4. Να βρεθεί η προβολή του σημείου Ρ=(6,1,5) πάνω στην ευθεία ε: x ={3,1,2}+λ{1,2,1},, και η απόστασή του από αυτήν.

Transcript

1 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙI Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο V Ι. Δίνονται οι ευθείες δ: x ={,0,0}+λ{,,}, ε: x -x + x -=0, x -x =. Να εξετάσετε αν οι ευθείες δ, ε είναι ασύμβατες. Αν ναι, βρείτε την ελάχιστη απόστασή τους και τις αναλυτικές εξισώσεις της κοινής καθέτου αυτών.. Δίνονται οι ασύμβατες ευθείες δ: x ={0,0,}+λ{,,},, ε: x ={0,0,}+μ{0,,),, και το σημείο Ρ=(,-,). Να βρείτε τις ευθείες, που διέρχονται από το Ρ και τέμνουν τις δ, ε. Πόσες είναι;, και. Στον ευκλείδειο χώρο Ε θεωρούμε το σημείο Α=(4,,) και τις ευθείες ε : x +x -=0, x -=0 και ε : x -5=0, x +x -=0. Να βρεθούν: α) Η γωνία των ευθειών ε, ε. β) Η απόσταση του άξονα των x από την ευθεία ε. γ) Η διανυσματική εξίσωση μιας ευθείας, που διέρχεται από το Α και τέμνει την ευθεία ε και τον άξονα των x. Τι παρατηρείτε; 4. Να βρεθεί η προβολή του σημείου Ρ=(6,,5) πάνω στην ευθεία ε: x ={,,}+λ{,,},, και η απόστασή του από αυτήν. 5. Να βρεθεί η προβολή του σημείου Ρ=(6,5,-) πάνω στο επίπεδο Ε: x +x -x +=0 και η απόστασή του από αυτό. 6. Να βρεθεί η προβολή της ευθείας ε: x ={,,}+λ{,,}, Ε: x +x -x +=0 και στο επίπεδο Ε : x +x +x =0., πάνω στο επίπεδο 7. Δίνεται το σημείο Ρ=(,,-), το επίπεδο Ε: x x x 0 και η ευθεία δ:, όπου Α=(-,,) και 0,, x a,. (α) Αποδείξτε, ότι η δ ανήκει στο Ε. (β) Ας είναι Q η προβολή του Ρ πάνω στο Ε και R η προβολή του Ρ πάνω στη δ. Βρείτε τις συντεταγμένες των Q, R. (γ) Αποδείξτε, ότι η ευθεία QR είναι κάθετη στη δ.

2 8. Να βρεθούν: (α) Το συμμετρικό Χ του ση μείου Χ=(,,) ως προς το σημείο Ρ=(,,-) και (β) το συμμετρικό της ευθ είας ε: y ={,,}+λ{,-,},, ως προς το Ρ. 9. Να βρεθεί το συμμετρικό Q του σημείου Q=(0,0,)Ε ως προς την ευθεία ε: x +x +x =0, x =. 0. Να βρεθεί το συμμετρικό του σημείου Α 0 =(0,0,0) και της ευθείας ε: x +x +x =0, x -x =0 ως προς το επίπεδο Ε: x +x -=0.. Στο ευκλείδειο επίπεδο θεωρούμε τις ευθείες ε : x +x -=0, ε : x -x +=0. α) Δείξτε, ότι η δέσμη των ευθειών ε, ε είναι κεντρική. Ποιο είναι το κέντρο της Ρ και ποια η απόσταση του Ρ από τον άξονα των x ; β) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας της δέσμης, που είναι παράλληλη στην ευθεία ε: x -x +=0. γ) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας της δέσμης, που είναι κάθετη στην ε.. Δίνονται τα επίπεδα α) Ποια η γωνία των Ε, Ε ; Ε : x -x -x -=0, E : x -x =0. β) Δείξτε, ότι η δέσμη των επιπέδων Ε,Ε είναι αξονική και βρείτε τη διανυσματική εξίσωση του άξονά της. γ) Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου της δέσμης, που είναι παράλληλο στην ευθεία ε: x +x +x =0, x -x +x +=0. δ) Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου της δέσμης, που είναι κάθετο στο επίπεδο Ε: x -x -x =0.. Στο ευκλείδειο επίπεδο να βρεθεί η εξίσωση της περιφέρειας κύκλου, που εφάπτεται με την ευθεία x -4x +7=0 και είναι ομόκεντρη με την περιφέρεια x x 4x 6x Δίνεται η σφαίρα x x x 4x 6x 6x 0. Να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα της.

3 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι O V Ι Ι - V I I I. Ας είναι F εστία έλλειψης Ε και ε η αντίστοιχη διευθετούσα. Να αποδειχτεί ότι ο λόγος των αποστάσεων τυχόντος σημείου P της Ε από την F και την ε είναι σταθερός.. Οι εφαπτόμενες έλλειψης Ε στα άκρα του μεγάλου άξονά της τέμνουν μια τρίτη εφαπτομένη της Ε στα σημεία P και Q. Να αποδειχτεί οτι η περιφέρεια κύκλου διαμέτρου PQ διέρχεται από τις εστίες της Ε.. Δίνεται έλλειψη Ε με εστίες F,F και περιφέρεια C διαμέτρου F F. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των πόλων των εφαπτομένων της C ως προς την Ε. 4. Να βρεθούν τα σημεία της έλλειψης Ε: από μια εστία της Ε. x 4 x στα οποία η κάθετος διέρχεται x x x x 5. Δίνονται οι ελλείψεις c :, c :. (α) Να αποδειχτεί, ότι τα σημεία τομής των c, c βρίσκονται πάνω σε περιφέρεια κύκλου με κέντρο την αρχή του συστήματος συντεταγμένων. (β) Να βρεθεί η ακτίνα της περιφέρειας αυτής. 6. Ας είναι ΑΒ, ΓΔ δύο συζυγείς διάμετροι έλλειψης Ε. Να αποδειχτεί ότι οι εφαπτόμενες της Ε στα άκρα της διαμέτρου ΑΒ είναι παράλληλες προς τη διάμετρο ΓΔ. 7. Να αποδειχτεί οτι υπάρχουν ευθείες, που δεν είναι εφαπτόμενες μιας υπερβολής και την τέμνουν σε ένα μόνο σημείο (ονομάζονται ασυμπτωτικές τέμνουσες). 8. Ας είναι δ,δ δυο συζυγείς διάμετροι υπερβολής Η. Να αποδειχτεί, ότι η πολική τυχόντος σημείου Ρδ είναι παράλληλη προς την δ. 9. Η εφαπτομένη σε σημείο Ρ υπερβολής τέμνει τις ασυμπτώτους αυτής στα σημεία Α,Β. Να αποδειχτεί ότι το Ρ είναι το μέσον του τμήματος ΑΒ. Ας είναι Α 0 το κέντρο της υπερβολής. Να αποδειχτεί ότι το εμβαδόν του τριγώνου Α 0 ΑΒ είναι ανεξάρτητο από το σημείο Ρ. 0. Να δειχτεί ότι το μήκος του τμήματος μιας ασύμπτωτης υπερβολής, που περιέχεται μεταξύ των διευθετουσών ευθειών της, ισούται με το μήκος του πραγματικού άξονά της.. Ας είναι R η τομή της διευθετούσας ε παραβολής Π με την εφαπτομένη της Π σε ένα σημείο QΠ και F η εστία της Π. Να βρεθεί η γωνία των ευθειών FQ και FR.. Ας είναι Q και R τα σημεία επαφής δυο εφαπτομένων παραβολής, που τέμνονται κάθετα. Να αποδειχτεί, οτι η χορδή QR διέρχεται από την εστία F της παραβολής.. Ας είναι Q η προβολή τυχόντος σημείου Q παραβολής Π πάνω στη διευθετούσα ε της Π, R τυχόν σημείο της εφαπτομένης στο Q και F η εστία της Π. Να αποδειχτεί οτι Q R FR.

4 4. Ας είναι F η εστία και g η διευθετούσα παραβολής Π. Θεωρούμε μια χορδή Ρ Ρ της Π και ας είναι Μ Μ η ορθή προβολή της Ρ Ρ επί την g. Ας είναι Μ το μέσο της Μ Μ. Να αποδειχτεί ότι η κάθετος στην Ρ Ρ, που άγεται από το Μ, διέρχεται από την εστία F. 5. Στο ευκλείδειο επίπεδο να αναγνωριστεί το είδος των καμπύλων (α) x 4xx 5x x 0x 0, (β) x 4xx x x 8x 95 0 και να βρεθούν οι κανονικές εξισώσεις τους. 6. Στο χώρο Ε δίνεται η καμπύλη c: x x xx x x 0 και το σημείο της Ρ = (,0 ). (α) Να αποδειχτεί ότι η c είναι παραβολή, αφού βρεθεί η κανονική μορφή της εξίσωσής της. (β) Να βρεθούν η εστία, ο άξονας και η εφαπτομένη της c στο σημείο Ρ. 4

5 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Α I X - X x x x. Η κάθετος σε σημείο Ρ του ελλειψοειδούς 0 τέμνει το επίπεδο x στο σημείο Q. Πάνω στην ευθεία που διέρχεται από το Q και είναι 0 παράλληλη στον άξονα των x QR παίρνουμε το σημείο R για το οποίο ισχύει QP. Να αποδειχτεί οτι το σημείο R κείται πάνω στην επιφάνεια x x x 0.. Να αποδειχτεί ότι η ευθεία x x x cos sin sin cos μονόχωνου υπερβολοειδούς x x x 0. είναι γενέτειρα του x x. Δίνεται το μονόχωνο υπερβολοειδές x 0. Ποιες είναι οι εξισώσεις 4 9 των ευθειών του, που διέρχονται από τα σημεία Ρ = (,, 6). 4. Να βρεθεί η εξίσωση μονόχωνου υπερβολοειδούς Υ, που (α) έχει άξονα τον άξονα x, (β) ο λαιμός του κείται πάνω στο επίπεδο x 0 και (γ) το εφαπτόμενο επίπεδό του στο σημείο Ρ=(,,6) είναι παράλληλο προς το επίπεδο Ε: x +x -4x -6=0. 5. Να βρεθούν οι εξισώσεις των γενετειρών του μονόχωνου υπερβολοειδούς εκ x x x περιστροφής 0, που διέρχονται απο σημείο Ρ του λαιμού του ( P ( cos, sin,0), 0 ). Να αποδειχτεί οτι η γωνία ω αυτών είναι ανεξάρτητη απο τη γωνία και να βρεθεί σχέση μεταξύ των α και γ για να είναι. 6. Να εξεταστεί, αν οι ευθείες της επιφάνειας F: x -4x = 6x, που διέρχονται από το σημείο Α=(,0,,), ανήκουν στο εφαπτόμενο επίπεδο της F στο Α Να αναγνωριστούν οι επιφάνειες δεύτερης τάξης : (α) x 4x 0x 8x 5 0, (β) (γ) x x x x 4x 0, x x x x x x 4x 4x 0. 5