίνονται τρία μη συνευθειακά σημεία P ( p, p, p ), Q ( q, q, q ), R r r r (,, ) του Α 3. Να αποδειχτεί, ότι η εξίσωση του επιπέδου που ορίζεται από τα P,Q, R είναι: x x x p p p q q q r r r Τι παριστάνουν στο χώρο Α 3 ή Α οι ακόλουθες εξισώσεις; (α) x = 0, (β) x + x = 0, (γ) x = + λ, x = + μ, x 3 = + μ, λ, μ, (δ) 3x + 5x = 0, x + = 0, (ε) 3x + 6x + 5x = 0, x +x +5x 3 +3 = 0, (στ) x = + λ + μ, x = - λ - μ, x 3 = 3, λ, μ. 4. Δίνεται η ευθεία δ: x + x - = 0 το σημείο P=(3, ). Να βρεθούν οι εξισώσεις (διανυσματική, παραμετρικές, αναλυτική) της ευθείας ε, που διέρχεται από το P είναι παράλληλη στην δ.

2 5. Δίνονται τα επίπεδα Ε : x 3x + x 3 = 0, Ε : x + x x 3 + = 0 το σημείο Ρ=(,, 3). Να βρεθούν οι εξισώσεις (διανυσματικές, παραμετρικές, αναλυτικές) (α) του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο Ρ είναι παράλληλο προς το Ε (β) της ευθείας, που διέρχεται από το σημείο Ρ είναι παράλληλη προς την τομή των επιπέδων Ε Ε. 6. Εστω Ε το επίπεδο που διέρχεται από την αρχή Α 0 του συστήματος συντεταγμένων S { A, A, A, A} είναι παράλληλο στα διανύσματα AA AA AA Έστω επίσης δ η ευθεία που διέρχεται από το σημείο P=(0,0,) είναι παράλληλη στο διάνυσμα παράλληλη προς το Ε. u,, k, k. Να βρεθούν οι τιμές του k, για τις οποίες η δ είναι 7. Έστω το επίπεδο E:x 4x x 40. Να βρεθεί η τομή του Ε: (α) με το επίπεδο E : x x x 0 (β) με την ευθεία δ που διέρχεται από τα σημεία P (,5,6), Q (, 4,0). 8. Nα βρεθεί η διανυσματική εξίσωση της ευθείας ε: x -x +x 3 +=0, x 3 =0 να εξεταστεί αν η ε ανήκει στο επίπεδο E:x x x Δίνονται οι ευθείες του χώρου Α 3 : x x 0, x x x 0 : x 5x 6x 0, 5x x 6x 0. (α) Να δειχθεί ότι οι δύο ευθείες είναι παράλληλες. (β) Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου που ορίζουν. 0. Να βρεθούν οι αναλυτικές εξισώσεις ευθείας ε, που τέμνει τις ευθείες : x 0, x : x, x 0, 0, 3 είναι παράλληλη στο διάνυσμα u,, 3.. Δίνεται το επίπεδο E: x x x 0 η ευθεία : x, x, x. 3 Να βρεθούν: (α) Οι παραμετρικές εξισώσεις ευθείας ε, που διέρχεται από το σημείο Q=(,,), είναι παράλληλη προς το Ε τέμνει τη δ. (β) Οι συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών δ ε.

3 . Δίνονται τα σημεία α) Να αποδειχτεί, ότι είναι συνευθειακά. P =(, ), P =( 3, 0), P 3 =(, ). β) Να βρεθούν οι μερικοί λόγοι T(P, P, P 3 ), T(P, P 3, P ). γ) Να βρεθούν τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων P P P P Δίνονται δυο ομοπαραλληλικά επίπεδα Ε Ε. Aς είναι S = {Α 0, Α, Α } S = {Β 0, Β, Β } τα ομοπαραλληλικά συστήματα συντεταγμένων των Ε Ε αντίστοιχα f: Ε Ε η ομοπαραλληλία που ορίζεται από το σύστημα x = x x +, x = x + x. α) Να βρεθούν οι εικόνες των σημείων Α 0, Α, Α του διανύσματος u = {, 3}. β) Έστω ε : x + x 3 = 0 μια ευθεία του Ε. Να βρεθεί η αντίστροφη εικόνα της. γ) Να βρεθεί η απεικόνιση f -. δ) Να βρεθούν οι αντίστροφες εικόνες των σημείων Β 0, Β, Β του διανύσματος w = {3, 6}. ε) Να βρεθεί η εικόνα της ευθείας δ: x + x 3 = Δίνονται δυο ομοπαραλληλικά επίπεδα Ε Ε η ομοπαραλληλία f: Ε Ε με σύστημα x = x + x, x = x + 4x +. α) Να βρεθούν οι εικόνες των σημείων Α 0, Α, Α του διανύσματος u = {, 3}. β) Έστω ε : 3x + x + = 0 μια ευθεία του Ε. Να βρεθεί η αντίστροφη εικόνα της. γ) Να αποδειχτεί, ότι το επίπεδο Ε απεικονίζεται στην ευθεία x x + 4 = 0. δ) Να βρεθεί η εικόνα της ευθείας δ: 3x + x 3 = 0. ε) Να αποδειχτεί, ότι κάθε ευθεία της μορφής x + x α = 0,, απεικονίζεται σε σημείο. 5. Ομοπαραλληλία απεικονίζει τα σημεία Α=(0,0), Β=(-,) στα σημεία Α =(,4), Β =(,) αντίστοιχα. Να βρεθεί η εικόνα του σημείου Γ=(-3,6). 6. Να βρεθούν τα αναλλοίωτα σημεία οι αναλλοίωτες ευθείες της ομοπαραλληλίας που ορίζεται από το σύστημα x 4 x 3 x, x 3 x 4 x

4 7. Να βρεθεί ομοπαραλληλία f: Α Α, που απεικονίζει τα σημεία Α(, ), Β(, 0), Γ(, ) στα σημεία Α (, ), Β (, 3), Γ (3, 3) αντίστοιχα. 8. Να βρεθεί ομοπαραλληλία, που απεικονίζει τον άξονα των x στην ευθεία x3x 30, τον άξονα των στην ευθεία x x x 5 0 το σημείο P (, ) στο σημείο P (7, ). 9. Να βρεθεί ισεμβαδική ομοπαραλληλία f: Α Α, που διατηρεί την αρχή A 0 αναλλοίωτη, απεικονίζει την ευθεία ε: x 4x = 0 στην ευθεία ε : x x = 0 το σημείο Q(, ) στο σημείο Q (4, 3). 0. Να αναγνωριστεί το είδος των καμπύλων δεύτερης τάξης του Α : α) x x x 6x 0 0, β) x x x 4x 6x x 9 0, 4 4 γ) x + 3x + x x 5 = 0 δ) x + 4x x + 5x + 6x 4x + 73 = 0. Ποιες είναι οι ομοπαραλληλίες, που τις ανάγουν στην κανονική τους μορφή; Να βρεθούν, αν υπάρχουν, οι τιμές του, ώστε η καμπύλη c: y - y + y + = 0,, να είναι ομοπαραλληλικά ισοδύναμη με την (α).. Να βρεθούν ομοπαραλληλίες f: Α Α, που απεικονίζουν α) Την έλλειψη Ε: x x 0 στον εαυτό της το σημείο Ρ(3,0) στο σημείο 9 4 P (, 4 3 ). β) Την υπερβολή Y: αναλλοίωτο. x x στον εαυτό της αφήνουν το σημείο Ρ(3, ). Να αποδειχτεί ότι η απεικόνιση f: f ( u, v) uv 3( uv uv) 0uv, u u u (, ), v ( v, v), είναι εσωτερικός πολλαπλασιασμός να εξεταστεί, αν η κανονική βάση του είναι ορθομοναδιαία ως προς f. 3. Ας είναι ένας ευκλείδειος προσανατολισμένος διανυσματικός χώρος. Να V 3 εξεταστεί, πότε ισχύει η ισότητα ( a b) c a ( b c), όπου abc,, V3.

5 4. Δίνεται η ομοπαραλληλία f: Α Α, που ορίζεται από το σύστημα x = a x +, x = a x, a. Να εξεταστεί για ποιες τιμές του a η f είναι ισομετρία να βρεθεί το είδος της για τις τιμές αυτές. 5. Δίνονται οι ισομετρίες f: Α Α g: Α Α που ορίζονται από τα συστήματα 5 x x x, x 5 x x 5 5 x x x 5, x 5 x x. Τι είδους είναι κάθε μία; Να βρεθούν τα αναλλοίωτα σημεία οι αναλλοίωτες ευθείες των ισομετριών f g. Ποια είναι η εικόνα της ευθείας ε: 5xx 0 μέσω της f; 6. Στο ευκλείδειο επίπεδο Ε δίνεται η ευθεία δ : x + x + = 0. (α) Να βρεθούν οι εξισώσεις του κατοπτρισμού f: Α Α με άξονα την ευθεία δ. (β) Να βρεθούν, αν υπάρχουν, οι ευθείες, οι οποίες μέσω της f απεικονίζονται σε ευθείες παράλληλές τους Δίνεται η απεικόνιση f: 3, που ορίζεται με το σύστημα x x x x3, x x x3, x x 3 x x x3,,,. Πως πρέπει να εκλεγούν τα,,, ώστε η f να είναι ισομετρία; Στη συνέχεια για τις τιμές αυτές των,, να βρεθούν τα αναλλοίωτα σημεία της f.