ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρεθούν τα αναλλοίωτα

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΙΙ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ V 1. ίνεται η οµοπαραλληλία f: E E, που ορίζεται από το σύστηµα x1 = ax+, x = ax, a R. Να εξεταστεί για ποιες τιµές του a η f είναι ισοµετρία και να 1 βρεθεί το είδος της για τις τιµές αυτές.. ίνεται η ισοµετρία f ( λ, µ ) του Ε µε σύστηµα 5 5 x 1= x1+ x+ λ, x = x1 x+ µ, λ, µ R. Να βρεθούν τα αναλλοίωτα σηµεία f ( 1, 5) και. f ( 5,1). Τι είδους είναι κάθε µία;. Στο ευκλείδειο επίπεδο Ε να βρεθούν οι εξισώσεις του κατοπτρισµού f : Ε Ε µε άξονα την ευθεία δ: x 1 +x +1= ίνεται η απεικόνιση f : Ε Ε, που ορίζεται µε το σύστηµα x1 = λx1 x x, x = x1+ µ x x, x = x1 x+ ν x, λ, µν, R. Πως πρέπει να εκλεγούν τα λ, µν,, ώστε η f να είναι ισοµετρία; Στη συνέχεια για τις τιµές αυτές των λ, µν, να βρεθούν τα αναλλοίωτα σηµεία της f και το είδος της.

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ VΙ 1. ίνονται οι ευθείες δ: x ={1,0,0}+λ{1,1,},λ R, και ε: x 1 -x + x -1=0, x 1 -x =. Να εξετάσετε αν οι ευθείες δ, ε είναι ασύµβατες. Αν ναι, βρείτε την ελάχιστη απόστασή τους και τις αναλυτικές εξισώσεις της κοινής καθέτου αυτών.. Στον ευκλείδειο χώρο Ε θεωρούµε το σηµείο Α=(4,,1) και τις ευθείες ε 1 : x 1 +x -=0, x 1 -=0 και ε : x -5=0, x 1 +x -1=0. Να βρεθούν: (α) Η γωνία των ευθειών ε 1, ε. (β) Η απόσταση του άξονα των x από την ευθεία ε 1.. Να βρεθεί η προβολή του σηµείου Ρ=(6,1,5) πάνω στην ευθεία ε: x ={,1,}+λ{1,,1},λ R, και η απόστασή του από αυτήν. 4. Να βρεθεί η προβολή του σηµείου Ρ=(6,5,-1) πάνω στο επίπεδο Ε: x 1 +x -x +1=0 και η απόστασή του από αυτό. 5. Να βρεθεί η προβολή της ευθείας ε: x ={,1,}+λ{1,,1}, λ R, πάνω στο επίπεδο Ε: x 1 +x -x +1=0 και στο επίπεδο Ε : x 1 +x +x =0. 6. ίνεται το σηµείο Ρ=(,1,-1), το επίπεδο Ε: x1+ x x+ = 0 και η ευθεία δ: = + R, όπου Α=(-,,) και { 0,1,1} x a λε, λ (α) Αποδείξτε, ότι η δ ανήκει στο Ε. ε =. (β) Ας είναι Q η προβολή του Ρ πάνω στο Ε και R η προβολή του Ρ πάνω στη δ. Βρείτε τις συντεταγµένες των Q, R. (γ) Αποδείξτε, ότι η ευθεία QR είναι κάθετη στη δ.

3 7. Να βρεθεί το συµµετρικό Χ ενός σηµείου Χ Ε ως προς το σηµείο Ρ=(1,,-1). Τι είδους είναι η απεικόνιση f: Ε Ε, f (X)=Χ ; Βρείτε ως προς το Ρ τo συµµετρικό της ευθείας ε: x ={,,1}+λ{1,-1,}. 8. Να βρεθεί το συµµετρικό Q του σηµείου Q=(0,0,) Ε ως προς την ευθεία ε: x 1 +x +x =0, x =1. 9. Να βρεθεί το συµµετρικό του σηµείου Α 0 =(0,0,0) και της ευθείας ε: x 1 +x +x =0, x 1 -x =0 ως προς το επίπεδο Ε: x 1 +x -1= Στο ευκλείδειο επίπεδο θεωρούµε τις ευθείες ε 1 : x 1 +x -1=0, ε : x 1 -x +1=0. α) είξτε, ότι η δέσµη των ευθειών ε 1, ε είναι κεντρική. Ποιο είναι το κέντρο της Ρ και ποια η απόσταση του Ρ από τον άξονα των x 1 ; β) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας της δέσµης, που είναι παράλληλη στην ευθεία ε: x 1 -x +=0. γ) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας της δέσµης, που είναι κάθετη στην ε. 11. ίνονται τα επίπεδα Ε 1 : x 1 -x -x -1=0, E : x 1 -x =0. (α) Ποια η γωνία των Ε 1, Ε ; (β) είξτε, ότι η δέσµη των επιπέδων Ε 1,Ε είναι αξονική και βρείτε τη διανυσµατική εξίσωση του άξονά της. (γ) Να βρεθεί, αν υπάρχει, η εξίσωση του επιπέδου της δέσµης, που είναι παράλληλο στην ευθεία ε: x 1 +x +x =0, x 1 -x +x +1=0. δ) Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου της δέσµης, που είναι κάθετο στο επίπεδο Ε: x 1 -x -x =0.

4 ΚΕΦΑΛΑΙO VΙΙ-VIII 1. Ας είναι F εστία έλλειψης Ε και ε η αντίστοιχη διευθετούσα. Να αποδειχτεί οτι ο λόγος των αποστάσεων τυχόντος σηµείου P της Ε από την F και την ε είναι σταθερός.. Οι εφαπτοµένες έλλειψης Ε στα άκρα του µεγάλου άξονά της τέµνουν µια τρίτη εφαπτόµενη της Ε στα σηµεία P και Q. Να αποδειχτεί οτι η περιφέρεια κύκλου διαµέτρου PQ διέρχεται από τις εστίες της Ε.. ίνεται έλλειψη Ε µε εστίες F 1, F και περιφέρεια C διαµέτρου F 1 F. Να αποδειχθεί ότι οι πόλοι των εφαπτοµένων της C ως προς την Ε ανήκουν σε µία σταθερή έλλειψη. 4. Να βρεθούν τα σηµεία της έλλειψης Ε: από µια εστία της Ε. x x = 1 στα οποία η κάθετος διέρχεται 5. Ας είναι ΑΒ, Γ δύο συζυγείς διάµετροι έλλειψης Ε. Να αποδειχτεί ότι οι εφαπτόµενες της Ε στα άκρα της διαµέτρου ΑΒ είναι παράλληλες προς τη διάµετρο Γ. 6. Η εφαπτοµένη σε σηµείο Ρ υπερβολής τέµνει τις ασυµπτώτους αυτής στα σηµεία Α,Β. Να αποδειχτεί ότι το Ρ είναι το µέσον του τµήµατος ΑΒ. Ας είναι Α 0 το κέντρο της υπερβολής. Να αποδειχτεί ότι το εµβαδόν του τριγώνου Α 0 ΑΒ είναι ανεξάρτητο από το σηµείο Ρ. 7. Να αποδειχτεί οτι υπάρχουν ευθείες, που δεν είναι εφαπτόµενες µιας υπερβολής και την τέµνουν σε ένα µόνο σηµείο (ονοµάζονται ασυµπτωτικές τέµνουσες). 8. Ας είναι δ,δ δυο συζυγείς διάµετροι υπερβολής Η. Να αποδειχτεί, ότι η πολική τυχόντος σηµείου Ρ δ είναι παράλληλη προς την δ. 9. Να δειχτεί οτι το µήκος του τµήµατος µιας ασύµπτωτης υπερβολής, που περιέχεται µεταξύ των διευθετουσών ευθειών της, ισούται µε το µήκος του πραγµατικού άξονά της.

5 10. Ας είναι R η τοµή της διευθετούσας ε παραβολής Π µε την εφαπτοµένη της Π σε ένα σηµείο Q Π και F η εστία της Π. Να βρεθεί η γωνία των ευθειών FQ και FR. 11. Ας είναι F η εστία και g η διευθετούσα παραβολής Π. Θεωρούµε µια χορδή Ρ 1 Ρ της Π και ας είναι Μ 1 Μ η ορθή προβολή της Ρ 1 Ρ επί την g. Ας είναι Μ το µέσο της Μ 1 Μ. Να αποδειχτεί ότι η κάθετος στην Ρ 1 Ρ, που άγεται από το Μ, διέρχεται από την εστία F. 1. Να αναγνωριστεί το είδος των καµπύλων και να βρεθούν οι κανονικές εξισώσεις τους: (α) x + 4x x + 5x + x + 10x + 1= 0, (β) x x1x + x x1 + 8x 95= Στο χώρο Ε δίνεται η καµπύλη c: x + x x x x x = 0 και το σηµείο της Ρ = (,0 ). (α) Να αποδειχτεί ότι η c είναι παραβολή, αφού βρεθεί η κανονική µορφή της εξίσωσής της. (β) Να βρεθούν η εστία, ο άξονας και η εφαπτοµένη της c στο σηµείο Ρ.

6 ΚΕΦΑΛΑΙΑ IX- X 1. Η κάθετος σε σηµείο Ρ του ελλειψοειδούς x1 x x + + 1= 0 τέµνει το επίπεδο α β γ x = 0 στο σηµείο Q. Πάνω στην ευθεία που διέρχεται από το Q και είναι παράλληλη στον άξονα των x παίρνουµε το σηµείο R για το οποίο ισχύει QR = QP. Να αποδειχτεί οτι το σηµείο R κείται πάνω στην επιφάνεια x1 x x + + 1= 0. α γ β γ γ. Να αποδειχτεί ότι η ευθεία x x x 1 α cosφ β sinφ = = α sinφ β cosφ γ είναι γενέτειρα του µονόχωνου υπερβολοειδούς x x x α + β γ =. x1 x. ίνεται το µονόχωνο υπερβολοειδές + x 1= 0. Ποιες είναι οι εξισώσεις 4 9 των ευθειών του, που διέρχονται από τα σηµεία Ρ = (,, 6). 4. Να βρεθεί η εξίσωση του µονόχωνου υπερβολοειδούς Υ, που (α) έχει ως άξονα τον άξονα x, (β) ο λαιµός του κείται πάνω στο επίπεδο x = 0 και (γ) το εφαπτόµενο επίπεδό του στο σηµείο Ρ=(,,6) είναι παράλληλο προς το επίπεδο Ε: x 1 +1x -4x -6=0. 5. Να εξεταστεί, αν οι ευθείες της επιφάνειας F: x1-4x = 6x, που διέρχονται από το σηµείο Α=(1,0, 1,), ανήκουν στο εφαπτόµενο επίπεδο της F στο Α Να αναγνωριστούν οι επιφάνειες δεύτερης τάξης : (α) x + 4x + 10x + 8x + 5= 0, (β) 1 1 x x + x x 4x = 0, 1 1 (γ) x + x + x + x x x 4x + 4x + =