ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ"

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 1. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο a δύο διανυσμάτων a και αν: ι) a a 5, 7,(, ) 5, ιι) a 5,,( a, ) Το διάνυσμα είναι μοναδιαίο και ισχύουν 6 γινόμενο και, 60.Να βρείτε το εσωτερικό. Τα διανύσματα a και είναι ομόρροπα,.με και 7.Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο 4. Τα διανύσματα a και είναι αντίρροπα.με 9 και 4.Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο 5. Δίνονται διανύσματα a και για τα οποία ισχύουν 1, 1 και, 150.Nα βρείτε i)το μέτρο του διανύσματος a ii) το εσωτερικό γινόμενο ( ) ( ) 6. Δίνονται διανύσματα a, και για τα οποία ισχύουν : 1, 5, 1,, και,.nα βρείτε : 6 i)το μέτρο του διανύσματος ii) ( ) ( ) 7. Δίνονται διανύσματα a και,με 4, 5, γινόμενα:: i) ii) ( ) ( ) iii) ( ), 10.Nα βρείτε τα 8. Δίνονται διανύσματα a και,με 4 να βρείτε :: i) το εσωτερικό γινόμενο ii) Το μέτρο του διανύσματος και, iii) το εσωτερικό γινόμενο ( ) ( ).Αν ισχύει ( ) 8 1

2 9. Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα, ισχύουν: και, να αποδείξετε ότι. 10. Έστω a και δύο διανύσματα τέτοια ώστε: a, 5,( a, ) υπολογιστεί το.. Αν 5 4, να ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 11. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις : i) (,5) και (4, ) ii) (, ) και (1,5) iii) ( 4,) και (, 6) iv) (0, ) και (7, ) 1. Δίνονται τα σημεία Α(,1),Β(,-5),Γ(-4,) και Δ(-1,-).Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,με Α(,5), Β(x,x-4) και Γ(-5,11),όπου xr για το οποίο ισχύει i)nα βρείτε τον αριθμό x ii)αν Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΑΒ αντίστοιχα, να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο 14. Δίνονται τα διανύσματα (, ) και ( 8,1),με λr για τα οποία ισχύει ότι 1. i)να βρείτε τον αριθμό λ ii)το εσωτερικό γινόμενο ( ) ( ) 15. Δίνονται τα διανύσματα (4, ), (x, x ) και ( 6,1), για τα οποία ισχύει ότι 1 και 11 i) Να αποδείξετε ότι x= ii)να βρείτε για ποια τιμή του λr ισχύει ( ) ( ) 16. Δίνονται τα διανύσματα (x, 1), (, y) και (x 5,), για τα οποία ισχύει ότι. i) Να βρείτε τις τιμές των x,y ii)να βρείτε για ποια τιμή του λr ισχύει ( ) ( ) 8

3 ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 17. Έστω διανύσματα,. Να αποδειχτούν οι παρακάτω σχέσεις: i ) a 4 ii ) a a. Πότε ισχύει η ισότητα; iii 18. Δίνονται διανύσματα, για τα οποία ισχύουν και 4 5. Να αποδείξετε ότι 19. Δίνονται διανύσματα, για τα οποία ισχύουν και. Να αποδείξετε ότι 0. Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα i). ii) 1. Αν 4 OB O 0, και έστω,.να αποδείξετε ότι : OA και OB OB O να δειχτεί ότι :. OA,. Αν ισχύει = τότε να δείξετε ότι.. Αν ισχύει = τότε να δείξετε ότι α. 4. Αν για κάθε ισχύει ότι i. και 1 ii. 4 5 και 1, να αποδείξετε ότι: 5. Έστω η γωνία των διανυσμάτων x, y και x, y ότι det, 1 1. Να αποδείξετε. 6. Αν για τα διανύσματα a (α1, α) και = (β1,β) ισχύει και, να αποδειχτεί ότι det a, i)να αποδειχτεί ότι ο φορέας του διανύσματος v διχοτομεί τη γωνία,.

4 ii)να αποδειχτεί ότι ο φορέας του διανύσματος παραπληρωματική της γωνίας,. u a διχοτομεί την a iii)αν 1, να βρεθεί διάνυσμα με που να διχοτομεί τη γωνία, = i) Αν, 0 και ισχύει 1 (1), τότε : ii) Αν επιπλέον 1 (), τότε : 1 4 ΚΑΘΕΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 9. Δίνονται τα κάθετα διανύσματα (,) και ( 6, ).Να βρείτε : i)τον αριθμό λ ii)για ποια τιμή του μ είναι 0. Δίνονται τα κάθετα διανύσματα και για τα οποία ισχύουν 15 και 5Να βρείτε : i) Να βρείτε το ii)να αποδείξετε ότι τα διανύσματα v 5 και w είναι κάθετα. 1. Δίνονται τα διανύσματα (1, ) και (,4 ) με λ R για τα οποία ισχύει 1. i) Να βρείτε τον αριθμό λ ii) Να βρείτε για ποια τιμή του μr,το διάνυσμα 5 είναι κάθετο στο (, 8). Δίνονται τα διανύσματα (4, ) και (,1) και ( 9, ) με λ,μ R. Αν ισχύει και. Να βρείτε i) τις τιμές των λ,μ ii) τον πραγματικό αριθμό x,ώστε ( x ) ( ). Δίνονται τα διανύσματα (1, ) και (4 5, 1) με λ R για τα οποία ισχύει 1. Να αποδείξετε ότι : i) λ= ii) Να βρείτε διάνυσμα v για το οποίο ισχύει ότι (v ) / / και ( v) (10 ) 4

5 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,με Α(-1,4),Β(-,-1) καιγ(7,5).θεωρούμε σημείο για το οποίο ισχύει M BM α)να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ β)να αποδείξετε ότι γ)να βρείτε σημείο Ν του άξονα χ χ,ώστε 5. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά α=. Αν ΑΔ είναι το ύψος του, να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: i., ii., iii Δίνονται δύο μη μηδενικά διανύσματα και,για τα οποία ισχύει και,. i)nα αποδείξετε ότι ii)να βρείτε για ποια τιμή του λ R τα διανύσματα v και w είναι κάθετα 7. Έστω,, τρία μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου. Αν και, να αποδείξετε ότι. 8. Τα σημεία Α, Β, Γ, Δ έχουν, ως προς την αρχή Ο, των αξόνων διανύσματα θέσης (, 5), (4, 10), (-6, -15) και (-16, λ-15), λr, αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Να βρείτε το λ ώστε AB. 9. Δίνονται τα διανύσματα u =(-, ) και v =(4, -). Να βρεθεί το διάνυσμα w που είναι κάθετο στο u -5 v. ΜΕΤΡΟ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ 40. Αν,,, 15 και, να βρείτε το. 41. Δίνονται τα διανύσματα και με 8, και (, ) 45. Να βρείτε το 4. Δίνονται τα διανύσματα και με, i)να αποδείξετε ότι ii)να βρείτε το 4 (, ) και Δίνονται τα διανύσματα και με, 4 και 4. i)να αποδείξετε ότι ii)να βρείτε το 5

6 44. Δίνονται τα διανύσματα και για τα οποία ισχύουν, 4 και 5 i)να αποδείξετε ότι και 1 ii)να βρείτε το Δίνονται τα διανύσματα, για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις:,, και α 7. Να υπολογιστούν τα,. 46. Δίνεται διάνυσμα και μοναδιαίο διάνυσμα, με (, ) 10 και ( ). α) Να αποδείξετε ότι β)θεωρούμε διάνυσμα v για το οποίο ισχύει ότι : v / /( ) και ( 5 ) (v ) i) Να γράψετε το διάνυσμα v ως γραμμικό συνδυασμό των και 47. Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων και για τα οποία ισχύουν : (, ), και Δίνονται τα διανύσματα και με και (, ) 60.Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ,με 4 και 4 6,για το οποίο ισχύει 91 i)να αποδείξετε ότι 5 ii)να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ 49. Για τα διανύσματα και, ισχύει ότι :, ( ) ( ) και 6 αποδειχθεί ότι : 5.. Να 50. Έστω τα διανύσματα = (-,) και = (,-). Να βρεθεί διάνυσμα, ώστε και Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με AB =(1, ) και A =(, 1). Να βρείτε το διάνυσμα A της εσωτερικής διχοτόμου της γωνίας Α του τριγώνου ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ 5. Δίνονται τα διανύσματα,, με 1,, 0. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης. 6

7 5. Δίνονται τα διανύσματα,, με,, 1 0. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης. 54. Δίνονται τα διανύσματα,, με,, 54 και 4 0. i) Να αποδείξετε ότι 4 ii) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο 55. Δίνονται μη μηδενικά διανύσματα,, για τα οποία ισχύουν a και 4 10 a 0.Να αποδείξετε ότι : το a είναι ομόρροπο του, και ότι: το διάνυσμα είναι αντίρροπο του. 56. Αν για τα διανύσματα a,, ισχύει: a 0 και a, να δείξετε ότι: το 5 a είναι ομόρροπο του, και ότι: το διάνυσμα είναι αντίρροπο του. 57. Δίνονται μοναδιαία διανύσματα a,, για τα οποία ισχύουν a 0 και: 1. Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα και είναι αντίθετα. 58. Δίνονται διανύσματα a,,, με, 7, 19 και a 0. i) Να αποδείξετε ότι. ii) Να αποδείξετε ότι 4. iii) Να βρείτε το 4a. iv) Να βρείτε για ποια τιμή του λ R είναι: ( 4 ) (8 ) 59. Δίνονται διανύσματα,, 0 i) Να αποδείξετε ότι 6. 7,,, 60 και a για τα οποία ισχύουν ii) Να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα και. iii) Να βρείτε το μέτρο. 60. Έστω τα διανύσματα,, με a, 5, 7 και 0. Να βρεθεί η γωνία, και η τιμή της παράστασης. 61. Έστω a,,, τρία μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου, με: a 1, και a... Να αποδείξετε ότι: a. 7

8 6. Αν τα διανύσματα,, είναι μοναδιαία και ισχύει: 0,να αποδειχθεί ότι:. 6. Αν για τα μη παράλληλα διανύσματα,, ισχύουν, =, = 60 και a,, 4, να βρεθεί το μέτρο του a. 64. Δίνονται οι γωνίες ( a,, ( και ( a, και a 1. Να βρεθούν τα μέτρα των διανυσμάτων: x και y. Να εξετάσετε αν υπάρχει λ R, ώστε a. 65. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με OA OB O και OA 4OB 5O όπου Ο η αρχή των αξόνων. Να αποδείξετε ότι:. 66. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ρ για το οποίο ισχύει: και 0. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο 67. Δίνονται τα διανύσματα,, με α) Να βρείτε τη γωνία,. β) Αν τα διανύσματα,, έχουν κοινή αρχή, να αποδείξετε ότι τα πέρατά τους είναι σημεία συνευθειακά. γ) Να βρείτε διάνυσμα x καθώς και το μέτρο του, αν x και x. 68. Αν 0 6, α) Τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά. β) Το Γ είναι ανάμεσα στα Α,Β. γ) Το διάνυσμα είναι κάθετο στο. ΓΩΝΙΑ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 8, να αποδείξετε ότι: 69. Να υπολογιστεί η γωνία, των διανυσμάτων a =(1, - ), =(1, 1). i) a =(1, - ), =(1, 1). ii) a =(4,), =(7,-+ 1). iii) a =(1, ), = (, ) iv). a = (,6), = (-,1) 70. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α (1, ), Β (-, 1) και Γ (, 6). Να αποδειχθεί ότι:. A 4

9 71. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α (-, 4), Β (, ) και Γ (1, -). Να βρεθούν οι γωνίες του. 7. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων a και, και η γεωμετρική τους γωνία στις παρακάτω περιπτώσεις: ι) a =(-5,), (6,10), ιι) a = (, ), ιιι) a = (0, ), (,1). 5 (, ), 7. Αν a =((x-1), x) και =(-, 1) να υπολογιστεί το x ώστε ( a, )=. 74. Αν a,, ( a, και ( a, να βρείτε τον θετικό πραγματικό αριθμό ρ. 75. Δίνονται τα διανύσματα (, ) και (, 4), με λr, για τα οποία ισχύει ότι ( ) 6. Να βρείτε: α) τον αριθμό λ, β) τη γωνία,. 76. Δίνονται διανύσματα a και για τα οποία ισχύουν: (7, 1) και (8, 19) Να βρείτε: α) τις συντεταγμένες των διανυσμάτων a και, β) τη γωνία,. 77. Αν για τα διανύσματα, ισχύουν οι σχέσεις: 8, και (α ) (5 7 ) να υπολογίσετε την γωνία,. 78. Αν για τα διανύσματα, ισχύουν οι σχέσεις:, 1 και (α 5 ) ( ) να υπολογίσετε την γωνία,. 79. Έστω, με, 1, 60. Αν u,να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u. 80. Δίνονται διανύσματα a και για τα οποία ισχύουν 1,, 60 και: ( ) (5 ) α) Να βρείτε το β) Αν, να βρείτε τη γωνία: φ =, 9

10 81. Έστω, δύο διανύσματα του επιπέδου με =, = και (, ). Αν, να υπολογίσετε: α) Το β) Τις γωνίες,, και,. 8. Έστω a και δύο διανύσματα τέτοια ώστε: a a, 5,(, ). Αν, να υπολογιστούν τα συνημίτονα των γωνιών (, ) και (, ). 8. Αν για τα διανύσματα ισχύουν, a και, = 45, να υπολογιστεί η γωνία,. 84. Έστω τα διανύσματα και, με μέτρα 1, που σχηματίζουν γωνία φ= Αν u 4 και v, να βρεθούν τα μέτρα των διανυσμάτων u v και η μεταξύ τους γωνία u i j 1 i 1 j w i j.να βρείτε 4 4 0, ώστε w. Αν uw,, να αποδείξετε ότι 1. Αν ο λόγος Δίνονται τα διανύσματα, 4 4 το του εσωτερικού γινομένου w προς το εσωτερικό γινόμενο u w είναι τη γωνία,w, όταν uw, Δίνονται τα διανύσματα a i j, =(-συνθ) i +(ημθ) j, i j. Α. Για ποιες τιμές του θ(0, π) τα διανύσματα a και είναι κάθετα. Β. Αν τα και σχηματίζουν γωνία 4, να δείξετε ότι συνθ=1-ημθ. 6 16, να υπολογίσετε 87. Δίνονται τα διανύσματα του επιπέδου a, για τα οποία ισχύουν: ( a + )(7 a -5 ) και ( a -4 )(7 a - ). ι) Να δείξετε ότι: a. και a a., ιι) Να βρείτε την γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα a,. 88. Δίνονται τα διανύσματα a i j, =(κ-λ) i +(κ+λ) j, ( 5) i 5 j και ( 5) i ( 1) j, κ, λr, α) Αν a //, να δείξετε ότι: 10

11 89. Δίνονται διανύσματα a, και για τα οποία ισχύουν,, 1 και: 4 0 α) Να εξετάσετε αν είναι οξεία ή αμβλεία καθεμία από τις γωνίες,,. β) Να βρείτε τη γωνία,. 90. Δίνονται διανύσματα και, με,, 10 και 1 α) Να βρείτε τα και. β) Θεωρούμε διανύσματα u v για τα οποία ισχύουν: u v 5 και 4v u 5 i) Να γράψετε καθένα από τα διανύσματα u v ως γραμμικό συνδυασμό των και. ii) Να βρείτε το u, v. 91. Δίνονται διανύσματα και για τα οποία ισχύει ότι 1, 5 και: ( )( ) 46 α) Να βρείτε το συν, β)θεωρούμε τα διανύσματα u v. Να βρείτε τη γωνία u, v 9. Δίνονται διανύσματα και, με και, για τα οποία ισχύει ότι: (α 7 ) (6 ) α) Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων και. β) Θεωρούμε το διάνυσμα, με λ R, το οποίο είναι κάθετο στο. Να βρείτε : i) την τιμή του λ, ii) το μέτρο του διανύσματος, iii) τη γωνία των διανυσμάτων και. 9. Δίνονται μοναδιαία διανύσματα και, καθώς και τα μη μηδενικά διανύσματα u v, για τα οποία ισχύουν: u v 4 και v u και. (u, v) 60 α) Να γράψετε καθένα από τα διανύσματα u v ως γραμμικό συνδυασμό των και. β) Να βρείτε τη γωνία, 11

12 94. Δίνονται διανύσματα α και β, με 6, 4, για τα οποία ισχύει ότι: 4 α) Να αποδείξετε ότι β) Θεωρούμε διάνυσμα τέτοιο, ώστε: / /( ) και ( ) (4 9 ) i) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό συνδυασμό των α και β. ii) Να βρείτε τη γωνία,. 95. Δίνονται μη μηδενικά διανύσματα και,με, = 60. Θεωρούμε επίσης παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με 4 και. Η διαγώνιος ΑΓ έχει μήκος 6 και ισχύει: 6 α) Να αποδείξετε ότι 1 και 4. β) Να βρείτε το μήκος της διαγωνίου ΔΒ. γ) Να βρείτε την περίμετρο του ΑΒΓΔ. δ) Να βρείτε τη γωνία ˆ του ΑΒΓΔ. 96. Έστω τα διανύσματα και, με μέτρα, και 5 Να υπολογίσετε: α) Το συνημίτονο της γωνίας των και β) Το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων u v γ ) Τα μέτρα των διανυσμάτων u v 97. Δίνεται τρίγωνο ΟΑΒ στο οποίο είναι:, 4 και ΟΑ, της ΑΒ, να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας,. 98. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με 5, 4. Αν Μ το μέσο, = 60. και Να βρεθεί το συνημίτονο της γωνίας που σχηματίζει η με τη διαγώνιο του ΑΒΓΔ. 99. Δίνεται τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α (1, ), Β (-1, -) και Γ (-, 4). Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η διάμεσος ΑΜ με την πλευρά ΑΓ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(-1, 1), Β(1, 5) και Γ(4, -4). α) Να εξετάσετε αν η γωνία ˆ είναι οξεία ή αμβλεία, β) Να βρείτε τη γωνία ˆ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με Α (λ- 1, - 1), Β (λ, ) και Γ(7, - λ), με λ R. Αν ισχύει ότι 15, να βρείτε: α) τον αριθμό λ, β) τη γωνία ˆ του τριγώνου ΑΒΓ. 1

13 10. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=α+β και β, όπου α = β =1 και π α,β =. α) Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: α β, 4β+α, α-β. β) Αν Μ είναι το μέσον της πλευράς ΒΓ: i) Nα εκφράσετε τα διανύσματα ΑΜ και ΒΓ συναρτήσει των α,β. ii) Να βρείτε τη γωνία των ΑΜ και ΒΓ. ΠΡΟΒΟΛΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ 10. Δίνονται τα διανύσματα για τα οποία ισχύουν, 1 και,.να βρείτε την προβολή του πάνω στο a (συναρτήσει του a ) Να γράψετε το διάνυσμα 11, 9 ως γραμμικό συνδυασμό των, 1, Αν a =(1, ) και =(9,7), να βρείτε την προβολή του πάνω στο a. και 106. Αν a =(, ) και =(-1, 4), να βρείτε την προβολή του a πάνω στο Αν a 1, και ( a,, να βρείτε την προβολή του διανύσματος v a, πάνω στο διάνυσμα a Δίνονται τα διανύσματα u (10, ) v (,10). Υπολογίστε : i) v ( u) ( v), U ii)τις γωνίες των διανυσμάτων u v u v με τον άξονα x' x 109. Αν τα διανύσματα a και είναι μοναδιαία και κάθετα, να βρείτε την προβολή του διανύσματος v a, πάνω στο διάνυσμα u a (συναρτήσει των και 110. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με 1,,,0 και 4, 4. Αν ΑΔ το ύψος του τριγώνου, να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του διανύσματος Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με Α(, 1), Β(4, 8) και Γ(, 4). Να βρεθούν οι συντεταγμένες της προβολής του σημείου Α πάνω στη πλευρά ΒΓ. 11. Αν είναι a =4 i j και 8i 6j, ι) Να δείξετε ότι η γωνία των δύο διανυσμάτων είναι αμβλεία, ιι) Να βρείτε το μήκος της προβολής του, πάνω στο a. 1

14 11. Έστω τα διανύσματα a =(4, ) και =(-1, -), να υπολογιστεί το a ( a ) Έστω τα διανύσματα a =(1, ) και =(-1, -4) και v ( a ) a, να βρείτε την v. a 115. Αν με 0 και,, να αποδείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με, 4 και 60. Να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου ΑΜ. 4 Να αποδείξετε ότι: Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι AB 4, A 6 και η γωνία των διανυσμάτων AB και είναι π. Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ, τότε: α) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος AM β) Να αποδείξετε ότι η προβολή του διανύσματος είναι το διάνυσμα 14 AM. 19 AB πάνω στο διάνυσμα 118. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με BA = (,-1) και B = (,1). Από την κορυφή Α φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Να υπολογιστούν: i) οι συντεταγμένες του διανύσματος. ii) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ 119. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(λ,-),Β(λ+8,-1) και Γ(5,-λ), όπου λ R.Αν ισχύει ότι 1,να βρείτε : i)τον αριθμό λ ii) την προβολή του πάνω στην 10. Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Οxy θεωρούμε τα συνευθειακά σημεία Α(0,- ),Β(λ,λ-1) και Γ(-,-6) i)να βρείτε την τιμή του λr ii)αν Μ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ,να βρείτε την προβολή του διανύσματος πάνω στο διάνυσμα 11. Δίνονται διανύσματα a και για τα οποία ισχύουν και. 4 i) Να αποδείξετε ότι ii) Να βρείτε την γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα a,. AM 14

15 1. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα για τα οποία ισχύουν,, 1 και.να βρείτε : i) το ii) την iii) το μέτρο του διανύσματος 1. Να αναλυθεί το διάνυσμα =(,10) σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο a. 14. Να αναλύσετε το διάνυσμα 7,11 1, και,. σε δύο συνιστώσες με διευθύνσεις εκείνες των 15. Έστω τα διανύσματα a i j i j. Να αναλυθεί το a σε δύο συνιστώσες, μια παράλληλη και μια κάθετη στο. 16. Δίνονται τα διανύσματα a (x 1, x 1) και x1, x ). ι) Να βρείτε τις τιμές του xr για τις οποίες ισχύει: α) a, β) a ιι) Για την μεγαλύτερη από τις τιμές του x που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα να αναλύσετε το διάνυσμα σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο a και να βρείτε την προβολή του διανύσματος a στο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ 17. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ.Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει : MA AB A 18. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ.Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει : M B 19. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με μήκος.να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει : Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με μήκος 8..Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει : Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει :

16 1. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει : 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ.Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει : M 14. Έστω τα σταθερά σημεία Α, Β τέτοια ώστε ΑΒ =. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει AM AM AB Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 ]. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου του τριγώνου για τα οποία ισχύει MA MB MA M. 16. Αν x y 16, x, y, να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης x 4y καθώς και τις τιμές των χ,y για τις οποίες η παράσταση Π παίρνει τη μέγιστη τιμή της. 17. Να αποδειχτεί ότι για οποιαδήποτε διανύσματα ισχύει ότι:. Πότε ισχύει η ισότητα; Αν για τα σημεία M(x,y) ισχύει ότι χ + y = 6, να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση Π = 6χ - 8y καθώς και τα σημεία Μ που αυτές επιτυγχάνονται. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΠΟΤΗΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 18. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και,.να αποδείξετε ότι: 19. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ. Στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ θεωρούμε τα σημεία Ζ και Ε αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΖ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ΑΔ το ύψος του. Να αποδείξετε την ισοδυναμία: ˆ 141. Δίνεται κύκλος (Ο, R) και σημείο Μ του επιπέδου του. Μια μεταβλητή ευθεία που διέρχεται από το Μ τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α και Αν Γ είναι το αντιδιαμετρικό του Α, να αποδείξετε ότι: R 14. Σε κάθε τετράπλευρο ΑΒΓΔ να αποδείξετε ότι: i) ii) 14. Aν σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ ισχύει ότι : να αποδείξετε ότι: 16

17 144. Στο διπλανό σχήμα είναι AH ΒΓ και ΑΔ διάμετρος. Να αποδείξετε ότι: και 145. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο, OH ΒΑ και η ευθεία ε, που διέρχεται από το Α, τέμνει το ύψος στο Μ και τον κύκλο στο Ν. Να αποδείξετε ότι: 146. Στο διπλανό σχήμα τα ΑΓΔΕ και ΒΓΖΗ είναι τετράγωνα. Να αποδείξετε ότι: στη i) y x 0, ii) 0, iii) η διάμεσος ΓΝ του τριγώνου ΑΒΓ είναι κάθετη ΖΔ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 147. Δίνονται τα διανύσματα,, για τα οποία ισχύουν, 0. i)να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο ii)να βρείτε το iii)να βρείτε αν υπάρχουν,τους θετικούς αριθμούς x για τους οποίους ισχύει η σχέση : ( x ) ( x ) Δίνονται τα διανύσματα, με, 10 για τα οποία ισχύουν ( 4 ) 4 και ( ). Να βρείτε i) τα μέτρα των διανυσμάτων ii) το γινόμενο ( ) ( ) iii)το μέτρο iv)για ποιες τιμές του λ R τα διανύσματα v και w είναι κάθετα,, και 149. Δίνονται τα διανύσματα για τα οποία ισχύουν 1, ( ) (4 ) και ( ) (8 ). i) Να αποδείξετε ότι 5 17

18 ii) Να γράψετε την σαν γραμμικό συνδυασμό των 150. Δίνονται τα διανύσματα για τα οποία ισχύουν 1και 4 Θεωρούμε διάνυσμα v για το οποίο ισχύει ( v) v 8v 4 i) Να αποδείξετε ότι v 4 ii) Να γράψετε το v σαν γραμμικό συνδυασμό των iii)αν επιπλέον ισχύει v ( ) 8,να βρείτε τη γωνία, ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 151. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι : 4, 6 και η γωνία των διανυσμάτων ί. Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ,τότε : i)να υπολογίσετε το AM ii)να αποδείξετε ότι η προβολή του διανύσματος AB πάνω στο διάνυσμα AM είναι το διάνυσμα 14 AM 19 (1 η Δέσμη 1999) 15. Για τα διανύσματα a, ισχύουν οι σχέσεις a ( 4, ) ( 7, 8 ). i)να δείξετε ότι ( 1, ) (, ). ii)να βρεθεί ο κ R,ώστε τα διανύσματα να είναι κάθετα iii)να αναλυθεί το διάνυσμα (, 1) σε δύο κάθετες συνιστώσες,από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο διάνυσμα. (ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ 000) 15. Για τα διανύσματα a, δίνεται ότι a 1, και,. Έστω τα διανύσματα u a v a. Να υπολογίσετε : i)το εσωτερικό γινόμενο ii)τα μέτρα u, v iii) το εσωτερικό γινόμενο u v iv)το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u v (ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 001) 154. Δίνονται τα διανύσματα (1,1), (5,7) του καρτεσιανού επιπέδου. α)να βρείτε τα διανύσματα β)να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ,για την οποία το διάνυσμα 18

19 x (, 6) είναι κάθετο στο διάνυσμα γ)να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 1,όπου.(ο Εσπερινού 00) 155. Δίνονται τα διανύσματα a (1,) και (,). α. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 5 β. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το με τον άξονα x x. γ. Να βρείτε τον αριθμό k R,ώστε το διάνυσμα a u ( k k, k) να είναι κάθετο στο 19

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 4 7. Αν ισχύουν να αποδείξετε ότι. Αν ισχύει ότι 5 5 να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 1. Δίνεται το σημείο Α(λ -9, λ -λ) με λr.να βρείτε για ποιες τιμές του λr το σημείο Α ανήκει : i)στον άξονα χ χ ii) στον άξονα y

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα 2. Να γράψετε ως ένα διάνυσμα τα παρακάτω αθροίσματα :

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 4. α) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Να δίνει τον ορισμό του διανύσματος και των εννοιών που είναι κλειδιά όπως: κατεύθυνση φορά ή διεύθυνση, μηδενικό διάνυσμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxy θεωρούμε τα σημεία Α, Β, τα οποία έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης x - (4λ+6μ)x - 005 = 0 και τεταγμένες τις ρίζες της εξίσωσης y + ( 5λ + μ)y

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v,

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v, ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Δίνονται τα διανύσματα a, για τα οποία ισχύουν : 4, 5 και α)να αποδείξετε ότι 10 β)να βρείτε τη γωνία των και. 5. 8 γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις)

Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) 1 Μέρος Α Θεωρία (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) Η έννοια του διανύσματος Ορισμός του Διανύσματος Διάνυσμα ονομάζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη του πίνακα (Ι) µε τον συντελεστή της που βρίσκεται στη, συµπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) (α, β 0). 1. ε 1 : y =

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να σχεδιάσετε την καμπύλη που παριστάνει η εξίσωση x y x 2 y. x y 2. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία τέμνει : i) τον άξονα χ'χ σε σημείο με τετμημένη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1.

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1. Ασκήσεις στην ευθεία 1. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των γραµµών µε εξισώσεις : α) 7x-11y+1=0, x+y-=0 β) y-3x-=0, x +y =4 γ) x +y =α, 3x+y+α=0. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x +y -x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο

Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο 1. Δίνεται ο κύκλος C που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρχεται από το σημείο Α(-3,4).Να βρείτε : i) εξίσωση του κύκλου ii) την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

φέρουμε μια οποιαδήποτε χορδή ΑΒ του κύκλου και την προεκτείνουμε κατά τμήμα

φέρουμε μια οποιαδήποτε χορδή ΑΒ του κύκλου και την προεκτείνουμε κατά τμήμα 1. Δίνεται ο κύκλος + y ρ, όπου ρ>0. Από το σημείο A( - ρ,0) του C C :x = φέρουμε μια οποιαδήποτε χορδή ΑΒ του κύκλου και την προεκτείνουμε κατά τμήμα BM = AB. Να αποδείξετε ότι το Μ κινείται πάνω σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Θέµα 1 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά λ και το απόστηµα α τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R) συναρτήσει της ακτίνας R (10 Μονάδες) Β. Να χαρακτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1)

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1) α.. Άξονας Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i 1). Ο i I Οι ημιευθείες Ο και O λέγονται αντίστοιχα θετικός ημιάξονας και αρνητικός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1 ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ. Τρίτη 25 η Ιουνίου 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3)

ΑΡΧΗ 1 ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ. Τρίτη 25 η Ιουνίου 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΑΡΧΗ 1 ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ Τρίτη 5 η Ιουνίου 013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Θέμα ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) 1. Να υπολογίσετε το εξαγόμενο 1 9 1 9.. Αν = 1 x και y =

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a=

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= 32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= ( xy, ). Να ορίσετε τις έννοιες α)μέτρο του διανύσματος και β) συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος Α2) Να γράψετε τους τύπους

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004 Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999.......................................... 3 Θέµατα 000..........................................

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι ισχύει α + β α + β, για κάθε α, β R. Α. Τι ονομάζουμε νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α; Α. Να χαρακτηρίσεις

Διαβάστε περισσότερα

πλευρές του κείνται στις ευθείες : 4χ-3ψ+7=0, 3χ+2ψ-16=0, χ-5ψ+6=0. (ΑΒ=5, ΒΓ= 13,

πλευρές του κείνται στις ευθείες : 4χ-3ψ+7=0, 3χ+2ψ-16=0, χ-5ψ+6=0. (ΑΒ=5, ΒΓ= 13, 1 Η Ευθεία στο Επίπεδο Η Ευθεία στο Επίπεδο 1 Να βρεθεί το είδος των γωνιών του τριγώνου που οι πλευρές του κείνται στις ευθείες : 4χ-3ψ+3=0, 3χ+4ψ+4=0, χ-7ψ+8=0. (90, 45, 45 ) 2 Να βρεθεί το μήκος των

Διαβάστε περισσότερα

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = 2π 3 γ) ω = π 2. * Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001 Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 00 Ζήτηµα ο Α.. Έστω α, β, γ ακέραιοι αριθµοί. Να δείξετε ότι ισχύουν οι επόµενες ιδιότητες: α. Αν α β, τότε α λβ για κάθε ακέραιο λ. β. Αν α β και α

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ α). Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το γινόμενο των προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 1 ο Αχαρνών 197 Αγ Νικόλαος 10865196 ο Αγγ Σικελιανού 4 Περισσός 10718688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 1 Α ίνονται τα διανύσµατα á, â, x, y 1 για τα οποία ισχύουν: x+ â = y+ á και 11 y+ 11 â = á x Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

1.. Απόσταση σημείου από ευθεία. Αν έχουμε την ευθεία (ε) με εξίσωση:

1.. Απόσταση σημείου από ευθεία. Αν έχουμε την ευθεία (ε) με εξίσωση: .. Απόσταση σημείου από ευθεία Αν έχουμε την ευθεία (ε) με εξίσωση: Ax+Βψ+Γ=0 με A 0 ή Β 0 και το σημείο Μ (xo, ψο), τότε η απόσταση d του Μ από την ευθεία (ε) δίνεται από τον τύπο: d = d(m,ε) = Αx o +

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr 9--0 Θεώρημα Θαλή.897. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με AB 9 και. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (29) -2- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (14) -- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητής : Νικόλαος. Κατσίπης 19 Απριλίου 2013 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας εύχοµαι καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα