α,. J α12 α22... α2η Στα παρακάτω, εκτός εάν αναφέρεται ρητά, οι πίνακες θα είναι πραγματικοί, δηλ. όλα τα στοιχεία τους θα είναι πραγματικοί αριθμοι

Transcript

1 Α ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Α.Ι. Πράξεις πινάκων Ένας mxn πίνακας Α είναι η διάταξη m ' n στοιχείων από κάποιο αλγεβρικό σώμα, σε m γραμμές και η στήλες, και αν συμβολίσουμε με aij το στοιχείο που βρίσκεται στην j γραμμή και την j στήλη, τότε γράφουμε Α = (aij). Είναι λοι πόν Γ Α = (a'j) = ~~1 α,. J α12 α22... α2η aml am2 amn Στα παρακάτω, εκτός εάν αναφέρεται ρητά, οι πίνακες θα είναι πραγματικοί, δηλ. όλα τα στοιχεία τους θα είναι πραγματικοί αριθμοι Αν είναι m=n, τότε ο πίνακας Α λέγεται τετραγωνικός πίνακας τάξης η. Τα στοιχεία αιι, α22, '" ~η λέγονται διαγώνια στοιχεία του Α και αποτελούν την κύρια διαγώνιό του. Δύο m ' η πίνακες Α = (aij) και Β = cβίj) είναι ίσοι αν και μόνον αν aij = βίj, Υ ί = Ι,..., m, j = Ι,.., η, ενώ ως άθροισμά τους ορίζεται ο ιη Χ η πίνακας Α + Β, ό που Ισχύουν οι ιδιότητες Α + (Β + Γ) = (Α + Β) + Γ, (προ σεταιριστική ), Α + Β = Β + Α, (αντιμεταθετική), Α + Ο = Ο + Α = Α, (ύπαρξ η ουδέτερου), Α + (-Α) = (-Α) + Α = Ο, (ύπαρξη αντίθετου) όπου με το Ο συμβολίσαμε το μηδενικό πίνακα που έχει όλα τα στοιχεία ίσα με Ο ενώ με -Α συμβολίσαμε τον αντίθετο πίνακα, δηλ. -Α = (-aij).

2 236 Α. Α λγεβρα πινάκων Αν λ στοιχεία του σώματος, όπου ανήκουν και τα aij, ορίζεται το 6αθμωτό γινόμενο λ Α, να είναι ο πίνακας Ισχύουν λ (Α+Β) = λα + λβ, κ (λα) = (κλ) Α. Αν οι στήλες του πίνακα Α είναι όσες οι γραμμές του Β, αν δηλ. ο Α είναι m X n και ο Β n X r, τότε ορίζεται το γινόμενο ΑΒ των πινάκων Α, Β, ως ο m X r πίνακας με στοιχεία Yij, όπου Yij = n Σ aik β kj k=i Με την προϋπόθεση ότι τα γινόμενα που εμφανίζονται ορίζ ονται, ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες. Α ( ΒΓ) = (ΑΒ)Γ, (προσεταιριστική) Α (Β + Γ) = ΑΒ + ΑΓ, (επιμεριστική), (Α + Β) Γ = ΑΓ + ΒΓ, (επιμεριστική). Από τον ορισμό προκύπτει ότι η ύπαρξη του γινομένου ΑΒ δεν εξασφαλίζει την ύπαρξη του ΒΑ. Αν ο Α είναι m X n και ο Β n X m, τότε ορίζονται και τα δύο γινόμενα αλλά εν γένει ισχύει ΑΒ =1= Βλ Όταν ΑΒ = ΒΑ (οπότε κατανάγκην οι δύο πίνακες είνει τετραγωνικοί ίδιας τάξης), οι πίνακες Α, Β λέγονται αντιμεταθετικοι Ο n Χ η πίνακας I n που έχει όλα τα διαγώνια στοιχεία ίσα με Ι και όλα τα μη-διαγώνια στοιχεία του ίσα με Ο, λέγεται μοναδιαίος πίνακας τάξης n. Για τον m X n πίνακα Α ισχύει : 1m Α = Α I n = Α. Ανάστροφος του mxn πίνακα Α = (aij ) λέγεται ο n X m πίνακας Α ' = (b ij ), όπου b ij = aji. Ισχύουν οι ιδιότητε ς: (Α+Β)'=Α'+Β" (k Α)'= k Α ', (Α Β)'=ΒΆ" Συζυγής ανάστροφος του m X n πίνακα Α = (aij) με μιγαδικά στοιχεία, λέγεται ο nxm πίνακας Α* = (!>ιj), όπου b ij = <i ji και <i ji ο συζυγής του μιγαδικού αριθμού aji. Ισχύουν:

3 Α.Ι. Πρά ξε ι ς πινάκων 237 (Α + Β)* = Α* + Β*, (k Α)* = k Α*, (Α Β)* = Β * Α *, Α* = Α', αν Α πραγματικός. Αν Α είναι τετραγωνικός πίνακας και ισχύει Α' = Α, τότε ο Α λέγεται συμμετρικός, ενώ αν Α' = - Α λέγεται αντισυμμετρικός. Είναι προφανές ότι αν ο Α = (aij) είναι συμμετρικός, τότε Qij = aji, αν είναι αντισυμμετρικός, τότε aij = -aji, ί =f: j και αίί = Ο. Αν τα διαγώνια στοιχεία του Ω Χ Ω πίνακα D είναι d I, d 2,, d n και όλα τα μη-διαγώνια στοιχεία του ε ίναι Ο, τότε ο D λέγεται διαγώνιος πίνακας και συμβολίζεται: Αν επιπλέον τα d j είναι θετικά, ορίζονται και ρίζες του D, Π. χ. νcι; - (Ο) ~ _ V d 2 - Ι. (Ο).y'd;; Αν όλα τα στοιχεία τα πάνω από την κύρια διαγώνιο του τετραγωνικού πίνακα είναι ίσα με Ο, ο πίνακας λέγεται κάτω τριγωνικός. Ανάλογα ορίζεται και ο άνω τριγωνικός ενώ και οι δύο αναφέρονται και απλά ως τριγωνικοί πίνακες. Πληρως συμμετρικός λέγεται ο τετραγωνικός πίνακας, που έχει όλα τα διαγώνια στοιχεία ίσα και τα μη-διαγώνια επίσης ίσα. Είναι επομένως της μορφής Ι α (β) J Α = α.. = (α - β) I n + β J n, (β) α όπου με J n συμβολίσαμε τον Ω Χ η πίνακα με όλα τα στοιχεία του ίσα με Ι.

4 238 Α. Ά λγε βρα π ι νά κων Η k-στή δύναμη ε νός τετραγωνικού πίνακα ορί ζ εται με τη σχέση όπου Α Ο = Ι. Ο πίνακας Α ονομάζεται: Ak = Ak- 1A, k ~ Ι μηδενοδύναμος, αν υπάρχει k > Ο, τ έτοιο ώστε Α k = Ο, ταυτοδύναμος, αν Α 2 = Α. Εύκολα αποδεικνύεται ότι οι πίνακ ες I n, - J n, I n - - J n είναι ταυτοδύναμοι. Μάλιστα είναι οι μόνοι πλήρως συμμετρικοί πίνακες που εί ναι και ταυτοδύναμοι. Ακόμη ότι, αν Α + Β = I n, τότε η σχέση ΑΒ = Ο συνεπάγεται ότι Α, Β είναι ταυτοδύναμοι και αντίστροφα. Ο m X n πίνακας Α λ έ γεται διαχωρισμένος, αν γράφεται Ι n Ι n Α = (Aρq) = όπου οι Apq είναι mpx nq πίνακες με Σ mp= m, Σ nq= n. ρ= 1 q= 1 μ ν Αν και ο η χ Γ πίνακας Β = (Bqι) είναι διαχωρισμένος με τα B qt να ρ είναι I1q χ Γι πίνακες με Σ Γ ι = Γ, τότ ε το γινόμενο ΑΒ είναι επίσης ι = 1 διαχωρισμένος πίνακας και μάλιστα ν όπου Γ ij = Σ q= 1 δηλ. για το γινόμενο διαχωρισμένων πινάκων ισχύει ο ίδιος τύπος που ισχύει και για τους απλούς πίνακες μόνο που εδώ τα επ ί μέρους γινόμε να είναι γινόμενα πινάκων. Για τον ανάστροφο του διαχωρισμένου πίνακα Α = (Aij) ισχύει: Α' = (Bij ), όπου Bij = Aji. Α.2. Ορίζουσα και αντιστροφή πινάκων Η ορίζουσα του τετραγωνικού πίνακα Α = (aij) τά ξ ης n ε ίναι πραγματικός αριθμός και ορίζεται ως:

5 1.2. Ορίζου σα και αντιστροφή πινάκων 239 όπου το άθροισμα εκτείνεται σε όλες τις μεταθέσεις (ί, j..., Ρ) των αριθμών (1,2,..., η) και ο συντελεστής!;j... ρ είναι + Ι για τις άρτιες μεταθέσεις και -Ι για τις περιττές. Θυμίζουμε ότι μία μετάθεση είναι άρτια, αν έχει άρτιο αριθμό αντιστροφών (π.χ. η 4213 είναι άρτια διότι έχει 4 αντιστροφές (4, 2), (4, Ι), (4, 3), (2, Ι». ο πίνακας που έχει δύο γραμμές ή στήλες ίσες η ανάλογες έχει ορίζουσα ίση με Ο. Το ίδιο όταν κάποια γραμμή ή στήλη έχει όλα τα στοιχεία ίσα με Ο. Η εναλλαγή δύο γραμμών ή στηλών, απλά αλλάζει το πρόσημο της ορίζουσας. Ενώ η πρόσθεση σε κάποια γραμμή (ή στήλη) κάποιου πολλαπλάσιου άλλης γραμμής (ή στήλης αντίστοιχα), δεν μεταβάλει την τιμή της ορίζουσας. Τέλος μπορεί να δειχτούν οι σχέσεις: ΙΑ'Ι = Ι Α Ι, IkAl = k n ΙΑΙ, Ι Α Ι = αιι α απ η, αν Α τριγωνικός, Ι ΑΒ Ι = Ι Α Ι Ι Β Ι. Έστω Μ ί ο τετραγωνικός πίνακας τά ξ ης η-ι που προκύπτει από τον Α με τη 5ιαγραφή της ί γραμμής και της j στήλης του. Η ορίζουσα Ι M ij Ι λέγεται ελάσσονα ορίζουσα του Α αντίστοιχη του στοιχείου αij, ενώ η τιμή (-Ι) i+j I M ij Ι λέγεται συμπαράγοντας το υ aij και συμβολίζεται A ij. Οι ελάσσοντες ορίζουσες των στοιχείων της κύριας διαγωνίου λέγονται κύριες ελάσσοντες. Ισχύει ενώ n Ι ΑΙ = Σ αίk Aik = Σ aik Aik, ί=1 k=1 η Ο = Σ aik Α ί λ = Σ αίk Ajk ί= 1 k=1 k*,λ i*,j n n Η πρώτη από τις π αραπάνω σχέσεις δίνει ένα αναγωγικό τύπο για τον υπολογισμό των οριζουσών. Και οι δύο μαζ ί αποδεικνύουν την ύπαρξη αντιστρόφου για τον πίνακα Α, στην περίπτωση που ισχύει Ι Α Ι =1= Ο, και ταυτόχρονα δίνουν και τρόπο υπολογισμού του. Πράγματι αν με Α - Ι συμβολίσουμε τον πίνακα

6 240 Α. Ά λγε β ρα πινάκων τότε θα έχουμε: Α - Ι 1_ Α 12 - ΙΑΙ... Aln Ι Αl1 Anll Α 22 A n A 2n... A nn Α Α - Ι = Α - Ι ' Α = I n, πράγμα που ση μαίνει ότι ο Α- Ι είναι αντίστροφος του Α. Αν ΙΑ Ι = Ο, τότε δεν υπάρχει αντίστροφος του Α, και ο πίνακα ς λέγεται μη - αντι στρέψιμος ή ιδιάζων. Ισχύ ο υ ν οι ιδιότητες: (ka)- 1 = ~ A -I k (ΑΒ) - Ι = Β - Ι Α - Ι (Ak)- I = (Α -1/ ( Α Τ Ι = (Α - Ι )' Ι Α-ΙΙ ΙΑ Ι Αν για τον τετραγωνικό πίνακα Α ισχύει Α ' =Α - Ι, τότε ο Α λέγετα ι ορθογώνιος. Στην περίπτωση αυτή τα διανύσματα στήλες (ή γ ραμμές) του Α είναι ανά δύο ορθογώνια και έχουν μέτρο μονάδ α. Ακόμη και η ορί ζ ουσα του Α είναι τότε 1. Αν για το μιγαδικό τετ ραγωνικό πίνακα Α ισχύει Α * = Α - Ι, τότε ο Α λέγεται unitary. Για την ορίζου σ α και τ ην αντιστροφή διαχωρισμένων π ι νάκων, αποδεικνύονται τα παρακάτω (υποτίθεται ότι όσοι αντίστροφοι πίνακες εμφανίζ ονται, υπάρχουν) : 1 c Ι Α - -γγ' l, αν c Φ ο, c -~ CI- ΙΑ Ι Ι D - ΒΑ - Ι C Ι, όπου Α, D τετραγωνικό ς πιν. D και Α μη ιδιάζ ων. όπου Α, D συ μμετρικοί τετραγωνικοί πίνακε ς.

7 Α.3. Τετpαγωνιιc ές μορφ ές 241 ( Α+ δ ' ) - Ι = Α - Ι - (Α - Ι r) ( Ά- Ι ) Α δ 'ζ I ~ 1 + ' Α Ι γ.. ' μη-ι ια ων - _ γ, δ : π Χ 1 διανύσματα ~ ~ Α.3. Τετραγωνικές μορφές Έστω Α συμμετρικός τετραγωνικός πίνακας τάξης η και χ = (ΧΙ,Χ2,"" Xn)' ένα διάνυσμα. Η παράσταση χ' Α χ είναι τότε ένα ομογενές πολυώνυμο β ' βαθμού ως προς χι, Χ2, "" X n και λέγεται τετρα γωνική μορφή. Αν Α = (αω έχουμε n χά χ = Σ αι χ Σ α " χ. χ. ί=1 Ι Ι i<j Ι] Ι j. Η τελευταία αποκαθιστά μία 1-1 αντιστοιχία μεταξύ των τετραγωνι κών μορφών και των συμμετρικών τετραγωνικών πινάκων. Αν η τιμή της τετραγωνικής μορφής ]S ' Α ls παραμένει σταθερά θετική γιά οποιαδήποτε τιμή των χι, Χ2, "" X n, τότε η μορφή λέγεται θετικά ορισμένη (θ.ο.) και ο αντίστοιχος πίνακας Α λέγεται θετικά ορισμένος (θ.ο.). θ.ο. όταν.( Α 2S > 0, \f χ '* Ο. Δηλαδή ο Α είναι Αν αντί της προηγούμενης, έχουμε ls,'a 2S ;::: Ο, \f ~ '* Ο, τότε ο Α λέγεται θετικά ημιορισμένος (θ.η.ο). Αποδεικνύται ότι μία ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ένας πίνακας θετικά ορισμένος, είναι όλες οι κύριες ελάσσονές του να είναι θετικές. Επίσης αποδεικνύεται ότι αν ΧΆ Χ θ.ο. τετραγωνική μορφή, τότε υπάρχει γραμμικός μετασχηματισμός Υ=Ρ Χ, που μετασχηματίζει την τετραγωνική μορφή σε άθροισμα τετραγώνων. Ο πίνακας Ρ είναι ορθογώνιος και είναι προφανές ότι θα ικανοποιεί τη σχέση ΡΆΡ = D όπου D διαγώνιος πίνακας, με θετικά όλα τα στοιχεία. Α.4. Βαθμός πίνακα - Γραμμικά συστήματα Χρησιμοποιώντας τα διανύσματα γραμμές!3-1,!3-2,"" Bm ή τα διανύσματα στήλες ~1' S::2," " fn, ο m X n Ο πίνακας Α = (αίj) γράφεται Α = R' ~1 R' ~2. Bm,.

8 242 Α. Άλγεβρα πινάκων Μπορεί να αποδειχτεί ότι ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων από τα R l,..., R m είναι ακριβώς ίδιος με το μέγιστο αριθμό γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων από τα CJ,..., C n. Ο κοινός αυτός αριθμός συμβολίζεται με r (Α) ή Rank(A) και λέγεται βαθμός του Α. Αν διαγράψουμε m - / από τις γραμμές και π - Ι από τις στήλες του mxn πίνακα Α, προκύπτει ένας /Χ Ι τετραγωνικός υποπίνακας του Α. Τον πίνακα αυτόν τον συμβολίζουμε A j, j2.. j{ 11 _ 12.. ι Ι όπου ί ι, 12 ' ''', ί{ είναι οι γραμμές και j, j2,"" j{ οι στήλες που έχουν απομείνει μετά τη διαγραφή. Αποδεικνύεται ότι ο βαθμός του πίνακα Α είναι ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός r για τον οποίο υπάρχει τετραγωνικός υπ ο-πίνακας τάξης r με ορίζουσα διάφορη του μηδέν. Από το τελευταίο προκύπτει αμέσως ότι αν Α είναι μη-ιδιάζων τάξης η, τότε r (Α) = η. Ισχύουν: r (Α') = r (Α), r (ΑΒ) ::; r (Α), r (ΑΒ) = r (Α), αν Β μη-ιδιάζων. Το γραμμικό σύστημα ε ξ ισώσεων αιι χι + αι2 Χ2 + α2ι Χι + α22 Χ2 + + αιη X n = βι + α2η X n = βι με χρήση πινάκων, γράφεται Α,!ς =~, όπου Α είναι ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων, ~ είναι το πχ Ι διάνυσμα των αγνώστων και β το m χ Ι διάνυσμα των σταθερών. Αν ~ = ο, το σύστημα λέγεται ομογενές, αλλιώς είναι μη ομογενές. Ο mx(n+ Ι) πίνακας που προκύπτει αν προσθέσουμε στον Α ως (η + Ι) - στήλη το διάνυσμα β, λέγεται επαυ - ξημένος πίνακας και συμβολίζεται (Α i β). - Αποδεικνύεται ότι το παραπάνω σύστημα ή η εξίσωση Α ~ = ~ έχει λύση, και θα το λέμε τότε συνεπές, αν και μόνον αν r (Α) = r (Α ; ~. Η τελευταία σχέση σημαίνει με άλλα λόγια ότι ικανή και αναγκαία

9 Α.5. Γενικευμένος αντίστροφος 243 συνθήκη για να έχει λύση η Α 2 = β, είναι το ~ να είναι γραμμικός συνδυασμός των στηλών του Α. Αν ο Α είναι μη-ιδιάζων, τότε η εξίσωση ΑΧ = β είναι πάντα συνεπής και έχει μοναδική λύση την Χ = Α-Ι β. Αν clναι-ομογενές με τον Α τετραγωνικό πίνακα, τότε μια αν;"καία σ~νθήkη για να έχει μη μηδενική λύση είναι ο πίνακας Α να είναι ιδιάζων, δηλ. να είναι r (Α) > n. Αν το σύστημα είναι συνεπές και r (Α) = r < Ω, τότε η λύση έχει n-r βαθμούς ελευθερίας, δηλ. υπάρχουν άπειρες λύσεις που αποτελούν (η -r)-διάστατο διανυσματικό χώρο. Α.5. Γενικευμένος αντίστροφος Έστω ο mxn πίνακας Α με οποιοδήπτε βαθμό r (r ::; min {m, n}). Ένας nxm πίνακας, που συμβολίζεται Α -, θα λέγεται γενικευμένος αντίστροφος του Α, αν το διάνυσμα ~ = Α - Υ είναι λύση του συνεπούς συστήματος Α ~ = Υ. Ο γενικευμένος αντίστροφος δεν είναι κατανάγκην μοναδικός, ενώ ταυτίζεται με τον αντίστροφο, όταν Α τετραγωνικός κα (Α) =f: ο. Αν συμβολίσουμε Η = Α- Α, έχουμε τις παρακάτω ιδιότητε ς: Η είναι ταυτοδύναμος, δηλ. Η 2 = Η. ΑΗ = Α (δηλ. ΑΑ - Α = Α). r (Η) = r (Α). Το διάνυσμα Χ = (Η - Ι) Ζ, Ζ τυχόν διάνυσμα, είναι γενική λύση της ΑΧ = ο. Το διάνυσμα Χ = Α-Υ+(Η-Ι) Ζ, Ζ τυχόν διάνυσμα, είναι γενική λύση της Α Χ=Υ, με την προϋπόθεση ότι η τελευταία είναι συνεπής. Αν Χ είναι οποιαδήποτε λύση της συνεπούς εξίσωσης Α Χ =Υ, τότε β'χ είναι σταθερό για όλες τις διαφορετικές τιμές του Χ. Αν Α + είναι ένας η χ m πίνακας, και Α m χ n και ισχύουν: ΑΑ+Α=Α, Α+ΑΑ+ = Α+ (ΑΑ+)* = ΑΑ + (Α + Α)* = Α + Α, τότε ο Α + λέγεται γενικευμένος αντίστροφος των Moore και Penrose, υπάρχει πάντα και είναι μοναδικός. Δίνουμε παρακάτω τρεις τρόπους εύρεσης γενικευμένου αντίστροφου, για ένα m χ η πίνακα Α. lος Έστω r (r ::; min (m, η» ο βαθμός του Α. Τότε υπάρχει υποπίνακας

10 244 Α. Άλγεβρα πινάκων Β, τάξης Γ, του Α με μη μηδενική ορίζουσα και χωρίς περιορισμό της γενικότητας μπορούμε να θεωρήσουμε Β = A:i : ~. Τότε ο Α γράφεται: Α = [~ ~J όπου μπορεί να δειχτεί ότι θα ισχύει Ε = D Β-Ι C. Ο πίνακας ~] είναι γενικευμένος αντίστροφος του Α. Μάλιστα γι' αυτόν, ισχύουν: 2 0ς Για τον ίδιο πίνακα Α, που ορίσαμε στο προηγούμενο τρόπο, και ο πίνακας: όπου Ι = (ιη-γ,ο) αν m > η η, Ι = [I m Ο - r ],αν m > η είναι γενικευμένος αντίστροφος και μάλιστα r (Α -) = min (m, η). 3 0ς Αν ο πίνακας Α μπορεί να γραφεί με τη μορφή Α = Ρ Ει + r Ε 2 - ν Ι Ε 3, όπου -+ Juωj ~] ων ω με u, ω, ν Ε Ν, Ρ, Γ, Ι Ε R και ν = u+ω, τότε ο πίνακας + Ι Ι Ι Α = - Ε ι + - Ε Ε 3 Ρ r νι είναι' ο Moore - Penrose γενικευμένος αντίστροφος του Α.

11 Α.6. Ίχνος πίνακα 245 Α.6. Ίχνος πίνακα Το άθροισμα των διαγώνιων στοιχείων το υ τετρ αγωνικο ύ πίν α κα Α λέγεται ίχνος (trace) και συμβολίζ εται με Τ Γ Α. Αν Α = (aij), τότε ΤΓ Α = αιι + α α"π Ισχύουν οι ιδιότητες: ΤΓ (Α + Β) = ΤΓ Α + ΤΓ Β, ΤΓ ( ΑΒ ) = ΤΓ ( ΒΑ ), Tr (S- Ι Α S) = Tr Α, Tr Α = r ( Α ), αν Α ταυτοδύν α μο ς, ΤΓ (ΑΑ - ) = r (Λ), για κάθε γενικ. αντίστροφο Α - του Α, ~ ' Α ~ = Tr (Α ~ { ), για κάθε δι άνυσμα ~. Α.7. Ειδικά γινόμενα πινάκων α) Γινόμενο Kronecker. Αν Α = (aij) m χ η πίνακας και Β = (β ίj) Ρ Χ q πίνακας, τότε ο mp χ nq πίνακας Α χ Β λ έγετ α ι γινόμενο Kronecker, α ν: αι ι Β α 12 Β... αl η Β] α 21 Β α 22 Β... α2 π Β Α χ Β = ( aij Β) =.... [ amib a m2b... amnb Ισχύουν : Ο Χ Α=Α Χ Ο=Ο, (Α ι +Α 2 ) χ Β = (Α ι Χ Β ) + (Α 2 Χ Β), Α χ (Β 1 + Β 2 ) = (Α Χ Β 1 ) + (Α Χ Β 2 ), α Α χ β Β = αβ (Α Χ Β) (Αι χ Β 1 ) (Α 2 χ Β 2 ) = Αι Α 2 Χ Β ι Β 2, (ΑΧΒ)- = Α - χ Β -, (Α χ Β)' = Α ' χ Β '. β) Γινόμενο Hadamard. Έστω οι m χ η πίνακες Α = (α,j) και Β = (βίj)' Τότε ο m χ η πίνακας Α *Β = (aij βίj ) λέγεται γινόμενο Hadamard. Ισχύουν :

12 246 Α. ' Α λγ εβρα πινάκων Α*Ο=Ο, Α * 1 l' = Α =!!' * Α, Α*Β=Β*Α, (Α + Β) * C = Α * C + Β * C, Tr (ΑΒ ) = l' (Α * Β')!. Α.8. lδιοτιμές - lδιοδιανύσματα Αν για τον τετραγωνικό πίνακα Α τάξης Ω, ισχύει A~=λ~, ~*o, τότε το χ λέγεται ιδιοδιάνυσμα (eigenvector) ή χαρακτηριστικό διάνυσμα του Α κάι το λ είναι η αντίστοιχη ιδιοτιμή (eigenvalue) ή χαρακτηριστική τιμή. Είναι φανερό από τον ορισμό ότι αν το ;:ς είναι ιδιοδιάνυσμα του Α, τότε και το k JS, k =1= Ο είναι επίσης ιδιοδιάνυσμα, που αντιστοιχεί στην ίδια ιδιοτιμή λ. Το ιδιοδιάνυσμα μέτρου Ι, δηλ. που ικανοποιεί επί πλέον την ~ '~ = 1 (για!s πραγματικό) ή την EΌ~= Ι (για.1s. μιγαδικό), θα λέγεται κανονικό ιδιοδιάνυσμα και ορίζεται μοναδικά. Από τον ορισμό προκύπτει ότι τα λ ικανοποιούν τη σχέση : που είναι μηδενός πρέπει : ομογενές σύστημα και επομένως για να έχει λύση διάφορη του αι ι - λ α αι π, IΑ-λΙ η Ι α 2 Ι α2 2- λ... α2 η = Ο. <lπ ι Η τελευταία σχέση είναι εξίσωση n βαθμού ως προς λ, που έχει πραγματικούς συντελ.εστές, όταν ο Α είναι πραγματικός. Άρα, τότε, θα έχει ακριβώς n ρίζες, που μπορεί να είναι πραγματικές ή μιγαδικές, διακεκριμένες ή όχι. Σε κάθε απλή ρίζα (ιδιοτιμή) λ, πραγματική ή μιγαδική, αντιστοιχεί ένα κανονικό ιδιοδιάνυσμα, που προκύπτει από τη λύση του ομογενούς συστήματος. Σε κάθε πολλαπλή ρί ζ α με βαθμό πολλαπλότητας k αντιστοιχεί ιδιοδιάνυσμα που πάντα μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός k ορθοκανονικών διανυσμάτων. Οι n ιδιοτιμές ικανοποιούν τις ιδιότητε ς:

13 Α. Β. Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα 247 λ ι + λ λπ = Tr ( Α) λ ι. λ 2... λn = Ι Α Ι. Ο πίνακας ka έχει ίδια ιδιοδιανύσματα με τον Α, αλλά σι ιδιοτιμές του είναι kλ, όπου λ οι ιδιοτιμές του Α, διότι (ka) ~ = k (Α ~ = ( kλ) ~. Όμοια ο πίνακας ΑΡ έχει ίδια ιδιοδιανύσματα με τον Α και ιδιοτιμές τα λ Ρ, διότι: (ΑΡ) ~ = Μ - Ι (Α 25) = λ ΑΡ - Ι ~ =... = λ Ρ ~.. Ο ανάστροφος Α ' έχει ίδιες ιδιοτιμές με τον Α, διότι Ι Α-λ LΠ Ι = Ι Α ' - λ LΠ Ι, αλλά εν γένει διαφορετικά ιδιοδιανύσματα. Αν ο Α είναι μη-ιδιάζων, τότε όλες οι ιδιοτιμές του είναι μη - μηδενικές και τα αντίστροφά τους είναι ιδιοτιμές του Α - Ι, ενώ οι δύο. αντίστροφοι πίνακες έχουν τα ίδια ιδιοδιανύσματα. Πράγματι Για κάθε μη-ιδιάζοντα πίνακα Ρ, ο Α και ο ρ- Ι Α Ρ έχουν ίδιες ιδιοτιμές, ενώ τα ιδιοδιανύσματα του ρ-ι Α Ρ είναι ρ- Ι Χ, όπου χ τα ιδιοδιανύσματα του Α. Πράγματι lδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Αν ο Α έχει η γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα P j, που να αντιστοιχούν στις (όχι κατανάγκην διακεκριμένες) ιδιοτιμές του λ;, και θεωρήσουμε τον πίνακα Ρ, που οι στήλες του είναι τα P j, τότε θα ισχύει ΑΡ = Ρ Λ, όπου Λ = r λ, λ,.. ο] = diag {λι, λ 2,.., λπ Η σχέση αυτή γράφεται: Ο λn } ρ - Ι Α Ρ = Λ Α = Ρ Λ Ρ ' που είναι ένας τρόπος διαγωνιοποίησης του Α. Αν τα ιδιοδιανύσματα P j είναι επιπλέον κανονικά, δηλ. αν αποτελούν ορθοκανονικό σύστημα,

14 248 Α. Άλγεβρα πινάκων τότε ο Ρ θα είναι ορθογώνιος και η τελευταία σχέση θα γράφεται ΡΆ Ρ =Λ ή Α =ΡΛΡ' που είναι ισοδύναμη με: όπου Α = λιpιp~ + λ 2 Ρ 2 Ρ; λ" P n Pn', 1= ΡΡ' = PιP~ + Ρ 2 Ρ; ΡηΡπΌ Οι τελευταίες σχέσεις αναφέρονται ως KανOVΙKή ανάλυση του πίνακα Α. Αν ο πίνακας Α είναι και συμμετρικός, τότε έχει πάντα μία κανονική ανάλυση. Αν λ ι 2: λ 2 2:... 2: λ" οι ιδιοτιμές του Α, τότε ισχύουν ΧΆ Χ suρ~=λι, ~ ~~ ΧΆΧ ίη f ---==---=- = λ". ~ (~ Αν ~ = C} Ρι + C2 Ι' Cn pn, τότε ΧΆ χ c/λ ι + c/λ c n 2 λ" ,:;---~---~- ~ '~ c/+c/+... +c n 2 Ισχύουν ακόμη οι ιδιότητες: Οι ιδιοτιμές του μοναδιαίου πίνακα In είναι λ= Ι (με πολλαπλότητα η) και ιδιοδιάνυσμα κάθε η χ Ι διάνυσμα l';. Οι ιδιοτιμές ενός διαγώνιου ή τριγωνικού πίνακα ταυτίζονται με τα διαγώνια στοιχεία του. Οι ιδιοτιμές ενός πραγματικού ορθογώνιου πίνακα είναι Ι, -Ι, e ίθj, e -ίθj, όπου e j πραγματικοί αριθμοί. Οι ιδιοτιμές ενός πραγματικ06 συμμετρικ06 πίνακα είναι πραγματικές και τα ιδιοδιανύσματά του επίσης πραγματικά και ορθογώνια ανά Μο. Οι ιδιοτιμές του πλήρως συμμετρικ06 'πίνακα Α = α In + β J n είναι οι α και α+ηβ με πολλαπλότητες αντίστοιχα (η-ι) και Ι. Οι ιδιοτιμές ενός θετικά ορισμένου πίνακα είναι θετικές. Οι ιδιοτιμές ενός ταυτοδύναμου πίνακα είναι Ο ή Ι. Μάλιστα η πολλαπλότητα της ιδι~τιμής Ι ταυτίζεται με το βαθμό του πίνακα. Έτσι, επομένως, ισχύει Tr Α = r (Α). Αν ο βαθμός του η χ η πίνακα Α είναι Γ < η, τότε έχει ως ιδιοτιμή το Ο με πολλαπλότητα η-γ. Αν λ ι 2: λ 2 2:... 2: λ" οι ιδιστιμές του Α και μ ι 2: μ2 2:... 2: ~ + I οι δ ' (Α γ),, ι ιοτιμες του, τοτε ισχυει: χ c

15 Α. 9. Μετασχηματισμοί πινάκων 249 Α.9. Μετασχηματισμοί πινάκων Αν Α είναι ένας m χ n πίνακας και Q, Ρ μη - ιδιάζοντες τετραγωνικοί πίνακες τάξης m και n αντίστοιχα, τότε ο πίνακας Q Α Ρ λέγεται ισοδύναμος του Α και συμβολίζουμε QAP - A. Αν ο βαθμός του Α είναι Γ, τότε υπάρχει ισοδύναμος μετασχηματισμός τέτοιος ώστε που λέγεται κανονική μορφή του Α. Μπορούμε να φθάσουμε στην κανονική μορφή του Α με μια ακολουθία στοιχειωδών μετασχηματισμών στις γραμμές και στήλες του Α, που είναι: εναλλαγή δύο γραμμών (ή στηλών), πολλαπλασιασμός γραμμών (ή στηλών) με μη - μηδενικό αριθμό και η πρόσθεση (ή αφαίρεση) σε μια γραμμή (ή στήλη) κάποιου πολλαπλάσιου μιας άλλης γραμμής (ή στήλης). Για παράδειγμα παίρνοντας ως Ρ ή Q έναν από τους παρακάτω πίνακες και τον άλλο Ι έχουμε στοιχειώδεις μετασχη ματισμούς : Επειδή [~ ~ J - ι = [~ ~ ] είναι εύκολο να δειχτεί ότι =Q και άρα (QA)- I = Α - Ι Q και (QAQ)- I = Q Α - Ι Q. Η τελευταία σχέση σημαίνει ότι αν σε ένα πίνακα εναλλάξουμε τις δύο πρώτες γραμμές και τις δύο πρώτες στήλες και βρούμε τον αντίστροφο, αυτός θα είναι ίδιο με τον πίνακα που προκύπτει από τον Α - Ι αν εναλλάξουμε τις δύο πρώτες γραμμές και ταυτόχρονα στήλες.

16 250 Α. Άλγεβρα πινάκων Α.Ι0. Παραγώγιση ως προς διάνυσμα ή πίνακα Έστω f (x)=f (Χ1, Χ2,"" Xn) πραγματική συνάρτηση της διανυσματι df ο κής μεταβλητής χ = (Χ1, Χ 2, " " x n )', Με - συμβολίζουμε το διάνυσμα θ Χ ( _ of, _of " '" _of )'. 'Ομοια με a 2 f -- συμβολίζουμε τον πίνακα Ο Χ 1 Ο Χ2 OX n θ ΖΙ; 2 (_02 f ). Ο Χ; a Xj Ισχύουν: a (, - γ χ) = γ a~ ~ - - Ο, - (Χ Α Ζ) = Α Ζ o ~ a, - (Χ Χ) = 2 χ o ~ - ~ - a, - (χ Α χ) = 2Α Χ Ο Ζι; - ~ - a 2 CJ zι; 2 «( Α ~) = 2Α (Α συμμετρικός) Άρα αν f (~) = (~-A ~)' (\!-A~) θα ισχύει Ο a 2 - f (Χ) = 2 (ΑΆ χ - Α'α) -, f ω = 2 (ΑΆ), o ~ ~ - Θ ~- Έστω τώρα f (Β) πραγματική d f κα Β = cβ;j ). Συμβολί ζ ουμε με ο Β συνάρτηση με μεταβλητή τον πίναof (Β) τον πίνακα (-β-). Α ν dg Α συμ Ο 0 0 lj βολίζει τον πίνακα που ~ίναι διαγώνιος με διαγώνια στοιχεία ίδια με του Α, τότε: a - (Υ'Β Ζ) = Υ Ζ ', ο Β a Tr Β = Ι. ab Ο ' Β ' - χ Χ=ΧΧ, ab- ~ -- αν Β μη -συμμετρικός = 2 2S ~ ' -dgxx ' ), αν Β συμμετρικός

17 Α.9. Μ ετασχηματισμοί πινάκων 251 Ο ΙΒ ο Β Ι ΙΒ Ι (Β-Ι)', αν Β μη-συμμετρικός Ι Β Ι (2Β- Ι - dg Β -ι ), αν Β συμμετρικός. Ο Tr BC ο Β = C', = C + C'- dgc, αν Β μη - συμμετρικός αν Β συμμετρικός.