ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΒΛΑΧΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΒΛΑΧΟΣ"

Transcript

1 ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΒΛΑΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 2017

2 2

3 Περιεχόμενα 1 Καμπύλες του Ευκλειδείου χώρου R Κανονικές καμπύλες Αναπαραμετρήσεις καμπυλών Μήκος καμπυλών Μήκος τόξου-φυσική παράμετρος Καμπυλότητα καμπυλών του Ευκλειδείου χώρου R Καμπύλες με φυσική παράμετρο Καμπύλες με τυχαία παράμετρο Γεωμετρική ερμηνεία της καμπυλότητας Πλαίσιο Frenet και εξισώσεις Frenet Το θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας των καμπυλών του Ευκλειδείου χώρου R Aσκήσεις Καμπύλες του Ευκλειδείου χώρου R Καμπυλότητα και στρέψη καμπυλών του Ευκλειδείου χώρου R Πλαίσιο Frenet και εξισώσεις Frenet Επίπεδες καμπύλες Το θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας των καμπυλών του R Καμπύλες σταθερής κλίσης Σφαιρικές καμπύλες Aσκήσεις

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 Επιφάνειες Κανονικές Επιφάνειες Διαφορίσιμες απεικονίσεις Εφαπτόμενα διανύσματα και Εφαπτόμενο επίπεδο Διαφορικό απεικόνισεων μεταξύ κανονικών επιφανειών Κανονικές Παραμετρικές Επιφάνειες Aσκήσεις Πρώτη θεμελιώδης μορφή Πρώτη θεμελιώδης μορφή κανονικής επιφάνειας Μήκος επιφανειακής καμπύλης Εμβαδό Έσωθεν γεωμετρία-ισομετρίες Aσκήσεις Προσανατολισμός-Απεικόνιση Gauss Προσανατολισμός-Μοναδιαίο κάθετο Απεικόνιση Gauss Aσκήσεις Απεικόνιση Weingarten-Δεύτερη θεμελιώδης μορφή Απεικόνιση Weingarten Δεύτερη θεμελιώδης μορφή Κάθετη καμπυλότητα Κύριες καμπυλότητες Καμπυλότητα Gauss και μέση καμπυλότητα Ελλειπτικά-υπερβολικά-παραβολικάισόπεδα-ομφαλικά σημεία Ασυμπτωτικές διευθύνσεις-ασυμπτωτικές καμπύλες Γραμμές καμπυλότητας Τρίτη θεμελιώδης μορφή Ελαχιστικές επιφάνειες Ασκήσεις Έξοχο Θεώρημα-Θεμελιώδες Θεώρημα των επιφανειών Έξοχο Θεώρημα Θεμελιώδες Θεώρημα της θεωρίας των επιφανειών

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7.3 Ασκήσεις Ευθειογενείς-Αναπτυκτές επιφάνειες Ευθειογενείς επιφάνειες Αναπτυκτές επιφάνειες-επιφάνειες με καμπυλότητα Gauss K = Ταξινόμηση των αναπτυκτών επιφανειών Ασκήσεις Appendices 157 Αʹ Ο Ευκλείδειος χώρος R n 159 Αʹ.1 Προσανατολισμός στον Ευκλείδειο χώρο R n Αʹ.2 Ισομετρίες του Ευκλειδείου χώρου R n Αʹ.2.1 Ισομετρίες του Ευκλειδείου χώρου R Αʹ.2.2 Ισομετρίες του Ευκλειδείου χώρου R Αʹ.2.3 Διανυσματικό και μικτό γινόμενο στον Ευκλείδειο χώρο R Αʹ.3 Erlanger Programm-Γεωμετρική Iσοτιμία Βʹ Η τοπολογία του R n 171 Βʹ.1 Ανοικτά και κλειστά υποσύνολα Βʹ.2 Επαγόμενη τοπολογία Βʹ.3 Ομοιομορφισμοί Γʹ Διαφορίσιμες απεικονίσεις μεταξύ Ευκλειδείων χώρων 175 Γʹ.1 Παραγώγιση διανυσματικών απεικονίσεων του Ευκλειδείου χώρου R n μιας μεταβλητής Γʹ.2 Διαφορίσιμες απεικονίσεις και Διαφορικό απεικόνισης. 176 Γʹ.3 Θεώρημα αντίστροφης απεικόνισης Δʹ Αυτοπροσηρτημένοι γραμμικοί μετασχηματισμοί 181 5

6 6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

7 Κεφάλαιο 1 Καμπύλες του Ευκλειδείου χώρου R 2 Αυτό το κεφάλαιο αφιερώνεται στη μελέτη των καμπυλών του Ευκλειδείου χώρου R 2. Εισάγεται η θεμελιώδης έννοια της καμπυλότητας για τέτοιες καμπύλες. Στόχος είναι να εξεταστεί σε πoιό βαθμό μια καμπύλη καθορίζεται ως προς ισομετρία του R 2 από την καμπυλότητα. Ορισμός Καλούμε καμπύλη του R 2 κάθε απεικόνιση c: I R 2 όπου I R είναι ανοικτό διάστημα. H καμπύλη καλείται τάξης C r, όπου r είναι φυσικός αριθμός, αν υπάρχουν οι παράγωγοί της έως r τάξης και είναι συνεχείς. Θέτοντας c(t) = (x(t), y(t)), t I, οι συναρτήσεις x(t), y(t) ονομάζονται συναρτήσεις συντεταγμένων της καμπύλης. Προφανώς η καμπύλη c είναι τάξης C r αν και μόνο αν οι συναρτήσεις συντεταγμένων της είναι της ίδιας τάξης. Συνήθως απαιτούμε η καμπύλη να είναι τουλάχιστον τάξης C 2. Συχνά κάνουμε λόγο για λείες καμπύλες, εννοώντας ότι η καμπύλη είναι τέτοιας τάξης διαφορισιμότητας όσο απαιτούν οι ανάγκες της θεωρίας. Η μεταβλητή t I καλείται παράμετρος της καμπύλης. Αξίζει να τονιστεί ότι κατά τον ορισμό μας οι καμπύλες είναι απεικονίσεις και όχι σύνολα σημείων του R 2. Αναζητώντας φυσική 7

8 1. Κ Ε R 2 ερμηνεία της έννοιας, μπορούμε να φανταστούμε την καμπύλη ως τροχιά ενός κινητού. Το σύνολο c(i) ονομάζεται εικόνα της καμπύλης c. Επισημαίνουμε ότι δύο καμπύλες μπορεί να είναι διαφορετικές ακόμα κι αν έχουν την ίδια ακριβώς εικόνα. Ορισμός Η καμπύλη c: I R 2 όπου I R είναι ανοικτό διάστημα, καλείται γεωμετρικώς ισότιμη της καμπύλης c: I R 2 αν υπάρχει ισομετρία T Isom(R 2 ) τέτοια ώστε c = T c. Δε διακρίνουμε μεταξύ καμπυλών οι οποίες διαφέρουν ως προς ισομετρία του R 2, δηλαδή μεταξύ γεωμετρικώς ισότιμων καμπυλών. 1.1 Κανονικές καμπύλες Ορισμός Έστω λεία καμπύλη c: I R 2 όπου I R είναι ανοικτό διάστημα, με c(t) = (x(t), y(t)), t I. Το διάνυσμα c (t 0 ) = dc dt (t 0) = (x (t 0 ), y (t 0 )) καλείται εφαπτομενικό διάνυσμα (ή διάνυσμα ταχύτητας) της c στο t 0 I. H καμπύλη c καλείται κανονική αν c (t) 0 για κάθε t I. H γεωμετρική του ερμηνεία είναι ότι καθώς το t τείνει στο t 0, η ευθεία η οποία διέρχεται από τα σημεία c(t) και c(t 0 ) τείνει να λάβει μια οριακή θέση η οποία θα καλείται η εφαπτομένη ευθεία της καμπύλης c η οποία είναι παράλληλη προς το διάνυσμα c (t 0 ) και καλά ορισμένη εφόσον c (t 0 ) 0. Aυτό μας αναγκάζει να περιορίσουμε τη μελέτη μας σε κανονικές καμπύλες. Έτσι η εφαπτομένη ευθεία μιας κανονικής c στο t 0 I είναι εκείνη η ευθεία η οποία διέρχεται από το σημείο c(t 0 ) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα ταχύτητας c (t 0 ). Εύκολα διαπιστώνεται (πώς;) ότι η κανονικότητα καμπύλης είναι ιδιότητα αναλλοίωτη κάτω από τη δράση της ομάδας ισομετριών Isom(R 2 ). Τούτο σημαίνει ότι αν c και c είναι γεωμετρικώς ισότιμες καμπύλες και η καμπύλη c είναι κανονική, τότε και η καμπύλη c είναι επίσης κανονική. 8

9 1.1. Κ Παράδειγμα Θεωρούμε την καμπύλη c: R R 2 με c(t) = p + tv όπου p R 2 και v R 2 {0}. Πρόκειται περί κανονικής καμπύλης αφού c (t) = v. H εικόνα της είναι η ευθεία του R 2 η οποία διέρχεται από το p και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα v 0. Πράγματι c(r) = p + span{v} = T p (span{v}), δηλαδή είναι εικόνα του μονοδιάστατου υποχώρου span{v} μέσω της παράλληλης μεταφοράς T p. Παράδειγμα H καμπύλη c: R R 2 με είναι κανονική διότι c(t) = (cos t, sin t) c (t) = ( sin t, cos t) (0, 0), για κάθε t R. Η εικόνα της είναι ο κύκλος S 1 = { (x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1 }, δηλαδή ο κύκλος κέντρου (0, 0) και ακτίνας r = 1. Αξίζει να σημειωθεί ότι κάθε μια από τις καμπύλες c 1 (t) = (cos t, sin t), t R c 2 (t) = (cos 2t, sin 2t), t R είναι κανονική κι η εικόνα αμφοτέρων είναι ο κύκλος S 1. Παράδειγμα H καμπύλη c: R R 2 με δεν είναι κανονική διότι c(t) = ( cos t 2, sin t 2) c (0) = (0, 0). Η εικόνα της είναι και πάλι ο κύκλος S 1. 9

10 1. Κ Ε R 2 Παράδειγμα H καμπύλη c: R R 2 με c(t) = ( t 2, t 3) είναι γνωστή ως παραβολή του Neil. Δεν είναι κανονική διότι c (0) = (0, 0). Παράδειγμα H καμπύλη c: R R 2 με c(t) = (a cos t, b sin t), όπου a > 0 και b > 0 είναι κανονική. Η εικόνα της είναι έλλειψη με ημιάξονες τους αριθμούς a, b. Παρατηρούμε ότι c(t + 2π) = c(t), δηλαδή πρόκειται περί κλειστής καμπύλης. Ο περιορισμός της όμως στο διάστημα [0, 2π) δεν έχει αυτοτομές, δηλαδή είναι 1-1. Παράδειγμα H καμπύλη c: R R 2 με c(t) = (sin t, 12 ) sin 2t, είναι κανονική και κλειστή αφού c(t+2π) = c(t). Η εικόνα της δίδεται από την εξίσωση x 4 + y 2 = x 2 από όπου προκύπτει ότι είναι συμμετρική ως προς τους άξονες. Παράδειγμα Δοθείσης τυχούσας λείας συνάρτησης f : I R R, θεωρούμε την καμπύλη c: I R 2 με η οποία είναι κανονική διότι c(t) = (t, f (t)) c (t) = (1, f (t)). Η εικόνα της είναι το γράφημα ως προς τον άξονα Ox της συνάρτησης f. Ομοίως μπορούμε να θεωρήσουμε την κανονική καμπύλη c(t) = ( f (t), t) η οποία είναι γράφημα ως προς τον άξονα Oy. 10

11 1.2. Α H ακόλουθη πρόταση μας δίνει μια συνέπεια της κανονικότητας. Πρόταση Έστω κανονική καμπύλη c: I R 2 όπου I R είναι ανοικτό διάστημα. Για κάθε t 0 I, υπάρχει ανοικτό διάστημα I 0 I με t 0 I 0 τέτοιο ώστε o περιορισμός της c στο I 0 να μην έχει αυτοτομές, δηλαδή να είναι 1-1. Επιπλέον, η καμπύλη τοπικά είναι γράφημα είτε ως προς τον άξονα Ox είτε ως προς τον άξονα Oy. Απόδειξη. Λόγω κανονικότητας έχουμε c (t 0 ) = (x (t 0 ), y (t 0 )) (0, 0). Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέσουμε ότι x (t 0 ) 0. Επειδή η συνάρτηση x είναι συνεχής, υπάρχει ανοικτό διάστημα I 0 I με t 0 I 0 τέτοιο ώστε x (t) 0 για κάθε t I 0. Επομένως η συνάρτηση x = x(t) αντιστρέφεται για x κοντά στο x(t 0 ) και η αντίστροφή της t = t(x) διαφορίσιμη. Τότε είναι c(t) = (x(t), y(t)) = (x, y(t(x))) = (x, f (x)), όπου f είναι η λεία συνάρτηση με f (x) = y(t(x)). Αυτό σημαίνει ότι κοντά στο t 0 η καμπύλη c είναι γράφημα ως προς τον άξονα Ox. Εργαζόμενοι ομοίως, προκύπτει ότι αν y (t 0 ) 0, τότε είναι γράφημα ως προς τον άξονα Oy. 1.2 Αναπαραμετρήσεις καμπυλών Έστω λεία καμπύλη c: I R 2 όπου I R είναι ανοικτό διάστημα, με c(t) = (x(t), y(t)), t I. Θεωρούμε λεία συνάρτηση f : J I, με f (σ) = t, όπου J R είναι ανοικτό διάστημα. Η λεία καμπύλη c = c f έχει παράμετρο σ και εφαπτομενικό διάνυσμα c = d c dσ = d f dc dσ dt = d f dσ c. H καμπύλη c είναι κανονική αν και μόνο αν η καμπύλη c είναι κανονική και ισχύει d f /dσ > 0 παντού στο J ή d f /dσ < 0 παντού 11

12 1. Κ Ε R 2 στο J. Σε αυτή την περίπτωση, η λεία καμπύλη c = c f καλείται αναπαραμέτρηση της καμπύλης c. Δύο καμπύλες εκ των οποίων η μία είναι αναπαραμέτρηση της άλλης έχουν ακριβώς την ίδια εικόνα. Oι καμπύλες c 1, c 2 του Παραδείγματος είναι αναπαραμετρήσεις της καμπύλης c του ιδίου παραδείγματος με αντίστοιχες συναρτήσεις τις f 1 (t) = t και f 2 (t) = 2t. 1.3 Μήκος καμπυλών Έστω καμπύλη c: I R 2, όπου I R είναι ανοικτό διάστημα, με c(t) = (x(t), y(t)), t I. Θεωρούμε διάστημα [a, b] I και τυχαία διαμέριση P = {a = t 0 < t 1 < < t k = b} αυτού. Η λεπτότητα της διαμέρισης P είναι ο αριθμός P = max {t i t i 1 : i = 1,..., k}. Τα σημεία c(t 0 ), c(t 1 ),..., c(t i ),,..., c(t k ) ορίζουν πολυγωνική γραμμή, η οποία ενώνει τα ληκτικά σημεία c(a), c(b) και έχει μήκος L(c, P) = k d (c(t i ), c(t i 1 )) = i=1 k (c(t i ) c(t i 1 ). Θεωρούμε ακολουθία διαμερίσεων P n του διαστήματος [a, b] τέτοια ώστε lim P n = 0. n Aποδεικνύεται στην Μαθηματική Ανάλυση ότι αν η καμπύλη c είναι τάξης C 1, τότε το όριο lim n L(c, P n ) υπάρχει στο R, είναι ανεξάρτητο της επιλογής της ακολουθίας διαμερίσεων και μάλιστα ισχύει lim L(c, P n) = n b a i=1 c (t) dt. O αριθμός αυτός καλείται μήκος της καμπύλης c από το a έως το b και συμβολίζεται με La(c), b δηλαδή έχουμε L b a(c) = b a 12 c (t) dt.

13 1.3. Μ Εύκολα διαπιστώνεται (πώς;) ότι το μήκος είναι αναλλοίωτο κάτω από τη δράση της ομάδας ισομετριών Isom(R 2 ). Τούτο σημαίνει ότι αν c και c είναι γεωμετρικώς ισότιμες καμπύλες, τότε L b a( c) = L b a(c). Eπιπλέον, με εφαρμογή του Θεωρήματος Αλλαγής Μεταβλητής ολοκληρωμάτων, εύκολα προκύπτει ότι αν η καμπύλη c είναι αναπαραμέτρηση της καμπύλης c με c = c f, τότε ισχύει L b a(c) = L b ã ( c) αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και f (ã) = a και f ( b) = b, ενώ L b a(c) = Lã b ( c) αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. Πράγματι αν t = f (σ), επειδή b b c (t) dt = c (t) d f dσ dσ, έχουμε αν d f /dσ > 0, ενώ a b a b a c (t) dt = = c (t) dt = ã b ã b ã = L b ã ( c) = ã b ã b = Lã b ( c) d f dc dσ dt (t) dσ d c dσ dσ d f dc dσ dt (t) dσ d c dσ dσ αν d f /dσ < 0. Ας διατυπώσουμε τώρα το ακόλουθο εύλογο πρόβλημα ελαχιστοποίησης του μήκους. 13

14 1. Κ Ε R 2 Πρόβλημα Δίνονται σημεία p, q R 2. Υπάρχει λεία καμπύλη η οποία να συνδέει τα σημεία p, q και να έχει το ελάχιστο μήκος μεταξύ όλων των λείων καμπυλών που συνδέουν τα p, q; Η απάντηση δίνεται στο ακόλουθο Θεώρημα Δίνονται τα διακεκριμένα σημεία p, q R 2. Κάθε λεία κανονική καμπύλη c: [a, b] R 2 με c(a) = p και c(b) = q έχει μήκος L b a(c) d(p, q), όπου d(p, q) είναι η απόσταση των σημείων p, q. Επιπλέον, η ισότητα ισχύει μόνο αν η εικόνα της c είναι το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα σημεία p, q. Απόδειξη. Θεωρούμε το μοναδιαίο διάνυσμα w = q p q p. Aπό την ανισότητα Cauchy-Schwarz έχουμε c (t), w c (t), w c (t) για κάθε t [a, b]. Ολοκληρώνοντας, λαμβάνουμε d(p, q) = q p, w b a c (t), w dt L b a(c). Αν L b a(c) = d(p, q), τότε η παραπάνω ανισότητα γίνεται παντού ισότητα. Άρα τα διανύσματα c (t) και w είναι ομόρροπα για κάθε t [a, b], δηλαδή c (t) = f (t)w, όπου f (t) είναι λεία και παντού θετική συνάρτηση. Τούτο σημαίνει ότι εικόνα της καμπύλης c είναι το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα σημεία p, q (γιατί;). 14

15 1.4. Μ Μήκος τόξου-φυσική παράμετρος Σε αυτή την ενότητα θα εισάγουμε μια φυσική αναπαραμέτρηση για κανονικές καμπύλες. Έστω λεία καμπύλη c: I R 2 όπου I R είναι ανοικτό διάστημα, με c(t) = (x(t), y(t)), t I. Επιλέγουμε t 0 I. H λεία συνάρτηση s: I R με s = s(t) = t t 0 c (σ) dσ, καλείται μήκος τόξου της c με αφετηρία t 0. Σημειώνουμε ότι η συνάρτηση s(t) λαμβάνει αρνητικές τιμές για t < t 0, ενώ είναι s(t) = L t t 0 (c) αν t > t 0. Αν αλλάξουμε αφετηρία, τότε το μήκος τόξου αλλάζει κατά μια σταθερά. Από το Θεμελώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού προκύπτει ότι η συνάρτηση s(t) είναι διαφορίσιμη με παράγωγο ds dt = c. Aν η καμπύλη c είναι κανονική, τότε έχουμε ds/dt > 0 παντού στο I. Aπό το Θεώρημα Αντίστροφης Συνάρτησης, η συνάρτηση s = s(t) έχει λεία αντίστροφο f, δηλαδή t = f (s) ή πιο απλά t = t(s). Η καμπύλη c = c f είναι αναπαραμέτρηση της c και ονομάζεται αναπαραμέτρηση της καμπύλης c με φυσική παράμετρο ή με παράμετρο το μήκος τόξου (χάριν συντομίας γράφουμε c = c = c f ). Έχει δε μοναδιαίο διάνυσμα ταχύτητας dc ds = 1 c c. Επομένως αποδείξαμε ότι κάθε κανονική καμπύλη δέχεται αναπαραμέτρηση με παράμετρο το μήκος τόξου. Συμβολίζουμε τις παραγώγους ως προς το μήκος τόξου με τελείες, δηλαδή = d d2, = ds ds,

16 1. Κ Ε R 2 και ακολουθούμε από εδώ και στο εξής αυτή τη σύμβαση. Έτσι αν τότε και c(s) = (x(s), y(s)), ċ(s) = dc (s) = (ẋ(s), ẏ(s)) ds c(s) = d2 c (s) = (ẍ(s), ÿ(s)). ds2 Αντίστροφα, αν το διάνυσμα ταχύτητας μιας καμπύλης c με παράμετρο t είναι μοναδιαίο, τότε το μήκος τόξου της με αφετηρία t 0 είναι s(t) = t t 0 c (σ) dσ = t t 0. Aυτό σημαίνει ότι η παράμετρος t είναι μήκος τόξου ως προς κατάλληλη αφετηρία. Συνεπώς μια καμπύλη έχει ως παράμετρο το μήκος τόξου αν και μόνο αν το εφαπτομενικό της διάνυσμα είναι παντού μοναδιαίο. Αν μια καμπύλη έχει παράμετρο το μήκος τόξου, τότε το αυτό ισχύει και για κάθε άλλη καμπύλη γεωμετρικώς ισότιμη προς αυτή (γιατί;). Παράδειγμα H καμπύλη c: R R 2 με c(t) = (r cos t, r sin t) και r > 0 έχει ως εικόνα τον κύκλο κέντρου (0, 0) και ακτίνας r. Είναι κανονική διότι c (t) = r. To μήκος τόξου της c με αφετηρία t 0 είναι η συνάρτηση s = s(t) = r(t t 0 ). Eπιλέγοντας ως αφετηρία t 0 = 0, έχουμε s = rt. Έτσι προκύπτει ότι η αναπαραμέτρηση της καμπύλης c με φυσική παράμετρο είναι η καμπύλη ( c(s) = r cos s r, r sin s ). r 16

17 1.5. Κ Ε R Καμπυλότητα καμπυλών του Ευκλειδείου χώρου R Καμπύλες με φυσική παράμετρο Στόχος μας είναι να ορίσουμε την έννοια της καμπυλότητας ως μέτρο απόκλισης τυχούσας καμπύλης από την απλούστερη καμπύλη, δηλαδή την ευθεία. Με άλλα λόγια η καμπυλότητα καμπύλης θα οριστεί ως ρυθμός μεταβολής της εφαπτομένης της ευθείας. Κατ αρχήν, θεωρούμε καμπύλη c(s) = (x(s), y(s)) με φυσική παράμετρο, δηλαδή με παράμετρο το μήκος τόξου s I R. H εφαπτομένη ευθεία της στο τυχόν s σχηματίζει γωνία φ(s) με τον άξονα Ox. Ο ρυθμός μεταβολής της εφαπτομένης ευθείας είναι η παράγωγος της γωνιακής συνάρτησης φ(s). Είναι όμως η φ(s) παραγωγίσιμη; Τούτο θα προκύψει από το ακόλουθο Λήμμα Aν f, g: I R R είναι C 1 συναρτήσεις με f 2 (t) + g 2 (t) = 1, για κάθε t I, τότε για κάθε φ 0 R, τέτοιο ώστε f (t 0 ) = cos φ 0, g(t 0 ) = sin φ 0 και t 0 I, υπάρχει μοναδική C 1 συνάρτηση φ: I R R τέτοια ώστε f (t) = cos φ(t), g(t) = sin φ(t) και φ(t 0 ) = φ 0. Απόδειξη. Θεωρούμε τη συνάρτηση φ(t) = φ 0 + t t 0 ( f (σ)g (σ) f (σ)g(σ) ) dσ. Προφανώς ισχύει φ(t 0 ) = φ 0. Αρκεί επομένως να δείξουμε ότι ( f (t) cos φ(t)) 2 + (g(t) sin φ(t)) 2 = 0, ή ισοδύναμα f (t) cos φ(t) + g(t) sin φ(t) = 1. 17

18 1. Κ Ε R 2 Tούτο όμως προκύπτει από τα δεδομένα (γιατί;). Είναι φανερό ότι αν στο Λήμμα δεν προκαθορίσουμε την τιμή της γωνιακής συνάρτησης φ σε ένα t 0 I, τότε υπάρχουν άπειρες τέτοιες γωνιακές συναρτήσεις. Επιπλέον, αν φ και φ είναι δύο τέτοιες συναρτήσεις, τότε υπάρχει k Z έτσι ώστε (γιατί;) φ(t) = φ(t) + 2kπ. Επειδή η καμπύλη c με c(s) = (x(s), y(s)) έχει φυσική παράμετρο ισχύει ẋ 2 (s) + ẏ 2 (s) = 1 για κάθε s I. Aν η καμπύλη c είναι τάξης C 2, τότε σύμφωνα με τα ανωτέρω υπάρχει C 1 γωνιακή συνάρτηση φ: I R R τέτοια ώστε ẋ(s) = cos φ(s), ẏ(s) = sin φ(s) για κάθε s I. (1.1) Ορισμός Ονομάζουμε καμπυλότητα μιας C 2 καμπύλης c: I R R 2, με φυσική παράμετρο s, τη συνεχή συνάρτηση k : I R με k(s) = φ(s) = dφ ds (s). Η καμπυλότητα είναι καλώς ορισμένη, δηλαδή ανεξάρτητη της επιλογής της γωνιακής συνάρτησης φ. Aπό την (1.1) έχουμε ẍ = kẏ και ÿ = kẋ, απ όπου λαμβάνουμε το ακόλουθο συμπέρασμα το οποίο μας παρέχει ένα εύκολο τρόπο υπολογισμού της καμπυλότητας. Πρόταση Η καμπυλότητα k μιας καμπύλης c: I R 2 με φυσική παράμετρο s I και c(s) = (x(s), y(s)), s I, δίνεται από τη σχέση k = ẋÿ ẏẍ. 18

19 1.5. Κ Ε R 2 Aς θεωρήσουμε τη στροφή J = R π/2 : R 2 R 2 κατά γωνία π/2. Επειδή J(v 1, v 2 ) = ( v 2, v 1 ), άμεσα προκύπτει ότι η καμπυλότητα δίνεται από την σχέση k = c, Jċ. Το διάνυσμα c είναι το διάνυσμα της επιτάχυνσης της καμπύλης c. Η καμπύλη του Παραδείγματος 1.4.1, της οποίας η εικόνα είναι κύκλος ακτίνας r, έχει σταθερή καμπυλότητα k = 1/r. Παρατήρηση Σημειώνουμε ότι αν θεωρήσουμε την αναπαραμέτρηση c = c f της καμπύλης c με f (s) = s, τότε και η καμπύλη c έχει φυσική παράμετρο, ενώ οι καμπυλότητές τους k και k αντίστοιχα, πληρούν k = k. Είναι η καμπυλότητα γεωμετρική έννοια; Mε άλλα λόγια, πως σχετίζονται οι καμπυλότητες δύο γεωμετρικώς ισότιμων καμπυλών; Η απάντηση δίνεται στην ακόλουθη πρόταση. Πρόταση Οι καμπυλότητες k και k των γεωμετρικώς ισότιμων καμπυλών c και c = T c με φυσική παράμετρο και T Isom(R 2 ) πληρούν τη σχέση k = εk, όπου ε = 1 ή ε = 1, αν η ισομετρία T διατηρεί ή αντιστρέφει τον προσανατολισμό, αντίστοιχα. Απόδειξη. Έχουμε c = T ċ και c = T c, όπου T είναι το γραμμικό μέρος της ισομετρίας T, δηλαδή T = T v T και T v είναι παράλληλη μεταφορά κατά διάνυσμα v. Επομένως Όμως εύκολα ελέγχεται ότι αν T είναι στροφή, ενώ k = c, J c = T c, J T c. J T = T J J T = T J αν T είναι κατοπτρισμός, από όπου και προκύπτει το ζητούμενο. 19

20 1. Κ Ε R Καμπύλες με τυχαία παράμετρο Έχουμε έως τώρα ορίσει την καμπυλότητα για καμπύλες του R 2 με φυσική παράμετρο. Πως ορίζεται όμως η καμπυλότητα για καμπύλες με τυχoύσα παράμετρο; Έστω λεία κανονική καμπύλη c: I R 2, όπου I R είναι ανοικτό διάστημα, με c(t) = (x(t), y(t)), t I. Θεωρούμε την αναπαραμέτρηση c = c f της καμπύλης c με φυσική παράμετρο, όπου t = f (s) (ή πιο απλά t = t(s)) είναι η αντίστροφη συνάρτηση της συνάρτησης μήκος τόξου s = s(t). Αν k είναι η καμπυλότητα της καμπύλης c όπως ορίστηκε στην προηγούμενη ενότητα, τότε ορίζουμε ως καμπυλότητα της καμπύλης c τη συνάρτηση k : I R με k(t) = k (s(t)), t I. Η αναπαραμέτρηση της καμπύλης c έχει μοναδιαίο διάνυσμα ταχύτητας (θυμίζουμε ότι χάριν συντομίας γράφουμε c = c = c f ) ċ = dc ds = 1 c c. Kάνοντας χρήση του κανόνα της αλυσίδας έχουμε ẋ = dt dx ds dt = dt ds x, ẏ = dt dy ds dt = dt ds y, ẍ = ( dt ) 2x + x d2 t ds ds, 2 ÿ = ( dt ) 2y + y d2 t ds ds. 2 Aπό αυτές προκύπτει εύκολα το ακόλουθο συμπέρασμα που μας παρέχει ένα τρόπο υπολογισμού της καμπυλότητας κανονικών καμπυλών με τυχούσα παράμετρο. 20

21 1.5. Κ Ε R 2 Πρόταση Η καμπυλότητα k μιας κανονικής καμπύλης c: I R 2 με φυσική παράμετρο t I και c(t) = (x(t), y(t)), t I, είναι η συνάρτηση ή ισοδύναμα k = x y y x (x 2 + y 2 ) 3/2 k = c, Jc c 3. Ως εφαρμογή της ανωτέρω πρότασης προκύπτει ότι οι καμπύλες γραφήματα του Παραδείγματος με c(t) = (t, f (t)) έχουν καμπυλότητα k = f (1 + f 2 ) 3/ Γεωμετρική ερμηνεία της καμπυλότητας Η προηγούμενη έκφραση για την καμπυλότητα των καμπυλών γραφήματα μας επιτρέπει την ακόλουθη γεωμετρική ερμηνεία της καμπυλότητας. Ας θεωρήσουμε καμπύλες c και c με φυσική παράμετρο s I R των οποίων οι καμπυλότητες πληρούν την ανισότητα k(s 0 ) > k(s 0 ) για κάποιο s 0 I. Επειδή λόγω της Πρότασης η καμπυλότητα δεν αλλάζει αν μετατοπίσουμε τις καμπύλες με ισομετρίες του R 2 που διατηρούν τον προσανατολισμό, μπορούμε να υποθέσουμε ότι c(s 0 ) = c(s 0 ) = (0, 0) και ċ(s 0 ) = c(s 0 ) = (1, 0). Τότε όμως σύμφωνα με τη Πρόταση 1.1.1, οι καμπύλες γράφονται κοντά στο (0, 0) ως γραφήματα λείων συναρτήσεων f και f που ορίζονται σε κατάλληλο διάστημα ( ε, ε) και πληρούν f (0) = 0 = f (0) και f (0) = 0 = f (0). 21

22 1. Κ Ε R 2 Επειδή k(0) > k(0), έχουμε f (0) > f (0). Τότε η συνάρτηση g = f f έχει γνήσιο τοπικό ελάχιστο στο 0, δηλαδή κοντά στο (0, 0) η καμπύλη c βρίσκεται υπεράνω από την καμπύλη c. Eιδικά, αν η καμπύλη c είναι ευθεία, δηλαδή k = 0, προκύπτει ότι μια καμπύλη με καμπυλότητα k > 0 είναι τοπικά κυρτή. Αυτό σημαίνει ότι τοπικά περιέχεται σε ένα από τα δύο ημιεπίπεδα με ακμή την εφαπτομένη της ευθεία. Αν υποθέσουμε ότι κοντά στο (0, 0) η καμπύλη c βρίσκεται υπεράνω από την καμπύλη c, τότε επειδή η συνάρτηση g έχει ελάχιστο στο 0, έχουμε g (0) 0 ή ισοδύναμα k(0) k(0) Πλαίσιο Frenet και εξισώσεις Frenet Έστω c: I R R 2 καμπύλη με φυσική παράμετρο s I. Συμβολίζουμε με t(s) το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα t(s) = ċ(s) = (cos φ(s), sin φ(s)), s I. Στρέφοντας το διάνυσμα t(s) κατά γωνία π/2 αποκτούμε το διάνυσμα n(s) = J t(s) = ( sin φ(s), cos φ(s)), s I, το οποίο καλείται μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της καμπύλης c. Eίναι φανερό ότι για κάθε s I τα διανύσματα { t(s), n(s)} συνιστούν ορθομοναδιαία δεξιόστροφη βάση του Ευκλειδείου χώρου R 2, η οποία καλείται πλαίσιο Frenet της καμπύλης c. Aπό τις σχέσεις t = dφ ( sin φ, cos φ), ds n = dφ (cos φ, sin φ), ds λαμβάνουμε τις λεγόμενες εξισώσεις Frenet της καμπύλης c t = k n, n = k t. 22

23 1.6. Τ Ε R 2 Για κανονική καμπύλη c με τυχαία παράμετρο t, το πλαίσιο Frenet είναι 1 1 t(t) = c (t) c (t), n(t) = c (t) Jc (t). H ευθεία η οποία διέρχεται από το σημείο c(t 0 ) και είναι παράλληλη προς το κάθετο διάνυσμα n(t 0 ) καλείται κάθετη ευθεία της καμπύλης c στο t Το θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας των καμπυλών του Ευκλειδείου χώρου R 2 Είμαστε τώρα σε θέση να διατυπώσουμε και να αποδείξουμε το ακόλουθο συμπέρασμα θεμελιώδους σημασίας για τη θεωρία των καμπυλών του Ευκλειδείου χώρου R 2. Θεώρημα (Θεμελιώδες Θεώρημα). (i) Για κάθε συνεχή συνάρτηση k(s), s I R, υπάρχει καμπύλη c: I R 2 με φυσική παράμετρο s και καμπυλότητα τη δοθείσα συνάρτηση k. (ii) Αν c: I R 2 και c: I R 2 είναι καμπύλες αμφότερες με φυσική παράμετρο και ίσες καμπυλότητες¹ k = k, τότε υπάρχει ισομετρία T Isom(R 2 ), η οποία διατηρεί τον προσανατολισμό, τέτοια ώστε c = T c. Απόδειξη. (i) Θεωρούμε τη C 1 συνάρτηση φ(s) = s s 0 k(σ)dσ, όπου s 0 I και την C 2 καμπύλη c: I R 2 με c(s) = ( s s 0 cos φ(σ)dσ, s s 0 sin φ(σ)dσ ). ¹Είναι προφανές ότι αν οι καμπυλότητες k και k πληρούν k = k, τότε υπάρχει ισομετρία T Isom(R 2 ) η οποία αντιστρέφει τον προσανατολισμό, τέτοια ώστε c = T c. 23

24 1. Κ Ε R 2 Tο εφαπτομενικό της διάνυσμα είναι μοναδιαίο αφού dc ds (s) = ( cos φ(s), sin φ(s) ). Επομένως το s είναι μήκος τόξου για την καμπύλη c και προφανώς η καμπυλότητά της είναι dφ (s) = k(s). ds (ii) Επιλέγουμε s 0 I και στροφή A O(2) τέτοια ώστε A c(s 0 ) = ċ(s 0 ) και τις παραράλληλες μεταφορές T v κατά v = c(s 0 ) και T w κατά w = c(s 0 ). Θεωρούμε την καμπύλη c = T c, όπου T Isom(R 2 ) είναι η ισομετρία με T = T v A T w. Η καμπύλη c προφανώς έχει ως παράμετρο το μήκος τόξου s και λόγω της Πρότασης έχει καμπυλότητα k. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι c(s 0 ) = c(s 0 ) και c(s 0 ) = ċ(s 0 ). (1.2) Έστω φ(s) και φ(s) γωνιακές συναρτήσεις των καμπυλών c και c, αντίστοιχα, δηλαδή, ċ(s) = (cos φ(s), sin φ(s)) και c(s) = (cos φ(s), sin φ(s)). (1.3) Λόγω της δεύτερης από τις ισότητες (1.2), μπορούμε να υποθέσουμε ότι φ(s 0 ) = φ(s 0 ). Όμως τότε έχουμε ή ισοδύναμα k(s) = dφ d φ (s) = ds ds (s), d(φ φ) (s) = 0. ds 24

25 1.7. A Επειδή φ(s 0 ) = φ(s 0 ), λαμβάνουμε φ(s) = φ(s) για κάθε s I. Aπό τις (1.3) έχουμε d(c c) (s) = 0 ds και λόγω της πρώτης από τις σχέσεις (1.2), τελικώς βρίσκουμε ότι c(s) = c(s) για κάθε s I. Συνεπώς είναι c = T 1 c και η T 1 είναι ισομετρία η οποία διατηρεί τον προσανατολισμό. Άμεση συνέπεια είναι το ακόλουθο συμπέρασμα. Πόρισμα Οι μόνες καμπύλες του R 2 με σταθερή καμπυλότητα είναι ευθείες (ή τμήματα αυτών) και κύκλοι (ή τόξα κύκλων). 1.7 Aσκήσεις 1. Δίνεται η καμπύλη c: R R 2 με c(t) = (e t cos t, e t sin t), t R. (i) Εξετάστε αν η c είναι κανονική καμπύλη. Βρείτε τη συνάρτηση μήκους τόξου της με αφετηρία t 0 = 0. (ii) Βρείτε αναπαραμέτρηση με παράμετρο το μήκος τόξου. (iii) Yπολογίστε την καμπυλότητά της ως συνάρτηση της παραμέτρου t, αλλά και του μήκους τόξου. (iv) Yπολογίστε τo πλαίσιο Frenet συναρτήσει της παραμέτρου t, αλλά και του μήκους τόξου. (v) Υπάρχει εφαπτομένη ή κάθετη ευθεία της καμπύλης c η οποία διέρχεται από το σημείο O(0, 0); 2. Δίνεται η καμπύλη c: R R 2 με c(t) = (t, a cosh( t ) a + b), t R, όπου a 0 και b είναι πραγματικοί αριθμοί. Να υπολογιστεί η καμπυλότητά της ως συνάρτηση του μήκους τόξου. 25

26 1. Κ Ε R 2 3. Να βρεθεί η καμπύλη c(s) του R 2 με παράμετρο το μήκος τόξου s R και καμπυλότητα k(s) = 5 τέτοια ώστε ( ) 1 c(0) = (1, 1) και ċ(0) =, Να βρεθούν όλες οι καμπύλες c(s) του R 2 με παράμετρο το μήκος τόξου s R και μοναδιαίο κάθετο n(s) = ( sin s, cos s). 5. Aποδείξτε ότι οι μόνες καμπύλες του R 2 που έχουν την ιδιότητα οι κάθετες ευθείες να διέρχονται από σταθερό σημείο p 0 είναι τόξα κύκλου κέντρου p Aποδείξτε ότι οι μόνες καμπύλες του R 2 που έχουν την ιδιότητα οι εφαπτόμενες ευθείες να απέχουν σταθερή απόσταση από σταθερό σημείο είναι τμήματα ευθείας ή τόξα κύκλου. 7. Δίνεται η καμπύλη c: R R 2 με c(t) = ( R cos 3 t, R sin 3 t ), t [0, 2π]. όπου R είναι θετικός πραγματικός αριθμός. (i) Να εξεταστεί ως προς την κανονικότητα. (ii) Να υπολογιστεί το μήκους τόξου με αφετηρία t 0 = 0. (iii) Να υπολογιστεί το μήκος της. (iv) Βρείτε αναπαραμέτρησή της με παράμετρο το μήκος τόξου. 8. Έστω c(s) καμπύλη του R 2 με παράμετρο το μήκος τόξου s I R και καμπυλότητα k(s) 0 για κάθε s I. Θεωρούμε την καμπύλη c(s) = c(s) + 1 k(s) n(s), όπου n(s) είναι το μοναδιαίο κάθετο της καμπύλης c. (i) Να εξεταστεί αν η καμπύλη c είναι κανονική. (ii) Aν η καμπύλη c είναι κανονική, να βρεθεί το πλαίσιο Frenet καθώς και η καμπυλότητά της. 26

27 1.7. A 9. Έστω c(s) καμπύλη του R 2 με παράμετρο το μήκος τόξου s [a, b]. Θεωρούμε την καμπύλη c σ (s) = c(s) + σ n(s), όπου n(s) είναι το μοναδιαίο κάθετο της καμπύλης c. (i) Να αποδείξτε ότι η καμπύλη c σ είναι κανονική για σ αρκούντως μικρό. Βρείτε το πλαίσιο Frenet της c σ. (ii) Να αποδείξτε ότι, για σ αρκούντως μικρό, η καμπυλότητα k σ της καμπύλης c σ είναι k σ (s) = k(s) 1 σk(s), όπου k(s) είναι η καμπυλότητα της καμπύλης c. 10. Δίνονται οι καμπύλες c 1, c 2 : R R 2 με c 1 (t) = ( f (t), t) και c 2 (t) = ( 3 2 f (t) t, 1 2 f (t) 3 2 t), t R, όπου f : R R είναι λεία συνάρτηση. Δείξτε ότι καμπύλες c 1 και c 2 είναι γεωμετρικώς ισότιμες. 11. Δίνεται καμπύλη c: (a, b) R 2, με παράμετρο το μήκος τόξου s, για την οποία υπάρχει s 0 (a, b) τέτοιο ώστε η απόσταση d(c(s), O) του τυχόντος σημείου της καμπύλης από την αρχή O του R 2 λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της για s = s 0. Αποδείξτε ότι η καμπυλότητα k(s) της καμπύλης c στο s 0 πληροί k(s 0 ) k 0, όπου k 0 > 0 είναι η καμπυλότητα του κύκλου κέντρου O που διέρχεται από το σημείο c(s 0 ). 27

28 1. Κ Ε R 2 28

29 Κεφάλαιο 2 Καμπύλες του Ευκλειδείου χώρου R 3 Αυτό το κεφάλαιο αφιερώνεται στη μελέτη των καμπυλών του Ευκλειδείου χώρου R 3. Η θεωρία τους παρουσιάζει ομοιότητες αλλά και σημαντικές διαφορές από αυτή των καμπυλών του Ευκλειδείου χώρου R 2. Μια καμπύλη του Ευκλειδείου χώρου R 3 είναι μια απεικόνιση c: I R 3, όπου I R είναι ανοικτό διάστημα. H καμπύλη c καλείται τάξης C r, όπου r είναι φυσικός αριθμός, αν υπάρχουν οι παράγωγοί της έως r τάξης και είναι συνεχείς. Θέτοντας c(t) = (x(t), y(t), z(t)), t I, οι συναρτήσεις x(t), y(t), z(t) ονομάζονται συναρτήσεις συντεταγμένων της καμπύλης. Προφανώς η καμπύλη c είναι τάξης C r αν και μόνο αν οι συναρτήσεις συντεταγμένων της είναι της ίδιας τάξης. Συνήθως απαιτούμε η καμπύλη να είναι τουλάχιστον C 3 τάξης. Συχνά κάνουμε λόγο για λείες καμπύλες, εννοώντας ότι η καμπύλη είναι τέτοιας τάξης διαφορισιμότητας όσο απαιτούν οι ανάγκες της θεωρίας. Η μεταβλητή t I καλείται παράμετρος της καμπύλης. Αξίζει να τονιστεί ότι κατά τον ορισμό μας οι καμπύλες είναι απεικονίσεις και όχι σύνολα σημείων του Ευκλειδείου χώρου R 3. Αναζητώντας φυσική ερμηνεία της έννοιας, μπορούμε να φανταστούμε την καμπύλη ως τροχιά ενός κινητού το οποίο τη χρονική στιγμή t I βρί- 29

30 2. Κ Ε R 3 σκεται στη θέση c(t). Το σύνολο c(i) ονομάζεται εικόνα της καμπύλης c. Επισημαίνουμε ότι δύο καμπύλες μπορεί να είναι διαφορετικές ακόμη κι αν έχουν την ίδια ακριβώς εικόνα. Όπως και στην περίπτωση των καμπυλών του R 2, μια καμπύλη c: I R 3 καλείται γεωμετρικώς ισότιμη μιας καμπύλης c: I R 3 αν υπάρχει ισομετρία T Isom(R 3 ) τέτοια ώστε c = T c. Δε διακρίνουμε μεταξύ καμπυλών οι οποίες διαφέρουν ως προς ισομετρία του Ευκλειδείου χώρου R 3, δηλαδή μεταξύ γεωμετρικώς ισότιμων καμπυλών. Ορισμός Έστω λεία καμπύλη c: I R 3, όπου I R είναι ανοικτό διάστημα, με c(t) = (x(t), y(t)z(t)), t I. Το διάνυσμα c (t 0 ) = dc dt (t 0) = (x (t 0 ), y (t 0 ), z (t 0 )) καλείται εφαπτομενικό διάνυσμα (ή διάνυσμα ταχύτητας) της καμπύλης c στο t 0 I. H καμπύλη c καλείται κανονική αν c (t) 0 για κάθε t I. H γεωμετρική του ερμηνεία είναι ότι καθώς το t τείνει στο t 0, η ευθεία η οποία διέρχεται από τα σημεία c(t) και c(t 0 ) τείνει να λάβει μια οριακή θέση η οποία θα καλείται η εφαπτομένη ευθεία της καμπύλης c η οποία είναι παράλληλη προς το c (t 0 ) και καλά ορισμένη μόνο εφόσον c (t 0 ) 0. Aυτό μας αναγκάζει να περιορίσουμε τη μελέτη μας σε κανονικές καμπύλες. Έτσι η εφαπτομένη ευθεία μιας κανονικής καμπύλης c στο t 0 I είναι εκείνη η ευθεία η οποία διέρχεται από το σημείο c(t 0 ) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα ταχύτητας c (t 0 ). Aν c και c είναι γεωμετρικώς ισότιμες καμπύλες, δηλαδή c = T c για κάποια ισομετρία T Isom(R 3 ), και η καμπύλη c είναι κανονική, τότε και η καμπύλη c είναι επίσης κανονική, αφού ισχύει c (t) = T c (t) για κάθε t I, όπου T είναι το γραμμικό μέρος της ισομετρίας T. 30

31 2.1. Κ Ε R 3 Παράδειγμα H καμπύλη c: R R 3 με c(t) = (a cos t, a sin t, bt), t R, όπου a > 0 και b 0 είναι κανονική. Η καμπύλη αυτή είναι γνωστή ως κυλινδρική έλικα. 2.1 Καμπυλότητα και στρέψη καμπυλών του Ευκλειδείου χώρου R 3 Όλα όσα αναφέραμε για αναπαραμετρήσεις, μήκος καμπυλών και μήκος τόξου καμπυλών του Ευκλειδείου χώρου R 2 μεταφέρονται αυτούσια για καμπύλες του Ευκλειδείου χώρου R 3. Σημειώνουμε ότι γεωμετρικώς ισότιμες καμπύλες του R 3 έχουν την ίδια συνάρτηση μήκος τόξου με κοινή αφετηρία. Έτσι κάθε κανονική καμπύλη του R 3 μπορεί να αναπαραμετρηθεί ώστε να έχει ως παράμετρο το μήκος τόξου. Μια καμπύλη του R 3 έχει φυσική παράμετρο αν και μόνο το διάνυσμα ταχύτητάς της είναι μοναδιαίο παντού. Ωστόσο, η πρώτη διαφορά μεταξύ των καμπυλών του R 2 και αυτών του R 3 αφορά την καμπυλότητα. Ακολούθως δίνεται ο ορισμός της καμπυλότητας για καμπύλες του Ευκλειδείου χώρου R 3 με φυσική παράμετρο, δηλαδή για καμπύλες με παράμετρο το μήκος τόξου. Ορισμός Η καμπυλότητα μιας καμπύλης c: I R R 3, με φυσική παράμετρο s I, ορίζεται ως η συνάρτηση k : I [0, ) με k(s) = c(s), s I. Παρατηρούμε ότι k(s) 0 για κάθε s I. Επιπλέον αν k(s) = 0 για κάθε s I, τότε με ολοκλήρωση λαμβάνουμε c(s) = p + sv, όπου p R 3 και v είναι μοναδιαίο διάνυσμα. Τούτο δείχνει ότι οι μόνες καμπύλες με καμπυλότητα k = 0 είναι οι ευθείες ή ευθύγραμμα τμήματα. Σημειώνουμε ότι αν θεωρήσουμε την αναπαραμέτρηση c = c f της καμπύλης c με f (s) = s, τότε και η καμπύλη c έχει φυσική παράμετρο με καμπυλότητα k = k. 31

32 2. Κ Ε R 3 Είναι η καμπυλότητα γεωμετρική έννοια; Mε άλλα λόγια πως σχετίζονται οι καμπυλότητες δύο γεωμετρικώς ισότιμων καμπυλών του Ευκλειδείου χώρου R 3 ; Οι γεωμετρικώς ισότιμες καμπύλες c και c = T c, όπου T Isom(R 3 ), με φυσική παράμετρο πληρούν c = T ċ και c = T c, όπου T είναι το γραμμικό μέρος της ισομετρίας T. Επομένως k = c = T c = c = k. Συνεπώς, οι γεωμετρικώς ισότιμες καμπύλες του Ευκλειδείου χώρου R 3 έχουν την ίδια καμπυλότητα. Ακολουθεί ο ορισμός της καμπυλότητας για κανονικές καμπύλες του Ευκλειδείου χώρου R 3 με τυχούσα παράμετρο. Θεωρούμε κανονική καμπύλη c: I R R 3 με παράμετρο t I. Τότε η αναπαραμέτρησή της c = c f έχει φυσική παράμετρο, όπου t = f (s) ή πιο απλά t = t(s) είναι η αντίστροφη συνάρτηση της συνάρτησης μήκους τόξου s = s(t). Αν k είναι η καμπυλότητα της καμπύλης c όπως ορίστηκε πιο πάνω, τότε ορίζουμε ως καμπυλότητα της καμπύλης c τη συνάρτηση k : I [0, ) με k(t) = k (s(t)), t I. και Με εφαρμογή του κανόνα της αλυσίδας έχουμε ċ = dt dc ds dt = dt ds c (2.1) c = ( dt ) 2c + d2 t ds ds 2 c. (2.2) Επειδή το εφαπτόμενο διάνυσμα ċ είναι μοναδιαίο, με παραγώγιση της σταθερής συνάρτησης ċ, ċ λαμβάνουμε Οπότε είναι ċ, c = 1 d ċ, ċ = 0. 2 ds k = c = ċ c = ( dt ) 3 c c. ds 32

33 2.2. Π F F Όμως με χρήση της ισότητας dt ds = 1 c (2.3) και των ανωτέρω σχέσεων προκύπτει το ακόλουθο συμπέρασμα το οποίο μας δίνει ένα τρόπο υπολογισμού της καμπυλότητας κανονικών καμπυλών με τυχούσα παράμετρο. Πρόταση Η καμπυλότητα k μιας κανονικής καμπύλης c: I R 3, με παράμετρο t I, είναι η συνάρτηση k = c c c 3. Έτσι εύκολα διαπιστώνεται ότι η καμπύλη του Παραδείγματος έχει σταθερή καμπυλότητα k = a a 2 + b 2. Προκύπτει το συμπέρασμα ότι, σε αντίθεση με τις καμπύλες του Ευκλειδείου χώρου R 2, δεν αρκεί η καμπυλότητα για να καθοριστεί, ως προς γεωμετρική ισοτιμία, μια καμπύλη του Ευκλειδείου χώρου R 3. Πράγματι η κυλινδρική έλικα έχει την ίδια καμπυλότητα με ένα κύκλο ακτίνας (a 2 + b 2 )/a, χωρίς να είναι προφανώς γεωμετρικώς ισότιμες καμπύλες. 2.2 Πλαίσιο Frenet και εξισώσεις Frenet Έστω καμπύλη c: I R R 3 με φυσική παράμετρο s I. Συμβολίζουμε με t(s) το μοναδιαίο εφαπτομενικό της διάνυσμα t(s) = ċ(s), s I. Παρατηρούμε ότι το διάνυσμα t(s) είναι κάθετο στο t(s) αφού έχουμε ότι t(s), t(s) = 1 d 2 ds t(s), t(s) = 0. 33

34 2. Κ Ε R 3 Αν υποθέσουμε ότι η καμπυλότητα της καμπύλης c είναι παντού θετική, τότε ορίζουμε το κύριο κάθετο διάνυσμα n(s) ως το μοναδιαίο διάνυσμα t(s) n(s) = k(s) = c(s) k(s), s I. Aπό εδώ και στο εξής θα μελετούμε μόνο κανονικές καμπύλες των οποίων η καμπυλότητα είναι παντού θετική. Έχουμε τότε την ακόλουθη εξίσωση, γνωστή ως πρώτη εξίσωση Frenet, t = k n. Ορισμός Το δεύτερο κάθετο διάνυσμα b(s) μιας καμπύλης με φυσική παράμετρο s I και παντού θετική καμπυλότητα είναι το μοναδιαίο διάνυσμα b(s) = t(s) n(s). Eίναι φανερό ότι τα διανύσματα { t(s), n(s), b(s)} συνιστούν, για κάθε s I, μια δεξιόστροφη ορθομοναδιαία βάση του Ευκλειδείου χώρου R 3, το λεγόμενο πλαίσιο Frenet της καμπύλης. Για τις παραγώγους του πλαισίου Frenet έχουμε t(s) = t(s), t(s) t(s) + t(s), n(s) n(s) + t(s), b(s) b(s), n(s) = n(s), t(s) t(s) + n(s), n(s) n(s) + n(s), b(s) b(s), b(s) = b(s), t(s) t(s) + b(s), n(s) n(s) + b(s), b(s) b(s), ή ισοδύναμα t(s) = k(s) n(s), n(s) = k(s) t(s) + n(s), b(s) b(s), b(s) = n(s), b(s) n(s). Στη συνέχεια ορίζουμε την στρέψη καμπύλης. Πρόκειται για μια σημαντική συνάρτηση για την θεωρία των καμπυλών του Ευκλειδείου χώρου R 3. Αρχικά δίνουμε τον ορισμό για καμπύλες με παράμετρο το μήκος τόξου. 34

35 2.2. Π F F Ορισμός Η στρέψη μιας καμπύλης c: I R R 3 με φυσική παράμετρο s I και παντού θετική καμπυλότητα είναι η συνάρτηση τ: I R με τ(s) = n(s), b(s). Από τα ανωτέρω προκύπτουν οι λεγόμενες εξισώσεις Frenet της καμπύλης c, δηλαδή οι ακόλουθες t = k n, (2.4) n = k t + τ b, (2.5) b = τ n. (2.6) Η στρέψη μπορεί να υπολογιστεί χωρίς να απαιτείται γνώση του πλαισίου Frenet. Πράγματι, επειδή και έχουμε n = ds( c d ) d 1 ) 1 = c + k ds( k k τ = b = t n = 1 k ċ c, [ċ, c,... c ] k 2 =... [ċ, c, c ]. c 2 Ακολούθως δίνουμε τον ορισμό της στρέψης για καμπύλες με τυχούσα παράμετρο. Θεωρούμε κανονική καμπύλη c: I R R 3 με παράμετρο t I και καμπυλότητα k παντού θετική. Τότε η αναπαραμέτρησή της c = c f έχει φυσική παράμετρο, όπου t = f (s) ή πιο απλά t = t(s) είναι η αντίστροφη συνάρτηση της συνάρτησης μήκους τόξου s = s(t). Αν τ είναι η στρέψη της καμπύλης c όπως ορίστηκε πιο πάνω, τότε ορίζουμε ως στρέψη της καμπύλης c τη συνάρτηση τ: I R με τ(t) = τ (s(t)), t I. Αναλόγως ορίζεται το πλαίσιο Frenet. Από την (2.2) βρίσκουμε ότι... c = ( dt ) 3c + 3 dt d 2 t ds ds ds 2 c + d3 t ds 3 c. (2.7) c

36 2. Κ Ε R 3 Κάνοντας χρήση των (2.3), (2.1), (2.2) και (2.7) έχουμε τον ακόλουθο τρόπο υπολογισμού της στρέψης καμπύλης με τυχούσα παράμετρο. Πρόταση Η στρέψη μιας κανονικής καμπύλης c: I R 3, με παράμετρο t I και παντού θετική καμπυλότητα k, είναι η συνάρτηση τ = [c, c, c ] c c 2. Επιπλέον προκύπτει εύκολα ότι το πλαίσιο Frenet καμπύλης με τυχούσα παράμετρο είναι t = c c, b = c c c c, n = b t. Εύκολα υπολογίζεται ότι η στρέψη της κυλινδρικής έλικας του Παραδείγματος είναι τ = b a 2 + b 2. Παρατήρηση Σημειώνουμε ότι αν μια καμπύλη c έχει παράμετρο το μήκος τόξου s και στρέψη τ, τότε η αναπαραμέτρησή της c = c f με f (s) = s έχει φυσική παράμετρο και στρέψη τ = τ. Είναι η στρέψη γεωμετρική έννοια; Η απάντηση δίνεται στην ακόλουθη πρόταση. Πρόταση Η στρέψη τ της καμπύλης c = T c, όπου T Isom(R 3 ), είναι τ = ετ, όπου τ είναι η στρέψη της καμπύλης c, και ε = 1 ή ε = 1, αν η T διατηρεί ή αντιστρέφει τον προσανατολισμό, αντίστοιχα. Απόδειξη. Yποθέτουμε ότι η καμπύλη c (άρα και η καμπύλη c) έχει παράμετρο το μήκος τόξου. Έχουμε c = T ċ, c = T c και... c = T... c, 36

37 2.3. Ε όπου T είναι το γραμμικό μέρος της ισομετρίας T. Επομένως, επειδή οι καμπυλότητες των γεωμετρικώς ισότιμων καμπυλών είναι k = k, έχουμε τ = [ c, c,... c ] k 2 Λόγω της Πρότασης Αʹ.2.4(v), είναι = [T... ċ, T c, T c ]. k 2 [T ċ, T c, T... c ] = ε[ċ, c,... c ], όπου ε = 1 ή ε = 1, αν η ισομετρία T διατηρεί ή αντιστρέφει τον προσανατολισμό, αντίστοιχα, από όπου προκύπτει το ζητούμενο. 2.3 Επίπεδες καμπύλες Ορισμός Μια καμπύλη του Ευκλειδείου χώρου R 3 καλείται επίπεδη αν η εικόνα της περιέχεται σε ένα επίπεδο του R 3. Στην ακόλουθη πρόταση, όπου δίνεται ένας χαρακτηρισμός των επιπέδων καμπυλών, είναι εμφανής η γεωμετρική ερμηνεία της στρέψης. Πρόταση Μια κανονική καμπύλη του R 3 με καμπυλότητα παντού θετική είναι επίπεδη αν και μόνο αν η στρέψη της είναι μηδέν. Απόδειξη. Έστω καμπύλη c: I R R 3 με φυσική παράμετρο s I, και καμπυλότητα παντού θετική. Υποθέτουμε ότι η στρέψη της είναι μηδέν. Aπό την εξίσωση Frenet (2.6), βρίσκουμε ότι b(s) = w για κάθε s I, όπου w είναι μοναδιαίο διάνυσμα. Tότε έχουμε d c(s), w = 0. ds Συνεπώς υπάρχει σταθερά a τέτοια ώστε c(s), w = a για κάθε s I. Toύτο σημαίνει ότι η εικόνα της καμπύλης c περιέχεται σε επίπεδο το οποίο είναι κάθετο στο διάνυσμα w. 37

38 2. Κ Ε R 3 Αντίστροφα, αν η εικόνα της καμπύλης c περιέχεται σε επίπεδο το οποίο είναι κάθετο σε μοναδιαίο διάνυσμα w, τότε έχουμε c(s), w = a για κάθε s I για κάποια σταθερά a. Παραγωγίζοντας βρίσκουμε ή ισοδύναμα ċ(s), w = 0 και c(s), w = 0, t(s), w = 0 και n(s), w = 0. Tότε όμως το δεύτερο κάθετο της καμπύλης c είναι b(s) = ±w, δηλαδή ανεξάρτητο του s, και η εξίσωση (2.6) δίνει ότι τ(s) = 0 για κάθε s I. 2.4 Το θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας των καμπυλών του R 3 Θεώρημα (i) Για κάθε ζεύγος λείων συναρτήσεων k, τ: I R με k(s) > 0 για κάθε s I R, υπάρχει καμπύλη c: I R 3 με φυσική παράμετρο s I, της οποίας η καμπυλότητα και η στρέψη είναι οι δοθείσες συναρτήσεις k και τ, αντίστοιχα. (ii) Έστω καμπύλη c: I R 3 με φυσική παράμετρο s I, καμπυλότητα k παντού θετική και στρέψη τ. Αν c: I R 3 είναι μια άλλη καμπύλη με φυσική παράμετρο s I, καμπυλότητα k = k και στρέψη¹ τ = τ, τότε υπάρχει ισομετρία T Isom(R 3 ), η οποία διατηρεί τον προσανατολισμό, τέτοια ώστε c = T c. Απόδειξη. (i) Έστω {v 1, v 2, v 3 } μια δεξιόστροφη και ορθομοναδιαία βάση του Ευκλειδείου χώρου R 3. Θεωρούμε το σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων Ẋ 1 (s) = k(s)x 2 (s) Ẋ 2 (s) = k(s)x 1 (s) + τ(s)x 3 (s) Ẋ 3 (s) = τ(s)x 2 (s) ¹Είναι προφανές ότι στην περίπτωση όπου ισχύει k = k και τ = τ, τότε υπάρχει ισομετρία T Isom(R 3 ) η οποία αντιστρέφει τον προσανατολισμό, τέτοια ώστε c = T c. 38

39 2.4. Τ R 3 με αγνώστους τις διανυσματικές συναρτήσεις X 1 (s), X 2 (s), X 3 (s) και αρχικές συνθήκες X 1 (s 0 ) = v 1, X 2 (s 0 ) = v 2, X 3 (s 0 ) = v 3 για κάποιο s 0 I. Το γραμμικό αυτό σύστημα γράφεται ισοδύναμα ως Ẋ 1 (s) X 1 (s) Ẋ 2 (s) = A(s) X 2 (s), Ẋ 3 (s) X 3 (s) όπου 0 k(s) 0 A(s) = (a i j (s)) = k(s) 0 τ(s). 0 τ(s) 0 Σύμφωνα με γνωστό θεώρημα το οποίο αφορά γραμμικά συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων, υπάρχει λεία λύση {X 1 (s), X 2 (s), X 3 (s)} η οποία ορίζεται για κάθε s I. Θα αποδείξουμε ότι τα διανύσματα {X 1 (s), X 2 (s), X 3 (s)} αποτελούν δεξιόστροφη και ορθομοναδιαία βάση για κάθε s I. Για το σκοπό αυτό θεωρούμε τις λείες συναρτήσεις f i j : I R με f i j (s) = X i (s), X j (s), 1 i, j 3. Εύκολα διαπιστώνεται ότι οι συναρτήσεις αυτές είναι λύσεις του γραμμικού προβλήματος d f i j ds = k a ik f k j + k a jk f ik, 1 i, j 3 με αρχικές συνθήκες f i j (s 0 ) = δ i j. Επειδή ο πίνακας A(s) είναι αντισυμμετρικός, οι συναρτήσεις δ i j είναι επίσης λύση του ανωτέρω προβλήματος. Λόγω μοναδικότητας της λύσης, βρίσκουμε ότι f i j (s) = δ i j για κάθε s I. 39

40 2. Κ Ε R 3 Aυτό σημαίνει ότι {X 1 (s), X 2 (s), X 3 (s)} συνιστούν ορθομοναδιαία βάση. Για να δείξουμε ότι είναι δεξιόστροφη, αρκεί να παρατηρήσουμε ότι για το μικτό γινόμενο ισχύει Τότε είναι d ds [X 1(s), X 2 (s), X 3 (s)] = [Ẋ 1 (s), X 2 (s), X 3 (s)] + [X 1 (s), Ẋ 2 (s), X 3 (s)] + [X 1 (s), X 2 (s), Ẋ 3 (s)] = 0. [X 1 (s), X 2 (s), X 3 (s)] = [X 1 (s 0 ), X 2 (s 0 ), X 3 (s 0 )] = [v 1, v 2, v 3 ] = 1. Στην συνέχεια θεωρούμε την καμπύλη c: I R 3 με c(s) = s s 0 X 1 (σ) dσ. Tο εφαπτομενικό της διάνυσμα είναι μοναδιαίο αφού dc ds (s) = X 1(s). Επομένως το s είναι μήκος τόξου για την καμπύλη c, το X 1 είναι το μοναδιαίο εφαπτομενικό της διάνυσμα και η καμπυλότητά της είναι η συνάρτηση k. Επιπλέον το πλαίσιο Frenet είναι το {X 1 (s), X 2 (s), X 3 (s)} και επομένως η στρέψη της είναι η συνάρτηση τ. (ii) Έστω { } E 1 (s) = t(s), E 2 (s) = n(s), E 3 (s) = b(s) και {Ẽ1 (s), Ẽ 2 (s), Ẽ 3 (s) } τα πλαίσια Frenet των καμπυλών c και c, αντίστοιχα. Επιλέγουμε s 0 I και A O(3) με det A = 1 τέτοια ώστε AẼ 1 (s 0 ) = E 1 (s 0 ), AẼ 2 (s 0 ) = E 2 (s 0 ), AẼ 3 (s 0 ) = E 3 (s 0 ). 40

41 2.4. Τ R 3 Θεωρούμε τις παραράλληλες μεταφορές T v κατά το διάνυσμα v = c(s 0 ) και T w κατά το διάνυσμα w = c(s 0 ). Ορίζουμε την καμπύλη c = T c, όπου T Isom(R 3 ) είναι η ισομετρία T = T v A T w. Η καμπύλη c προφανώς έχει ως παράμετρο το μήκος τόξου s, καμπυλότητα k και στρέψη τ. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι c(s 0 ) = c(s 0 ) και ότι το πλαίσιο Frenet {Ē 1 (s), Ē 2 (s), Ē 3 (s)} της καμπύλης c πληροί Ē 1 (s 0 ) = E 1 (s 0 ), Ē 2 (s 0 ) = E 2 (s 0 ), Ē 3 (s 0 ) = E 3 (s 0 ). Επειδή {E 1 (s), E 2 (s), E 3 (s)} και {Ē 1 (s), Ē 2 (s), Ē 3 (s)} πληρούν τις εξισώσεις Frenet, είναι λύσεις του ιδίου γραμμικού συστήματος με τις ίδιες αρχικές συνθήκες. Λόγω μοναδικότητας της λύσης έχουμε ότι Ē 1 (s) = E 1 (s), Ē 2 (s) = E 2 (s), Ē 3 (s) = E 3 (s) για κάθε s I. Tότε όμως είναι dc d c (s) = (s) για κάθε s I. ds ds Επειδή c(s 0 ) = c(s 0 ), τελικώς βρίσκουμε ότι c(s) = c(s) για κάθε s I. Συνεπώς είναι c = T 1 c και η T 1 είναι ισομετρία η οποία διατηρεί τον προσανατολισμό. 41

42 2.5 Καμπύλες σταθερής κλίσης 2. Κ Ε R 3 Ορισμός Μια κανονική καμπύλη c του Ευκλειδείου χώρου R 3 καλείται καμπύλη σταθερής κλίσης αν υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα το οποίο σχηματίζει σταθερή γωνία με κάθε εφαπτομένη ευθεία της καμπύλης c. Με άλλα λόγια μια καμπύλη είναι καμπύλη σταθερής κλίσης αν υπάρχει μοναδιαίο διάνυσμα w τέτοιο ώστε το μοναδιαίο εφαπτομενικό διάνυσμα t να πληροί παντού τη σχέση t, w = cos φ, όπου φ είναι η σταθερή γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα w με κάθε εφαπτομένη ευθεία. Το διάνυσμα w συχνά αναφέρεται ως η διεύθυνση της καμπύλης σταθερής κλίσης, ενώ η σταθερή γωνία φ ως κλίση της. Οι επίπεδες καμπύλες καθώς και οι κυλινδρικές έλικες είναι καμπύλες σταθεράς κλίσης (ποιά είναι η διεύθυνση και ποιά η κλίση τους;). Tο ακόλουθο αποτέλεσμα μας δίνει ένα χαρακτηρισμό για τις καμπύλες σταθεράς κλίσης. Θεώρημα Μια κανονική καμπύλη του Ευκλειδείου χώρου R 3 με παντού θετική καμπυλότητα k και στρέψη τ είναι καμπύλη σταθερής κλίσης αν και μόνο αν η συνάρτηση τ/k είναι σταθερή. Απόδειξη. Έστω καμπύλη c: I R R 3 με φυσική παράμετρο s I και παντού θετική καμπυλότητα k. Υποθέτουμε ότι η καμπύλη c είναι καμπύλη σταθερής κλίσης. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει μοναδιαίο διάνυσμα w τέτοιο ώστε t, w = cos φ, όπου φ σταθερή γωνία. Παραγωγίζοντας και κάνοντας χρήση της πρώτης εξίσωσης Frenet, λαμβάνουμε n, w = 0. 42

43 2.6. Σ Επομένως είναι w = cos φ t + sin φ b. Παραγωγίζοντας ξανά και κάνοντας χρήση της πρώτης και τρίτης εξίσωσης Frenet, βρίσκουμε ότι τ k Αντίστροφα, υποθέτουμε ότι τ k = cot φ. = cot φ (2.8) για κάποια σταθερή γωνία φ. Θεωρούμε τη λεία διανυσματική συνάρτηση W : I R 3 με W(s) = cos φ t(s) + sin φ b(s), s I. Mε τη βοήθεια των εξισώσεων Frenet και της ισότητας (2.8), προκύπτει ότι dw (s) = 0, ds δηλαδή είναι W(s) = w ανεξάρτητο του s. Προφανώς ισχύει t, w = cos φ, το οποίο σημαίνει ότι η καμπύλη c είναι καμπύλη σταθερής κλίσης. 2.6 Σφαιρικές καμπύλες Ορισμός Μια καμπύλη του Ευκλειδείου χώρου R 3 σφαιρική αν η εικόνα περιέχεται σε μια σφαίρα. καλείται Έστω σφαιρική καμπύλη c: I R R 3 με φυσική παράμετρο s I, της οποίας η εικόνα περιέχεται στη σφαίρα κέντρου p 0 και ακτίνας R > 0. Τότε είναι c(s) p0, c(s) p 0 = R 2 για κάθε s I. 43

44 2. Κ Ε R 3 Παραγωγίζοντας λαμβάνουμε c(s) p0, ċ(s) = 0 και c(s) p 0, c(s) = 1. (2.9) H δεύτερη από τις ανωτέρω σχέσεις δείχνει ότι η καμπυλότητα της καμπύλης c είναι παντού θετική. Επιπλέον με τη βοήθεια της πρώτης προκύπτει ότι c(s) p 0 = c(s) p 0, n(s) n(s) + c(s) p 0, b(s) b(s) (2.10) και επομένως c(s) p0, n(s) 2 + c(s) p0, b(s) 2 = R 2. Σύμφωνα με το Λήμμα 1.5.1, γνωρίζουμε ότι υπάρχει λεία συνάρτηση ω: I R τέτοια ώστε c(s) p0, n(s) = R cos ω(s) και c(s) p 0, b(s) = R sin ω(s). Τότε η δεύτερη από τις εξισώσεις (2.9) δίνει 1 k(s) = R cos ω(s). (2.11) Eίναι φανερό ότι ισχύει k(s) 1 R για κάθε s I. Eπιπλέον η σχέση (2.10) γίνεται c(s) p 0 = R ( cos ω(s) n(s) + sin ω(s) b(s) ). Παραγωγίζοντας και κάνοντας χρήση των εξισώσεων Frenet, βρίσκουμε ότι τ(s) = ω(s). (2.12) Ως συνέπεια των ανωτέρω λαμβάνουμε το ακόλουθο συμπέρασμα. Πρόταση Οι μόνες κανονικές σφαιρικές καμπύλες του R 3 σταθερή καμπυλότητα είναι τόξα κύκλων. με 44

45 2.6. Σ Απόδειξη. Aπό τις εξισώσεις (2.11) και (2.12) προκύπτει ότι η στρέψη είναι τ = 0. Σύμφωνα με την Πρόταση η καμπύλη είναι επίπεδη. Συνεπώς η καμπύλη είναι τόξο κύκλου. Αξίζει να παρατηρήσουμε, υπό την υπόθεση ότι η στρέψη δεν μηδενίζεται πουθενά, ότι από την εξίσωση (2.11) με παραγώγιση και λαμβάνοντας υπόψη την (2.12), βρίσκουμε k k 2 τ = R sin ω. Παραγωγίζοντας και κάνοντας και πάλι χρήση των (2.11) και (2.12) προκύπτει ότι d ( k ) τ = ds k 2 τ k. (2.13) Συμπεραίνουμε ότι η ανωτέρω είναι μια συνθήκη αναγκαία για να είναι μια καμπύλη σφαιρική. Το ερώτημα που εύλογα τίθεται τώρα είναι κατά πόσο η συνθήκη (2.13) χαρακτηρίζει τις σφαιρικές καμπύλες. Η απάντηση δίνεται ακολούθως. Πρόταση Μια κανονική καμπύλη του Ευκλειδείου χώρου R 3, με καμπυλότητα παντού θετική και στρέψη που δε μηδενίζεται πουθενά, είναι σφαιρική αν και μόνο αν πληρείται η συνθήκη (2.13). Απόδειξη. Αρκεί να αποδείξουμε το αντίστροφο. Θεωρούμε τη λεία διανυσματική συνάρτηση α: I R 3 με α = c + 1 k n k k 2 τ b. Κάνοντας χρήση της (2.13) και των εξισώσεων Frenet, εύκολα προκύπτει ότι α = 0. Επομένως η διανυσματική συνάρτηση α είναι σταθερή, έστω α(s) = p 0. Όμως είναι c p 0 = 1 k + ( k ) 2. 2 k 2 τ 45

46 2. Κ Ε R 3 Ξανά κάνοντας χρήση της (2.13), βρίσκουμε ότι d ( 1 ds k + ( k ) 2 ) = 0, 2 k 2 τ και επομένως η καμπύλη c είναι σφαιρική. 2.7 Aσκήσεις 1. Δίνεται η καμπύλη c: R R 3 με c(t) = ( t 3 sin t, 2 cos t, 3t + sin t ), t R. (i) Εξετάστε αν η καμπύλη c είναι κανονική καμπύλη. Βρείτε τη συνάρτηση μήκους τόξου της με αφετηρία t 0 = 0. (ii) Βρείτε αναπαραμέτρησή της με παράμετρο το μήκος τόξου. (iii) Yπολογίστε την καμπυλότητα και τη στρέψη της ως συνάρτηση της παραμέτρου t αλλά και του μήκους τόξου. (iv) Yπολογίστε τo πλαίσιο Frenet συναρτήσει της παραμέτρου t αλλά και συναρτήσει του μήκους τόξου. 2. Δίνεται η καμπύλη c: R R 3 με c(t) = (a cos t, a sin t, f (t)), t R, όπου a 0 είναι πραγματικός αριθμός. Να βρεθεί η λεία συνάρτηση f : R R έτσι ώστε η καμπύλη c να είναι επίπεδη. 3. Δίνεται η καμπύλη c: R R 3 με c(t) = ( 3t t 3, 3t 2, 3t + t 3), t R. Nα αποδείξετε ότι είναι καμπύλη σταθεράς κλίσης και να βρεθεί σταθερό διάνυσμα (δηλαδή η διεύθυνσή της) το οποίο σχηματίζει σταθερή γωνία με όλες τις εφαπτόμενες ευθείες της καμπύλης c. 46

47 2.7. A 4. Καμπύλη c(s) του Ευκλειδείου χώρου R 3, με παράμετρο το μήκος τόξου s R, έχει παντού θετική καμπυλότητα και μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα n(s) = (sin s, 0, cos s). Να αποδειχθεί ότι έχει σταθερή καμπυλότητα και σταθερή στρέψη. Να βρεθεί η καμπύλη c αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι k = 1 (, c(0) = (0, 0, 0) και t(0) = 1 ) 1,, Nα αποδειχθεί ότι οι καμπύλες c, c: R R 3 με c(t) = ( t + 3 sin t, 2 cos t, 3t sin t ), t R είναι γεωμετρικώς ισότιμες. c(t) = (2 cos t, 2 sin t, 2t), t R 6. Αποδείξτε ότι αν όλες οι εφαπτόμενες ευθείες μιας κανονικής καμπύλης του Ευκλειδείου χώρου R 3 διέρχονται από σταθερό σημείο, τότε η καμπύλη είναι τμήμα ευθείας. 7. Αποδείξτε ότι αν όλα τα κάθετα επίπεδα² μιας κανονικής καμπύλης του Ευκλειδείου χώρου R 3 με καμπυλότητα παντού θετική διέρχονται από σταθερό σημείο, τότε η καμπύλη είναι σφαιρική. 8. Αποδείξτε ότι αν όλα τα επίπεδα προσκολλήσεως³ μιας κανονικής καμπύλης του Ευκλειδείου χώρου R 3 με καμπυλότητα παντού θετική διέρχονται από σταθερό σημείο, τότε η καμπύλη είναι επίπεδη. ²Το κάθετο επίπεδο μιας καμπύλης c: I R 3 του Ευκλειδείου χώρου R 3 με παράμετρο το μήκος τόξου s I και καμπυλότητα παντού θετική είναι το επίπεδο το οποίο διέρχεται από το σημείο c(s) της καμπύλης και είναι κάθετο στο εφαπτομενικό διάνυσμα t(s). ³Το επίπεδο προσκολλήσεως μιας καμπύλης c: I R 3 του Ευκλειδείου χώρου R 3 με παράμετρο το μήκος τόξου s I και καμπυλότητα παντού θετική είναι το επίπεδο το οποίο διέρχεται από το σημείο c(s) της καμπύλης και είναι κάθετο στο δεύτερο κάθετο διάνυσμα b(s). 47

ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΒΛΑΧΟΣ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΒΛΑΧΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΒΛΑΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 2018 2 Περιεχόμενα 1 Καμπύλες του Ευκλειδείου χώρου R 2 7 1.1 Κανονικές καμπύλες................... 8 1.2 Αναπαραμετρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΒΛΑΧΟΣ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΒΛΑΧΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΒΛΑΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 2017 2 Περιεχόμενα 1 Καμπύλες του R 2 5 1.1 Κανονικές καμπύλες.................... 6 1.2 Αναπαραμετρήσεις καμπυλών..............

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ημερολόγιο μαθήματος

Ημερολόγιο μαθήματος ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤPΙΑ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2018 19 Τμήμα Α Διδάσκων: Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης Website URL: http://stamata.webpages.auth.gr/geometry/ Ημερολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 1. Γενικά.. 15 Επιφάνεια 15 Ευθειογενεί επιφάνειε. 15 Επιφάνειε δευτέρου βαθμού.. 16 2. Μερικέ επιφάνειε δευτέρου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

ds ds ds = τ b k t (3)

ds ds ds = τ b k t (3) Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 4. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα του υπερβολικού παραβολειδούς. 5. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα της ελικοειδούς επιφάνειας.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 4. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα του υπερβολικού παραβολειδούς. 5. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα της ελικοειδούς επιφάνειας. ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΙ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2018 19 Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης URL: http://stamata.webpages.auth.gr/geometry/ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εξεταστεί πώς αλλάζει

Διαβάστε περισσότερα

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b.

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b. Σύνοψη Κεφαλαίου 2: Ομοπαραλληλική Γεωμετρία Γεωμετρία και μετασχηματισμοί 1. Μία ισομετρία του R 2 είναι μία απεικόνιση από το R 2 στο R 2 που διατηρεί αποστάσεις. Κάθε ισομετρία του R 2 έχει μία από

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

< F ( σ(h(t))), σ (h(t)) > h (t)dt.

< F ( σ(h(t))), σ (h(t)) > h (t)dt. ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ IV, /6/9 Θέμα 1. Εστω : a 1, β 1 ] R μια C 1 καμπύλη. Μια C 1 καμπύλη ρ : a, β] R λέγεται αναπαραμετρικοποίηση της αν υπάρχει h : a, β] a 1, β 1 ], 1 1 επί και

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία 71 Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία Ενότητα: Λσμένα Παραδείγματα Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 71 72 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 25 Μαΐου 211 2 Περιεχόμενα 1 Ο χώρος R n 1 1.1 Ο Ευκλείδιος n-χώρος..................................

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ. Καθ. Βλάσης Κουµούσης

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ. Καθ. Βλάσης Κουµούσης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ Καθ. Βλάσης Κουµούσης Θεωρία Κελυφών Βασικές αρχές (διαφορική γεωµετρία) Καµπύλη στο χώρο Μοναδιαίο Εφαπτοµενικό ιάνυσµα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2

Λύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2 Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Λύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2 Για τυχόν παρατηρήσεις, απορίες ή λάθη που θα βρείτε, στείλτε μου

Διαβάστε περισσότερα

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1 I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων.

Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. 1. Ποιά από τα παρακάτω σύνολα είναι συμπαγή; Μία κλειστή μπάλα, μία ανοικτή μπάλα, ένα ανοικτό ορθ. παραλληλεπίπεδο, ένα ευθ. τμήμα (στον R n ), μία

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Τρίτη Εργασία, 2018-19 Επιφάνειες Εξάσκηση µε ϐασικούς υπολογισµούς κινούµενης

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση-Μάθημα 12 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών-καμπύλες-πολικές συντεταγμένες

Ανασκόπηση-Μάθημα 12 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών-καμπύλες-πολικές συντεταγμένες Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 12 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών-καμπύλες-πολικές συντεταγμένες Στο δωδέκατο μάθημα (24/10/2018)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4. bt (γιατί;).

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4. bt (γιατί;). ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 1 Τμήμα Α Ακ.Έτος: 6-7 Διδάσκων Σ.Ε.Π. : Τρύφων Δάρας ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Μία συνάρτηση της μορφής r ():[ aβ, ] (αντίστοιχα r ():[, ] aβ ) λέμε ότι παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία

Διαβάστε περισσότερα

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

t : (x, y) x 2 +y 2 y x

t : (x, y) x 2 +y 2 y x Σύνοψη Κεφαλαίου 5: Αντιστροφική Γεωμετρία Αντιστροφή 1. Η ανάκλαση σε μία ευθεία l στο επίπεδο απεικονίζει ένα σημείο A σε ένα σημείο A που απέχει ίση απόσταση από την l αλλά βρίσκεται στην άλλη πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου

Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ειδίκευση Θεωρητικών Μαθηματικών Σ Σταματάκη Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου Σημειώσεις

Διαβάστε περισσότερα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* ********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε

Διαβάστε περισσότερα

( () () ()) () () ()

( () () ()) () () () ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t ( t z( t t I = [ a b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι: d 1 1

Διαβάστε περισσότερα

1 C k 1 = 1 C 2 sin 2 t, k 2 =

1 C k 1 = 1 C 2 sin 2 t, k 2 = Κεφάλαιο 11 Επιφάνειες σταθερής καμπυλότητας Gauss Σύνοψη Παρουσιάζουμε χωρίς απόδειξη την ταξινόμηση των επιφανειών του R 3 με σταθερή καμπυλότητα Gauss, θετική, μηδέν, ή αρνητική. Εξετάζουμε χωριστά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε ότι ακολουθεί συμβολίζουμε με το σύνολο των φυσικών αριθμών και με και R τα σύνολα των ακεραίων των ρητών και των πραγματικών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Στο ομοπαραλληλικό επίπεδο δίνεται το σύστημα συντεταγμένων S { A, A, A }.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Στο ομοπαραλληλικό επίπεδο δίνεται το σύστημα συντεταγμένων S { A, A, A }. ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΠΘ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 0-3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Στο ομοπαραλληλικό επίπεδο δίνεται το σύστημα συντεταγμένων S { A, A, A }. 0 ' Θεωρούμε τα σημεία A, A, A που ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες.

14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες. 14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες. 13 η εβδομάδα (20/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 31, 32, 33, 34, 36 και 37 11 η 12 η εβδομάδα

Διαβάστε περισσότερα

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον Χώροι πηλίκα Έστω διανυσματικός χώρος και Y διανυσματικός υπόχωρος του. Για κάθε θεωρούμε το σύμπλοκο σχετικά με τον Y, = + y y Y = + Y ορ { : } δηλαδή το είναι η παράλληλη μεταφορά του Y κατά το διάνυσμα.

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q) Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σημεία καμπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ ΠΑΤΕΡΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Έστω r rx, y, z, I a, b συνάρτηση C τάξης και r r r x y z Nα αποδείξετε ότι: d dr r (α) r r, I r r r d dr d r (β) r r, I dr (γ) Αν r 0, για κάθε I κάθε I d (δ)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b) 1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Μερική Παράγωγος Μερικές Παράγωγοι Ορισμός 1: a) Εστω f(x y) : U R R μία συνάρτηση δύο μεταβλητών και (a b) ένα σημείο του U. Θεωρούμε ότι μεταβάλλεται μόνο το x ένω το y παραμένει σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.κυρτή 3.Κοίλη 4.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 5.Σημεία καμπής 6.Παραβολική προσέγγιση(επέκταση) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Πρώτα απ όλα θέλουμε να βρούμε και να εξηγήσουμε έναν ορισμό που να ταιριάζει όσο το δυνατό καλύτερα στα φυσικά φαινόμενα Και η πεποίθησή μας θα ενισχυθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) Παράγωγος-Κλίση-Μονοτονία ( ) ( ) β = Άσκηση 1 η : Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: log x. 2 x. ln(x, ( ) 2 x x. Έχουμε.

( ) ( ) ( ) ( ) Παράγωγος-Κλίση-Μονοτονία ( ) ( ) β = Άσκηση 1 η : Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: log x. 2 x. ln(x, ( ) 2 x x. Έχουμε. Παράγωγος-Κλίση-Μονοτονία Άσκηση η : Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:, log, ) ln(, e, Λύση: Έχουμε ln ln ( ), f = = e = e R ln ln f ( ) = ( e ) = e ( ln ) = ln = ln, R Γενικά ισχύει: ( a ) = ln

Διαβάστε περισσότερα

II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c

II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ.Γραφήματα-Επιφάνειες.Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο 3.Ισοσταθμικές 4.Κλίση ισοσταθμικών 5.Διανυσματική ή Ιακωβιανή παράγωγος 6.Ιδιότητες των ισοσταθμικών 7.κυρτότητα των ισοσταθμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C f

Διαβάστε περισσότερα

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια εύτερη Εργασία, 2018-19 1 Καµπύλες στον χώρο και στο επίπεδο 1.1 Καµπύλες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ ΜΑΘΗΜΑ 4: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Στη φύση δεν υπάρχει ίσως τίποτε παλαιότερο από την κίνηση και οι φιλόσοφοι έχουν γράψει για αυτήν βιβλία που δεν είναι ούτε λίγα ούτε μικρά ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ) ΘΕΜΑ ο Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ) Α. Να αποδείξετε ότι αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο 0,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Β. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

X u, X u. Z = X u. W EG F 2 (X v F E X u). X u, X v X v, X v

X u, X u. Z = X u. W EG F 2 (X v F E X u). X u, X v X v, X v Κεφάλαιο 6 Το Θαυμαστό Θεώρημα Σύνοψη Στο Κεφάλαιο αυτό αποδεικνύουμε ένα από τα δύο κεντρικά θεωρήματα της θεωρίας επιφανειών το άλλο είναι το Θεώρημα των auss-bonnet. Το θεώρημα αυτό είναι γνωστό ως

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C

Διαβάστε περισσότερα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα 33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Πρόχειρες σημειώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Τα στοιχεία του R n είναι όλα τα n-διάστατα διανύσματα ή, ισοδύναμα,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς xii Εισαγωγή xiii 1 Συναρτήσεις 1 1.1 Ανασκόπηση των συναρτήσεων 1 1.2 Παράσταση συναρτήσεων 12 1.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 26 Ασκήσεις επανάληψης 34 2 Όρια

Διαβάστε περισσότερα

< h < +. σ (t) = (sin t + t cos t, cos t t sin t, 3), σ (t) = (2 cos t t sin t, 2 sin t t cos t, 0) r (t) = e t j + e t k. σ (t) = 1 2 t 1 2 k

< h < +. σ (t) = (sin t + t cos t, cos t t sin t, 3), σ (t) = (2 cos t t sin t, 2 sin t t cos t, 0) r (t) = e t j + e t k. σ (t) = 1 2 t 1 2 k ΛΥΣΕΙΣ 1. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - Tromba. 1. 3.1(3)(a) Είναι r (t) = sin ti + 2 cos(2t)j, r (t) = cos ti 4 sin(2t)j για κάθε t, r (0) = 2j, r (0) = i. Η εξίσωση της εφαπτομένης στο r(0)

Διαβάστε περισσότερα

40 Ασκήσεις στον ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ( Επεξεργασία του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ)

40 Ασκήσεις στον ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ( Επεξεργασία του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ) Άσκηση η 4 Ασκήσεις στον ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ( Επεξεργασία του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ) Έστω f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα, να δείξετε: Α. (Ανισότητα των Cauchy-Schwarz) Β.( Ανισότητα του Minkowski)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ασκήσεις 1.

ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ασκήσεις 1. ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο -7 Ασκήσεις Αποδείξτε την ανισότητα Cuch-Schwr Για R Δείξτε ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά Αποδείξτε την τριγωνική ανισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Γεωμετρικός Πυρήνας Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Γεωμετρικός Πυρήνας Εξομάλυνση Σημεία Καμπύλες Επιφάνειες

Διαβάστε περισσότερα