Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΙ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ιδάσκουσα:. Παπαδοπούλου ΚΕΦΑΛΑΙΟ VΙ

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΙ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 0 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ιδάσκουσα:. Παπαδοπούλου ΚΕΦΑΛΑΙΟ VΙ. ίνονται οι ευθείες δ: x ={,0,0}+λ{,,},λ R, και ε: x -x + x -=0, x -x =. (α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες δ, ε είναι ασύµβατες. (β) Να βρείτε την ελάχιστη απόστασή τους και τη διανυσµατική εξίσωση της κοινής καθέτου αυτών.. Στον ευκλείδειο χώρο Ε θεωρούµε το σηµείο Α = (4,,) και τις ευθείες ε : x +x -=0, x -=0 και ε : x -5=0, x +x -=0. Να βρεθούν: (α) Η γωνία των ευθειών ε, ε. (β) Η απόσταση του άξονα των x από την ευθεία ε. (γ) Η διανυσµατική εξίσωση ευθείας ζ, που διέρχεται από το Α και τέµνει την ευθεία ε και τον άξονα των x, αν υπάρχει. Τι παρατηρείτε; (δ) Οι αναλυτικές εξισώσεις ευθείας δ, που διέρχεται από το Α και τέµνει τις ευθείες ε και ε, αν υπάρχει.. ίνεται η ευθεία ε: x ={,,}+λ{,,},λ R. Να βρεθεί η προβολή του σηµείου Ρ = (6,,5) πάνω στην ε και η απόστασή του από αυτήν. 4. ίνεται το επίπεδο Ε: x +x -x +=0. Να βρεθεί η προβολή του σηµείου Ρ = (6,5,-) πάνω στο Ε και η απόστασή του από αυτό. 5. Να βρεθεί η προβολή της ευθείας ε: x ={6,5,-}+λ{,,},λ R, πάνω στο επίπεδο Ε: x +x -x +=0 και στο επίπεδο Ε : x +x +x =0.

2 6. Στο χώρο Ε δίνονται η ευθεία δ: x = {,,} + λ{0,,}, λ R, το επίπεδο Ε: x + x x + = 0 και το σηµείο Ρ = (,,-). Αν Q, R είναι οι προβολές του Ρ πάνω στο Ε και τη δ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: (α) Η δ ανήκει στο Ε. (β) Η ευθεία QR είναι κάθετη στη δ. 7. Να βρεθεί το συµµετρικό Χ ενός σηµείου Χ Ε ως προς το σηµείο Ρ = (,,-). Τι είδους είναι η απεικόνιση f: Ε Ε, f (X)=Χ ; Βρείτε ως προς το Ρ τo συµµετρικό της ευθείας ε: x ={,,}+λ{,-,}. 8. ίνονται το σηµείο Q = (0,0,) και η ευθεία ε: x +x +x =0, x =. Να βρεθούν: (α) Το συµµετρικό Q του Q ως προς την ευθεία ε. (β) Το συµµετρικό της ευθείας ε ως προς το επίπεδο Ε: x +x -=0. 9. Στο ευκλείδειο επίπεδο θεωρούµε τις ευθείες ε : x +x -=0, ε : x -x +=0. α) είξτε, ότι η δέσµη των ευθειών ε, ε είναι κεντρική. Ποιο είναι το κέντρο της Ρ και ποια η απόσταση του Ρ από τον άξονα των x ; β) Βρείτε την εξίσωση της ευθείας της δέσµης, που είναι παράλληλη στην ευθεία ε: x -x +=0. 0. ίνονται τα επίπεδα Ε : x -x -x -=0, E : x -x =0. (α) Ποια είναι η γωνία των Ε, Ε ; (β) Να αποδειχτεί, ότι η δέσµη των επιπέδων Ε, Ε είναι αξονική και να βρεθεί η εξίσωσή της. Ποιες είναι οι παραµετρικές εξισώσεις του άξονά της; (γ) Να βρεθεί, αν υπάρχει, η εξίσωση του επιπέδου της δέσµης, που είναι παράλληλο προς την ευθεία ε: x +x +x =0, x -x +x +=0. δ) Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου της δέσµης, που είναι κάθετο στο επίπεδο Ε: x -x -x =0.

3 ΚΕΦΑΛΑΙO VΙΙ-VIII. Ας είναι F εστία έλλειψης Ε και ε η αντίστοιχη διευθετούσα. Να αποδειχτεί οτι ο λόγος των αποστάσεων τυχόντος σηµείου P της Ε από την F και την ε είναι σταθερός.. Οι εφαπτόµενες έλλειψης Ε στα άκρα του µεγάλου άξονά της τέµνουν µια τρίτη εφαπτοµένη της Ε στα σηµεία P και Q. Να αποδειχτεί οτι η περιφέρεια κύκλου διαµέτρου PQ διέρχεται από τις εστίες της Ε.. ίνονται έλλειψη Ε µε εστίες F, F και περιφέρεια C διαµέτρου F F. Να αποδειχθεί ότι οι πόλοι των εφαπτοµένων της C ως προς την Ε ανήκουν σε µία σταθερή έλλειψη. 4. Να βρεθούν τα σηµεία της έλλειψης Ε: από µια εστία της Ε. x 4 + x = στα οποία η κάθετος διέρχεται 5. Ας είναι ΑΒ, Γ δύο συζυγείς διάµετροι έλλειψης Ε. Να αποδειχτεί ότι οι εφαπτόµενες της Ε στα άκρα της διαµέτρου ΑΒ είναι παράλληλες προς τη διάµετρο Γ. 6. Η εφαπτοµένη σε σηµείο Ρ υπερβολής τέµνει τις ασυµπτώτους αυτής στα σηµεία Α, Β. Να αποδειχτεί ότι το Ρ είναι το µέσο του τµήµατος ΑΒ. Ας είναι Α 0 το κέντρο της υπερβολής. Να αποδειχτεί ότι το εµβαδόν του τριγώνου Α 0 ΑΒ είναι ανεξάρτητο από το σηµείο Ρ. 7. Να αποδειχτεί οτι υπάρχουν ευθείες, που δεν είναι εφαπτόµενες µιας υπερβολής και την τέµνουν σε ένα µόνο σηµείο (ονοµάζονται ασυµπτωτικές τέµνουσες). 8. Ας είναι δ,δ δυο συζυγείς διάµετροι υπερβολής. Να αποδειχτεί, ότι η πολική τυχόντος σηµείου Ρ δ ως προς την υπερβολή είναι παράλληλη προς την δ.

4 9. Να δειχτεί οτι το µήκος του τµήµατος µιας ασύµπτωτης υπερβολής, που περιέχεται µεταξύ των διευθετουσών ευθειών της, ισούται µε το µήκος του πραγµατικού άξονά της. 0. Ας είναι R η τοµή της διευθετούσας ε παραβολής Π µε την εφαπτοµένη της Π σε ένα σηµείο Q Π και F η εστία της Π. Να βρεθεί η γωνία των ευθειών FQ και FR.. Ας είναι F η εστία και g η διευθετούσα παραβολής Π. Θεωρούµε µια χορδή Ρ Ρ της Π και ας είναι Μ Μ η ορθή προβολή της Ρ Ρ επί την g. Ας είναι Μ το µέσο της Μ Μ. Να αποδειχτεί ότι η κάθετος στην Ρ Ρ, που άγεται από το Μ, διέρχεται από την εστία F.. Στο χώρο Ε θεωρούµε παραβολή Π και µία διάµετρο αυτής δ. Να δειχτεί ότι: Οι πολικές ευθείες όλων των σηµείων της δ ως προς την Π είναι παράλληλες.. Να αναγνωριστεί το είδος των καµπύλων του Ε και να βρεθούν οι κανονικές εξισώσεις τους: (α) x + 4x x + 5x + x + 0x + = 0, (β) x + 4xx + x x + 8x 95= Στο χώρο Ε δίνεται η καµπύλη c: x + x x x x x = 0 και το σηµείο της Ρ = (,0 ). (α) Να αποδειχτεί ότι η c είναι παραβολή, αφού βρεθεί η κανονική µορφή της εξίσωσής της. (β) Να βρεθούν η εστία, ο άξονας και η εφαπτοµένη της c στο σηµείο Ρ.

5 ΚΕΦΑΛΑΙΑ IX- X. Η κάθετος σε σηµείο Ρ του ελλειψοειδούς x x x + + = 0 τέµνει το επίπεδο α β γ x = 0 στο σηµείο Q. Πάνω στην ευθεία που διέρχεται από το Q και είναι παράλληλη στον άξονα των x παίρνουµε το σηµείο R για το οποίο ισχύει QR = QP. Να αποδειχτεί οτι το σηµείο R κείται πάνω στην επιφάνεια x x x + + = 0. α γ β γ γ x α cosφ x β sinφ x. Να αποδειχτεί ότι η ευθεία = = α sinφ β cosφ γ είναι γενέτειρα του µονόχωνου υπερβολοειδούς x x x + = 0. α β γ x x. ίνεται το µονόχωνο υπερβολοειδές + x = 0. Ποιες είναι οι εξισώσεις 4 9 των ευθειών του, που διέρχονται από το σηµείο Ρ = (,, 6); 4. Να βρεθεί η εξίσωση του µονόχωνου υπερβολοειδούς Υ, που (α) έχει ως άξονα τον άξονα x, (β) ο λαιµός του κείται πάνω στο επίπεδο x = 0 και (γ) το εφαπτόµενο επίπεδό του στο σηµείο Ρ = (,,6) είναι παράλληλο προς το επίπεδο Ε: x +x -4x -6=0. 5. Να εξεταστεί, αν οι ευθείες της επιφάνειας F: x - 4 x = 6x, που διέρχονται από το σηµείο Α = (,0,,), ανήκουν στο εφαπτόµενο επίπεδο της F στο Α Να αναγνωριστούν οι επιφάνειες δεύτερης τάξης : (α) x + 4x + 0x + 8x + 5= 0, (β) x x + x x 4x = 0, (γ) x + x + x + x x x 4x + 4x + = 0.