ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ"

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 1. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο a δύο διανυσμάτων a και αν: ι) a a 5, 7,(, ) 5, ιι) a 5,,( a, ) Το διάνυσμα είναι μοναδιαίο και ισχύουν 6 γινόμενο και, 60.Να βρείτε το εσωτερικό. Τα διανύσματα a και είναι ομόρροπα,.με και 7.Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο 4. Τα διανύσματα a και είναι αντίρροπα.με 9 και 4.Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο 5. Δίνονται διανύσματα a και για τα οποία ισχύουν 1, 1 και, 150.Nα βρείτε i)το μέτρο του διανύσματος a ii) το εσωτερικό γινόμενο ( ) ( ) 6. Δίνονται διανύσματα a, και για τα οποία ισχύουν : 1, 5, 1,, και,.nα βρείτε : 6 i)το μέτρο του διανύσματος ii) ( ) ( ) 7. Δίνονται διανύσματα a και,με 4, 5, γινόμενα:: i) ii) ( ) ( ) iii) ( ), 10.Nα βρείτε τα 8. Δίνονται διανύσματα a και,με 4 να βρείτε :: i) το εσωτερικό γινόμενο ii) Το μέτρο του διανύσματος και, iii) το εσωτερικό γινόμενο ( ) ( ).Αν ισχύει ( ) 8 1

2 9. Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα, ισχύουν: και, να αποδείξετε ότι. 10. Έστω a και δύο διανύσματα τέτοια ώστε: a, 5,( a, ) υπολογιστεί το.. Αν 5 4, να ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 11. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις : i) (,5) και (4, ) ii) (, ) και (1,5) iii) ( 4,) και (, 6) iv) (0, ) και (7, ) 1. Δίνονται τα σημεία Α(,1),Β(,-5),Γ(-4,) και Δ(-1,-).Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,με Α(,5), Β(x,x-4) και Γ(-5,11),όπου xr για το οποίο ισχύει i)nα βρείτε τον αριθμό x ii)αν Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΑΒ αντίστοιχα, να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο 14. Δίνονται τα διανύσματα (, ) και ( 8,1),με λr για τα οποία ισχύει ότι 1. i)να βρείτε τον αριθμό λ ii)το εσωτερικό γινόμενο ( ) ( ) 15. Δίνονται τα διανύσματα (4, ), (x, x ) και ( 6,1), για τα οποία ισχύει ότι 1 και 11 i) Να αποδείξετε ότι x= ii)να βρείτε για ποια τιμή του λr ισχύει ( ) ( ) 16. Δίνονται τα διανύσματα (x, 1), (, y) και (x 5,), για τα οποία ισχύει ότι. i) Να βρείτε τις τιμές των x,y ii)να βρείτε για ποια τιμή του λr ισχύει ( ) ( ) 8

3 ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 17. Έστω διανύσματα,. Να αποδειχτούν οι παρακάτω σχέσεις: i ) a 4 ii ) a a. Πότε ισχύει η ισότητα; iii 18. Δίνονται διανύσματα, για τα οποία ισχύουν και 4 5. Να αποδείξετε ότι 19. Δίνονται διανύσματα, για τα οποία ισχύουν και. Να αποδείξετε ότι 0. Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα i). ii) 1. Αν 4 OB O 0, και έστω,.να αποδείξετε ότι : OA και OB OB O να δειχτεί ότι :. OA,. Αν ισχύει = τότε να δείξετε ότι.. Αν ισχύει = τότε να δείξετε ότι α. 4. Αν για κάθε ισχύει ότι i. και 1 ii. 4 5 και 1, να αποδείξετε ότι: 5. Έστω η γωνία των διανυσμάτων x, y και x, y ότι det, 1 1. Να αποδείξετε. 6. Αν για τα διανύσματα a (α1, α) και = (β1,β) ισχύει και, να αποδειχτεί ότι det a, i)να αποδειχτεί ότι ο φορέας του διανύσματος v διχοτομεί τη γωνία,.

4 ii)να αποδειχτεί ότι ο φορέας του διανύσματος παραπληρωματική της γωνίας,. u a διχοτομεί την a iii)αν 1, να βρεθεί διάνυσμα με που να διχοτομεί τη γωνία, = i) Αν, 0 και ισχύει 1 (1), τότε : ii) Αν επιπλέον 1 (), τότε : 1 4 ΚΑΘΕΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 9. Δίνονται τα κάθετα διανύσματα (,) και ( 6, ).Να βρείτε : i)τον αριθμό λ ii)για ποια τιμή του μ είναι 0. Δίνονται τα κάθετα διανύσματα και για τα οποία ισχύουν 15 και 5Να βρείτε : i) Να βρείτε το ii)να αποδείξετε ότι τα διανύσματα v 5 και w είναι κάθετα. 1. Δίνονται τα διανύσματα (1, ) και (,4 ) με λ R για τα οποία ισχύει 1. i) Να βρείτε τον αριθμό λ ii) Να βρείτε για ποια τιμή του μr,το διάνυσμα 5 είναι κάθετο στο (, 8). Δίνονται τα διανύσματα (4, ) και (,1) και ( 9, ) με λ,μ R. Αν ισχύει και. Να βρείτε i) τις τιμές των λ,μ ii) τον πραγματικό αριθμό x,ώστε ( x ) ( ). Δίνονται τα διανύσματα (1, ) και (4 5, 1) με λ R για τα οποία ισχύει 1. Να αποδείξετε ότι : i) λ= ii) Να βρείτε διάνυσμα v για το οποίο ισχύει ότι (v ) / / και ( v) (10 ) 4

5 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,με Α(-1,4),Β(-,-1) καιγ(7,5).θεωρούμε σημείο για το οποίο ισχύει M BM α)να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ β)να αποδείξετε ότι γ)να βρείτε σημείο Ν του άξονα χ χ,ώστε 5. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά α=. Αν ΑΔ είναι το ύψος του, να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: i., ii., iii Δίνονται δύο μη μηδενικά διανύσματα και,για τα οποία ισχύει και,. i)nα αποδείξετε ότι ii)να βρείτε για ποια τιμή του λ R τα διανύσματα v και w είναι κάθετα 7. Έστω,, τρία μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου. Αν και, να αποδείξετε ότι. 8. Τα σημεία Α, Β, Γ, Δ έχουν, ως προς την αρχή Ο, των αξόνων διανύσματα θέσης (, 5), (4, 10), (-6, -15) και (-16, λ-15), λr, αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Να βρείτε το λ ώστε AB. 9. Δίνονται τα διανύσματα u =(-, ) και v =(4, -). Να βρεθεί το διάνυσμα w που είναι κάθετο στο u -5 v. ΜΕΤΡΟ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ 40. Αν,,, 15 και, να βρείτε το. 41. Δίνονται τα διανύσματα και με 8, και (, ) 45. Να βρείτε το 4. Δίνονται τα διανύσματα και με, i)να αποδείξετε ότι ii)να βρείτε το 4 (, ) και Δίνονται τα διανύσματα και με, 4 και 4. i)να αποδείξετε ότι ii)να βρείτε το 5

6 44. Δίνονται τα διανύσματα και για τα οποία ισχύουν, 4 και 5 i)να αποδείξετε ότι και 1 ii)να βρείτε το Δίνονται τα διανύσματα, για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις:,, και α 7. Να υπολογιστούν τα,. 46. Δίνεται διάνυσμα και μοναδιαίο διάνυσμα, με (, ) 10 και ( ). α) Να αποδείξετε ότι β)θεωρούμε διάνυσμα v για το οποίο ισχύει ότι : v / /( ) και ( 5 ) (v ) i) Να γράψετε το διάνυσμα v ως γραμμικό συνδυασμό των και 47. Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων και για τα οποία ισχύουν : (, ), και Δίνονται τα διανύσματα και με και (, ) 60.Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ,με 4 και 4 6,για το οποίο ισχύει 91 i)να αποδείξετε ότι 5 ii)να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ 49. Για τα διανύσματα και, ισχύει ότι :, ( ) ( ) και 6 αποδειχθεί ότι : 5.. Να 50. Έστω τα διανύσματα = (-,) και = (,-). Να βρεθεί διάνυσμα, ώστε και Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με AB =(1, ) και A =(, 1). Να βρείτε το διάνυσμα A της εσωτερικής διχοτόμου της γωνίας Α του τριγώνου ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ 5. Δίνονται τα διανύσματα,, με 1,, 0. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης. 6

7 5. Δίνονται τα διανύσματα,, με,, 1 0. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης. 54. Δίνονται τα διανύσματα,, με,, 54 και 4 0. i) Να αποδείξετε ότι 4 ii) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο 55. Δίνονται μη μηδενικά διανύσματα,, για τα οποία ισχύουν a και 4 10 a 0.Να αποδείξετε ότι : το a είναι ομόρροπο του, και ότι: το διάνυσμα είναι αντίρροπο του. 56. Αν για τα διανύσματα a,, ισχύει: a 0 και a, να δείξετε ότι: το 5 a είναι ομόρροπο του, και ότι: το διάνυσμα είναι αντίρροπο του. 57. Δίνονται μοναδιαία διανύσματα a,, για τα οποία ισχύουν a 0 και: 1. Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα και είναι αντίθετα. 58. Δίνονται διανύσματα a,,, με, 7, 19 και a 0. i) Να αποδείξετε ότι. ii) Να αποδείξετε ότι 4. iii) Να βρείτε το 4a. iv) Να βρείτε για ποια τιμή του λ R είναι: ( 4 ) (8 ) 59. Δίνονται διανύσματα,, 0 i) Να αποδείξετε ότι 6. 7,,, 60 και a για τα οποία ισχύουν ii) Να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα και. iii) Να βρείτε το μέτρο. 60. Έστω τα διανύσματα,, με a, 5, 7 και 0. Να βρεθεί η γωνία, και η τιμή της παράστασης. 61. Έστω a,,, τρία μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου, με: a 1, και a... Να αποδείξετε ότι: a. 7

8 6. Αν τα διανύσματα,, είναι μοναδιαία και ισχύει: 0,να αποδειχθεί ότι:. 6. Αν για τα μη παράλληλα διανύσματα,, ισχύουν, =, = 60 και a,, 4, να βρεθεί το μέτρο του a. 64. Δίνονται οι γωνίες ( a,, ( και ( a, και a 1. Να βρεθούν τα μέτρα των διανυσμάτων: x και y. Να εξετάσετε αν υπάρχει λ R, ώστε a. 65. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με OA OB O και OA 4OB 5O όπου Ο η αρχή των αξόνων. Να αποδείξετε ότι:. 66. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ρ για το οποίο ισχύει: και 0. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο 67. Δίνονται τα διανύσματα,, με α) Να βρείτε τη γωνία,. β) Αν τα διανύσματα,, έχουν κοινή αρχή, να αποδείξετε ότι τα πέρατά τους είναι σημεία συνευθειακά. γ) Να βρείτε διάνυσμα x καθώς και το μέτρο του, αν x και x. 68. Αν 0 6, α) Τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά. β) Το Γ είναι ανάμεσα στα Α,Β. γ) Το διάνυσμα είναι κάθετο στο. ΓΩΝΙΑ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 8, να αποδείξετε ότι: 69. Να υπολογιστεί η γωνία, των διανυσμάτων a =(1, - ), =(1, 1). i) a =(1, - ), =(1, 1). ii) a =(4,), =(7,-+ 1). iii) a =(1, ), = (, ) iv). a = (,6), = (-,1) 70. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α (1, ), Β (-, 1) και Γ (, 6). Να αποδειχθεί ότι:. A 4

9 71. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α (-, 4), Β (, ) και Γ (1, -). Να βρεθούν οι γωνίες του. 7. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων a και, και η γεωμετρική τους γωνία στις παρακάτω περιπτώσεις: ι) a =(-5,), (6,10), ιι) a = (, ), ιιι) a = (0, ), (,1). 5 (, ), 7. Αν a =((x-1), x) και =(-, 1) να υπολογιστεί το x ώστε ( a, )=. 74. Αν a,, ( a, και ( a, να βρείτε τον θετικό πραγματικό αριθμό ρ. 75. Δίνονται τα διανύσματα (, ) και (, 4), με λr, για τα οποία ισχύει ότι ( ) 6. Να βρείτε: α) τον αριθμό λ, β) τη γωνία,. 76. Δίνονται διανύσματα a και για τα οποία ισχύουν: (7, 1) και (8, 19) Να βρείτε: α) τις συντεταγμένες των διανυσμάτων a και, β) τη γωνία,. 77. Αν για τα διανύσματα, ισχύουν οι σχέσεις: 8, και (α ) (5 7 ) να υπολογίσετε την γωνία,. 78. Αν για τα διανύσματα, ισχύουν οι σχέσεις:, 1 και (α 5 ) ( ) να υπολογίσετε την γωνία,. 79. Έστω, με, 1, 60. Αν u,να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u. 80. Δίνονται διανύσματα a και για τα οποία ισχύουν 1,, 60 και: ( ) (5 ) α) Να βρείτε το β) Αν, να βρείτε τη γωνία: φ =, 9

10 81. Έστω, δύο διανύσματα του επιπέδου με =, = και (, ). Αν, να υπολογίσετε: α) Το β) Τις γωνίες,, και,. 8. Έστω a και δύο διανύσματα τέτοια ώστε: a a, 5,(, ). Αν, να υπολογιστούν τα συνημίτονα των γωνιών (, ) και (, ). 8. Αν για τα διανύσματα ισχύουν, a και, = 45, να υπολογιστεί η γωνία,. 84. Έστω τα διανύσματα και, με μέτρα 1, που σχηματίζουν γωνία φ= Αν u 4 και v, να βρεθούν τα μέτρα των διανυσμάτων u v και η μεταξύ τους γωνία u i j 1 i 1 j w i j.να βρείτε 4 4 0, ώστε w. Αν uw,, να αποδείξετε ότι 1. Αν ο λόγος Δίνονται τα διανύσματα, 4 4 το του εσωτερικού γινομένου w προς το εσωτερικό γινόμενο u w είναι τη γωνία,w, όταν uw, Δίνονται τα διανύσματα a i j, =(-συνθ) i +(ημθ) j, i j. Α. Για ποιες τιμές του θ(0, π) τα διανύσματα a και είναι κάθετα. Β. Αν τα και σχηματίζουν γωνία 4, να δείξετε ότι συνθ=1-ημθ. 6 16, να υπολογίσετε 87. Δίνονται τα διανύσματα του επιπέδου a, για τα οποία ισχύουν: ( a + )(7 a -5 ) και ( a -4 )(7 a - ). ι) Να δείξετε ότι: a. και a a., ιι) Να βρείτε την γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα a,. 88. Δίνονται τα διανύσματα a i j, =(κ-λ) i +(κ+λ) j, ( 5) i 5 j και ( 5) i ( 1) j, κ, λr, α) Αν a //, να δείξετε ότι: 10

11 89. Δίνονται διανύσματα a, και για τα οποία ισχύουν,, 1 και: 4 0 α) Να εξετάσετε αν είναι οξεία ή αμβλεία καθεμία από τις γωνίες,,. β) Να βρείτε τη γωνία,. 90. Δίνονται διανύσματα και, με,, 10 και 1 α) Να βρείτε τα και. β) Θεωρούμε διανύσματα u v για τα οποία ισχύουν: u v 5 και 4v u 5 i) Να γράψετε καθένα από τα διανύσματα u v ως γραμμικό συνδυασμό των και. ii) Να βρείτε το u, v. 91. Δίνονται διανύσματα και για τα οποία ισχύει ότι 1, 5 και: ( )( ) 46 α) Να βρείτε το συν, β)θεωρούμε τα διανύσματα u v. Να βρείτε τη γωνία u, v 9. Δίνονται διανύσματα και, με και, για τα οποία ισχύει ότι: (α 7 ) (6 ) α) Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων και. β) Θεωρούμε το διάνυσμα, με λ R, το οποίο είναι κάθετο στο. Να βρείτε : i) την τιμή του λ, ii) το μέτρο του διανύσματος, iii) τη γωνία των διανυσμάτων και. 9. Δίνονται μοναδιαία διανύσματα και, καθώς και τα μη μηδενικά διανύσματα u v, για τα οποία ισχύουν: u v 4 και v u και. (u, v) 60 α) Να γράψετε καθένα από τα διανύσματα u v ως γραμμικό συνδυασμό των και. β) Να βρείτε τη γωνία, 11

12 94. Δίνονται διανύσματα α και β, με 6, 4, για τα οποία ισχύει ότι: 4 α) Να αποδείξετε ότι β) Θεωρούμε διάνυσμα τέτοιο, ώστε: / /( ) και ( ) (4 9 ) i) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό συνδυασμό των α και β. ii) Να βρείτε τη γωνία,. 95. Δίνονται μη μηδενικά διανύσματα και,με, = 60. Θεωρούμε επίσης παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με 4 και. Η διαγώνιος ΑΓ έχει μήκος 6 και ισχύει: 6 α) Να αποδείξετε ότι 1 και 4. β) Να βρείτε το μήκος της διαγωνίου ΔΒ. γ) Να βρείτε την περίμετρο του ΑΒΓΔ. δ) Να βρείτε τη γωνία ˆ του ΑΒΓΔ. 96. Έστω τα διανύσματα και, με μέτρα, και 5 Να υπολογίσετε: α) Το συνημίτονο της γωνίας των και β) Το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων u v γ ) Τα μέτρα των διανυσμάτων u v 97. Δίνεται τρίγωνο ΟΑΒ στο οποίο είναι:, 4 και ΟΑ, της ΑΒ, να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας,. 98. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με 5, 4. Αν Μ το μέσο, = 60. και Να βρεθεί το συνημίτονο της γωνίας που σχηματίζει η με τη διαγώνιο του ΑΒΓΔ. 99. Δίνεται τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α (1, ), Β (-1, -) και Γ (-, 4). Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η διάμεσος ΑΜ με την πλευρά ΑΓ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(-1, 1), Β(1, 5) και Γ(4, -4). α) Να εξετάσετε αν η γωνία ˆ είναι οξεία ή αμβλεία, β) Να βρείτε τη γωνία ˆ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με Α (λ- 1, - 1), Β (λ, ) και Γ(7, - λ), με λ R. Αν ισχύει ότι 15, να βρείτε: α) τον αριθμό λ, β) τη γωνία ˆ του τριγώνου ΑΒΓ. 1

13 10. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=α+β και β, όπου α = β =1 και π α,β =. α) Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: α β, 4β+α, α-β. β) Αν Μ είναι το μέσον της πλευράς ΒΓ: i) Nα εκφράσετε τα διανύσματα ΑΜ και ΒΓ συναρτήσει των α,β. ii) Να βρείτε τη γωνία των ΑΜ και ΒΓ. ΠΡΟΒΟΛΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ 10. Δίνονται τα διανύσματα για τα οποία ισχύουν, 1 και,.να βρείτε την προβολή του πάνω στο a (συναρτήσει του a ) Να γράψετε το διάνυσμα 11, 9 ως γραμμικό συνδυασμό των, 1, Αν a =(1, ) και =(9,7), να βρείτε την προβολή του πάνω στο a. και 106. Αν a =(, ) και =(-1, 4), να βρείτε την προβολή του a πάνω στο Αν a 1, και ( a,, να βρείτε την προβολή του διανύσματος v a, πάνω στο διάνυσμα a Δίνονται τα διανύσματα u (10, ) v (,10). Υπολογίστε : i) v ( u) ( v), U ii)τις γωνίες των διανυσμάτων u v u v με τον άξονα x' x 109. Αν τα διανύσματα a και είναι μοναδιαία και κάθετα, να βρείτε την προβολή του διανύσματος v a, πάνω στο διάνυσμα u a (συναρτήσει των και 110. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με 1,,,0 και 4, 4. Αν ΑΔ το ύψος του τριγώνου, να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του διανύσματος Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με Α(, 1), Β(4, 8) και Γ(, 4). Να βρεθούν οι συντεταγμένες της προβολής του σημείου Α πάνω στη πλευρά ΒΓ. 11. Αν είναι a =4 i j και 8i 6j, ι) Να δείξετε ότι η γωνία των δύο διανυσμάτων είναι αμβλεία, ιι) Να βρείτε το μήκος της προβολής του, πάνω στο a. 1

14 11. Έστω τα διανύσματα a =(4, ) και =(-1, -), να υπολογιστεί το a ( a ) Έστω τα διανύσματα a =(1, ) και =(-1, -4) και v ( a ) a, να βρείτε την v. a 115. Αν με 0 και,, να αποδείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με, 4 και 60. Να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου ΑΜ. 4 Να αποδείξετε ότι: Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι AB 4, A 6 και η γωνία των διανυσμάτων AB και είναι π. Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ, τότε: α) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος AM β) Να αποδείξετε ότι η προβολή του διανύσματος είναι το διάνυσμα 14 AM. 19 AB πάνω στο διάνυσμα 118. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με BA = (,-1) και B = (,1). Από την κορυφή Α φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Να υπολογιστούν: i) οι συντεταγμένες του διανύσματος. ii) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ 119. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(λ,-),Β(λ+8,-1) και Γ(5,-λ), όπου λ R.Αν ισχύει ότι 1,να βρείτε : i)τον αριθμό λ ii) την προβολή του πάνω στην 10. Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Οxy θεωρούμε τα συνευθειακά σημεία Α(0,- ),Β(λ,λ-1) και Γ(-,-6) i)να βρείτε την τιμή του λr ii)αν Μ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ,να βρείτε την προβολή του διανύσματος πάνω στο διάνυσμα 11. Δίνονται διανύσματα a και για τα οποία ισχύουν και. 4 i) Να αποδείξετε ότι ii) Να βρείτε την γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα a,. AM 14

15 1. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα για τα οποία ισχύουν,, 1 και.να βρείτε : i) το ii) την iii) το μέτρο του διανύσματος 1. Να αναλυθεί το διάνυσμα =(,10) σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο a. 14. Να αναλύσετε το διάνυσμα 7,11 1, και,. σε δύο συνιστώσες με διευθύνσεις εκείνες των 15. Έστω τα διανύσματα a i j i j. Να αναλυθεί το a σε δύο συνιστώσες, μια παράλληλη και μια κάθετη στο. 16. Δίνονται τα διανύσματα a (x 1, x 1) και x1, x ). ι) Να βρείτε τις τιμές του xr για τις οποίες ισχύει: α) a, β) a ιι) Για την μεγαλύτερη από τις τιμές του x που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα να αναλύσετε το διάνυσμα σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο a και να βρείτε την προβολή του διανύσματος a στο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ 17. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ.Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει : MA AB A 18. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ.Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει : M B 19. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με μήκος.να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει : Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με μήκος 8..Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει : Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει :

16 1. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει : 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ.Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει : M 14. Έστω τα σταθερά σημεία Α, Β τέτοια ώστε ΑΒ =. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει AM AM AB Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 ]. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου του τριγώνου για τα οποία ισχύει MA MB MA M. 16. Αν x y 16, x, y, να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης x 4y καθώς και τις τιμές των χ,y για τις οποίες η παράσταση Π παίρνει τη μέγιστη τιμή της. 17. Να αποδειχτεί ότι για οποιαδήποτε διανύσματα ισχύει ότι:. Πότε ισχύει η ισότητα; Αν για τα σημεία M(x,y) ισχύει ότι χ + y = 6, να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση Π = 6χ - 8y καθώς και τα σημεία Μ που αυτές επιτυγχάνονται. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΠΟΤΗΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 18. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και,.να αποδείξετε ότι: 19. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ. Στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ θεωρούμε τα σημεία Ζ και Ε αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΖ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ΑΔ το ύψος του. Να αποδείξετε την ισοδυναμία: ˆ 141. Δίνεται κύκλος (Ο, R) και σημείο Μ του επιπέδου του. Μια μεταβλητή ευθεία που διέρχεται από το Μ τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α και Αν Γ είναι το αντιδιαμετρικό του Α, να αποδείξετε ότι: R 14. Σε κάθε τετράπλευρο ΑΒΓΔ να αποδείξετε ότι: i) ii) 14. Aν σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ ισχύει ότι : να αποδείξετε ότι: 16

17 144. Στο διπλανό σχήμα είναι AH ΒΓ και ΑΔ διάμετρος. Να αποδείξετε ότι: και 145. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο, OH ΒΑ και η ευθεία ε, που διέρχεται από το Α, τέμνει το ύψος στο Μ και τον κύκλο στο Ν. Να αποδείξετε ότι: 146. Στο διπλανό σχήμα τα ΑΓΔΕ και ΒΓΖΗ είναι τετράγωνα. Να αποδείξετε ότι: στη i) y x 0, ii) 0, iii) η διάμεσος ΓΝ του τριγώνου ΑΒΓ είναι κάθετη ΖΔ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 147. Δίνονται τα διανύσματα,, για τα οποία ισχύουν, 0. i)να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο ii)να βρείτε το iii)να βρείτε αν υπάρχουν,τους θετικούς αριθμούς x για τους οποίους ισχύει η σχέση : ( x ) ( x ) Δίνονται τα διανύσματα, με, 10 για τα οποία ισχύουν ( 4 ) 4 και ( ). Να βρείτε i) τα μέτρα των διανυσμάτων ii) το γινόμενο ( ) ( ) iii)το μέτρο iv)για ποιες τιμές του λ R τα διανύσματα v και w είναι κάθετα,, και 149. Δίνονται τα διανύσματα για τα οποία ισχύουν 1, ( ) (4 ) και ( ) (8 ). i) Να αποδείξετε ότι 5 17

18 ii) Να γράψετε την σαν γραμμικό συνδυασμό των 150. Δίνονται τα διανύσματα για τα οποία ισχύουν 1και 4 Θεωρούμε διάνυσμα v για το οποίο ισχύει ( v) v 8v 4 i) Να αποδείξετε ότι v 4 ii) Να γράψετε το v σαν γραμμικό συνδυασμό των iii)αν επιπλέον ισχύει v ( ) 8,να βρείτε τη γωνία, ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 151. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι : 4, 6 και η γωνία των διανυσμάτων ί. Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ,τότε : i)να υπολογίσετε το AM ii)να αποδείξετε ότι η προβολή του διανύσματος AB πάνω στο διάνυσμα AM είναι το διάνυσμα 14 AM 19 (1 η Δέσμη 1999) 15. Για τα διανύσματα a, ισχύουν οι σχέσεις a ( 4, ) ( 7, 8 ). i)να δείξετε ότι ( 1, ) (, ). ii)να βρεθεί ο κ R,ώστε τα διανύσματα να είναι κάθετα iii)να αναλυθεί το διάνυσμα (, 1) σε δύο κάθετες συνιστώσες,από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο διάνυσμα. (ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ 000) 15. Για τα διανύσματα a, δίνεται ότι a 1, και,. Έστω τα διανύσματα u a v a. Να υπολογίσετε : i)το εσωτερικό γινόμενο ii)τα μέτρα u, v iii) το εσωτερικό γινόμενο u v iv)το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u v (ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 001) 154. Δίνονται τα διανύσματα (1,1), (5,7) του καρτεσιανού επιπέδου. α)να βρείτε τα διανύσματα β)να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ,για την οποία το διάνυσμα 18

19 x (, 6) είναι κάθετο στο διάνυσμα γ)να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 1,όπου.(ο Εσπερινού 00) 155. Δίνονται τα διανύσματα a (1,) και (,). α. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 5 β. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το με τον άξονα x x. γ. Να βρείτε τον αριθμό k R,ώστε το διάνυσμα a u ( k k, k) να είναι κάθετο στο 19

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 4 7. Αν ισχύουν να αποδείξετε ότι. Αν ισχύει ότι 5 5 να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (1,1), Γ (4,3) και Δ (,3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Επανάληψη Χριστουγέννων Αφού κάνετε μια επανάληψη στο πρώτο κεφάλαιο και θυμηθείτε όλους τους τύπους και τις μεθοδολογίες, να λύσετε τις παρακάτω ασκήσεις από την τράπεζα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε = 5 + 2 α) Να γράψετε το διάνυσμα β) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β 1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Αν α = ( 1, ) i α β iii και β = ( 1, ), να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: ii ( α )( β ) α β α + β α iv Αν α =, β = 1 και ( αβ, ) = 15 ο, να υπολογίσετε το α β Με βάση το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50 Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8 Ασκήσεις προς λύση 1-50 1. Θεωρούμε τα σημεία Α(1,2), Β(4,1). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων

Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων ) α β α β α//β ) α β α β α β ) α β α β α β 4)

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο (Πανελλήνιες θετικής κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999) Α. Έστω a ( x1,) y1 και ( x,) y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. α) Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 1. Δίνεται το σημείο Α(λ -9, λ -λ) με λr.να βρείτε για ποιες τιμές του λr το σημείο Α ανήκει : i)στον άξονα χ χ ii) στον άξονα y

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα 2. Να γράψετε ως ένα διάνυσμα τα παρακάτω αθροίσματα :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΣΕΛΙΔΕΣ 3-36 ΜΕΡΟΣ ο ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ 1), AΓ = ( 3 λ, λ 1) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.. Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ένα οποιοδήποτε σημείο Ρ του χώρου. Να αποδειχτεί ότι: P A P 0. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Έστω Α, Β, Κ, Λ και Μ τυχαία σημεία του χώρου Α ισχύει η σχέση ΑΚ + ΜΑ = ΚΒ 2ΑΒ + ΒΛ, να αποδείξετε ότι: α) τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά, β) ΚΛ ΚΜ, γ) ΚΛ = ΚΜ 2 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Ευθεία ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε, αν αυτή έχει εξίσωση: 5x 6 i) y = x- 1 ii) y = 3 5x iii) y iv) x = y + 3 10 v) 18x-6y

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β O A M B ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ο ΘΕΜΑ ον : α α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β. Μονάδες 5 β. Αν α, ν

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Διανύσματα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7 0 0 8 8 8 8 Kglykosgr / 9 / 0 1 6 Kατεύθυνση κεφάλαιο 1 44 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα για τα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5.

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5. . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ (λ -, λ ), λ R. - Έστω λ- και λ, τότε λ () και λ (). - Από τις () και () έχουμε:. Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία.. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxψ θεωρούμε τα σημεία Α, Β, τα οποία έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης x - (4λ+6μ)x - 005 = 0 και τεταγμένες τις ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 /

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 / Διανύσματα Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 1 / 7 / 0 1 8 Kατεύθυνση κεφάλαιο 1 44 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Να δίνει τον ορισμό του διανύσματος και των εννοιών που είναι κλειδιά όπως: κατεύθυνση φορά ή διεύθυνση, μηδενικό διάνυσμα,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα-Ευθεία-Κύκλος Αναλυτική Θεωρία 500 Ασκήσεις Επιμέλεια : ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 2 1. Η Έννοια του Διανύσματος Ορισμός Διανύσματος Το διάνυσμα ορίζεται ως

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ένα διάνυσμα του οποίου τα άκρα συμπίπτουν λέγεται μηδενικό διάνυσμα και συμβολίζεται με 0.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ένα διάνυσμα του οποίου τα άκρα συμπίπτουν λέγεται μηδενικό διάνυσμα και συμβολίζεται με 0. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ: Διάνυσμα ονομάζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα,δηλαδή ένα τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα. Το πρώτο άκρο λέγεται αρχή ή σημείο εφαρμογής και το δεύτερο λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 4. α) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Φυλλάδιο Ασκήσεων 1 Διανύσματα

Φυλλάδιο Ασκήσεων 1 Διανύσματα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΤΟΙΜΟΥ Β ΥΚΕΙΟΥ 07-8 Φυλλάδιο Διανύσματα ο ΓΕ Αγίων Αναργύρων Μαθηματικά Προσανατολισμού Φυλλάδιο Ασκήσεων Διανύσματα Β υκείου ύνθεση Άσκηση Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 00-018α φάση Διανύσματα 1 Σε σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε τρία σημεία Α, Β, Γ του μοναδιαίου κύκλου, για τα οποία υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου. επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ

ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου. επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΥΘΕΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΒΡΥΣΑΛΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη του πίνακα (Ι) µε τον συντελεστή της που βρίσκεται στη, συµπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) (α, β 0). 1. ε 1 : y =

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι:

1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: α) ΑΜ = 1 2 ( ΑΒ + ΑΓ ) β) ΜΝ = 1 2 ΒΑ 2. ** ίνονται τα διανύσµατα ΑΒ και Α Β. Αν Μ και Μ

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v,

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v, ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Δίνονται τα διανύσματα a, για τα οποία ισχύουν : 4, 5 και α)να αποδείξετε ότι 10 β)να βρείτε τη γωνία των και. 5. 8 γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού)

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) ΣΧΟΛΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι: ΑΒ = α, = β. α) Το διάνυσμα ΑΓ ισούται με Α. α - β Β. β - α Γ. α + β β) Το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxy θεωρούμε τα σημεία Α, Β, τα οποία έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης x - (4λ+6μ)x - 005 = 0 και τεταγμένες τις ρίζες της εξίσωσης y + ( 5λ + μ)y

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Σ Λ + α = α

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Σ Λ + α = α Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΝΥΜΑΤΑ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» 1. * Αν α =, τότε α =. 2. * Αν α, µη µηδενικά διανύσµατα και θ η γωνία τους, τότε 0 θ π 3. * Ισχύει α + 0 = 0 + α = α 4. * Κάθε διάνυσµα µπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει :

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει : Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για τα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Β Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει χρήσιμες γνώσεις για

Διαβάστε περισσότερα

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1)

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1) 7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Απόσταση Σημείου από Ευθεία Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση M ( x, y ) ένα σημείο εκτός αυτής Θέλουμε y να υπολογίσουμε την απόσταση d( M, ε) του ε σημείου M από

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. .0 AB 0 A B (Α ταυτίζεται με Β).

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. .0 AB 0 A B (Α ταυτίζεται με Β). ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ: Διάνυσμα ονομάζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα,δηλαδή ένα τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα. Το πρώτο άκρο λέγεται αρχή ή σημείο εφαρμογής και το δεύτερο λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις)

Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) 1 Μέρος Α Θεωρία (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) Η έννοια του διανύσματος Ορισμός του Διανύσματος Διάνυσμα ονομάζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β Λυκείου

Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β Λυκείου ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α, Β, όταν α) Α(2, 5), Β(1, -3) β) Α(-3, -5), Β(-5, 7) γ) Α(0, 4), Β(2, -6). 2. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6. Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Ασκήσεις προς λύση Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα.

Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6. Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Ασκήσεις προς λύση Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα. Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6 Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα. Αντίρροπα διανύσµατα. Συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων (όλες της οι µορφές). Συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ EΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης όταν: α) Έχει εστία Ε (-8,0) και μεγάλο άξονα 0 β) Έχει εστία Ε(0,3) και μεγάλο άξονα 8 γ) Έχει εστία Ε(4,0) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ [TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ] (Μονάδες 13) β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ και BΓ είναι παράλληλα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ [TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ] (Μονάδες 13) β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ και BΓ είναι παράλληλα. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Ο 863 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε: AΔ=AB+5AΓ και AΕ =5AB+AΓ α) Να γράψετε το διάνυσμα ΔΕ ως γραμμικό συνδυασμό των AB και AΓ ) Να δείξετε ότι τα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 27 Δεκεμβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 27 Δεκεμβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/017 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη 7 Δεκεμβρίου 016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Αν ( xy, )

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα